बाजूकडील पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ चौकोनी आहे. पिरॅमिड

ही एक आकृती आहे ज्याचा पाया एक अनियंत्रित बहुभुज आहे आणि बाजूचे चेहरे त्रिकोणांद्वारे दर्शविले जातात. त्यांचे शिरोबिंदू एकाच बिंदूवर आहेत आणि पिरॅमिडच्या शीर्षाशी संबंधित आहेत.

पिरॅमिड विविध असू शकतो - त्रिकोणी, चतुर्भुज, षटकोनी इ. बेसला लागून असलेल्या कोनांच्या संख्येनुसार त्याचे नाव निश्चित केले जाऊ शकते.
योग्य पिरॅमिडयाला पिरॅमिड म्हणतात ज्यामध्ये पाया, कोन आणि कडा यांच्या बाजू समान असतात. तसेच अशा पिरॅमिडमध्ये बाजूच्या चेहऱ्यांचे क्षेत्रफळ समान असेल.
पिरॅमिडच्या पार्श्व पृष्ठभागाच्या क्षेत्रफळाचे सूत्र त्याच्या सर्व चेहऱ्यांच्या क्षेत्रांची बेरीज आहे:
म्हणजेच, अनियंत्रित पिरॅमिडच्या पार्श्व पृष्ठभागाच्या क्षेत्राची गणना करण्यासाठी, आपल्याला प्रत्येक स्वतंत्र त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ शोधून त्यांना एकत्र जोडणे आवश्यक आहे. जर पिरॅमिड कापला असेल तर त्याचे चेहरे ट्रॅपेझॉइड्सद्वारे दर्शविले जातात. नियमित पिरॅमिडसाठी आणखी एक सूत्र आहे. त्यामध्ये, बाजूकडील पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ बेसच्या अर्ध-परिमिती आणि एपोथेमच्या लांबीद्वारे मोजले जाते:

पिरॅमिडच्या पार्श्व पृष्ठभागाच्या क्षेत्रफळाची गणना करण्याच्या उदाहरणाचा विचार करूया.
नियमित चतुर्भुज पिरॅमिड द्या. पायाची बाजू b= 6 सेमी, apothem a= 8 सेमी बाजूच्या पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ शोधा.

नियमित चतुर्भुज पिरॅमिडच्या पायथ्याशी एक चौरस असतो. प्रथम, त्याची परिमिती शोधूया:

आता आपण आपल्या पिरॅमिडच्या पार्श्व पृष्ठभागाच्या क्षेत्रफळाची गणना करू शकतो:

पॉलीहेड्रॉनचे एकूण क्षेत्रफळ शोधण्यासाठी, तुम्हाला त्याच्या पायाचे क्षेत्रफळ शोधावे लागेल. पिरॅमिडच्या पायाच्या क्षेत्रासाठी सूत्र भिन्न असू शकते ज्याच्या आधारावर बहुभुज आहे. हे करण्यासाठी, त्रिकोणाच्या क्षेत्रासाठी सूत्र वापरा, समांतरभुज चौकोनाचे क्षेत्रफळइ.

आमच्या परिस्थितीनुसार दिलेल्या पिरॅमिडच्या पायाचे क्षेत्रफळ मोजण्याचे उदाहरण विचारात घ्या. पिरॅमिड नियमित असल्याने, त्याच्या पायथ्याशी एक चौरस आहे.
चौरस क्षेत्रसूत्रानुसार गणना केली: ,
जेथे a चौरसाची बाजू आहे. आमच्यासाठी ते 6 सेमी आहे याचा अर्थ पिरॅमिडच्या पायाचे क्षेत्रफळ आहे:

आता फक्त पॉलीहेड्रॉनचे एकूण क्षेत्रफळ शोधणे बाकी आहे. पिरॅमिडच्या क्षेत्रफळाच्या सूत्रामध्ये त्याच्या पायाचे क्षेत्रफळ आणि बाजूकडील पृष्ठभागाची बेरीज असते.

एक सामान्य सूत्र आहे का? नाही, सर्वसाधारणपणे, नाही. आपल्याला फक्त बाजूच्या चेहऱ्यांचे क्षेत्र शोधण्याची आणि त्यांची बेरीज करण्याची आवश्यकता आहे.

साठी सूत्र लिहिले जाऊ शकते सरळ प्रिझम:

पायाची परिमिती कुठे आहे.

परंतु अतिरिक्त सूत्रे लक्षात ठेवण्यापेक्षा प्रत्येक विशिष्ट प्रकरणात सर्व क्षेत्रे जोडणे खूप सोपे आहे. उदाहरणार्थ, नियमित षटकोनी प्रिझमच्या एकूण पृष्ठभागाची गणना करू.

सर्व बाजूचे चेहरे आयताकृती आहेत. म्हणजे.

व्हॉल्यूमची गणना करताना हे आधीच दर्शविले गेले आहे.

तर आम्हाला मिळते:

पिरॅमिडचे पृष्ठभाग क्षेत्र

सामान्य नियम पिरॅमिडवर देखील लागू होतो:

आता सर्वात लोकप्रिय पिरॅमिडच्या पृष्ठभागाच्या क्षेत्रफळाची गणना करूया.

नियमित त्रिकोणी पिरॅमिडचे पृष्ठभाग क्षेत्र

पायाची बाजू समान आणि बाजूची किनार समान असू द्या. आम्हाला शोधण्याची गरज आहे आणि.

आता आपण ते लक्षात ठेवूया

हे नियमित त्रिकोणाचे क्षेत्र आहे.

आणि हे क्षेत्र कसे शोधायचे ते लक्षात ठेवूया. आम्ही क्षेत्र सूत्र वापरतो:

आमच्यासाठी, "" हे आहे, आणि "" हे देखील आहे.

आता ते शोधूया.

मूलभूत क्षेत्र सूत्र आणि पायथागोरियन प्रमेय वापरून, आपण शोधतो

लक्ष द्या:जर तुमच्याकडे नियमित टेट्राहेड्रॉन असेल (म्हणजे), तर सूत्र असे निघेल:

नियमित चतुर्भुज पिरॅमिडचे पृष्ठभाग क्षेत्र

पायाची बाजू समान आणि बाजूची किनार समान असू द्या.

पाया एक चौरस आहे, आणि म्हणूनच.

बाजूच्या चेहऱ्याचे क्षेत्रफळ शोधणे बाकी आहे

नियमित षटकोनी पिरॅमिडचे पृष्ठभाग क्षेत्र.

पायाची बाजू समान आणि बाजूची किनार असू द्या.

कसे शोधायचे? षटकोनामध्ये अगदी सहा समान नियमित त्रिकोण असतात. नियमित त्रिकोणी पिरॅमिडच्या पृष्ठभागाच्या क्षेत्रफळाची गणना करताना आम्ही नियमित त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ शोधले आहे;

बरं, आम्ही आधीच बाजूच्या चेहऱ्याचे क्षेत्र दोनदा शोधले आहे.

बरं, विषय संपला. जर तुम्ही या ओळी वाचत असाल तर याचा अर्थ तुम्ही खूप मस्त आहात.

कारण केवळ 5% लोक स्वत: काहीतरी मास्टर करण्यास सक्षम आहेत. आणि जर तुम्ही शेवटपर्यंत वाचलात तर तुम्ही या 5% मध्ये आहात!

आता सर्वात महत्वाची गोष्ट.

तुम्हाला या विषयावरील सिद्धांत समजला आहे. आणि, मी पुन्हा सांगतो, हे... हे फक्त सुपर आहे! तुम्ही तुमच्या बहुसंख्य समवयस्कांपेक्षा चांगले आहात.

समस्या अशी आहे की हे पुरेसे नाही...

कशासाठी?

युनिफाइड स्टेट परीक्षा यशस्वीपणे उत्तीर्ण झाल्याबद्दल, बजेटमध्ये कॉलेजमध्ये प्रवेश केल्याबद्दल आणि सर्वात महत्त्वाचे म्हणजे आयुष्यासाठी.

मी तुम्हाला काहीही पटवून देणार नाही, मी फक्त एक गोष्ट सांगेन...

ज्यांना चांगले शिक्षण मिळाले आहे ते न मिळालेल्या लोकांपेक्षा जास्त कमावतात. ही आकडेवारी आहे.

पण ही मुख्य गोष्ट नाही.

मुख्य गोष्ट अशी आहे की ते अधिक आनंदी आहेत (असे अभ्यास आहेत). कदाचित त्यांच्यासमोर आणखी अनेक संधी उघडल्या जातील आणि जीवन उजळ होईल म्हणून? माहीत नाही...

पण तुम्हीच विचार करा...

युनिफाइड स्टेट परीक्षेत इतरांपेक्षा चांगले होण्यासाठी आणि शेवटी... आनंदी होण्यासाठी काय करावे लागेल?

या विषयावरील समस्या सोडवून तुमचा हात मिळवा.

परीक्षेदरम्यान तुम्हाला सिद्धांत विचारला जाणार नाही.

तुला गरज पडेल वेळेवर समस्या सोडवा.

आणि, जर तुम्ही ते सोडवले नाही (बरेच!), तुम्ही नक्कीच कुठेतरी एक मूर्ख चूक कराल किंवा तुमच्याकडे वेळ नसेल.

हे खेळांसारखे आहे - निश्चितपणे जिंकण्यासाठी तुम्हाला ते अनेक वेळा पुनरावृत्ती करणे आवश्यक आहे.

आपल्याला पाहिजे तेथे संग्रह शोधा, अपरिहार्यपणे उपायांसह, तपशीलवार विश्लेषणआणि ठरवा, ठरवा, ठरवा!

तुम्ही आमची कार्ये वापरू शकता (पर्यायी) आणि आम्ही अर्थातच त्यांची शिफारस करतो.

आमची कार्ये अधिक चांगल्या प्रकारे वापरण्यासाठी, तुम्ही सध्या वाचत असलेल्या YouClever पाठ्यपुस्तकाचे आयुष्य वाढविण्यात मदत करणे आवश्यक आहे.

कसे? दोन पर्याय आहेत:

1. या लेखातील सर्व लपविलेले कार्य अनलॉक करा -
2. पाठ्यपुस्तकातील सर्व 99 लेखांमधील सर्व लपविलेल्या कार्यांचा प्रवेश अनलॉक करा - पाठ्यपुस्तक खरेदी करा - 499 RUR

होय, आमच्या पाठ्यपुस्तकात असे 99 लेख आहेत आणि सर्व कार्ये आणि त्यातील लपलेले सर्व मजकूर त्वरित उघडता येतात.

साइटच्या संपूर्ण आयुष्यासाठी सर्व लपविलेल्या कार्यांमध्ये प्रवेश प्रदान केला जातो.

अनुमान मध्ये...

तुम्हाला आमची कामे आवडत नसल्यास, इतरांना शोधा. फक्त सिद्धांतावर थांबू नका.

"समजले" आणि "मी सोडवू शकतो" ही ​​पूर्णपणे भिन्न कौशल्ये आहेत. तुम्हाला दोन्हीची गरज आहे.

समस्या शोधा आणि त्यांचे निराकरण करा!

पिरॅमिडचे पृष्ठभाग क्षेत्र. या लेखात आम्ही नियमित पिरॅमिडच्या समस्या पाहू. मी तुम्हाला आठवण करून देतो की नियमित पिरॅमिड हा एक पिरॅमिड आहे ज्याचा पाया नियमित बहुभुज आहे, पिरॅमिडचा वरचा भाग या बहुभुजाच्या मध्यभागी प्रक्षेपित केला जातो.

अशा पिरॅमिडचा बाजूचा चेहरा समद्विभुज त्रिकोण आहे.नियमित पिरॅमिडच्या शिरोबिंदूपासून काढलेल्या या त्रिकोणाच्या उंचीला apothem, SF - apothem म्हणतात:

खाली सादर केलेल्या समस्येच्या प्रकारात, आपल्याला संपूर्ण पिरॅमिडचे पृष्ठभाग क्षेत्र किंवा त्याच्या बाजूकडील पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ शोधण्याची आवश्यकता आहे. ब्लॉगने याआधीच नियमित पिरॅमिड्सच्या अनेक समस्यांवर चर्चा केली आहे, जिथे प्रश्न घटक (उंची, बेस एज, साइड एज) शोधण्याचा होता.

युनिफाइड स्टेट एक्झामिनेशन टास्क सामान्यत: नियमित त्रिकोणी, चतुर्भुज आणि षटकोनी पिरॅमिडचे परीक्षण करतात. मला नियमित पंचकोनी आणि हेप्टागोनल पिरॅमिडमध्ये कोणतीही समस्या दिसली नाही.

संपूर्ण पृष्ठभागाच्या क्षेत्रफळाचे सूत्र सोपे आहे - आपल्याला पिरॅमिडच्या पायाच्या क्षेत्रफळाची बेरीज आणि त्याच्या बाजूच्या पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ शोधण्याची आवश्यकता आहे:

चला कार्यांचा विचार करूया:

नियमित चतुर्भुज पिरॅमिडच्या पायाच्या बाजू 72 आहेत, बाजूच्या कडा 164 आहेत. या पिरॅमिडच्या पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ शोधा.

पिरॅमिडच्या पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ पार्श्व पृष्ठभाग आणि पायाच्या क्षेत्रांच्या बेरजेइतके आहे:

*पार्श्व पृष्ठभागावर समान क्षेत्रफळाचे चार त्रिकोण असतात. पिरॅमिडचा पाया एक चौरस आहे.

आम्ही वापरून पिरॅमिडच्या बाजूचे क्षेत्रफळ काढू शकतो:

अशा प्रकारे, पिरॅमिडचे पृष्ठभाग क्षेत्र आहे:

उत्तर: 28224

नियमित षटकोनी पिरॅमिडच्या पायाच्या बाजू 22 च्या समान आहेत, बाजूच्या कडा 61 च्या समान आहेत. या पिरॅमिडचे पार्श्व पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ शोधा.

नियमित षटकोनी पिरॅमिडचा पाया नियमित षटकोनी असतो.

या पिरॅमिडच्या पार्श्व पृष्ठभागाच्या क्षेत्रामध्ये 61,61 आणि 22 बाजू असलेल्या समान त्रिकोणांचे सहा क्षेत्र असतात:

हेरॉनचे सूत्र वापरून त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ शोधूया:

अशा प्रकारे, बाजूकडील पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ आहे:

उत्तर: 3240

*वर सादर केलेल्या समस्यांमध्ये, बाजूच्या चेहऱ्याचे क्षेत्रफळ दुसरे त्रिकोण सूत्र वापरून शोधले जाऊ शकते, परंतु यासाठी तुम्हाला अपोथेमची गणना करणे आवश्यक आहे.

27155. नियमित चतुर्भुज पिरॅमिडच्या पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ शोधा ज्याच्या पायाच्या बाजू 6 आहेत आणि ज्याची उंची 4 आहे.

पिरॅमिडच्या पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ शोधण्यासाठी, आपल्याला पायाचे क्षेत्रफळ आणि बाजूच्या पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ माहित असणे आवश्यक आहे:

पायाचे क्षेत्रफळ 36 आहे कारण तो बाजू 6 असलेला चौरस आहे.

पार्श्व पृष्ठभागावर चार चेहरे असतात, जे समान त्रिकोण असतात. अशा त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ शोधण्यासाठी, तुम्हाला त्याचा पाया आणि उंची (अपोथेम) माहित असणे आवश्यक आहे:

*त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ हे पायाच्या गुणाकाराच्या अर्ध्या आणि या पायावर काढलेल्या उंचीइतके असते.

आधार ज्ञात आहे, तो सहा समान आहे. चला उंची शोधूया. काटकोन त्रिकोणाचा विचार करा (पिवळ्या रंगात हायलाइट केलेला):

एक पाय 4 च्या बरोबरीचा आहे, कारण ही पिरॅमिडची उंची आहे, तर दुसरा 3 च्या बरोबरीचा आहे, कारण तो पायाच्या अर्ध्या काठाच्या समान आहे. पायथागोरियन प्रमेय वापरून कर्ण शोधू शकतो:

याचा अर्थ पिरॅमिडच्या बाजूकडील पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ आहे:

अशा प्रकारे, संपूर्ण पिरॅमिडचे पृष्ठभाग क्षेत्र आहे:

उत्तर: ९६

27069. नियमित चतुर्भुज पिरॅमिडच्या पायाच्या बाजू 10 च्या समान आहेत, बाजूच्या कडा 13 च्या समान आहेत. या पिरॅमिडच्या पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ शोधा.

27070. नियमित षटकोनी पिरॅमिडच्या पायाच्या बाजू 10 च्या समान आहेत, बाजूच्या कडा 13 च्या समान आहेत. या पिरॅमिडचे पार्श्व पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ शोधा.

नियमित पिरॅमिडच्या पार्श्व पृष्ठभागाच्या क्षेत्रासाठी देखील सूत्रे आहेत. नियमित पिरॅमिडमध्ये, आधार हा बाजूच्या पृष्ठभागाचा ऑर्थोगोनल प्रोजेक्शन असतो, म्हणून:

पी- बेस परिमिती, l- पिरॅमिडचे अपोथेम

*हे सूत्र त्रिकोणाच्या क्षेत्रफळाच्या सूत्रावर आधारित आहे.

ही सूत्रे कशी तयार केली जातात याबद्दल तुम्हाला अधिक जाणून घ्यायचे असल्यास, ते चुकवू नका, लेखांच्या प्रकाशनाचे अनुसरण करा.इतकंच. तुला शुभेच्छा!

विनम्र, अलेक्झांडर क्रुतित्स्कीख.

P.S: तुम्ही मला सोशल नेटवर्क्सवरील साइटबद्दल सांगितल्यास मी आभारी राहीन.

त्रिकोणी पिरॅमिडएक पॉलिहेड्रॉन आहे ज्याचा पाया एक नियमित त्रिकोण आहे.

अशा पिरॅमिडमध्ये, पायाच्या कडा आणि बाजूंच्या कडा एकमेकांच्या समान असतात. त्यानुसार, बाजूच्या चेहऱ्यांचे क्षेत्रफळ तीन समान त्रिकोणांच्या क्षेत्रांच्या बेरजेवरून आढळते. आपण सूत्र वापरून नियमित पिरॅमिडचे पार्श्व पृष्ठभाग क्षेत्र शोधू शकता. आणि आपण गणना अनेक वेळा जलद करू शकता. हे करण्यासाठी, आपल्याला त्रिकोणी पिरॅमिडच्या बाजूच्या पृष्ठभागाच्या क्षेत्रासाठी सूत्र लागू करणे आवश्यक आहे:

जेथे p हा पायाचा परिमिती आहे, ज्याच्या सर्व बाजू b च्या समान आहेत, a म्हणजे वरपासून या पायथ्यापर्यंत खाली केलेला एपोथेम आहे. त्रिकोणी पिरॅमिडचे क्षेत्रफळ मोजण्याचे उदाहरण पाहू.

समस्या: नियमित पिरॅमिड द्या. पायथ्यावरील त्रिकोणाची बाजू b = 4 सेमी आहे पिरॅमिडच्या पार्श्व पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ a = 7 सेमी आहे.
कारण, समस्येच्या परिस्थितीनुसार, आम्हाला सर्व आवश्यक घटकांची लांबी माहित आहे, आम्ही परिमिती शोधू. आम्ही लक्षात ठेवतो की नियमित त्रिकोणामध्ये सर्व बाजू समान असतात आणि म्हणून, परिमिती सूत्रानुसार मोजली जाते:

चला डेटा बदलू आणि मूल्य शोधू:

आता, परिमिती जाणून घेऊन, आपण पार्श्व पृष्ठभागाच्या क्षेत्रफळाची गणना करू शकतो:

पूर्ण मूल्याची गणना करण्यासाठी त्रिकोणी पिरॅमिडच्या क्षेत्रासाठी सूत्र लागू करण्यासाठी, आपल्याला पॉलिहेड्रॉनच्या पायाचे क्षेत्रफळ शोधण्याची आवश्यकता आहे. हे करण्यासाठी, सूत्र वापरा:

त्रिकोणी पिरॅमिडच्या पायाच्या क्षेत्राचे सूत्र वेगळे असू शकते. दिलेल्या आकृतीसाठी पॅरामीटर्सची कोणतीही गणना वापरणे शक्य आहे, परंतु बहुतेकदा हे आवश्यक नसते. त्रिकोणी पिरॅमिडच्या पायाचे क्षेत्रफळ मोजण्याचे उदाहरण पाहू या.

समस्या: नियमित पिरॅमिडमध्ये, पायावरील त्रिकोणाची बाजू a = 6 सेमी आहे.
गणना करण्यासाठी, आम्हाला फक्त पिरॅमिडच्या पायथ्याशी असलेल्या नियमित त्रिकोणाच्या बाजूची लांबी आवश्यक आहे. चला डेटाला सूत्रामध्ये बदलू:

बऱ्याचदा आपल्याला पॉलीहेड्रॉनचे एकूण क्षेत्रफळ शोधण्याची आवश्यकता असते. हे करण्यासाठी, आपल्याला बाजूच्या पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ आणि पाया जोडणे आवश्यक आहे.

त्रिकोणी पिरॅमिडचे क्षेत्रफळ मोजण्याचे उदाहरण पाहू.

समस्या: एक नियमित त्रिकोणी पिरॅमिड द्या. पायाची बाजू b = 4 सेमी आहे, अपोथेम a = 6 सेमी आहे. पिरॅमिडचे एकूण क्षेत्रफळ शोधा.
प्रथम, आधीच ज्ञात सूत्र वापरून बाजूकडील पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ शोधूया. चला परिमितीची गणना करूया:

सूत्रामध्ये डेटा बदला:
आता बेसचे क्षेत्रफळ शोधूया:
पाया आणि बाजूच्या पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ जाणून घेतल्यास, आम्हाला पिरॅमिडचे एकूण क्षेत्रफळ सापडते:

नियमित पिरॅमिडच्या क्षेत्राची गणना करताना, आपण हे विसरू नये की पाया हा एक नियमित त्रिकोण आहे आणि या पॉलिहेड्रॉनचे अनेक घटक एकमेकांच्या बरोबरीचे आहेत.