Prinsippet om minste handling. Hamilton-Ostrogradsky variasjonsprinsipp i konfigurasjon og faserom Planbølgeformel
HAMILTON - OSTROGRADSKY PRINSIPP
Stasjonært handlingsprinsipp - generell integral variasjonsprinsippet for klassisk mekanikk, installert av U.
Hamilton for holonomiske systemer begrenset av ideelle stasjonære forbindelser, og generalisert av M. V. Ostrogradsky til ikke-stasjonære forbindelser. I følge G. - O.
har en stasjonær verdi sammenlignet med lignende kinematisk mulige bevegelser, for hvilke start- og sluttposisjonene til systemet og bevegelsestidspunktet er de samme som for faktisk bevegelse. Her T - kinetisk, U- potensiell energi, L-T-U Lagrange funksjon av systemet. I noen tilfeller tilsvarer sannheten ikke bare det stasjonære punktet til funksjonen S, men gir det også minst betydning. Derfor G. -O. n. ofte kalt prinsippet om minste handling. Ved ikke-potensielle aktive krefter F v betingelse for stasjonær handling d S= 0 erstattes av betingelse
Tent.: Hamilton W., Report of the Fourth Meeting of the British Association for the Advancement of Science, L., 1835, s. 513-18; Оstrоgradskу M., "Mem. de 1" Acad. des Sci. de St-Petershurg", 1850, t. 8, nr. 3, s. 33-48.
V. V. Rumyantsev.
Matematisk leksikon. - M.: Sovjetisk leksikon. I. M. Vinogradov. 1977-1985.
Se hva "HAMILTON - OSTROGRAD-PRINSIPPET" er i andre ordbøker:
Fishers prinsipp er en evolusjonsmodell som forklarer hvorfor det dominerende kjønnsforholdet mellom arter av levende organismer i naturen er omtrent 1:1; i hvilke gener for produksjon av flere individer av begge kjønn ... ... Wikipedia
Hamilton (også ganske enkelt Hamiltons prinsipp), mer presist prinsippet om handlingsstasjonaritet, en metode for å oppnå bevegelsesligninger for et fysisk system ved å søke etter en stasjonær (ofte ekstrem, vanligvis i forbindelse med den etablerte tradisjonen ... ... Wikipedia
Bølgebrytning ifølge Huygens ... Wikipedia
I vitenskapens metodikk er påstanden at enhver ny vitenskapelig teori, i nærvær av en gammel, velprøvd teori, ikke er i fullstendig motsetning til den, men gir de samme konsekvensene i en eller annen ekstrem tilnærming (spesielt tilfelle). For eksempel loven... ... Wikipedia
Pontryagins diskrete maksimumsprinsipp for tidsdiskrete kontrollprosesser. For en slik prosess kan det hende at den endelige forskjellsoperatoren ikke holder, selv om den er for sin kontinuerlige analog, oppnådd ved å erstatte den endelige forskjellsoperatoren med en differensiell ... ... Matematisk leksikon
Eller Hamiltons prinsipp, i mekanikk og matematisk fysikk, tjener til å oppnå differensialligninger for bevegelse. Dette prinsippet gjelder for alle materielle systemer, uansett hvilke krefter de er underlagt; Først vil vi uttrykke det i at... Encyclopedic Dictionary F.A. Brockhaus og I.A. Efron
Kvantepostulat. mekanikk, som krever tilfeldigheten av dens fysiske. konsekvenser i det begrensende tilfellet med store kvantetall med resultatene av klassisk. teorier. I S. p. avsløres faktum at kvantum. effektene er bare signifikante når man vurderer mikroobjekter, når... ... Fysisk leksikon
Hamiltons variasjonsprinsipp- Hamiltono variacinis principas statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. Hamilton variasjonsprinsipp vok. Hamiltonsches Variationsprinzip, n rus. Hamiltons variasjonsprinsipp, m pranc. principe variationnel d’Hamilton, m … Fizikos terminų žodynas
Et postulat av kvantemekanikk (se kvantemekanikk), som krever at dets fysiske konsekvenser i det begrensende tilfellet med store kvantetall (se kvantetall) faller sammen med resultatene av klassisk teori. I S. p. manifesteres det faktum at... ... Stor sovjetisk leksikon
- (bølgemekanikk), en teori som etablerer metoden for beskrivelse og bevegelseslover for mikropartikler (elementer, atomer, molekyler, atomkjerner) og deres systemer (for eksempel krystaller), samt forholdet mellom mengder som karakteriserer partikler og systemer, med fysiske størrelser ... ... Fysisk leksikon
Dette begrepet har andre betydninger, se Handling (fysikk). Handlingsdimensjon L2MT−1 Handling i fysikk er en skalar fysisk størrelse som er ... Wikipedia
Bøker
- Prinsipper for bevegelse av det økonomiske systemet. Monografi, Kusner Yuri Semenovich, Tsarev Igor Gennadievich. De grunnleggende bevegelsesligningene til det økonomiske systemet presenteres i analytisk form og problemet med å finne tilstrekkelige metoder for å kontrollere dets bevegelse er løst. Det matematiske apparatet ble brukt...
Ideen som ligger til grunn for alle integrerte og noen differensielle prinsipper er posisjonen at den virkelige bevegelsen til et mekanisk system gir ekstremitet til en viss fysisk mengde. For den matematiske formuleringen av denne posisjonen er det nødvendig, som før, å ta hensyn til, sammen med reell bevegelse, et sett med tenkelige bevegelser, underordne dem til veldefinerte krav.
Formuleringen av integrerte prinsipper utføres i konfigurasjonsrom. Husk at for et system med grader av frihet, de generaliserte koordinatene 
, definerer konfigurasjonen av systemet på et tidspunkt 
, behandles som kartesiske koordinater i de tilsvarende 
-dimensjonalt rom, som er et konfigurasjonsrom. Over tid endres tilstanden til et mekanisk system, og punktet som representerer dette systemet beskriver en viss kurve. Det er praktisk å betrakte bevegelsen til systemet som bevegelsen til det representerende punktet langs denne kurven. Tid 
med denne betraktningen er en parameter, og hvert punkt i banen vil tilsvare en eller flere verdier 
.
Hvis vi er interessert i plasseringen av systemet på konfigurasjonsbanen i hvert øyeblikk 
, så må du legge til en annen akse 
.
Da vil vi få en "flerdimensjonal graf" av bevegelsen til systemet vi vurderer. Man kan også studere projeksjonene av en flerdimensjonal graf på visse plan, for eksempel 
(Fig. 2.7). På bildet A, B er projeksjoner av det representerende punktet i øyeblikk 
Og 
Følgelig viser den heltrukne linjen det virkelige, den stiplede linjen representerer en av de tenkelige bevegelsene.
Integralprinsippet er et utsagn om hvordan den virkelige bevegelsen til et system skjer over en begrenset (ikke uendelig liten!) tidsperiode 
.
Hva var med systemet frem til tidspunktet 
,
vi er ikke interessert. Men så lenge de første og siste øyeblikkene av tid er faste, antas det at det mekaniske systemet med alle tenkelige bevegelser i tidens øyeblikk 
går gjennom et punkt EN, i øyeblikket 
- I;
disse punktene tilsvarer de innledende og endelige posisjonene til systemet i dets virkelige bevegelse.
Den mest generelle formuleringen av posisjonen til bevegelse av mekaniske systemer er inneholdt i det såkalte prinsippet om minste handling (det kalles også Hamilton-Ostrogradsky-prinsippet):
Virkelig bevegelse av et mekanisk system i tidsintervallet fra
før
slik at integralet, kalt handlingsfunksjonen
og likeverdig
, (60.7)
Hvor
-- Lagrangianen til et gitt mekanisk system har et ekstremum (minimum). Variabel
det varierer ikke.
Med andre ord, under reell bevegelse bør variasjonen av handlingen være null
(61.7)
forutsatt at alle konfigurasjonsbaner til tider 
Og 
passere gjennom start- og sluttpunktene til den virkelige bevegelsen, dvs.
Dette prinsippet, i motsetning til D'Alemberts differensialprinsipp, er integrert i den forstand at det inneholder en uttalelse om bevegelsen av systemet som helhet over en begrenset tidsperiode 
.
Faktisk følger Lagrange-ligningene fra det, og derved, fra prinsippet om minste handling, kan man si, oppnås hele dynamikken til et mekanisk system.
La funksjonene 
, beskrive ekte bevegelse, dvs. 
-de funksjonene som 
har et minimum. La oss vurdere et sett med funksjoner 
Hvor 
- variasjoner av funksjoner 
, som antas å være små i forhold til 
gjennom hele tidsintervallet fra 
før 
. Dessuten alt 
tilfredsstille relasjoner (62,7). La oss beregne den såkalte første variasjonen 
, og husk at Lagrange-funksjonen kan avhenge av generaliserte koordinater 
,
generaliserte hastigheter 
, og tid 
:
Fordi det 
, andre termin i 
kan integreres av deler og få
.
På grunn av forhold (62,7) er beløpet
forsvinner, og det gjenværende integralet vil være lik null for vilkårlige verdier 
bare når hvert ledd i summen av integranden forsvinner. Dermed får vi Lagrange-ligningene av den andre typen
.
(63.7)
Det er nyttig å huske at fra å løse problemet med ekstremumet til en funksjon, oppnås et system med endelige ligninger, hvorfra punktet der funksjonen når en ekstremverdi blir funnet. I dette tilfellet har vi å gjøre med en funksjonell, en løsning på ekstremumproblemet, som er gitt av et system av 2. ordens differensialligninger. Fra disse ligningene finnes en linje i konfigurasjonsrommet, definert av funksjonene 
, hvor funksjonaliteten når et minimum. Denne linjen kalles ekstremal.
Siden oppgaven med å konstruere en bestemt mekanisk modell er å kompilere bevegelsesligningene, ser vi at systemets dynamikk faktisk bestemmes av én funksjon - Lagrangian, siden det er denne funksjonen som løser problemet. Dermed er Lagrangian av et system et interessant fysisk objekt, studiet av det er nødvendig i forbindelse med problemer med dynamikk. Spesielt fra prinsippet om minste handling er det klart at funksjonen 
er definert bare opp til tillegg av den totale deriverte av en vilkårlig funksjon av koordinater og tid. Dette må forstås som følger: et system definert av dets bevegelsesligninger tilsvarer mer enn én Lagrange-funksjon 
.
Faktisk, la det være 
Relatert til 
forhold
(64.7)
,
.
Men siden 
,
og derfor Lagrange-ligningene oppnådd ved bruk av funksjonene 
Og 
, samme. Tvetydigheten i definisjonen av Lagrange-funksjonen til formen (64.7) påvirker ikke bevegelsesligningene, men hver 
fra klasse (64.7) løser problemet med å konstruere dynamikken i systemet unikt.
En viktig egenskap ved systemet med Lagrange-ligninger er deres kovarians. Dette betyr at Lagrange-ligningene beholder sin form under punkttransformasjoner av generaliserte koordinater 4
dvs. ved bruk av generaliserte koordinater 
Lagranges ligninger vil ha samme form:
,
som ved bruk av generaliserte koordinater 
:
.
La oss bevise direkte at Lagrange-ligningene er kovariante under transformasjon (65.7). La oss bygge 
:
og derivater
,
1. Kinematikk til et materiell punkt. Et materialpunkt er et fysisk objekt som er geometrisk ekvivalent med et matematisk punkt, men som har masse. Kinematikk er en gren av fysikk som studerer bevegelsestyper av kropper uten å vurdere årsakene til bevegelse. Posisjonen til et punkt i rommet er preget av en radiusvektor. Radiusvektoren til et punkt er en vektor hvis begynnelse sammenfaller med opprinnelsen til koordinatsystemet, og slutten med det aktuelle punktet. r = Jeg x+ j y + k z. Hastighet er avstanden tilbakelagt av en kropp per tidsenhet v(t) = d r/dt. v(t) = Jeg dx/dt + j dy/dt + k dz/dt. Akselerasjon er hastigheten for endring av hastighet. en=d v/dt = d 2 r/ dt 2 = Jeg d 2 x/dt 2 + j d 2 år/dt 2+ k d 2 z/dt 2 . en = en τ + en n= τ dv/dt + n v 2 /R.
d r = v dt; d v = en dt derfor v = v 0 + en t; r = r 2 – r 1 = v 0t+ en t 2/2.
2. Dynamikken til et materiell punkt. Newtons lover. Hovedbegrepene innen dynamikk er begrepet masse og kraft. Kraft er årsaken til bevegelse, dvs. under påvirkning av makt får kroppen fart. Kraft er en vektormengde. Masse er et mål på tregheten til en kropp. Produktet av masse og hastighet kalles momentum s= m v. Vinkelmomentet til et materialpunkt er vektoren L = r * s. Kraftmomentet som virker på et materialpunkt kalles en vektor M = r * F. Hvis vi differensierer uttrykket for vinkelmomentet, får vi: d L/ dt = d r/dt* s + r*d s/dt. Med tanke på at d r/dt= v Og v parallell s, vi får d L/dt= M.Newtons lover. Newtons første lov sier at et legeme forblir i en tilstand av hvile eller jevn lineær bevegelse med mindre andre krefter virker på det eller deres handling blir kompensert. Newtons andre lov sier at endringen i momentum over tid er en konstant størrelse og er lik den effektive kraften d s/ dt = d / dt (m v) = m d v/dt= F.Dette er Newtons andre lov, skrevet i differensialform. Newtons tredje lov sier at i samspillet mellom to legemer, virker hver av dem på den andre med en kraft av samme verdi, men motsatt i retning. F 1 = - F 2 .
3. Dynamikk i et system av materielle punkter. Bevaringslover. Et system av materielle punkter er en samling av et endelig antall av dem. Hvert punkt i systemet påvirkes av interne (fra andre punkter) og eksterne krefter. La m være massen, r i radiusvektoren. x i, y i, z i – ledning. i-te punkt. Impulsen til et system av materielle poeng er summen av impulsene til de materielle punktene som utgjør systemet: s= Σ (i=1,n) s jeg = [ s 1 + s 2 +…+ s n]. Vinkelmomentet til et system av materialpunkter er summen av vinkelmomentet som utgjør systemet av materialpunkter: L = Σ [ L i ] = Σ [ r Jeg* s Jeg]. Kraften som virker på et system av materielle punkter er definert som summen av alle krefter som virker på punktene i systemet, inkludert kreftene for interaksjon mellom punktene i systemet: F = Σ [ F jeg hvor F jeg = F i ’ + Σ(j ≠ i) F ji er kraften som virker på materialets punkt i systemet, angitt av indeksen i. Den består av ytre kraft F i ’ og indre kraft Σ(i ≠ j) [ F ji ], som virker på punktet som et resultat av interaksjon med andre punkter i systemet. Deretter: F = Σ (i=1,n) [ F i ’] + Σ (i=1,n) Σ(j ≠ i) [ F ji]. I følge Newtons tredje lov Σ (i=1,n) Σ(j ≠ i) [ F ji ] = 0, altså F = Σ [ F Jeg']. Kraftmomentet som virker på et system av materielle punkter er summen av kreftmomentene som påføres punktene i systemet M= Σ (i) [ M i ] = Σ (i) [ r Jeg* F i ] = Σ (i) [ r Jeg* F Jeg']. For et system av materialpunkter har bevegelsesligningen formen d s/ dt = Σ = Σ [ F Jeg].
Massesenteret til et system av materialpunkter er et tenkt punkt med en radiusvektor R= 1/m Σ. Hastigheten på bevegelsen hans V=d R/dt. Deretter bevegelsesligningen m d V/dt= F. Momentligning for et system av materialpunkter d L/dt= M. Bevaringslover. Et isolert system er et som ikke påvirkes av ytre krefter. I det F= 0, så d s/dt = 0. Deretter s= konst. I et isolert system, øyeblikket av ytre krefter M= 0. Derfor d L/dt = 0, som betyr L= konst. Endringen i den kinetiske energien til et materialpunkt når det beveger seg mellom to posisjoner er lik arbeidet som utføres av kraften. m 0 v 2 2 /2 – m 0 v 1 2 /2 = ∫(1,2) F d l eller m 0 v 2 /2 + E p = konst.
4. Bevegelse i et sentralt symmetrisk felt. Keplers lover. Et felt kalles sentralt hvis den potensielle energien til et legeme i det bare avhenger av avstanden r til et bestemt fast punkt. Makt F= - ∂U(r)/ ∂ r= - dU/dr r/r som virker på partikkelen, i absolutt verdi avhenger også bare av r og er rettet mot hvert punkt langs radiusvektoren. Når man beveger seg i det sentrale feltet, bevares systemets moment i forhold til midten av feltet. For en partikkel i øyeblikket M = [r*R]. Siden vektorene M og r er innbyrdes perpendikulære, betyr konstansen til M at når en partikkel beveger seg, forblir dens radiusvektor alltid i ett plan - planet vinkelrett på M. Dermed ligger banen til partikkelen i sentralfeltet helt i ett fly. Etter å ha introdusert polare koordinater r, φ i den, skriver vi Lagrange-funksjonen på formen L = m/2 (r 2 (∙) + r 2 φ 2 (∙)) - U(r). Denne funksjonen inneholder ikke eksplisitt φ-koordinaten. For en slik koordinat er den tilsvarende generaliserte impulsen pi integralet av bevegelse. I dette tilfellet faller den generaliserte impulsen p φ = mr 2 φ(∙) sammen med øyeblikket M z = M, så M = mr 2 φ(∙) (1). Legg merke til at for planbevegelsen til en partikkel i et sentralt felt, tillater denne loven en enkel geometrisk tolkning. Uttrykket 1/2 r r d φ representerer arealet av sektoren dannet av to uendelig nære radiusvektorer og bueelementet til banen. Ved å betegne det som df, skriver vi momentet til partikkelen på formen M = 2mf, der den deriverte av f kalles sektorhastigheten. Derfor betyr bevaring av momentum konstant av sektoriell hastighet - i like tidsperioder beskriver radiusvektoren til et bevegelig punkt like områder ( Keplers andre lov). Ved å uttrykke φ(∙) til M fra (1) og erstatte det med uttrykket for energi, får vi: E = m/2 (r 2 (∙) + r 2 φ 2 (∙)) + U(r) = mr 2 (∙ )/2 + M 2 /2mr 2 + U(r). Derfor r(∙) = √(2/m (E – U(r)) - M 2 /m 2 r 2) eller, skille variabler og integrere: t = ∫dr/√(2/m (E – U( r)) - M 2 /m 2 r 2) + konst. Ved å skrive (1) på formen dφ = M 2 /mr 2 dt, erstatte dt her og integrere, finner vi: φ = ∫dr (M/r 2)/√(2/m (E – U(r) ) - M 2 /r 2) + konst. Keplers første lov. Hver planet dreier seg i en ellipse, med Solen ved et av fokusene. Keplers tredje lov. Kvadratene til planetenes omdreiningsperioder er relatert som kubene til de semimajor-aksene til deres baner T 1 2 /T 2 2 = a 1 3 /a 2 3 .
5. Lagrangefunksjon og Lagrange-ligninger av et system av materialpunkter. Integraler av bevegelse. La oss vurdere et lukket system av materielle punkter. Lagrange-funksjonen for den har formen L = Σ(a) – U(r 1 , r 2 , …), der T = Σ (a) er den kinetiske energien, og U er den potensielle energien til partikkelinteraksjon. Da har bevegelsesligningene d/dt (∂L/∂v a) = ∂L/∂r a formen m a dv a /dt = - ∂U/∂r a . Disse bevegelsesligningene kalles Newtons ligninger. Vektor F a = - ∂U/∂r a kalles kraft. Hvis for å beskrive bevegelsen, brukes ikke kartesiske koordinater av punkter, men vilkårlige generaliserte koordinater q i, så for å oppnå den lagrangiske funksjonen er det nødvendig å gjøre den tilsvarende transformasjonen: x a = f(q 1, q 2, .., q s) , x a (∙) = Σ(k ) [∂f a /∂q k (∙)], osv. Ved å erstatte disse uttrykkene i funksjonen L= 1 / 2 Σ(a) – U får vi den ønskede Lagrange-funksjonen til formen L = 1/2 Σ(i,k) – U(q). Integraler av bevegelse. Det er funksjoner med generaliserte koordinater som beholder konstante verdier under bevegelse, bare avhengig av startforholdene. De kalles integraler av bevegelse. På grunn av tidens homogenitet, dL/ dt = Σ(i) [∂L/∂q i q i (∙)] + Σ(i) [∂L/∂q i (∙) q i (∙∙)]. Ved å erstatte ∂L/∂q i i henhold til Lagrange-ligningene med d/dt (∂L/∂q i (∙)), får vi dL/dt = Σ(i) eller d/dt (Σ(i) - L) = 0 Av dette ser vi , at størrelsen E = Σ(i) – L, kalt energi, ikke endres, dvs. integral av bevegelse. På grunn av romhomogeniteten med en infinitesimal overføring ε, når alle punktene i systemet er forskjøvet med ε = δr, må endringen i Lagrange-funksjonen lik δL = ε Σ(a) [∂L/∂r a ] være lik til null, dvs. Σ(a) [∂L/∂r a ] = 0. Ved å bruke Lagrange-ligningene får vi Σ(a) = d/dt (Σ(a)[ ∂L/∂v a ]) = 0. Deretter blir mengden R= Σ(a)[ ∂L/∂v a ], kalt momentum, forblir uendret, dvs. integral av bevegelse. På grunn av rommets isotropi, med en uendelig liten rotasjon gjennom en vinkel δφ, vil endringen i Lagrange-funksjonen lik δL = Σ(a) [∂L/∂r a δ r a + ∂L/∂v a δ v a ] må være lik null. Etter å ha gjort erstatningen ∂L/∂ v a = s a og ∂L/∂ r a = s a (∙) på grunn av vilkårligheten til δφ får vi d/dt Σ(a) [ r en s a ] = 0. Verdi M = Σ(a) [ r en s a ], kalt vinkelmomentum, forblir konstant, dvs. integral av bevegelse.
6. Dynamikken til en absolutt stiv kropp. Treghetstensor. Eulers ligninger. Et stivt legeme er et system av materielle punkter, hvor avstanden mellom disse forblir konstant. For fullt ut å beskrive bevegelsen til en stiv kropp, er det nødvendig, i tillegg til bevegelsen til et av dets punkter, å kjenne kroppens bevegelse rundt dette punktet som et fikseringspunkt. La legemet være fiksert i punktet O. Vi betegner radiusvektoren til punktet m i i forhold til O r Jeg, w er kroppens øyeblikkelige vinkelhastighet, deretter vinkelmomentet L= Σ [ r jeg * m i v i ] = Σ = wΣ – Σ. Denne vektorlikheten kan skrives i form av tre projeksjoner på koordinataksene L x = w x Σ - Σ ; L y = w y Σ - Σ; L z = w z Σ - Σ . Vurderer ( w r i) = x i w x + y i w y + z i w z vi får L x = J xx w x + J xy w y + J xz w z; L y = J yx w x + J yy w y + J yz w z; L x = J zx w x + J zy w y + J zz w z, hvor J xx = Σ, J xy = Σ, andre tilsvarende. Størrelsene J xx , J yy , J zz kalles aksiale treghetsmomenter, og J xy = J yx , J xz = J zx , J yz = J zy – sentrifugale treghetsmomenter. Mengden J ij kalles treghetstensoren. Elementene i J ii kalles diagonal. Hvis alle ikke-diagonale elementer er lik null, sier de at kroppens akser som faller sammen med koordinataksene er treghetsaksene, og mengdene J ii kalles treghetsmomentene. En slik tensor reduseres til diagonal form.
Eulers ligninger. Bevegelsesligningen til kroppens massesenter har formen m d v 0 /dt = m d/dt ( w * r 0) = F, Hvor r 0 - radiusvektor for kroppens massesenter, trukket fra festepunktet. Det er praktisk å rette aksene til koordinatsystemet knyttet til kroppen langs treghetsaksene. I dette tilfellet antar vinkelmomentet den enkle formen L 1 = J 1 w 1, L 2 = J 2 w 2, L 3 = J 3 w 3, og w i er projeksjonene av vinkelhastigheten på koordinataksene som beveger seg med kroppen. Ved å bruke den generelle formelen d EN/dt = ∂ EN/∂t + w* EN, kan vi representere momentligningen som følger ∂ L/∂t + w * L = M. Ta i betraktning at L x = J x w x , L y = J y w y , L z = J z w z , omskriver vi denne ligningen i projeksjoner på aksen til det bevegelige koordinatsystemet: J x dw x /dt + (J z - J y )w y w z = M x , J y dw y /dt + (J x – J z)w z w x = M y , J z dw z /dt + (J y – J x)w x w y = M z . Disse ligningene kalles Eulers ligninger.
7.
Bevegelse i forhold til ikke-treghetsreferansesystemer.
NISO er et system, i en katt. kroppen beveger seg med akselerasjon i forhold til hvile. koordineringssystemer Her er ikke begrepene homogenitet og isotropi av rom og tid oppfylt, fordi varighet og omfang i NISO varierer. I tillegg går innholdet i Newtons 3. prinsipp og prinsippene om bevaring tapt. Årsaken til alt er treghetskreftene som kun er knyttet til koordinatsystemet, kat. påvirke kroppens bevegelser. AT. akselerasjon kan endres ved hjelp av en ekstern kraft eller treghetskraften. F=∑Fi=ma (ISO), F=F(ext.)+Fi=ma′(NISO), der Fi er treghetskraften, a er akselerasjonen. kropper i ISO, a′-akselerasjon. samme kropp i NISO. I NISO er ikke Newtons 1. lov oppfylt! Fi=-m(a′-a), dvs. treghetskrefter følger ikke Newtons 3. lov, pga de er kortvarige. Når du går fra ISO til NISO, forsvinner treghetskrefter. Treghet krefter er alltid rettet mot øyelokkene. eksterne krefter. Treghetskrefter kan legges til vektorielt. I ISO: v=const, v< dx/dt=Ux=dx′/dt+dv(t)/dt′=U′x+v(t) dUx/dt=d/dt′(U′x+v(t))=dU′x/ dt′+dv(t)/dt′=a x ' + a 0 = a x . NISO introduserer begrepene absolutte, relative og bærbare hastigheter: u 0 er den absolutte hastigheten, og 0 er den relative akselerasjonen. hvile koordineringssystemer u x 0 = v + u x 0 '; a x 0 = a’ + a x ; u x ’ a x - relativ hastighet og akselerasjon. bevegelse koordineringssystemer (slektning) ; v, a′-hastighet og akselererte. til′ refererer. til, dvs. bærbar hastighet og akselerasjon Det er en funksjon av generaliserte koordinater, hastighet, tid. Betrakt et 2S dimensjonalt rom, så er posisjonen til systemet S = ∫(t 1 , t 2) L(g, g( ), t)dt, L er Lagrange-funksjonen; S-aksjon. Funksjonen til handlingen kalles itnegral S=∫ Ldt=0, ved kat. tatt langs den sanne bevegelsesbanen, vil systemet ha en minimumsverdi, dvs. S=Smin, δS=0. De. systemet fra 1 til 2 beveger seg langs en slik bane at handlingen er minimal - Hamiltons prinsipp om minste handling. L = T – U er forskjellen mellom den kinetiske og potensielle energien til systemet. Ifølge Hamilton tilsvarer den faktiske banen minimumshandlingen. La oss finne banen. Den faktiske banen er minimumsbanen. S-funksjonell. La oss finne det min. δS = 0 første variasjon. δS = ∫(t 1,t 2)(Σ[∂L/∂g i δgi] + Σ[∂L/∂g i ( ) δgi ( )])dt; ∫(t 1 ,t 2) ∂L/∂g i ( ) δg i ( ) dt = ∫(t 1 ,t 2) ∂L/∂g i ( ) dδg i = ∂L/∂g i ( )δg i (t 1,t 2) - ∫(t 1,t 2) δg i d/dt (∂L/∂g i ( )) dt; δg jeg er ikke avhengig av hverandre 9.
Svingninger av systemer med én og mange frihetsgrader. Frie og tvungne vibrasjoner
.
Det enkleste tilfellet er når systemet har én frihetsgrad. Stabil likevekt tilsvarer denne posisjonen til systemet, i katten. dens potensial no. U(q) har et minimum. Avvik fra denne posisjonen fører til fremveksten av en kraft - dU/dq, som har en tendens til å returnere systemet tilbake. q 0 - generalisert koordinat. La oss utvide U(q) - U(q0) til potenser og få U(q) - U(q0) ≈ k/2 (q - q 0) 2 der k = U’’(q 0) er en positiv koeffisient. U(q 0) = 0, la oss betegne x = q - q 0 - avvik av koordinaten fra likevektsverdien, så U(x) = kx 2 /2 - potensiell energi. 1/2a(q) q' 2 =1/2a(q)x' 2 -kinetisk energi ved q = q0 og a(q0) = m får vi Lagrange-funksjonen for et system som utfører endimensjonale oscillasjoner: L = mx 2 (∙) /2 – kx 2 /2. Bevegelsesligningen som tilsvarer denne funksjonen vil være: mx(∙∙) + kx = 0 eller x(∙∙) + w 2 x = 0, hvor w = √(k/m) er den sykliske oscillasjonsfrekvensen. Løsningen på disse ligningene er x = a cos(wt + α) hvor a er amplituden til svingninger, wt + α er fasen til svingningene. At. energien til systemet som oscillerer vil være E = mx 2 (∙)/2 + kx 2 /2. Tvungede vibrasjoner. I dette tilfellet, sammen med sin egen potensielle energi ½ kx 2, har systemet også potensiell energi U e (x, m) assosiert med virkningen av det ytre feltet. Følgelig vil Lagrange-funksjonen til et slikt system være: L = mx 2 (∙)/2 + kx 2 /2 + x F(t), hvor F(t) er den ytre kraften. Det tilsvarende bevegelsesnivået vil være mx(∙∙) + kx = F(t), eller x(∙∙) + w 2 x = F(t)/m. Hvis F(t) er en enkel periodisk funksjon av tid med en viss frekvens γ: F(t) = f cos(γt + β) så vil løsningen på bevegelsesligningene være: X = a cos(wt + α) + f cos(γt + β)/(m(w 2 – γ 2)) a og α bestemmes ut fra startbetingelsene. At. under påvirkning av en drivkraft gjør systemet en bevegelse som representerer en kombinasjon av to svingninger - med egenfrekvensen til systemet w og med frekvensen til drivkraften - γ. Svingninger av systemer med mange frihetsgrader
.
Mektig. no. system U(q i) har et minimum ved q i =q i 0 . Ved å introdusere små forskyvninger x i = q i - q i 0 og utvide U i form av dem, opp til 2. ordens ledd, får vi potensialet. energi: U = 1/2 Σ(i,k) , k ik =k ki . Kinet. no. for et slikt system vil det være 1/2 Σ(i,k) , hvor m ik =m ki . Lagrange-ligningen for et slikt system vil være: L = 1/2 Σ(i,k) . Da er dL = Σ(i,k) . Vi ser etter x k (t) på formen x k = A k exp(-iwt), A k er en konstant. Ved å erstatte dette med Lagrange-ligningen får vi et system med lineære homogene ligninger. Σ(k) [(-w 2 m ik +k ik)A k ] = 0 - karakteristisk ligning, den har s forskjellige røtter w 2 α (α=1,2,….,s) w α - egenfrekvenser på systemet. En spesiell løsning av systemet har formen: x k = ∆ kα C α exp(-iw α t). Den generelle løsningen er summen av alle partielle løsninger: x k = Σ(α) [∆ kα Q α ], hvor Q = Re (C α exp(-iw α t)). 10.
Hamiltons kanoniske ligning.
En rekke fordeler ved å studere spørsmål om mekanikk er gitt av beskrivelsen ved bruk av generaliserte koordinater og impulser, overgangen fra ett sett med uavhengige variabler til et annet kan oppnås ved hjelp av Legendre-transformasjonen. I dette tilfellet kommer det ned til følgende. Den totale differensialen til Lagrange-funksjonene som en funksjon av koordinater og hastigheter er lik: dL = Σ(i) [∂L/∂q i ] + Σ(i) [[∂L/∂q i (∙)]. Dette uttrykket kan skrives som dL = Σ(i) + Σ(i) . La oss omskrive det i formen: d(Σ(i) – L) = - Σ(i) + Σ(i) . Mengden under differensialtegnet representerer energien til systemet uttrykt i form av koordinater og momenta og den kalles Hamilton-funksjonen: H(p,q,t) = Σ(i) – L. Fra differensialen. likheter dH = - Σ(i) + Σ(i) følger ligningene: q i (∙) = ∂H/∂pi, p i (∙) = - ∂H/∂q i – dette er Hamiltons likninger. På grunn av sin enkelhet og symmetri kalles de også. kanonisk. Poisson-braketter. Tidsderiverten til enhver funksjon F av generaliserte koordinater, impulser og tid vil være dF/dt = ∂F/∂t + Σ(i) [∂F/∂q i dq i /dt] + Σ(i) [∂F/ ∂p i dp i /dt]. Ved å bruke Hamiltons ligninger kan vi omskrive denne ligningen i følgende form: dF/dt = ∂F/∂t + , hvor = Σ(i) [∂F/∂q i ∂H/∂p i - ∂H/∂q i ∂F /∂ p i ] - kalt Poisson brakett. Åpenbart kan Hamiltons ligning skrives ved hjelp av Poisson-parenteser. 11.
Hamilton–Jacobi-ligningen
.
Ved prinsippet om minste handling har vi S = ∫(t 1 ,t 2)Ldt. La oss betrakte handlingen (S) som en størrelse som karakteriserer bevegelse langs sanne baner. Basert på Lagrange-ligningen for å endre handlingen når man beveger seg fra en bane til en annen bane nær den (ved én frihetsgrad), får vi: δS = pδq eller for et hvilket som helst antall frihetsgrader: δS = Σ(i) . Det følger at de partielle deriverte av handlingen med hensyn til koordinater er lik de tilsvarende impulsene: ∂S/∂q i = p i (1). Per definisjon er dS/dt = L, på den annen side, med tanke på S som en funksjon av koordinater og tid og ved å bruke formel (1) har vi: dS/dt = ∂S/∂t + Σ(i) [∂S/ ∂q i q i (∙)] = ∂S/∂t + Σ(i) . Ved å sammenligne begge uttrykkene får vi ∂S/∂t = L - Σ(i) eller ∂S/∂t = - H(p,q,t) (2). Formler (1), (2) kan skrives sammen som dS = Σ(i) – Hdt. Og selve handlingen (S) vil være S = ∫ (Σ(i) – Hdt). Når H er uavhengig av t – S(q,t)=S 0 (q) - Et, hvor S 0 (q) = Σ(i) [∫p i dq i ] er en forkortet handling og Et erstattes med H( p,q). Funksjonen S(q,t) tilfredsstiller en viss differensial. ligning som vi får ved å erstatte pulsene P i relasjon (2) med de deriverte ∂S/∂q: ∂S/∂t + H(∂S/∂q 1 ,…, ∂S/∂q s ;q 1 ,… ,q s ,t) = 0 er en 1. ordens partiell differensialligning kalt. Hamilton-Jacobi-ligningen. For én partikkel i et eksternt felt U(x,y,z,t) har den altså formen: ∂S/∂t + 1/(2m)((∂S/∂x) 2 + (∂S/∂ y) 2 + (∂S/∂z) 2) + U(x,y,z,t) = 0. 12.
Deformasjoner og spenninger i faste stoffer. Youngs moduli, skjær. Poissons forhold
.
Deformasjon er en endring i formen og volumet til en kropp under påvirkning av ytre krefter. Under påvirkning av ytre kraft endres kroppens form. Alle deformasjoner i naturen kan reduseres til 3 m hoveddeformasjoner: 1) spenning, kompresjon; 2) skifte; 3) torsjon. Det er homogene og inhomogene deformasjoner. Hvis alle deler er deformert likt, så dette homogent deformert. Hvis alle deler av kroppen er deformert ulikt, så dette heterogent deformert. Hookes lov er oppfylt i området kun elastisk deformasjon. = E’. F/S = E ∆l/l 0 ; F-kontroll = ES∆l/l 0 = kx; k = ES/10; F-kontroll = ESx/l 0 . Hookes lov definerer forholdet mellom og . k er elastisitetskoeffisienten, den avhenger av de geometriske dimensjonene, materialet og hva kroppen er laget av. E-Youngs modul. Youngs modul er lik kraften som må påføres en kropp med enhetstverrsnitt for at kroppen skal dobles i størrelse. En annen type deformasjon er skjærdeformasjon, som observeres når overflaten påføres tangentielt; den er parallell med skjærdeformasjonsoverflaten og observeres under påvirkning av tangentielle krefter, det vil si at kreftene påføres tangentielt. Ψ~F t /S (forskyvningsvinkel). Ψ = nFt/S; n er skiftkoeffisienten. F t = nS. (E>N, E~ 4N). 13.
Mekanikk for væsker og gasser.
For alle væsker og gasser er den samlende parameteren: tetthet ρ, trykk P=F n /S. I væsker og gasser finner Youngs modul sted, men skjærmodul |σ|=|P| finner ikke sted, σ er spenning. Hvis væsken (gassen) er ubevegelig, har vi å gjøre med hydrostatikk (aerostatikk). Karakteristiske lover: Pascals lov: overtrykk skapt i gasser og væsker overføres likt i alle retninger. Arkimedes prinsipp gjelder både for væsker og gasser. Arkimedes' kraft virker alltid mot tyngdekraften. Årsaken til at Arkimedes-kraften oppstår er tilstedeværelsen av volum V i kroppen. Arkimedes prinsipp: Et legeme som befinner seg i en væske eller gass påvirkes alltid av en kraft lik vekten av væsken eller gassen som fortrenges av nedsenket del av kroppen, og rettet vertikalt oppover. Hvis F A >F GRAVITY, så flyter kroppen, hvis tvert imot, så synker den. Hvis væsken (gassen) strømmer, blir jetkontinuitetsligningen lagt til disse ligningene. Banen til en partikkel i en væske kalles. gjeldende linje. Den delen av plassen som begrenses av gjeldende linje kalles. nåværende rør. Væsken i det aktuelle røret kan strømme stasjonært eller ikke-støt. Strømmen kalles statisk hvis det gjennom en gitt seksjon av røret er strøm per enhet. tid passerer samme mengde væske (gass), ellers er strømmen ustø. La oss ha et strømrør av følgende form: Hvis væskestrømmen er statisk. Da er m 1 =m 2 =…=m n per tidsenhet, hvis væsken er inkompressibel, så ρ 1 V 1 =ρ 2 V 2 =…; =ρ n Vn, ρ 1 Δx 1 = ρ 2 Δx 2 =…; = ρ n Δx n, ρ 1 υ 1 ΔtS 1 =ρ 2 υ 2 ΔtS 2 =…= ρ n υ n ΔtS n, siden væsken er inkompressibel ρ er konstant υ 1 S 1 =υ 2 S 2 nSn, υS=konst; υ=const/S – jetkontinuitetsligning. ρ d v/dt = ρ g– grad P – ekv. Euler - 2. orden. Newton for væsker og gasser. Loven bevart Energi i væsker og gasser. Lv. Bernoulli. ID. Navn En inkompressibel væske der viskøse friksjonskrefter kan neglisjeres. Kinetisk energi er ikke bortkastet på å arbeide mot friksjonskrefter. Ρυ 2 /2+ρgh + P = const – ekv. Bernoulli, ρυ 2 /2 – dynamisk trykk, ρgh – hydrostat. Trykk, P – molekylært trykk. Mυ2/2 = EK; mυ 2 /2V= E K /V= ρυ 2 /2. Viskøs friksjonskraft F A = - ηΔυΔS/ΔZ 6 π r η υ – Stokes kraft. Η - koeffisient viskositet, Δυ/ΔZ – grad υ, r – kroppsdimensjoner. Dette er Newtons formel for viskøse friksjonskrefter. Hvis det er friksjonskrefter i væsken, så id. Væsken blir tyktflytende. ρ v 1 2 /2 + ρgh 1 + P 1 = ρ v 2 2 /2 + ρgh 2 + P 2; (P 1 – P 2) = ρ(υ 2 2 – υ 1 2)/2. Hvis ΔP = 0, så vil υ 2 2 – υ 1 2 = 0, og det vil ikke være noen væskestrøm. Der P er større, er det hastighet. Det er mindre strøm. Hvis tverrsnittet S øker, øker P og υ avtar. Hvis strømrøret ikke ligger horisontalt, så υ 2 2 -υ 1 2 =2g (h 1 -h 2); υ = sqrt(2g (h 1 -h 2)) – Torricellis formel. Baner som beskriver bevegelsen til mekaniske systemer i utvidet konfigurasjon og faserom har en bemerkelsesverdig egenskap - de er ekstremaler av et eller annet variasjonsproblem og leverer stasjonære verdier til handlingsfunksjonen. La oss vurdere formuleringen av variasjonsproblemet i det utvidede konfigurasjonsrommet R"*", hvis poeng er settene (q, ().
La kurven y„ = ((q, t): q e Rt e, 5q(/0)= 8q(/,) = 0). Variasjon 8q(/) er en vilkårlig funksjon fra klasse C1 som forsvinner ved endene av segmentet = 0. En første variant av funksjonalitet Sy når y = y 0 ifølge definisjonen er det lik og etter integrering av deler tar formen Det ekstra-intrinsiske begrepet i uttrykk (2.3) forsvinner, fordi bq k (t 0) = bq k (t y) = 0, Til - 1.....l, og uttrykket er i kvadrat i parentes under integrertegnet er lik null, siden 0 er en reell bane som tilfredsstiller Lagrange-ligningene (2.1). Derfor er variasjon 55(y 0) = 0. ? Det motsatte utsagnet er også sant: hvis variasjonen 65(y*) = 0, hvor y* tilhører klassen av rundkjøringsbaner, så er y* = y 0 en reell bane. Gyldigheten av dette utsagnet følger av uttrykket til den første variasjonen (2.3) og hovedlemmaet i variasjonsregningen. I dette tilfellet, fra likheten til null for den første variasjonen og uavhengighet av variasjoner 6 til - 1, ..., gyldigheten av Lagrange-ligninger av den andre typen l, det følger at det er sant Når q k = q k *(t), k= 1.....l. Dette betyr at y* er den faktiske banen til det mekaniske systemet. 3.1. Når det gjelder et ikke-konservativt system, er det umulig å indikere en funksjon hvis stasjonære verdi ble oppnådd på den faktiske banen. I dette tilfellet er imidlertid følgende utsagn likeverdige: hvor q(/) er den faktiske banen. Den første av utsagnene ovenfor utgjør innholdet i Hamilton-Ostrogradsky-variasjonsprinsippet for ikke-konservative systemer. 3.2. Det kan vises at den stasjonære verdien av handlingsfunksjonen er et minimum hvis forskjellen - / 0 er liten nok. Denne omstendigheten er assosiert med et annet navn for prinsippet under diskusjon - Hamilton-Ostrograd-prinsippet om minste handling. Variasjonsproblemet vurdert ovenfor kan formuleres i et utvidet faserom, noe som viser seg å være viktig når man vurderer spørsmål om integrerbarhet av Hamiltons kanoniske ligninger. La oss betegne med Г = ((р + 6р. q + 8q, Jeg): p, q, 6p. 6q e R",te[r 0 , /,]. 5q(/ 0)= 8q(/|) = 0) kurve i det utvidede faserommet og la ved 8p = 8q = 0 kurven Г 0 være en løsning på systemet med kanoniske Hamilton-ligninger Alle tidsfunksjoner tilhører klasse C 1. Dermed er det definert en familie av rundkjøringsbaner (G), som selve banen G 0 tilhører (fig. 46). Den funksjonelle handlingen, som tar hensyn til forbindelsen mellom Lagrange- og Hamilton-funksjonene, tar formen Her brukes bokstavene p, q for korthets skyld i stedet for bokstavene p + 8p, q + 8q. Ved å beregne variasjonen til den funksjonelle S[Г] på den virkelige banen, får vi Integrering ved at deler tar hensyn til grensebetingelsene, finner vi Det følger at variasjonen 85|Г 0 1 = 0 hvis p(/), q(f) tilfredsstiller de kanoniske Hamilton-ligningene (2.4), og. tvert imot, fra betingelsen om uavhengighet av variasjonene 8p(r), følger 6q(/)-ligningene (2.4) i henhold til hovedlemmaet til variasjonsregningen. Dermed er gyldigheten av prinsippet om minste handling i faserommet til systemet bevist: den funksjonelle handlingen 5[Г], gitt på rommet til rundkjøringsbaner (Г|. tar en stasjonær verdi på den faktiske banen, dvs. 85[Г 0 1 = 0. Ris. 46 Da jeg først lærte om dette prinsippet, hadde jeg en følelse av en slags mystikk. Det ser ut til at naturen på mystisk vis går gjennom alle mulige bevegelsesveier til systemet og velger den beste. I dag vil jeg snakke litt om et av fysikkens mest bemerkelsesverdige prinsipper - prinsippet om minste handling. Når det reflekteres, beveger lyset seg også på en slik måte at det kommer seg fra ett punkt til et annet på kortest mulig måte. På bildet vil den korteste veien være den grønne banen, hvor innfallsvinkelen er lik refleksjonsvinkelen. Enhver annen vei, for eksempel rød, vil være lengre. I 1662 foreslo Pierre Fermat at lyshastigheten i tett materie, som glass, er mindre enn i luft. Før dette var Descartes sin versjon generelt akseptert, ifølge at lyshastigheten i materie må være større enn i luft for å få den riktige brytningsloven. For Fermat virket antakelsen om at lys kunne bevege seg raskere i et tettere medium enn i et sjeldne medium unaturlig. Derfor antok han at alt var nøyaktig det motsatte og viste seg å være en fantastisk ting - med denne antagelsen brytes lyset på en slik måte at det når målet på minimum tid. Alle disse fakta antydet at naturen opptrer på en rasjonell måte, lys og kropper beveger seg på den mest optimale måten, og bruker så liten innsats som mulig. Men hva slags innsats dette er og hvordan man beregner dem forble et mysterium. I 1744 introduserte Maupertuis begrepet "handling" og formulerte prinsippet der den sanne banen til en partikkel skiller seg fra alle andre ved at handlingen for den er minimal. Maupertuis selv var imidlertid aldri i stand til å gi en klar definisjon av hva denne handlingen går ut på. En streng matematisk formulering av prinsippet om minste handling ble allerede utviklet av andre matematikere - Euler, Lagrange, og ble til slutt gitt av William Hamilton: Så hvordan bør du kjøre for å komme til bestemmelsesstedet til nøyaktig avtalt tid og bruke så lite drivstoff som mulig? Det er klart at du må gå i en rett linje. Ettersom den tilbakelagte distansen øker, vil ikke mindre drivstoff forbrukes. Og så kan du velge forskjellige taktikker. Du kan for eksempel raskt komme frem til punktet på forhånd og bare sitte og vente til tiden kommer. Kjørehastigheten, og dermed drivstofforbruket i hvert øyeblikk, vil være høy, men kjøretiden vil også reduseres. Kanskje blir ikke det totale drivstofforbruket så stort. Eller du kan kjøre jevnt, med samme hastighet, slik at du, uten å forhaste deg, kommer nøyaktig i tide. Eller kjør en del av veien fort, og del saktere. Hva er den beste veien å gå? Det viser seg at den mest optimale og mest økonomiske måten å kjøre på er å kjøre med konstant hastighet, slik at du ankommer destinasjonen til nøyaktig avtalt tid. Ethvert annet alternativ vil forbruke mer drivstoff. Du kan sjekke det selv ved å bruke flere eksempler. Årsaken er at drivstofforbruket øker med kvadratet på hastigheten. Derfor, når hastigheten øker, øker drivstofforbruket raskere enn kjøretiden reduseres, og det totale drivstofforbruket øker også. Så vi fant ut at hvis en bil i hvert øyeblikk bruker drivstoff i forhold til dens kinetiske energi, så er den mest økonomiske måten å komme seg fra punkt til punkt på nøyaktig det fastsatte tidspunktet å kjøre jevnt og i en rett linje, nøyaktig måten en kropp beveger seg på i fravær av krefter som virker på den Enhver annen kjøremetode vil resultere i høyere totalt drivstofforbruk. Drivstofforbruket i hvert øyeblikk er lik den kinetiske energien minus den potensielle energien til bilen (minus potensiell energi, fordi den installerte enheten produserer drivstoff og ikke bruker det). Nå blir oppgaven vår med å flytte bilen mellom punkter så effektivt som mulig, vanskeligere. Rettlinjet jevn bevegelse viser seg ikke å være den mest effektive i dette tilfellet. Det viser seg at det er mer optimalt å få litt høyde over havet, bli der en stund, bruke mer drivstoff og så gå ned til pek . Med riktig flybane vil den totale drivstoffproduksjonen på grunn av stigningen dekke ekstra drivstoffkostnader for å øke lengden på banen og øke hastigheten. Hvis du regner nøye, vil den mest økonomiske måten for en bil være å fly i en parabel, langs nøyaktig samme bane og med nøyaktig samme hastighet som en stein ville fly i jordens gravitasjonsfelt. En analog av den totale mengden drivstoff som forbrukes under hele bevegelsesperioden, dvs. den lagrangiske verdien akkumulert over hele bevegelsestiden kalles "handling". Prinsippet om minste handling er at kroppen beveger seg på en slik måte at handlingen (som avhenger av bevegelsesbanen) er minimal. Samtidig må vi ikke glemme at start- og sluttbetingelsene er spesifisert, d.v.s. hvor kroppen er i tidens øyeblikk og i tidens øyeblikk. I dette tilfellet trenger ikke kroppen nødvendigvis å bevege seg i et jevnt gravitasjonsfelt, som vi vurderte for bilen vår. Helt andre situasjoner kan vurderes. En kropp kan svinge på et strikk, svinge på en pendel eller fly rundt solen, i alle disse tilfellene beveger den seg på en slik måte at det "totale drivstofforbruket" minimeres, dvs. handling. Hvis et system består av flere legemer, vil Lagrangian til et slikt system være lik den totale kinetiske energien til alle legemer minus den totale potensielle energien til alle legemer. Og igjen vil alle kropper bevege seg i samspill slik at effekten av hele systemet under en slik bevegelse er minimal. La oss for eksempel ta en ball og plassere den på et tomt rom. I et stykke fra den vil vi plassere en elastisk vegg. La oss si at vi vil at ballen skal havne på samme sted etter en tid. Under disse gitte forholdene kan ballen bevege seg på to forskjellige måter. For det første kan den bare holde seg på plass. For det andre kan du skyve den mot veggen. Ballen vil fly til veggen, sprette av den og komme tilbake. Det er tydelig at du kan presse den i en slik hastighet at den kommer tilbake til akkurat rett tid. Hvordan kan vi redde prinsippet om minste handling slik at det er gyldig i slike situasjoner? Vi snakker om dette i.8. Hamiltons variasjonsprinsipp. (prinsippet om minste handling).
;
=0
på den faktiske banen må følgende ligning være oppfylt: 
- Lagrange-ligning (for enhver i= 1,...S).
Det kvantitative forholdet mellom E og N spesifiseres gjennom Poissons forhold. N = E/(2(1+μ)), hvor er Poissons forhold. μ = |∆d/d 0 |/|∆l/l 0 |. Poissons forhold bestemmer endringen i tverrgående dimensjoner under strekk eller kompresjon. 0,5.
Bakgrunn
Siden Galileos tid har det vært kjent at kropper som ikke påvirkes av noen krefter, beveger seg i rette linjer, det vil si langs den korteste veien. Lysstråler beveger seg også i rette linjer. 
Dette er lett å bevise ved ganske enkelt å reflektere banene til strålene på motsatt side av speilet. De vises med stiplede linjer på bildet. 
Det kan sees at den grønne banen ACB går over til rett ACB'. Og den røde banen blir til en brutt linje ADB’, som selvfølgelig er lengre enn den grønne. 
Igjen viser den grønne fargen banen som lysstrålen faktisk beveger seg langs. Ruten merket med rødt er den korteste, men ikke den raskeste, fordi lyset har en lengre vei å reise gjennom glasset og er tregere der. Den raskeste banen er den faktiske banen til lysstrålen. 
I matematisk språk er prinsippet om minste handling formulert ganske kort, men ikke alle lesere forstår kanskje betydningen av notasjonen som brukes. Jeg vil prøve å forklare dette prinsippet klarere og enklere. Fri kropp
Så forestill deg at du sitter i en bil på et tidspunkt, og i øyeblikket får du en enkel oppgave: i det øyeblikket må du kjøre bilen til punktet. 
Drivstoff til en bil er dyrt, og du vil selvfølgelig bruke så lite som mulig av det. Bilen din er laget ved hjelp av de nyeste superteknologiene og kan akselerere eller bremse så raskt du vil. Den er imidlertid utformet på en slik måte at jo fortere den går, jo mer drivstoff bruker den. Dessuten er drivstofforbruket proporsjonalt med kvadratet på hastigheten. Kjører du dobbelt så fort vil du forbruke 4 ganger mer drivstoff i samme tidsrom. I tillegg til hastighet, påvirkes selvfølgelig også drivstofforbruket av kjøretøyets vekt. Jo tyngre bilen vår, jo mer drivstoff bruker den. Bilens drivstofforbruk i hvert øyeblikk er likt, dvs. nøyaktig lik den kinetiske energien til bilen. I tyngdefeltet
La oss nå forbedre bilen vår litt. La oss feste jetmotorer til den slik at den kan fly fritt i alle retninger. Generelt forble designet det samme, så drivstofforbruket forble igjen strengt proporsjonalt med bilens kinetiske energi. Hvis nå oppgaven er gitt å fly fra et punkt på et tidspunkt og komme til et punkt på et tidspunkt, så vil den mest økonomiske måten, som før, selvfølgelig være å fly jevnt og rettlinjet for å avslutte opp på et tidspunkt på nøyaktig fastsatt tidspunkt. Dette tilsvarer igjen den frie bevegelsen til en kropp i tredimensjonalt rom. 
Imidlertid ble det installert en uvanlig enhet i den nyeste bilmodellen. Denne enheten kan produsere drivstoff bokstavelig talt fra ingenting. Men designet er slik at jo høyere bilen er, jo mer drivstoff produserer enheten til enhver tid. Drivstoffproduksjonen er direkte proporsjonal med høyden bilen befinner seg i. Dessuten, jo tyngre bilen er, desto kraftigere er enheten installert på den og jo mer drivstoff produserer den, og produksjonen er direkte proporsjonal med bilens vekt. Enheten viste seg å være slik at drivstoffproduksjonen er nøyaktig lik (hvor er akselerasjonen av fritt fall), dvs. potensiell energi til bilen. 
Det er verdt å gjøre en avklaring her. Selvfølgelig kan du kaste en stein fra et punkt på mange forskjellige måter slik at den treffer punktet. Men du må kaste den på en slik måte at den, etter å ha tatt av fra punktet i tidspunktet, treffer punktet nøyaktig i tidspunktet. Det er denne bevegelsen som vil være den mest økonomiske for bilen vår. Lagrangefunksjon og prinsippet om minste handling
Nå kan vi overføre denne analogien til virkelige fysiske kropper. En analog av drivstofforbruket for kropper kalles Lagrange-funksjonen eller Lagrangian (til ære for Lagrange) og er betegnet med bokstaven . Lagrangian viser hvor mye "drivstoff" en kropp bruker på et gitt tidspunkt. For en kropp som beveger seg i et potensielt felt, er Lagrangian lik dens kinetiske energi minus den potensielle energien. Ikke så enkelt
Egentlig jukset jeg litt ved å si at kropper alltid beveger seg på en måte som minimerer handling. Selv om dette er sant i mange tilfeller, er det mulig å tenke på situasjoner der handlingen tydeligvis ikke er minimal. 
Begge alternativene for bevegelse av ballen er mulige, men handlingen i det andre tilfellet vil være større, fordi hele denne tiden vil ballen bevege seg med ikke-null kinetisk energi.
