Gandaan sepunya terkecil 3 dan 2. Pembahagi dan gandaan sepunya

Nombor kedua: b=

Pemisah seribu Tanpa pemisah ruang "´

Keputusan:

gcd pembahagi sepunya terbesar( a,b)=6

Gandaan sepunya terkecil LCM( a,b)=468

Nombor asli terbesar yang boleh dibahagikan tanpa baki dengan nombor a dan b dipanggil pembahagi sepunya terbesar(GCD) nombor ini. Ditandakan dengan gcd(a,b), (a,b), gcd(a,b) atau hcf(a,b).

Gandaan sepunya terkecil KPK bagi dua integer a dan b ialah nombor asli terkecil yang boleh dibahagi dengan a dan b tanpa baki. Ditandakan LCM(a,b), atau lcm(a,b).

Integer a dan b dipanggil saling perdana, jika mereka tidak mempunyai pembahagi sepunya selain daripada +1 dan −1.

Pembahagi sepunya terbesar

Biar dua diberi nombor positif a 1 dan a 2 1). Ia diperlukan untuk mencari pembahagi sepunya nombor ini, i.e. cari nombor sedemikian λ , yang membahagi nombor a 1 dan a 2 pada masa yang sama. Mari kita terangkan algoritma.

1) Dalam artikel ini, perkataan nombor akan difahami sebagai integer.

biarlah a 1 ≥ a 2 dan biarkan

di mana m 1 , a 3 ialah beberapa integer, a 3 <a 2 (baki bahagian a 1 setiap a 2 sepatutnya kurang a 2).

Mari kita berpura-pura itu λ membahagikan a 1 dan a 2 kemudian λ membahagikan m 1 a 2 dan λ membahagikan a 1 −m 1 a 2 =a 3 (Pernyataan 2 artikel "Kebolehbahagiaan nombor. Ujian kebolehbahagiaan"). Ia berikutan bahawa setiap pembahagi biasa a 1 dan a 2 ialah pembahagi biasa a 2 dan a 3. Begitu juga sebaliknya jika λ pembahagi biasa a 2 dan a 3 kemudian m 1 a 2 dan a 1 =m 1 a 2 +a 3 juga boleh dibahagikan dengan λ . Oleh itu pembahagi biasa a 2 dan a 3 juga merupakan pembahagi biasa a 1 dan a 2. Kerana a 3 <a 2 ≤a 1, maka kita boleh mengatakan bahawa penyelesaian kepada masalah mencari pembahagi sepunya nombor a 1 dan a 2 dikurangkan kepada masalah yang lebih mudah untuk mencari pembahagi sepunya nombor a 2 dan a 3 .

Jika a 3 ≠0, maka kita boleh bahagi a 2 pada a 3. Kemudian

,

di mana m 1 dan a 4 ialah beberapa integer, ( a 4 baki daripada bahagian a 2 pada a 3 (a 4 <a 3)). Dengan alasan yang sama kita sampai pada kesimpulan bahawa pembahagi sepunya nombor a 3 dan a 4 bertepatan dengan pembahagi sepunya nombor a 2 dan a 3, dan juga dengan pembahagi biasa a 1 dan a 2. Kerana a 1 , a 2 , a 3 , a 4, ... ialah nombor yang sentiasa berkurangan, dan kerana terdapat bilangan integer terhingga antara a 2 dan 0, kemudian pada beberapa langkah n, baki bahagian a n pada a n+1 akan sama dengan sifar ( a n+2 =0).

.

Setiap pembahagi biasa λ nombor a 1 dan a 2 juga merupakan pembahagi nombor a 2 dan a 3 , a 3 dan a 4 , .... a n dan a n+1 . Sebaliknya juga benar, pembahagi biasa nombor a n dan a n+1 juga pembahagi nombor a n−1 dan a n , .... , a 2 dan a 3 , a 1 dan a 2. Tetapi pembahagi biasa nombor a n dan a n+1 ialah nombor a n+1 , kerana a n dan a n+1 boleh dibahagikan dengan a n+1 (ingat itu a n+2 =0). Oleh itu a n+1 juga merupakan pembahagi nombor a 1 dan a 2 .

Perhatikan bahawa nombor a n+1 ialah pembahagi nombor terbesar a n dan a n+1 , sejak pembahagi terbesar a n+1 ialah dirinya sendiri a n+1 . Jika a n+1 boleh diwakili sebagai hasil darab integer, maka nombor ini juga pembahagi biasa nombor a 1 dan a 2. Nombor a n+1 dipanggil pembahagi sepunya terbesar nombor a 1 dan a 2 .

Nombor a 1 dan a 2 boleh sama ada nombor positif atau negatif. Jika salah satu nombor adalah sama dengan sifar, maka pembahagi sepunya terbesar bagi nombor ini akan sama dengan nilai mutlak nombor lain. Pembahagi sepunya terbesar bagi nombor sifar tidak ditentukan.

Algoritma di atas dipanggil Algoritma Euclidean untuk mencari pembahagi sepunya terbesar bagi dua integer.

Contoh mencari pembahagi sepunya terbesar bagi dua nombor

Cari pembahagi sepunya terbesar bagi dua nombor 630 dan 434.

• Langkah 1. Bahagikan nombor 630 dengan 434. Bakinya ialah 196.
• Langkah 2. Bahagikan nombor 434 dengan 196. Bakinya ialah 42.
• Langkah 3. Bahagikan nombor 196 dengan 42. Bakinya ialah 28.
• Langkah 4. Bahagikan nombor 42 dengan 28. Bakinya ialah 14.
• Langkah 5. Bahagikan nombor 28 dengan 14. Bakinya ialah 0.

Dalam langkah 5, baki pembahagian ialah 0. Oleh itu, pembahagi sepunya terbesar bagi nombor 630 dan 434 ialah 14. Perhatikan bahawa nombor 2 dan 7 juga merupakan pembahagi bagi nombor 630 dan 434.

Nombor koprima

Definisi 1. Biarkan pembahagi sepunya terbesar bagi nombor a 1 dan a 2 sama dengan satu. Kemudian nombor ini dipanggil nombor koprima, tidak mempunyai pembahagi biasa.

Teorem 1. Jika a 1 dan a 2 nombor koprima, dan λ beberapa nombor, kemudian mana-mana pembahagi sepunya nombor λa 1 dan a 2 juga merupakan pembahagi nombor biasa λ Dan a 2 .

Bukti. Pertimbangkan algoritma Euclidean untuk mencari pembahagi sepunya terbesar bagi nombor a 1 dan a 2 (lihat di atas).

.

Daripada syarat-syarat teorem ia mengikuti bahawa pembahagi sepunya terbesar nombor a 1 dan a 2 dan oleh itu a n dan a n+1 ialah 1. Iaitu a n+1 =1.

Mari kita darabkan semua kesamaan ini dengan λ , Kemudian

.

Biar pembahagi biasa a 1 λ Dan a 2 ya δ . Kemudian δ disertakan sebagai pengganda dalam a 1 λ , m 1 a 2 λ dan dalam a 1 λ -m 1 a 2 λ =a 3 λ (lihat "Kebolehbahagiaan nombor", Pernyataan 2). Selanjutnya δ disertakan sebagai pengganda dalam a 2 λ Dan m 2 a 3 λ , dan, oleh itu, merupakan faktor dalam a 2 λ -m 2 a 3 λ =a 4 λ .

Menaakul dengan cara ini, kami yakin bahawa δ disertakan sebagai pengganda dalam a n−1 λ Dan m n−1 a n λ , dan oleh itu dalam a n−1 λ −m n−1 a n λ =a n+1 λ . Kerana a n+1 =1, maka δ disertakan sebagai pengganda dalam λ . Oleh itu bilangan δ ialah pembahagi sepunya bagi nombor λ Dan a 2 .

Mari kita pertimbangkan kes khas Teorem 1.

Akibat 1. biarlah a Dan c Nombor perdana adalah relatif b. Kemudian produk mereka ac ialah nombor perdana berkenaan dengan b.

sungguh. Daripada Teorem 1 ac Dan b mempunyai pembahagi sepunya yang sama seperti c Dan b. Tetapi nombor c Dan b agak mudah, i.e. mempunyai pembahagi sepunya tunggal 1. Kemudian ac Dan b juga mempunyai pembahagi sepunya tunggal 1. Oleh itu ac Dan b saling sederhana.

Akibat 2. biarlah a Dan b nombor koprima dan biarkan b membahagikan ak. Kemudian b membahagikan dan k.

sungguh. Dari syarat kelulusan ak Dan b mempunyai pembahagi biasa b. Berdasarkan Teorem 1, b mestilah pembahagi biasa b Dan k. Oleh itu b membahagikan k.

Corollary 1 boleh digeneralisasikan.

Akibat 3. 1. Biarkan nombor a 1 , a 2 , a 3 , ..., a m adalah relatif perdana kepada nombor b. Kemudian a 1 a 2 , a 1 a 2 · a 3 , ..., a 1 a 2 a 3 ··· a m, hasil darab nombor ini adalah relatif perdana kepada nombor itu b.

2. Mari kita mempunyai dua baris nombor

supaya setiap nombor dalam siri pertama adalah perdana dalam nisbah setiap nombor dalam siri kedua. Kemudian produk

Anda perlu mencari nombor yang boleh dibahagi dengan setiap nombor ini.

Jika suatu nombor boleh dibahagi dengan a 1, maka ia mempunyai bentuk sa 1 di mana s beberapa nombor. Jika q ialah pembahagi sepunya terbesar bagi nombor a 1 dan a 2, kemudian

di mana s 1 ialah beberapa integer. Kemudian

ialah gandaan sepunya terkecil bagi nombor a 1 dan a 2 .

a 1 dan a 2 adalah relatif perdana, maka gandaan sepunya terkecil bagi nombor tersebut a 1 dan a 2:

Kita perlu mencari gandaan sepunya terkecil bagi nombor ini.

Daripada perkara di atas ia mengikuti bahawa sebarang gandaan nombor a 1 , a 2 , a 3 mestilah gandaan nombor ε Dan a 3 dan belakang. Biarkan gandaan sepunya terkecil bagi nombor itu ε Dan a 3 ya ε 1 . Seterusnya, gandaan nombor a 1 , a 2 , a 3 , a 4 mestilah gandaan nombor ε 1 dan a 4 . Biarkan gandaan sepunya terkecil bagi nombor itu ε 1 dan a 4 ya ε 2. Oleh itu, kami mendapati bahawa semua gandaan nombor a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m bertepatan dengan gandaan nombor tertentu ε n, yang dipanggil gandaan sepunya terkecil bagi nombor yang diberi.

Dalam kes khas apabila nombor a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m adalah relatif perdana, maka gandaan sepunya terkecil bagi nombor tersebut a 1 , a 2, seperti yang ditunjukkan di atas, mempunyai bentuk (3). Seterusnya, sejak a 3 perdana berhubung dengan nombor a 1 , a 2 kemudian a 3 nombor perdana a 1 · a 2 (Korol 1). Bermaksud gandaan sepunya terkecil bagi nombor a 1 ,a 2 ,a 3 ialah nombor a 1 · a 2 · a 3. Menaakul dengan cara yang sama, kita sampai pada kenyataan berikut.

Kenyataan 1. Gandaan sepunya terkecil bagi nombor koprima a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m adalah sama dengan produk mereka a 1 · a 2 · a 3 ··· a m.

Kenyataan 2. Sebarang nombor yang boleh dibahagi dengan setiap nombor koprima a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m juga boleh dibahagikan dengan hasil keluarannya a 1 · a 2 · a 3 ··· a m.

Gandaan ialah nombor yang boleh dibahagi dengan nombor tertentu tanpa baki. Gandaan sepunya terkecil (LCM) bagi kumpulan nombor ialah nombor terkecil yang boleh dibahagi dengan setiap nombor dalam kumpulan tanpa meninggalkan baki. Untuk mencari gandaan sepunya terkecil, anda perlu mencari faktor perdana bagi nombor yang diberi. LCM juga boleh dikira menggunakan beberapa kaedah lain yang digunakan untuk kumpulan dua atau lebih nombor.

Langkah-langkah

Siri gandaan

Lihatlah nombor ini. Kaedah yang diterangkan di sini paling sesuai digunakan apabila diberi dua nombor, setiap satunya kurang daripada 10. Jika nombor yang lebih besar diberikan, gunakan kaedah yang berbeza.

• Sebagai contoh, cari gandaan sepunya terkecil bagi 5 dan 8. Ini adalah nombor kecil, jadi anda boleh menggunakan kaedah ini.

1. Gandaan ialah nombor yang boleh dibahagi dengan nombor tertentu tanpa baki. Gandaan boleh didapati dalam jadual pendaraban.

   • Sebagai contoh, nombor gandaan 5 ialah: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40.

2. Tulis satu siri nombor yang merupakan gandaan nombor pertama. Lakukan ini di bawah gandaan nombor pertama untuk membandingkan dua set nombor.

   • Sebagai contoh, nombor gandaan 8 ialah: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, dan 64.

3. Cari nombor terkecil yang terdapat dalam kedua-dua set gandaan. Anda mungkin perlu menulis siri gandaan yang panjang untuk mencari jumlah nombor. Nombor terkecil yang terdapat dalam kedua-dua set gandaan ialah gandaan sepunya terkecil.

   • Sebagai contoh, nombor terkecil yang muncul dalam siri gandaan 5 dan 8 ialah nombor 40. Oleh itu, 40 ialah gandaan sepunya terkecil bagi 5 dan 8.

   Pemfaktoran perdana

   1. Lihatlah nombor ini. Kaedah yang diterangkan di sini paling sesuai digunakan apabila diberi dua nombor, setiap satunya lebih besar daripada 10. Jika nombor yang lebih kecil diberikan, gunakan kaedah yang berbeza.

      • Sebagai contoh, cari gandaan sepunya terkecil bagi nombor 20 dan 84. Setiap nombor lebih besar daripada 10, jadi anda boleh menggunakan kaedah ini.

   2. Faktorkan nombor pertama kepada faktor perdana. Iaitu, anda perlu mencari nombor perdana sedemikian yang, apabila didarab, akan menghasilkan nombor tertentu. Setelah anda menemui faktor utama, tuliskannya sebagai kesamaan.

      • Sebagai contoh, 2 × 10 = 20 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times 10=20) Dan 2 × 5 = 10 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times (\mathbf (5) )=10). Oleh itu, faktor perdana bagi nombor 20 ialah nombor 2, 2 dan 5. Tuliskannya sebagai ungkapan: .

   3. Faktorkan nombor kedua kepada faktor perdana. Lakukan ini dengan cara yang sama seperti anda memfaktorkan nombor pertama, iaitu, mencari nombor perdana yang, apabila didarab, akan menghasilkan nombor yang diberikan.

      • Sebagai contoh, 2 × 42 = 84 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times 42=84), 7 × 6 = 42 (\displaystyle (\mathbf (7) )\times 6=42) Dan 3 × 2 = 6 (\displaystyle (\mathbf (3) )\times (\mathbf (2) )=6). Oleh itu, faktor perdana bagi nombor 84 ialah nombor 2, 7, 3 dan 2. Tuliskannya sebagai ungkapan: .

   4. Tuliskan faktor sepunya bagi kedua-dua nombor. Tulis faktor tersebut sebagai operasi darab. Semasa anda menulis setiap faktor, pangkah dalam kedua-dua ungkapan (ungkapan yang menerangkan pemfaktoran nombor kepada faktor perdana).

      • Sebagai contoh, kedua-dua nombor mempunyai faktor sepunya 2, jadi tulis 2 × (\displaystyle 2\times ) dan potong 2 dalam kedua-dua ungkapan.
      • Persamaan kedua-dua nombor ialah satu lagi faktor 2, jadi tulis 2 × 2 (\displaystyle 2\times 2) dan potong 2 kedua dalam kedua-dua ungkapan.

   5. Tambahkan baki faktor pada operasi pendaraban. Ini adalah faktor yang tidak dicoret dalam kedua-dua ungkapan, iaitu faktor yang tidak lazim bagi kedua-dua nombor.

      • Sebagai contoh, dalam ungkapan 20 = 2 × 2 × 5 (\displaystyle 20=2\times 2\times 5) Kedua-dua (2) dicoret kerana ia adalah faktor sepunya. Faktor 5 tidak dicoret, jadi tulis operasi pendaraban seperti ini: 2 × 2 × 5 (\displaystyle 2\times 2\times 5)
      • Dalam ungkapan 84 = 2 × 7 × 3 × 2 (\displaystyle 84=2\kali 7\kali 3\kali 2) kedua-dua dua (2) juga dicoret. Faktor 7 dan 3 tidak dicoret, jadi tulis operasi pendaraban seperti ini: 2 × 2 × 5 × 7 × 3 (\displaystyle 2\times 2\times 5\times 7\times 3).

   6. Kira gandaan sepunya terkecil. Untuk melakukan ini, darabkan nombor dalam operasi pendaraban bertulis.

      • Sebagai contoh, 2 × 2 × 5 × 7 × 3 = 420 (\gaya paparan 2\kali 2\kali 5\kali 7\kali 3=420). Jadi gandaan sepunya terkecil bagi 20 dan 84 ialah 420.

   Mencari faktor sepunya

   1. Lukis grid seperti untuk permainan tic-tac-toe. Grid sedemikian terdiri daripada dua garis selari yang bersilang (pada sudut tepat) dengan dua garis selari yang lain. Ini akan memberi anda tiga baris dan tiga lajur (grid kelihatan seperti ikon #). Tulis nombor pertama pada baris pertama dan lajur kedua. Tulis nombor kedua di baris pertama dan lajur ketiga.

      • Sebagai contoh, cari gandaan sepunya terkecil bagi nombor 18 dan 30. Tulis nombor 18 pada baris pertama dan lajur kedua, dan tulis nombor 30 pada baris pertama dan lajur ketiga.

   2. Cari pembahagi sepunya bagi kedua-dua nombor. Tuliskannya di baris pertama dan lajur pertama. Adalah lebih baik untuk mencari faktor utama, tetapi ini bukan satu keperluan.

      • Contohnya, 18 dan 30 ialah nombor genap, jadi faktor sepunya ialah 2. Jadi tulis 2 di baris pertama dan lajur pertama.

   3. Bahagikan setiap nombor dengan pembahagi pertama. Tulis setiap hasil bahagi di bawah nombor yang sesuai. Hasil bahagi ialah hasil pembahagian dua nombor.

      • Sebagai contoh, 18 ÷ 2 = 9 (\gaya paparan 18\div 2=9), jadi tulis 9 di bawah 18.
      • 30 ÷ 2 = 15 (\displaystyle 30\div 2=15), jadi tulis 15 di bawah 30.

   4. Cari pembahagi sepunya bagi kedua-dua hasil bahagi. Jika tiada pembahagi sedemikian, langkau dua langkah seterusnya. Jika tidak, tulis pembahagi di baris kedua dan lajur pertama.

      • Sebagai contoh, 9 dan 15 boleh dibahagikan dengan 3, jadi tulis 3 di baris kedua dan lajur pertama.

   5. Bahagikan setiap hasil bahagi dengan pembahagi kedua. Tulis setiap hasil pembahagian di bawah hasil bahagi yang sepadan.

      • Sebagai contoh, 9 ÷ 3 = 3 (\displaystyle 9\div 3=3), jadi tulis 3 di bawah 9.
      • 15 ÷ 3 = 5 (\gaya paparan 15\div 3=5), jadi tulis 5 di bawah 15.

   6. Jika perlu, tambahkan sel tambahan pada grid. Ulangi langkah yang diterangkan sehingga hasil bahagi mempunyai pembahagi sepunya.

   7. Bulatkan nombor dalam lajur pertama dan baris terakhir grid. Kemudian tulis nombor yang dipilih sebagai operasi darab.

      • Sebagai contoh, nombor 2 dan 3 berada di lajur pertama, dan nombor 3 dan 5 berada di baris terakhir, jadi tulis operasi pendaraban seperti ini: 2 × 3 × 3 × 5 (\displaystyle 2\times 3\times 3\times 5).

   8. Cari hasil darab nombor. Ini akan mengira gandaan sepunya terkecil bagi dua nombor yang diberikan.

      • Sebagai contoh, 2 × 3 × 3 × 5 = 90 (\displaystyle 2\times 3\times 3\times 5=90). Jadi gandaan sepunya terkecil bagi 18 dan 30 ialah 90.

   Algoritma Euclid

   1. Ingat istilah yang dikaitkan dengan operasi bahagi. Dividen ialah nombor yang dibahagi. Pembahagi ialah nombor yang dibahagi dengan. Hasil bahagi ialah hasil pembahagian dua nombor. Baki ialah nombor yang tinggal apabila dua nombor dibahagikan.

      • Sebagai contoh, dalam ungkapan 15 ÷ 6 = 2 (\gaya paparan 15\div 6=2) ost. 3:
        15 adalah dividen
        6 ialah pembahagi
        2 ialah hasil bagi
        3 ialah baki.

Tetapi banyak nombor asli juga boleh dibahagikan dengan nombor asli yang lain.

Sebagai contoh:

Nombor 12 boleh dibahagi dengan 1, dengan 2, dengan 3, dengan 4, dengan 6, dengan 12;

Nombor 36 boleh dibahagi dengan 1, dengan 2, dengan 3, dengan 4, dengan 6, dengan 12, dengan 18, dengan 36.

Nombor yang nombor itu boleh dibahagikan dengan keseluruhan (untuk 12 ini adalah 1, 2, 3, 4, 6 dan 12) dipanggil pembahagi nombor. Pembahagi nombor asli a- ialah nombor asli yang membahagi nombor tertentu a tanpa jejak. Nombor asli yang mempunyai lebih daripada dua pembahagi dipanggil komposit .

Sila ambil perhatian bahawa nombor 12 dan 36 mempunyai faktor sepunya. Nombor-nombor ini ialah: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Pembahagi terbesar bagi nombor ini ialah 12. Pembahagi sepunya bagi kedua-dua nombor ini a Dan b- ini ialah nombor di mana kedua-dua nombor yang diberi dibahagikan tanpa baki a Dan b.

Gandaan sepunya beberapa nombor ialah nombor yang boleh dibahagi dengan setiap nombor ini. Sebagai contoh, nombor 9, 18 dan 45 mempunyai gandaan sepunya 180. Tetapi 90 dan 360 juga adalah gandaan sepunya mereka. Di antara semua gandaan sepunya sentiasa ada yang terkecil, dalam kes ini ialah 90. Nombor ini dipanggil yang paling kecilberbilang sepunya (CMM).

LCM sentiasa nombor asli yang mesti lebih besar daripada nombor terbesar yang ditakrifkan.

Gandaan sepunya terkecil (LCM). Hartanah.

Komutatif:

pergaulan:

Khususnya, jika dan ialah nombor koprima, maka:

Gandaan sepunya terkecil bagi dua integer m Dan n ialah pembahagi semua gandaan sepunya yang lain m Dan n. Selain itu, set gandaan sepunya m, n bertepatan dengan set gandaan LCM( m, n).

Asimtotik untuk boleh dinyatakan dalam beberapa fungsi teori nombor.

Jadi, Fungsi Chebyshev. Dan:

Ini berikutan daripada definisi dan sifat fungsi Landau g(n).

Apakah yang berikut daripada hukum taburan nombor perdana.

Mencari gandaan sepunya terkecil (LCM).

NOC( a, b) boleh dikira dalam beberapa cara:

1. Jika pembahagi sepunya terbesar diketahui, anda boleh menggunakan sambungannya dengan LCM:

2. Biarkan penguraian kanonik kedua-dua nombor menjadi faktor perdana diketahui:

di mana p 1 ,...,p k- pelbagai nombor perdana, dan d 1 ,...,d k Dan e 1 ,...,e k— integer bukan negatif (ia boleh menjadi sifar jika perdana sepadan tiada dalam pengembangan).

Kemudian NOC ( a,b) dikira dengan formula:

Dalam erti kata lain, penguraian LCM mengandungi semua faktor perdana yang termasuk dalam sekurang-kurangnya satu daripada penguraian nombor. a, b, dan yang terbesar daripada dua eksponen pengganda ini diambil.

Contoh:

Mengira gandaan sepunya terkecil bagi beberapa nombor boleh dikurangkan kepada beberapa pengiraan berurutan bagi LCM bagi dua nombor:

peraturan. Untuk mencari LCM bagi satu siri nombor, anda memerlukan:

- menguraikan nombor kepada faktor perdana;

- pindahkan penguraian terbesar (hasil daripada faktor bilangan terbesar yang diberikan) kepada faktor produk yang diingini, dan kemudian tambah faktor daripada penguraian nombor lain yang tidak muncul dalam nombor pertama atau muncul di dalamnya lebih sedikit kali;

— hasil darab faktor perdana akan menjadi LCM nombor yang diberikan.

Mana-mana dua atau lebih nombor asli mempunyai LCM mereka sendiri. Jika nombor bukan gandaan antara satu sama lain atau tidak mempunyai faktor yang sama dalam pengembangan, maka LCM mereka adalah sama dengan hasil darab nombor ini.

Faktor perdana bagi nombor 28 (2, 2, 7) ditambah dengan faktor 3 (nombor 21), hasil darab (84) akan menjadi nombor terkecil yang boleh dibahagi dengan 21 dan 28.

Faktor perdana bagi nombor terbesar 30 ditambah dengan faktor 5 daripada nombor 25, hasil darab 150 yang terhasil adalah lebih besar daripada nombor terbesar 30 dan boleh dibahagikan dengan semua nombor yang diberi tanpa baki. Ini adalah hasil terkecil yang mungkin (150, 250, 300...) yang merupakan gandaan semua nombor yang diberikan.

Nombor 2,3,11,37 ialah nombor perdana, jadi LCM mereka adalah sama dengan hasil darab nombor yang diberikan.

peraturan. Untuk mengira LCM nombor perdana, anda perlu mendarab semua nombor ini bersama-sama.

Pilihan lain:

Untuk mencari gandaan sepunya terkecil (LCM) beberapa nombor yang anda perlukan:

1) mewakili setiap nombor sebagai hasil darab faktor perdananya, contohnya:

504 = 2 2 2 3 3 7,

2) tuliskan kuasa semua faktor utama:

504 = 2 2 2 3 3 7 = 2 3 3 2 7 1,

3) tuliskan semua pembahagi utama (pendarab) bagi setiap nombor ini;

4) pilih tahap terbesar setiap daripada mereka, yang terdapat dalam semua pengembangan nombor ini;

5) gandakan kuasa ini.

Contoh. Cari LCM nombor: 168, 180 dan 3024.

Penyelesaian. 168 = 2 2 2 3 7 = 2 3 3 1 7 1,

180 = 2 2 3 3 5 = 2 2 3 2 5 1,

3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1.

Kami menulis kuasa terbesar dari semua pembahagi utama dan melipatgandakannya:

NOC = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120.

Topik "Nombor Berbilang" dipelajari di gred 5 sekolah menengah. Matlamatnya adalah untuk meningkatkan kemahiran pengiraan matematik bertulis dan lisan. Dalam pelajaran ini, konsep baharu diperkenalkan - "nombor berbilang" dan "pembahagi", teknik mencari pembahagi dan gandaan nombor asli, dan kebolehan mencari LCM dalam pelbagai cara diamalkan.

Topik ini sangat penting. Pengetahuan mengenainya boleh digunakan semasa menyelesaikan contoh dengan pecahan. Untuk melakukan ini, anda perlu mencari penyebut sepunya dengan mengira gandaan sepunya terkecil (LCM).

Gandaan A ialah integer yang boleh dibahagi dengan A tanpa baki.

Setiap nombor asli mempunyai nombor gandaan yang tidak terhingga. Ia sendiri dianggap paling kecil. Gandaan tidak boleh kurang daripada nombor itu sendiri.

Anda perlu membuktikan bahawa nombor 125 ialah gandaan 5. Untuk melakukan ini, anda perlu membahagikan nombor pertama dengan yang kedua. Jika 125 boleh dibahagi dengan 5 tanpa baki, maka jawapannya ialah ya.

Kaedah ini terpakai untuk nombor kecil.

Terdapat kes khas apabila mengira LOC.

1. Jika anda perlu mencari gandaan sepunya bagi 2 nombor (contohnya, 80 dan 20), di mana satu daripadanya (80) boleh dibahagikan dengan yang lain (20), maka nombor ini (80) ialah gandaan terkecil daripada ini. dua nombor.

LCM(80, 20) = 80.

2. Jika dua tidak mempunyai pembahagi sepunya, maka kita boleh mengatakan bahawa LCM mereka adalah hasil darab kedua-dua nombor ini.

LCM(6, 7) = 42.

Mari kita lihat contoh terakhir. 6 dan 7 berhubung dengan 42 ialah pembahagi. Mereka membahagi gandaan nombor tanpa baki.

Dalam contoh ini, 6 dan 7 ialah faktor berpasangan. Hasil darab mereka adalah sama dengan nombor berbilang terbanyak (42).

Nombor dipanggil perdana jika ia boleh dibahagikan dengan sendirinya sahaja atau dengan 1 (3:1=3; 3:3=1). Selebihnya dipanggil komposit.

Contoh lain melibatkan penentuan sama ada 9 ialah pembahagi 42.

42:9=4 (baki 6)

Jawapan: 9 bukan pembahagi 42 kerana jawapan mempunyai baki.

Pembahagi berbeza daripada gandaan kerana pembahagi ialah nombor yang nombor asli dibahagikan, dan gandaan itu sendiri boleh dibahagikan dengan nombor ini.

Pembahagi sepunya terbesar bagi nombor a Dan b, didarab dengan gandaan terkecilnya, akan memberikan hasil darab nombor itu sendiri a Dan b.

Iaitu: gcd (a, b) x gcd (a, b) = a x b.

Gandaan sepunya untuk nombor yang lebih kompleks didapati dengan cara berikut.

Sebagai contoh, cari LCM untuk 168, 180, 3024.

Kami memfaktorkan nombor ini ke dalam faktor perdana dan menulisnya sebagai hasil darab kuasa:

168=2³x3¹x7¹

2⁴х3³х5¹х7¹=15120

LCM(168, 180, 3024) = 15120.

Untuk memahami cara mengira LCM, anda mesti terlebih dahulu menentukan maksud istilah "berbilang".

Gandaan A ialah nombor asli yang boleh dibahagi dengan A tanpa baki. Oleh itu, nombor gandaan 5 boleh dianggap 15, 20, 25, dan seterusnya.

Terdapat bilangan pembahagi yang terhad bagi nombor tertentu, tetapi terdapat bilangan gandaan yang tidak terhingga.

Gandaan sepunya bagi nombor asli ialah nombor yang boleh dibahagi dengannya tanpa meninggalkan baki.

Bagaimana untuk mencari gandaan sepunya terkecil bagi nombor

Gandaan sepunya terkecil (LCM) bagi nombor (dua, tiga atau lebih) ialah nombor asli terkecil yang boleh dibahagi dengan semua nombor ini.

Untuk mencari LOC, anda boleh menggunakan beberapa kaedah.

Untuk nombor kecil, adalah mudah untuk menulis semua gandaan nombor ini pada satu baris sehingga anda menemui sesuatu yang biasa di kalangan mereka. Gandaan dilambangkan dengan huruf besar K.

Sebagai contoh, gandaan 4 boleh ditulis seperti ini:

K (4) = (8,12, 16, 20, 24, ...)

K (6) = (12, 18, 24, ...)

Oleh itu, anda boleh melihat bahawa gandaan sepunya terkecil bagi nombor 4 dan 6 ialah nombor 24. Tatatanda ini dilakukan seperti berikut:

LCM(4, 6) = 24

Jika nombornya besar, cari gandaan sepunya bagi tiga atau lebih nombor, maka lebih baik menggunakan kaedah pengiraan LCM yang lain.

Untuk menyelesaikan tugasan, anda perlu memfaktorkan nombor yang diberikan ke dalam faktor perdana.

Mula-mula anda perlu menulis penguraian nombor terbesar pada baris, dan di bawahnya - selebihnya.

Penguraian setiap nombor mungkin mengandungi bilangan faktor yang berbeza.

Sebagai contoh, mari kita memfaktorkan nombor 50 dan 20 ke dalam faktor perdana.

Dalam pengembangan nombor yang lebih kecil, anda harus menyerlahkan faktor yang tiada dalam pengembangan nombor terbesar pertama, dan kemudian menambahnya padanya. Dalam contoh yang dibentangkan, dua hilang.

Kini anda boleh mengira gandaan sepunya terkecil bagi 20 dan 50.

LCM(20, 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100

Oleh itu, hasil darab faktor perdana bagi nombor yang lebih besar dan faktor nombor kedua yang tidak termasuk dalam pengembangan nombor yang lebih besar akan menjadi gandaan sepunya terkecil.

Untuk mencari LCM bagi tiga atau lebih nombor, anda harus memfaktorkan kesemuanya ke dalam faktor perdana, seperti dalam kes sebelumnya.

Sebagai contoh, anda boleh mencari gandaan sepunya terkecil bagi nombor 16, 24, 36.

36 = 2 * 2 * 3 * 3

24 = 2 * 2 * 2 * 3

16 = 2 * 2 * 2 * 2

Oleh itu, hanya dua dua daripada pengembangan enam belas tidak termasuk dalam pemfaktoran nombor yang lebih besar (satu adalah dalam pengembangan dua puluh empat).

Oleh itu, mereka perlu ditambah kepada pengembangan bilangan yang lebih besar.

LCM(12, 16, 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9

Terdapat kes khas untuk menentukan gandaan sepunya terkecil. Jadi, jika salah satu nombor boleh dibahagikan tanpa baki dengan yang lain, maka yang lebih besar daripada nombor ini akan menjadi gandaan sepunya terkecil.

Sebagai contoh, LCM bagi dua belas dan dua puluh empat ialah dua puluh empat.

Jika perlu mencari gandaan sepunya terkecil bagi nombor koprima yang tidak mempunyai pembahagi yang sama, maka LCM mereka akan sama dengan hasil darabnya.

Contohnya, LCM (10, 11) = 110.