ഒരു റോംബസിൽ ആലേഖനം ചെയ്ത വൃത്തത്തിന്റെ ആരം. സമഭുജത്രികോണം

ഒരു വൃത്തം ഒരു കോണിനുള്ളിൽ സ്ഥിതിചെയ്യുകയും അതിന്റെ വശങ്ങളിൽ സ്പർശിക്കുകയും ചെയ്താൽ, അതിനെ ഈ കോണിൽ ആലേഖനം എന്ന് വിളിക്കുന്നു. അത്തരമൊരു ലിഖിത വൃത്തത്തിന്റെ മധ്യഭാഗം സ്ഥിതിചെയ്യുന്നു ഈ കോണിന്റെ ദ്വിഭാഗം.

അത് ഒരു കുത്തനെയുള്ള ബഹുഭുജത്തിനുള്ളിൽ കിടന്ന് അതിന്റെ എല്ലാ വശങ്ങളിലും സ്പർശിക്കുകയാണെങ്കിൽ, അതിനെ കോൺവെക്സ് ബഹുഭുജത്തിൽ ആലേഖനം ചെയ്തിരിക്കുന്നു എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ഒരു ത്രികോണത്തിൽ ആലേഖനം ചെയ്തിരിക്കുന്ന വൃത്തം

ഒരു ത്രികോണത്തിൽ ആലേഖനം ചെയ്തിരിക്കുന്ന ഒരു വൃത്തം ഈ ചിത്രത്തിന്റെ ഓരോ വശവും ഒരു ബിന്ദുവിൽ മാത്രം സ്പർശിക്കുന്നു. ഒരു ത്രികോണത്തിൽ ഒരു വൃത്തം മാത്രമേ ആലേഖനം ചെയ്യാൻ കഴിയൂ.

അത്തരമൊരു വൃത്തത്തിന്റെ ആരം ത്രികോണത്തിന്റെ ഇനിപ്പറയുന്ന പാരാമീറ്ററുകളെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കും:

1. ത്രികോണത്തിന്റെ വശങ്ങളുടെ നീളം.
2. അതിന്റെ പ്രദേശം.
3. അതിന്റെ ചുറ്റളവ്.
4. ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ കോണുകളുടെ അളവുകൾ.

ഒരു ത്രികോണത്തിൽ ആലേഖനം ചെയ്ത സർക്കിളിന്റെ ആരം കണക്കാക്കാൻ, മുകളിൽ ലിസ്റ്റുചെയ്തിരിക്കുന്ന എല്ലാ പാരാമീറ്ററുകളും അറിയേണ്ടത് എല്ലായ്പ്പോഴും ആവശ്യമില്ല, കാരണം അവ ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനങ്ങളിലൂടെ പരസ്പരം ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു.

സെമി-പരിധി ഉപയോഗിച്ച് കണക്കുകൂട്ടൽ

1. ഒരു ജ്യാമിതീയ രൂപത്തിന്റെ എല്ലാ വശങ്ങളുടെയും നീളം അറിയാമെങ്കിൽ (ഞങ്ങൾ അവയെ a, b, c എന്നീ അക്ഷരങ്ങളാൽ സൂചിപ്പിക്കുന്നു), അപ്പോൾ സ്ക്വയർ റൂട്ട് എടുത്ത് ആരം കണക്കാക്കേണ്ടതുണ്ട്.
2. കണക്കുകൂട്ടലുകൾ ആരംഭിക്കുമ്പോൾ, പ്രാരംഭ ഡാറ്റയിലേക്ക് ഒരു വേരിയബിൾ കൂടി ചേർക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ് - സെമി-പരിധി (p). എല്ലാ ദൈർഘ്യങ്ങളും കൂട്ടിച്ചേർത്ത്, തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന തുകയെ 2 കൊണ്ട് ഹരിച്ചുകൊണ്ട് ഇത് കണക്കാക്കാം. p = (a+b+c)/2. ഈ രീതിയിൽ, ആരം കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള സൂത്രവാക്യം ഗണ്യമായി ലളിതമാക്കാൻ കഴിയും.
3. പൊതുവേ, ഫോർമുലയിൽ ഭിന്നസംഖ്യ സ്ഥാപിച്ചിരിക്കുന്ന റാഡിക്കലിന്റെ അടയാളം ഉൾപ്പെടുത്തണം; ഈ ഭിന്നസംഖ്യയുടെ ഡിനോമിനേറ്റർ അർദ്ധപരിധി p യുടെ മൂല്യമായിരിക്കും.
4. ഈ ഭിന്നസംഖ്യയുടെ ന്യൂമറേറ്റർ വ്യത്യാസങ്ങളുടെ ഗുണനമായിരിക്കും (p-a)*(p-b)*(p-c)
5. അങ്ങനെ, ഫോർമുലയുടെ പൂർണ്ണ രൂപം ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ അവതരിപ്പിക്കും: r = √(p-a)*(p-b)*(p-c)/p).

ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണക്കിലെടുത്ത് കണക്കുകൂട്ടൽ

നമ്മൾ അറിഞ്ഞാൽ ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണംഅതിന്റെ എല്ലാ വശങ്ങളുടെയും നീളവും, വേരുകൾ വേർതിരിച്ചെടുക്കാതെ തന്നെ നമുക്ക് താൽപ്പര്യമുള്ള സർക്കിളിന്റെ ആരം കണ്ടെത്താൻ ഇത് ഞങ്ങളെ അനുവദിക്കും.

1. ആദ്യം നിങ്ങൾ പ്രദേശത്തിന്റെ വലുപ്പം ഇരട്ടിയാക്കേണ്ടതുണ്ട്.
2. ഫലം എല്ലാ വശങ്ങളുടെയും നീളത്തിന്റെ ആകെത്തുക കൊണ്ട് ഹരിച്ചിരിക്കുന്നു. അപ്പോൾ ഫോർമുല ഇതുപോലെ കാണപ്പെടും: r = 2*S/(a+b+c).
3. നിങ്ങൾ സെമി-പരിധിയുടെ മൂല്യം ഉപയോഗിക്കുകയാണെങ്കിൽ, നിങ്ങൾക്ക് വളരെ ലളിതമായ ഒരു ഫോർമുല ലഭിക്കും: r = S / p.

ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് കണക്കുകൂട്ടൽ

പ്രശ്ന പ്രസ്താവനയിൽ ഒരു വശത്തിന്റെ നീളം, എതിർ കോണിന്റെ മൂല്യം, ചുറ്റളവ് എന്നിവ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നുവെങ്കിൽ, നിങ്ങൾക്ക് ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനം ഉപയോഗിക്കാം - ടാൻജെന്റ്. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, കണക്കുകൂട്ടൽ സൂത്രവാക്യം ഇതുപോലെ കാണപ്പെടും:

r = (P /2- a)* tg (α/2), ഇവിടെ r എന്നത് ആവശ്യമുള്ള ആരം, P എന്നത് ചുറ്റളവ്, a എന്നത് ഒരു വശത്തിന്റെ നീളം, α എന്നത് എതിർ വശത്തിന്റെ മൂല്യം, കൂടാതെ കോൺ.

ഒരു സാധാരണ ത്രികോണത്തിൽ ആലേഖനം ചെയ്യേണ്ട വൃത്തത്തിന്റെ ആരം r = a*√3/6 എന്ന ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് കണ്ടെത്താനാകും.

വലത് ത്രികോണത്തിൽ ആലേഖനം ചെയ്തിരിക്കുന്ന വൃത്തം

നിങ്ങൾക്ക് ഒരു വലത് ത്രികോണത്തിൽ ഒതുങ്ങാം ഒരു സർക്കിൾ മാത്രം. അത്തരമൊരു വൃത്തത്തിന്റെ കേന്ദ്രം ഒരേസമയം എല്ലാ ദ്വിവിഭാഗങ്ങളുടെയും വിഭജന പോയിന്റായി വർത്തിക്കുന്നു. ഈ ജ്യാമിതീയ രൂപത്തിന് ചില വ്യതിരിക്ത സവിശേഷതകൾ ഉണ്ട്, ആലേഖനം ചെയ്ത സർക്കിളിന്റെ ആരം കണക്കാക്കുമ്പോൾ അത് കണക്കിലെടുക്കണം.

1. ആദ്യം നിങ്ങൾ നൽകിയിരിക്കുന്ന പാരാമീറ്ററുകൾ ഉപയോഗിച്ച് ഒരു വലത് ത്രികോണം നിർമ്മിക്കേണ്ടതുണ്ട്. ഒരു വശത്തിന്റെ വലുപ്പവും രണ്ട് കോണുകളുടെ മൂല്യങ്ങളും അല്ലെങ്കിൽ രണ്ട് വശങ്ങളും ഈ വശങ്ങൾക്കിടയിലുള്ള കോണും ഉപയോഗിച്ച് നിങ്ങൾക്ക് അത്തരമൊരു ചിത്രം നിർമ്മിക്കാൻ കഴിയും. ഈ പരാമീറ്ററുകളെല്ലാം ചുമതല വ്യവസ്ഥകളിൽ വ്യക്തമാക്കിയിരിക്കണം. ത്രികോണത്തെ ABC എന്ന് സൂചിപ്പിക്കുന്നു, C എന്നത് വലത് കോണിന്റെ ശീർഷകമാണ്. കാലുകൾ വേരിയബിളുകളാൽ നിയുക്തമാക്കിയിരിക്കുന്നു, എഒപ്പം ബി, ഹൈപ്പോടെനസ് ഒരു വേരിയബിളാണ് കൂടെ.
2. ക്ലാസിക്കൽ ഫോർമുല നിർമ്മിക്കുന്നതിനും ഒരു സർക്കിളിന്റെ ആരം കണക്കാക്കുന്നതിനും, പ്രശ്ന പ്രസ്താവനയിൽ വിവരിച്ചിരിക്കുന്ന ചിത്രത്തിന്റെ എല്ലാ വശങ്ങളുടെയും അളവുകൾ കണ്ടെത്തുകയും അവയിൽ നിന്ന് സെമി-പരിധി കണക്കാക്കുകയും ചെയ്യേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. വ്യവസ്ഥകൾ രണ്ട് കാലുകളുടെ വലുപ്പം നൽകുകയാണെങ്കിൽ, പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കി നിങ്ങൾക്ക് ഹൈപ്പോടെനസിന്റെ വലുപ്പം കണക്കാക്കാൻ അവ ഉപയോഗിക്കാം.
3. വ്യവസ്ഥ ഒരു കാലിന്റെയും ഒരു കോണിന്റെയും വലുപ്പം നൽകുന്നുവെങ്കിൽ, ഈ കോണിന് തൊട്ടടുത്താണോ എതിർവശത്താണോ എന്ന് മനസ്സിലാക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. ആദ്യ സന്ദർഭത്തിൽ, സൈൻ സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിച്ചാണ് ഹൈപ്പോടെനസ് കണ്ടെത്തുന്നത്: c=a/sinСАВ, രണ്ടാമത്തെ കേസിൽ കോസൈൻ സിദ്ധാന്തം പ്രയോഗിക്കുന്നു c=a/cosCBA.
4. എല്ലാ കണക്കുകൂട്ടലുകളും പൂർത്തിയാകുകയും എല്ലാ വശങ്ങളുടെയും മൂല്യങ്ങൾ അറിയുകയും ചെയ്യുമ്പോൾ, മുകളിൽ വിവരിച്ച ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് സെമി-പരിധി കണ്ടെത്തുന്നു.
5. അർദ്ധപരിധിയുടെ വലിപ്പം അറിയുന്നതിലൂടെ, നിങ്ങൾക്ക് ആരം കണ്ടെത്താം. ഫോർമുല ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയാണ്. അതിന്റെ ന്യൂമറേറ്റർ അർദ്ധപരിധിയും ഓരോ വശവും തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസങ്ങളുടെ ഫലമാണ്, ഡിനോമിനേറ്റർ അർദ്ധപരിധിയുടെ മൂല്യമാണ്.

ഈ ഫോർമുലയുടെ ന്യൂമറേറ്റർ ഒരു ഏരിയ സൂചകമാണെന്നത് ശ്രദ്ധിക്കേണ്ടതാണ്. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ആരം കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള സൂത്രവാക്യം വളരെ ലളിതമാണ് - പ്രദേശത്തെ അർദ്ധപരിധി കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ മതി.

രണ്ട് വശങ്ങളും അറിയാമെങ്കിലും ഒരു ജ്യാമിതീയ രൂപത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം നിർണ്ണയിക്കാൻ കഴിയും. ഈ കാലുകളുടെ ചതുരങ്ങളുടെ ആകെത്തുക ഹൈപ്പോടെനസ് കണ്ടെത്താൻ ഉപയോഗിക്കുന്നു, തുടർന്ന് അർദ്ധപരിധി കണക്കാക്കുന്നു. കാലുകളുടെ മൂല്യങ്ങൾ പരസ്പരം ഗുണിച്ച് ഫലം 2 കൊണ്ട് ഹരിച്ചുകൊണ്ട് നിങ്ങൾക്ക് പ്രദേശം കണക്കാക്കാം.

സാഹചര്യങ്ങളിൽ രണ്ട് കാലുകളുടെയും ഹൈപ്പോടെൻസസിന്റെയും നീളം നൽകിയിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ, വളരെ ലളിതമായ ഒരു ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് ആരം നിർണ്ണയിക്കാനാകും: ഇതിനായി, കാലുകളുടെ നീളം ഒരുമിച്ച് ചേർക്കുന്നു, കൂടാതെ ഹൈപ്പോടെനസിന്റെ നീളം ഫലത്തിൽ നിന്ന് കുറയ്ക്കുകയും ചെയ്യുന്നു. നമ്പർ. ഫലം പകുതിയായി വിഭജിക്കണം.

വീഡിയോ

ഒരു ത്രികോണത്തിൽ ആലേഖനം ചെയ്തിരിക്കുന്ന ഒരു വൃത്തത്തിന്റെ ആരം എങ്ങനെ കണ്ടെത്താമെന്ന് ഈ വീഡിയോയിൽ നിങ്ങൾ പഠിക്കും.

ഒരു ത്രികോണത്തിൽ ആലേഖനം ചെയ്തിരിക്കുന്ന വൃത്തം

ഒരു ത്രികോണത്തിൽ ആലേഖനം ചെയ്ത ഒരു വൃത്തത്തിന്റെ അസ്തിത്വം

നമുക്ക് നിർവചനം ഓർക്കാം ആംഗിൾ ബൈസെക്ടറുകൾ .

നിർവ്വചനം 1 .ആംഗിൾ ബൈസെക്ടർ ഒരു കോണിനെ രണ്ട് തുല്യ ഭാഗങ്ങളായി വിഭജിക്കുന്ന ഒരു കിരണത്തെ വിളിക്കുന്നു.

സിദ്ധാന്തം 1 (കോണ് ബൈസെക്ടറിന്റെ അടിസ്ഥാന സ്വത്ത്) . ആംഗിൾ ബൈസെക്ടറിന്റെ ഓരോ പോയിന്റും കോണിന്റെ വശങ്ങളിൽ നിന്ന് ഒരേ അകലത്തിലാണ് (ചിത്രം 1).

അരി. 1

തെളിവ് ഡി , കോണിന്റെ ബൈസെക്ടറിൽ കിടക്കുന്നുബിഎസി , ഒപ്പം ഡി.ഇ ഒപ്പം ഡി.എഫ് മൂലയുടെ വശങ്ങളിൽ (ചിത്രം 1).വലത് ത്രികോണങ്ങൾ എ.ഡി.എഫ് ഒപ്പം എ.ഡി.ഇ തുല്യമായ , അവയ്ക്ക് തുല്യ നിശിത കോണുകൾ ഉള്ളതിനാൽDAF ഒപ്പം DAE , ഹൈപ്പോടെൻസും എ.ഡി - പൊതു. അതിനാൽ,

DF = DE,

ക്യു.ഇ.ഡി.

സിദ്ധാന്തം 2 (സിദ്ധാന്തം 1 ലേക്ക് പരിവർത്തനം ചെയ്യുക) . ചിലതാണെങ്കിൽ, അത് കോണിന്റെ ബൈസെക്ടറിൽ കിടക്കുന്നു (ചിത്രം 2).

അരി. 2

തെളിവ് . ഒരു ഏകപക്ഷീയമായ പോയിന്റ് പരിഗണിക്കുകഡി , കോണിനുള്ളിൽ കിടക്കുന്നുബിഎസി കോണിന്റെ വശങ്ങളിൽ നിന്ന് ഒരേ അകലത്തിൽ സ്ഥിതി ചെയ്യുന്നു. നമുക്ക് പോയിന്റിൽ നിന്ന് ഇറങ്ങാംഡി ലംബമായി ഡി.ഇ ഒപ്പം ഡി.എഫ് മൂലയുടെ വശങ്ങളിൽ (ചിത്രം 2).വലത് ത്രികോണങ്ങൾ എ.ഡി.എഫ് ഒപ്പം എ.ഡി.ഇ തുല്യമായ , അവർക്ക് തുല്യ കാലുകൾ ഉള്ളതിനാൽഡി.എഫ് ഒപ്പം ഡി.ഇ , ഹൈപ്പോടെൻസും എ.ഡി - പൊതു. അതിനാൽ,

ക്യു.ഇ.ഡി.

നിർവ്വചനം 2 . സർക്കിൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു ഒരു കോണിൽ ആലേഖനം ചെയ്തിരിക്കുന്ന വൃത്തം , ഈ കോണിന്റെ വശങ്ങളാണെങ്കിൽ.

സിദ്ധാന്തം 3 . ഒരു വൃത്തം ഒരു കോണിൽ ആലേഖനം ചെയ്തിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ, കോണിന്റെ ശീർഷത്തിൽ നിന്ന് കോണിന്റെ വശങ്ങളുമായി വൃത്തത്തിന്റെ സമ്പർക്ക പോയിന്റുകളിലേക്കുള്ള ദൂരം തുല്യമായിരിക്കും.

തെളിവ് . കാര്യം പറയട്ടെ ഡി - ഒരു കോണിൽ ആലേഖനം ചെയ്ത വൃത്തത്തിന്റെ മധ്യഭാഗംബിഎസി , പോയിന്റുകളും ഇ ഒപ്പം എഫ് - കോണിന്റെ വശങ്ങളുമായി സർക്കിളിന്റെ കോൺടാക്റ്റ് പോയിന്റുകൾ (ചിത്രം 3).

ചിത്രം.3

എ , ബി , സി - ത്രികോണത്തിന്റെ വശങ്ങൾ,
 എസ് -സമചതുരം Samachathuram,

ആർ – ആലേഖനം ചെയ്ത വൃത്തത്തിന്റെ ആരം,
 പി - സെമി-പരിധി

.

ഫോർമുല ഔട്ട്പുട്ട് കാണുക

എ – ഒരു ഐസോസിലിസ് ത്രികോണത്തിന്റെ പാർശ്വവശം , 
 ബി - അടിസ്ഥാനം, ആർ – ആലേഖനം ചെയ്ത സർക്കിൾ ആരം

എ ആർ – ആലേഖനം ചെയ്ത സർക്കിൾ ആരം

ഫോർമുല ഔട്ട്പുട്ട് കാണുക

,

എവിടെ

,

പിന്നെ, ഒരു ഐസോസിലിസ് ത്രികോണത്തിന്റെ കാര്യത്തിൽ, എപ്പോൾ

നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു

എന്താണ് ആവശ്യമായിരുന്നത്.

സിദ്ധാന്തം 7 . സമത്വത്തിന് വേണ്ടി

എവിടെ എ - ഒരു സമഭുജ ത്രികോണത്തിന്റെ വശം,ആർ – ആലേഖനം ചെയ്ത വൃത്തത്തിന്റെ ആരം (ചിത്രം 8).

അരി. 8

തെളിവ് .

,

അപ്പോൾ, ഒരു സമഭുജ ത്രികോണത്തിന്റെ കാര്യത്തിൽ, എപ്പോൾ

b = a,

നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു

എന്താണ് ആവശ്യമായിരുന്നത്.

അഭിപ്രായം . ഒരു വ്യായാമമെന്ന നിലയിൽ, ഒരു സമഭുജ ത്രികോണത്തിൽ ആലേഖനം ചെയ്‌തിരിക്കുന്ന ഒരു സർക്കിളിന്റെ ആരത്തിന്റെ ഫോർമുല നേരിട്ട് ലഭിക്കാൻ ഞാൻ ശുപാർശ ചെയ്യുന്നു, അതായത്. ഒരു ഏകപക്ഷീയ ത്രികോണത്തിലോ ഐസോസിലിസ് ത്രികോണത്തിലോ ആലേഖനം ചെയ്‌തിരിക്കുന്ന വൃത്തങ്ങളുടെ ആരങ്ങൾക്കായുള്ള പൊതുവായ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കാതെ.

സിദ്ധാന്തം 8 . ഒരു വലത് ത്രികോണത്തിന്, ഇനിപ്പറയുന്ന തുല്യത നിലനിർത്തുന്നു:

എവിടെ എ , ബി - വലത് ത്രികോണത്തിന്റെ കാലുകൾ, സി – ഹൈപ്പോടെനസ് , ആർ – ആലേഖനം ചെയ്ത വൃത്തത്തിന്റെ ആരം.

തെളിവ് . ചിത്രം 9 പരിഗണിക്കുക.

അരി. 9

ചതുർഭുജം മുതൽCDOF ആണ് , തൊട്ടടുത്തുള്ള വശങ്ങളുണ്ട്DO ഒപ്പം ഓഫ് തുല്യമാണ്, അപ്പോൾ ഈ ദീർഘചതുരം . അതിനാൽ,

CB = CF= r,

സിദ്ധാന്തം 3 പ്രകാരം, ഇനിപ്പറയുന്ന സമത്വങ്ങൾ ശരിയാണ്:

അതിനാൽ, കൂടി കണക്കിലെടുക്കുമ്പോൾ, ഞങ്ങൾ നേടുന്നു

എന്താണ് ആവശ്യമായിരുന്നത്.

"ഒരു ത്രികോണത്തിൽ ആലേഖനം ചെയ്ത ഒരു വൃത്തം" എന്ന വിഷയത്തിലെ പ്രശ്നങ്ങളുടെ ഒരു തിരഞ്ഞെടുപ്പ്.

1.

ഒരു ഐസോസിലിസ് ത്രികോണത്തിൽ ആലേഖനം ചെയ്തിരിക്കുന്ന ഒരു വൃത്തം കോൺടാക്റ്റ് പോയിന്റിലെ ലാറ്ററൽ വശങ്ങളിലൊന്നിനെ രണ്ട് ഭാഗങ്ങളായി വിഭജിക്കുന്നു, അവയുടെ നീളം 5 ഉം 3 ഉം ആണ്, അടിത്തറയ്ക്ക് എതിർവശത്തുള്ള ശീർഷത്തിൽ നിന്ന് കണക്കാക്കുന്നു. ത്രികോണത്തിന്റെ ചുറ്റളവ് കണ്ടെത്തുക.

2.

3

ABC AC=4, BC=3 എന്ന ത്രികോണത്തിൽ, ആംഗിൾ C 90º ആണ്. ആലേഖനം ചെയ്ത സർക്കിളിന്റെ ആരം കണ്ടെത്തുക.

4.

ഒരു ഐസോസിലിസ് വലത് ത്രികോണത്തിന്റെ കാലുകൾ 2+ ആണ്. ഈ ത്രികോണത്തിൽ ആലേഖനം ചെയ്തിരിക്കുന്ന വൃത്തത്തിന്റെ ആരം കണ്ടെത്തുക.

5.

ഒരു ഐസോസിലിസ് വലത് ത്രികോണത്തിൽ ആലേഖനം ചെയ്‌തിരിക്കുന്ന ഒരു വൃത്തത്തിന്റെ ആരം 2 ആണ്. ഈ ത്രികോണത്തിന്റെ ഹൈപ്പോടെനസ് c കണ്ടെത്തുക. നിങ്ങളുടെ ഉത്തരത്തിൽ c(–1) സൂചിപ്പിക്കുക.

ഏകീകൃത സംസ്ഥാന പരീക്ഷയിൽ നിന്നുള്ള നിരവധി പ്രശ്നങ്ങൾ ഞങ്ങൾ പരിഹാരങ്ങളോടെ അവതരിപ്പിക്കുന്നു.

ഐസോസിലിസ് വലത് ത്രികോണത്തിൽ ആലേഖനം ചെയ്തിരിക്കുന്ന ഒരു വൃത്തത്തിന്റെ ആരം തുല്യമാണ്. ഈ ത്രികോണത്തിന്റെ ഹൈപ്പോടെൻസസ് കണ്ടെത്തുക. നിങ്ങളുടെ ഉത്തരത്തിൽ ദയവായി സൂചിപ്പിക്കുക.

ത്രികോണം ചതുരാകൃതിയിലുള്ളതും ഐസോസിലിസുമാണ്. അതിന്റെ കാലുകൾ ഒന്നുതന്നെയാണെന്നാണ് ഇതിനർത്ഥം. ഓരോ കാലും തുല്യമാകട്ടെ. അപ്പോൾ ഹൈപ്പോടെനസ് തുല്യമാണ്.

ABC ത്രികോണത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം ഞങ്ങൾ രണ്ട് തരത്തിൽ എഴുതുന്നു:

ഈ പദപ്രയോഗങ്ങളെ സമീകരിക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് അത് ലഭിക്കും. എന്തുകൊണ്ടെന്നാല്, ഞങ്ങൾക്ക് അത് ലഭിക്കുന്നു. പിന്നെ.

പ്രതികരണമായി ഞങ്ങൾ എഴുതാം.

ഉത്തരം:.

ടാസ്ക് 2.

1. ഏതെങ്കിലും രണ്ട് വശങ്ങളിൽ 10cm, 6cm (AB, BC) ചുറ്റപ്പെട്ടതും ആലേഖനം ചെയ്തതുമായ സർക്കിളുകളുടെ ആരം കണ്ടെത്തുക
അഭിപ്രായം പറയുന്നതിലൂടെ പ്രശ്നം സ്വതന്ത്രമായി പരിഹരിക്കപ്പെടുന്നു.

പരിഹാരം:

IN.

1) കണ്ടെത്തുക:
2) തെളിയിക്കുക:ഒപ്പം സി.കെ
3) കണ്ടെത്തുക: ചുറ്റപ്പെട്ടതും ആലേഖനം ചെയ്തതുമായ സർക്കിളുകളുടെ ആരം

പരിഹാരം:

ടാസ്ക് 6.

ആർ ഒരു ചതുരത്തിൽ ആലേഖനം ചെയ്തിരിക്കുന്ന ഒരു വൃത്തത്തിന്റെ ആരം. ഈ ചതുരത്തിൽ ചുറ്റപ്പെട്ടിരിക്കുന്ന വൃത്തത്തിന്റെ ആരം കണ്ടെത്തുക.നൽകിയത് :

കണ്ടെത്തുക: OS=?
പരിഹാരം: ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തം അല്ലെങ്കിൽ R എന്നതിനുള്ള സൂത്രവാക്യം ഉപയോഗിച്ച് പ്രശ്നം പരിഹരിക്കാൻ കഴിയും. രണ്ടാമത്തെ കേസ് ലളിതമായിരിക്കും, കാരണം R എന്ന സൂത്രവാക്യം സിദ്ധാന്തത്തിൽ നിന്ന് ഉരുത്തിരിഞ്ഞതാണ്.

ടാസ്ക് 7.

ഐസോസിലിസ് വലത് ത്രികോണത്തിൽ ആലേഖനം ചെയ്‌തിരിക്കുന്ന ഒരു വൃത്തത്തിന്റെ ആരം 2 ആണ്. ഹൈപ്പോടെനസ് കണ്ടെത്തുകകൂടെ ഈ ത്രികോണം. നിങ്ങളുടെ ഉത്തരത്തിൽ ദയവായി സൂചിപ്പിക്കുക.

എസ് - ത്രികോണ പ്രദേശം

ത്രികോണത്തിന്റെ വശങ്ങളോ അതിന്റെ വിസ്തീർണ്ണമോ നമുക്ക് അറിയില്ല. നമുക്ക് കാലുകളെ x ആയി സൂചിപ്പിക്കാം, അപ്പോൾ ഹൈപ്പോടെനസ് ഇതിന് തുല്യമായിരിക്കും:

ത്രികോണത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം 0.5x ആയിരിക്കും 2 .

അർത്ഥമാക്കുന്നത്

അതിനാൽ, ഹൈപ്പോടെനസ് ഇതിന് തുല്യമായിരിക്കും:

നിങ്ങളുടെ ഉത്തരത്തിൽ നിങ്ങൾ എഴുതേണ്ടതുണ്ട്:

ഉത്തരം: 4

ടാസ്ക് 8.

ത്രികോണത്തിൽ ABC AC = 4, BC = 3, ആംഗിൾ സി 90 0 ന് തുല്യമാണ്. ആലേഖനം ചെയ്ത സർക്കിളിന്റെ ആരം കണ്ടെത്തുക.

ഒരു ത്രികോണത്തിൽ ആലേഖനം ചെയ്‌തിരിക്കുന്ന ഒരു വൃത്തത്തിന്റെ ആരത്തിന്റെ ഫോർമുല നമുക്ക് ഉപയോഗിക്കാം:

ഇവിടെ a, b, c എന്നിവയാണ് ത്രികോണത്തിന്റെ വശങ്ങൾ

എസ് - ത്രികോണ പ്രദേശം

രണ്ട് വശങ്ങൾ അറിയപ്പെടുന്നു (ഇവയാണ് കാലുകൾ), നമുക്ക് മൂന്നാമത്തേത് (ഹൈപ്പോട്ടെനസ്) കണക്കാക്കാം, കൂടാതെ നമുക്ക് പ്രദേശം കണക്കാക്കാം.

പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തം അനുസരിച്ച്:

നമുക്ക് പ്രദേശം കണ്ടെത്താം:

അങ്ങനെ:

ഉത്തരം: 1

ടാസ്ക് 9.

ഒരു ഐസോസിലിസ് ത്രികോണത്തിന്റെ വശങ്ങൾ 5 ഉം അടിസ്ഥാനം 6 ഉം ആണ്. ആലേഖനം ചെയ്ത വൃത്തത്തിന്റെ ആരം കണ്ടെത്തുക.

ഒരു ത്രികോണത്തിൽ ആലേഖനം ചെയ്‌തിരിക്കുന്ന ഒരു വൃത്തത്തിന്റെ ആരത്തിന്റെ ഫോർമുല നമുക്ക് ഉപയോഗിക്കാം:

ഇവിടെ a, b, c എന്നിവയാണ് ത്രികോണത്തിന്റെ വശങ്ങൾ

എസ് - ത്രികോണ പ്രദേശം

എല്ലാ വശങ്ങളും അറിയാം, നമുക്ക് പ്രദേശം കണക്കാക്കാം. ഹെറോണിന്റെ ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് ഇത് കണ്ടെത്താം:

പിന്നെ

എല്ലാ വശങ്ങളും തുല്യമായ ഒരു സമാന്തരരേഖയാണ് റോംബസ്. അതിനാൽ, ഇത് ഒരു സമാന്തരരേഖയുടെ എല്ലാ ഗുണങ്ങളും അവകാശമാക്കുന്നു. അതായത്:

• ഒരു റോംബസിന്റെ ഡയഗണലുകൾ പരസ്പരം ലംബമാണ്.
• ഒരു റോംബസിന്റെ ഡയഗണലുകൾ അതിന്റെ ആന്തരിക കോണുകളുടെ ദ്വിമുഖങ്ങളാണ്.

എതിർവശങ്ങളുടെ ആകെത്തുക തുല്യമാണെങ്കിൽ മാത്രമേ ഒരു വൃത്തം ഒരു ചതുർഭുജത്തിൽ ആലേഖനം ചെയ്യാൻ കഴിയൂ.
അതിനാൽ, ഏത് റോംബസിലും ഒരു വൃത്തം ആലേഖനം ചെയ്യാവുന്നതാണ്. ആലേഖനം ചെയ്ത സർക്കിളിന്റെ മധ്യഭാഗം റോംബസിന്റെ ഡയഗണലുകളുടെ വിഭജനത്തിന്റെ കേന്ദ്രവുമായി യോജിക്കുന്നു.
ഒരു റോംബസിൽ ആലേഖനം ചെയ്ത വൃത്തത്തിന്റെ ആരം പല തരത്തിൽ പ്രകടിപ്പിക്കാം

1 വഴി. ഉയരത്തിലൂടെ ഒരു റോംബസിൽ ആലേഖനം ചെയ്ത വൃത്തത്തിന്റെ ആരം

ഒരു റോംബസിന്റെ ഉയരം ആലേഖനം ചെയ്ത വൃത്തത്തിന്റെ വ്യാസത്തിന് തുല്യമാണ്. ഇത് ഒരു ദീർഘചതുരത്തിന്റെ സ്വത്തിൽ നിന്ന് പിന്തുടരുന്നു, ഇത് ആലേഖനം ചെയ്ത വൃത്തത്തിന്റെ വ്യാസവും റോംബസിന്റെ ഉയരവും കൊണ്ട് രൂപം കൊള്ളുന്നു - ഒരു ദീർഘചതുരത്തിന്റെ എതിർ വശങ്ങൾ തുല്യമാണ്.

അതിനാൽ, ഉയരത്തിന്റെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ ഒരു റോംബസിൽ ആലേഖനം ചെയ്‌ത വൃത്തത്തിന്റെ ആരത്തിന്റെ ഫോർമുല:

രീതി 2. ഡയഗണലുകളിലൂടെ ഒരു റോംബസിൽ ആലേഖനം ചെയ്ത വൃത്തത്തിന്റെ ആരം

ഒരു റോംബസിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം ആലേഖനം ചെയ്ത വൃത്തത്തിന്റെ ആരത്തിന്റെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ പ്രകടിപ്പിക്കാം
, എവിടെ ആർ- ഒരു റോംബസിന്റെ ചുറ്റളവ്. ചതുർഭുജത്തിന്റെ എല്ലാ വശങ്ങളുടെയും ആകെത്തുകയാണ് ചുറ്റളവ് എന്ന് അറിയുന്നത്, നമുക്കുണ്ട് പി= 4×എ.പിന്നെ
എന്നാൽ ഒരു റോംബസിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം അതിന്റെ ഡയഗണലുകളുടെ പകുതി ഉൽപ്പന്നത്തിന് തുല്യമാണ്
ഏരിയ സൂത്രവാക്യങ്ങളുടെ വലത് വശങ്ങൾ തുല്യമാക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് ഇനിപ്പറയുന്ന തുല്യതയുണ്ട്
തൽഫലമായി, ഡയഗണലിലൂടെ ഒരു റോംബസിൽ ആലേഖനം ചെയ്ത സർക്കിളിന്റെ ആരം കണക്കാക്കാൻ ഞങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്ന ഒരു ഫോർമുല നമുക്ക് ലഭിക്കും.

ഡയഗണലുകൾ അറിയാമെങ്കിൽ ഒരു റോംബസിൽ ആലേഖനം ചെയ്തിരിക്കുന്ന ഒരു വൃത്തത്തിന്റെ ആരം കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു ഉദാഹരണം
ഡയഗണലുകളുടെ നീളം 30 സെന്റിമീറ്ററും 40 സെന്റിമീറ്ററും ആണെന്ന് അറിയാമെങ്കിൽ, ഒരു റോംബസിൽ ആലേഖനം ചെയ്തിരിക്കുന്ന ഒരു വൃത്തത്തിന്റെ ആരം കണ്ടെത്തുക.
അനുവദിക്കുക എ ബി സി ഡി-റോംബസ്, പിന്നെ എ.സി.ഒപ്പം BDഅതിന്റെ ഡയഗണലുകൾ. എസി= 30 സെ.മീ ,BD=40 സെ.മീ
കാര്യം പറയട്ടെ കുറിച്ച്- റോംബസിൽ ആലേഖനം ചെയ്തതിന്റെ കേന്ദ്രമാണ് എ ബി സി ഡിവൃത്തം, അപ്പോൾ അത് അതിന്റെ ഡയഗണലുകളുടെ വിഭജന പോയിന്റ് ആയിരിക്കും, അവയെ പകുതിയായി വിഭജിക്കുക.


ഒരു റോംബസിന്റെ ഡയഗണലുകൾ വലത് കോണുകളിൽ വിഭജിക്കുന്നതിനാൽ, തുടർന്ന് ത്രികോണം AOBദീർഘചതുരാകൃതിയിലുള്ള. പിന്നെ, പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തം വഴി
, മുമ്പ് ലഭിച്ച മൂല്യങ്ങൾ ഫോർമുലയിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക

എബി= 25 സെ.മീ
വൃത്താകൃതിയിലുള്ള വൃത്തത്തിന്റെ ആരത്തിന് മുമ്പ് ഉരുത്തിരിഞ്ഞ സൂത്രവാക്യം ഒരു റോംബസിലേക്ക് പ്രയോഗിക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് ലഭിക്കും

3 വഴി. m, n എന്നീ സെഗ്‌മെന്റുകളിലൂടെ ഒരു റോംബസിൽ ആലേഖനം ചെയ്‌ത വൃത്തത്തിന്റെ ആരം

ഡോട്ട് എഫ്- റോംബസിന്റെ വശവുമായി സർക്കിളിന്റെ കോൺടാക്റ്റ് പോയിന്റ്, അത് അതിനെ സെഗ്മെന്റുകളായി വിഭജിക്കുന്നു എ.എഫ്.ഒപ്പം ബി.എഫ്.. അനുവദിക്കുക AF=m, BF=n.
ഡോട്ട് ഒ- ഒരു റോംബസിന്റെ ഡയഗണലുകളുടെ വിഭജനത്തിന്റെ കേന്ദ്രവും അതിൽ ആലേഖനം ചെയ്തിരിക്കുന്ന വൃത്തത്തിന്റെ മധ്യവും.
ത്രികോണം AOB- ദീർഘചതുരം, കാരണം ഒരു റോംബസിന്റെ ഡയഗണലുകൾ വലത് കോണുകളിൽ വിഭജിക്കുന്നു.
, കാരണം വൃത്തത്തിന്റെ ടാൻജെന്റ് പോയിന്റിലേക്ക് വരച്ച ദൂരമാണ്. അതുകൊണ്ട് ഓഫ്- ത്രികോണത്തിന്റെ ഉയരം AOBഹൈപ്പോടെൻസിലേക്ക്. പിന്നെ എ.എഫ്.ഒപ്പം BFഹൈപ്പോടെനസിലേക്ക് കാലുകളുടെ പ്രൊജക്ഷനുകൾ.
ഒരു വലത് ത്രികോണത്തിലെ ഉയരം ഹൈപ്പോടെനസിലേക്ക് താഴുന്നത് ഹൈപ്പോടെൻസിലെ കാലുകളുടെ പ്രൊജക്ഷനുകൾ തമ്മിലുള്ള ശരാശരി ആനുപാതികമാണ്.

സെഗ്‌മെന്റുകളിലൂടെ ഒരു റോംബസിൽ ആലേഖനം ചെയ്‌ത വൃത്തത്തിന്റെ ആരത്തിന്റെ ഫോർമുല, ഈ സെഗ്‌മെന്റുകളുടെ ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ വർഗ്ഗമൂലത്തിന് തുല്യമാണ്, അതിൽ റോംബസിന്റെ വശം വൃത്തത്തിന്റെ ടാൻജെന്റ് പോയിന്റ് കൊണ്ട് ഹരിച്ചിരിക്കുന്നു.

ഒരു ത്രികോണത്തിൽ ആലേഖനം ചെയ്ത ഒരു വൃത്തം പരിഗണിക്കുക (ചിത്രം 302). ത്രികോണത്തിന്റെ ആന്തരിക കോണുകളുടെ ബൈസെക്ടറുകളുടെ കവലയിലാണ് അതിന്റെ കേന്ദ്രം O സ്ഥാപിച്ചിരിക്കുന്നത് എന്ന് ഓർക്കുക. OA, OB, OS, O-യെ ABC ത്രികോണത്തിന്റെ ലംബങ്ങളുമായി ബന്ധിപ്പിക്കുന്ന സെഗ്‌മെന്റുകൾ ത്രികോണത്തെ മൂന്ന് ത്രികോണങ്ങളായി വിഭജിക്കും:

AOV, VOS, SOA. ഈ ത്രികോണങ്ങളിൽ ഓരോന്നിന്റെയും ഉയരം ദൂരത്തിന് തുല്യമാണ്, അതിനാൽ അവയുടെ വിസ്തീർണ്ണം ഇങ്ങനെ പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു

S ത്രികോണത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം ഈ മൂന്ന് മേഖലകളുടെ ആകെത്തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണ്:

ത്രികോണത്തിന്റെ അർദ്ധപരിധി എവിടെയാണ്. ഇവിടെ നിന്ന്

ആലേഖനം ചെയ്ത വൃത്തത്തിന്റെ ആരം ത്രികോണത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണത്തിന്റെ പകുതി ചുറ്റളവിന്റെ അനുപാതത്തിന് തുല്യമാണ്.

ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ ചുറ്റളവിന് ഒരു സൂത്രവാക്യം ലഭിക്കുന്നതിന്, ഞങ്ങൾ ഇനിപ്പറയുന്ന നിർദ്ദേശം തെളിയിക്കുന്നു.

സിദ്ധാന്തം a: ഏത് ത്രികോണത്തിലും, വശം വിപരീത കോണിന്റെ സൈനാൽ ഗുണിച്ച വൃത്തത്തിന്റെ വ്യാസത്തിന് തുല്യമാണ്.

തെളിവ്. ഒരു അനിയന്ത്രിതമായ ത്രികോണം എബിസിയും അതിനെ ചുറ്റിപ്പറ്റിയുള്ള ഒരു വൃത്തവും പരിഗണിക്കുക, അതിന്റെ ആരം R കൊണ്ട് സൂചിപ്പിക്കും (ചിത്രം 303). A എന്നത് ത്രികോണത്തിന്റെ മൂർച്ചയുള്ള കോണായിരിക്കട്ടെ. നമുക്ക് വൃത്തത്തിന്റെ റേഡി OB, OS വരച്ച് അതിന്റെ മധ്യഭാഗം O മുതൽ ത്രികോണത്തിന്റെ BC വശത്തേക്ക് ലംബമായി OK ഡ്രോപ്പ് ചെയ്യാം. ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ a കോണിനെ അളക്കുന്നത് ആർക്ക് BC യുടെ പകുതിയാണ്, ഏത് കോണിന് BOC കേന്ദ്രകോണാണ്. ഇതിൽ നിന്ന് വ്യക്തമാണ്. അതിനാൽ, RNS വലത് ത്രികോണത്തിൽ നിന്ന് ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു , അല്ലെങ്കിൽ , അതാണ് നമുക്ക് തെളിയിക്കേണ്ടത്.

നൽകിയ അത്തിപ്പഴം. 303, ന്യായവാദം ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ നിശിതകോണിന്റെ കാര്യത്തെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു; വലത്, മങ്ങിയ കോണുകളുടെ കേസുകൾക്കുള്ള തെളിവ് നടപ്പിലാക്കുന്നത് എളുപ്പമായിരിക്കും (വായനക്കാരൻ ഇത് സ്വന്തമായി ചെയ്യും), എന്നാൽ നിങ്ങൾക്ക് സൈനുകളുടെ സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിക്കാം (218.3). കാരണം അത് എവിടെ നിന്നായിരിക്കണം

സൈൻ സിദ്ധാന്തവും എഴുതിയിട്ടുണ്ട്. രൂപം

നൊട്ടേഷൻ ഫോമുമായുള്ള താരതമ്യം (218.3) നൽകുന്നു

വൃത്താകൃതിയിലുള്ള വൃത്തത്തിന്റെ ആരം, ത്രികോണത്തിന്റെ മൂന്ന് വശങ്ങളിലെ ഗുണനത്തിന്റെ അതിന്റെ ക്വാഡ്രപ്പിൾ ഏരിയയുടെ അനുപാതത്തിന് തുല്യമാണ്.

ടാസ്ക്. ഒരു ഐസോസിലിസ് ത്രികോണത്തിന്റെ വൃത്തത്തിനും വൃത്തത്തിനും യഥാക്രമം ആരങ്ങളുണ്ടെങ്കിൽ അതിന്റെ വശങ്ങൾ കണ്ടെത്തുക

പരിഹാരം. ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ ആലേഖനം ചെയ്തതും ചുറ്റപ്പെട്ടതുമായ സർക്കിളുകളുടെ ആരം പ്രകടിപ്പിക്കുന്ന സൂത്രവാക്യങ്ങൾ എഴുതാം:

ഒരു വശവും അടിത്തറയും ഉള്ള ഒരു ഐസോസിലിസ് ത്രികോണത്തിന്, വിസ്തീർണ്ണം ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു

അല്ലെങ്കിൽ, അംശം പൂജ്യമല്ലാത്ത ഘടകം കൊണ്ട് കുറയ്ക്കുന്നു

ഇത് സംബന്ധിച്ച് ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിലേക്ക് നയിക്കുന്നു

ഇതിന് രണ്ട് പരിഹാരങ്ങളുണ്ട്:

ഏതെങ്കിലും സമവാക്യങ്ങളിൽ അല്ലെങ്കിൽ ആർ എന്നതിന് പകരം അതിന്റെ പദപ്രയോഗത്തിന് പകരം, ഞങ്ങളുടെ പ്രശ്നത്തിന് രണ്ട് ഉത്തരങ്ങൾ ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തും:

വ്യായാമങ്ങൾ

1. ഒരു വലത് കോണിന്റെ ശീർഷത്തിൽ നിന്ന് വരച്ച ഒരു വലത് ത്രികോണത്തിന്റെ ഉയരം, ഹൈപ്പോടെൻസിനെ അനുപാതത്തിൽ ഹരിക്കുന്നു, ഓരോ കാലുകളുടെയും ഹൈപ്പോടെൻസിന്റെ അനുപാതം കണ്ടെത്തുക.

2. ഒരു വൃത്തത്തിൽ ചുറ്റപ്പെട്ട ഒരു ഐസോസിലിസ് ട്രപസോയിഡിന്റെ അടിത്തറകൾ a, b എന്നിവയ്ക്ക് തുല്യമാണ്. സർക്കിളിന്റെ ആരം കണ്ടെത്തുക.

3. രണ്ട് സർക്കിളുകൾ ബാഹ്യമായി സ്പർശിക്കുന്നു. അവയുടെ പൊതുവായ സ്പർശനങ്ങൾ 30° കോണിൽ കേന്ദ്രങ്ങളുടെ വരിയിലേക്ക് ചെരിഞ്ഞിരിക്കുന്നു. ടാൻജെന്റ് പോയിന്റുകൾക്കിടയിലുള്ള ടാൻജെന്റ് സെഗ്‌മെന്റിന്റെ നീളം 108 സെന്റിമീറ്ററാണ്. വൃത്തങ്ങളുടെ ആരം കണ്ടെത്തുക.

4. ഒരു വലത് ത്രികോണത്തിന്റെ കാലുകൾ a, b എന്നിവയ്ക്ക് തുല്യമാണ്. വലത് കോണിന്റെ ശീർഷത്തിൽ നിന്ന് വരച്ച ത്രികോണത്തിന്റെ ഉയരവും മധ്യവും ഉള്ള ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണ്ടെത്തുക, ഹൈപ്പോടെന്യൂസുമായി അവയുടെ വിഭജനത്തിന്റെ പോയിന്റുകൾക്കിടയിലുള്ള ഹൈപ്പോടെനസിന്റെ സെഗ്മെന്റ് കണ്ടെത്തുക.

5. ത്രികോണത്തിന്റെ വശങ്ങൾ 13, 14, 15 ആണ്. അവയിൽ ഓരോന്നിന്റെയും പ്രൊജക്ഷൻ മറ്റ് രണ്ടിലേക്ക് കണ്ടെത്തുക.

6. ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ വശവും ഉയരവും അറിയാം, b, c എന്നീ വശങ്ങൾ കണ്ടെത്തുക.

7. ത്രികോണത്തിന്റെ രണ്ട് വശങ്ങളും മധ്യഭാഗവും അറിയപ്പെടുന്നു, ത്രികോണത്തിന്റെ മൂന്നാം വശം കണ്ടെത്തുക.

8. ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ രണ്ട് വശങ്ങളും അവയ്ക്കിടയിലുള്ള ഒരു കോണും നൽകിയിരിക്കുന്നു: ആലേഖനം ചെയ്തതും ചുറ്റപ്പെട്ടതുമായ സർക്കിളുകളുടെ ആരം കണ്ടെത്തുക.

9. a, b, c ത്രികോണത്തിന്റെ വശങ്ങൾ അറിയപ്പെടുന്നു. ത്രികോണത്തിന്റെ വശങ്ങളുമായി ആലേഖനം ചെയ്‌ത വൃത്തത്തിന്റെ സമ്പർക്ക പോയിന്റുകളാൽ അവയെ വിഭജിച്ചിരിക്കുന്ന സെഗ്‌മെന്റുകൾ ഏതാണ്?