Bagaimana untuk membuang modulus dalam ketaksamaan. Persamaan dengan modulus

Menyelesaikan ketidaksamaan dalam talian

Sebelum menyelesaikan ketaksamaan, anda perlu mempunyai pemahaman yang baik tentang bagaimana persamaan diselesaikan.

Tidak kira sama ada ketaksamaan adalah ketat () atau tidak ketat (≤, ≥), langkah pertama ialah menyelesaikan persamaan dengan menggantikan tanda ketaksamaan dengan kesamaan (=).

Mari kita terangkan apa yang dimaksudkan untuk menyelesaikan ketidaksamaan?

Selepas mengkaji persamaan, pelajar mendapat gambaran berikut dalam kepalanya: dia perlu mencari nilai pembolehubah supaya kedua-dua belah persamaan mengambil nilai yang sama. Dalam erti kata lain, cari semua titik di mana kesaksamaan berlaku. Semuanya betul!

Apabila kita bercakap tentang ketidaksamaan, kita maksudkan mencari selang (segmen) di mana ketidaksamaan itu berlaku. Jika terdapat dua pembolehubah dalam ketaksamaan, maka penyelesaiannya bukan lagi selang, tetapi beberapa kawasan pada satah. Cuba teka sendiri apakah penyelesaian kepada ketidaksamaan dalam tiga pembolehubah?

Bagaimana untuk menyelesaikan ketidaksamaan?

Cara universal untuk menyelesaikan ketaksamaan dianggap sebagai kaedah selang (juga dikenali sebagai kaedah selang), yang terdiri daripada menentukan semua selang dalam sempadan yang mana ketidaksamaan tertentu akan dipenuhi.

Tanpa pergi ke jenis ketaksamaan, dalam kes ini bukan perkara ini, anda perlu menyelesaikan persamaan yang sepadan dan menentukan puncanya, diikuti dengan penetapan penyelesaian ini pada paksi nombor.

Bagaimana untuk menulis penyelesaian kepada ketidaksamaan dengan betul?

Sebaik sahaja anda telah menentukan selang penyelesaian untuk ketaksamaan, anda perlu menulis penyelesaian itu sendiri dengan betul. Terdapat nuansa penting - adakah sempadan selang termasuk dalam penyelesaian?

Semuanya mudah di sini. Jika penyelesaian kepada persamaan memenuhi ODZ dan ketaksamaan tidak ketat, maka sempadan selang dimasukkan dalam penyelesaian kepada ketaksamaan. Jika tidak, tidak.

Mengambil kira setiap selang, penyelesaian kepada ketaksamaan mungkin selang itu sendiri, atau separuh selang (apabila salah satu sempadannya memenuhi ketaksamaan), atau segmen - selang bersama dengan sempadannya.

Perkara penting

Jangan fikir hanya selang, separuh selang dan segmen boleh menyelesaikan ketaksamaan. Tidak, penyelesaian juga mungkin termasuk mata individu.

Sebagai contoh, ketaksamaan |x|≤0 hanya mempunyai satu penyelesaian - ini ialah titik 0.

Dan ketaksamaan |x|

Mengapa anda memerlukan kalkulator ketaksamaan?

Kalkulator ketaksamaan memberikan jawapan akhir yang betul. Dalam kebanyakan kes, ilustrasi paksi nombor atau satah disediakan. Ia boleh dilihat sama ada sempadan selang termasuk dalam penyelesaian atau tidak - mata dipaparkan sebagai berlorek atau berlubang.

Terima kasih kepada kalkulator ketidaksamaan dalam talian, anda boleh menyemak sama ada anda menemui punca persamaan dengan betul, menandakannya pada paksi nombor dan menyemak pemenuhan keadaan ketidaksamaan pada selang (dan sempadan)?

Jika jawapan anda berbeza daripada jawapan kalkulator, maka anda pasti perlu menyemak semula penyelesaian anda dan mengenal pasti kesilapan.

Semakin seseorang memahami, semakin kuat keinginannya untuk memahami

Thomas Aquinas

Kaedah selang membolehkan anda menyelesaikan sebarang persamaan yang mengandungi modulus. Intipati kaedah ini adalah untuk membahagikan paksi nombor kepada beberapa bahagian (selang), dan paksi perlu dipecah oleh sifar ungkapan dalam modul. Kemudian, pada setiap bahagian yang terhasil, setiap ungkapan submodular adalah sama ada positif atau negatif. Oleh itu, setiap modul boleh dibuka sama ada dengan tanda tolak atau dengan tanda tambah. Selepas langkah-langkah ini, semua yang tinggal ialah menyelesaikan setiap persamaan mudah yang terhasil pada selang yang sedang dipertimbangkan dan menggabungkan jawapan yang diperoleh.

Mari kita lihat kaedah ini menggunakan contoh khusus.

|x + 1| + |2x – 4| – |x + 3| = 2x – 6.

1) Mari cari sifar bagi ungkapan dalam modul. Untuk melakukan ini, kita perlu menyamakannya dengan sifar dan menyelesaikan persamaan yang terhasil.

x + 1 = 0 2x – 4 = 0 x + 3 = 0

x = -1 2x = 4 x = -3

2) Letakkan titik yang terhasil dalam susunan yang diperlukan pada garis koordinat. Mereka akan membahagikan keseluruhan paksi kepada empat bahagian.

3) Mari kita tentukan pada setiap bahagian yang terhasil tanda-tanda ungkapan dalam modul. Untuk melakukan ini, kami menggantikan ke dalamnya sebarang nombor dari selang yang menarik kepada kami. Jika hasil pengiraan adalah nombor positif, maka kami meletakkan "+" dalam jadual, dan jika nombor itu negatif, maka kami meletakkan "-". Ini boleh digambarkan seperti ini:

4) Sekarang kita akan menyelesaikan persamaan pada setiap empat selang, mendedahkan modul dengan tanda-tanda yang ditunjukkan dalam jadual. Jadi, mari kita lihat selang pertama:

Selang I (-∞; -3). Di atasnya, semua modul dibuka dengan tanda “–”. Kami mendapat persamaan berikut:

-(x + 1) – (2x – 4) – (-(x + 3)) = 2x – 6. Mari kita kemukakan sebutan yang serupa, mula-mula membuka kurungan dalam persamaan yang terhasil:

X – 1 – 2x + 4 + x + 3 = 2x – 6

Jawapan yang diterima tidak termasuk dalam selang yang dipertimbangkan, jadi tidak perlu menulisnya dalam jawapan akhir.

Selang II [-3; -1). Pada selang waktu ini dalam jadual terdapat tanda "–", "–", "+". Beginilah cara kami membuka modul persamaan asal:

-(x + 1) – (2x – 4) – (x + 3) = 2x – 6. Mari permudahkan dengan membuka kurungan:

X – 1 – 2x + 4 – x – 3 = 2x – 6. Mari kita kemukakan yang serupa dalam persamaan yang terhasil:

x = 6/5. Nombor yang terhasil tidak tergolong dalam selang yang sedang dipertimbangkan, oleh itu ia bukan punca persamaan asal.

Selang III [-1; 2). Kami mengembangkan modul persamaan asal dengan tanda-tanda yang muncul dalam lajur ketiga dalam rajah. Kita mendapatkan:

(x + 1) – (2x – 4) – (x + 3) = 2x – 6. Mari kita buang tanda kurung dan gerakkan sebutan yang mengandungi pembolehubah x ke sebelah kiri persamaan, dan yang tidak mengandungi x ke yang betul. Pasti akan:

x + 1 – 2x + 4 – x – 3 = 2x – 6

Nombor 2 tidak termasuk dalam selang yang sedang dipertimbangkan.

selang IV

Secara ringkas, modulus ialah "nombor tanpa tolak." Dan dalam dualiti ini (di sesetengah tempat anda tidak perlu melakukan apa-apa dengan nombor asal, tetapi di tempat lain anda perlu mengalih keluar beberapa jenis tolak) di mana keseluruhan kesukaran terletak untuk pelajar permulaan.

Terdapat juga definisi geometri. Ia juga berguna untuk mengetahui, tetapi kita akan beralih kepadanya hanya dalam kes yang kompleks dan khusus, di mana pendekatan geometri lebih mudah daripada yang algebra (spoiler: bukan hari ini).

Definisi. Biarkan titik $a$ ditanda pada garis nombor. Kemudian modul $\left| x-a \right|$ ialah jarak dari titik $x$ ke titik $a$ pada baris ini.

Jika anda melukis gambar, anda akan mendapat sesuatu seperti ini:

Definisi modul grafik

Satu cara atau yang lain, daripada definisi modul sifat utamanya serta-merta berikut: modulus nombor sentiasa kuantiti bukan negatif. Fakta ini akan menjadi benang merah sepanjang naratif kami hari ini.

Menyelesaikan ketaksamaan. Kaedah selang waktu

Sekarang mari kita lihat ketidaksamaan. Terdapat banyak daripada mereka, tetapi tugas kita sekarang adalah untuk dapat menyelesaikan sekurang-kurangnya yang paling mudah daripada mereka. Mereka yang mengurangkan kepada ketaksamaan linear, serta kepada kaedah selang.

Saya mempunyai dua pelajaran besar mengenai topik ini (dengan cara ini, sangat, SANGAT berguna - saya cadangkan mempelajarinya):

1. Kaedah selang untuk ketidaksamaan (terutama menonton video);
2. Ketaksamaan rasional pecahan adalah pengajaran yang sangat luas, tetapi selepas itu anda tidak akan mempunyai sebarang soalan sama sekali.

Jika anda tahu semua ini, jika frasa "mari beralih dari ketidaksamaan kepada persamaan" tidak membuat anda mempunyai keinginan yang samar-samar untuk memukul diri anda ke dinding, maka anda sudah bersedia: selamat datang ke neraka ke topik utama pelajaran. :)

1. Ketaksamaan dalam bentuk "Modulus kurang daripada fungsi"

Ini adalah salah satu masalah yang paling biasa dengan modul. Ia diperlukan untuk menyelesaikan ketaksamaan bentuk:

\[\kiri| f\kanan| \ltg\]

Fungsi $f$ dan $g$ boleh menjadi apa-apa sahaja, tetapi biasanya ia adalah polinomial. Contoh ketidaksamaan tersebut:

\[\begin(align) & \left| 2x+3 \kanan| \lt x+7; \\ & \kiri| ((x)^(2))+2x-3 \kanan|+3\kiri(x+1 \kanan) \lt 0; \\ & \kiri| ((x)^(2))-2\kiri| x \kanan|-3 \kanan| \lt 2. \\\end(align)\]

Kesemuanya boleh diselesaikan secara literal dalam satu baris mengikut skema berikut:

\[\kiri| f\kanan| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g\quad \left(\Rightarrow \left\( \begin(align) & f \lt g, \\ & f \gt -g \\\end(align) \betul betul)\]

Adalah mudah untuk melihat bahawa kita menyingkirkan modul, tetapi sebagai balasannya kita mendapat ketidaksamaan berganda (atau, yang merupakan perkara yang sama, sistem dua ketaksamaan). Tetapi peralihan ini mengambil kira semua masalah yang mungkin: jika nombor di bawah modulus adalah positif, kaedah itu berfungsi; jika negatif, ia masih berfungsi; dan walaupun dengan fungsi yang paling tidak mencukupi menggantikan $f$ atau $g$, kaedah itu masih akan berfungsi.

Sememangnya, persoalan timbul: tidakkah ia lebih mudah? Malangnya, ia tidak mungkin. Ini adalah intipati keseluruhan modul.

Namun, cukuplah dengan berfalsafah. Mari kita selesaikan beberapa masalah:

Tugasan. Selesaikan ketaksamaan:

\[\kiri| 2x+3 \kanan| \lt x+7\]

Penyelesaian. Jadi, kita mempunyai ketaksamaan klasik dalam bentuk "modulus adalah kurang" - malah tiada apa-apa yang perlu diubah. Kami bekerja mengikut algoritma:

\[\begin(align) & \left| f\kanan| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g; \\ & \kiri| 2x+3 \kanan| \lt x+7\Anak panah kanan -\kiri(x+7 \kanan) \lt 2x+3 \lt x+7 \\\end(align)\]

Jangan tergesa-gesa untuk membuka kurungan yang didahului dengan "tolak": mungkin kerana tergesa-gesa anda akan membuat kesilapan yang menyinggung perasaan.

\[-x-7 \lt 2x+3 \lt x+7\]

\[\left\( \begin(align) & -x-7 \lt 2x+3 \\ & 2x+3 \lt x+7 \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & -3x \lt 10 \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & x \gt -\frac(10)(3) \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \right.\]

Masalahnya telah dikurangkan kepada dua ketidaksamaan asas. Mari kita perhatikan penyelesaian mereka pada garis nombor selari:

Persimpangan ramai

Persilangan set ini akan menjadi jawapannya.

Jawapan: $x\in \left(-\frac(10)(3);4 \right)$

Tugasan. Selesaikan ketaksamaan:

\[\kiri| ((x)^(2))+2x-3 \kanan|+3\kiri(x+1 \kanan) \lt 0\]

Penyelesaian. Tugasan ini lebih sukar sedikit. Mula-mula, mari asingkan modul dengan mengalihkan sebutan kedua ke kanan:

\[\kiri| ((x)^(2))+2x-3 \kanan| \lt -3\kiri(x+1 \kanan)\]

Jelas sekali, kami sekali lagi mempunyai ketidaksamaan dalam bentuk "modul lebih kecil", jadi kami menyingkirkan modul menggunakan algoritma yang sudah diketahui:

\[-\kiri(-3\kiri(x+1 \kanan) \kanan) \lt ((x)^(2))+2x-3 \lt -3\kiri(x+1 \kanan)\]

Sekarang perhatian: seseorang akan mengatakan bahawa saya agak sesat dengan semua kurungan ini. Tetapi izinkan saya mengingatkan anda sekali lagi bahawa matlamat utama kami ialah menyelesaikan ketaksamaan dengan betul dan dapatkan jawapannya. Kemudian, apabila anda telah menguasai dengan sempurna semua yang diterangkan dalam pelajaran ini, anda boleh menyelewengkannya sendiri seperti yang anda mahu: buka kurungan, tambah tolak, dsb.

Sebagai permulaan, kami hanya akan membuang tolak berganda di sebelah kiri:

\[-\kiri(-3\kiri(x+1 \kanan) \kanan)=\kiri(-1 \kanan)\cdot \kiri(-3 \kanan)\cdot \kiri(x+1 \kanan) =3\kiri(x+1 \kanan)\]

Sekarang mari kita buka semua kurungan dalam ketaksamaan berganda:

Mari kita beralih kepada ketidaksamaan berganda. Kali ini pengiraan akan menjadi lebih serius:

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -3x-3 \\ & 3x+3 \lt ((x)^(2))+2x -3 \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+5x \lt 0 \\ & ((x)^(2))-x-6 \gt 0 \\ \end( sejajar)\kanan.\]

Kedua-dua ketidaksamaan adalah kuadratik dan boleh diselesaikan dengan kaedah selang (itulah sebabnya saya katakan: jika anda tidak tahu apa ini, lebih baik tidak mengambil modul lagi). Mari kita beralih kepada persamaan dalam ketaksamaan pertama:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+5x=0; \\ & x\left(x+5 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=0;((x)_(2))=-5. \\\end(align)\]

Seperti yang anda lihat, keluaran ialah persamaan kuadratik yang tidak lengkap, yang boleh diselesaikan dengan cara asas. Sekarang mari kita lihat ketidaksamaan kedua sistem. Di sana anda perlu menggunakan teorem Vieta:

\[\begin(align) & ((x)^(2))-x-6=0; \\ & \kiri(x-3 \kanan)\kiri(x+2 \kanan)=0; \\& ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-2. \\\end(align)\]

Kami menandakan nombor yang terhasil pada dua garis selari (asingkan untuk ketaksamaan pertama dan pisahkan untuk yang kedua):

Sekali lagi, memandangkan kami sedang menyelesaikan sistem ketaksamaan, kami berminat dengan persilangan set berlorek: $x\in \left(-5;-2 \right)$. Ini jawapannya.

Jawapan: $x\in \left(-5;-2 \right)$

Saya fikir selepas contoh ini skema penyelesaian adalah sangat jelas:

1. Asingkan modul dengan mengalihkan semua istilah lain ke bahagian bertentangan ketaksamaan. Oleh itu kita mendapat ketaksamaan dalam bentuk $\left| f\kanan| \ltg$.
2. Selesaikan ketidaksamaan ini dengan menyingkirkan modul mengikut skema yang diterangkan di atas. Pada satu ketika, adalah perlu untuk beralih daripada ketaksamaan berganda kepada sistem dua ungkapan bebas, yang setiap satunya sudah boleh diselesaikan secara berasingan.
3. Akhir sekali, yang tinggal hanyalah menyilangkan penyelesaian kedua-dua ungkapan bebas ini - dan itu sahaja, kita akan mendapat jawapan muktamad.

Algoritma yang serupa wujud untuk ketaksamaan jenis berikut, apabila modulus lebih besar daripada fungsi. Walau bagaimanapun, terdapat beberapa "tetapi" yang serius. Kita akan bercakap tentang "tetapi" ini sekarang.

2. Ketaksamaan dalam bentuk "Modulus lebih besar daripada fungsi"

Mereka kelihatan seperti ini:

\[\kiri| f\kanan| \gtg\]

Sama dengan yang sebelumnya? nampaknya. Namun masalah sedemikian diselesaikan dengan cara yang sama sekali berbeza. Secara rasmi, skim ini adalah seperti berikut:

\[\kiri| f\kanan| \gt g\Rightarrow \left[ \begin(align) & f \gt g, \\ & f \lt -g \\\end(align) \right.\]

Dengan kata lain, kami mempertimbangkan dua kes:

1. Pertama, kami hanya mengabaikan modul dan menyelesaikan ketidaksamaan biasa;
2. Kemudian, pada dasarnya, kami mengembangkan modul dengan tanda tolak, dan kemudian darab kedua-dua belah ketaksamaan dengan -1, sementara saya mempunyai tanda.

Dalam kes ini, pilihan digabungkan dengan kurungan persegi, i.e. Kami mempunyai sebelum kami gabungan dua keperluan.

Sila ambil perhatian sekali lagi: ini bukan sistem, tetapi keseluruhan, oleh itu dalam jawapan set digabungkan dan bukannya bersilang. Ini adalah perbezaan asas dari perkara sebelumnya!

Secara umum, ramai pelajar benar-benar keliru dengan kesatuan dan persimpangan, jadi mari kita selesaikan isu ini sekali dan untuk semua:

• "∪" ialah tanda kesatuan. Sebenarnya, ini adalah huruf bergaya "U", yang datang kepada kami dari bahasa Inggeris dan merupakan singkatan untuk "Union", i.e. "Persatuan".
• "∩" ialah tanda persimpangan. Omong kosong ini tidak datang dari mana-mana, tetapi hanya muncul sebagai titik balas kepada "∪".

Untuk menjadikannya lebih mudah untuk diingati, hanya tarik kaki ke tanda-tanda ini untuk membuat cermin mata (jangan sekarang menuduh saya mempromosikan ketagihan dadah dan alkohol: jika anda serius mempelajari pelajaran ini, maka anda sudah menjadi penagih dadah):

Perbezaan antara persilangan dan penyatuan set

Diterjemahkan ke dalam bahasa Rusia, ini bermakna yang berikut: kesatuan (jumlah) merangkumi unsur-unsur dari kedua-dua set, oleh itu ia sama sekali tidak kurang daripada setiap daripada mereka; tetapi persimpangan (sistem) hanya merangkumi unsur-unsur yang serentak dalam kedua-dua set pertama dan kedua. Oleh itu, persilangan set tidak pernah lebih besar daripada set sumber.

Jadi ia menjadi lebih jelas? Itu hebat. Mari kita teruskan untuk berlatih.

Tugasan. Selesaikan ketaksamaan:

\[\kiri| 3x+1 \kanan| \gt 5-4x\]

Penyelesaian. Kami meneruskan mengikut skema:

\[\kiri| 3x+1 \kanan| \gt 5-4x\Rightarrow \left[ \begin(align) & 3x+1 \gt 5-4x \\ & 3x+1 \lt -\left(5-4x \right) \\\end(align) \ betul.\]

Kami menyelesaikan setiap ketidaksamaan dalam populasi:

\[\left[ \begin(align) & 3x+4x \gt 5-1 \\ & 3x-4x \lt -5-1 \\ \end(align) \right.\]

\[\left[ \begin(align) & 7x \gt 4 \\ & -x \lt -6 \\ \end(align) \right.\]

\[\left[ \begin(align) & x \gt 4/7\ \\ & x \gt 6 \\ \end(align) \right.\]

Kami menandakan setiap set yang terhasil pada garis nombor, dan kemudian menggabungkannya:

Kesatuan set

Agak jelas bahawa jawapannya ialah $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

Jawapan: $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

Tugasan. Selesaikan ketaksamaan:

\[\kiri| ((x)^(2))+2x-3 \kanan| \gt x\]

Penyelesaian. Nah? Tiada apa-apa - semuanya sama. Kami beralih daripada ketaksamaan dengan modulus kepada set dua ketaksamaan:

\[\kiri| ((x)^(2))+2x-3 \kanan| \gt x\Anak panah kanan \kiri[ \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x \\ & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x \\\end(align) \right.\]

Kami menyelesaikan setiap ketidaksamaan. Malangnya, akar di sana tidak akan menjadi sangat baik:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x; \\ & ((x)^(2))+x-3 \gt 0; \\&D=1+12=13; \\ & x=\frac(-1\pm \sqrt(13))(2). \\\end(align)\]

Ketaksamaan kedua juga agak liar:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x; \\ & ((x)^(2))+3x-3 \lt 0; \\&D=9+12=21; \\ & x=\frac(-3\ptg \sqrt(21))(2). \\\end(align)\]

Sekarang anda perlu menandakan nombor ini pada dua paksi - satu paksi untuk setiap ketaksamaan. Walau bagaimanapun, anda perlu menandakan mata dalam susunan yang betul: semakin besar nombor, semakin jauh titik itu bergerak ke kanan.

Dan di sini persediaan menanti kami. Jika semuanya jelas dengan nombor $\frac(-3-\sqrt(21))(2) \lt \frac(-1-\sqrt(13))(2)$ (istilah dalam pengangka yang pertama pecahan adalah kurang daripada sebutan dalam pengangka kedua , jadi jumlahnya juga kurang), dengan nombor $\frac(-3-\sqrt(13))(2) \lt \frac(-1+\sqrt (21))(2)$ juga tidak akan ada kesukaran (nombor positif jelas lebih negatif), maka dengan pasangan terakhir semuanya tidak begitu jelas. Yang manakah lebih besar: $\frac(-3+\sqrt(21))(2)$ atau $\frac(-1+\sqrt(13))(2)$? Penempatan titik pada garis nombor dan, sebenarnya, jawapannya akan bergantung pada jawapan kepada soalan ini.

Jadi mari kita bandingkan:

\[\begin(matriks) \frac(-1+\sqrt(13))(2)\vee \frac(-3+\sqrt(21))(2) \\ -1+\sqrt(13)\ vee -3+\sqrt(21) \\ 2+\sqrt(13)\vee \sqrt(21) \\\end(matriks)\]

Kami mengasingkan punca, mendapat nombor bukan negatif pada kedua-dua belah ketaksamaan, jadi kami mempunyai hak untuk mengduakan kedua-dua belah:

\[\begin(matriks) ((\left(2+\sqrt(13) \right))^(2))\vee ((\left(\sqrt(21) \right))^(2)) \ \ 4+4\sqrt(13)+13\vee 21 \\ 4\sqrt(13)\vee 3 \\\end(matriks)\]

Saya fikir tidak mengapa bahawa $4\sqrt(13) \gt 3$, jadi $\frac(-1+\sqrt(13))(2) \gt \frac(-3+\sqrt(21)) ( 2)$, mata akhir pada paksi akan diletakkan seperti ini:

Kes akar hodoh

Izinkan saya mengingatkan anda bahawa kita sedang menyelesaikan set, jadi jawapannya adalah kesatuan, bukan persilangan set berlorek.

Jawapan: $x\in \left(-\infty ;\frac(-3+\sqrt(21))(2) \right)\bigcup \left(\frac(-1+\sqrt(13))(2 );+\infty \kanan)$

Seperti yang anda lihat, skim kami berfungsi dengan baik untuk masalah mudah dan sangat sukar. Satu-satunya "titik lemah" dalam pendekatan ini ialah anda perlu membandingkan nombor tidak rasional dengan betul (dan percayalah: ini bukan sahaja akar). Tetapi pelajaran yang berasingan (dan sangat serius) akan ditumpukan kepada isu perbandingan. Dan kita teruskan.

3. Ketaksamaan dengan "ekor" bukan negatif

Sekarang kita sampai ke bahagian yang paling menarik. Ini adalah ketaksamaan bentuk:

\[\kiri| f\kanan| \gt\left| g\right|\]

Secara umumnya, algoritma yang akan kita bincangkan sekarang adalah betul hanya untuk modul. Ia berfungsi dalam semua ketaksamaan di mana terdapat ungkapan bukan negatif yang dijamin di kiri dan kanan:

Apa yang perlu dilakukan dengan tugas-tugas ini? Hanya ingat:

Dalam ketidaksamaan dengan "ekor" bukan negatif, kedua-dua pihak boleh dinaikkan kepada sebarang kuasa semula jadi. Tidak akan ada sekatan tambahan.

Pertama sekali, kami akan berminat untuk mengkuadratkan - ia membakar modul dan akar:

\[\begin(align) & ((\left(\left| f \right| \right))^(2))=((f)^(2)); \\ & ((\left(\sqrt(f) \right))^(2))=f. \\\end(align)\]

Hanya jangan mengelirukan ini dengan mengambil akar segi empat sama:

\[\sqrt(((f)^(2)))=\left| f \kanan|\ne f\]

Banyak kesilapan telah dibuat apabila pelajar terlupa memasang modul! Tetapi ini adalah cerita yang sama sekali berbeza (ini adalah, seolah-olah, persamaan tidak rasional), jadi kita tidak akan membincangkan perkara ini sekarang. Mari kita selesaikan beberapa masalah dengan lebih baik:

Tugasan. Selesaikan ketaksamaan:

\[\kiri| x+2 \kanan|\ge \kiri| 1-2x \kanan|\]

Penyelesaian. Mari segera perhatikan dua perkara:

1. Ini bukan ketidaksamaan yang ketat. Titik pada garis nombor akan dicucuk.
2. Kedua-dua belah ketaksamaan jelas bukan negatif (ini adalah sifat modul: $\left| f\left(x \right) \right|\ge 0$).

Oleh itu, kita boleh kuasa duakan kedua-dua belah ketaksamaan untuk menyingkirkan modulus dan menyelesaikan masalah menggunakan kaedah selang biasa:

\[\begin(align) & ((\left(\left| x+2 \right| \right))^(2))\ge ((\left(\left| 1-2x \right| \right) )^(2)); \\ & ((\kiri(x+2 \kanan))^(2))\ge ((\kiri(2x-1 \kanan))^(2)). \\\end(align)\]

Pada langkah terakhir, saya menipu sedikit: Saya menukar jujukan istilah, mengambil kesempatan daripada kesamarataan modul (sebenarnya, saya mendarabkan ungkapan $1-2x$ dengan -1).

\[\begin(align) & ((\left(2x-1 \right))^(2))-((\left(x+2 \right))^(2))\le 0; \\ & \kiri(\kiri(2x-1 \kanan)-\kiri(x+2 \kanan) \kanan)\cdot \kiri(\kiri(2x-1 \kanan)+\kiri(x+2 \ kanan)\kanan)\le 0; \\ & \kiri(2x-1-x-2 \kanan)\cdot \kiri(2x-1+x+2 \kanan)\le 0; \\ & \kiri(x-3 \kanan)\cdot \kiri(3x+1 \kanan)\le 0. \\\end(align)\]

Kami menyelesaikan menggunakan kaedah selang. Mari kita beralih daripada ketaksamaan kepada persamaan:

\[\begin(align) & \left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-\frac(1)(3). \\\end(align)\]

Kami menandakan akar yang ditemui pada garis nombor. Sekali lagi: semua mata dilorekkan kerana ketidaksamaan asal tidak ketat!

Menghilangkan tanda modulus

Izinkan saya mengingatkan anda untuk mereka yang sangat degil: kami mengambil tanda-tanda dari ketidaksamaan terakhir, yang telah ditulis sebelum beralih kepada persamaan. Dan kami melukis kawasan yang diperlukan dalam ketidaksamaan yang sama. Dalam kes kami, ia ialah $\left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)\le 0$.

OK semuanya sudah berakhir Sekarang. Masalah selesai.

Jawapan: $x\in \left[ -\frac(1)(3);3 \right]$.

Tugasan. Selesaikan ketaksamaan:

\[\kiri| ((x)^(2))+x+1 \kanan|\le \kiri| ((x)^(2))+3x+4 \kanan|\]

Penyelesaian. Kami melakukan semuanya sama. Saya tidak akan mengulas - lihat sahaja urutan tindakan.

segi empat sama:

\[\begin(align) & ((\left(\left| ((x)^(2))+x+1 \right| \right))^(2))\le ((\left(\left | ((x)^(2))+3x+4 \kanan| \kanan))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \right))^(2))\le ((\left(((x)^(2))+3x+4 \kanan))^(2)); \\ & ((\kiri(((x)^(2))+x+1 \kanan))^(2))-((\kiri(((x)^(2))+3x+4 \ kanan))^(2))\le 0; \\ & \kiri(((x)^(2))+x+1-((x)^(2))-3x-4 \kanan)\kali \\ & \kali \kiri(((x) ^(2))+x+1+((x)^(2))+3x+4 \kanan)\le 0; \\ & \kiri(-2x-3 \kanan)\kiri(2((x)^(2))+4x+5 \kanan)\le 0. \\\end(align)\]

Kaedah selang:

\[\begin(align) & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)=0 \\ & -2x-3=0\ Anak panah kanan x=-1.5; \\ & 2((x)^(2))+4x+5=0\Anak panah Kanan D=16-40 \lt 0\Anak panah Kanan \varnothing . \\\end(align)\]

Hanya ada satu punca pada garis nombor:

Jawapannya adalah selang keseluruhan

Jawapan: $x\in \left[ -1.5;+\infty \right)$.

Nota kecil tentang tugasan terakhir. Seperti yang dinyatakan oleh salah seorang pelajar saya dengan tepat, kedua-dua ungkapan submodular dalam ketaksamaan ini jelas positif, jadi tanda modulus boleh ditinggalkan tanpa membahayakan kesihatan.

Tetapi ini adalah tahap pemikiran yang sama sekali berbeza dan pendekatan yang berbeza - ia secara bersyarat boleh dipanggil kaedah akibat. Mengenainya - dalam pelajaran yang berasingan. Sekarang mari kita beralih ke bahagian akhir pelajaran hari ini dan lihat algoritma universal yang sentiasa berfungsi. Walaupun semua pendekatan sebelumnya tidak berkuasa. :)

4. Kaedah pengiraan pilihan

Bagaimana jika semua teknik ini tidak membantu? Sekiranya ketidaksamaan tidak dapat dikurangkan kepada ekor bukan negatif, jika mustahil untuk mengasingkan modul, jika secara umum terdapat kesakitan, kesedihan, kemurungan?

Kemudian "artileri berat" semua matematik datang ke tempat kejadian-kaedah kekerasan. Berhubung dengan ketaksamaan dengan modulus ia kelihatan seperti ini:

1. Tulis semua ungkapan submodular dan tetapkannya sama dengan sifar;
2. Selesaikan persamaan yang terhasil dan tandakan punca yang terdapat pada satu garis nombor;
3. Garis lurus akan dibahagikan kepada beberapa bahagian, di mana setiap modul mempunyai tanda tetap dan oleh itu didedahkan secara unik;
4. Selesaikan ketaksamaan pada setiap bahagian tersebut (anda boleh mempertimbangkan secara berasingan sempadan akar yang diperoleh dalam langkah 2 - untuk kebolehpercayaan). Gabungkan hasilnya - ini akan menjadi jawapannya. :)

Jadi bagaimana? Lemah? Dengan mudah! Hanya untuk masa yang lama. Mari lihat dalam amalan:

Tugasan. Selesaikan ketaksamaan:

\[\kiri| x+2 \kanan| \lt \kiri| x-1 \kanan|+x-\frac(3)(2)\]

Penyelesaian. Omong kosong ini tidak berpunca daripada ketidaksamaan seperti $\left| f\kanan| \lt g$, $\left| f\kanan| \gt g$ atau $\left| f\kanan| \lt \kiri| g \right|$, jadi kami bertindak ke hadapan.

Kami menulis ungkapan submodular, menyamakannya dengan sifar dan mencari punca:

\[\begin(align) & x+2=0\Rightarrow x=-2; \\ & x-1=0\Anak panah kanan x=1. \\\end(align)\]

Secara keseluruhan, kami mempunyai dua punca yang membahagikan garis nombor kepada tiga bahagian, di mana setiap modul didedahkan secara unik:

Membahagikan garis nombor dengan sifar bagi fungsi submodular

Mari lihat setiap bahagian secara berasingan.

1. Biarkan $x \lt -2$. Kemudian kedua-dua ungkapan submodular adalah negatif, dan ketaksamaan asal akan ditulis semula seperti berikut:

\[\begin(align) & -\left(x+2 \right) \lt -\left(x-1 \right)+x-1.5 \\ & -x-2 \lt -x+1+ x- 1.5 \\ & x \gt 1.5 \\\end(align)\]

Kami mendapat had yang agak mudah. Mari kita bersilang dengan andaian awal bahawa $x \lt -2$:

\[\left\( \begin(align) & x \lt -2 \\ & x \gt 1.5 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]

Jelas sekali, pembolehubah $x$ tidak boleh serentak kurang daripada −2 dan lebih besar daripada 1.5. Tiada penyelesaian dalam bidang ini.

1.1. Mari kita pertimbangkan secara berasingan kes sempadan: $x=-2$. Mari kita gantikan nombor ini ke dalam ketaksamaan asal dan semak: adakah ia benar?

\[\begin(align) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1.5 \right|)_(x=-2) ) \ \ & 0 \lt \kiri| -3\kanan|-2-1.5; \\ & 0 \lt 3-3.5; \\ & 0 \lt -0.5\Rightarrow \varnothing . \\\end(align)\]

Jelas sekali bahawa rantaian pengiraan telah membawa kita kepada ketidaksamaan yang tidak betul. Oleh itu, ketaksamaan asal juga palsu, dan $x=-2$ tidak termasuk dalam jawapan.

2. Biarkan sekarang $-2 \lt x \lt 1$. Modul kiri sudah akan dibuka dengan "tambah", tetapi yang kanan masih akan dibuka dengan "tolak". Kami ada:

\[\begin(align) & x+2 \lt -\left(x-1 \right)+x-1.5 \\ & x+2 \lt -x+1+x-1.5 \\& x \lt - 2.5 \\\end(align)\]

Sekali lagi kita bersilang dengan keperluan asal:

\[\left\( \begin(align) & x \lt -2.5 \\ & -2 \lt x \lt 1 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]

Dan sekali lagi, set penyelesaian adalah kosong, kerana tiada nombor yang kedua-duanya kurang daripada −2.5 dan lebih besar daripada −2.

2.1. Dan sekali lagi kes khas: $x=1$. Kami menggantikan ke dalam ketidaksamaan asal:

\[\begin(align) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1.5 \right|)_(x=1)) \\ & \kiri| 3\kanan| \lt \kiri| 0\kanan|+1-1.5; \\ & 3 \lt -0.5; \\ & 3 \lt -0.5\Rightarrow \varnothing . \\\end(align)\]

Sama seperti "kes khas" sebelumnya, nombor $x=1$ jelas tidak disertakan dalam jawapan.

3. Bahagian terakhir baris: $x \gt 1$. Di sini semua modul dibuka dengan tanda tambah:

\[\begin(align) & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x \gt 4.5 \\ \end(align)\ ]

Dan sekali lagi kita memotong set yang dijumpai dengan kekangan asal:

\[\left\( \begin(align) & x \gt 4.5 \\ & x \gt 1 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \left(4.5;+\infty \right)\ ]

Akhirnya! Kami telah menemui selang yang akan menjadi jawapannya.

Jawapan: $x\in \left(4,5;+\infty \right)$

Akhir sekali, satu kenyataan yang mungkin menyelamatkan anda daripada kesilapan bodoh semasa menyelesaikan masalah sebenar:

Penyelesaian kepada ketidaksamaan dengan moduli biasanya mewakili set berterusan pada garis nombor - selang dan segmen. Titik terpencil adalah kurang biasa. Dan lebih jarang, ia berlaku bahawa sempadan penyelesaian (hujung segmen) bertepatan dengan sempadan julat yang sedang dipertimbangkan.

Akibatnya, jika sempadan ("kes khas") yang sama tidak disertakan dalam jawapan, maka kawasan di kiri dan kanan sempadan ini hampir pasti tidak akan dimasukkan dalam jawapan. Dan sebaliknya: sempadan dimasukkan ke dalam jawapan, yang bermaksud bahawa beberapa kawasan di sekelilingnya juga akan menjadi jawapan.

Ingat perkara ini semasa menyemak penyelesaian anda.

penyelesaian ketidaksamaan dalam mod dalam talian penyelesaian hampir semua ketidaksamaan yang diberikan dalam talian. Matematik ketidaksamaan dalam talian untuk menyelesaikan matematik. Cari cepat penyelesaian ketidaksamaan dalam mod dalam talian. Laman web www.site membolehkan anda mencari penyelesaian hampir semua yang diberikan algebra, trigonometri atau ketidaksamaan transendental dalam talian. Apabila mempelajari hampir mana-mana cabang matematik pada peringkat yang berbeza, anda perlu membuat keputusan ketidaksamaan dalam talian. Untuk mendapatkan jawapan dengan segera, dan yang paling penting jawapan yang tepat, anda memerlukan sumber yang membolehkan anda melakukan ini. Terima kasih kepada laman web www.site menyelesaikan ketidaksamaan dalam talian akan mengambil masa beberapa minit. Kelebihan utama www.site apabila menyelesaikan matematik ketidaksamaan dalam talian- ini adalah kelajuan dan ketepatan respons yang diberikan. Laman web ini mampu menyelesaikan sebarang ketaksamaan algebra dalam talian, ketaksamaan trigonometri dalam talian, ketidaksamaan transendental dalam talian, dan ketidaksamaan dengan parameter yang tidak diketahui dalam mod dalam talian. Ketaksamaan berfungsi sebagai alat matematik yang berkuasa penyelesaian masalah praktikal. Dengan bantuan ketaksamaan matematik adalah mungkin untuk menyatakan fakta dan hubungan yang mungkin kelihatan mengelirukan dan kompleks pada pandangan pertama. Kuantiti tidak diketahui ketidaksamaan boleh didapati dengan merumuskan masalah dalam matematik bahasa dalam bentuk ketidaksamaan Dan memutuskan menerima tugas dalam mod dalam talian di laman web www.site. mana-mana ketaksamaan algebra, ketaksamaan trigonometri atau ketidaksamaan mengandungi transendental ciri yang anda boleh dengan mudah memutuskan dalam talian dan dapatkan jawapan yang tepat. Apabila belajar sains semula jadi, anda pasti menghadapi keperluan penyelesaian kepada ketidaksamaan. Dalam kes ini, jawapan mestilah tepat dan mesti diperolehi dengan segera dalam mod dalam talian. Oleh itu untuk menyelesaikan ketaksamaan matematik dalam talian kami mengesyorkan tapak www.site, yang akan menjadi kalkulator yang sangat diperlukan untuk anda menyelesaikan ketaksamaan algebra dalam talian, ketaksamaan trigonometri dalam talian, dan ketidaksamaan transendental dalam talian atau ketidaksamaan dengan parameter yang tidak diketahui. Untuk masalah praktikal mencari penyelesaian dalam talian kepada pelbagai ketaksamaan matematik sumber www.. Penyelesaian ketidaksamaan dalam talian sendiri, adalah berguna untuk menyemak jawapan yang diterima menggunakan penyelesaian dalam talian bagi ketidaksamaan di laman web www.site. Anda perlu menulis ketidaksamaan dengan betul dan segera dapatkan penyelesaian dalam talian, selepas itu semua yang tinggal ialah membandingkan jawapan dengan penyelesaian anda kepada ketaksamaan. Menyemak jawapan akan mengambil masa tidak lebih daripada satu minit, sudah memadai menyelesaikan ketidaksamaan dalam talian dan bandingkan jawapan. Ini akan membantu anda mengelakkan kesilapan dalam keputusan dan betulkan jawapan dalam masa bila menyelesaikan ketidaksamaan dalam talian sama ada algebra, trigonometri, transendental atau ketidaksamaan dengan parameter yang tidak diketahui.