ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ പ്രവർത്തനത്തിന്റെ തത്വം. കോൺഫിഗറേഷനിലും ഘട്ടം ഇടങ്ങളിലും ഹാമിൽട്ടൺ-ഓസ്ട്രോഗ്രാഡ്സ്കി വ്യതിയാന തത്വം പ്ലെയിൻ വേവ് ഫോർമുല
ഹാമിൽട്ടൺ - ഓസ്ട്രോഗ്രാഡ്സ്കി തത്വം
സ്റ്റേഷണറി ആക്ഷൻ തത്വം - പൊതുവായ ഇന്റഗ്രൽ ക്ലാസിക്കൽ മെക്കാനിക്സിന്റെ വ്യത്യസ്ത തത്വം,യു സ്ഥാപിച്ചത്.
അനുയോജ്യമായ സ്റ്റേഷണറി കണക്ഷനുകളാൽ പരിമിതപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന ഹോളോണോമിക് സിസ്റ്റങ്ങൾക്കായുള്ള ഹാമിൽട്ടൺ, കൂടാതെ എം.വി. ഓസ്ട്രോഗ്രാഡ്സ്കി നോൺ-സ്റ്റേഷണറി കണക്ഷനുകളിലേക്ക് സാമാന്യവൽക്കരിച്ചു. G. - O പ്രകാരം.
ചലനാത്മകമായി സാധ്യമായ സമാന ചലനങ്ങളുമായി താരതമ്യപ്പെടുത്തുമ്പോൾ ഒരു നിശ്ചല മൂല്യമുണ്ട്, ഇതിന് സിസ്റ്റത്തിന്റെ പ്രാരംഭവും അവസാനവുമായ സ്ഥാനങ്ങളും ചലന സമയവും യഥാർത്ഥ ചലനത്തിന് തുല്യമാണ്. ഇവിടെ ടി -ചലനാത്മകമായ, U-സാധ്യതയുള്ള ഊർജ്ജം, എൽ-ടി-യുസിസ്റ്റത്തിന്റെ ലഗ്രാഞ്ച് പ്രവർത്തനം. ചില സന്ദർഭങ്ങളിൽ, ശരി ഫങ്ഷണലിന്റെ നിശ്ചല പോയിന്റുമായി മാത്രമല്ല യോജിക്കുന്നത് എസ്,മാത്രമല്ല അതിന് ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ പ്രാധാന്യം കൊടുക്കുകയും ചെയ്യുന്നു. അതിനാൽ G. -O. എൻ. പലപ്പോഴും വിളിക്കാറുണ്ട് ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ പ്രവർത്തനത്തിന്റെ തത്വം. സാധ്യതയില്ലാത്ത സജീവ ശക്തികളുടെ കാര്യത്തിൽ Fvപ്രവർത്തനത്തിന്റെ നിശ്ചലതയ്ക്കുള്ള വ്യവസ്ഥ d എസ്= 0 എന്നത് വ്യവസ്ഥ ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു
ലിറ്റ്.: ഹാമിൽട്ടൺ ഡബ്ല്യു., ബ്രിട്ടീഷ് അസോസിയേഷൻ ഫോർ ദി അഡ്വാൻസ്‌മെന്റ് ഓഫ് സയൻസിന്റെ നാലാമത്തെ മീറ്റിംഗിന്റെ റിപ്പോർട്ട്, എൽ., 1835, പേ. 513-18; Оstrоgradskу എം., "മെം. ഡി 1" അക്കാഡ്. ഡെസ് സയൻസ്. ഡി സെന്റ്-പീറ്റർഷോർഗ്", 1850, ടി. 8, നമ്പർ. 3, പേജ്. 33-48.
V. V. Rumyantsev.
ഗണിത വിജ്ഞാനകോശം. - എം.: സോവിയറ്റ് എൻസൈക്ലോപീഡിയ. I. M. വിനോഗ്രഡോവ്. 1977-1985.
മറ്റ് നിഘണ്ടുവുകളിൽ "ഹാമിൽട്ടൺ - ഓസ്ട്രോഗ്രാഡ് തത്വം" എന്താണെന്ന് കാണുക:
പ്രകൃതിയിലെ ജീവജാലങ്ങളുടെ പ്രധാന ലിംഗാനുപാതം 1:1 ആണെന്ന് വിശദീകരിക്കുന്ന ഒരു പരിണാമ മാതൃകയാണ് ഫിഷറുടെ തത്വം; ഇതിൽ രണ്ട് ലിംഗങ്ങളിലുമുള്ള കൂടുതൽ വ്യക്തികളുടെ ഉത്പാദനത്തിനുള്ള ജീനുകൾ ... ... വിക്കിപീഡിയ
ഹാമിൽട്ടൺ (കേവലം ഹാമിൽട്ടന്റെ തത്വം), കൂടുതൽ കൃത്യമായി പറഞ്ഞാൽ, പ്രവർത്തനത്തിന്റെ നിശ്ചലതയുടെ തത്വം, ഒരു നിശ്ചലമായ (പലപ്പോഴും അങ്ങേയറ്റം, സാധാരണയായി സ്ഥാപിത പാരമ്പര്യവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട്... ... വിക്കിപീഡിയ
ഹ്യൂജൻസ് അനുസരിച്ച് തരംഗ അപവർത്തനം ... വിക്കിപീഡിയ
ശാസ്ത്രത്തിന്റെ രീതിശാസ്ത്രത്തിൽ, ഏതെങ്കിലും പുതിയ ശാസ്ത്രീയ സിദ്ധാന്തം, പഴയതും നന്നായി പരീക്ഷിച്ചതുമായ ഒരു സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ സാന്നിധ്യത്തിൽ, അതിനോട് പൂർണ്ണമായ വിരുദ്ധമല്ല, മറിച്ച് ചില തീവ്രമായ ഏകദേശ (പ്രത്യേക സന്ദർഭം) അതേ അനന്തരഫലങ്ങൾ നൽകുന്നു എന്നതാണ്. ഉദാഹരണത്തിന്, നിയമം... ... വിക്കിപീഡിയ
സമയ-വ്യതിരിക്ത നിയന്ത്രണ പ്രക്രിയകൾക്കായുള്ള പോൺട്രിയാഗിന്റെ വ്യതിരിക്തമായ പരമാവധി തത്വം. അത്തരം ഒരു പ്രക്രിയയ്ക്കായി, ഫിനിറ്റ് ഡിഫറൻസ് ഓപ്പറേറ്റർ കൈവശം വച്ചേക്കില്ല, എന്നിരുന്നാലും അതിന്റെ തുടർച്ചയായ അനലോഗ് വേണ്ടി, പരിമിത വ്യത്യാസം ഓപ്പറേറ്ററെ മാറ്റി ഒരു ഡിഫറൻഷ്യൽ ഉപയോഗിച്ച്... ... മാത്തമാറ്റിക്കൽ എൻസൈക്ലോപീഡിയ
അല്ലെങ്കിൽ ഹാമിൽട്ടന്റെ തത്വം, മെക്കാനിക്സിലും മാത്തമാറ്റിക്കൽ ഫിസിക്സിലും, ചലനത്തിന്റെ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ നേടുന്നതിന് സഹായിക്കുന്നു. ഈ തത്വം എല്ലാ ഭൗതിക സംവിധാനങ്ങൾക്കും ബാധകമാണ്, അവ ഏത് ശക്തികൾക്ക് വിധേയമായാലും; ആദ്യം നമ്മൾ അത് പ്രകടിപ്പിക്കും... എൻസൈക്ലോപീഡിക് നിഘണ്ടു എഫ്.എ. ബ്രോക്ക്ഹോസും ഐ.എ. എഫ്രോൺ
ക്വാണ്ടം പോസ്റ്റുലേറ്റ്. മെക്കാനിക്സ്, അതിന്റെ ഭൗതികമായ യാദൃശ്ചികത ആവശ്യമാണ്. ക്ലാസിക്കൽ ഫലങ്ങളോടൊപ്പം വലിയ ക്വാണ്ടം സംഖ്യകളുടെ പരിമിതമായ കേസിൽ അനന്തരഫലങ്ങൾ. സിദ്ധാന്തങ്ങൾ. എസ് പിയിൽ ക്വാണ്ടം എന്ന വസ്തുത വെളിപ്പെട്ടു. സൂക്ഷ്മ വസ്തുക്കളെ പരിഗണിക്കുമ്പോൾ മാത്രമേ ഇഫക്റ്റുകൾ പ്രാധാന്യമുള്ളൂ, എപ്പോൾ ... ... ഫിസിക്കൽ എൻസൈക്ലോപീഡിയ
ഹാമിൽട്ടന്റെ വ്യതിയാന തത്വം- ഹാമിൽടോണോ വാരിയാസിനിസ് പ്രിൻസിപാസ് സ്റ്റാറ്റസ് ടി സ്രിതിസ് ഫിസിക്ക ആറ്റിറ്റിക്മെനിസ്: ഇംഗ്ലീഷ്. ഹാമിൽട്ടൺ വേരിയേഷൻ തത്വം vok. ഹാമിൽട്ടൺഷെസ് വേരിയേഷൻസ്പ്രിൻസിപ്പ്, എൻ റസ്. ഹാമിൽട്ടന്റെ വ്യതിയാന തത്വം, m pranc. പ്രിൻസിപ്പ് വേരിയേഷൻനെൽ ഡി ഹാമിൽട്ടൺ, എം … ഫിസിക്കോസ് ടെർമിൻ സോഡിനാസ്
ക്വാണ്ടം മെക്കാനിക്സിന്റെ ഒരു അനുമാനം (ക്വാണ്ടം മെക്കാനിക്സ് കാണുക), വലിയ ക്വാണ്ടം സംഖ്യകളുടെ പരിമിതമായ സാഹചര്യത്തിൽ അതിന്റെ ഭൌതിക പ്രത്യാഘാതങ്ങൾ (ക്വാണ്ടം നമ്പറുകൾ കാണുക) ക്ലാസിക്കൽ സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ ഫലങ്ങളുമായി പൊരുത്തപ്പെടണമെന്ന് ആവശ്യപ്പെടുന്നു. എസ്.പി.യിൽ വസ്തുത പ്രകടമാണ് ... ... ഗ്രേറ്റ് സോവിയറ്റ് എൻസൈക്ലോപീഡിയ
- (വേവ് മെക്കാനിക്സ്), വിവരണ രീതിയും സൂക്ഷ്മകണങ്ങളുടെ ചലന നിയമങ്ങളും (മൂലകങ്ങൾ, ആറ്റങ്ങൾ, തന്മാത്രകൾ, ആറ്റോമിക് ന്യൂക്ലിയുകൾ) അവയുടെ സിസ്റ്റങ്ങളും (ഉദാഹരണത്തിന്, പരലുകൾ), അതുപോലെ തന്നെ കണങ്ങളുടെ സ്വഭാവവും അളവുകളും തമ്മിലുള്ള ബന്ധവും സ്ഥാപിക്കുന്ന ഒരു സിദ്ധാന്തം. സിസ്റ്റങ്ങൾ, ഫിസിക്കൽ കൂടെ വലിപ്പങ്ങൾ...... ഫിസിക്കൽ എൻസൈക്ലോപീഡിയ
ഈ പദത്തിന് മറ്റ് അർത്ഥങ്ങളുണ്ട്, ആക്ഷൻ (ഭൗതികശാസ്ത്രം) കാണുക. ആക്ഷൻ ഡൈമൻഷൻ L2MT−1 ഭൗതികശാസ്ത്രത്തിലെ ആക്ഷൻ എന്നത് ഒരു സ്കെയിലർ ഫിസിക്കൽ ക്വാണ്ടിറ്റിയാണ് ... വിക്കിപീഡിയ
പുസ്തകങ്ങൾ
- സാമ്പത്തിക വ്യവസ്ഥയുടെ ചലനത്തിന്റെ തത്വങ്ങൾ. മോണോഗ്രാഫ്, കുസ്നർ യൂറി സെമെനോവിച്ച്, സാരെവ് ഇഗോർ ജെന്നഡിവിച്ച്. സാമ്പത്തിക വ്യവസ്ഥയുടെ ചലനത്തിന്റെ അടിസ്ഥാന സമവാക്യങ്ങൾ വിശകലന രൂപത്തിൽ അവതരിപ്പിക്കുകയും അതിന്റെ ചലനത്തെ നിയന്ത്രിക്കുന്നതിനുള്ള മതിയായ രീതികൾ കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള പ്രശ്നം പരിഹരിക്കപ്പെടുകയും ചെയ്യുന്നു. ഗണിതശാസ്ത്ര ഉപകരണം ഉപയോഗിച്ചു ...
എല്ലാ അവിഭാജ്യവും ചില ഡിഫറൻഷ്യൽ തത്ത്വങ്ങൾക്കും അടിവരയിടുന്ന ആശയം ഒരു മെക്കാനിക്കൽ സിസ്റ്റത്തിന്റെ യഥാർത്ഥ ചലനം ഒരു നിശ്ചിത ഭൗതിക അളവിലേക്ക് തീവ്രത നൽകുന്നു എന്ന നിലപാടാണ്. ഈ സ്ഥാനത്തിന്റെ ഗണിതശാസ്ത്ര രൂപീകരണത്തിന്, മുമ്പത്തെപ്പോലെ, യഥാർത്ഥ ചലനത്തിനൊപ്പം, സങ്കൽപ്പിക്കാവുന്ന ചലനങ്ങളുടെ ഒരു കൂട്ടം, നന്നായി നിർവചിക്കപ്പെട്ട ആവശ്യകതകൾക്ക് കീഴ്പ്പെടുത്തിക്കൊണ്ട്, പരിഗണനയിലേക്ക് അവതരിപ്പിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.
അവിഭാജ്യ തത്വങ്ങളുടെ രൂപീകരണം കോൺഫിഗറേഷൻ സ്ഥലത്ത് നടത്തുന്നു. സ്വാതന്ത്ര്യത്തിന്റെ ഡിഗ്രികളുള്ള ഒരു സിസ്റ്റത്തിന്, സാമാന്യവൽക്കരിച്ച കോർഡിനേറ്റുകൾ ഓർക്കുക 
, ഒരു നിമിഷത്തിൽ സിസ്റ്റത്തിന്റെ കോൺഫിഗറേഷൻ നിർവചിക്കുന്നു 
, ബന്ധപ്പെട്ടതിൽ കാർട്ടീഷ്യൻ കോർഡിനേറ്റുകളായി കണക്കാക്കുന്നു 
-ഡൈമൻഷണൽ സ്പേസ്, ഇത് ഒരു കോൺഫിഗറേഷൻ സ്പേസ് ആണ്. കാലക്രമേണ, ഒരു മെക്കാനിക്കൽ സിസ്റ്റത്തിന്റെ അവസ്ഥ മാറുന്നു, ഈ സിസ്റ്റത്തെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്ന പോയിന്റ് ഒരു നിശ്ചിത വക്രത്തെ വിവരിക്കുന്നു. ഈ വക്രത്തിൽ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്ന പോയിന്റിന്റെ ചലനമായി സിസ്റ്റത്തിന്റെ ചലനത്തെ പരിഗണിക്കുന്നത് സൗകര്യപ്രദമാണ്. സമയം 
ഈ പരിഗണനയ്‌ക്കൊപ്പം ഒരു പാരാമീറ്ററാണ്, കൂടാതെ പാതയുടെ ഓരോ പോയിന്റും ഒന്നോ അതിലധികമോ മൂല്യങ്ങളുമായി പൊരുത്തപ്പെടും 
.
ഓരോ നിമിഷവും കോൺഫിഗറേഷൻ പാതയിലെ സിസ്റ്റത്തിന്റെ സ്ഥാനത്ത് ഞങ്ങൾക്ക് താൽപ്പര്യമുണ്ടെങ്കിൽ 
, പിന്നെ നിങ്ങൾ മറ്റൊരു അച്ചുതണ്ട് ചേർക്കേണ്ടതുണ്ട് 
.
അപ്പോൾ നമ്മൾ പരിഗണിക്കുന്ന സിസ്റ്റത്തിന്റെ ചലനത്തിന്റെ "മൾട്ടിഡൈമൻഷണൽ ഗ്രാഫ്" നമുക്ക് ലഭിക്കും. ചില പ്ലെയിനുകളിലേക്ക് ഒരു മൾട്ടിഡൈമൻഷണൽ ഗ്രാഫിന്റെ പ്രൊജക്ഷനുകൾ പഠിക്കാനും ഒരാൾക്ക് കഴിയും 
(ചിത്രം 2.7). ചിത്രത്തിൽ എ, ബിനിമിഷങ്ങളെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്ന പോയിന്റിന്റെ പ്രൊജക്ഷനുകളാണ് 
ഒപ്പം 
അതനുസരിച്ച്, സോളിഡ് ലൈൻ യഥാർത്ഥമായതിനെ ചിത്രീകരിക്കുന്നു, ഡാഷ്ഡ് ലൈൻ സങ്കൽപ്പിക്കാവുന്ന ചലനങ്ങളിൽ ഒന്നിനെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു.
ഒരു സിസ്റ്റത്തിന്റെ യഥാർത്ഥ ചലനം ഒരു പരിമിതമായ (അനന്തമല്ല!) കാലയളവിൽ എങ്ങനെ സംഭവിക്കുന്നു എന്നതിനെക്കുറിച്ചുള്ള ഒരു പ്രസ്താവനയാണ് സമഗ്ര തത്വം. 
.
കാലഘട്ടം വരെ സിസ്റ്റത്തിൽ എന്തായിരുന്നു 
,
ഞങ്ങൾക്ക് താൽപ്പര്യമില്ല. എന്നാൽ സമയത്തിന്റെ പ്രാരംഭവും അവസാനവുമായ നിമിഷങ്ങൾ നിശ്ചയിച്ചിരിക്കുന്നിടത്തോളം, സമയത്തിന്റെ നിമിഷത്തിൽ സങ്കൽപ്പിക്കാവുന്ന എല്ലാ ചലനങ്ങളുമുള്ള മെക്കാനിക്കൽ സിസ്റ്റം എന്ന് വിശ്വസിക്കപ്പെടുന്നു 
ഒരു പോയിന്റിലൂടെ കടന്നുപോകുന്നു എ, നിമിഷത്തിൽ 
- IN;
ഈ പോയിന്റുകൾ സിസ്റ്റത്തിന്റെ യഥാർത്ഥ ചലനത്തിലെ പ്രാരംഭ, അവസാന സ്ഥാനങ്ങളുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു.
മെക്കാനിക്കൽ സിസ്റ്റങ്ങളുടെ ചലനത്തെക്കുറിച്ചുള്ള സ്ഥാനത്തിന്റെ ഏറ്റവും സാധാരണമായ രൂപീകരണം ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ പ്രവർത്തനത്തിന്റെ തത്വത്തിൽ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു (ഇതിനെ ഹാമിൽട്ടൺ-ഓസ്ട്രോഗ്രാഡ്സ്കി തത്വം എന്നും വിളിക്കുന്നു):
മുതൽ സമയ ഇടവേളയിൽ ഒരു മെക്കാനിക്കൽ സിസ്റ്റത്തിന്റെ യഥാർത്ഥ ചലനം
മുമ്പ്
അവിഭാജ്യമായ, ആക്ഷൻ ഫംഗ്ഷൻ എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്ന
തുല്യവും
, (60.7)
എവിടെ
-- തന്നിരിക്കുന്ന ഒരു മെക്കാനിക്കൽ സിസ്റ്റത്തിന്റെ ലഗ്രാൻജിയന് ഒരു എക്സ്ട്രീം (കുറഞ്ഞത്) ഉണ്ട്. വേരിയബിൾ
അത് വ്യത്യാസപ്പെടുന്നില്ല.
മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, യഥാർത്ഥ ചലന സമയത്ത് പ്രവർത്തനത്തിന്റെ വ്യതിയാനം പൂജ്യമായിരിക്കണം
(61.7)
ചില സമയങ്ങളിൽ എല്ലാ കോൺഫിഗറേഷൻ പാതകളും നൽകിയിട്ടുണ്ട് 
ഒപ്പം 
യഥാർത്ഥ ചലനത്തിന്റെ ആരംഭ, അവസാന പോയിന്റുകളിലൂടെ കടന്നുപോകുക, അതായത്.
ഈ തത്വം, ഡി അലംബെർട്ടിന്റെ ഡിഫറൻഷ്യൽ തത്വത്തിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമായി, ഒരു നിശ്ചിത കാലയളവിൽ സിസ്റ്റത്തിന്റെ മൊത്തത്തിലുള്ള ചലനത്തെക്കുറിച്ചുള്ള ഒരു പ്രസ്താവന ഉൾക്കൊള്ളുന്ന അർത്ഥത്തിൽ അവിഭാജ്യമാണ്. 
.
വാസ്തവത്തിൽ, ലാഗ്രാഞ്ച് സമവാക്യങ്ങൾ അതിൽ നിന്ന് പിന്തുടരുന്നു, അതുവഴി, ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ പ്രവർത്തനത്തിന്റെ തത്വത്തിൽ നിന്ന്, ഒരു മെക്കാനിക്കൽ സിസ്റ്റത്തിന്റെ മുഴുവൻ ചലനാത്മകതയും ലഭിക്കും.
പ്രവർത്തനങ്ങൾ അനുവദിക്കുക 
, യഥാർത്ഥ ചലനത്തെ വിവരിക്കുക, അതായത്. 
- ആ പ്രവർത്തനങ്ങൾ 
ഒരു മിനിമം ഉണ്ട്. നമുക്ക് ഒരു കൂട്ടം ഫംഗ്ഷനുകൾ പരിഗണിക്കാം 
എവിടെ 
- പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ വ്യതിയാനങ്ങൾ 
, എന്നിവയുമായി താരതമ്യപ്പെടുത്തുമ്പോൾ ചെറുതാണെന്ന് അനുമാനിക്കപ്പെടുന്നു 
മുതൽ മുഴുവൻ സമയ ഇടവേളയിലും 
മുമ്പ് 
. കൂടാതെ, എല്ലാം 
ബന്ധങ്ങൾ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുക (62.7). ആദ്യത്തെ വ്യതിയാനം എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്നതിനെ നമുക്ക് കണക്കാക്കാം 
, Lagrange ഫംഗ്ഷൻ സാമാന്യവൽക്കരിച്ച കോർഡിനേറ്റുകളെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കും എന്നത് മനസ്സിൽ വയ്ക്കുക 
,
പൊതുവായ വേഗത 
, സമയവും 
:
എന്തുകൊണ്ടെന്നാല് 
, രണ്ടാം ടേം 
ഭാഗങ്ങൾ വഴി സംയോജിപ്പിച്ച് ലഭിക്കും
.
വ്യവസ്ഥകൾ കാരണം (62.7), തുക
അപ്രത്യക്ഷമാകുന്നു, കൂടാതെ ശേഷിക്കുന്ന അവിഭാജ്യ മൂല്യങ്ങൾ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമായിരിക്കും 
സംയോജനത്തിന്റെ ആകെത്തുകയുടെ ഓരോ പദവും അപ്രത്യക്ഷമാകുമ്പോൾ മാത്രം. അങ്ങനെ, നമുക്ക് രണ്ടാം തരത്തിലുള്ള ലഗ്രാഞ്ച് സമവാക്യങ്ങൾ ലഭിക്കും
.
(63.7)
ഒരു ഫംഗ്‌ഷന്റെ എക്‌സ്‌ട്രീമിന്റെ പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുന്നതിൽ നിന്ന്, പരിമിതമായ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം ലഭിക്കുന്നു, അതിൽ നിന്ന് ഫംഗ്ഷൻ ഒരു തീവ്ര മൂല്യത്തിൽ എത്തുന്ന പോയിന്റ് കണ്ടെത്തുന്നത് ഓർമ്മിക്കുന്നത് ഉപയോഗപ്രദമാണ്. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഞങ്ങൾ ഒരു ഫങ്ഷണൽ കൈകാര്യം ചെയ്യുന്നു, അത്യധികം പ്രശ്നത്തിനുള്ള പരിഹാരമാണ്, അത് 2nd ഓർഡർ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം നൽകുന്നു. ഈ സമവാക്യങ്ങളിൽ നിന്ന് ഫംഗ്ഷനുകളാൽ നിർവചിക്കപ്പെട്ട കോൺഫിഗറേഷൻ സ്പേസിൽ ഒരു ലൈൻ കാണപ്പെടുന്നു 
, പ്രവർത്തനക്ഷമത ഏറ്റവും കുറഞ്ഞത് എത്തുന്നു. ഈ വരിയെ എക്സ്ട്രീമൽ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.
ഒരു പ്രത്യേക മെക്കാനിക്കൽ മോഡൽ നിർമ്മിക്കുന്നതിനുള്ള ചുമതല ചലനത്തിന്റെ സമവാക്യങ്ങൾ സമാഹരിക്കുക എന്നതിനാൽ, വാസ്തവത്തിൽ സിസ്റ്റത്തിന്റെ ചലനാത്മകത നിർണ്ണയിക്കുന്നത് ഒരു ഫംഗ്ഷനാണ് - ലഗ്രാൻജിയൻ, കാരണം ഈ ഫംഗ്ഷനാണ് പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുന്നത്. അതിനാൽ, ഒരു സിസ്റ്റത്തിന്റെ ലഗ്രാൻജിയൻ രസകരമായ ഒരു ഭൗതിക വസ്തുവാണ്, ചലനാത്മകതയുടെ പ്രശ്നങ്ങളുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് അതിന്റെ പഠനം ആവശ്യമാണ്. പ്രത്യേകിച്ചും, ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ പ്രവർത്തനത്തിന്റെ തത്വത്തിൽ നിന്ന് അത് പ്രവർത്തനമാണെന്ന് വ്യക്തമാണ് 
കോർഡിനേറ്റുകളുടെയും സമയത്തിന്റെയും അനിയന്ത്രിതമായ ഫംഗ്‌ഷന്റെ മൊത്തം ഡെറിവേറ്റീവിന്റെ കൂട്ടിച്ചേർക്കൽ വരെ മാത്രമേ നിർവ്വചിച്ചിട്ടുള്ളൂ. ഇത് ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ മനസ്സിലാക്കണം: അതിന്റെ ചലന സമവാക്യങ്ങളാൽ നിർവചിക്കപ്പെട്ട ഒരു സിസ്റ്റം ഒന്നിലധികം ലഗ്രാഞ്ച് ഫംഗ്ഷനുകളുമായി യോജിക്കുന്നു. 
.
തീർച്ചയായും, ഉണ്ടാകട്ടെ 
ബന്ധപ്പെട്ട 
അനുപാതം
(64.7)
,
.
എന്നാൽ മുതൽ 
,
അതിനാൽ, ഫംഗ്ഷനുകൾ ഉപയോഗിച്ച് ലഭിച്ച ലഗ്രാഞ്ച് സമവാക്യങ്ങൾ 
ഒപ്പം 
, അതേ. ഫോമിന്റെ (64.7) ലഗ്രാഞ്ച് ഫംഗ്‌ഷന്റെ നിർവചനത്തിലെ അവ്യക്തത ചലനത്തിന്റെ സമവാക്യങ്ങളെ ബാധിക്കില്ല, പക്ഷേ ഓരോന്നും 
ക്ലാസ്സിൽ നിന്ന് (64.7) സിസ്റ്റത്തിന്റെ ചലനാത്മകത അദ്വിതീയമായി നിർമ്മിക്കുന്നതിനുള്ള പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുന്നു.
ലഗ്രാഞ്ച് സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റത്തിന്റെ ഒരു പ്രധാന സ്വത്ത് അവയുടെ സഹവർത്തിത്വമാണ്. സാമാന്യവൽക്കരിച്ച കോർഡിനേറ്റുകളുടെ പോയിന്റ് പരിവർത്തനങ്ങൾക്ക് കീഴിൽ ലാഗ്രാഞ്ച് സമവാക്യങ്ങൾ അവയുടെ രൂപം നിലനിർത്തുന്നു എന്നാണ് ഇതിനർത്ഥം.
അതായത് പൊതുവായ കോർഡിനേറ്റുകൾ ഉപയോഗിക്കുമ്പോൾ 
ലഗ്രാഞ്ചിന്റെ സമവാക്യങ്ങൾക്ക് ഒരേ രൂപമായിരിക്കും:
,
സാമാന്യവൽക്കരിച്ച കോർഡിനേറ്റുകൾ ഉപയോഗിക്കുമ്പോൾ 
:
.
ലാഗ്രാഞ്ച് സമവാക്യങ്ങൾ പരിവർത്തനത്തിന് കീഴിൽ കോവേരിയന്റാണെന്ന് നമുക്ക് നേരിട്ട് തെളിയിക്കാം (65.7). നമുക്ക് നിർമ്മിക്കാം 
:
ഡെറിവേറ്റീവുകളും
,
1. ഒരു മെറ്റീരിയൽ പോയിന്റിന്റെ ചലനാത്മകത. ഒരു ഗണിത പോയിന്റിന് ജ്യാമിതീയമായി തുല്യമായ, എന്നാൽ പിണ്ഡമുള്ള ഒരു ഭൗതിക വസ്തുവാണ് മെറ്റീരിയൽ പോയിന്റ്. ചലനത്തിന്റെ കാരണങ്ങൾ പരിഗണിക്കാതെ ശരീരങ്ങളുടെ ചലന തരങ്ങൾ പഠിക്കുന്ന ഭൗതികശാസ്ത്രത്തിന്റെ ഒരു ശാഖയാണ് കിനിമാറ്റിക്സ്. ബഹിരാകാശത്തിലെ ഒരു ബിന്ദുവിന്റെ സ്ഥാനം ആരം വെക്‌ടറാണ്. ഒരു ബിന്ദുവിന്റെ ആരം വെക്റ്റർ ഒരു വെക്‌ടറാണ്, അതിന്റെ ആരംഭം കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിന്റെ ഉത്ഭവവുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു, അവസാനം ചോദ്യം ചെയ്യപ്പെടുന്ന പോയിന്റുമായി. ആർ = ഐ x+ ജെ y + കെ z. ഒരു യൂണിറ്റ് സമയത്തിന് ഒരു ശരീരം സഞ്ചരിക്കുന്ന ദൂരമാണ് വേഗത വി(ടി) = ഡി ആർ/dt. വി(t) = ഐ dx/dt + ജെ dy/dt + കെ dz/dt. വേഗതയുടെ മാറ്റത്തിന്റെ നിരക്കാണ് ആക്സിലറേഷൻ. എ=d വി/dt = d 2 ആർ/ dt 2 = ഐ d 2 x/dt 2 + ജെ d 2 y/dt 2 + കെ d 2 z/dt 2 എ = എ τ + എ n= τ dv/dt + എൻ v 2 /R.
ഡി ആർ = വി dt; ഡി വി = എ dt, അതിനാൽ വി = വി 0 + എടി; ആർ = ആർ 2 – ആർ 1 = വി 0t+ എടി 2/2.
2. ഒരു മെറ്റീരിയൽ പോയിന്റിന്റെ ചലനാത്മകത. ന്യൂട്ടന്റെ നിയമങ്ങൾ. ചലനാത്മകതയിലെ പ്രധാന ആശയങ്ങൾ പിണ്ഡത്തിന്റെയും ശക്തിയുടെയും ആശയമാണ്. ശക്തിയാണ് ചലനത്തിന്റെ കാരണം, അതായത്. ശക്തിയുടെ സ്വാധീനത്തിൽ, ശരീരങ്ങൾ വേഗത കൈവരിക്കുന്നു. ബലം ഒരു വെക്റ്റർ അളവാണ്. ശരീരത്തിന്റെ ജഡത്വത്തിന്റെ അളവുകോലാണ് പിണ്ഡം. പിണ്ഡത്തിന്റെയും വേഗതയുടെയും ഉൽപന്നത്തെ മൊമെന്റം എന്ന് വിളിക്കുന്നു പി= എം വി. ഒരു മെറ്റീരിയൽ പോയിന്റിന്റെ കോണീയ ആക്കം വെക്റ്റർ ആണ് എൽ = ആർ * പി. ഒരു മെറ്റീരിയൽ പോയിന്റിൽ പ്രവർത്തിക്കുന്ന ശക്തിയുടെ നിമിഷത്തെ വെക്റ്റർ എന്ന് വിളിക്കുന്നു എം = ആർ * എഫ്. കോണീയ ആക്കം എന്ന പദപ്രയോഗം വേർതിരിക്കുകയാണെങ്കിൽ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്: d എൽ/ dt = d ആർ/dt* പി + ആർ*d പി/dt. അത് കണക്കിലെടുത്ത് ഡി ആർ/dt= വിഒപ്പം വിസമാന്തരമായി പി, നമുക്ക് d ലഭിക്കും എൽ/dt= എം.ന്യൂട്ടന്റെ നിയമങ്ങൾ.മറ്റ് ശക്തികൾ പ്രവർത്തിക്കുകയോ അവയുടെ പ്രവർത്തനത്തിന് നഷ്ടപരിഹാരം നൽകുകയോ ചെയ്തില്ലെങ്കിൽ ശരീരം വിശ്രമത്തിലോ ഏകീകൃത രേഖീയ ചലനത്തിലോ തുടരുമെന്ന് ന്യൂട്ടന്റെ ആദ്യ നിയമം പറയുന്നു. ന്യൂട്ടന്റെ രണ്ടാം നിയമം പറയുന്നത്, കാലക്രമേണയുള്ള ആക്കം മാറുന്നത് ഒരു സ്ഥിരമായ അളവാണെന്നും അത് ഫലപ്രദമായ ബലത്തിന് തുല്യമാണെന്നും d പി/ dt = d / dt (m വി) = m d വി/dt= എഫ്.ഇത് ഡിഫറൻഷ്യൽ രൂപത്തിൽ എഴുതിയ ന്യൂട്ടന്റെ രണ്ടാമത്തെ നിയമമാണ്. ന്യൂട്ടന്റെ മൂന്നാമത്തെ നിയമം പ്രസ്താവിക്കുന്നത് രണ്ട് ശരീരങ്ങളുടെ പ്രതിപ്രവർത്തനത്തിൽ, അവ ഓരോന്നും ഒരേ മൂല്യമുള്ള ഒരു ശക്തിയോടെ മറ്റൊന്നിൽ പ്രവർത്തിക്കുന്നു, എന്നാൽ ദിശയിൽ വിപരീതമാണ്. എഫ് 1 = - എഫ് 2 .
3. മെറ്റീരിയൽ പോയിന്റുകളുടെ ഒരു സിസ്റ്റത്തിന്റെ ചലനാത്മകത. സംരക്ഷണ നിയമങ്ങൾ. മെറ്റീരിയൽ പോയിന്റുകളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം അവയുടെ പരിമിതമായ സംഖ്യകളുടെ ശേഖരമാണ്. സിസ്റ്റത്തിന്റെ ഓരോ പോയിന്റും ആന്തരിക (മറ്റ് പോയിന്റുകളിൽ നിന്ന്) ബാഹ്യ ശക്തികളാൽ പ്രവർത്തിക്കുന്നു. m എന്നത് പിണ്ഡവും r i ആരം വെക്‌ടറും ആയിരിക്കട്ടെ. x i, y i, z i - ചരട്. i-th പോയിന്റ്. മെറ്റീരിയൽ പോയിന്റുകളുടെ ഒരു സിസ്റ്റത്തിന്റെ പ്രേരണ സിസ്റ്റം നിർമ്മിക്കുന്ന മെറ്റീരിയൽ പോയിന്റുകളുടെ പ്രേരണകളുടെ ആകെത്തുകയാണ്: പി= Σ (i=1,n) പിഞാൻ = [ പി 1 + പി 2 +…+ പി n]. മെറ്റീരിയൽ പോയിന്റുകളുടെ സിസ്റ്റത്തിന്റെ കോണീയ ആക്കം എന്നത് മെറ്റീരിയൽ പോയിന്റുകളുടെ സിസ്റ്റം ഉണ്ടാക്കുന്ന കോണീയ മൊമെന്റത്തിന്റെ ആകെത്തുകയാണ്: എൽ = Σ [ എൽഞാൻ ] = Σ [ ആർഞാൻ* പിഞാൻ]. മെറ്റീരിയൽ പോയിന്റുകളുടെ സിസ്റ്റത്തിൽ പ്രവർത്തിക്കുന്ന ബലം, സിസ്റ്റത്തിന്റെ പോയിന്റുകൾ തമ്മിലുള്ള പ്രതിപ്രവർത്തന ശക്തികൾ ഉൾപ്പെടെ, സിസ്റ്റത്തിന്റെ പോയിന്റുകളിൽ പ്രവർത്തിക്കുന്ന എല്ലാ ശക്തികളുടെയും ആകെത്തുകയാണ് നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നത്: എഫ് = Σ [ എഫ് i ], എവിടെ എഫ്ഞാൻ = എഫ് i ’ + Σ(j ≠ i) എഫ് ji എന്നത് സിസ്റ്റത്തിന്റെ മെറ്റീരിയൽ പോയിന്റിൽ പ്രവർത്തിക്കുന്ന ശക്തിയാണ്, സൂചിക i നിയുക്തമാക്കിയിരിക്കുന്നു. ഇത് ബാഹ്യശക്തിയാൽ നിർമ്മിതമാണ് എഫ് i ’ കൂടാതെ ആന്തരിക ശക്തി Σ(i ≠ j) [ എഫ് ji ], സിസ്റ്റത്തിന്റെ മറ്റ് പോയിന്റുകളുമായുള്ള ഇടപെടലിന്റെ ഫലമായി പോയിന്റിൽ പ്രവർത്തിക്കുന്നു. തുടർന്ന്: F = Σ (i=1,n) [ എഫ് i ’] + Σ (i=1,n) Σ(j ≠ i) [ എഫ്ജി]. ന്യൂട്ടന്റെ മൂന്നാം നിയമം അനുസരിച്ച് Σ (i=1,n) Σ(j ≠ i) [ എഫ്ജി ] = 0, അങ്ങനെ എഫ് = Σ [ എഫ്ഞാൻ']. മെറ്റീരിയൽ പോയിന്റുകളുടെ സിസ്റ്റത്തിൽ പ്രവർത്തിക്കുന്ന ശക്തിയുടെ നിമിഷം സിസ്റ്റത്തിന്റെ പോയിന്റുകളിൽ പ്രയോഗിക്കുന്ന ശക്തികളുടെ മൊമെന്റാണ് എം= Σ (i) [ എം i ] = Σ (i) [ ആർഞാൻ* എഫ് i ] = Σ (i) [ ആർഞാൻ* എഫ്ഞാൻ']. മെറ്റീരിയൽ പോയിന്റുകളുടെ ഒരു സിസ്റ്റത്തിന്, ചലനത്തിന്റെ സമവാക്യത്തിന് ഫോം d ഉണ്ട് പി/ dt = Σ = Σ [ എഫ്ഞാൻ].
മെറ്റീരിയൽ പോയിന്റുകളുടെ ഒരു സിസ്റ്റത്തിന്റെ പിണ്ഡത്തിന്റെ കേന്ദ്രം ആരം വെക്റ്റർ ഉള്ള ഒരു സാങ്കൽപ്പിക പോയിന്റാണ് ആർ= 1/m Σ . അവന്റെ ചലനത്തിന്റെ വേഗത വി=d ആർ/dt. അപ്പോൾ ചലനത്തിന്റെ സമവാക്യം m d വി/dt= എഫ്. മെറ്റീരിയൽ പോയിന്റുകളുടെ ഒരു സിസ്റ്റത്തിനായുള്ള മൊമെന്റ് സമവാക്യം d എൽ/dt= എം. സംരക്ഷണ നിയമങ്ങൾ.ബാഹ്യശക്തികളാൽ ബാധിക്കപ്പെടാത്ത ഒന്നാണ് ഒറ്റപ്പെട്ട സംവിധാനം. അതിൽ എഫ്= 0, അങ്ങനെ ഡി പി/dt = 0. പിന്നെ പി= കോൺസ്റ്റ്. ഒരു ഒറ്റപ്പെട്ട സംവിധാനത്തിൽ, ബാഹ്യശക്തികളുടെ നിമിഷം എം= 0. അതിനാൽ ഡി എൽ/dt = 0, അതായത് എൽ= കോൺസ്റ്റ്. ഒരു മെറ്റീരിയൽ പോയിന്റ് രണ്ട് സ്ഥാനങ്ങൾക്കിടയിൽ നീങ്ങുമ്പോൾ അതിന്റെ ഗതികോർജ്ജത്തിലെ മാറ്റം ബലം ചെയ്യുന്ന പ്രവർത്തനത്തിന് തുല്യമാണ്. m 0 v 2 2/2 – m 0 v 1 2/2 = ∫(1,2) എഫ്ഡി എൽഅല്ലെങ്കിൽ m 0 v 2 /2 + E p = const.
4. ഒരു കേന്ദ്രീകൃത സമമിതി ഫീൽഡിലെ ചലനം. കെപ്ലറുടെ നിയമങ്ങൾ. ഒരു നിശ്ചിത ബിന്ദുവിലേക്കുള്ള r എന്ന ദൂരത്തെ മാത്രം ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്ന ഒരു ശരീരത്തിന്റെ പൊട്ടൻഷ്യൽ എനർജി ഒരു ഫീൽഡിനെ സെൻട്രൽ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ശക്തിയാണ് എഫ്= - ∂U(r)/ ∂ ആർ= - dU/dr ആർ/r കണികയിൽ പ്രവർത്തിക്കുന്നു, കേവല മൂല്യത്തിലും r-നെ മാത്രം ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു, കൂടാതെ ഓരോ പോയിന്റിലും റേഡിയസ് വെക്‌ടറിനൊപ്പം നയിക്കപ്പെടുന്നു. സെൻട്രൽ ഫീൽഡിൽ നീങ്ങുമ്പോൾ, ഫീൽഡിന്റെ കേന്ദ്രവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട സിസ്റ്റത്തിന്റെ നിമിഷം സംരക്ഷിക്കപ്പെടുന്നു. ഒരു കണികയ്ക്ക് നിമിഷം എം = [ആർ*ആർ]. M, r എന്നീ വെക്‌ടറുകൾ പരസ്പരം ലംബമായതിനാൽ, M ന്റെ സ്ഥിരത അർത്ഥമാക്കുന്നത് ഒരു കണിക ചലിക്കുമ്പോൾ, അതിന്റെ ആരം വെക്റ്റർ എല്ലായ്പ്പോഴും ഒരു തലത്തിൽ തന്നെ നിലകൊള്ളുന്നു എന്നാണ് - M ലേക്ക് ലംബമായ തലം. അങ്ങനെ, കേന്ദ്ര ഫീൽഡിലെ കണത്തിന്റെ പാത പൂർണ്ണമായും സ്ഥിതിചെയ്യുന്നു. ഒരു വിമാനം. അതിൽ പോളാർ കോർഡിനേറ്റുകൾ r, φ അവതരിപ്പിച്ച ശേഷം, ഞങ്ങൾ L = m/2 (r 2 (∙) + r 2 φ 2 (∙)) - U (r) എന്ന രൂപത്തിൽ Lagrange ഫംഗ്ഷൻ എഴുതുന്നു. ഈ ഫംഗ്‌ഷനിൽ φ കോർഡിനേറ്റ് വ്യക്തമായി അടങ്ങിയിട്ടില്ല. അത്തരമൊരു കോർഡിനേറ്റിന്, അനുബന്ധ സാമാന്യവൽക്കരിച്ച പ്രേരണ p i ചലനത്തിന്റെ അവിഭാജ്യഘടകമാണ്. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, സാമാന്യവൽക്കരിച്ച പ്രേരണ p φ = mr 2 φ(∙) M z = M എന്ന നിമിഷവുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു, അതിനാൽ M = mr 2 φ(∙) (1). ഒരു കേന്ദ്ര മണ്ഡലത്തിലെ ഒരു കണത്തിന്റെ തലത്തിലുള്ള ചലനത്തിന്, ഈ നിയമം ഒരു ലളിതമായ ജ്യാമിതീയ വ്യാഖ്യാനം അംഗീകരിക്കുന്നു. 1/2 r r d φ എന്ന പദപ്രയോഗം രണ്ട് അനന്തമായ റേഡിയസ് വെക്‌ടറുകളും പാതയുടെ ആർക്ക് മൂലകവും ചേർന്ന് രൂപപ്പെടുന്ന സെക്ടറിന്റെ വിസ്തീർണ്ണത്തെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു. അതിനെ df എന്ന് സൂചിപ്പിക്കുന്നു, ഞങ്ങൾ M = 2mf എന്ന രൂപത്തിൽ കണത്തിന്റെ നിമിഷം എഴുതുന്നു, അവിടെ f ന്റെ ഡെറിവേറ്റീവിനെ സെക്റ്റീരിയൽ വെലോസിറ്റി എന്ന് വിളിക്കുന്നു. അതിനാൽ, ആവേഗത്തിന്റെ സംരക്ഷണം അർത്ഥമാക്കുന്നത് മേഖലാ വേഗതയുടെ സ്ഥിരതയാണ് - തുല്യ സമയങ്ങളിൽ, ഒരു ചലിക്കുന്ന ബിന്ദുവിന്റെ ആരം വെക്റ്റർ തുല്യ മേഖലകളെ വിവരിക്കുന്നു ( കെപ്ലറുടെ രണ്ടാം നിയമം). (1) ൽ നിന്ന് M വഴി φ(∙) പ്രകടിപ്പിക്കുകയും ഊർജത്തിനുള്ള എക്സ്പ്രഷനിലേക്ക് പകരം വയ്ക്കുകയും ചെയ്യുമ്പോൾ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്: E = m/2 (r 2 (∙) + r 2 φ 2 (∙)) + U(r) = mr 2 (∙ )/2 + M 2 /2mr 2 + U(r). അതിനാൽ r(∙) = √(2/m (E – U(r)) - M 2 /m 2 r 2) അല്ലെങ്കിൽ, വേരിയബിളുകൾ വേർതിരിച്ച് സംയോജിപ്പിക്കുക: t = ∫dr/√(2/m (E – U( r)) - M 2 /m 2 r 2) + const. അടുത്തതായി, dφ = M 2 /mr 2 dt എന്ന രൂപത്തിൽ (1) എഴുതുന്നു, ഇവിടെ dt മാറ്റി സംയോജിപ്പിച്ച്, നമ്മൾ കണ്ടെത്തുന്നത്: φ = ∫dr (M/r 2)/√(2/m (E – U(r) ) - M 2 / r 2) + const. കെപ്ലറുടെ ആദ്യ നിയമം.ഓരോ ഗ്രഹവും ഒരു ദീർഘവൃത്തത്തിൽ കറങ്ങുന്നു, സൂര്യൻ ഒരു ഫോക്കസിലാണ്. കെപ്ലറുടെ മൂന്നാം നിയമം.ഗ്രഹങ്ങളുടെ വിപ്ലവത്തിന്റെ നക്ഷത്ര കാലഘട്ടങ്ങളുടെ ചതുരങ്ങൾ അവയുടെ പരിക്രമണപഥത്തിന്റെ അർദ്ധമേജർ അക്ഷങ്ങളുടെ സമചതുരമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു T 1 2 /T 2 2 = a 1 3 /a 2 3 .
5. മെറ്റീരിയൽ പോയിന്റുകളുടെ ഒരു സിസ്റ്റത്തിന്റെ ലഗ്രാഞ്ച് ഫംഗ്ഷനും ലഗ്രാഞ്ച് സമവാക്യങ്ങളും. ചലനത്തിന്റെ സംയോജനങ്ങൾ. മെറ്റീരിയൽ പോയിന്റുകളുടെ ഒരു അടഞ്ഞ സംവിധാനം നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം. അതിനുള്ള ലാഗ്രാഞ്ച് ഫംഗ്‌ഷന് L = Σ(a) – U(r 1, r 2, …) എന്ന രൂപമുണ്ട്, ഇവിടെ T = Σ (a) എന്നത് ഗതികോർജ്ജമാണ്, U എന്നത് കണികാ പ്രതിപ്രവർത്തനത്തിന്റെ സാധ്യതയുള്ള ഊർജ്ജമാണ്. അപ്പോൾ ചലനത്തിന്റെ സമവാക്യങ്ങൾ d/dt (∂L/∂v a) = ∂L/∂r a ഫോം എടുക്കുന്നു m a dv a /dt = - ∂U/∂r a . ഈ ചലന സമവാക്യങ്ങളെ ന്യൂട്ടന്റെ സമവാക്യങ്ങൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. വെക്റ്റർ എഫ് a = - ∂U/∂r a യെ ബലം എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ചലനത്തെ വിവരിക്കുന്നതിന്, പോയിന്റുകളുടെ കാർട്ടീഷ്യൻ കോർഡിനേറ്റുകളല്ല, അനിയന്ത്രിതമായ സാമാന്യവൽക്കരിച്ച കോർഡിനേറ്റുകളാണ് q i ഉപയോഗിക്കുന്നതെങ്കിൽ, ലഗ്രാൻജിയൻ ഫംഗ്ഷൻ ലഭിക്കുന്നതിന് അനുബന്ധ പരിവർത്തനം നടത്തേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്: x a = f(q 1, q 2, .., q s) , x a (∙) = Σ(k) [∂f a /∂q k ( ∙)], മുതലായവ. ഈ പദപ്രയോഗങ്ങളെ L= 1 / 2 Σ(a) – U എന്ന ഫംഗ്‌ഷനിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നതിലൂടെ, ഫോമിന്റെ ആവശ്യമുള്ള ലഗ്രാഞ്ച് ഫംഗ്ഷൻ നമുക്ക് ലഭിക്കും. L = 1/2 Σ(i,k) - U(q). ചലനത്തിന്റെ സംയോജനങ്ങൾ.പ്രാരംഭ വ്യവസ്ഥകളെ മാത്രം ആശ്രയിച്ച് ചലന സമയത്ത് സ്ഥിരമായ മൂല്യങ്ങൾ നിലനിർത്തുന്ന സാമാന്യവൽക്കരിച്ച കോർഡിനേറ്റുകളുടെ പ്രവർത്തനങ്ങൾ ഉണ്ട്. അവയെ ചലനത്തിന്റെ ഇന്റഗ്രലുകൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. സമയത്തിന്റെ ഏകതാനത കാരണം, dL/ dt = Σ(i) [∂L/∂q i q i (∙)] + Σ(i) [∂L/∂q i (·) q i ( ∙∙)]. ലാഗ്രാഞ്ച് സമവാക്യങ്ങൾ അനുസരിച്ച് ∂L/∂q i മാറ്റി d/dt (∂L/∂q i (∙)), നമുക്ക് dL/dt = Σ(i) അല്ലെങ്കിൽ d/dt (Σ(i) - L) = 0 ലഭിക്കും ഇതിൽ നിന്ന് നമ്മൾ കാണുന്നു, E = Σ(i) – L, ഊർജ്ജം എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്ന അളവ് മാറില്ല, അതായത്. ചലനത്തിന്റെ അവിഭാജ്യഘടകം. അനന്തമായ കൈമാറ്റം ε ഉള്ള സ്ഥലത്തിന്റെ ഏകതാനത കാരണം, സിസ്റ്റത്തിന്റെ എല്ലാ പോയിന്റുകളും ε = δr കൊണ്ട് സ്ഥാനഭ്രംശം വരുത്തുമ്പോൾ, δL = ε Σ(a) [∂L/∂r a ] ന് തുല്യമായ ലാഗ്രാഞ്ച് ഫംഗ്ഷനിലെ മാറ്റം തുല്യമായിരിക്കണം. പൂജ്യത്തിലേക്ക്, അതായത്. Σ(a) [∂L/∂r a ] = 0. ലഗ്രാഞ്ച് സമവാക്യങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് Σ(a) = d/dt (Σ(a)[ ∂L/∂v a ]) = 0. അപ്പോൾ അളവ് ആർ= Σ(a)[ ∂L/∂v a ], മൊമെന്റം എന്ന് വിളിക്കുന്നു, മാറ്റമില്ലാതെ തുടരുന്നു, അതായത്. ചലനത്തിന്റെ അവിഭാജ്യഘടകം. ബഹിരാകാശത്തിന്റെ ഐസോട്രോപ്പി കാരണം, δφ കോണിലൂടെയുള്ള അനന്തമായ ഭ്രമണത്തോടെ, ലഗ്രാഞ്ച് ഫംഗ്ഷനിലെ മാറ്റം δL = Σ(a) [∂L/∂r a δ ആർ a + ∂L/∂v a δ വി a ] പൂജ്യത്തിന് തുല്യമായിരിക്കണം. ∂L/∂ മാറ്റിസ്ഥാപിച്ചു വി a = പി a ഒപ്പം ∂L/∂ ആർ a = പി a (∙) δφ ന്റെ ഏകപക്ഷീയത കാരണം നമുക്ക് d/dt Σ(a) [ ആർഎ പി a ] = 0. മൂല്യം M = Σ(a) [ ആർഎ പി a ], കോണീയ ആക്കം എന്ന് വിളിക്കുന്നു, സ്ഥിരമായി തുടരുന്നു, അതായത്. ചലനത്തിന്റെ അവിഭാജ്യഘടകം.
6. തികച്ചും കർക്കശമായ ശരീരത്തിന്റെ ചലനാത്മകത. ജഡത്വ ടെൻസർ. യൂലറുടെ സമവാക്യങ്ങൾ. ഒരു കർക്കശമായ ശരീരം മെറ്റീരിയൽ പോയിന്റുകളുടെ ഒരു സംവിധാനമാണ്, അവ തമ്മിലുള്ള ദൂരം സ്ഥിരമായി തുടരുന്നു. ഒരു കർക്കശമായ ശരീരത്തിന്റെ ചലനത്തെ പൂർണ്ണമായി വിവരിക്കുന്നതിന്, അതിന്റെ ഒരു ബിന്ദുവിന്റെ ചലനത്തിന് പുറമേ, ഈ ബിന്ദുവിന് ചുറ്റുമുള്ള ശരീരത്തിന്റെ ചലനത്തെ ഫിക്സേഷൻ പോയിന്റായി അറിയേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. ബോഡി O എന്ന ബിന്ദുവിൽ ഉറപ്പിക്കട്ടെ. O യുമായി താരതമ്യപ്പെടുത്തുമ്പോൾ m i പോയിന്റിന്റെ ആരം വെക്റ്ററിനെ ഞങ്ങൾ സൂചിപ്പിക്കുന്നു ആർഞാൻ, wശരീരത്തിന്റെ തൽക്ഷണ കോണീയ പ്രവേഗമാണ്, പിന്നെ കോണീയ ആക്കം എൽ= Σ [ ആർഞാൻ * ഞാൻ വി i ] = Σ = wΣ - Σ. ഈ വെക്റ്റർ സമത്വം L x = w x Σ - Σ കോർഡിനേറ്റ് അക്ഷങ്ങളിൽ മൂന്ന് പ്രൊജക്ഷനുകളുടെ രൂപത്തിൽ എഴുതാം; L y = w y Σ - Σ ; L z = w z Σ - Σ . അത് കണക്കിലെടുക്കുമ്പോൾ ( w ആർ i) = x i w x + y i w y + z i w z നമുക്ക് L x = J xx w x + J xy w y + J xz w z ലഭിക്കും; L y = J yx w x + J yy w y + J yz w z; L x = J zx w x + J zy w y + J zz w z, ഇവിടെ J xx = Σ, J xy = Σ, മറ്റുള്ളവ സമാനമായി. J xx , J yy , J zz എന്നീ അളവുകളെ ജഡത്വത്തിന്റെ അക്ഷീയ നിമിഷങ്ങൾ എന്നും J xy = J yx , J xz = J zx , J yz = J zy - ജഡത്വത്തിന്റെ അപകേന്ദ്ര നിമിഷങ്ങൾ എന്നും വിളിക്കുന്നു. J ij അളവുകളുടെ കൂട്ടത്തെ ജഡത്വ ടെൻസർ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. J ii യുടെ മൂലകങ്ങളെ ഡയഗണൽ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. എല്ലാ ഡയഗണൽ അല്ലാത്ത മൂലകങ്ങളും പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണെങ്കിൽ, കോർഡിനേറ്റ് അക്ഷങ്ങളുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്ന ശരീരത്തിന്റെ അക്ഷങ്ങൾ ജഡത്വത്തിന്റെ പ്രധാന അക്ഷങ്ങളാണെന്നും J ii അളവുകളെ ജഡത്വത്തിന്റെ പ്രധാന നിമിഷങ്ങൾ എന്നും വിളിക്കുന്നു. അത്തരമൊരു ടെൻസർ ഡയഗണൽ രൂപത്തിലേക്ക് ചുരുക്കിയിരിക്കുന്നു.
യൂലറുടെ സമവാക്യങ്ങൾ. ശരീരത്തിന്റെ പിണ്ഡത്തിന്റെ കേന്ദ്രത്തിന്റെ ചലന സമവാക്യത്തിന് m d എന്ന രൂപമുണ്ട് വി 0 /dt = m d/dt ( w * ആർ 0) = എഫ്, എവിടെ ആർ 0 - ശരീരത്തിന്റെ പിണ്ഡത്തിന്റെ കേന്ദ്രത്തിന്റെ ആരം വെക്റ്റർ, അതിന്റെ അറ്റാച്ച്മെന്റിന്റെ പോയിന്റിൽ നിന്ന് വരച്ചതാണ്. ജഡത്വത്തിന്റെ പ്രധാന അക്ഷങ്ങൾക്കൊപ്പം ശരീരവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിന്റെ അക്ഷങ്ങൾ നയിക്കാൻ ഇത് സൗകര്യപ്രദമാണ്. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, കോണീയ ആക്കം L 1 = J 1 w 1, L 2 = J 2 w 2, L 3 = J 3 w 3 എന്ന ലളിതമായ രൂപത്തിൽ എടുക്കുന്നു, ഒപ്പം w i ചലിക്കുന്ന കോർഡിനേറ്റ് അക്ഷങ്ങളിലേക്കുള്ള കോണീയ പ്രവേഗത്തിന്റെ പ്രൊജക്ഷനുകളാണ്. ശരീരം കൊണ്ട്. പൊതുവായ ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് ഡി എ/dt = ∂ എ/∂t + w* എ, നമുക്ക് നിമിഷ സമവാക്യത്തെ ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ പ്രതിനിധീകരിക്കാം ∂ എൽ/∂t + w * എൽ = എം. L x = J x w x, L y = J y w y, L z = J z w z എന്ന് കണക്കിലെടുക്കുമ്പോൾ, ചലിക്കുന്ന കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിന്റെ അച്ചുതണ്ടിലെ പ്രൊജക്ഷനുകളിൽ ഞങ്ങൾ ഈ സമവാക്യം മാറ്റിയെഴുതുന്നു: J x dw x / dt + (J z - J y )w y w z = M x , J y dw y /dt + (J x – J z)w z w x = M y , J z dw z /dt + (J y – J x)w x w y = M z . ഈ സമവാക്യങ്ങളെ യൂലറുടെ സമവാക്യങ്ങൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.
7.
നോൺ-ഇനർഷ്യൽ ഫ്രെയിമുകളുടെ റഫറൻസുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ചലനം.
NISO ഒരു പൂച്ചയിലെ ഒരു സംവിധാനമാണ്. വിശ്രമവുമായി താരതമ്യപ്പെടുത്തുമ്പോൾ ശരീരം ത്വരിതഗതിയിൽ നീങ്ങുന്നു. ഏകോപന സംവിധാനങ്ങൾ ഇവിടെ സ്ഥലത്തിന്റെയും സമയത്തിന്റെയും ഏകതാനത, ഐസോട്രോപി എന്നീ ആശയങ്ങൾ നിറവേറ്റപ്പെടുന്നില്ല, കാരണം NISO-യിലെ ദൈർഘ്യവും വ്യാപ്തിയും വ്യത്യാസപ്പെടുന്നു. കൂടാതെ, ന്യൂട്ടന്റെ മൂന്നാം തത്വത്തിന്റെ ഉള്ളടക്കവും സംരക്ഷണ തത്വങ്ങളും നഷ്ടപ്പെട്ടു. എല്ലാത്തിനും കാരണം കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റമായ പൂച്ചയുമായി മാത്രം ബന്ധപ്പെട്ട ജഡത്വത്തിന്റെ ശക്തികളാണ്. ശരീരത്തിന്റെ ചലനത്തെ ബാധിക്കുന്നു. അത്. ബാഹ്യബലമോ ജഡത്വത്തിന്റെ ബലമോ ഉപയോഗിച്ച് ത്വരണം മാറ്റാവുന്നതാണ്. F=∑Fi=ma (ISO), F=F(ext.)+Fi=ma′(NISO), ഇവിടെ Fi എന്നത് നിഷ്ക്രിയ ശക്തിയാണ്, a എന്നത് ആക്സിലറേഷൻ ആണ്. ISO, a′-acceleration-ലെ ബോഡികൾ. NISO-യിലെ അതേ ശരീരം. NISO-യിൽ, ന്യൂട്ടന്റെ ഒന്നാം നിയമം തൃപ്തികരമല്ല! Fi=-m(a′-a), അതായത്. ജഡശക്തികൾ ന്യൂട്ടന്റെ മൂന്നാം നിയമം അനുസരിക്കുന്നില്ല, കാരണം അവ ഹ്രസ്വകാലമാണ്. ഐഎസ്ഒയിൽ നിന്ന് എൻഐഎസ്ഒയിലേക്ക് നീങ്ങുമ്പോൾ, നിഷ്ക്രിയ ശക്തികൾ അപ്രത്യക്ഷമാകുന്നു. ജഡത്വത്തെ ശക്തികൾ എല്ലായ്പ്പോഴും കണ്പോളകൾക്ക് നേരെ നയിക്കപ്പെടുന്നു. ബാഹ്യശക്തികൾ. ജഡത്വ ശക്തികളെ വെക്റ്റോറിയലായി ചേർക്കാം. ISO-ൽ: v=const, v< dx/dt=Ux=dx′/dt+dv(t)/dt′=U′x+v(t) dUx/dt=d/dt′(U′x+v(t))=dU′x/ dt′+dv(t)/dt′=a x ' + a 0 = a x . കേവലവും ആപേക്ഷികവും പോർട്ടബിൾ വേഗതയും എന്ന ആശയങ്ങൾ NISO അവതരിപ്പിക്കുന്നു: u 0 എന്നത് കേവല വേഗതയാണ്, 0 എന്നത് ആപേക്ഷിക ത്വരണം ആണ്. വിശ്രമിക്കുന്നു ഏകോപന സംവിധാനങ്ങൾ u x 0 = v + u x 0 '; a x 0 = a' + a x ; u x ’ a x - വേഗതയും ആക്സിലറേഷനും ആപേക്ഷികം. പ്രസ്ഥാനം ഏകോപന സംവിധാനങ്ങൾ (ബന്ധു); v, a′-വേഗത ത്വരിതപ്പെടുത്തുകയും ചെയ്തു. to′ സൂചിപ്പിക്കുന്നു. ലേക്ക്, അതായത്. പോർട്ടബിൾ വേഗതയും ആക്സിലറേഷനും സാമാന്യവൽക്കരിച്ച കോർഡിനേറ്റുകൾ, വേഗത, സമയം എന്നിവയുടെ പ്രവർത്തനമുണ്ട്. ഒരു 2S ഡൈമൻഷണൽ സ്പേസ് പരിഗണിക്കുക, തുടർന്ന് സിസ്റ്റത്തിന്റെ സ്ഥാനം S = ∫(t 1 , t 2) L(g, g(), t)dt, L എന്നത് Lagrange ഫംഗ്ഷൻ ആണ്; എസ്- പ്രവർത്തനം. പ്രവർത്തനത്തിന്റെ പ്രവർത്തനത്തെ itnegral S=∫ Ldt=0, at cat എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ചലനത്തിന്റെ യഥാർത്ഥ പാതയിലൂടെ എടുത്താൽ, സിസ്റ്റത്തിന് ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ മൂല്യം ഉണ്ടായിരിക്കും, അതായത്. S=Smin, δS=0. ആ. 1 മുതൽ 2 വരെയുള്ള സിസ്റ്റം അത്തരം ഒരു പാതയിലൂടെ നീങ്ങുന്നു, അതിന്റെ പ്രവർത്തനം വളരെ കുറവാണ് - ഹാമിൽട്ടന്റെ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ പ്രവർത്തന തത്വം. L = T - U എന്നത് സിസ്റ്റത്തിന്റെ ചലനാത്മകവും സാധ്യതയുള്ളതുമായ ഊർജ്ജങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസമാണ്. ഹാമിൽട്ടൺ പറയുന്നതനുസരിച്ച്, യഥാർത്ഥ പാത ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ പ്രവർത്തനവുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു. നമുക്ക് പാത കണ്ടെത്താം. ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ പാതയാണ് യഥാർത്ഥ പാത. എസ്-ഫങ്ഷണൽ. നമുക്ക് അത് കണ്ടെത്താം മിനിറ്റ്. δS = 0 ആദ്യ വ്യതിയാനം. δS = ∫(t 1 ,t 2)(Σ[∂L/∂g i δg i ] + Σ[∂L/∂g i ( ) δg i ( )])dt; ∫(t 1 ,t 2) ∂L/∂g i ( ) δg i ( ) dt = ∫(t 1 ,t 2) ∂L/∂g i ( ) dδg i = ∂L/∂g i ( )δg i (t 1 ,t 2) - ∫(t 1 ,t 2) δg i d/dt (∂L/∂g i ( )) dt; ഞാൻ പരസ്പരം ആശ്രയിക്കുന്നില്ല 9.
ഒന്നോ അതിലധികമോ ഡിഗ്രി സ്വാതന്ത്ര്യമുള്ള സിസ്റ്റങ്ങളുടെ ആന്ദോളനങ്ങൾ. സ്വതന്ത്രവും നിർബന്ധിതവുമായ വൈബ്രേഷനുകൾ
.
സിസ്റ്റത്തിന് ഒരു ഡിഗ്രി സ്വാതന്ത്ര്യം ഉള്ളപ്പോഴാണ് ഏറ്റവും ലളിതമായ കേസ്. സ്ഥിരമായ സന്തുലിതാവസ്ഥ പൂച്ചയിലെ സിസ്റ്റത്തിന്റെ ഈ സ്ഥാനവുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു. അതിന്റെ സാധ്യത en. U(q) ഒരു മിനിമം ഉണ്ട്. ഈ സ്ഥാനത്ത് നിന്നുള്ള വ്യതിയാനം ഒരു ശക്തിയുടെ ആവിർഭാവത്തിലേക്ക് നയിക്കുന്നു - dU/dq, ഇത് സിസ്റ്റത്തെ തിരികെ കൊണ്ടുവരാൻ ശ്രമിക്കുന്നു. q 0 - സാമാന്യവൽക്കരിച്ച കോർഡിനേറ്റ്. നമുക്ക് U(q) - U(q0) ശക്തികളാക്കി വികസിപ്പിക്കാം U(q) - U(q0) ≈ k/2 (q - q 0) 2 ഇവിടെ k = U''(q 0) എന്നത് ഒരു പോസിറ്റീവ് ഗുണകമാണ്. U(q 0) = 0, നമുക്ക് സൂചിപ്പിക്കാം x = q - q 0 - സന്തുലിത മൂല്യത്തിൽ നിന്നുള്ള കോർഡിനേറ്റിന്റെ വ്യതിയാനം, തുടർന്ന് U(x) = kx 2/2 – പൊട്ടൻഷ്യൽ എനർജി. 1/2a(q) q' 2 =1/2a(q)x' 2 -കൈനറ്റിക് എനർജി q = q0, a(q0) = m എന്നിവയിൽ ഏകമാനമായ ആന്ദോളനങ്ങൾ നടത്തുന്ന ഒരു സിസ്റ്റത്തിനായി നമുക്ക് ലഗ്രാഞ്ച് ഫംഗ്ഷൻ ലഭിക്കും: L = mx 2 (∙) /2 – kx 2/2. ഈ ഫംഗ്‌ഷനുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ചലനത്തിന്റെ സമവാക്യം ഇതായിരിക്കും: mx(∙∙) + kx = 0 അല്ലെങ്കിൽ x(∙∙) + w 2 x = 0, ഇവിടെ w = √(k/m) എന്നത് സൈക്ലിക് ആന്ദോളന ആവൃത്തിയാണ്. ഈ സമവാക്യങ്ങൾക്കുള്ള പരിഹാരം x = a cos (wt + α) ആണ്, ഇവിടെ a എന്നത് ആന്ദോളനങ്ങളുടെ വ്യാപ്തിയാണ്, wt + α എന്നത് ആന്ദോളനങ്ങളുടെ ഘട്ടമാണ്. അത്. സിസ്റ്റത്തിന്റെ ആന്ദോളനത്തിന്റെ ഊർജ്ജം E = mx 2 (∙)/2 + kx 2/2 ആയിരിക്കും. നിർബന്ധിത വൈബ്രേഷനുകൾ.ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, സ്വന്തം പൊട്ടൻഷ്യൽ എനർജി ½ kx 2 സഹിതം, സിസ്റ്റത്തിന് ബാഹ്യ ഫീൽഡിന്റെ പ്രവർത്തനവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട സാധ്യതയുള്ള ഊർജ്ജം U e (x, m) ഉണ്ട്. അതനുസരിച്ച്, അത്തരം ഒരു സിസ്റ്റത്തിന്റെ Lagrange ഫംഗ്ഷൻ ഇതായിരിക്കും: L = mx 2 (∙)/2 + kx 2 /2 + x F(t), ഇവിടെ F(t) എന്നത് ബാഹ്യശക്തിയാണ്. ചലനത്തിന്റെ അനുബന്ധ തലം mx(∙∙) + kx = F(t), അല്ലെങ്കിൽ x(∙∙) + w 2 x = F(t)/m ആയിരിക്കും. F(t) എന്നത് ഒരു നിശ്ചിത ആവൃത്തിയിലുള്ള സമയത്തിന്റെ ഒരു ലളിതമായ ആനുകാലിക പ്രവർത്തനമാണെങ്കിൽ: F(t) = f cos(γt + β) അപ്പോൾ ചലനത്തിന്റെ സമവാക്യങ്ങൾക്കുള്ള പരിഹാരം ഇതായിരിക്കും: X = a cos(wt + α) + f cos(γt + β)/(m(w 2 - γ 2)) a, α എന്നിവ പ്രാരംഭ വ്യവസ്ഥകളിൽ നിന്ന് നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു. അത്. ഒരു ചാലകശക്തിയുടെ സ്വാധീനത്തിൽ, സിസ്റ്റം രണ്ട് ആന്ദോളനങ്ങളുടെ സംയോജനത്തെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്ന ഒരു ചലനം ഉണ്ടാക്കുന്നു - സിസ്റ്റത്തിന്റെ സ്വാഭാവിക ആവൃത്തിയും ചാലകശക്തിയുടെ ആവൃത്തിയും ഉപയോഗിച്ച് - γ. നിരവധി ഡിഗ്രി സ്വാതന്ത്ര്യമുള്ള സിസ്റ്റങ്ങളുടെ ആന്ദോളനങ്ങൾ
.
ശക്തൻ. en. സിസ്റ്റം U(q i) ന് q i =q i 0 എന്നതിൽ മിനിമം ഉണ്ട്. ചെറിയ സ്ഥാനചലനങ്ങൾ x i = q i - q i 0 അവതരിപ്പിക്കുന്നതിലൂടെയും അവയുടെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ U വികസിപ്പിക്കുന്നതിലൂടെയും, 2nd ഓർഡർ നിബന്ധനകൾ വരെ, നമുക്ക് സാധ്യതകൾ ലഭിക്കും. ഊർജ്ജം: U = 1/2 Σ(i,k) , k ik =k കി . കൈനറ്റ്. en. അത്തരം ഒരു സിസ്റ്റത്തിന് 1/2 Σ(i,k) ഉണ്ടായിരിക്കും, ഇവിടെ m ik =m ki . അത്തരമൊരു സിസ്റ്റത്തിന്റെ ലഗ്രാഞ്ച് സമവാക്യം ഇതായിരിക്കും: L = 1/2 Σ(i,k) . അപ്പോൾ dL = Σ(i,k) . നമ്മൾ x k (t) ഫോമിൽ x k = A k exp(-iwt), A k എന്നത് ഒരു സ്ഥിരാങ്കമാണ്. ഇത് ലാഗ്രാഞ്ച് സമവാക്യത്തിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നതിലൂടെ, നമുക്ക് രേഖീയ ഏകതാനമായ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം ലഭിക്കും. Σ(k) [(-w 2 m ik +k ik)A k ] = 0 - സ്വഭാവ സമവാക്യം, ഇതിന് വ്യത്യസ്ത വേരുകളുണ്ട് w 2 α (α=1,2,….,s) w α - സ്വാഭാവിക ആവൃത്തികൾ സിസ്റ്റം . സിസ്റ്റത്തിന്റെ ഒരു പ്രത്യേക പരിഹാരത്തിന് ഫോം ഉണ്ട്: x k = ∆ kα C α exp(-iw α t). പൊതുവായ പരിഹാരം എല്ലാ ഭാഗിക പരിഹാരങ്ങളുടെയും ആകെത്തുകയാണ്: x k = Σ(α) [∆ kα Q α], ഇവിടെ Q = Re (C α exp(-iw α t)). 10.
ഹാമിൽട്ടന്റെ കാനോനിക്കൽ സമവാക്യം.
മെക്കാനിക്സിലെ ചോദ്യങ്ങൾ പഠിക്കുമ്പോൾ നിരവധി ഗുണങ്ങൾ സാമാന്യവൽക്കരിച്ച കോർഡിനേറ്റുകളും പ്രേരണകളും ഉപയോഗിച്ച് വിവരണം നൽകുന്നു, ഒരു കൂട്ടം സ്വതന്ത്ര വേരിയബിളുകളിൽ നിന്ന് മറ്റൊന്നിലേക്കുള്ള മാറ്റം ലെജൻഡ്രെ പരിവർത്തനം വഴി നടപ്പിലാക്കാൻ കഴിയും. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഇത് ഇനിപ്പറയുന്നവയിലേക്ക് വരുന്നു. കോർഡിനേറ്റുകളുടെയും പ്രവേഗങ്ങളുടെയും ഒരു ഫംഗ്ഷൻ എന്ന നിലയിൽ ലഗ്രാഞ്ച് ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ മൊത്തം ഡിഫറൻഷ്യൽ ഇതിന് തുല്യമാണ്: dL = Σ(i) [∂L/∂q i ] + Σ(i) [[∂L/∂q i ( ∙)]. ഈ പദപ്രയോഗം dL = Σ(i) + Σ(i) എന്ന് എഴുതാം. നമുക്ക് അത് ഫോമിൽ വീണ്ടും എഴുതാം: d(Σ(i) – L) = - Σ(i) + Σ(i) . ഡിഫറൻഷ്യൽ ചിഹ്നത്തിന് കീഴിലുള്ള അളവ് കോർഡിനേറ്റുകളുടെയും മൊമെന്റയുടെയും അടിസ്ഥാനത്തിൽ പ്രകടിപ്പിക്കുന്ന സിസ്റ്റത്തിന്റെ ഊർജ്ജത്തെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു, അതിനെ ഹാമിൽട്ടോണിയൻ ഫംഗ്ഷൻ എന്ന് വിളിക്കുന്നു: H(p,q,t) = Σ(i) - L. ഡിഫറൻഷ്യലിൽ നിന്ന്. തുല്യതകൾ dH = - Σ(i) + Σ(i) സമവാക്യങ്ങൾ പിന്തുടരുക: q i ( ∙) = ∂H/∂p i, p i (∙) = - ∂H/∂q i – ഇവയാണ് ഹാമിൽട്ടന്റെ സമവാക്യങ്ങൾ. അവയുടെ ലാളിത്യവും സമമിതിയും കാരണം അവയെ എന്നും വിളിക്കുന്നു. കാനോനിക്കൽ. വിഷം ബ്രാക്കറ്റുകൾ.സാമാന്യവൽക്കരിച്ച കോർഡിനേറ്റുകളുടെയും പ്രേരണകളുടെയും സമയത്തിന്റെയും ഏതെങ്കിലും ഫംഗ്‌ഷന്റെ സമയ ഡെറിവേറ്റീവ് dF/dt = ∂F/∂t + Σ(i) [∂F/∂q i dq i /dt] + Σ(i) [∂F/ ∂p i dp i /dt]. ഹാമിൽട്ടണിന്റെ സമവാക്യങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച്, നമുക്ക് ഈ സമവാക്യം ഇനിപ്പറയുന്ന രൂപത്തിൽ മാറ്റിയെഴുതാം: dF/dt = ∂F/∂t + , ഇവിടെ = Σ(i) [∂F/∂q i ∂H/∂p i - ∂H/∂q i ∂F /∂ p i ] - വിളിച്ചു പോയിസൺ ബ്രാക്കറ്റ്. വ്യക്തമായും, ഹാമിൽട്ടന്റെ സമവാക്യം പോയിസൺ ബ്രാക്കറ്റുകൾ ഉപയോഗിച്ച് എഴുതാം. 11.
ഹാമിൽട്ടൺ-ജേക്കബി സമവാക്യം
.
ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ പ്രവർത്തന തത്വമനുസരിച്ച് നമുക്ക് S = ∫(t 1 ,t 2)Ldt ഉണ്ട്. യഥാർത്ഥ പാതകളിലൂടെയുള്ള ചലനത്തിന്റെ ഒരു അളവ് സ്വഭാവമായി നമുക്ക് പ്രവർത്തനത്തെ (എസ്) പരിഗണിക്കാം. ഒരു പാതയിൽ നിന്ന് അതിനടുത്തുള്ള മറ്റൊരു പാതയിലേക്ക് (സ്വാതന്ത്ര്യത്തിന്റെ ഒരു ഡിഗ്രിയിൽ) നീങ്ങുമ്പോൾ പ്രവർത്തനം മാറ്റുന്നതിനുള്ള ലഗ്രാഞ്ച് സമവാക്യത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്: δS = pδq അല്ലെങ്കിൽ സ്വാതന്ത്ര്യത്തിന്റെ എത്രയോ ഡിഗ്രികൾ: δS = Σ(i) . കോർഡിനേറ്റുകളുമായി ബന്ധപ്പെട്ട പ്രവർത്തനത്തിന്റെ ഭാഗിക ഡെറിവേറ്റീവുകൾ അനുബന്ധ പ്രേരണകൾക്ക് തുല്യമാണെന്ന് ഇത് പിന്തുടരുന്നു: ∂S/∂q i = p i (1). നിർവചനം അനുസരിച്ച്, dS/dt = L, മറുവശത്ത്, കോർഡിനേറ്റുകളുടെയും സമയത്തിന്റെയും ഒരു ഫംഗ്‌ഷനായി S കണക്കാക്കുകയും (1) ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു: dS/dt = ∂S/∂t + Σ(i) [∂S/ ∂q i q i (∙)] = ∂S/∂t + Σ(i) . രണ്ട് എക്സ്പ്രഷനുകളും താരതമ്യം ചെയ്യുമ്പോൾ, നമുക്ക് ∂S/∂t = L - Σ(i) അല്ലെങ്കിൽ ∂S/∂t = - H(p,q,t) (2) ലഭിക്കും. ഫോർമുലകൾ (1), (2) ഒരുമിച്ച് dS = Σ(i) – Hdt എന്ന് എഴുതാം. ആക്ഷൻ (S) തന്നെ S = ∫ (Σ(i) – Hdt) ആയിരിക്കും. H സ്വതന്ത്രമായിരിക്കുമ്പോൾ t – S(q,t)=S 0 (q) - Et, ഇവിടെ S 0 (q) = Σ(i) [∫p i dq i ] ഒരു ചുരുക്കിയ പ്രവർത്തനമാണ്, Et എന്നത് H( p,q) . S(q,t) ഫംഗ്ഷൻ ഒരു നിശ്ചിത വ്യത്യാസത്തെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നു. ∂S/∂q ഡെറിവേറ്റീവുകൾ ഉപയോഗിച്ച് (2) പൾസുകളെ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നതിലൂടെ നമുക്ക് ലഭിക്കുന്ന സമവാക്യം: ∂S/∂t + H(∂S/∂q 1 ,…, ∂S/∂q s ;q 1 ,... ,q s ,t) = 0 എന്നത് ഒരു 1st ഓർഡർ ഭാഗിക ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യമാണ്. ഹാമിൽട്ടൺ-ജേക്കബി സമവാക്യം. അങ്ങനെ, ഒരു ബാഹ്യ ഫീൽഡിലെ ഒരു കണികയ്ക്ക് U(x,y,z,t) ഫോം ഉണ്ട്: ∂S/∂t + 1/(2m)((∂S/∂x) 2 + (∂S/∂ y) 2 + (∂S/∂z) 2) + U(x,y,z,t) = 0. 12.
ഖരവസ്തുക്കളിൽ രൂപഭേദങ്ങളും സമ്മർദ്ദങ്ങളും. യംഗ് മോഡുലി, ഷിയർ. വിഷത്തിന്റെ അനുപാതം
.
ബാഹ്യശക്തികളുടെ സ്വാധീനത്തിൽ ശരീരത്തിന്റെ ആകൃതിയിലും അളവിലും വരുന്ന മാറ്റമാണ് രൂപഭേദം. ബാഹ്യശക്തിയുടെ സ്വാധീനത്തിൽ ശരീരത്തിന്റെ ആകൃതി മാറുന്നു. പ്രകൃതിയിലെ എല്ലാ രൂപഭേദങ്ങളും 3 ആയി കുറയ്ക്കാം എംപ്രധാന വൈകല്യങ്ങൾ: 1) പിരിമുറുക്കം, കംപ്രഷൻ; 2) ഷിഫ്റ്റ്; 3) ടോർഷൻ. ഏകതാനവും ഏകതാനമല്ലാത്തതുമായ രൂപഭേദങ്ങൾ ഉണ്ട്. എല്ലാ ഭാഗങ്ങളും തുല്യമായി രൂപഭേദം വരുത്തിയാൽ, ഇത് ഏകതാനമായ രൂപഭേദം.ശരീരത്തിന്റെ എല്ലാ ഭാഗങ്ങളും അസമമായി രൂപഭേദം വരുത്തിയാൽ, ഇത് വൈവിധ്യമാർന്ന രൂപഭേദം.ഇലാസ്റ്റിക് രൂപഭേദം മാത്രമുള്ള മേഖലയിൽ ഹുക്കിന്റെ നിയമം തൃപ്തികരമാണ്. = E’. F/S = E ∆l/l 0 ; F നിയന്ത്രണം = ES∆l/l 0 = kx; k = ES/l 0 ; എഫ് നിയന്ത്രണം = ESx/l 0 . ഹൂക്കിന്റെ നിയമം ഉം ഉം തമ്മിലുള്ള ബന്ധം നിർവചിക്കുന്നു. k എന്നത് ഇലാസ്തികത ഗുണകമാണ്, ഇത് ജ്യാമിതീയ അളവുകൾ, മെറ്റീരിയൽ, ശരീരം നിർമ്മിച്ചിരിക്കുന്നത് എന്നിവയെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു. ഇ-യങ്ങിന്റെ മോഡുലസ്. യങ്ങിന്റെ മോഡുലസ് അതിന്റെ ശരീരത്തിന്റെ വലിപ്പം ഇരട്ടിയാക്കുന്നതിന് യൂണിറ്റ് ക്രോസ്-സെക്ഷന്റെ ഒരു ബോഡിയിൽ പ്രയോഗിക്കേണ്ട ബലത്തിന് തുല്യമാണ്. മറ്റൊരു തരം രൂപഭേദം ഷിയർ ഡിഫോർമേഷൻ ആണ്, ഇത് ഉപരിതലത്തിൽ സ്പർശനപരമായി പ്രയോഗിക്കുമ്പോൾ നിരീക്ഷിക്കപ്പെടുന്നു; ഇത് ഷിയർ ഡിഫോർമേഷൻ ഉപരിതലത്തിന് സമാന്തരമാണ്, ഇത് സ്പർശന ശക്തികളുടെ പ്രവർത്തനത്തിന് കീഴിൽ നിരീക്ഷിക്കപ്പെടുന്നു, അതായത്, ശക്തികൾ സ്പർശനമായി പ്രയോഗിക്കുന്നു. Ψ~F t /S (ഷിഫ്റ്റ് ആംഗിൾ). Ψ = nF t /S; n എന്നത് ഷിഫ്റ്റ് കോഫിഫിഷ്യന്റ് ആണ്. F t = nS. (E>N, E~ 4N). 13.
ദ്രാവകങ്ങളുടെയും വാതകങ്ങളുടെയും മെക്കാനിക്സ്.
എല്ലാ ദ്രാവകങ്ങൾക്കും വാതകങ്ങൾക്കും, ഏകീകൃത പരാമീറ്റർ ഇതാണ്: സാന്ദ്രത ρ, മർദ്ദം P=F n /S. ദ്രാവകങ്ങളിലും വാതകങ്ങളിലും, യങ്ങിന്റെ മോഡുലസ് നടക്കുന്നു, എന്നാൽ ഷിയർ മോഡുലസ് |σ|=|P| നടക്കുന്നില്ല, σ സമ്മർദ്ദമാണ്. ദ്രാവകം (ഗ്യാസ്) ചലനരഹിതമാണെങ്കിൽ, ഞങ്ങൾ ഹൈഡ്രോസ്റ്റാറ്റിക്സ് (എയറോസ്റ്റാറ്റിക്സ്) കൈകാര്യം ചെയ്യുന്നു. സ്വഭാവ നിയമങ്ങൾ: പാസ്കലിന്റെ നിയമം: വാതകങ്ങളിലും ദ്രാവകങ്ങളിലും സൃഷ്ടിക്കുന്ന അധിക മർദ്ദം എല്ലാ ദിശകളിലേക്കും തുല്യമായി കൈമാറ്റം ചെയ്യപ്പെടുന്നു. ആർക്കിമിഡീസിന്റെ തത്വം ദ്രാവകങ്ങൾക്കും വാതകങ്ങൾക്കും ബാധകമാണ്. ആർക്കിമിഡീസിന്റെ ബലം എപ്പോഴും ഗുരുത്വാകർഷണത്തിനെതിരായി പ്രവർത്തിക്കുന്നു. ശരീരത്തിലെ വോളിയം V യുടെ സാന്നിധ്യമാണ് ആർക്കിമിഡീസ് ശക്തി ഉണ്ടാകാനുള്ള കാരണം ആർക്കിമിഡീസിന്റെ തത്വം: ഒരു ദ്രാവകത്തിലോ വാതകത്തിലോ സ്ഥിതി ചെയ്യുന്ന ഒരു ശരീരം എല്ലായ്പ്പോഴും പ്രവർത്തിക്കുന്നത് ദ്രാവകത്തിന്റെയോ വാതകത്തിന്റെയോ ഭാരത്തിന് തുല്യമായ ബലമാണ്. ശരീരത്തിന്റെ ഭാഗം മുക്കി, ലംബമായി മുകളിലേക്ക് നയിക്കപ്പെടുന്നു. F A >F GRAVITY ആണെങ്കിൽ, ശരീരം പൊങ്ങിക്കിടക്കുന്നു, നേരെമറിച്ച്, അത് മുങ്ങുന്നു. ദ്രാവകം (ഗ്യാസ്) ഒഴുകുകയാണെങ്കിൽ, ഈ സമവാക്യങ്ങളിൽ ജെറ്റ് തുടർച്ച സമവാക്യം ചേർക്കുന്നു. ഒരു ദ്രാവകത്തിലെ ഒരു കണത്തിന്റെ സഞ്ചാരപഥത്തെ വിളിക്കുന്നു. നിലവിലെ ലൈൻ. നിലവിലെ വരിയിൽ പരിമിതപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന സ്ഥലത്തിന്റെ ഭാഗത്തെ വിളിക്കുന്നു. നിലവിലെ ട്യൂബ്. നിലവിലെ ട്യൂബിലെ ദ്രാവകത്തിന് നിശ്ചലമോ സ്ഥിരതയോ ഒഴുകാൻ കഴിയും. കറന്റ് വിളിക്കുന്നു നിശ്ചലമായ ട്യൂബിന്റെ ഒരു നിശ്ചിത ഭാഗത്തിലൂടെ യൂണിറ്റിന് കറന്റ് ഉണ്ടെങ്കിൽ. സമയം, അതേ അളവിലുള്ള ദ്രാവകം (ഗ്യാസ്) കടന്നുപോകുന്നു, അല്ലാത്തപക്ഷം ഒഴുക്ക് അസ്ഥിരമാണ്. നമുക്ക് ഇനിപ്പറയുന്ന ഫോമിന്റെ ഒരു നിലവിലെ ട്യൂബ് ഉണ്ടായിരിക്കട്ടെ: ദ്രാവക പ്രവാഹം സ്റ്റാറ്റിക് ആണെങ്കിൽ. അപ്പോൾ m 1 =m 2 =…=m n ഓരോ യൂണിറ്റ് സമയത്തിനും, ദ്രാവകം കംപ്രസ്സുചെയ്യാനാകാത്തതാണെങ്കിൽ, ρ 1 V 1 =ρ 2 V 2 =...; =ρ n V n, ρ 1 Δx 1 = ρ 2 Δx 2 =...; = ρ n Δx n, ρ 1 υ 1 ΔtS 1 =ρ 2 υ 2 ΔtS 2 =...= ρ n υ n ΔtS n, ദ്രാവകം അസംബന്ധം ആയതിനാൽ ρ സ്ഥിരമായ υ 1 S 1 = =... 2 S n S n, υS=const; υ=const/S - ജെറ്റ് തുടർച്ച സമവാക്യം. ρ ഡി വി/dt = ρ ജി- ഗ്രേഡ് പി - ഇക്വി. യൂലർ - രണ്ടാം ഓർഡർ. ദ്രാവകങ്ങൾക്കും വാതകങ്ങൾക്കും ന്യൂട്ടൺ. നിയമം സംരക്ഷിച്ചു ദ്രാവകങ്ങളിലും വാതകങ്ങളിലും ഊർജ്ജം. എൽവി. ബെർണൂലി. ഐഡി. പേര് വിസ്കോസ് ഘർഷണ ശക്തികളെ അവഗണിക്കാൻ കഴിയുന്ന ഒരു അപ്രസക്തമായ ദ്രാവകം. ഘർഷണ ശക്തികൾക്കെതിരെ പ്രവർത്തിക്കാൻ ഗതികോർജ്ജം പാഴാക്കുന്നില്ല. Ρυ 2 /2+ρgh + P = const – eq. ബെർണൂലി, ρυ 2/2 - ഡൈനാമിക് മർദ്ദം, ρgh - ഹൈഡ്രോസ്റ്റാറ്റ്. മർദ്ദം, പി - തന്മാത്രാ മർദ്ദം. Mυ 2/2 = E K ; mυ 2 /2V= E K /V= ρυ 2/2. വിസ്കോസ് ഘർഷണ ബലം F A = - ηΔυΔS/ΔZ 6 π r η υ - സ്റ്റോക്സ് ഫോഴ്സ്. Η - ഗുണകം വിസ്കോസിറ്റി, Δυ/ΔZ - ഗ്രേഡ് υ, r - ശരീര അളവുകൾ. വിസ്കോസ് ഘർഷണ ശക്തികൾക്കുള്ള ന്യൂട്ടന്റെ ഫോർമുലയാണിത്. ദ്രാവകത്തിൽ ഘർഷണ ശക്തികൾ ഉണ്ടെങ്കിൽ, ഐഡി. ദ്രാവകം വിസ്കോസ് ആയി മാറുന്നു. ρ v 1 2 /2 + ρgh 1 + P 1 = ρ v 2 2 / 2 + ρgh 2 + പി 2 ; (P 1 - P 2) = ρ(υ 2 2 - υ 1 2)/2. ΔP = 0 ആണെങ്കിൽ, υ 2 2 - υ 1 2 = 0, ദ്രാവക പ്രവാഹം ഉണ്ടാകില്ല. പി കൂടുതലുള്ളിടത്ത് വേഗതയുണ്ട്. കറന്റ് കുറവാണ്. ക്രോസ് സെക്ഷൻ എസ് വർദ്ധിക്കുകയാണെങ്കിൽ, പി വർദ്ധിക്കുകയും υ കുറയുകയും ചെയ്യുന്നു. നിലവിലെ ട്യൂബ് തിരശ്ചീനമായി കിടക്കുന്നില്ലെങ്കിൽ, υ 2 2 -υ 1 2 =2g (h 1 -h 2); υ = sqrt(2g (h 1 -h 2)) - ടോറിസെല്ലിയുടെ ഫോർമുല. വിപുലീകൃത കോൺഫിഗറേഷനിലും ഫേസ് സ്പേസുകളിലും മെക്കാനിക്കൽ സിസ്റ്റങ്ങളുടെ ചലനത്തെ വിവരിക്കുന്ന പാതകൾക്ക് ശ്രദ്ധേയമായ ഒരു പ്രോപ്പർട്ടി ഉണ്ട് - അവ ചില വ്യതിയാനങ്ങളുടെ അതിരുകടന്നവയാണ്, കൂടാതെ പ്രവർത്തന പ്രവർത്തനത്തിലേക്ക് സ്റ്റേഷണറി മൂല്യങ്ങൾ എത്തിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു. വിപുലീകൃത കോൺഫിഗറേഷൻ സ്ഥലത്ത് വേരിയേഷൻ പ്രശ്നത്തിന്റെ രൂപീകരണം നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം R"*",ആരുടെ പോയിന്റുകളാണ് സെറ്റുകൾ (q, ().
വക്രം y„ = ((q, ടി): q ഇ Rt e, 5q(/ 0)= 8q(/,) = 0). വേരിയേഷൻ 8q(/) എന്നത് ക്ലാസ് C1 ൽ നിന്നുള്ള ഒരു അനിയന്ത്രിതമായ ഫംഗ്ഷനാണ്, അത് സെഗ്‌മെന്റിന്റെ അറ്റത്ത് അപ്രത്യക്ഷമാകുന്നു = 0. പ്രവർത്തനത്തിന്റെ ആദ്യ വ്യതിയാനം Syനിർവ്വചനം അനുസരിച്ച് y = y 0 എന്നത് തുല്യമാണ് ഭാഗങ്ങൾ സംയോജിപ്പിച്ചതിന് ശേഷം രൂപം എടുക്കുന്നു എക്സ്പ്രഷനിലെ (2.3) അന്തർലീനമായ പദം അപ്രത്യക്ഷമാകുന്നു, കാരണം bq k (t 0) = bq k (t y) = 0, ഇതിലേക്ക് - 1.....l, പദപ്രയോഗം ചതുരത്തിലാണ് ലഗ്രാഞ്ച് സമവാക്യങ്ങളെ (2.1) തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്ന ഒരു യഥാർത്ഥ പാതയായതിനാൽ, അവിഭാജ്യ ചിഹ്നത്തിന് കീഴിലുള്ള ബ്രാക്കറ്റുകളിൽ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്. അതിനാൽ, വ്യതിയാനം 55(y 0) = 0. ? വിപരീത പ്രസ്താവനയും ശരിയാണ്: 65(y*) = 0 എന്ന വ്യത്യാസം, അവിടെ y* റൗണ്ട് എബൗട്ട് ട്രജക്ടറികളുടെ ക്ലാസിൽ പെടുന്നുവെങ്കിൽ, y* = y 0 ഒരു യഥാർത്ഥ പാതയാണ്. ഈ പ്രസ്താവനയുടെ സാധുത ആദ്യ വ്യതിയാനത്തിന്റെ (2.3) പ്രകടനത്തിൽ നിന്നും വ്യതിയാനങ്ങളുടെ കാൽക്കുലസിന്റെ പ്രധാന ലെമ്മയിൽ നിന്നും പിന്തുടരുന്നു. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ആദ്യ വ്യതിയാനത്തിന്റെ തുല്യത മുതൽ പൂജ്യം വരെ കൂടാതെ 6 മുതൽ - 1 വരെയുള്ള വ്യതിയാനങ്ങളുടെ സ്വാതന്ത്ര്യം, ..., രണ്ടാമത്തെ തരത്തിലുള്ള ലഗ്രാഞ്ച് സമവാക്യങ്ങളുടെ സാധുത l, അത് ശരിയാണെന്ന് പിന്തുടരുന്നു എപ്പോൾ q k = q k *(t), k= 1.....എൽ. മെക്കാനിക്കൽ സിസ്റ്റത്തിന്റെ യഥാർത്ഥ പാതയാണ് y* എന്നാണ് ഇതിനർത്ഥം. 3.1 യാഥാസ്ഥിതികമല്ലാത്ത ഒരു സിസ്റ്റത്തിന്റെ കാര്യത്തിൽ, യഥാർത്ഥ പാതയിൽ നിശ്ചലമായ മൂല്യം കൈവരിച്ച ഒരു ഫങ്ഷണലിനെ സൂചിപ്പിക്കുക അസാധ്യമാണ്. എന്നിരുന്നാലും, ഈ കേസിൽ ഇനിപ്പറയുന്ന പ്രസ്താവനകൾ തുല്യമാണ്: ഇവിടെ q(/) ആണ് യഥാർത്ഥ പാത. മേൽപ്പറഞ്ഞ പ്രസ്താവനകളിൽ ആദ്യത്തേത് യാഥാസ്ഥിതിക സംവിധാനങ്ങൾക്കായുള്ള ഹാമിൽട്ടൺ-ഓസ്ട്രോഗ്രാഡ്സ്കി വ്യതിയാന തത്വത്തിന്റെ ഉള്ളടക്കമാണ്. 3.2 വ്യത്യാസം - / 0 ആവശ്യത്തിന് ചെറുതാണെങ്കിൽ പ്രവർത്തന പ്രവർത്തനത്തിന്റെ നിശ്ചല മൂല്യം മിനിമം ആണെന്ന് കാണിക്കാം. ഈ സാഹചര്യം ചർച്ച ചെയ്യപ്പെടുന്ന തത്ത്വത്തിന്റെ മറ്റൊരു പേരുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു - ഹാമിൽട്ടൺ-ഓസ്ട്രോഗ്രാഡ് തത്വം കുറഞ്ഞ പ്രവർത്തനത്തിന്റെ തത്വം. ഹാമിൽട്ടണിന്റെ കാനോനിക്കൽ സമവാക്യങ്ങളുടെ സംയോജനത്തിന്റെ പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഗണിക്കുമ്പോൾ, മുകളിൽ പരിഗണിച്ച വ്യതിയാന പ്രശ്നം ഒരു വിപുലീകൃത ഘട്ടത്തിൽ രൂപപ്പെടുത്താൻ കഴിയും. നമുക്ക് Г = ((р + 6р. q + 8q, ഐ): p, q, 6p. 6ക്യു ഇ R",te[r 0 , /,]. 5q(/ 0)= 8q(/|) = 0) വിപുലീകൃത ഫേസ് സ്‌പെയ്‌സിലെ കർവ്, 8p = 8q = 0 എന്നതിൽ Г 0 എന്ന വക്രം കാനോനിക്കൽ ഹാമിൽട്ടൺ സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റത്തിന് ഒരു പരിഹാരമാകട്ടെ. എല്ലാ സമയ പ്രവർത്തനങ്ങളും ക്ലാസ് C 1-ൽ ഉൾപ്പെടുന്നു. അങ്ങനെ, വൃത്താകൃതിയിലുള്ള പാതകളുടെ (G) ഒരു കുടുംബം നിർവചിക്കപ്പെട്ടിട്ടുണ്ട്, അതിൽ യഥാർത്ഥ പാത G 0 ഉൾപ്പെടുന്നു (ചിത്രം 46). ലഗ്രാഞ്ച്, ഹാമിൽട്ടൺ ഫംഗ്ഷനുകൾ തമ്മിലുള്ള ബന്ധം കണക്കിലെടുത്ത് ഫങ്ഷണൽ ആക്ഷൻ ഫോം എടുക്കുന്നു ഇവിടെ p + 8p, q + 8q എന്നീ അക്ഷരങ്ങൾക്ക് പകരം p, q എന്നീ അക്ഷരങ്ങൾ സംക്ഷിപ്തതയ്ക്കായി ഉപയോഗിക്കുന്നു. യഥാർത്ഥ പാതയിൽ ഫങ്ഷണൽ എസ്[Г] ന്റെ വ്യതിയാനം കണക്കാക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത് അതിർത്തി വ്യവസ്ഥകൾ കണക്കിലെടുത്ത് ഭാഗങ്ങൾ സംയോജിപ്പിച്ച്, ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു p(/), q(f) കാനോനിക്കൽ ഹാമിൽട്ടൺ സമവാക്യങ്ങളെ (2.4) തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നുവെങ്കിൽ, 85|Г 0 1 = 0 എന്ന വ്യത്യാസം പിന്തുടരുന്നു. നേരെമറിച്ച്, 8p(r), 6q(/) സമവാക്യങ്ങൾ (2.4) വ്യതിയാനങ്ങളുടെ സ്വാതന്ത്ര്യത്തിന്റെ അവസ്ഥയിൽ നിന്ന് വ്യതിയാനങ്ങളുടെ കാൽക്കുലസിന്റെ പ്രധാന ലെമ്മ അനുസരിച്ച് പിന്തുടരുന്നു. അങ്ങനെ, സിസ്റ്റത്തിന്റെ ഫേസ് സ്‌പെയ്‌സിലെ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ പ്രവർത്തനത്തിന്റെ തത്വത്തിന്റെ സാധുത തെളിയിക്കപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു: റൗണ്ട് എബൗട്ട് ട്രജക്ടറികളുടെ സ്‌പെയ്‌സിൽ നൽകിയിരിക്കുന്ന ഫങ്ഷണൽ ആക്ഷൻ 5[Г], യഥാർത്ഥ പാതയിൽ ഒരു നിശ്ചല മൂല്യം എടുക്കുന്നു, അതായത്. 85[Г 0 1 = 0. അരി. 46 ഈ തത്ത്വത്തെക്കുറിച്ച് ഞാൻ ആദ്യമായി മനസ്സിലാക്കിയപ്പോൾ, എനിക്ക് ഒരുതരം മിസ്റ്റിസിസം തോന്നി. വ്യവസ്ഥയുടെ ചലനത്തിന്റെ സാധ്യമായ എല്ലാ വഴികളിലൂടെയും പ്രകൃതി നിഗൂഢമായി കടന്നുപോകുകയും മികച്ചത് തിരഞ്ഞെടുക്കുകയും ചെയ്യുന്നതായി തോന്നുന്നു. ഇന്ന് ഞാൻ ഭൗതികശാസ്ത്രത്തിലെ ഏറ്റവും ശ്രദ്ധേയമായ ഒരു തത്വത്തെക്കുറിച്ച് കുറച്ച് സംസാരിക്കാൻ ആഗ്രഹിക്കുന്നു - ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ പ്രവർത്തന തത്വം. പ്രതിഫലിക്കുമ്പോൾ, പ്രകാശം ഒരു ബിന്ദുവിൽ നിന്ന് മറ്റൊന്നിലേക്ക് സാധ്യമായ ഏറ്റവും ചുരുങ്ങിയ വഴിയിലൂടെ സഞ്ചരിക്കുന്നു. ചിത്രത്തിൽ, ഏറ്റവും ചെറിയ പാത പച്ച പാതയായിരിക്കും, അതിൽ സംഭവത്തിന്റെ കോൺ പ്രതിഫലനത്തിന്റെ കോണിന് തുല്യമാണ്. മറ്റേതെങ്കിലും പാത, ഉദാഹരണത്തിന്, ചുവപ്പ്, ദൈർഘ്യമേറിയതായിരിക്കും. 1662-ൽ, ഗ്ലാസ് പോലുള്ള സാന്ദ്രമായ പദാർത്ഥങ്ങളിൽ പ്രകാശത്തിന്റെ വേഗത വായുവിനേക്കാൾ കുറവാണെന്ന് പിയറി ഫെർമറ്റ് നിർദ്ദേശിച്ചു. ഇതിന് മുമ്പ്, ഡെസ്കാർട്ടിന്റെ പതിപ്പ് പൊതുവെ അംഗീകരിക്കപ്പെട്ടിരുന്നു, അതനുസരിച്ച് ശരിയായ അപവർത്തന നിയമം ലഭിക്കുന്നതിന് ദ്രവ്യത്തിലെ പ്രകാശത്തിന്റെ വേഗത വായുവിനേക്കാൾ കൂടുതലായിരിക്കണം. ഫെർമാറ്റിനെ സംബന്ധിച്ചിടത്തോളം, പ്രകാശത്തിന് അപൂർവമായ മാധ്യമത്തേക്കാൾ സാന്ദ്രമായ മാധ്യമത്തിൽ വേഗത്തിൽ സഞ്ചരിക്കാൻ കഴിയുമെന്ന അനുമാനം അസ്വാഭാവികമായി തോന്നി. അതിനാൽ, എല്ലാം കൃത്യമായി വിപരീതമാണെന്ന് അദ്ദേഹം അനുമാനിക്കുകയും അതിശയകരമായ ഒരു കാര്യം തെളിയിക്കുകയും ചെയ്തു - ഈ അനുമാനം ഉപയോഗിച്ച്, പ്രകാശം ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ സമയത്തിനുള്ളിൽ ലക്ഷ്യസ്ഥാനത്ത് എത്തിച്ചേരുന്ന തരത്തിൽ അപവർത്തനം ചെയ്യപ്പെടുന്നു. ഈ വസ്തുതകളെല്ലാം സൂചിപ്പിക്കുന്നത് പ്രകൃതി ചില യുക്തിസഹമായ രീതിയിൽ പ്രവർത്തിക്കുന്നു, പ്രകാശവും ശരീരങ്ങളും ഏറ്റവും ഒപ്റ്റിമൽ രീതിയിൽ നീങ്ങുന്നു, കഴിയുന്നത്ര കുറച്ച് പരിശ്രമം ചെലവഴിക്കുന്നു. എന്നാൽ ഇവ ഏതുതരം ശ്രമങ്ങളാണെന്നും അവ എങ്ങനെ കണക്കാക്കാമെന്നും ഒരു രഹസ്യമായി തുടർന്നു. 1744-ൽ മൗപ്പർടൂയിസ് "ആക്ഷൻ" എന്ന ആശയം അവതരിപ്പിക്കുകയും ഒരു കണത്തിന്റെ യഥാർത്ഥ പാത മറ്റേതിൽ നിന്നും വ്യത്യസ്തമാകുകയും അതിനുള്ള പ്രവർത്തനം വളരെ കുറവായിരിക്കുകയും ചെയ്യുന്ന തത്വം രൂപപ്പെടുത്തി. എന്നിരുന്നാലും, ഈ പ്രവർത്തനം എന്താണെന്നതിന് വ്യക്തമായ നിർവചനം നൽകാൻ മൗപ്പർടൂയിസിന് ഒരിക്കലും കഴിഞ്ഞില്ല. ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ പ്രവർത്തന തത്വത്തിന്റെ കർശനമായ ഗണിതശാസ്ത്ര രൂപീകരണം മറ്റ് ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർ ഇതിനകം വികസിപ്പിച്ചെടുത്തിട്ടുണ്ട് - യൂലർ, ലഗ്രാഞ്ച്, ഒടുവിൽ വില്യം ഹാമിൽട്ടൺ നൽകിയത്: അങ്ങനെയെങ്കിൽ, നിശ്ചിത സമയത്ത് കൃത്യമായി നിങ്ങളുടെ ലക്ഷ്യസ്ഥാനത്തെത്താനും കഴിയുന്നത്ര കുറച്ച് ഇന്ധനം ഉപയോഗിക്കാനും നിങ്ങൾ എങ്ങനെ ഡ്രൈവ് ചെയ്യണം? നിങ്ങൾ ഒരു നേർരേഖയിൽ പോകേണ്ടതുണ്ടെന്ന് വ്യക്തമാണ്. സഞ്ചരിക്കുന്ന ദൂരം കൂടുന്നതിനനുസരിച്ച് ഇന്ധനം കുറയില്ല. തുടർന്ന് നിങ്ങൾക്ക് വ്യത്യസ്ത തന്ത്രങ്ങൾ തിരഞ്ഞെടുക്കാം. ഉദാഹരണത്തിന്, നിങ്ങൾക്ക് വേഗത്തിൽ മുൻകൂറായി പോയിന്റിൽ എത്തിച്ചേരാനും സമയം വരുന്നതുവരെ ഇരിക്കാനും കാത്തിരിക്കാനും കഴിയും. ഡ്രൈവിംഗ് വേഗത, അതിനാൽ ഓരോ നിമിഷവും ഇന്ധന ഉപഭോഗം ഉയർന്നതായിരിക്കും, പക്ഷേ ഡ്രൈവിംഗ് സമയവും കുറയും. ഒരുപക്ഷേ മൊത്തത്തിലുള്ള ഇന്ധന ഉപഭോഗം അത്ര വലുതായിരിക്കില്ല. അല്ലെങ്കിൽ നിങ്ങൾക്ക് ഒരേ വേഗതയിൽ തുല്യമായി ഡ്രൈവ് ചെയ്യാൻ കഴിയും, അതുവഴി തിരക്കില്ലാതെ, കൃത്യസമയത്ത് നിങ്ങൾ എത്തിച്ചേരും. അല്ലെങ്കിൽ വഴിയുടെ ഒരു ഭാഗം വേഗത്തിൽ ഡ്രൈവ് ചെയ്യുക, ഭാഗം കൂടുതൽ സാവധാനത്തിൽ ഓടിക്കുക. പോകാനുള്ള ഏറ്റവും നല്ല മാർഗം ഏതാണ്? ഡ്രൈവ് ചെയ്യുന്നതിനുള്ള ഏറ്റവും ഒപ്റ്റിമൽ, ഏറ്റവും ലാഭകരമായ മാർഗം സ്ഥിരമായ വേഗതയിൽ വാഹനമോടിക്കുക എന്നതാണ്, അതായത് നിശ്ചിത സമയത്ത് നിങ്ങൾ ലക്ഷ്യസ്ഥാനത്ത് എത്തിച്ചേരും. മറ്റേതെങ്കിലും ഓപ്ഷൻ കൂടുതൽ ഇന്ധനം ചെലവഴിക്കും. നിരവധി ഉദാഹരണങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് നിങ്ങൾക്ക് ഇത് സ്വയം പരിശോധിക്കാൻ കഴിയും. വേഗതയുടെ ചതുരത്തിനനുസരിച്ച് ഇന്ധന ഉപഭോഗം വർദ്ധിക്കുന്നതാണ് കാരണം. അതിനാൽ, വേഗത വർദ്ധിക്കുന്നതിനനുസരിച്ച്, ഡ്രൈവിംഗ് സമയം കുറയുന്നതിനേക്കാൾ വേഗത്തിൽ ഇന്ധന ഉപഭോഗം വർദ്ധിക്കുന്നു, കൂടാതെ മൊത്തത്തിലുള്ള ഇന്ധന ഉപഭോഗവും വർദ്ധിക്കുന്നു. അതിനാൽ, ഓരോ നിമിഷവും ഒരു കാർ അതിന്റെ ഗതികോർജ്ജത്തിന് ആനുപാതികമായി ഇന്ധനം ഉപയോഗിക്കുന്നുവെങ്കിൽ, കൃത്യമായി നിശ്ചിത സമയത്ത് പോയിന്റിൽ നിന്ന് പോയിന്റിലേക്ക് പോകാനുള്ള ഏറ്റവും ലാഭകരമായ മാർഗം തുല്യമായും നേർരേഖയിലും വാഹനമോടിക്കുക എന്നതാണ്. ശക്തികളുടെ അഭാവത്തിൽ ശരീരം ചലിക്കുന്ന രീതി മറ്റേതെങ്കിലും ഡ്രൈവിംഗ് രീതി മൊത്തത്തിലുള്ള ഉയർന്ന ഇന്ധന ഉപഭോഗത്തിന് കാരണമാകും. ഓരോ നിമിഷവും ഇന്ധന ഉപഭോഗം കാറിന്റെ പൊട്ടൻഷ്യൽ എനർജി മൈനസ് ഗതികോർജ്ജത്തിന് തുല്യമാണ് (മൈനസ് പൊട്ടൻഷ്യൽ എനർജി, കാരണം ഇൻസ്റ്റാൾ ചെയ്ത ഉപകരണം ഇന്ധനം ഉൽപ്പാദിപ്പിക്കുകയും അത് ഉപയോഗിക്കാതിരിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു). ഇപ്പോൾ പോയിന്റുകൾക്കിടയിൽ കാർ ചലിപ്പിക്കുന്നത് കഴിയുന്നത്ര കാര്യക്ഷമമായി കൊണ്ടുപോകുന്ന ഞങ്ങളുടെ ചുമതല കൂടുതൽ ബുദ്ധിമുട്ടാണ്. റെക്റ്റിലീനിയർ യൂണിഫോം ചലനം ഈ കേസിൽ ഏറ്റവും ഫലപ്രദമല്ല. അൽപ്പം ഉയരം നേടുന്നതും കുറച്ചുനേരം അവിടെ നിൽക്കുന്നതും കൂടുതൽ ഇന്ധനം ഉപയോഗിക്കുന്നതും തുടർന്ന് പോയിന്റിലേക്ക് ഇറങ്ങുന്നതും കൂടുതൽ അനുയോജ്യമാണെന്ന് ഇത് മാറുന്നു . ശരിയായ ഫ്ലൈറ്റ് ട്രാക്ക് ഉപയോഗിച്ച്, കയറ്റം മൂലമുള്ള മൊത്തം ഇന്ധന ഉൽപാദനം പാതയുടെ നീളം വർദ്ധിപ്പിക്കുന്നതിനും വേഗത വർദ്ധിപ്പിക്കുന്നതിനുമുള്ള അധിക ഇന്ധനച്ചെലവ് വഹിക്കും. നിങ്ങൾ ശ്രദ്ധാപൂർവ്വം കണക്കുകൂട്ടുകയാണെങ്കിൽ, ഒരു കാറിന് ഏറ്റവും ലാഭകരമായ മാർഗം ഒരു പരവലയത്തിൽ പറക്കുന്നതായിരിക്കും, കൃത്യമായി അതേ പാതയിലൂടെയും ഭൂമിയുടെ ഗുരുത്വാകർഷണ മണ്ഡലത്തിൽ ഒരു കല്ല് പറക്കുന്ന അതേ വേഗതയിലും. ചലനത്തിന്റെ മുഴുവൻ കാലഘട്ടത്തിലും ഉപയോഗിക്കുന്ന ഇന്ധനത്തിന്റെ മൊത്തം അളവിന്റെ ഒരു അനലോഗ്, അതായത്. ചലനത്തിന്റെ മുഴുവൻ സമയത്തും ശേഖരിക്കപ്പെടുന്ന ലഗ്രാൻജിയൻ മൂല്യത്തെ "പ്രവർത്തനം" എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ പ്രവർത്തനത്തിന്റെ തത്വം, പ്രവർത്തനം (ചലനത്തിന്റെ പാതയെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്ന) വളരെ കുറവുള്ള വിധത്തിൽ ശരീരം നീങ്ങുന്നു എന്നതാണ്. അതേ സമയം, പ്രാരംഭവും അവസാനവുമായ വ്യവസ്ഥകൾ വ്യക്തമാക്കിയിട്ടുണ്ടെന്ന് നാം മറക്കരുത്, അതായത്. ശരീരം സമയവും സമയവും എവിടെയാണ്. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, നമ്മുടെ കാറിനായി ഞങ്ങൾ പരിഗണിച്ച ഏകീകൃത ഗുരുത്വാകർഷണ മണ്ഡലത്തിൽ ശരീരം നീങ്ങേണ്ടതില്ല. തികച്ചും വ്യത്യസ്തമായ സാഹചര്യങ്ങൾ പരിഗണിക്കാം. ഒരു ശരീരത്തിന് ഒരു ഇലാസ്റ്റിക് ബാൻഡിൽ ആന്ദോളനം ചെയ്യാനോ പെൻഡുലത്തിൽ കറങ്ങാനോ സൂര്യനു ചുറ്റും പറക്കാനോ കഴിയും, ഈ സന്ദർഭങ്ങളിലെല്ലാം അത് "മൊത്തം ഇന്ധന ഉപഭോഗം" കുറയ്ക്കുന്ന തരത്തിൽ നീങ്ങുന്നു, അതായത്. നടപടി. ഒരു സിസ്റ്റത്തിൽ നിരവധി ബോഡികൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നുവെങ്കിൽ, അത്തരം ഒരു സിസ്റ്റത്തിന്റെ ലഗ്രാൻജിയൻ എല്ലാ ശരീരങ്ങളുടെയും മൊത്തം ഗതികോർജ്ജത്തിന് തുല്യമായിരിക്കും. വീണ്ടും, എല്ലാ ശരീരങ്ങളും ഒരുമിച്ച് നീങ്ങും, അങ്ങനെ അത്തരം ചലന സമയത്ത് മുഴുവൻ സിസ്റ്റത്തിന്റെയും പ്രഭാവം വളരെ കുറവാണ്. ഉദാഹരണത്തിന്, നമുക്ക് ഒരു പന്ത് എടുത്ത് ഒഴിഞ്ഞ സ്ഥലത്ത് വയ്ക്കാം. അതിൽ നിന്ന് കുറച്ച് അകലെ ഞങ്ങൾ ഒരു ഇലാസ്റ്റിക് മതിൽ സ്ഥാപിക്കും. കുറച്ച് സമയത്തിന് ശേഷം പന്ത് അതേ സ്ഥലത്ത് അവസാനിക്കണമെന്ന് നമുക്ക് പറയാം. ഈ നൽകിയിരിക്കുന്ന വ്യവസ്ഥകളിൽ, പന്ത് രണ്ട് വ്യത്യസ്ത വഴികളിലൂടെ നീങ്ങാൻ കഴിയും. ഒന്നാമതായി, അത് കേവലം സ്ഥാനത്ത് തുടരാം. രണ്ടാമതായി, നിങ്ങൾക്ക് അത് മതിലിലേക്ക് തള്ളാം. പന്ത് ഭിത്തിയിലേക്ക് പറന്നുയരുകയും അതിൽ നിന്ന് കുതിച്ച് മടങ്ങുകയും ചെയ്യും. കൃത്യസമയത്ത് തിരിച്ചെത്തുന്ന അത്രയും വേഗതയിൽ നിങ്ങൾക്ക് അത് തള്ളാൻ കഴിയുമെന്ന് വ്യക്തമാണ്. അത്തരം സാഹചര്യങ്ങളിൽ സാധുതയുള്ള പ്രവർത്തനത്തിന്റെ തത്വം എങ്ങനെ സംരക്ഷിക്കാനാകും? ഞങ്ങൾ ഇതിനെക്കുറിച്ച് സംസാരിക്കും.8. ഹാമിൽട്ടന്റെ വ്യതിയാന തത്വം. (കുറഞ്ഞ പ്രവർത്തനത്തിന്റെ തത്വം).
;
=0
യഥാർത്ഥ പാതയിൽ ഇനിപ്പറയുന്ന സമവാക്യം തൃപ്തിപ്പെടുത്തണം: 
- ലഗ്രാഞ്ച് സമവാക്യം (ഏതെങ്കിലും i= 1,…S).
E ഉം N ഉം തമ്മിലുള്ള അളവ് ബന്ധം Poisson's അനുപാതത്തിലൂടെ വ്യക്തമാക്കുന്നു. N = E/(2(1+μ)), ഇവിടെ എന്നത് പോയിസണിന്റെ അനുപാതമാണ്. μ = |∆d/d 0 |/|∆l/l 0 |. പിരിമുറുക്കം അല്ലെങ്കിൽ കംപ്രഷൻ സമയത്ത് തിരശ്ചീന അളവുകളിലെ മാറ്റം Poisson's അനുപാതം നിർണ്ണയിക്കുന്നു. 0.5.
പശ്ചാത്തലം
ഗലീലിയോയുടെ കാലം മുതൽ, ഒരു ശക്തിയും പ്രവർത്തിക്കാത്ത ശരീരങ്ങൾ നേർരേഖയിൽ, അതായത് ഏറ്റവും ചെറിയ പാതയിലൂടെ നീങ്ങുന്നുവെന്ന് അറിയാം. പ്രകാശകിരണങ്ങളും നേർരേഖയിൽ സഞ്ചരിക്കുന്നു. 
കണ്ണാടിയുടെ എതിർവശത്തുള്ള കിരണങ്ങളുടെ പാതകളെ പ്രതിഫലിപ്പിച്ചുകൊണ്ട് ഇത് തെളിയിക്കാൻ എളുപ്പമാണ്. അവ ചിത്രത്തിൽ ഡോട്ട് ഇട്ട വരികളിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നു. 
പച്ചയായ എസിബി നേരായ എസിബിയായി മാറുന്നത് കാണാം'. ചുവന്ന പാത ADB എന്ന തകർന്ന വരയായി മാറുന്നു, അത് തീർച്ചയായും പച്ചയേക്കാൾ നീളമുള്ളതാണ്. 
വീണ്ടും, പച്ച നിറം പ്രകാശകിരണം യഥാർത്ഥത്തിൽ സഞ്ചരിക്കുന്ന പാത കാണിക്കുന്നു. ചുവപ്പ് നിറത്തിൽ അടയാളപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന പാത ഏറ്റവും ചെറുതാണ്, എന്നാൽ വേഗതയേറിയതല്ല, കാരണം പ്രകാശത്തിന് ഗ്ലാസിലൂടെ സഞ്ചരിക്കാൻ ദൈർഘ്യമേറിയ പാതയുണ്ട്, അവിടെ വേഗത കുറവാണ്. ലൈറ്റ് ബീമിന്റെ യഥാർത്ഥ പാതയാണ് ഏറ്റവും വേഗതയേറിയ പാത. 
ഗണിതശാസ്ത്ര ഭാഷയിൽ, കുറഞ്ഞ പ്രവർത്തനത്തിന്റെ തത്വം വളരെ ഹ്രസ്വമായി രൂപപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നു, എന്നാൽ എല്ലാ വായനക്കാർക്കും ഉപയോഗിച്ച നൊട്ടേഷന്റെ അർത്ഥം മനസ്സിലാക്കാൻ കഴിയില്ല. ഈ തത്വം കൂടുതൽ വ്യക്തമായും ലളിതമായും വിശദീകരിക്കാൻ ഞാൻ ആഗ്രഹിക്കുന്നു. സ്വതന്ത്ര ശരീരം
അതിനാൽ, നിങ്ങൾ ഒരു ഘട്ടത്തിൽ ഒരു കാറിൽ ഇരിക്കുകയാണെന്ന് സങ്കൽപ്പിക്കുക, ആ നിമിഷം നിങ്ങൾക്ക് ഒരു ലളിതമായ ടാസ്ക് നൽകിയിരിക്കുന്നു: നിമിഷം കൊണ്ട് നിങ്ങൾ പോയിന്റിലേക്ക് കാർ ഓടിക്കേണ്ടതുണ്ട് . 
ഒരു കാറിനുള്ള ഇന്ധനം ചെലവേറിയതാണ്, തീർച്ചയായും, കഴിയുന്നത്ര കുറച്ച് ചെലവഴിക്കാൻ നിങ്ങൾ ആഗ്രഹിക്കുന്നു. ഏറ്റവും പുതിയ സൂപ്പർ സാങ്കേതികവിദ്യകൾ ഉപയോഗിച്ചാണ് നിങ്ങളുടെ കാർ നിർമ്മിച്ചിരിക്കുന്നത്, നിങ്ങൾക്ക് ഇഷ്ടമുള്ളത്ര വേഗത്തിൽ ത്വരിതപ്പെടുത്താനോ ബ്രേക്ക് ചെയ്യാനോ കഴിയും. എന്നിരുന്നാലും, വേഗത്തിൽ പോകുന്തോറും കൂടുതൽ ഇന്ധനം ചെലവഴിക്കുന്ന തരത്തിലാണ് ഇത് രൂപകൽപ്പന ചെയ്തിരിക്കുന്നത്. മാത്രമല്ല, ഇന്ധന ഉപഭോഗം വേഗതയുടെ ചതുരത്തിന് ആനുപാതികമാണ്. നിങ്ങൾ ഇരട്ടി വേഗത്തിൽ വാഹനമോടിച്ചാൽ, അതേ സമയം 4 മടങ്ങ് കൂടുതൽ ഇന്ധനം ഉപയോഗിക്കും. വേഗത കൂടാതെ, ഇന്ധന ഉപഭോഗം, തീർച്ചയായും, വാഹനത്തിന്റെ ഭാരവും ബാധിക്കുന്നു. നമ്മുടെ കാറിന്റെ ഭാരം കൂടുന്തോറും അത് കൂടുതൽ ഇന്ധനം ഉപയോഗിക്കുന്നു. ഓരോ നിമിഷവും നമ്മുടെ കാറിന്റെ ഇന്ധന ഉപഭോഗം തുല്യമാണ്, അതായത്. കാറിന്റെ ഗതികോർജ്ജത്തിന് തുല്യമാണ്. ഗുരുത്വാകർഷണ മേഖലയിൽ
ഇനി നമുക്ക് നമ്മുടെ കാർ അൽപ്പം മെച്ചപ്പെടുത്താം. നമുക്ക് അതിൽ ജെറ്റ് എഞ്ചിനുകൾ ഘടിപ്പിക്കാം, അത് ഏത് ദിശയിലും സ്വതന്ത്രമായി പറക്കാൻ കഴിയും. പൊതുവേ, ഡിസൈൻ അതേപടി തുടർന്നു, അതിനാൽ ഇന്ധന ഉപഭോഗം വീണ്ടും കാറിന്റെ ഗതികോർജ്ജത്തിന് ആനുപാതികമായി തുടർന്നു. ഒരു ബിന്ദുവിൽ നിന്ന് ഒരു ബിന്ദുവിൽ നിന്ന് പറന്ന് ഒരു ഘട്ടത്തിൽ ഒരു ബിന്ദുവിൽ എത്തിച്ചേരുക എന്നതിനാണ് ഇപ്പോൾ ചുമതല നൽകിയിരിക്കുന്നതെങ്കിൽ, ഏറ്റവും ലാഭകരമായ മാർഗം, തീർച്ചയായും, പഴയത് പോലെ, ഏകതാനമായും നേർരേഖയായും പറക്കുന്നതായിരിക്കും. കൃത്യമായ നിശ്ചിത സമയത്ത് ഒരു ഘട്ടത്തിൽ. ഇത് വീണ്ടും ത്രിമാന സ്ഥലത്ത് ശരീരത്തിന്റെ സ്വതന്ത്ര ചലനവുമായി യോജിക്കുന്നു. 
എന്നിരുന്നാലും, ഏറ്റവും പുതിയ കാർ മോഡലിൽ അസാധാരണമായ ഒരു ഉപകരണം ഇൻസ്റ്റാൾ ചെയ്തു. ഈ ഉപകരണത്തിന് അക്ഷരാർത്ഥത്തിൽ ഒന്നുമില്ലായ്മയിൽ നിന്ന് ഇന്ധനം ഉത്പാദിപ്പിക്കാൻ കഴിയും. എന്നാൽ കാർ ഉയരം കൂടുന്തോറും ഉപകരണം ഏത് സമയത്തും കൂടുതൽ ഇന്ധനം ഉത്പാദിപ്പിക്കുന്ന തരത്തിലാണ് ഡിസൈൻ. ഇന്ധന ഉൽപ്പാദനം കാർ നിലവിൽ സ്ഥിതിചെയ്യുന്ന ഉയരത്തിന് നേരിട്ട് ആനുപാതികമാണ്. കൂടാതെ, കാറിന്റെ ഭാരം, കൂടുതൽ ശക്തമായ ഉപകരണം അതിൽ ഇൻസ്റ്റാൾ ചെയ്യുകയും കൂടുതൽ ഇന്ധനം ഉൽപ്പാദിപ്പിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു, ഉൽപ്പാദനം കാറിന്റെ ഭാരത്തിന് നേരിട്ട് ആനുപാതികമാണ്. ഉപകരണം ഇന്ധന ഉൽപ്പാദനം കൃത്യമായി തുല്യമാണ് (സ്വതന്ത്ര വീഴ്ചയുടെ ത്വരണം എവിടെയാണ്), അതായത്. കാറിന്റെ സാധ്യതയുള്ള ഊർജ്ജം. 
ഇവിടെ ഒരു വ്യക്തത വരുത്തുന്നത് മൂല്യവത്താണ്. തീർച്ചയായും, നിങ്ങൾക്ക് ഒരു പോയിന്റിൽ നിന്ന് ഒരു കല്ല് പല തരത്തിൽ എറിയാൻ കഴിയും, അങ്ങനെ അത് പോയിന്റിൽ എത്തും. എന്നാൽ നിങ്ങൾ അത് എറിയുന്ന വിധത്തിൽ അത് എറിയേണ്ടതുണ്ട്, സമയത്തിന്റെ നിമിഷത്തിൽ നിന്ന് അത് എടുത്ത്, സമയത്തിന്റെ നിമിഷത്തിൽ അത് പോയിന്റിൽ എത്തുന്നു. ഈ പ്രസ്ഥാനമാണ് ഞങ്ങളുടെ കാറിന് ഏറ്റവും ലാഭകരമാകുന്നത്. ലഗ്രാഞ്ച് പ്രവർത്തനവും ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ പ്രവർത്തന തത്വവും
ഇപ്പോൾ നമുക്ക് ഈ സാമ്യം യഥാർത്ഥ ഭൗതിക ശരീരങ്ങളിലേക്ക് മാറ്റാം. ബോഡികളുടെ ഇന്ധന ഉപഭോഗ നിരക്കിന്റെ ഒരു അനലോഗ് ലാഗ്രാഞ്ച് ഫംഗ്ഷൻ അല്ലെങ്കിൽ ലഗ്രാൻജിയൻ (ലാഗ്രാഞ്ചിന്റെ ബഹുമാനാർത്ഥം) എന്ന് വിളിക്കുന്നു, ഇത് അക്ഷരത്താൽ സൂചിപ്പിക്കുന്നു . ഒരു നിശ്ചിത സമയത്ത് ശരീരം എത്ര "ഇന്ധനം" ഉപയോഗിക്കുന്നു എന്ന് ലഗ്രാൻജിയൻ കാണിക്കുന്നു. ഒരു പൊട്ടൻഷ്യൽ ഫീൽഡിൽ ചലിക്കുന്ന ഒരു ശരീരത്തിന്, ലഗ്രാൻജിയൻ അതിന്റെ ഗതികോർജ്ജത്തിന് തുല്യമാണ്. അത്ര ലളിതമല്ല
യഥാർത്ഥത്തിൽ, ശരീരങ്ങൾ എല്ലായ്പ്പോഴും പ്രവർത്തനത്തെ കുറയ്ക്കുന്ന വിധത്തിൽ നീങ്ങുന്നുവെന്ന് പറഞ്ഞ് ഞാൻ കുറച്ച് വഞ്ചിച്ചു. പല കേസുകളിലും ഇത് ശരിയാണെങ്കിലും, പ്രവർത്തനം വളരെ കുറവല്ലാത്ത സാഹചര്യങ്ങളെക്കുറിച്ച് ചിന്തിക്കാൻ കഴിയും. 
പന്തിന്റെ ചലനത്തിനുള്ള രണ്ട് ഓപ്ഷനുകളും സാധ്യമാണ്, എന്നാൽ രണ്ടാമത്തെ കേസിൽ പ്രവർത്തനം കൂടുതലായിരിക്കും, കാരണം ഈ സമയമത്രയും പന്ത് പൂജ്യമല്ലാത്ത ഗതികോർജ്ജം ഉപയോഗിച്ച് നീങ്ങും.
