dom › Sprzęt elektryczny › Przed tobą jest troje drzwi. Paradoks Monty'ego Halla - wyjaśnienie wzrostu prawdopodobieństwa wyboru

Przed tobą jest troje drzwi. Paradoks Monty'ego Halla - wyjaśnienie wzrostu prawdopodobieństwa wyboru

O loteriach

Ta gra od dawna stała się powszechna i stała się integralną częścią Nowoczesne życie. I choć loteria coraz bardziej poszerza swoje możliwości, wiele osób nadal postrzega ją jedynie jako sposób na wzbogacenie się. Może nie być darmowy i niezawodny. Z kolei, jak zauważył jeden z bohaterów Jacka Londona, w hazard Nie można ignorować faktów – czasem ludziom się poszczęści.

Matematyka przypadku. Historia teorii prawdopodobieństwa

Aleksander Bufetow

Transkrypcja i nagranie wideo wykładu doktora nauk fizycznych i matematycznych, prowadzącego pracownik naukowy Instytut Matematyczny Steklov, wiodący pracownik naukowy Instytutu Problemów Przemysłowych Rosyjskiej Akademii Nauk, profesor na Wydziale Matematyki Wyższej Szkoły Ekonomicznej, dyrektor ds. Badań Centrum Narodowe badania naukowe we Francji (CNRS) przez Aleksandra Bufetowa, wygłoszony w ramach cyklu „Wykłady publiczne „Polit.ru”” w dniu 6 lutego 2014 r.

Iluzja regularności: dlaczego przypadkowość wydaje się nienaturalna

Nasze wyobrażenia o tym, co przypadkowe, naturalne i niemożliwe, często nie zgadzają się z danymi statystycznymi i teorią prawdopodobieństwa. W książce „Niedoskonały przypadek. Jak przypadek rządzi naszym życiem” – amerykański fizyk i popularyzator nauki Leonard Mlodinow opowiada o tym, dlaczego losowe algorytmy wyglądają tak dziwnie, jaki jest haczyk w „losowym” losowym przesuwaniu utworów na iPodzie i od czego zależy szczęście analityka giełdowego. W „Teoriach i Praktykach” publikujemy fragment książki.

Determinizm

Determinizm jest ogólną koncepcją naukową i doktryna filozoficzna o przyczynowości, prawidłowości, powiązaniach genetycznych, interakcji i warunkowości wszystkich zjawisk i procesów zachodzących w świecie.

Bóg jest statystyką

Deborah Nolan, profesor statystyki na Uniwersytecie Kalifornijskim w Berkeley, prosi swoich studentów o wykonanie bardzo dziwnego na pierwszy rzut oka zadania. Pierwsza grupa musi rzucić sto razy monetą i zapisać wynik: orzeł lub reszka. Druga musi wyobrazić sobie, że rzuca monetą - a także sporządzić listę setek „wyimaginowanych” wyników.

Co to jest determinizm

Jeśli znane są warunki początkowe układu, można, korzystając z praw natury, przewidzieć jego stan końcowy.

Problem wybrednej panny młodej

Huseyn-Zade S. M.

Paradoks Zenona

Czy możliwe jest przedostanie się z jednego punktu w przestrzeni do drugiego? Starożytny grecki filozof Zenon z Elei uważał, że ruchu w ogóle nie da się osiągnąć, ale jak to uzasadnił? Colm Keller opowie o tym, jak rozwiązać słynny paradoks Zenona.

Paradoksy zbiorów nieskończonych

Wyobraź sobie hotel z nieskończoną liczbą pokoi. Przyjeżdża autobus z nieskończoną liczbą przyszłych gości. Jednak umieszczenie ich wszystkich nie jest takie proste. To niekończący się kłopot, a goście są nieskończenie zmęczeni. A jeśli nie poradzisz sobie z zadaniem, możesz stracić nieskończoną ilość pieniędzy! Co robić?

Zależność wzrostu dziecka od wzrostu rodziców

Młodzi rodzice oczywiście chcą wiedzieć, ile wzrostu będzie miało ich dziecko, gdy dorośnie. Statystyka matematyczna może zaoferować prostą liniową zależność przybliżającą wzrost dzieci na podstawie wyłącznie wzrostu ojca i matki, a także wskazać dokładność takiego oszacowania.

Paradoks Monty'ego Halla jest prawdopodobnie najbardziej znanym paradoksem w teorii prawdopodobieństwa. Istnieje wiele jego odmian, na przykład paradoks trzech więźniów. Istnieje wiele interpretacji i wyjaśnień tego paradoksu. Ale tutaj chciałbym podać nie tylko formalne wyjaśnienie, ale pokazać „fizyczne” podstawy tego, co dzieje się w paradoksie Monty'ego Halla i innych mu podobnych.

Klasyczna formuła to:

„Jesteś uczestnikiem gry. Przed tobą jest troje drzwi. Dla jednego z nich jest nagroda. Gospodarz zaprasza do odgadnięcia, gdzie znajduje się nagroda. Wskazujesz na jedne z drzwi (losowo).

Sformułowanie paradoksu Monty'ego Halla

Gospodarz wie, gdzie właściwie znajduje się nagroda. Nie otworzył jeszcze drzwi, które wskazałeś. Ale otwiera przed tobą jeszcze jedne z pozostałych drzwi, za którymi nie ma nagrody. Pytanie brzmi, czy zmienić swój wybór, czy pozostać przy poprzedniej decyzji?

Okazuje się, że jeśli po prostu zmienisz swoje wybory, Twoje szanse na wygraną wzrosną!

Paradoks sytuacji jest oczywisty. Wydaje się, że wszystko, co się dzieje, jest przypadkowe. Nie ma znaczenia, czy zmienisz zdanie, czy nie. Ale to nieprawda.

„Fizyczne” wyjaśnienie natury tego paradoksu

Na początek nie wchodźmy w matematyczne subtelności, ale po prostu spójrzmy na sytuację z otwartym umysłem.

W tej grze robisz to tylko jako pierwszy losowy wybór. Następnie prezenter ci o tym mówi Dodatkowe informacje , co pozwala zwiększyć swoje szanse na wygraną.

W jaki sposób prezenter przekazuje Ci dodatkowe informacje? Bardzo prosta. Pamiętaj, że się otwiera żaden drzwi.

Dla uproszczenia (choć jest w tym element oszustwa) rozważmy bardziej prawdopodobną sytuację: wskazałeś drzwi, za którymi nie ma nagrody. Następnie za jednymi z pozostałych drzwi znajduje się nagroda Jest. Oznacza to, że prezenter nie ma wyboru. Otwiera bardzo specyficzne drzwi. (Wskazałeś na jedno, za drugim kryje się nagroda, zostały tylko jedne drzwi, które lider może otworzyć.)

To właśnie w tym momencie znaczącego wyboru przekazuje ci informacje, które możesz wykorzystać.

W w tym przypadku wykorzystanie informacji polega na zmianie decyzji.

Nawiasem mówiąc, twój drugi wybór też już jest nie przypadkowe(a raczej nie tak losowy jak pierwszy wybór). Przecież wybierasz spośród zamkniętych drzwi, ale jedne są już otwarte i tyle nie arbitralne.

Właściwie po tych rozważaniach możesz mieć wrażenie, że lepiej zmienić swoją decyzję. To prawda. Pokażmy to bardziej formalnie.

Bardziej formalne wyjaśnienie paradoksu Monty'ego Halla

W rzeczywistości twój pierwszy, losowy wybór dzieli wszystkie drzwi na dwie grupy. Za wybranymi przez Ciebie drzwiami kryje się nagroda z prawdopodobieństwem 1/3, za pozostałymi dwoma - z prawdopodobieństwem 2/3. Teraz lider dokonuje zmiany: otwiera jedne drzwi w drugiej grupie. I teraz całe prawdopodobieństwo 2/3 dotyczy tylko zamkniętych drzwi z grupy dwojga drzwi.

Oczywiste jest, że teraz bardziej opłaca się zmienić decyzję.

Chociaż oczywiście nadal masz szansę przegrać.

Jednakże zmiana wyboru zwiększa Twoje szanse na wygraną.

Paradoks Monty’ego Halla

Paradoks Monty'ego Halla jest problemem probabilistycznym, którego rozwiązanie (według niektórych) jest sprzeczne ze zdrowym rozsądkiem. Sformułowanie problemu:

Wyobraź sobie, że jesteś uczestnikiem gry, w której musisz wybrać jedno z trojga drzwi. Za jednymi drzwiami stoi samochód, za dwoma pozostałymi drzwiami stoją kozy.
Wybierasz jedne z drzwi, na przykład numer 1, po czym lider, który wie, gdzie jest samochód i gdzie są kozy, otwiera jedne z pozostałych drzwi, na przykład numer 3, za którymi stoi koza.

Paradoks Monty'ego Halla. Najbardziej niedokładna matematyka

Następnie zapyta Cię, czy chcesz zmienić swój wybór i wybrać drzwi nr 2.
Czy Twoje szanse na wygranie samochodu wzrosną, jeśli przyjmiesz ofertę prezentera i zmienisz swój wybór?

Przy rozwiązywaniu problemu często błędnie zakłada się, że te dwie możliwości są niezależne i dlatego prawdopodobieństwo nie ulegnie zmianie w przypadku zmiany wyboru. W rzeczywistości tak nie jest, jak widać, pamiętając wzór Bayesa lub patrząc na wyniki symulacji poniżej:

Tutaj: „strategia 1” – nie zmieniaj wyboru, „strategia 2” – zmień wybór. Teoretycznie w przypadku 3 drzwi rozkład prawdopodobieństwa wynosi 33,(3)% i 66,(6)%. Symulacje numeryczne powinny dać podobne wyniki.

Spinki do mankietów

Paradoks Monty’ego Halla– problem z działu teorii prawdopodobieństwa, którego rozwiązanie stoi w sprzeczności ze zdrowym rozsądkiem.

Historia[edytuj | edytuj tekst wiki]

Wyemitowano go pod koniec 1963 roku nowy talk show zatytułowany „Zawrzyjmy umowę” („Dojdźmy do porozumienia”). Zgodnie ze scenariuszem quizu widzowie z widowni otrzymywali nagrody za prawidłowe odpowiedzi, mając szansę je zwiększyć, stawiając nowe zakłady, ryzykując jednak swoje dotychczasowe wygrane. Założycielami spektaklu byli Stefan Hatosu i Monty Hall, z których ten ostatni stał się jego stałym gospodarzem na wiele lat.

Jednym z zadań dla uczestników było losowanie Nagrody Głównej, która znajdowała się za jednymi z trojga drzwi. Za pozostałymi dwoma znajdowały się nagrody motywacyjne, a prezenter z kolei znał kolejność ich ułożenia. Uczestnik musiał określić zwycięskie drzwi, stawiając całą swoją wygraną na pokaz.

Kiedy zgadujący zdecydował się na liczbę, prezenter otworzył jedne z pozostałych drzwi, za którymi znajdowała się nagroda motywacyjna, i zaprosił gracza do zmiany pierwotnie wybranych drzwi.

Sformułowanie[edytuj | edytuj tekst wiki]

Jako specyficzny problem paradoks został po raz pierwszy sformułowany przez Steve'a Selvina w 1975 r., kiedy wysłał on magazynowi The American Statistician i gospodarzowi Monty Hallowi pytanie: czy szanse uczestnika na zdobycie nagrody głównej zmienią się, jeśli po motywacyjnym otwarciu drzwi zmienić swój wybór? Po tym incydencie pojawiła się koncepcja „paradoksu Monty Halla”.

W 1990 roku w magazynie Parade opublikowano najczęstszą wersję paradoksu z przykładem:

„Wyobraźcie sobie, że bierzecie udział w teleturnieju, w którym musicie wybrać jedno z trojga drzwi: dwa z nich to kozy, a trzecie to samochód. Kiedy dokonasz wyboru, zakładając np., że zwycięskie drzwi to numer jeden, lider otwiera jedne z dwóch pozostałych drzwi, na przykład numer trzy, za którymi stoi koza. Czy masz wówczas możliwość zmiany wyboru na inne drzwi? Czy możesz zwiększyć swoje szanse na wygranie samochodu, jeśli zmienisz wybór z drzwi numer jeden na drzwi numer dwa?

To sformułowanie jest wersją uproszczoną, ponieważ Pozostaje czynnik wpływu prezentera, który dokładnie wie, gdzie znajduje się samochód i jest zainteresowany stratą uczestnika.

Aby zadanie nabrało charakteru czysto matematycznego, należy wyeliminować czynnik ludzki, wprowadzając jako warunki integralne otwarcie drzwi z nagrodą motywacyjną i możliwość zmiany początkowego wyboru.

Rozwiązanie[edytuj | edytuj tekst wiki]

Porównując szanse, na pierwszy rzut oka zmiana numeru drzwi nie przyniesie żadnych korzyści, ponieważ wszystkie trzy opcje mają 1/3 szans na wygraną (około 33,33% dla każdego z trzech drzwi). W tym przypadku otwarcie jednych z drzwi w żaden sposób nie wpłynie na szanse pozostałych dwóch, których szanse wyniosą 1/2 do 1/2 (50% na każde z dwojga pozostałych drzwi). Ocena ta opiera się na założeniu, że wybór drzwi przez gracza i wybór drzwi przez lidera to dwa niezależne wydarzenia, które nie wpływają na siebie. W rzeczywistości konieczne jest rozważenie całej sekwencji wydarzeń jako całości. Zgodnie z teorią prawdopodobieństwa szanse pierwszych wybranych drzwi od początku do końca gry wynoszą niezmiennie 1/3 (ok. 33,33%), a dwa pozostałe mają w sumie 1/3+1 /3 = 2/3 (około 66,66%). Gdy otworzą się jedne z dwóch pozostałych drzwi, ich szanse wyniosą 0% (za nimi kryje się nagroda motywacyjna), a w efekcie szansa na zamknięcie niewybranych drzwi wyniesie 66,66%, tj. dwa razy więcej niż pierwotnie wybrane.

Aby ułatwić zrozumienie skutków wyboru, można rozważyć alternatywną sytuację, w której liczba opcji będzie większa, na przykład tysiąc. Prawdopodobieństwo wyboru zwycięskiej opcji wynosi 1/1000 (0,1%). Biorąc pod uwagę, że z pozostałych dziewięćset dziewięćdziesięciu dziewięciu opcji zostanie następnie otwartych dziewięćset dziewięćdziesiąt osiem błędnych opcji, staje się jasne, że prawdopodobieństwo, że zostaną pozostałe drzwi z dziewięćset dziewięćdziesiąt dziewięć niewybranych, jest wyższe niż tego jedynego wybranego na początku.

Wspomnienia[edytuj | edytuj tekst wiki]

Nawiązania do paradoksu Monty Halla można znaleźć w „Dwadzieścia jeden” (film Roberta Luketica), „Klutz” (powieść Siergieja Łukjanienki), serialu telewizyjnym „4isla” (serial TV), „Tajemniczym morderstwie” psa nocną porą” (opowiadanie Marka Haddona), „XKCD” (komiks), „Pogromcy mitów” (program telewizyjny).

Zobacz także[edytuj | edytuj tekst wiki]

Zdjęcie przedstawia proces wyboru pomiędzy dwojgiem zakopanych drzwi spośród trzech pierwotnie proponowanych

Przykłady rozwiązań problemów kombinatoryki

Kombinatoryka to nauka, z którą spotyka się każdy Życie codzienne: na ile sposobów wybrać 3 pomocników do sprzątania klasy lub na ile sposobów ułożyć słowo z podanych liter.

Ogólnie rzecz biorąc, kombinatoryka pozwala obliczyć, ile różnych kombinacji, pod pewnymi warunkami, można utworzyć z danych obiektów (takich samych lub różnych).

Jako nauka kombinatoryka powstała w XVI wieku i obecnie studiuje ją każdy uczeń (a często nawet uczniowie). Rozpoczynają naukę od pojęć permutacji, rozmieszczenia, kombinacji (z powtórzeniami lub bez). Poniżej znajdziesz problemy dotyczące tych tematów. Najbardziej znanymi regułami kombinatoryki są reguły sumy i iloczynu, które są najczęściej stosowane w typowych problemach kombinatorycznych.

Poniżej znajdziesz kilka przykładów problemów z rozwiązaniami wykorzystującymi kombinatoryczne pojęcia i reguły, które pomogą Ci zrozumieć typowe zadania. Jeśli masz trudności z zadaniami, zamów test z kombinatoryki.

Problemy kombinatoryki z rozwiązaniami online

Zadanie 1. Mama ma 2 jabłka i 3 gruszki. Codziennie przez 5 dni z rzędu rozdaje jeden owoc. Na ile sposobów można to zrobić?

Rozwiązanie zadania kombinatoryki 1 (pdf, 35 Kb)

Zadanie 2. Przedsiębiorstwo może zapewnić pracę dla 4 kobiet w jednej specjalności, 6 mężczyzn w innej i 3 pracowników w trzeciej, niezależnie od płci. Na ile sposobów można obsadzić wakaty, jeśli zgłoszonych jest 14 kandydatów: 6 kobiet i 8 mężczyzn?

Rozwiązanie zadania z kombinatoryki 2 (pdf, 39 Kb)

Zadanie 3. W pociągu pasażerskim znajduje się 9 wagonów. Na ile sposobów można posadzić w pociągu 4 osoby, pod warunkiem, że podróżują one różnymi wagonami?

Rozwiązanie zadania kombinatoryki 3 (pdf, 33 Kb)

Zadanie 4. W grupie jest 9 osób. Ile różnych podgrup możesz utworzyć, jeśli w podgrupie są co najmniej 2 osoby?

Rozwiązanie problemu kombinatoryki 4 (pdf, 34 Kb)

Zadanie 5. Grupę 20 uczniów należy podzielić na 3 zespoły, przy czym pierwszy zespół powinien składać się z 3 osób, drugi - 5, a trzeci - 12. Na ile sposobów można to zrobić?

Rozwiązanie zadania z kombinatoryki 5 (pdf, 37 Kb)

Zadanie 6. Trener wybiera do drużyny 5 chłopców spośród 10. Na ile sposobów może utworzyć drużynę, jeśli w drużynie ma być 2 konkretnych chłopców?

Problem kombinatoryki z rozwiązaniem 6 (pdf, 33 Kb)

Zadanie 7. W turnieju szachowym wzięło udział 15 szachistów, a każdy z nich rozegrał z każdym tylko jedną partię. Ile gier rozegrano w tym turnieju?

Problem kombinatoryki z rozwiązaniem 7 (pdf, 37 Kb)

Zadanie 8. Ile różnych ułamków można utworzyć z liczb 3, 5, 7, 11, 13, 17, aby każdy ułamek zawierał 2 różne liczby? Ile z nich to ułamki właściwe?

Problem kombinatoryki z rozwiązaniem 8 (pdf, 32 Kb)

Zadanie 9. Ile słów można uzyskać, zmieniając kolejność liter w słowie Góra i Instytut?

Problem kombinatoryki z rozwiązaniem 9 (pdf, 32 Kb)

Problem 10. Które liczby od 1 do 1 000 000 są większe: te, w których jednostka występuje, czy te, w których nie występuje?

Problem kombinatoryki z rozwiązaniem 10 (pdf, 39 Kb)

Gotowe przykłady

Potrzebujesz rozwiązania problemów kombinatoryki? Znajdź w skoroszycie:

Inne rozwiązania problemów teorii prawdopodobieństwa

Wyobraź sobie, że bankier oferuje Ci wybór jednego z trzech zamkniętych pudełek. W jednym z nich jest 50 centów, w drugim - jeden dolar, w trzecim - 10 tysięcy dolarów. Niezależnie od tego, który z nich wybierzesz, otrzymasz go w nagrodę.

Wybierasz losowo, powiedzmy, pole nr 1. A potem bankier (który oczywiście wie, gdzie wszystko jest) tuż przed twoimi oczami otwiera pudełko z jednym dolarem (powiedzmy, że jest to nr 2), po czym zaprasza do zmiany początkowo wybranej skrzynki nr 1 na pudełko Nr 3.

Czy powinieneś zmienić zdanie? Czy zwiększy to Twoje szanse na zdobycie 10 tys.?

To paradoks Monty'ego Halla - problem teorii prawdopodobieństwa, którego rozwiązanie na pierwszy rzut oka jest sprzeczne ze zdrowym rozsądkiem. Ludzie zastanawiają się nad tym problemem od 1975 roku.

Paradoks został nazwany na cześć gospodarza popularnego amerykańskiego programu telewizyjnego „Let’s Make a Deal”. Ten program miał podobne zasady, tyle że uczestnicy wybrali drzwi, za dwoma ukrywały się kozy, za trzecim – cadillac.

Większość graczy argumentowała, że gdy dwoje drzwi jest zamkniętych, a za jednym z nich stoi Cadillac, to szanse na zdobycie go wynoszą 50 do 50. Oczywiście, gdy gospodarz otwiera jedne drzwi i zaprasza do zmiany decyzji, zaczyna Nowa gra. Niezależnie od tego, czy zmienisz decyzję, czy nie, Twoje szanse nadal będą wynosić 50 procent. Prawidłowy?

Okazuje się, że nie. Tak naprawdę, zmieniając zdanie, możesz podwoić swoje szanse na sukces. Dlaczego?

Najprostszym wyjaśnieniem tej odpowiedzi jest następujące rozważenie. Aby wygrać samochód bez zmiany wyboru, gracz musi od razu odgadnąć drzwi, za którymi znajduje się samochód. Prawdopodobieństwo tego wynosi 1/3. Jeśli gracz początkowo wyląduje na drzwiach, za którymi stoi koza (a prawdopodobieństwo tego zdarzenia wynosi 2/3, ponieważ są dwie kozy i tylko jeden samochód), to z pewnością może wygrać samochód, zmieniając swoją decyzję, ponieważ pozostaje samochód i jedna koza, a prezenter otworzył już drzwi kozą.

Tym samym, nie zmieniając wyboru, gracz pozostaje przy swoim początkowym prawdopodobieństwie wygranej wynoszącym 1/3, a zmieniając początkowy wybór, gracz zyskuje dwukrotność pozostałego prawdopodobieństwa, które na początku źle odgadł.

Intuicyjnego wyjaśnienia można również dokonać poprzez zamianę dwóch zdarzeń. Pierwszym wydarzeniem jest podjęcie przez gracza decyzji o zmianie drzwi, drugim wydarzeniem jest otwarcie dodatkowych drzwi. Jest to dopuszczalne, ponieważ otwarcie dodatkowych drzwi nie daje graczowi żadnych Nowa informacja(zobacz ten artykuł, aby uzyskać dokumentację). Następnie problem można sprowadzić do następującego sformułowania. W pierwszej chwili gracz dzieli drzwi na dwie grupy: w pierwszej grupie znajdują się jedne drzwi (te, które wybrał), w drugiej grupie pozostały dwoje drzwi. W następnym momencie gracz dokonuje wyboru pomiędzy grupami. Oczywiście dla pierwszej grupy prawdopodobieństwo wygranej wynosi 1/3, dla drugiej grupy 2/3. Gracz wybiera drugą grupę. W drugiej grupie może otworzyć oboje drzwi. Jedną otwiera prezenter, a drugą sam gracz.

Spróbujmy podać „najbardziej zrozumiałe” wyjaśnienie. Sformułujmy zadanie: Uczciwy prezenter oznajmia graczowi, że za jednymi z trzech drzwi znajduje się samochód i zaprasza go, aby najpierw wskazał jedne z drzwi, a następnie wybrał jedną z dwóch akcji: otwórz wskazane drzwi (w stare sformułowanie nazywa się to „nie zmieniaj wyboru”) lub otwórz dwa pozostałe (w starym sformułowaniu byłoby to po prostu „zmień wybór”. Pomyśl, tu leży klucz do zrozumienia!). Oczywiste jest, że gracz wybierze drugą z dwóch akcji, ponieważ prawdopodobieństwo otrzymania samochodu w tym przypadku jest dwukrotnie większe. A ta drobnostka, że prezenter „pokazał kozę” jeszcze przed wyborem akcji, nie pomaga ani nie utrudnia wyboru, ponieważ za jednymi z dwojga drzwi zawsze stoi koza i prezenter na pewno ją pokaże w każdej turze gry , aby gracz mógł użyć tej kozy, nie patrz. To od gracza, jeśli wybierze drugą akcję, zależy, czy powie „dziękuję” liderowi za oszczędzenie mu trudu samodzielnego otwierania jednych z dwojga drzwi i otwierania drugich. No albo jeszcze prościej. Wyobraźmy sobie tę sytuację z punktu widzenia prezentera, który wykonuje podobny zabieg z kilkudziesięciu graczy. Ponieważ doskonale wie, co kryje się za drzwiami, średnio w dwóch przypadkach na trzy z góry widzi, że gracz wybrał „złe” drzwi. Dlatego dla niego na pewno nie ma paradoksu w tym, że właściwą strategią jest zmiana wyboru po otwarciu pierwszych drzwi: w końcu w tych samych dwóch na trzy przypadki gracz opuści studio nowym samochodem.

Na koniec najbardziej „naiwny” dowód. Niech ten, kto trwa przy swoim wyborze, będzie nazywany „Upartym”, a ten, który postępuje zgodnie z instrukcjami przywódcy, będzie nazywany „Uważnym”. Następnie Uparty wygrywa, jeśli początkowo odgadł samochód (1/3), a Uważny wygrywa, jeśli początkowo nie trafił i uderzył kozę (2/3). Przecież tylko w tym przypadku wskaże wtedy drzwi z samochodem.

Monty Hall, producent i gospodarz programu Dobijmy Targu od 1963 do 1991 r.

W 1990 roku problem ten i jego rozwiązanie opublikowano w amerykańskim czasopiśmie Parade. Publikacja wywołała lawinę oburzonych recenzji czytelników, z których wielu posiadało stopnie naukowe.

Głównym zarzutem było to, że nie określono wszystkich warunków zadania, a każdy niuans mógł wpłynąć na wynik. Na przykład prezenter może zaproponować zmianę decyzji tylko wtedy, gdy gracz jako pierwszy ruch wybierze samochód. Oczywiście zmiana początkowego wyboru w takiej sytuacji doprowadzi do gwarantowanej straty.

Jednak przez cały czas istnienia programu telewizyjnego Monty Hall osoby, które zmieniły zdanie, wygrywały faktycznie dwa razy częściej:

Spośród 30 graczy, którzy zmienili pierwotną decyzję, Cadillac wygrał 18, czyli 60%

Spośród 30 graczy, którzy pozostali przy swoim wyborze, Cadillac wygrał 11 – czyli około 36%

Zatem uzasadnienie podane w decyzji, niezależnie od tego, jak bardzo może się to wydawać nielogiczne, znajduje potwierdzenie w praktyce.

Zwiększenie liczby drzwi

Aby łatwiej zrozumieć istotę tego, co się dzieje, możemy rozważyć przypadek, gdy gracz widzi przed sobą nie troje drzwi, ale na przykład sto. Co więcej, za jednymi z drzwi stoi samochód, a za drugimi 99 kozami. Gracz wybiera jedne z drzwi i w 99% przypadków wybierze drzwi z kozą, a szanse na natychmiastowe wybranie drzwi z samochodem są bardzo małe - wynoszą 1%. Następnie prezenter otwiera kozami 98 drzwi i zaprasza gracza do wybrania pozostałych drzwi. Jednak w 99% przypadków samochód będzie znajdował się za pozostałymi drzwiami, ponieważ szanse, że gracz od razu wybierze właściwe drzwi, są bardzo małe. Oczywiste jest, że w tej sytuacji racjonalnie myślący gracz powinien zawsze przyjąć ofertę lidera.

Rozważając zwiększoną liczbę drzwi, często pojawia się pytanie: jeśli w pierwotnym zadaniu lider otwiera jedne drzwi z trzech (czyli 1/3 z Łączna drzwi), to dlaczego mamy zakładać, że w przypadku 100 drzwi prezenter otworzy kozami 98 drzwi, a nie 33? To rozważanie jest zwykle jednym z istotnych powodów, dla których paradoks Monty'ego Halla koliduje z intuicyjnym postrzeganiem sytuacji. Prawidłowe byłoby założenie, że 98 drzwi otworzy się, ponieważ warunek zasadniczy Zadanie polega na tym, aby gracz miał tylko jedną alternatywę do wyboru, którą proponuje prezenter. Zatem, aby zadania były podobne, w przypadku 4 drzwi lider musi otworzyć 2 drzwi, w przypadku 5 drzwi - 3 itd., tak aby zawsze były jedne nieotwarte drzwi inne niż te, które gracz początkowo wybrał. Jeśli prezenter otworzy mniej drzwi, zadanie nie będzie już podobne do pierwotnego zadania Monty Hall.

Należy zaznaczyć, że w przypadku wielu drzwi, nawet jeśli prezenter pozostawi zamknięte nie jedne drzwi, a kilka i zaprosi gracza do wybrania jednego z nich, to przy zmianie początkowego wyboru szanse gracza na wygranie samochodu wzrosną nadal rośnie, choć już nie tak znacząco. Rozważmy na przykład sytuację, w której gracz wybiera jedne drzwi ze stu, a następnie gospodarz otwiera tylko jedne z pozostałych drzwi, zapraszając gracza do zmiany swojego wyboru. Jednocześnie szanse, że samochód znajduje się za pierwotnie wybranymi przez gracza drzwiami, pozostają takie same - 1/100, a dla pozostałych drzwi szanse się zmieniają: całkowite prawdopodobieństwo, że samochód znajduje się za jednymi z pozostałych drzwi ( 99/100) jest teraz rozdzielany nie na. Jest 99 drzwi, ale 98. Dlatego prawdopodobieństwo znalezienia samochodu za każdymi z tych drzwi nie będzie wynosić 1/100, ale 99/9800. Wzrost prawdopodobieństwa wyniesie około 1%.

Drzewo możliwe rozwiązania gracza i prezentera, pokazujące prawdopodobieństwo każdego wyniku.Bardziej formalnie scenariusz gry można opisać za pomocą drzewa decyzyjnego. W dwóch pierwszych przypadkach, gdy gracz jako pierwszy wybrał drzwi, za którymi znajduje się koza, zmiana wyboru skutkuje wygraną. W dwóch ostatnich przypadkach, gdy gracz jako pierwszy wybrał drzwi z samochodem, zmiana wyboru skutkuje porażką.

Jeśli i tak nie jest to dla ciebie jasne, spluń na formuły i po prostusprawdź wszystko statystycznie. Inne możliwe wyjaśnienie:

Gracz, którego strategia polegałaby na zmianie za każdym razem wybranych drzwi, przegrałby tylko wtedy, gdyby początkowo wybrał drzwi, za którymi stał samochód.
Ponieważ prawdopodobieństwo wybrania samochodu za pierwszym razem wynosi jeden do trzech (czyli 33%), szansa, że nie wybierzesz samochodu, jeśli gracz zmieni swój wybór, również wynosi jeden do trzech (czyli 33%).
Oznacza to, że gracz, który zastosuje strategię zmiany drzwi, wygra z prawdopodobieństwem 66%, czyli dwa do trzech.
Podwoi to szanse na wygraną gracza, którego strategią nie jest zmiana wyboru za każdym razem.

Nadal mi nie wierzysz? Załóżmy, że wybrałeś drzwi nr 1. Wszystkie zostały tutaj zaprezentowane możliwe opcje co może się wydarzyć w tym przypadku.

„Istnieją trzy rodzaje kłamstw: kłamstwa, rażące kłamstwo i statystyki.” To zdanie, przypisane przez Marka Twaina brytyjskiemu premierowi Benjaminowi Disraeli, dość dobrze odzwierciedla stosunek większości do praw matematycznych. Rzeczywiście, teoria prawdopodobieństwa czasami zawodzi niesamowite fakty, w które na pierwszy rzut oka trudno uwierzyć - a które jednak zostały potwierdzone przez naukę. „Teorie i praktyki” przywołały najsłynniejsze paradoksy.

Problem Monty'ego Halla

To jest dokładnie ten problem, który przebiegły profesor MIT przedstawił studentom w filmie „Dwadzieścia jeden”. Po udzieleniu prawidłowej odpowiedzi, główny bohater trafia do zespołu genialnych młodych matematyków, którzy rozbijają kasyna w Las Vegas.

Klasyczne sformułowanie wygląda następująco: „Powiedzmy, że pewnemu graczowi zaproponowano udział w słynnym amerykańskim programie telewizyjnym Let’s Make a Deal prowadzonym przez Monty’ego Halla i musi wybrać jedno z trojga drzwi. Za dwojgiem drzwi stoją kozy, za jednymi nagroda główna, samochód, prezenter zna lokalizację nagród. Po dokonaniu przez gracza wyboru, gospodarz otwiera jedne z pozostałych drzwi, za którymi kryje się koza, i zaprasza gracza do zmiany decyzji. Czy gracz powinien się zgodzić, czy lepiej zachować swój pierwotny wybór?”

Oto typowy tok rozumowania: po tym jak gospodarz otworzy jedne z drzwi i pokaże kozę, gracz musi wybrać pomiędzy dwojgiem drzwi. Samochód znajduje się za jednym z nich, co oznacza, że prawdopodobieństwo jego odgadnięcia wynosi ½. Nie ma więc znaczenia, czy zmienić swój wybór, czy nie. A jednak teoria prawdopodobieństwa mówi, że możesz zwiększyć swoje szanse na wygraną, zmieniając swoją decyzję. Zastanówmy się, dlaczego tak jest.

Aby to zrobić, cofnijmy się o krok. W momencie dokonania wstępnego wyboru drzwi podzieliliśmy na dwie części: tę, którą wybraliśmy, i dwie pozostałe. Oczywiście prawdopodobieństwo, że samochód chowa się za „naszymi” drzwiami, wynosi ⅓ - w związku z tym samochód znajduje się za jednymi z dwojga pozostałych drzwi z prawdopodobieństwem ⅔. Gdy prezenter pokaże, że za jednymi z tych drzwi kryje się koza, okazuje się, że ta ⅔ szansy przypada na drugie drzwi. A to ogranicza wybór gracza do dwojga drzwi, za jednymi (początkowo wybranymi) znajduje się samochód z prawdopodobieństwem ⅓, a za drugimi z prawdopodobieństwem ⅔. Wybór staje się oczywisty. Co oczywiście nie zmienia faktu, że od samego początku gracz mógł wybrać drzwi z samochodem.

Problem trzech więźniów

Paradoks Trzech Więźniów jest podobny do problemu Monty'ego Halla, chociaż rozgrywa się w bardziej dramatycznym kontekście. Trzej więźniowie (A, B i C) zostają skazani na karę śmierci i umieszczeni w izolatce. Gubernator losowo wybiera jednego z nich i udziela mu ułaskawienia. Strażnik wie, który z trzech został ułaskawiony, ale nakazano mu zachować to w tajemnicy. Więzień A prosi strażnika o podanie nazwiska drugiego więźnia (oprócz niego samego), który na pewno zostanie stracony: „jeśli B zostanie ułaskawiony, powiedz mi, że C zostanie stracony. Jeśli B zostanie ułaskawiony, powiedz mi, że B zostanie stracony Jeżeli oboje zostaną straceni, a ja otrzymam ułaskawienie, rzućcie monetą i wypowiedzcie którekolwiek z tych dwóch imion. Naczelnik mówi, że więzień B zostanie stracony. Czy więzień A powinien być szczęśliwy?

Wydawałoby się, że tak. Przecież przed otrzymaniem tej informacji prawdopodobieństwo śmierci więźnia A wynosiło ⅔, a teraz wie on, że jeden z dwóch pozostałych więźniów zostanie stracony – co oznacza, że prawdopodobieństwo jego egzekucji spadło do ½. Ale tak naprawdę więzień A nie dowiedział się niczego nowego: jeśli nie zostanie ułaskawiony, zostanie podane nazwisko innego więźnia i już wiedział, że jeden z dwóch pozostałych zostanie stracony. Jeśli będzie miał szczęście i egzekucja zostanie odwołana, usłyszy losowa nazwa B lub C. Zatem jego szanse na zbawienie nie zmieniły się w żaden sposób.

Teraz wyobraź sobie, że jeden z pozostałych więźniów dowiaduje się o pytaniu więźnia A i otrzymanej odpowiedzi. To zmieni jego poglądy na temat prawdopodobieństwa ułaskawienia.

Jeśli więzień B podsłucha rozmowę, będzie wiedział, że na pewno zostanie stracony. A jeśli więzień B, prawdopodobieństwo jego ułaskawienia będzie wynosić ⅔. Dlaczego to się stało? Więzień A nie otrzymał żadnych informacji i nadal ma ⅓ szans na ułaskawienie. Więzień B na pewno nie zostanie ułaskawiony, a jego szanse są zerowe. Oznacza to, że prawdopodobieństwo uwolnienia trzeciego więźnia wynosi ⅔.

Paradoks dwóch kopert

Paradoks ten stał się znany dzięki matematykowi Martinowi Gardnerowi i został sformułowany w następujący sposób: „Załóżmy, że tobie i przyjacielowi zaoferowano dwie koperty, z których jedna zawiera pewną kwotę pieniędzy X, a druga zawiera kwotę dwukrotnie większą. Samodzielnie otwierasz koperty, liczysz pieniądze, a następnie możesz je wymienić. Koperty są takie same, zatem prawdopodobieństwo, że otrzymasz kopertę z niższą kwotą wynosi ½. Załóżmy, że otwierasz kopertę i znajdujesz w niej 10 dolarów. Dlatego jest równie prawdopodobne, że koperta Twojego znajomego zawiera 5 lub 20 dolarów. Jeśli zdecydujesz się na wymianę, możesz obliczyć matematyczne oczekiwanie ostatecznej kwoty - czyli jej średnią wartość. To jest 1/2x5 $ + 1/2x20 = 12,5 $. Zatem wymiana jest dla Ciebie korzystna. I najprawdopodobniej Twój przyjaciel pomyśli w ten sam sposób. Ale oczywiste jest, że wymiana nie może być korzystna dla Was obojga. Jaki jest błąd?

Paradoks polega na tym, że dopóki nie otworzysz koperty, prawdopodobieństwa zachowują się dobrze: w rzeczywistości masz 50% szans na znalezienie w kopercie kwoty X i 50% szans na znalezienie kwoty 2X. A zdrowy rozsądek podpowiada, że informacja o posiadanej kwocie nie może mieć wpływu na zawartość drugiej koperty.

Jednak już po otwarciu koperty sytuacja zmienia się diametralnie (paradoks ten przypomina nieco historię kota Schrödingera, gdzie sama obecność obserwatora wpływa na stan rzeczy). Faktem jest, że aby spełnić warunki paradoksu, prawdopodobieństwo znalezienia w drugiej kopercie kwoty większej lub mniejszej od Twojej musi być takie samo. Ale wtedy dowolna wartość tej sumy od zera do nieskończoności jest równie prawdopodobna. A jeśli istnieje równie prawdopodobna nieskończona liczba możliwości, to dają one nieskończoność. A to jest niemożliwe.

Dla jasności możesz sobie wyobrazić, że znajdujesz w kopercie jednego centa. Oczywiście druga koperta nie może zawierać połowy kwoty.

Ciekawe, że dyskusje na temat rozwiązania paradoksu trwają do dziś. Jednocześnie podejmuje się próby zarówno wyjaśnienia paradoksu od wewnątrz, jak i jego rozwinięcia najlepsza strategia zachowanie w takiej sytuacji. W szczególności profesor Thomas Cover zaproponował oryginalne podejście do tworzenia strategii – zmieniać lub nie zmieniać koperty, kierując się pewnym intuicyjnym oczekiwaniem. Załóżmy, że jeśli otworzysz kopertę i znajdziesz w niej 10 dolarów – według ciebie to niewielka kwota – warto ją wymienić. A jeśli w kopercie jest powiedzmy 1000 dolarów, a to przekracza Twoje najśmielsze oczekiwania, to nie ma potrzeby się zmieniać. Ta intuicyjna strategia, jeśli regularnie jesteś proszony o wybranie dwóch kopert, pozwala zwiększyć całkowitą wygraną bardziej niż strategia ciągle zmieniających się kopert.

Paradoks chłopca i dziewczynki

Paradoks ten zaproponował także Martin Gardner i sformułował go następująco: „Pan Smith ma dwójkę dzieci. Co najmniej jedno dziecko to chłopiec. Jakie jest prawdopodobieństwo, że druga osoba to także chłopiec?

Wydawać by się mogło, że zadanie jest proste. Jeśli jednak zaczniesz się nad tym zastanawiać, wyłania się ciekawa okoliczność: prawidłowa odpowiedź będzie się różnić w zależności od tego, jak obliczymy prawdopodobieństwo płci drugiego dziecka.

opcja 1

Rozważmy wszystkie możliwe kombinacje w rodzinach z dwójką dzieci:

Dziewczyna dziewczyna

Dziewczyna chłopak

Chłopak, dziewczyna

Chłopcze chłopcze

Opcja dziewczyna/dziewczyna nie odpowiada nam zgodnie z warunkami zadania. Zatem dla rodziny pana Smitha istnieją trzy równie prawdopodobne opcje – co oznacza, że prawdopodobieństwo, że drugie dziecko również będzie chłopcem, wynosi ⅓. To jest dokładnie odpowiedź, której początkowo udzielił sam Gardner.

Opcja 2

Wyobraźmy sobie, że spotykamy pana Smitha na ulicy, gdy spaceruje z synem. Jakie jest prawdopodobieństwo, że drugie dziecko będzie także chłopcem? Ponieważ płeć drugiego dziecka nie ma nic wspólnego z płcią pierwszego, oczywistą (i poprawną) odpowiedzią jest ½.

Dlaczego tak się dzieje, skoro wydawałoby się, że nic się nie zmieniło?

Wszystko zależy od tego, jak podchodzimy do kwestii obliczania prawdopodobieństwa. W pierwszym przypadku rozważyliśmy wszystkie możliwe opcje dla rodziny Smithów. W drugim uwzględniliśmy wszystkie rodziny objęte obowiązkowym warunkiem „musi być jeden chłopiec”. Obliczenie prawdopodobieństwa płci drugiego dziecka przeprowadzono z uwzględnieniem tego warunku (w teorii prawdopodobieństwa nazywa się to „prawdopodobieństwem warunkowym”), co doprowadziło do wyniku innego niż pierwszy.

W grudniu 1963 roku w amerykańskiej telewizji NBC program został wydany po raz pierwszy Dobijmy Targu(„Zawrzyjmy umowę!”), w którym wybrani z publiczności uczestnicy w studiu targowali się między sobą i z prezenterem, grali małe gry lub po prostu odgadł odpowiedź na pytanie. Na koniec programu uczestnicy mogli zagrać w „rozdanie dnia”. Przed nimi znajdowała się troje drzwi, o których wiadomo było, że za jednymi z nich kryje się Nagroda Główna (np. samochód), a za dwoma pozostałymi mniej wartościowe lub zupełnie absurdalne prezenty (np. żywe kozy). Po dokonaniu przez gracza wyboru, gospodarz programu, Monty Hall, otwierał jedne z dwóch pozostałych drzwi, pokazując, że nie kryje się za nimi żadna Nagroda i dając uczestnikowi satysfakcję, że wciąż ma szansę na wygraną.

W 1975 roku naukowiec z Uniwersytetu Kalifornijskiego Steve Selvin zastanawiał się, co by się stało, gdyby w tym momencie, po otwarciu drzwi bez nagrody, uczestnik został poproszony o zmianę swojego wyboru. Czy w tym przypadku zmienią się szanse gracza na otrzymanie Nagrody i jeśli tak, to w jakim kierunku? Odpowiednie pytanie przekazał jako zadanie do dziennika Amerykański statystyk(„Amerykański statystyk”), a także sam Monty Hall, który udzielił na to dość ciekawej odpowiedzi. Pomimo tej odpowiedzi (a może dzięki niej) problem stał się popularny pod nazwą „problem Monty'ego Halla”.

Zadanie

Znalazłeś się w programie Monty Hall jako uczestnik – i w ostatnim momencie otwierając drzwi kozą, prowadzący zaprosił Cię do zmiany wyboru. Czy Twoja decyzja – czy się zgodzić, czy nie – wpłynie na prawdopodobieństwo wygranej?

Wskazówka

Spróbuj wziąć pod uwagę osoby, które w tym samym przypadku wybrały inne drzwi (czyli gdy Nagroda znajduje się np. za drzwiami nr 1). Kto odniesie korzyść ze zmiany swoich wyborów, a kto nie?

Rozwiązanie

Zgodnie z sugestią w podpowiedzi, przyjrzyjmy się osobom, które dokonały innych wyborów. Załóżmy, że Nagroda znajduje się za drzwiami nr 1, a za drzwiami nr 2 i nr 3 stoją kozy. Miejmy sześć osób i po dwie osoby wybierały każde drzwi, a z każdej pary jedna później zmieniała swoją decyzję, a druga nie.

Należy pamiętać, że tym, którzy wybiorą drzwi nr 1, Prezenter otworzy jedne z dwojga drzwi według własnego gustu i niezależnie od tego Samochód zostanie odebrany przez tych, którzy nie zmienią swojego wyboru, natomiast ci, którzy zmienią swój pierwotny wybór pozostanie bez Nagrody. Przyjrzyjmy się teraz tym, którzy wybrali drzwi nr 2 i nr 3. Ponieważ za drzwiami nr 1 znajduje się Samochód, Lider nie może go otworzyć, co nie pozostawia mu wyboru - otwiera im odpowiednio drzwi nr 3 i nr 2. W takim przypadku ostatecznie Nagrodę wybierze ten, kto zmienił decyzję w każdej parze, a ten, który nie zmienił decyzji, pozostanie z niczym. Zatem z trzech osób, które zmieniły decyzję, dwie otrzymają Nagrodę, jedna kozę, natomiast z trzech, które pozostawiły swój pierwotny wybór bez zmian, tylko jedna otrzyma Nagrodę.

Należy zauważyć, że gdyby Samochód znalazł się za drzwiami nr 2 lub 3, wynik byłby taki sam, zmieniliby się jedynie konkretni zwycięzcy. Zatem zakładając, że początkowo każde drzwi zostaną wybrane z równym prawdopodobieństwem, stwierdzamy, że ci, którzy zmieniają swój wybór, zdobywają Nagrodę dwukrotnie częściej, czyli prawdopodobieństwo wygranej w tym przypadku jest większe.

Spójrzmy na ten problem z punktu widzenia matematycznej teorii prawdopodobieństwa. Zakładamy, że prawdopodobieństwo początkowego wybrania każdych drzwi jest takie samo, jak również prawdopodobieństwo znalezienia Samochodu za każdymi drzwiami. Ponadto warto poczynić zastrzeżenie, że MG, jeśli może otworzyć dwoje drzwi, wybiera każde z nich z równym prawdopodobieństwem. Następnie okazuje się, że po podjęciu pierwszej decyzji prawdopodobieństwo, że Nagroda znajdzie się za wybranymi drzwiami wynosi 1/3, natomiast prawdopodobieństwo, że znajdzie się ona za jednymi z dwóch pozostałych drzwi wynosi 2/3. Co więcej, po otwarciu przez Lidera jednych z dwóch „niewybranych” drzwi, całe prawdopodobieństwo 2/3 przypada tylko na jedno z pozostałych drzwi, tworząc w ten sposób podstawę do zmiany decyzji, co zwiększy prawdopodobieństwo wygranej 2-krotnie . Co oczywiście wcale nie gwarantuje tego w jednym konkretnym przypadku, ale doprowadzi do bardziej pomyślnych wyników, jeśli eksperyment zostanie powtórzony wiele razy.

Posłowie

Problem Monty'ego Halla nie jest pierwszym znanym sformułowaniem tego problemu. W szczególności w 1959 roku Martin Gardner opublikował w magazynie Amerykański naukowiec podobny problem „około trzech więźniów” (problem trzech więźniów) o następującym brzmieniu: „ Z trzech więźniów jeden powinien zostać ułaskawiony, a dwóch powinno zostać straconych. Więzień A namawia strażnika, aby podał mu imię jednego z dwóch pozostałych, na którym zostanie stracona (albo jednego, jeśli straceni zostaną obaj), po czym otrzymawszy imię B, wierzy, że prawdopodobieństwo własnego zbawienia wzrosło nie będzie 1/3, ale 1/2. Jednocześnie więzień C twierdzi, że prawdopodobieństwo jego zbawienia wynosi 2/3, natomiast w przypadku A nic się nie zmieniło. Który jest poprawny?»

Jednak Gardner nie był pierwszy, gdyż już w 1889 roku w swoim „Rachunku prawdopodobieństwa” francuski matematyk Joseph Bertrand (nie mylić z Anglikiem Bertrandem Russellem!) zaproponował podobny problem (patrz paradoks pudełkowy Bertranda): „ Istnieją trzy pudełka, z których każde zawiera dwie monety: w pierwszym dwie złote, w drugim dwie srebrne, a w trzecim dwie różne. Z losowo wybranego pudełka wyjęto monetę, która okazała się złota. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w pudełku pozostała moneta jest złota?»

Jeśli rozumiesz rozwiązania wszystkich trzech problemów, łatwo zauważyć podobieństwo ich pomysłów; matematycznie wszystkie łączy koncepcja prawdopodobieństwa warunkowego, to znaczy prawdopodobieństwa zdarzenia A, jeśli wiadomo, że zdarzenie B miało miejsce. Najprostszy przykład: prawdopodobieństwo, że zwykła kostka wyrzuci jedynkę, wynosi 1/6; jeśli jednak wiadomo, że wylosowana liczba jest nieparzysta, wówczas prawdopodobieństwo, że jest to jedynka, będzie już wynosić 1/3. Problem Monty'ego Halla, a także dwa pozostałe problemy podane powyżej pokazują, że z prawdopodobieństwami warunkowymi należy obchodzić się ostrożnie.

Zagadnienia te często nazywane są także paradoksami: paradoksem Monty Halla, paradoksem skrzynki Bertranda (tego ostatniego nie należy mylić z prawdziwym paradoksem Bertranda, podanym w tej samej książce, który dowodził dwuznaczności istniejącego wówczas pojęcia prawdopodobieństwa) – które implikuje pewną sprzeczność (na przykład w „Paradoksie kłamcy” wyrażenie „to stwierdzenie jest fałszywe” jest sprzeczne z prawem wyłączonego środka). W tym przypadku nie ma jednak sprzeczności ze ścisłymi stwierdzeniami. Istnieje jednak wyraźna sprzeczność z „ opinia publiczna” lub po prostu „oczywiste rozwiązanie” problemu. Rzeczywiście większość ludzi, patrząc na problem, uważa, że po otwarciu jednych z drzwi prawdopodobieństwo znalezienia Nagrody za którekolwiek z dwóch pozostałych zamkniętych wynosi 1/2. Twierdzą zatem, że nie ma znaczenia, czy zgadzasz się, czy nie, na zmianę swojej decyzji. Co więcej, wiele osób ma trudności ze znalezieniem innej odpowiedzi, nawet po zapoznaniu się ze szczegółowym rozwiązaniem.

W grudniu 1963 roku w amerykańskiej telewizji NBC zadebiutował program Let's Make a Deal, w którym wybrani spośród widowni studia uczestnicy targowali się między sobą i z prowadzącym, grali w małe gry lub po prostu odgadywali odpowiedź na zadane pytanie. Na koniec programu uczestnicy mogli zagrać w „rozdanie dnia”. Przed nimi znajdowała się troje drzwi, o których wiadomo było, że za jednymi z nich kryje się Nagroda Główna (np. samochód), a za dwoma pozostałymi mniej wartościowe lub zupełnie absurdalne prezenty (np. żywe kozy). Po dokonaniu przez gracza wyboru, gospodarz programu, Monty Hall, otwierał jedne z dwóch pozostałych drzwi, pokazując, że nie kryje się za nimi żadna Nagroda i dając uczestnikowi satysfakcję, że wciąż ma szansę na wygraną.

W 1975 roku naukowiec z Uniwersytetu Kalifornijskiego Steve Selvin zastanawiał się, co by się stało, gdyby w tym momencie, po otwarciu drzwi bez nagrody, uczestnik został poproszony o zmianę swojego wyboru. Czy w tym przypadku zmienią się szanse gracza na otrzymanie Nagrody i jeśli tak, to w jakim kierunku? Odpowiednie pytanie w formie problemu wysłał do magazynu The American Statistician, a także do samego Monty'ego Halla, który udzielił mu dość interesującej odpowiedzi. Pomimo tej odpowiedzi (a może dzięki niej) problem stał się popularny pod nazwą „problem Monty'ego Halla”.

Najbardziej powszechne sformułowanie tego problemu, opublikowane w 1990 roku w czasopiśmie Parade, jest następujące:

„Wyobraźcie sobie, że stajecie się uczestnikami gry, w której musicie wybrać jedno z trojga drzwi. Za jednymi drzwiami stoi samochód, za dwoma pozostałymi drzwiami stoją kozy. Wybierasz jedne z drzwi, na przykład numer 1, po czym lider, który wie, gdzie jest samochód i gdzie są kozy, otwiera jedne z pozostałych drzwi, na przykład numer 3, za którymi stoi koza. Następnie zapyta Cię, czy chcesz zmienić swój wybór i wybrać drzwi nr 2. Czy Twoje szanse na wygranie samochodu wzrosną, jeśli przyjmiesz ofertę prezentera i zmienisz swój wybór?

Po publikacji od razu stało się jasne, że zadanie zostało sformułowane nieprawidłowo: nie określono wszystkich warunków. Na przykład prezenter może zastosować strategię „Hell Monty”: zaoferować zmianę wyboru wtedy i tylko wtedy, gdy gracz jako pierwszy ruch wybierze samochód. Oczywiście zmiana początkowego wyboru doprowadzi w takiej sytuacji do gwarantowanej straty.

Najpopularniejsze jest zadanie z dodatkowym warunkiem – uczestnik zabawy zna z góry następujące zasady:

równie prawdopodobne jest, że samochód znajduje się za którymkolwiek z 3 drzwi;
W każdym przypadku prezenter ma obowiązek otworzyć drzwi kozą (ale nie tą, którą wybrał gracz) i zaprosić gracza do zmiany wyboru;
Jeśli lider ma wybór, które z dwojga drzwi otworzyć, wybiera którekolwiek z nich z równym prawdopodobieństwem.

Wskazówka

Rozwiązanie

Posłowie

Problem Monty'ego Halla nie jest pierwszym znanym sformułowaniem tego problemu. W szczególności w 1959 roku Martin Gardner opublikował w czasopiśmie „Scientific American” podobny „Problem trzech więźniów” z następującym sformułowaniem: „Z trzech więźniów jeden powinien zostać ułaskawiony, a dwóch powinno zostać straconych. Więzień A namawia strażnika, aby podał mu imię jednego z dwóch pozostałych, na którym zostanie stracona (albo jednego, jeśli straceni zostaną obaj), po czym otrzymawszy imię B, wierzy, że prawdopodobieństwo własnego zbawienia wzrosło nie będzie 1/3, ale 1/2. Jednocześnie więzień C twierdzi, że prawdopodobieństwo jego zbawienia wynosi 2/3, natomiast w przypadku A nic się nie zmieniło. Który jest poprawny?

Jednak Gardner nie był pierwszy, gdyż już w 1889 roku w swoim „Rachunku prawdopodobieństwa” francuski matematyk Joseph Bertrand (nie mylić z Anglikiem Bertrandem Russellem!) zaproponował podobny problem (patrz paradoks pudełkowy Bertranda): „ Są trzy pudełka, w każdym z nich znajdują się dwie monety: w pierwszym dwie złote, w drugim dwie srebrne i w trzecim dwie różne.Z losowo wybranego pudełka wylosowano monetę, która okazała się być złota. Jakie jest prawdopodobieństwo, że pozostała moneta w pudełku będzie złota?

Jeśli rozumiesz rozwiązania wszystkich trzech problemów, łatwo zauważyć podobieństwo ich pomysłów; matematycznie wszystkie łączy koncepcja prawdopodobieństwa warunkowego, to znaczy prawdopodobieństwa zdarzenia A, jeśli wiadomo, że zdarzenie B miało miejsce. Najprostszy przykład: prawdopodobieństwo, że na zwykłej kości wypadnie jedynka, wynosi 1/6; jeśli jednak wiadomo, że wylosowana liczba jest nieparzysta, wówczas prawdopodobieństwo, że jest to jedynka, będzie już wynosić 1/3. Problem Monty'ego Halla, a także dwa pozostałe problemy podane powyżej pokazują, że z prawdopodobieństwami warunkowymi należy obchodzić się ostrożnie.

Zagadnienia te często nazywane są także paradoksami: paradoksem Monty Halla, paradoksem skrzynki Bertranda (tego ostatniego nie należy mylić z podanym w tej samej książce prawdziwym paradoksem Bertranda, który dowodził dwuznaczności istniejącego wówczas pojęcia prawdopodobieństwa) – które implikuje pewną sprzeczność (na przykład w „Paradoksie kłamcy” wyrażenie „to stwierdzenie jest fałszywe” jest sprzeczne z prawem wyłączonego środka). W tym przypadku nie ma jednak sprzeczności ze ścisłymi stwierdzeniami. Istnieje jednak wyraźna sprzeczność z „opinią publiczną” lub po prostu „oczywistym rozwiązaniem” problemu. Rzeczywiście większość ludzi, patrząc na problem, uważa, że po otwarciu jednych z drzwi prawdopodobieństwo znalezienia Nagrody za którekolwiek z dwóch pozostałych zamkniętych wynosi 1/2. Dlatego argumentują, że nie ma znaczenia, czy zgadzasz się, czy nie, na zmianę swojej decyzji. Co więcej, wiele osób ma trudności ze znalezieniem innej odpowiedzi, nawet po zapoznaniu się ze szczegółowym rozwiązaniem.

Odpowiedź Monty'ego Halla na Steve'a Selwyna

Panie Steve Selwyn,
profesor nadzwyczajny biostatystyki,
Uniwersytet Kalifornijski w Berkeley.

Drogi Steve'ie,

Dziękuję za przesłanie mi problemu z magazynu The American Statistician.

Chociaż nie studiowałem statystyki na uniwersytecie, wiem, że liczby zawsze można wykorzystać na swoją korzyść, jeśli chcę nimi manipulować. Twoje rozumowanie nie uwzględnia jednej istotnej okoliczności: po opróżnieniu pierwszego pola uczestnik nie może już zmienić swojego wyboru. Zatem prawdopodobieństwo pozostaje takie samo: jedno do trzech, prawda? I oczywiście, gdy jedno z pudełek okaże się puste, szanse nie wynoszą 50/50, ale pozostają takie same - jedno na trzy. Uczestnikowi tylko się wydaje, że pozbywając się jednego pudełka, zyskuje większe szanse. Zupełnie nie. Dwa do jednego przeciwko niemu, jak było, pozostaje tak. A jeśli nagle przyjdziesz na mój pokaz, zasady pozostaną dla Ciebie takie same: bez zmiany boksów po dokonaniu wyboru.

Popularne w kategorii: