Главная › Двигатель › Как заработать на покупке акций сбербанка.

Как заработать на покупке акций сбербанка.

Рассмотрим задачу максимизации ожидаемой прибыли от акций.

Предположим, что мы владеем акциями стоимостью 1000 у.е. Мы должны принять решение относительно того, держать ли акции, продать их все или купить еще акции на сумму 500 у.е.

Вероятность 20%-го роста курсовой стоимости акции составляет 0,6, а вероятность снижения курсовой стоимости на 20% - 0,4. Какое решение необходимо принять с тем, чтобы максимизировать ожидаемую прибыль?

Сначала необходимо решить, что делать с акциями: купить еще, все продать или все держать. Это отображено с помощью дерева решений на рис. 3.2. Диаграмма содержит величину доходов или расходов в случае принятия того или иного решения. Например, вариант «продажи» даст доход в 1000 у.е. (показан как + 1000 на дереве). В противоположность этому, вариант «покупки» принесет расходы в сумме 500 у.е. (показаны как - 500 на дереве). Если мы продадим акции, тогда их у нас будет ноль. Если

мы просто будем держать акции, то в случае 20%-ного подъема на рынке их стоимость составит 1200 у.е., а в случает 20%-ного спада - 800 у.е. В другом случае, после покупки акций еще на 500 у.е., при подъеме рынка мы окажемся обладателями акций стоимостью 1800 у.е., а при падении - стоимостью 1200 у.е. Данные значения указаны в конце каждой ветви в правой части дерева решений (рис. 3.3). Дерево также показывает вероятности возможных событий (т.е. рост или падение курсовой стоимости акций), а также денежные средства, затраченные или полученные при этом. Например, покупка акции стоит 500 у.е. (т.е. в данной точке диаграммы указано - 500 у.е.). Аналогично, продажа акций даст доход в 1000 у.е., и это указано рядом с соответствующей ветвью дерева.

Начиная с правой стороны и двигаясь влево, производится расчет ожидаемых значений, как это показано на рис. 3.4. Таким образом, ожидаемое значение в блоке вероятностных событий А рассчитывается путем умножения каждой вероятности на значе-Рост курсовой стоимости

ние в конце ветви, т.е. ожидаемое значение в блоке А составляет

6 х 1800 + 0,4 х 1200 = 1560 у.е. Аналогично, ожидаемое значение для блока Б составляет 0,6 х 1200 + 0,4 х 800 = 1040 у.е.

Ожидаемое значение

Рост курсовой стоимости

Ожидаемое значение

Рост курсовой стоимости

И наконец, можно принимать решение на основании вывода ожидаемых значений по соответствующим ветвям обратно к бло
ку решений В. Три возможных пути обратно к блоку В дают следующие значения:

Вариант 1: 1560 - 500 = 1060 у.е.

Вариант 2: 0 + 1000 = 1000 у.е.

Вариант 3: 1040 + 0 = 1040 у.е.

Следовательно, на основании данного критерия с целью максимизации ожидаемой стоимости акций мы предпочтем вариант 1. Таким образом, мы решим купить еще акций на сумму в 500 у.е., что даст нам ожидаемую чистую прибыль в 1060 у.е. Это значение показано в блоке В, а путь решения выделен, как показано на рис. 3.4. Следует отметить, что этот простой способ принятия решений, основанный на максимизации ожидаемой отдачи, может не всегда оказаться приемлемым. Например, также необходимо учитывать факторы риска, о чем мы будем говорить в следующем примере.

БАЙЕСА

Часто мы начинаем анализ вероятностей имея предварительные, априорные значения вероятностей интересующих нас событий. Затем из источников информации, таких как выборка, отчет, опыт и т.д. мы получаем дополнительную информацию об интересующем нас событии. Имея эту новую информацию, мы можем уточнить, пересчитать значения априорных вероятностей. Новые значения вероятностей для тех же интересующих нас событий будут уже апостериорными (послеопытными) вероятностями. Теорема Байеса дает нам правило для вычисления таких вероятностей.

Последовательность процесса переоценки вероятностей можно схематично изобразить так:

Априорные Новая информация из Байесовский Апостериорные

вероятности каких-либо источников анализ вероятности

Пусть событие А может осуществиться лишь вместе с одним из событий Н 1 , Н 2 , Н 3 , ..., Н n , образующих полную группу. Пусть известны вероятности P(H 1), P(H 2),…P(H i),…P(H n). Так как события H i образуют полную группу, то . Так же известны и условные вероятности события А: P(A/H 1), P(A/H 2), …P(A/H i)…, P(A/H n), i=1, 2, …, n. Так как заранее неизвестно с каким из событий H i произойдет событие А, то события H i называют гипотезами.

Необходимо определить вероятность события А и переоценить вероятности событий Hi с учетом полной информации о событии А.

Вероятность события А определяется как:

(3.1)

Эта вероятность называется полной вероятностью .

Если событие А может наступить только вместе с одним из событий Н1, Н2, Н3, ..., Нn, образующих полную группу несовместных событий и называемых гипотезами, то вероятность события А равна сумме произведений вероятностей каждого из событий Н1, Н2, ..., Нn на соответствующую условную вероятность события А.

Условные вероятности гипотез вычисляются по формуле:

или (3.2)

Это - формулы Байеса, (по имени английского математика Т.Байеса, опубликовавшего их в 1764 году) выражение в знаменателе - формула полной вероятности.

Пример 3.1. Предприятие, производящее компьютеры, получает одинаковые ЧИПы от двух поставщиков. Первый поставляет 65% ЧИПов, второй 35%. Известно, что качество поставляемых ЧИПов разное. Основываясь на предыдущих данных о рейтингах качества, составлена следующая таблица:

Поставщик	% качественной продукции	% брака
Поставщик 1
Поставщик 2

Предприятие осуществляет гарантийный ремонт компьютеров. Имея данные о числе компьютеров, поступающих на гарантийный ремонт в связи с неисправностью ЧИПов, переоцените вероятности того, что возвращенный для ремонта компьютер, укомплектован ЧИПом от поставщика 1, поставщика 2.

Решение задач с использованием формул полной вероятности и Байеса удобнее оформлять в виде таблицы следующего вида:

Шаг 1. В первой колонке перечисляем события, которые задают априорную информацию в контексте решаемой проблемы.

Соб. Н 1 - ЧИП от первого поставщика;

Соб. Н 2 - ЧИП от второго поставщика.

Это - гипотезы и они образуют полную группу независимых и несовместных событий.

Во второй колонке записываем вероятности этих событий:

Р(Н 1) = 0,65, а Р(Н 2) = 0,35

В третьей колонке определим условные вероятности события А - «ЧИП бракованный» для каждой из гипотез.

Шаг 2. В колонке 4 находим вероятности для событий «ЧИП от первого поставщика и он бракованный» и «ЧИП от второго поставщика и он бракованный». Они определяются по правилу умножения вероятностей путем перемножения значений колонок 2 и 3. Поскольку сформулированные события являются результатом пересечения двух событий: А и Hi, то их называют совместными вероятностями, то есть

Шаг 3. Суммируем вероятности в колонке 4 для того, чтобы найти вероятность события А. В нашем примере 0,0130 - вероятность поставки некачественного ЧИПа от поставщика1, 0,0175 - вероятность поставки некачественного ЧИПа от поставщика 2. Поскольку, как мы уже сказали выше, ЧИПы поступают только от двух поставщиков, то сумма вероятностей 0,0130 и 0,0175 показывает, что 0,0305 есть вероятность бракованного ЧИПа в общей поставке, по формуле (3.1):

= 0,0130 + 0,0175 = 0,0305

Шаг 4. В колонке 5 вычисляем апостериорные вероятности, используя формулу (3.2)

Заметим, что совместные вероятности находятся в строках колонки 4, а вероятность события А как сумма колонки 4.

Гипотезы	Априорные вероятности	Условные вероятности	Совместные вероятности	Апостериорные вероятности

ЧИП от 1-го поставщика ЧИП от 2-го поставщика	0,65 0,35	0,02 0,05	0,0130 0,0175	0,426 0,574
S		-	Р(А) = 0,305

Пример 3.2. Экономист полагает, что вероятность роста стоимости акций некоторой компании в следующем году равна 0,75, если экономика страны будет на подъёме; и эта же вероятность равна 0,30, если экономика страны не будет успешно развиваться. По его мнению, вероятность экономического подъёма в будущем году равна 0,80. Используя предположения экономиста, оцените вероятность того, что акции компании поднимутся в цене в следующем году ?

Решение. Определим события:

А - “акции компании поднимутся в цене в будущем году”.

Событие А - “акции компании поднимутся в цене в будущем году” - может произойти только вместе с одной из гипотез:

Н 1 - экономика страны будет на подъёме и

Н 2 - экономика страны не будет успешно развиваться.

По условию известны вероятности гипотез:

P(H 1) = 0,8; P(H 2) = 0,2

и условные вероятности события А:

P(A/H 1) = 0,75; P(A/H 2) = 0,3.

Вышеизложенное позволяет применить для определения искомой вероятности события А формулу полной вероятности:

P(A)=P(H 1)× P(A/H 1) + P(H 2)× P(A/H 2) = 0,8 × 0,75 + 0,2 × 0,3 = 0,66.

Оформим решение в рабочей таблице:

Гипотезы H i	P(H i)	P(A/H i)	P(H i)· P(A/H i)
H 1 - “подъем экономики”	0,80	0,75	0,60
H 2 - “спад экономики”	0,20	0,30	0,06
S	1,00	-	0,66

Ответ. Вероятность того, что акции компании поднимутся в цене в следующем году,

составляет 0,66.

Пример 3.3. Экономист полагает, что в течение периода активного экономического роста американский доллар будет расти в цене с вероятностью 0,7, в период умеренного экономического роста доллар подорожает с вероятностью 0,4 и при низких темпах экономического роста доллар подорожает с вероятностью 0,2. В течение любого периода времени вероятность активного экономического роста 0,3, умеренного экономического роста 0,5 и низкого роста - 0,2. Предположим, что доллар дорожает в течение текущего периода. Чему равна вероятность того, что анализируемый период совпал с периодом активного экономического роста?

Решение . Определим события:

А - “доллар дорожает”. Оно может произойти только вместе с одной из гипотез:

Н 1 - “активный экономический рост”;

Н 2 - “умеренный экономический рост”;

Н 3 - “низкий экономический рост”.

По условию известны доопытные (априорные) вероятности гипотез и условные вероятности события А:

Р(Н 1) = 0,3; Р(Н 2) = 0,5; Р(Н 3) = 0,2;

Р(А/Н 1) = 0,7; Р(А/Н 2) = 0,4 и Р(А/Н 3) = 0,2.

Гипотезы образуют полную группу, сумма их вероятностей равна 1. Событие А - это (или Н 1 × А или Н 2 × А или Н 3 × А). События Н 1 × А, Н 2 × А и Н 3 × А - несовместные попарно, так как события Н 1 , Н 2 и Н 3 - несовместны.

События Н 1 и А, Н 2 и А, Н 3 и А - зависимые.

По условию требуется найти уточненную (послеопытную, апостериорную) вероятность первой гипотезы, т.е. необходимо найти вероятность активного экономического роста, при условии, что доллар дорожает (событие А уже произошло), то есть Р(Н 1 /А) - ?

Используя формулу Байеса (3.2) и подставляя заданные значения вероятностей, имеем:

Гипотезы H i
H 1	0,30	0,70	0,21	0,21 / 0,45 = 0,467
H 2	0,50	0,40	0,20	0,20 / 0,45 = 0,444
H 3	0,20	0,20	0,04	0,04 / 0,45 = 0,089
S	1,00	-	0,45

Ответ. Вероятность активного экономического роста, при условии, что доллар дорожает, составляет 0,467.

Для более наглядного восприятия решения нашей задачи мы можем также построить дерево решений:

		Совместные
Априорные	Условные	вероятности
вероятности	вероятности	(как произведение)

	P(A/H 1) = 0,7	P(H 1 A) = 0,3× 0,7 = 0,21
Р(Н 1) = 0,3
	P( /H 1) = 0,3	P(H 1 ) = 0,3× 0,3 = 0,09

Р(Н 2) = 0,5	P(A/H 2) = 0,4	P(H 2 A) = 0,5× 0,4 = 0,20

	P( /H 2) = 0,6	P(H 2 ) = 0,5× 0,6 = 0,30

	P(A/H 3) = 0,2	P(H 3 A) = 0,2 × 0,2 = 0,04
Р(Н 3) = 0,2
	P( /H 3) = 0,8	P(H 3 ) = 0,2× 0,8 = 0,16

Ответ. Вероятность активного экономического роста при условии, что доллар подорожает,

P(H i /A) =0,467

Пример 3.3. В каждой из двух урн содержится 6 черных и 4 белых шара. Из первой урны во вторую наудачу переложен один шар.

1. Найти вероятность того, что шар, извлеченный из второй урны после перекладывания, окажется черным ?

2. Предположим, что шар, извлеченный из второй урны после перекладывания, оказался черным. Какова тогда вероятность того, что из первой урны во вторую был переложен белый шар ?

Решение. Определим события:

А - “шар, извлеченный из второй урны - черный”. Оно может произойти только вместе с одной из гипотез:

Н 1 - “из 1-й урны во 2-ю урну переложили черный шар” и

Н 2 - “из 1-й урны во 2-ю урну переложили белый шар”.

Используя классическое определение вероятностей, определим вероятности гипотез:

P(H 1) = 6/10; P(H 2) = 4/10.

и условные вероятности события А.

После перекладывания во второй урне окажется 11 шаров. Если из первой урны во вторую переложили черный шар, то во второй урне окажется 7 черных и 4 белых шаров.

Тогда P(A/H 1) = 7/11.

Если из первой урны во вторую переложили белый шар, то во второй урне окажется 6 черных и 5 белых шаров.

Тогда P(A/H 2) = 6/11.

Гипотезы образуют полную группу, сумма их вероятностей равна 1. Рассмотрим событие А - это (или Н 1 А или Н 2 А). События Н 1 А и Н 2 А - несовместные попарно, так как события Н 1 и Н 2 - несовместны.

События Н 1 и А, Н 2 и А - зависимые.

1. Вышеизложенное позволяет применить для определения вероятности события А и ответа на первый вопрос формулу полной вероятности (3.1):

P(A)=P(H 1)P(A/H 1) + P(H 2)P(A/H 2)=6/10 7/11 + 4/106/11 = 0,6.

Это же решение можно оформить в рабочей таблице:

Ответ. Вероятность того, что шар, извлеченный из второй урны после перекладывания, окажется черным составляет 0,6.

2. Во второй части задачи предполагается, что событие А уже произошло, т.е. шар, извлеченный из второй урны, оказался черным. Требуется найти уточненную (послеопытную, апостериорную) вероятность второй гипотезы, т.е. необходимо найти вероятность того, что из первой урны во вторую был переложен белый шар при условии, что шар, извлеченный из второй урны после перекладывания, оказался черным.

Р(Н 2 /А) - ?

Для определения искомой вероятности воспользуемся формулой Байеса (3.2):

Мы можем получить тот же результат при помощи таблицы:

Гипотезы H i	Априорные вероятности P(H i)	Условные вероятности P(A/H i)	Совместные вероятности P(A H i)	Апостериорные вероятности P(H i /A)
H 1	6/10	7/11	42/110=0,3818	0,3818/0,6 = 0,6364
H 2	4/10	6/11	24/110=0,2182	0,2182/0,6 = 0,3636
	1,00	-	0,6

Ответ. Вероятность того, что из первой урны во вторую был переложен белый шар при условии, что шар, извлеченный из второй урны после перекладывания, оказался черным, составляет 0,3636.

Задачи к теме 3

1. Руководство компании выяснило, что в среднем 85% сотрудников, отправленных на стажировку по применению новых информационных технологий, успешно завершают курс обучения. В дальнейшем из них 60% активно применяют в работе полученные знания. Среди тех сотрудников, которые не смогли успешно завершить обучение новые информационные технологии успешно применяют лишь 10%. Если случайно выбранный сотрудник компании активно применяет новые информационные технологии, то какова вероятность того, что он успешно прошел стажировку?

2. Агент по недвижимости пытается продать участок земли под застройку. Он полагает, что участок будет продан в течение ближайших шести месяцев с вероятностью 0,85, если экономическая ситуация в регионе не будет ухудшаться. Если же экономическая ситуация будет ухудшаться, то вероятность продать участок составит 0,4. Экономист, консультирующий агента полагает, что с вероятностью, равной 0,6, экономическая ситуация в регионе в течение следующих шести месяцев будет ухудшаться. Чему равна вероятность того, что участок будет продан в течение ближайших шести месяцев?

3. Судоходная компания организует средиземноморские круизы в течение летнего времени и проводит несколько круизов в сезон. Поскольку в этом виде бизнеса очень высокая конкуренция, то важно, чтобы все каюты зафрахтованного под круизы корабля были полностью заняты туристами, тогда компания получит прибыль. Эксперт по туризму, нанятый компанией, предсказывает, что вероятность того, что корабль будет полон в течение сезона, равна 0,87, если доллар не подорожает по отношению к рублю, и с вероятностью - 0,64, если доллар подорожает. По оценкам экономистов, вероятность того, что в течение сезона доллар подорожает по отношению к рублю, равна 0,1. Чему равна вероятность того, что билеты на все круизы будут проданы?

4. Исследованиями маркетологов установлено, что мужчины и женщины по-разному реагируют на рекламу средств бытовой химии. Результаты исследований показали, что 64% женщин позитивно реагируют на такую рекламу, считая что она дает полезную информацию о новинках в этой сфере, в то время как 48% мужчин реагируют на подобную рекламу негативно. 12 женщин и 8 мужчин заполнили анкету, в которой оценили новую рекламу средств бытовой химии. Случайно извлеченная анкета содержит негативную реакцию. Чему равна вероятность того, что её заполняла женщина?

5. Компьютерная фирма разработала программу автоматизации учета в кафе и ресторанах. Рекламные материалы были разосланы в крупнейшие кафе и рестораны города, которые составляют 70% от общего числа предприятий питания города. Закупили программу 40% кафе и ресторанов, которые получили рекламные материалы и 15% не получавших ее. Какова вероятность того, что случайно выбранное кафе, заказало новую программу автоматизации учета?

6. Экспортно-импортная фирма собирается заключить контракт на поставку сельскохозяйственного оборудования в одну из развивающихся стран. Если основной конкурент фирмы не станет одновременно претендовать на заключение контракта, то вероятность получения контракта оценивается в 0,55; в противном случае - в 0,35. По оценкам экспертов компании вероятность того, что конкурент выдвинет свои предложения по заключению контракта, равна 0,30. Чему равна вероятность заключения контракта?

7. Сотрудники отдела маркетинга полагают, что в ближайшее время ожидается рост спроса на продукцию фирмы. Вероятность этого они оценивают в 0,72. Консультационная фирма, занимающаяся прогнозом рыночной ситуации, подтвердила предположение о росте спроса. Положительные прогнозы консультационной фирмы сбываются с вероятностью 0,93, а отрицательные - с вероятностью 0,96. Какова вероятность того, что рост спроса действительно произойдет?

8. Из числа авиалиний некоторого аэропорта 70% - местные, 20% - по СНГ и 10% - в дальнее зарубежье. Среди пассажиров местных авиалиний 60% путешествуют по делам, связанным с бизнесом, на линиях СНГ таких пассажиров 50%, на международных - 90%. Из прибывших в аэропорт пассажиров случайно выбирается один. Чему равна вероятность того, что он бизнесмен?

9. Аудитор осуществляет проверку фирмы. В ходе работы у него накопилось 2 стопы бухгалтерских документов. В первой стопе содержит из 67 документов7 содержат ошибки, а во второй стопе из 45 документов 4 документа с ошибками. Случайно был переложен один документ из первой стопы во вторую. Какова вероятность того, что документ, извлеченный из второй стопы, содержит ошибку?

10. Компьютерная фирма продает мониторы 4 марок. При этом известно, что мониторы Sony составляют 24% от продаж, Panasonic-28%, LG – 16%, Samsung-32%. Вероятность неполадок в первый год работы для мониторов Sony составляет 0,01, Panasonic-0,02, LG – 0,03, Samsung-0,02. Какова вероятность неполадок в первый год работы случайно выбранного монитора?

11. При слиянии акционерного капитала двух фирм аналитики фирмы, получающей контрольный пакет акций, полагают, что сделка принесет успех с вероятностью равной 0,65, если председатель совета директоров поглощаемой фирмы выйдет в отставку; если он откажется, то вероятность успеха равна 0,3. Предполагается, что вероятность ухода в отставку председателя составляет 0,7. Чему равна вероятность успеха сделки?

12. На АЭС установлена система аварийной сигнализации. Когда возникает аварийная ситуация, звуковой сигнал срабатывает с вероятностью 0,999. Звуковой сигнал может сработать случайно и без аварийной ситуации с вероятностью 0,002. Реальная вероятность аварийной ситуации равна 0,004. Предположим, что звуковой сигнал сработал. Чему равна вероятность того, что это случилось в условиях реальной аварийной ситуации?

13. Нефтеразведочная экспедиция проводит исследования для определения вероятности наличия нефти на месте предполагаемого бурения скважины. Исходя из результатов предыдущих исследований, нефтеразведчики считают, что вероятность наличия нефти на проверяемом участке, равна 0,55. На завершающем этапе разведки проводится сейсмический тест, который имеет определенную степень надежности: если на проверяемом участке есть нефть, то тест укажет на нее в 92% случаев; если нефти нет, то в 14% случаев тест может ошибочно указать на ее наличие. Сейсмический тест указал на присутствие нефти. Чему равна вероятность того, что запасы нефти на этом участке существуют реально?

14. Вероятность того, что новый товар будет пользоваться спросом на рынке, если конкурент не выпустит в продажу аналогичный продукт, равна 0,58. Вероятность того, что товар будет пользоваться спросом при наличии на рынке конкурирующего товара 0,32. Вероятность того, что конкурирующая фирма выпустит аналогичный товар на рынок в течение интересующего нас периода 0,24. Чему равна вероятность того, что товар будет иметь успех?

15. Вероятность того, что клиент банка не вернет заем в период экономического роста, равна 0,06, а в период экономического кризиса - 0,23. Предположим, вероятность того, что начнется период экономического роста, равна 0,79. Чему равна вероятность того, что случайно выбранный клиент банка не вернет полученный кредит?

16. Экономист-аналитик условно подразделяет экономическую ситуацию в стране на “хорошую”, “посредственную” и “плохую” и оценивает их вероятности для данного момента времени в 0,25, 0,60 и 0,15 соответственно. Некоторый индекс экономического состояния возрастает с вероятностью 0,7, когда ситуация “хорошая”; с вероятностью 0,2, когда ситуация “посредственная”, и с вероятностью 0,1, когда ситуация “плохая”. Пусть в настоящий момент индекс экономического состояния возрос. Чему равна вероятность того, что экономика страны на подъеме?

17. Керамическая плитка одной марки, цвета и размера выпускается двумя цехами завода: первый цех выпускает 60% плитки, а второй 40%. Причем известно, что 8% продукции первого цеха имеют дефекты, тогда как этот же показатель для второго цеха равен 5%. Случайно взятая плитка имеет дефект. Чему равна вероятность того, что она выпущена первым цехом?

18. Опрос показал, что из 26 студентов, обучающихся в первой группе 18 ростовчан, а остальные живут в других городах, во второй группе 17 студентов-ростовчан, а остальные 10 живут в других городах. Из второй группы в первую был переведен один студент. После перевода один студент первой группы был вызван в деканат и оказалось, что это студент ростовчанин. Какова вероятность того, что из второй группы в первую был переведен студент-ростовчанин?

19. Страховая компания делит, водителей, заключивших договор автокаско на следующие группы риска: 1 группа – низкий риск; 2 группа - средний; 3 группа – высокий риск. Среди клиентов страховой компании 25% - первой группы; 65% - второй группы; 10% - третьей группы. Вероятность того, что страховое событие произойдет и страховая компания будет вынуждена выплатить страховое возмещение для первой группы риска оценивается как 0,1; для второй группы – 0,2; для третьей – 0,3. Какова вероятность того, что случайно выбранный клиент, получивший страховое возмещение, относится к группе среднего риска?

20. Работа сотрудников торгового зала супермаркета организована в две смены. В первой смене работают 5 мужчин и 7 женщин, во второй смене – 9 мужчин и 10 женщин. Из второй смены в первую был переведен один сотрудник. Клиент супермаркета пригласил сотрудника торгового зала для консультации. Консультировал клиента сотрудник – мужчина. Какова вероятность того, что из второй смены в первую была переведена женщина?

Похожая информация.

Акции Сбербанка РФ выросли на 80% с начала года. Многие эксперты говорят, что ценные бумаги банка сохраняют потенциал роста котировок. Но с такой позицией согласны не все. "ДП" разбирался, стоит ли тратить деньги на Сбербанк или нет.

Несмотря на впечатляющий рост котировок - на 35% с начала октября и на 80% с начала года, обыкновенные акции Сбербанка имеют еще потенциал роста, считают опрошенные "ДП" аналитики. Среди других привлекательных бумаг финансового сектора они называют привилегированные акции и бумаги . По их словам, фундаментальные факторы пока говорят в пользу покупки бумаг российских банков. Консенсус–прогноз оставляет некоторым из них потенциал роста до 50%.

Откат от максимума

По итогам торгов во вторник, 8 декабря, на обыкновенные акции Сбербанка стоили 97 рублей, привилегированные - 71 рубль за штуку. За день бумаги потеряли в цене 6 и 4,22% соответственно. После достижения максимума на уровне 110,7 рубля 24 ноября обыкновенные акции Сбербанка за 2 недели подешевели на 12%.

В начале недели глава РФ сообщил о том, что Россия в одностороннем порядке отказывается от развития экономических проектов с Турцией. Во вторник, 8 декабря, премьер–министр Турции Ахмет Давутоглу рассказал о том, что правительство его страны всерьез обсуждает введение санкций против России. Между тем Сбербанку в Турции принадлежит 99,85% акций DenizBank. Участники рынка, видимо, считают слабой вероятность введения санкций Турцией. Во всяком случае снижение цены банковской "голубой фишки" было недолгим. К концу недели цена обыкновенных акций компании снова прошла отметку 100 рублей наверх.

Поток хороших новостей

В последние недели покупателей радовали как корпоративные новости банка, так и слухи вокруг него.

По итогам 9 месяцев 2015 года по МСФО Сбербанк показал снижение чистой прибыли до 65,1 млрд рублей, то есть на 8,2% по сравнению с аналогичным периодом прошлого года. Однако в III квартале 2015 года увеличился портфель ипотечных кредитов, улучшилась операционная эффективность бизнеса. Международное рейтинговое агентство на прошлой неделе повысило прогноз рейтинга Сбербанка с "негативного" на "стабильный".

Кроме того, в октябре наблюдательный совет банка одобрил новые правила расчета бонусов для топ–менеджеров. Выплаты 19 руководителям Сбербанка будут зависеть от роста курсовой стоимости его акций, а не от размера прибыли, как было раньше. Переменная часть компенсации администрации будет на 40% привязана к рыночной цене акций банка, а ее выплата отложена на 3 года.

Участники рынка также приветствуют возможную приватизацию части акций банка. О возможности такой сделки заявлял в конце ноября глава Сбербанка . По его мнению, государству достаточно было бы оставить себе пакет 25% акций Сбербанка вместо контрольного. Очевидно, что такой шаг будет воспринят участниками рынка позитивно, но, по оценкам экспертов, в ближайшее время государство на такую сделку не пойдет.

"Обычно частные компании развиваются лучше государственных. Но сейчас, на мой взгляд, не подходящий момент для подобных решений - правительство не сможет получить хорошую цену за свой пакет акций Сбербанка", - полагает Богдан Зварич, аналитик ИК "Финам".

Экономика поддержит банки

Аналитики Citybank по итогам отчетности Сбербанка по МСФО за 9 месяцев 2015 года и комментариев менеджмента повысили свои прогнозы относительно рентабельности банка и пересмотрели справедливую оценку стоимости его обыкновенных акций до 130 рублей. "В III квартале темпы спада ВВП России замедлились до 0,3% относительно предыдущего квартала. Наши экономисты ожидают, что в IV квартале российская экономика достигнет дна и вырастет на 0,5% в 2016 году", - говорится в отчете экспертов City. По их мнению, рост экономики поспособствует восстановлению выручки банков в следующем году.

Другие участники рынка более сдержанны в оценках.

"Сильные позиции Сбербанка на локальном рынке и успешный опыт работы нивелируются страновыми и геополитическими рисками", - считает Ольга Найденова, аналитик ФГ БКС. Она оценивает целевой уровень обыкновенной акции Сбербанка в 120 рублей.

Аналитики Barclays Capital и вовсе останавливают прогноз на 103 рублях за одну голосующую бумагу, отмечая, что восстановление экономики, а вместе с ней и позиций Сбербанка будет идти плавно и займет существенный период времени.

Отдельно стоит упомянуть неголосующие акции Сбербанка, эксперты дают им ориентиры для роста от 91 до 120 рубля за бумагу. Менеджмент банка заявил о том, что рассматривает возможность вернуться к своей практике выплат 20% чистой прибыли по итогам года в виде дивидендов. Напомним, что по итогам 2014 года банк поделился лишь 3,5% от своей чистой прибыли с акционерами. Герман Греф в начале октября предположил, что чистая прибыль банка по итогам 2015 года снизится примерно на 30%, то есть ее размер по РСБУ может составить около 214 млрд рублей.

Перспективный актив

Кроме Сбербанка в финансовом секторе аналитики ведущих инвестиционных домов называют потенциально выгодными акции ПАО "Банк Санкт–Петербург". По итогам торгов 9 декабря акция этого эмитента на Московской бирже стоила 41,7 рубля. Между тем ее справедливую стоимость эксперты оценивают гораздо выше. Например, аналитик Дэвид Нагл из ООО "КБ "Ренессанс Капитал" называет целевым уровень по бумагам банка 73 рубля за штуку.

"В отличие от многих конкурентов, банк "Санкт–Петербург" закончит год с положительным результатом по прибыли, а в следующем способен увеличить ее в 1,5 раза", - считает Анна Устинова. Долгосрочной целью котировок акций банка она называет 52–54 рубля.

Сбербанку с 2012 года принадлежит 99,85% акций турецкого банка DenizBank. Это крупнейшее приобретение за 172–летнюю историю российского банка. DenizBank входит в десятку крупнейших частных банков в Турции, функционирует на территории всей страны, управляя более чем 600 отделениями. В 2015 году DenizBank заработал для Сбербанка почти 18 млрд рублей. Доля DenizBank в чистой прибыли российского банка за 9 месяцев 2015 года составила более 12%.

Часто мы начинаем анализ вероятностей, имея предварительные, априорные значения вероятностей интересующих нас событий. Затем из источников информации, таких как выборка, отчет, опыт и т. д., мы получаем дополнительную информацию об интересующем нас событии. Имея эту новую информацию, мы можем уточнить, пересчитать значения априорных вероятностей. Новые значения вероятностей для тех же интересующих нас событий будут уже апостериорными (послеопытными) вероятностями. Теорема Байеса дает нам правило для вычисления таких вероятностей.

Пусть событие А может осуществиться лишь вместе с одним из событий Н1, Н2, H3, ..., Hn, образующих полную группу. Пусть известны вероятности Р(Н1), Р(Н2), ..., Р(Нi), ..., Р(Нn). Так как события Нi образуют полную группу, то

а также известны и условные вероятности события А:

Так как заранее неизвестно, с каким из событий Нi произойдет событие А, то события Нi, называют гипотезами.

Необходимо определить вероятность события А и переоценить вероятности событий Нi с учетом

полной информации о событии А.

Вероятность события А определяется как

Эта вероятность называется полной вероятностью. Если событие А может наступить только вместе с одним из событий Н1,Н2 ,Н3, ..., Нn, образующих полную группу несовместных событий и называемых гипотезами, то вероятность события А равна сумме произведений вероятностей каждого из событий Н1, Н2, ..., Нn на соответствующую условную вероятность события А.

Условные вероятности гипотез вычисляются по формуле

Это - формулы Байеса (по имени английского математика Т.Байеса, опубликовавшего их в 1764 г.),

выражение в знаменателе - формула полной вероятности.

Пример 1. Предприятие, производящее компьютеры, получает одинаковые ЧИПы от 2 поставщиков. 1-й поставляет 65% ЧИПов, 2-й - 35%. Известно, что качество поставляемых ЧИПов разное. На основании предыдущих данных о рейтингах качества составлена табл. 3.1.

Таблица 3.1

Поставщик

% качественной продукции

1-й поставщик

2-й поставщик

Предприятие осуществляет гарантийный ремонт компьютеров. Имея данные о числе компьютеров, поступающих на гарантийный ремонт в связи с неисправностью ЧИПов, переоцените вероятности того, что возвращенный для ремонта компьютер укомплектован ЧИПом: а) от 1-го поставщика; б) от

2-го поставщика.

Решение задач с использованием формул полной вероятности и Байеса удобнее оформлять в виде табл. 3.2.

Таблица 3.2

Шаг 1. В колонке 1 перечисляем события, которые задают априорную информацию в контексте решаемой проблемы: Соб. Н1 - ЧИП от 1-го поставщика; Соб. Н2 - ЧИП от 2-го поставщика. Это - гипотезы и они образуют полную группу независимых и несовместных событий.

В колонке 2 записываем вероятности этих событий:

Р(Н1) = 0,65, Р(Н2) = 0,35.

В колонке 3 определим условные вероятности события А - «ЧИП бракованный» для каждой из гипотез.

Шаг 2. В колонке 4 находим вероятности для событий «ЧИП от 1-го поставщика и он бракованный»

и «ЧИП от 2-го поставщика и он бракованный». Они определяются по правилу умножения вероятностей путем перемножения значений колонок 2 и 3. Поскольку сформулированные события

являются результатом пересечения двух событий А и Нi, то их вероятности называют совместными:

Р(Нi ∩ А) = Р(Нi)Р(А/Нi).

Шаг 3. Суммируем вероятности в колонке 4 для того, чтобы найти вероятность события А. В нашем

примере 0,0130 - вероятность поставки некачественного ЧИПа от 1-го поставщика, 0,0175 - вероятность поставки некачественного ЧИПа от 2-го поставщика. Поскольку, как мы уже сказали выше, ЧИПы поступают только от 2 поставщиков, то сумма вероятностей 0,0130 и 0,0175 показывает, что

0,0305 есть вероятность бракованного ЧИПа в общей поставке, определяемая с помощью формулы (3.1)

Шаг 4. В колонке 5 вычисляем апостериорные вероятности, используя формулу (3.2):

Заметим, что совместные вероятности находятся в строках колонки 4, а вероятность события А как сумма колонки 4 (табл. 3.3).

Таблица 3.3

Гипотезы	Вероятности
Гипотезы	априорные	Условные	Совместные	апостериорные

ЧИП от 1-го поставщика ЧИП от 2-го поставщика

Пример 2. Экономист полагает, что вероятность роста стоимости акций некоторой компании в следующем году будет равна 0,75, если экономика страны будет на подъеме; и эта же вероятность будет равна 0,30, если экономика страны не будет успешно развиваться. По его мнению, вероятность экономического подъема в новом году равна 0,80. Используя предположения экономиста, оцените вероятность того, что акции компании поднимутся в цене в следующем году.

Решение. Определим события:

А - «Акции компании поднимутся в цене в будущем году». Событие А может произойти только вместе с одной из гипотез: Н1 - «Экономика страны будет на подъеме»;

Н2 - «Экономика страны не будет успешно развиваться».

По условию известны вероятности гипотез:

Р(Н1) = 0,80; Р(Н2) = 0,20 и условные вероятности события А:

Р(А/Н1)= 0,75; Р(А/Н2)= 0,30.

Гипотезы образуют полную группу, сумма их вероятностей равна 1. Рассмотрим событие А - это или Н1А, или Н2А. События Н1А и Н2А - несовместные попарно, так как события Н1 и Н2 - несовместны.

События Н1 и А, Н2 и А - зависимые. Вышеизложенное позволяет применить для определения

искомой вероятности события А формулу полной вероятности

Р(А) = Р(Н1)Р(А/Н1) + Р(Н2)Р(А/Н2) = == 0,80 · 0,75 + 0,20 · 0,30 = 0,66.

Решение оформим в виде табл. 3.4.

Таблица 3.4

Вероятность того, что акции компании поднимутся в цене в следующем году, составляет 0,66.

Ответ. 0,66.

Пример 3. Экономист полагает, что в течение периода активного экономического роста американ- ский доллар будет расти в цене с вероятностью 0,70, в период умеренного экономического роста он по- дорожает с вероятностью 0,40 и при низких темпах экономического роста доллар подорожает с вероят- ностью 0,20. В течение любого периода времени вероятность активного экономического роста - 0,30; умеренного экономического роста - 0,50 и низкого роста - 0,20. Предположим, что доллар дорожает в течение текущего периода. Чему равна вероятность того, что анализируемый период совпал с пери- одом активного экономического роста?

Решение. Определим события:

А - «Доллар дорожает». Оно может произойти только вместе с одной из гипотез:

Н1 - «Активный экономический рост»;

Н2 - «Умеренный экономический рост»;

Н3 - «Низкий экономический рост». По условию известны доопытные (априорные) вероятности

гипотез и условные вероятности события А:

Р(Н1) = 0,30, Р(Н2) = 0,50, Р(Н3) = 0,20, Р(А/Н1) = 0,70, Р(А/Н2) = 0,40, Р(А/Н3) = 0,20.

Гипотезы образуют полную группу, сумма их вероятностей равна 1. Событие А - это или Н1А, или Н2А, или Н3А. События Н1А, Н2А. и Н3А. - несовместные попарно, так как события Н1, Н2 и Н3 - несовместны. События Н1 и А, Н2 и А, Н3 и А - зависимые.

Требуется найти уточненную (послеопытную, апостериорную) вероятность первой гипотезы, т. е.

необходимо найти вероятность активного экономического роста, при условии, что доллар дорожает

(событие А уже произошло), т. е. Р(Н1/А).

Используя формулу Байеса (3.2) и подставляя заданные значения вероятностей, имеем

Мы можем получить тот же результат с помощью табл. 3.5.

Вероятность активного экономического роста, при условии, что доллар дорожает, составляет 0,467.

Таблица 3.5

Для более наглядного восприятия решения нашей задачи мы можем также построить дерево ре-

Пример 4. В каждой из двух урн содержится 6 черных и 4 белых шара. Из 1-й урны во 2-ю наудачу переложен один шар.

а) Найти вероятность того, что шар, извлеченный из 2-й урны после перекладывания, окажется черным.

б) Предположим, что шар, извлеченный из 2-й урны после перекладывания, оказался черным. Какова тогда вероятность того, что из 1-й урны во 2-ю был переложен белый шар?

Решение. Определим события:

А - «Шар, извлеченный из 2-й урны, черный». Оно может произойти только вместе с одной из ги-

Н1 - «Из 1-й урны во 2-ю урну переложили черный шар» и Н2 - «Из 1-й урны во 2-ю переложили белый шар».

Используя классическое определение вероятности, найдем вероятности гипотез

Р(Н1) = 6/10; Р(Н2) = 4/10

и условные вероятности события А.

После перекладывания во 2-й урне окажется 11 шаров. Если из 1-й урны во 2-ю переложили черный шар, то во 2-й урне окажется 7 черных и 4 белых шаров, тогда

Р(А/Н1) = 7/11.

Если из 1-й урны во 2-ю переложили белый шар, то во 2-й урне окажется 6 черных и 5 белых шаров,

Р(А/Н2) = 6/11.

1. Вышеизложенное позволяет применить для определения вероятности события А и ответа на 1-й вопрос формулу полной вероятности (3.1)

Р(А) = Р(Н1) Р(А/Н1) + Р(Н2) Р(А/Н2)= = 6/10 · 7/11 + 4/10 · 6/11 = 0,6.

Это же решение можно оформить в виде табл. 3.6.

Таблица 3.6

Гипотезы Нi			Р(Нi)Р(А/Нi)
Н1- «из 1-й урны во 2-ю переложили черный шар»
Н2- «из 1-й урны во 2-ю переложили белый шар»

Вероятность того, что шар, извлеченный из 2-й урны после перекладывания, окажется черным,

составляет 0,6.

2. Во 2-й части задачи предполагается, что событие А уже произошло, т. е. шар, извлеченный из 2-й урны, оказался черным. Требуется найти уточненную (послеопытную, апостериорную) вероятность 2-й гипотезы, т. е. необходимо определить вероятность того, что из 1-й урны во 2-ю был переложен белый шар при условии, что шар, извлеченный из 2-й урны после перекладывания, оказался черным:

Для определения искомой вероятности воспользуемся формулой Байеса (3.2)

Мы можем получить тот же результат с помощью табл. 3.7.

Таблица 3.7

Вероятность того, что из 1-й урны во 2-ю был переложен белый шар при условии, что шар,

извлеченный из 2-й урны после перекладывания, оказался черным, составляет 0,3636.

Ответ. а) 0,6; б) 0,3636.

Задачи к теме 3

1. Директор компании имеет 2 списка с фамилиями претендентов на работу. В 1-м списке - фамилии 6 женщин и 3 мужчин. Во 2-м списке оказались 4 женщины и 7 мужчин. Фамилия одного из претендентов случайно переносится из 1-го списка во 2-й. Затем фамилия одного из претендентов случайно выбирается из 2-го списка. Если предположить, что эта фамилия принадлежит мужчине, чему равна вероятность того, что из 1-го списка была перенесена фамилия женщины?

2. Агент по недвижимости пытается продать участок земли под застройку. Он полагает, что участок будет продан в течение ближайших 6 месяцев с вероятностью 0,9, если экономическая ситуация в регионе не будет ухудшаться. Если же экономическая ситуация будет ухудшаться, то вероятность продать участок составит 0,5. Экономист, консультирующий агента, полагает, что с вероятностью, равной 0,7, экономическая ситуация в регионе в течение следующих 6 месяцев будет ухудшаться. Чему равна вероятность того, что участок будет продан в течение ближайших 6 месяцев?

компания получит прибыль. Эксперт по туризму, нанятый компанией, предсказывает, что вероятность того, что корабль будет полон в течение сезона, будет равна 0,92, если доллар не подорожает по отношению к рублю, и с вероятностью - 0,75, если доллар подорожает. По оценкам экономистов, вероятность того, что в течение сезона доллар подорожает по отношению к рублю, равна

0,23. Чему равна вероятность того, что билеты на все круизы будут проданы?

4. В корпорации обсуждается маркетинг нового продукта, выпускаемого на рынок. Исполнительный директор корпорации желал бы, чтобы новый товар превосходил по своим характеристикам соответствующие товары конкурирующих фирм. Основываясь на предварительных оценках экспертов, он определяет вероятность того, что новый товар более высокого качества по сравнению с аналогичными в 0,5, такого же качества - в 0,3, хуже по качеству - в 0,2. Опрос рынка показал, что новый товар конкурентоспособен. Из предыдущего опыта проведения опросов следует, что если товар действительно конкурентоспособный, то предсказание такого же вывода имеет вероятность, равную 0,7. Если товар такой же, как и аналогичные, то вероятность того, что опрос укажет на его превосходство, равна 0,4. И если товар более низкого качества, то вероятность того, что опрос укажет на его конкурентоспособность, равна 0,2. С учетом результата опроса оцените вероятность того, что товар действительно более высокого качества и, следовательно, обладает более высокой конкурентоспособностью, чем аналогичные.

5. Сотрудники отдела маркетинга полагают, что в ближайшее время ожидается рост спроса на продукцию фирмы. Вероятность этого они оценивают в 80%. Консультационная фирма, занимающаяся прогнозом рыночной ситуации, подтвердила предположение о росте спроса. Положительные прогнозы консультационной фирмы сбываются с вероятностью 95%, а отрицательные - с вероятностью 99%. Какова вероятность того, что рост спроса действительно произойдет?

6. Исследователь рынка заинтересован в проведении интервью с супружескими парами для выяснения их предпочтений к некоторым видам товаров. Он приходит по выбранному адресу, попадает в трехквартирный дом и по надписям на почтовых ящиках выясняет, что в 1-й квартире живут 2 мужчин, во 2-й - супружеская пара, в 3-й - 2 женщины. Когда исследователь поднимается по лестнице, то выясняется, что на дверях квартир нет никаких указателей. Исследователь звонит в случайно выбранную дверь и на его звонок выходит женщина. Предположим, что если бы он позвонил в дверь квартиры, где живут 2 мужчин, то к двери мог подойти только мужчина; если бы он позвонил в дверь квартиры, где живут только женщины, то к двери подошла бы только женщина; если бы он позвонил в дверь супружеской пары, то мужчина или женщина имели бы равные шансы подойти к двери. Имея эту информацию, оцените вероятность того, что исследователь выбрал нужную ему дверь.

7. Среди студентов института - 30% первокурсники, 35% студентов учатся на 2-м курсе, на 3-м и 4- м курсе их 20% и 15% соответственно. По данным деканатов известно, что на первом курсе 20% студентов сдали сессию только на отличные оценки, на 2-м - 30%, на 3-м - 35%, на 4-м - 40% отличников. Наудачу вызванный студент оказался отличником. Чему равна вероятность того, что он (или она) - третьекурсник?

8. Отдел менеджмента одного из супермаркетов разрабатывает новую кредитную политику с целью снижения числа тех покупателей, которые, получая кредит, не выполняют своих платежных обязательств. Менеджер по кредитам предлагает в будущем отказывать в кредитной поддержке тем покупателям, которые на 2 недели и более задерживают очередной взнос, тем более что примерно 90% таких покупателей задерживают платежи, по крайней мере, на 2 месяца.

Дополнительные исследования показали, что 2% всех покупателей товаров в кредит не только задерживают очередной взнос, но и вообще не выполняют своих обязательств, а 45% тех, кто уже имеют 2-месячную задолженность по кредиту, уплатил очередной взнос в данный момент. Учитывая все это, найти вероятность того, что покупатель, имеющий 2-месячную задолженность, в действительности не выполнит своих платежных обязательств по кредиту. Проанализировав полученные вероятности, критически оцените новую кредитную политику, разработанную отделом менеджмента.

9. Из числа авиалиний некоторого аэропорта 60% - местные, 30% - по СНГ и 10% -

международные. Среди пассажиров местных авиалиний 50% путешествуют по делам, связанным с бизнесом, на линиях СНГ таких пассажиров 60%, на международных - 90%. Из прибывших в аэропорт пассажиров случайно выбирается 1. Чему равна вероятность того, что он: а) бизнесмен; б) прибыл из стран СНГ по делам бизнеса; в) прилетел местным рейсом по делам бизнеса; г) прибывший международным рейсом бизнесмен?

10. Нефтеразведочная экспедиция проводит исследования для определения вероятности наличия нефти на месте предполагаемого бурения скважины. Исходя из результатов предыдущих исследований, нефтеразведчики считают, что вероятность наличия нефти на проверяемом участке равна 0,4. На завершающем этапе разведки проводится сейсмический тест, который имеет определенную степень надежности: если на проверяемом участке есть нефть, то тест укажет на ее наличие в 85% случаев; если нефти нет, то в 10% случаев тест может ошибочно указать на это. Сейсмический тест указал на присутствие нефти. Чему равна вероятность того, что запасы нефти на данном участке существуют реально?

11. Экспортно-импортная фирма собирается заключить контракт на поставку сельскохозяйственного оборудования в одну из развивающихся стран. Если основной конкурент фирмы не станет одновременно претендовать на заключение контракта, то вероятность получения контракта оценивается в 0,45; в противном случае - в 0,25. По оценкам экспертов компании вероятность того, что конкурент выдвинет свои предложения по заключению контракта, равна 0,40. Чему равна вероятность заключения контракта?

12. Транснациональная компания обсуждает возможности инвестиций в некоторое государство с неустойчивой политической ситуацией. Менеджеры компании считают, что успех предполагаемых инвестиций зависит, в частности, и от политического климата в стране, в которую предполагается вливание инвестиционных средств. Менеджеры оценивают вероятность успеха (в терминах годового дохода от субсидий в течение 1-го года работы) в 0,55, если преобладающая политическая ситуация будет благоприятной; в 0,30, если политическая ситуация будет нейтральной; в 0,10, если политическая ситуация в течение года будет неблагоприятной. Менеджеры компании также полагают, что вероятности благоприятной, нейтральной и неблагоприятной политических ситуаций соответственно равны: 0,60, 0,20 и 0,20. Чему равна вероятность успеха инвестиций?

13. Экономист-аналитик условно подразделяет экономическую ситуацию в стране на «хорошую»,

«посредственную» и «плохую» и оценивает их вероятности для данного момента времени в 0,15; 0,70 и

0,15 соответственно. Некоторый индекс экономического состояния возрастает с вероятностью 0,60,

когда ситуация «хорошая»; с вероятностью 0,30, когда ситуация «посредственная», и с вероятностью

0,10, когда ситуация «плохая». Пусть в настоящий момент индекс экономического состояния возрос.

Чему равна вероятность того, что экономика страны на подъеме?

14. При слиянии акционерного капитала 2 фирм аналитики фирмы, получающей контрольный пакет акций, полагают, что сделка принесет успех с вероятностью, равной 0,65, если председатель совета директоров поглощаемой фирмы выйдет в отставку; если он откажется, то вероятность успеха будет равна 0,30. Предполагается, что вероятность ухода в отставку председателя составляет 0,70. Чему равна вероятность успеха сделки?

15. На химическом заводе установлена система аварийной сигнализации. Когда возникает аварийная ситуация, звуковой сигнал срабатывает с вероятностью 0,950. Звуковой сигнал может сработать случайно и без аварийной ситуации с вероятностью 0,02. Реальная вероятность аварийной ситуации равна 0,004. Предположим, что звуковой сигнал сработал. Чему равна вероятность реальной аварийной ситуации?

16. Вероятность того, что клиент банка не вернет заем в период экономического роста, равна 0,04, а в период экономического кризиса - 0,13. Предположим, что вероятность того, что начнется период экономического роста, равна 0,65. Чему равна вероятность того, что случайно выбранный клиент банка не вернет полученный кредит?

17. Перед тем, как начать маркетинг нового товара по всей стране, компании-производители часто

проверяют спрос на него по отзывам случайно выбранных потенциальных покупателей. Методы проведения выборочных процедур уже проверены и имеют определенную степень надежности. Для определенного товара известно, что вероятность его возможного успеха на рынке составит 0,75, если товар действительно удачный, и 0,15, если он неудачен. Из прошлого опыта известно, что новый товар может иметь успех на рынке с вероятностью 0,60. Если новый товар прошел выборочную проверку, и ее результаты указали на возможный его успех, то чему равна вероятность того, что это действительно так?

18. 2 автомата производят одинаковые детали, которые поступают на общий конвейер. Производительность 1-го автомата вдвое больше производительности 2-го. 1-й автомат производит в среднем 60% деталей отличного качества, а 2-й - 84% деталей отличного качества. Наудачу взятая с конвейера деталь оказалась отличного качества. Найти вероятность того, что эта деталь изготовлена: а)

1-м автоматом; б) 2-м автоматом.

19. Исследованиями психологов установлено, что мужчины и женщины по-разному реагируют на некоторые жизненные обстоятельства. Результаты исследований показали, что 70% женщин позитивно реагируют на изучаемый круг ситуаций, в то время как 40% мужчин реагируют на них негативно. 15 женщин и 5 мужчин заполнили анкету, в которой отразили свое отношение к предлагаемым ситуациям. Случайно извлеченная анкета содержит негативную реакцию. Чему равна вероятность того, что ее заполнял мужчина?

20. Вероятность того, что новый товар будет пользоваться спросом на рынке, если конкурент не выпустит в продажу аналогичный продукт, равна 0,67. Вероятность того, что товар будет пользоваться спросом при наличии на рынке конкурирующего товара, равна 0,42. Вероятность того, что конкурирующая фирма выпустит аналогичный товар на рынок в течение интересующего нас периода, равна 0,35. Чему равна вероятность того, что товар будет иметь успех?

Задача №1 (1).

Условие:

Вариант 1. P 6 , P 8 , A 6 2 , A 8 5 , C 6 2 , C 8 5 .

Решение:

P 6 = 6! = 6∙5∙4∙3∙2∙1 = 720 P 8 = 8! = 8∙7∙6∙5∙4∙3∙2∙1 = 40320

6∙5 = 30 == 8∙7∙6 = 336

15 = = = 56

Задача №2 (2).

Условие:

В ящике случайным образом находится 10 рубашек, причем 4 из них высшего сорта. Покупатель берет наудачу 3 из них. Найти вероятность того, что из взятых рубашек окажется высшего сорта хотя бы 1 рубашка.

Решение:

Способ 1:

А - событие взятия 1 рубашки высшего сорта

B - событие взятия 2 рубашек высшего сорта

C - событие взятия 3 рубашек высшего сорта

R - событие взятия хотя бы одной рубашки высшего сорта

(A) =====(B) =====(C) =====(R) = P(A) + P(B) + P(C) = ++ =

2 способ :

А - событие взятия хотя бы одной рубашки высшего сорта

Ни одна из рубашек высшего сорта не взята

P(A) + P() = 1 P(A) = 1 - P()() = = = P(A) = 1 - =

Задача №3 (1).

Условие :

Имеется 3 партии деталей по 30 деталей в каждой. Число стандартных деталей в первой партии - 30, во второй - 20, в третей партии - 15. Из наудачу выбранной партии наудачу извлекают деталь, оказавшуюся стандартной. Деталь возвращают в партию и вторично из той же партии извлекают деталь, тоже оказавшуюся стандартной. Найти вероятность того, что детали извлекались из третей партии.

Решение:

А - событие извлечения стандартной детали в каждом из двух испытаний

В 1 - детали извлекались из первой партии

В 2 - детали извлекались из второй партии

В 3 - детали извлекались из третей партии

Так как детали извлекались из наудачу взятой партии, то P(B1) = P(B2) = P(B3) =

(А) = 1 - вероятность извлечения стандартных деталей из 1 партии

(А) = ∙ = - вероятность извлечения стандартных деталей из 2 партии

(А) = ∙ = - вероятность извлечения стандартных деталей из 3 партии

P A (B 3) = ==∙=

Задача №4 (3).

Условие:

Отдел технического контроля проверяет на стандартность 1000 деталей. Вероятность, что деталь стандартна, равна 0.9. Найти с вероятностью 0.95 границы, в которых будет заключено m стандартных деталей среди проверенных.

Решение:

P = 0.9 - вероятность того, что деталь стандартна

q = 1-P = 0.1 - вероятность того, что деталь нестандартна

Вероятность того, что абсолютная величина отклонения относительной частоты стандартных деталей от числа P не превысит положительного числа ε, определяется из удвоенной формулы Лапласа:

Ф(105ε) = =0.475

По таблице значений функции Ф(х) находим, что х = 1.96. Откуда 105ε = 1.96, значит ε ≈ 0,0186.

Таким образом, границы, в которых будет заключено m стандартных деталей среди проверенных, удовлетворяет равенству:

≤0,0186 или 0,8814≤≤0,9186

Отсюда искомое число стандартных деталей среди 1000 проверенных с вероятностью Q = 0.95 заключено в границах

≤m ≤917

Задача №5 (4).

Условие:

Экономист считает, что вероятность роста стоимости акций компании в следующем году составит 0.8, если экономика страны будет на подъёме, и 0.25, если экономика не будет успешно развиваться. По мнению экспертов, вероятность экономического подъёма равна 0.55. Оценить вероятность того, что акции компании поднимутся в следующем году.

Решение:

А - событие, что акции компании поднимутся в следующем году

Н 1 - событие, что экономика страны будет на подъёме

H 2 - событие, что экономика страны не будет успешно развиваться

События Н 1 и Н 2 образуют полную группу событий. Так как:

P(H 1) = 0.55 - вероятность того, что экономика страны будет на подъёме

P(H 2) = 0.45 - вероятность того, что экономика страны не будет успешно развиваться

0.8 - вероятность роста акций при подъёме экономики страны

0.25 - вероятность роста акций при неуспешном развитии экономики страны

По формуле полной вероятности получим:

P(A) = ∙P(H 1) + ∙P(H 2) = 0.8∙0.55+0.25∙0.45 = 0.44+0.1125 = 0,5525

Задача №6 (5).

Условие:

Инвестор вложил капитал в ценные бумаги двух финансовых фирм. При этом он надеется получить доход в течении обусловленного времени от первой фирмы с вероятностью 0.88, от второй - с вероятностью 0.85. Однако есть возможность банкротства фирм независимо друг от друга, которая оценивается для первой фирмы вероятностью 0.16, для второй - 0.018. В случае банкротства инвестор получает только вложенный капитал. Какова вероятность получить прибыль?

вероятность значение степень оценка

А - событие получения инвестором прибыли

В 1 - событие банкротства первой фирмы

В 2 - событие банкротства второй фирмы

С 1 = В 1 ∙ - событие банкротства только первой фирмы

С 2 = ∙В 2 - событие банкротства только второй фирмы

С 3 = В 1 ∙В 2 - событие банкротства обеих фирм

С 4 = ∙ - событие работы обеих фирм

Р(В 1) = 0.16 - вероятность банкротства первой фирмы

Р(В 2) = 0.018 - вероятность банкротства второй фирмы

Р С1 (А) = 0.85 - вероятность получения прибыли при банкротстве только первой фирмы

Р С2 (А) = 0.88 - вероятность получения прибыли при банкротстве только второй фирмы

Р С3 (А) = 0 - вероятность получения прибыли при банкротстве обеих фирм

Р С4 (А) = 1 - вероятность получения прибыли при работе обеих фирм

Р(С 1) = 0.16∙0.982 = 0.1571 - вероятность банкротства первой фирмы

Р(С 2) = 0.84∙0.018 = 0.0151 - вероятность банкротства второй фирмы

Р(С 3) = 0.16∙0.018 = 0.0029 - вероятность банкротства обеих фирм

Р(С 4) = 0.84∙0.982 = 0.8223 - вероятность работы двух фирм

Тогда по формуле полной вероятности получим:

P(A) = P C1 (A)∙P(C 1)+ P C2 (A)∙P(C 2)+ P C3 (A)∙P(C 3)+ P C4 (A)∙P(C 4) =

0.85∙0.1571+0.88∙0.0151+0∙0.0029+1∙0.8223 = 0.1335+0.0133+0+0.8223 = 0,9691

Задача №7 (1).

Условие:

Вероятность выигрыша по лотерейному билету равна 0.04. Какова вероятность того, что среди купленных 15 билетов окажется 3 выигрышных?

Решение:

Требуется найти вероятность n=3 успехов из N=15 испытаний Бернулли с вероятностью успеха р=0.04. По формуле Бернулли эта вероятность равна:

P 15 (3) = =∙0.04 3 ∙0.96 12 =455∙0.000064∙0.613=0.018

=55 и дисперсией D X =4. Найти вероятность того, что цена актива будет находиться в пределах от Х 1 =53 до Х 2 =57 ден. единиц.- = + = Ф (23,04) = 0,5