Свойства натуральных логарифмов формулы. Свойства логарифмов и примеры их решений

Функция LN в Excel предназначена для расчета натурального логарифма числа и возвращает соответствующее числовое значение. Натуральным логарифмом является логарифм с основанием e (число Эйлера, равное примерно 2,718).

Функция LOG в Excel используется для расчета логарифма числа, при этом основание логарифма может быть указано явно в качестве второго аргумента данной функции.

Функция LOG10 в Excel предназначена для расчета логарифма числа с основанием 10 (десятичный логарифм).

Примеры использования функций LN, LOG и LOG10 в Excel

Археологи нашли останки древнего животного. Для определения их возраста было решено воспользоваться методом радиоуглеродного анализа. В результате замеров оказалось, что содержание радиоактивного изотопа C 14 составило 17% от количества, которое обычно содержится в живых организмах. Рассчитать возраст останков, если период полураспада изотопа углерода 14 составляет 5760 лет.

Вид исходной таблицы:

Для решения используем следующую формулу:

Данная формула была получена на основе формулы x=t*(lgB-lgq)/lgp, где:

• q – количество изотопа углерода в начальный момент (в момент смерти животного), выраженное единицей (или 100%);
• B – количество изотопа в момент проведения анализа останков;
• t – период полураспада изотопа;
• p – числовое значение, указывающее, во сколько раз изменяется количество вещества (изотопа углерода) за период времени t.

В результате вычислений получим:

Найденным останкам почти 15 тыс. лет.



Депозитный калькулятор со сложным процентом в Excel

Клиент банка внес депозит на сумму 50000 рублей с процентной ставкой 14,5% (сложные проценты). Определить, сколько времени потребуется на удвоение вложенной суммы?

Интересный факт! Для быстрого решения данной задачи можно воспользоваться эмпирическим способом приблизительной оценки сроков (в годах) на удвоение инвестиций, вложенных под сложный процент. Так называемое правило 72 (или 70 или правило 69). Для этого нужно воспользоваться простой формулой – число 72 разделить на процентную ставку: 72/14,5 = 4,9655 лет. Главный недостаток правила «магического» числа 72 заключается в погрешности. Чем выше процентная ставка, тем выше погрешность в правиле 72. Например, при процентной ставки 100% годовых погрешность в годах достигает до 0,72 (а в процентах это аж 28%!).

Для точного расчета сроков удвоения инвестиций будем использовать функцию LOG. За одно и проверим величину погрешности правила 72 при процентной ставке 14,5% годовых.

Вид исходной таблицы:

Для расчета будущей стоимости инвестиции при известной процентной ставке можно использовать следующую формулу: S=A(100%+n%) t , где:

• S – ожидаемая сумма по истечению срока;
• A – размер депозита;
• n – процентная ставка;
• t – срок хранения депозитных средств в банке.

Для данного примера эту формулу можно записать как 100000=50000*(100%+14,5%) t или 2=(100%+14,5%) t . Тогда для нахождения t можно переписать уравнение как t=log (114,5%) 2 или t=log 1,1452 .

Для нахождения значения t запишем следующую формулу сложного процента по депозиту в Excel:

LOG(B4/B2;1+B3)

Описание аргументов:

• B4/B2 – соотношение ожидаемой и начальной сумм, которое является показателем логарифма;
• 1+B3 – прирост процентов (основание логарифма).

В результате расчетов получим:

Депозит удвоится спустя немного более чем 5 лет. Для точного определения лет и месяцев воспользуемся формулой:

Функция ОТБР отбрасывает в дробном числе все что после запятой подобно функции ЦЕЛОЕ. Разница между функциями ОТБР и ЦЕЛОЕ заключается лишь в расчетах с отрицательными дробными числами. Кроме того, ОТБР имеет второй аргумент где можно указать количество оставляемых знаков после запятой. Поэтом в данном случаи можно воспользоваться любой из этих двух функций на выбор пользователя.

Получилось 5 лет и 1 месяц и 12 дней. Теперь сравним точные результаты с правилом 72 и определим величину погрешности. Для данного примера формула, следующая:

Мы должны умножить значение ячейки B3 на 100 так как ее текущее значение 0,145, которое отображается в процентном формате. В результате:

После скопируем формулу из ячейки B6 в ячейку B8, а в ячейке B9:

Посчитаем сроки погрешности:

Затем в ячейку B10 снова скопируем формулу из ячейки B6. В результате получим разницу:

И наконец посчитаем разницу в процентах, чтобы проверить как изменяется размер отклонения и насколько существенно влияет рост процентной ставки на уровень расхождения правила 72 и факта:

Теперь для наглядности пропорциональной зависимости роста погрешности и роста уровня процентной ставки повысим процентную ставку до 100% годовых:

На первый взгляд разница погрешности не существенная по сравнению с 14,5% годовых - всего около 2-ух месяцев и 100% годовых - в пределах 3-х месяцев. Но доля погрешности в сроках окупаемости более чем ¼, а точнее 28%.

Составим простой график для визуального анализа как коррелируется зависимость изменения процентной ставки и процента погрешности правила 72 от факта:

Чем выше процентная ставка, тем хуже работает правило 72. В итоге можно сделать следующий вывод: до 32,2% процентов годовых можно смело пользоваться правилом 72. Тогда погрешность составляет менее 10-ти процентов. Вполне сойдет если не требуются точные, но сложные расчеты по срокам окупаемости инвестиций в 2 раза.

Инвестиционный калькулятор сложных процентов с капитализацией в Excel

Клиенту банка предложили сделать вклад с непрерывным ростом итоговой суммы (капитализация со сложными процентами). Процентная ставка составляет 13% годовых. Определить, сколько потребуется времени, чтобы утроить начальную сумму (250000 рублей). Насколько необходимо увеличить процентную ставку, чтобы уменьшить время ожидания вдвое?

Примечание: так как мы в данном примере утраиваем сумму вложений, то здесь уже правило 72 не работает.

Вид исходной таблицы данных:

Непрерывный рост может быть описан формулой ln(N)=p*t, где:

• N – отношение конечной суммы вклада к начальной;
• p – процентная ставка;
• t – количество лет, прошедших с момента внесения депозита.

Тогда t=ln(N)/p. Исходя из этого равенства запишем формулу в Excel:

Описание аргументов:

• B3/B2 – соотношение конечной и начальной сумм депозита;
• B4 – процентная ставка.

На утроение начальной суммы вклада потребуется почти 8,5 лет. Для расчета ставки, которая позволит сократить время ожидания вдвое, используем формулу:

LN(B3/B2)/(0,5*B5)

Полученный результат:

То есть, необходимо удвоить начальную процентную ставку.

Особенности использования функций LN, LOG и LOG10 в Excel

Функция LN имеет следующий синтаксис:

LN(число )

• число – единственный аргумент, являющийся обязательным для заполнения, который принимает действительные числа из диапазона положительных значений.

Примечания:

1. Функция LN является обратной функцией EXP. Последняя возвращает значение, полученное в результате возведения числа e в указанную степень. Функция LN указывает, в какую степень необходимо возвести число e (основание), чтобы получить показатель логарифма (аргумент число).
2. Если аргумент число задан числом из диапазона отрицательных значений или нулем, результатом выполнения функции LN будет код ошибки #ЧИСЛО!.

Синтаксис функции LOG имеет следующий вид:

LOG(число ;[основание])

Описание аргументов:

• число – обязательный для заполнения аргумент, характеризующий числовое значение показателя логарифма, то есть число, полученное в результате возведения основания логарифма в некоторую степень, которая и будет вычислена функцией LOG;
• [основание] – необязательный для заполнения аргумент, характеризующий числовое значение основания логарифма. Если аргумент явно не указан, логарифм считается десятичным (то есть основание равно 10).

Примечания:

1. Несмотря на то, что результат вычисления функции LOG может являться отрицательным числом (например, функция =LOG(2;0,25) вернет значение -0,5), аргументы данной функции должны быть взяты из диапазона положительных значений. Если хотя бы один из аргументов является отрицательным числом, функция LOG вернет код ошибки #ЧИСЛО!.
2. Если в качестве аргумента [основание] было передано значение 1, функция LOG вернет код ошибки #ДЕЛ/0!, поскольку результат возведения 1 в любую степень будет всегда одинаковым и равным 1.

Функция LOG10 имеет следующую синтаксическую запись:

LOG10(число )

• число – единственный и обязательный для заполнения аргумент, смысл которого тождественен одноименному аргументу функций LN и LOG.

Примечание: если в качестве аргумента число было передано отрицательное число или 0, функция LOG10 вернет код ошибки #ЧИСЛО!.

Логарифмом числа b по основанию а называется показатель степени, в который нужно возвести число а чтобы получить число b.

Если , то .

Логарифм — крайне важная математическая величина , поскольку логарифмическое исчисление позволяет не только решать показательные уравнения, но и оперировать с показателями, дифференцировать показательные и логарифмические функции, интегрировать их и приводить к более приемлемому виду, подлежащему расчету.

Вконтакте

Все свойства логарифмов связаны напрямую со свойствами показательных функций. Например, тот факт, что означает, что:

Следует заметить, что при решении конкретных задач, свойства логарифмов могут оказаться более важными и полезными, чем правила работы со степенями.

Приведем некоторые тождества:

Приведем основные алгебраические выражения:

;

.

Внимание! может существовать только при x>0, x≠1, y>0.

Постараемся разобраться с вопросом, что такое натуральные логарифмы. Отдельный интерес в математике представляют два вида — первый имеет в основании число «10», и носит название «десятичный логарифм». Второй называется натуральным. Основание натурального логарифма — число «е». Именно о нем мы и будем детально говорить в этой статье.

Обозначения:

• lg x — десятичный;
• ln x — натуральный.

Используя тождество можно увидеть, что ln e = 1, как и то, что lg 10=1.

График натурального логарифма

Построим график натурального логарифма стандартным классическим способом по точкам. При желании, проверить правильно ли мы строим функцию, можно при помощи исследования функции. Однако, есть смысл научится строить его «вручную», чтобы знать, как правильно посчитать логарифм.

Функция: y = ln x. Запишем таблицу точек, через которые пройдет график:

Поясним, почему мы выбрали именно такие значения аргумента х. Всё дело в тождестве: . Для натурального логарифма это тождество будет выглядеть таким образом:

Для удобства мы можем взять пять опорных точек:

;

;

.

;

.

Таким образом, подсчет натуральных логарифмов — довольно несложное занятие, более того, он упрощает подсчеты операций со степенями, превращая их в обычное умножение.

Построив по точкам график, получаем приблизительный график:

Область определения натурального логарифма (т.е. все допустимые значения аргумента Х) — все числа больше нуля.

Внимание! В область определения натурального логарифма входят только положительные числа! В область определения не входит х=0. Это невозможно исходя из условий существования логарифма .

Область значений (т.е. все допустимые значения функции y = ln x) — все числа в интервале .

Предел натурального log

Изучая график, возникает вопрос — как ведет себя функция при y<0.

Очевидно, что график функции стремится пересечь ось у, но не сможет этого сделать, поскольку натуральный логарифм при х<0 не существует.

Предел натурального log можно записать таким образом:

Формула замены основания логарифма

Иметь дело с натуральным логарифмом намного проще, чем с логарифмом, имеющим произвольное основание. Именно поэтому попробуем научиться приводить любой логарифм к натуральному, либо выражать его по произвольному основанию через натуральные логарифмы.

Начнем с логарифмического тождества:

Тогда любое число, либо переменную у можно представить в виде:

где х — любое число (положительное согласно свойствам логарифма).

Данное выражение можно прологарифмировать с обеих сторон. Произведем это при помощи произвольного основания z:

Воспользуемся свойством (только вместо «с» у нас выражение):

Отсюда получаем универсальную формулу:

.

В частности, если z=e, то тогда:

.

Нам удалось представить логарифм по произвольному основанию через отношение двух натуральных логарифмов.

Решаем задачи

Для того чтобы лучше ориентироваться в натуральных логарифмах, рассмотрим примеры нескольких задач.

Задача 1 . Необходимо решить уравнение ln x = 3.

Решение: Используя определение логарифма: если , то , получаем:

Задача 2 . Решите уравнение (5 + 3 * ln (x — 3)) = 3.

Решение: Используя определение логарифма: если , то , получаем:

.

Еще раз применим определение логарифма:

.

Таким образом:

.

Можно приближенно вычислить ответ, а можно оставить его и в таком виде.

Задача 3. Решите уравнение .

Решение: Произведем подстановку: t = ln x. Тогда уравнение примет следующий вид:

.

Перед нами квадратное уравнение. Найдем его дискриминант:

Первый корень уравнения:

.

Второй корень уравнения:

.

Вспоминая о том, что мы производили подстановку t = ln x, получаем:

В статистике и теории вероятности логарифмические величины встречаются очень часто. Это неудивительно, ведь число е — зачастую отражает темп роста экспоненциальных величин.

В информатике, программировании и теории вычислительных машин, логарифмы встречаются довольно часто, например для того чтобы сохранить в памяти N понадобится битов.

В теориях фракталов и размерностях логарифмы используются постоянно, поскольку размерности фракталов определяются только с их помощью.

В механике и физике нет такого раздела, где не использовались логарифмы. Барометрическое распределение, все принципы статистической термодинамики, уравнение Циолковского и прочее — процессы, которые математически можно описать только при помощи логарифмирования.

В химии логарифмирование используют в уравнениях Нернста, описаниях окислительно-восстановительных процессов.

Поразительно, но даже в музыке, с целью узнать количество частей октавы, используют логарифмы.

Натуральный логарифм Функция y=ln x ее свойства

Доказательство основного свойства натурального логарифма

Урок и презентация на темы: "Натуральные логарифмы. Основание натурального логарифма. Логарифм натурального числа"

Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.

Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 11 класса
Интерактивное пособие для 9–11 классов "Тригонометрия"
Интерактивное пособие для 10–11 классов "Логарифмы"

Что такое натуральный логарифм

Ребята, на прошлом уроке мы с вами узнали новое, особенное число – е. Сегодня мы продолжим работать с этим числом.
Мы с вами изучили логарифмы и знаем, что в основании логарифма может стоять множество чисел, которые больше 0. Сегодня мы также рассмотрим логарифм, в основании которого стоит число е. Такой логарифм принято называть натуральным логарифмом. У него есть собственная запись: $\ln{n}$ - натуральный логарифм. Такая запись эквивалентна записи: $\log_e{n}=\ln{n}$.
Показательные и логарифмические функции являются обратными, тогда натуральный логарифм, является обратной для функции: $y=e^x$.
Обратные функции являются симметричными относительно прямой $y=x$.
Давайте построим график натурального логарифма, отразив экспоненциальную функцию относительно прямой $y=x$.

Стоит заметить угол наклона касательной к графику функции $y=e^x$ в точке (0;1) равен 45°. Тогда угол наклона касательной к графику натурального логарифма в точке (1;0) также будет равен 45°. Обе эти касательные будут параллельны прямой $y=x$. Давайте схематично изобразим касательные:

Свойства функции $y=\ln{x}$

1. $D(f)=(0;+∞)$.
2. Не является ни четной, ни нечетной.
3. Возрастает на всей области определения.
4. Не ограничена сверху, не ограничена снизу.
5. Наибольшего значения нет, наименьшего значения нет.
6. Непрерывна.
7. $E(f)=(-∞; +∞)$.
8. Выпукла вверх.
9. Дифференцируема всюду.

В курсе высшей математики доказано, что производная обратной функции есть величина, обратная производной данной функции .
Углубляться в доказательство не имеет большого смысла, давайте просто запишем формулу: $y"=(\ln{x})"=\frac{1}{x}$.

Пример.
Вычислить значение производной функции: $y=\ln(2x-7)$ в точке $х=4$.
Решение.
В общем виде наша функция представляют функцию $y=f(kx+m)$, производные таких функций мы умеем вычислять.
$y"=(\ln{(2x-7)})"=\frac{2}{(2x-7)}$.
Вычислим значение производной в требуемой точке: $y"(4)=\frac{2}{(2*4-7)}=2$.
Ответ: 2.

Пример.
Провести касательную к графику функции $y=ln{x}$ в точке $х=е$.
Решение.
Уравнение касательной к графику функции, в точке $х=а$, мы хорошо помним.
$y=f(a)+f"(a)(x-a)$.
Последовательно вычислим требуемые значения.
$a=e$.
$f(a)=f(e)=\ln{e}=1$.
$f"(a)=\frac{1}{a}=\frac{1}{e}$.
$y=1+\frac{1}{e}(x-e)=1+\frac{x}{e}-\frac{e}{e}=\frac{x}{e}$.
Уравнение касательной в точке $х=е$ представляет собой функцию $y=\frac{x}{e}$.
Давайте построим график натурального логарифма и касательной.

Пример.
Исследовать функцию на монотонность и экстремумы: $y=x^6-6*ln{x}$.
Решение.
Область определения функции $D(y)=(0;+∞)$.
Найдем производную заданной функции:
$y"=6*x^5-\frac{6}{x}$.
Производная существует при всех х из области определения, тогда критических точек нет. Найдем стационарные точки:
$6*x^5-\frac{6}{x}=0$.
$\frac{6*x^6-6}{x}=0$.
$6*x^6-6=0$.
$x^6-1=0$.
$x^6=1$.
$x=±1$.
Точка $х=-1$ не принадлежит области определения. Тогда имеем одну стационарную точку $х=1$. Найдем промежутки возрастания и убывания:

Точка $х=1$ – точка минимума, тогда $y_min=1-6*\ln{1}=1$.
Ответ: Функция убывает на отрезке (0;1], функция возрастает на луче $ {\displaystyle } . Простота этого определения, которое согласуется со многими другими формулами, в которых применяется данный логарифм, объясняет происхождение названия «натуральный».

Если рассматривать натуральный логарифм как вещественную функцию действительной переменной, то она является обратной функцией к экспоненциальной функции , что приводит к тождествам:

e ln ⁡ a = a (a > 0) ; {\displaystyle e^{\ln a}=a\quad (a>0);} ln ⁡ e a = a (a > 0) . {\displaystyle \ln e^{a}=a\quad (a>0).}

Подобно всем логарифмам, натуральный логарифм отображает умножение в сложение:

ln ⁡ x y = ln ⁡ x + ln ⁡ y . {\displaystyle \ln xy=\ln x+\ln y.}

Это может быть, например, калькулятор из базового набора программ операционной системы Windows. Ссылка на его запуск упрятана довольно в главное меню ОС - раскройте его щелчком по кнопке «Пуск», затем откройте его раздел «Программы», перейдите в подраздел «Стандартные», а затем в секцию «Служебные» и, наконец, щелкните пункт «Калькулятор». Можно вместо мыши и перемещений по меню использовать клавиатуру и диалог запуска программ - нажмите сочетание клавиш WIN + R, наберите calc (это имя исполняемого файла калькулятора) и нажмите клавишу Enter.

Переключите интерфейс калькулятора в расширенный режим, позволяющий осуществлять . По умолчанию он открывается в «обычном» виде, а вам нужен «инженерный» или « » (в зависимости от версии используемой ОС). Раскройте в меню раздел «Вид» и выберите соответствующую строку.

Введите аргумент, натуральный которого нужно вычислить. Это можно сделать как с клавиатуры, так и щелкая мышкой соответствующие кнопки в интерфейсе калькулятора на экране.

Кликните кнопку с надписью ln - программа рассчитает логарифма по основанию e и покажет результат.

Воспользуйтесь каким-либо из -калькуляторов в качестве альтернативного вычисления значения натурального логарифма. Например, тем, который размещен по адресу http://calc.org.ua . Его интерфейс предельно прост - есть единственное поле ввода, куда вам надо впечатать значение числа, логарифм от которого надо вычислить. Среди кнопок найдите и щелкните ту, на которой написано ln. Скрипт этого калькулятора не требует отправки данных на сервер и ответа, поэтому результат вычисления вы получите практически мгновенно. Единственная особенность, которую следует учитывать - разделителем между дробной и целой частью вводимого числа здесь обязательно должна быть точка, а не .

Термин «логарифм » произошел от двух греческих слов, одно из которых обозначает «число», а другое - «отношение». Им обозначают математическую операцию вычисления переменной величины (показателя степени), в которую надо возвести постоянное значение (основание), чтобы получить число, указанное под знаком логарифм а. Если основание равно математической константе, называемое числом "e", то логарифм называют «натуральным».

Вам понадобится

• Доступ в интернет, Microsoft Office Excel или калькулятор.

Инструкция

Воспользуйтесь во множестве представленными в интернете -калькуляторами - это, пожалуй, и простой способ вычисления натурального а. Поиском соответствующего сервиса вам заниматься не придется, так как многие поисковые системы и сами имеют встроенные калькуляторы, вполне пригодные для работы с логарифм ами. Например, перейдите на главную страницу самого крупного сетевого поисковика - Google. Никаких кнопок для ввода значений и выбора функций здесь не потребуется, просто наберите в поле ввода запроса нужное математическое действие. Скажем, для вычисления логарифм а числа 457 по основанию "e" введите ln 457 - этого будет вполне достаточно, чтобы Google отобразил с точностью до восьми знаков после запятой (6,12468339) даже без нажатия кнопки отправки запроса на сервер.

Используйте соответствующую встроенную функцию, если необходимость вычисления значения натурального логарифм а возникает при работе с данными в популярном табличном редакторе Microsoft Office Excel. Эта функция здесь вызывается с использованием общепринятого обозначения такого логарифм а в верхнем регистре - LN. Выделите ячейку, в которой должен быть отображен результат вычисления, и введите знак равенства - так в этом табличном редакторе должны начинаться записи в ячейках, содержащих в подразделе «Стандартные» раздела «Все программы» главного меню. Переключите калькулятор в более функциональный режим, нажав сочетание клавиш Alt + 2. Затем введите значение, натуральный логарифм которого требуется вычислить, и кликните в интерфейсе программы кнопку, обозначенную символами ln. Приложение произведет вычисление и отобразит результат.

Видео по теме