Главная › Салон › Графический метод решения системы уравнений. Решение уравнений, неравенств, систем с помощью графиков функций

Графический метод решения системы уравнений. Решение уравнений, неравенств, систем с помощью графиков функций

Презентация и урок на тему: "Графическое решение квадратных уравнений"

Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.

Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 8 класса
Степени и корни Функции и графики

Графики квадратичных функций

На прошлом уроке мы научились строить график любой квадратичной функции. С помощью таких функций мы можем решать, так называемые, квадратные уравнения, которые в общем виде записываются следующим образом: $ax^2+bx+c=0$,
$a, b, c$ - любые числа, но $a≠0$.
Ребята, сравните уравнение, записанное выше и это: $y=ax^2+bx+c$.
Они практически идентичны. Отличие в том, что вместо $y$ мы записали $0$, т.е. $y=0$. Как же тогда решить квадратные уравнения? Первое, что приходит на ум, надо построить график параболы $ax^2+bx+c$ и найти точки пересечения этого графика с прямой $y=0$. Существуют и другие способы решения. Рассмотрим их на конкретном примере.

Способы решения квадратичных функций

Пример.
Решить уравнение: $x^2+2x-8=0$.

Решение.
Способ 1. Построим график функции $y=x^2+2x-8$ и найдем точки пересечения с прямой $y=0$. Коэффициент при старшей степени положителен, значит ветви параболы смотрят вверх. Найдем координаты вершины:
$x_{в}=-\frac{b}{2a}=\frac{-2}{2}=-1$.
$y_{в}=(-1)^2+2*(-1)-8=1-2-8=-9$.

Точку с координатами $(-1;-9)$ примем за начало новой системы координат и построим в ней график параболы $y=x^2$.

Мы видим две точки пересечения. Они отмечены черными точками на графике. Мы решаем уравнение относительно х, поэтому надо выбрать абсциссы этих точек. Они равны $-4$ и $2$.
Таким образом, решением квадратного уравнения $x^2+2x-8=0$ являются два корня:$ x_1=-4$ и $x_2=2$.

Способ 2. Преобразуем исходное уравнение к виду: $x^2=8-2x$.
Таким образом мы можем решить это уравнение обычным графическим способом, найдя абсциссы точек пересечения двух графиков $y=x^2$ и $y=8-2x$.
Получили две точки пересечения, абсциссы которых совпадают с полученными в первом способе решениями, а именно: $x_1=-4$ и $x_2=2$.

Способ 3.
Преобразуем исходное уравнение к такому виду: $x^2-8=-2x$.
Построим два графика $y=x^2-8$ и $y=-2x$ и найдем их точки пересечения.
Графиком $y=x^2-8$ является парабола, смещенная на 8 единиц вниз.
Получили две точки пересечения, причем абсциссы этих точек такие же, как и в двух предыдущих способах, а именно: $x_1=-4$ и $x_2=2$.

Способ 4.
Выделим полный квадрат в исходном уравнении: $x^2+2x-8=x^2+2x+1-9=(x+1)^2-9$.
Построим два графика функций $y=(x+1)^2$ и $y=9$. Графиком первой функции является парабола, смещенная на одну единицу влево. График второй функции – это прямая, параллельная оси абсцисс и проходящая через ординату равную $9$.
В очередной раз получили две точки пересечения графиков, причем абсциссы этих точек совпадают с полученными в предыдущих способах $x_1=-4$ и $x_2=2$.

Способ 5.
Разделим исходное уравнение на х: $\frac{x^2}{x}+\frac{2x}{x}-\frac{8}{x}=\frac{0}{x}$.
$x+2-\frac{8}{x}=0$.
$x+2=\frac{8}{x}$.
Решим это уравнение графически, построим два графика $y=x+2$ и $y=\frac{8}{x}$.
Опять получили две точки пересечения, причем абсциссы этих точек совпадают с полученными выше $x_1=-4$ и $x_2=2$.

Алгоритм графического решения квадратичных функций

Ребята, мы рассмотрели пять способов графического решения квадратных уравнений. В каждом из этих способов корни уравнений получились одинаковыми, что значит решение получено верное.

Основные способы графического решения квадратных уравнений $ax^2+bx+c=0$, $a, b, c$ - любые числа, но $a≠0$:
1. Построить график функции $y=ax^2+bx+c$, найти точки пересечения с осью абсцисс, которые и будут решением уравнения.
2. Построить два графика $y=ax^2$ и $y=-bx-c$, найти абсциссы точек пересечения этих графиков.
3. Построить два графика $y=ax^2+c$ и $y=-bx$, найти абсциссы точек пересечения этих графиков. Графиком первой функции будет парабола, смещенная либо вниз либо вверх, в зависимости от знака числа с. Второй график – прямая, проходящая через начало координат.
4. Выделить полный квадрат, то есть привести исходное уравнение к виду: $a(x+l)^2+m=0$.
Построить два графика функции $y=a(x+l)^2$ и $y=-m$, найти их точки пересечения. Графиком первой функции будет парабола, смещенная либо влево, либо вправо, в зависимости от знака числа $l$. Графиком второй функции будет прямая, параллельная оси абсцисс и пересекающая ось ординат в точке равной $-m$.
5. Разделить исходное уравнение на х: $ax+b+\frac{c}{x}=0$.
Преобразовать к виду: $\frac{c}{x}=-ax-b$.
Опять построить два графика и найти точки их пересечения. Первый график – гипербола, второй график – прямая. К сожалению, графический метод решения квадратных уравнений не всегда является хорошим способом решения. Точки пересечения различных графиков не всегда являются целыми числами или могут иметь в абсциссе (ординате) очень большие числа, которые не построить на обычном листе бумаги.

Более наглядно продемонстрируем все эти способы на примере.

Пример.
Решить уравнение: $x^2+3x-12=0$,

Решение.
Построим график параболы и найдем координаты вершин: $x_{в}=-\frac{b}{2a}=\frac{-3}{2}=-1,5$.
$y_{в}=(-1,5)^2+2*(-1,5)-8=2,25-3-8=-8,75$.
При построении такой параболы сразу возникают проблемы, например, чтобы правильно отметить вершину параболы. Для того, чтобы точно отметить ординату вершины нужно выбрать одну клеточку, равную 0,25 единиц масштаба. При таком масштабе нужно спуститься на 35 единиц вниз, что неудобно. Все таки построим наш график.
Вторая проблема с которой мы сталкиваемся, это то, что график нашей функции пересекает ось абсцисс в точке с координатами, которые точно определить невозможно. Возможно приблизительное решение, но математика - это точная наука.
Таким образом, графический метод оказывается не самым удобным. Поэтому для решений квадратных уравнений требуется более универсальный метод, который мы изучим на следующих уроках.

Задачи для самостоятельного решения

1. Решить уравнение графически (всеми пятью способами): $x^2+4x-12=0$.
2. Решить уравнение любым графическим способом: $-x^2+6x+16=0$.

Иногда уравнения решают графическим способом. Для этого надо преобразовать уравнение так (если оно уже не представлено в преобразованном виде), чтобы слева и справа от знака равенства стояли выражения, для которых легко можно нарисовать графики функций. Например, дано такое уравнение:
x² – 2x – 1 = 0

Если мы еще не изучали решение квадратных уравнений алгебраическим способом, то можем попробовать сделать это либо разложением на множители, либо графически. Чтобы решить подобное уравнение графически, представим его в таком виде:
x² = 2x + 1

Из такого представления уравнения следует, что требуется найти такие значения x , при которых левая часть будет равна правой.

Как известно, графиком функции y = x² является парабола, а y = 2x + 1 - прямая. Координата x точек координатной плоскости, лежащих как на первом графике, так и на втором (то есть точек пересечения графиков) как раз и являются теми значениями x , при которых левая часть уравнения будет равна правой. Другими словами, координаты x точек пересечения графиков являются корнями уравнения.

Графики могут пересекаться в нескольких точках, в одной точке, вообще не пересекаться. Отсюда следует, что уравнение может иметь несколько корней, или один корень, или вообще их не иметь.

Рассмотрим пример попроще:
x² – 2x = 0 или x² = 2x

Нарисуем графики функций y = x² и y = 2x:

Как видно из чертежа, парабола и прямая пересекаются в точках (0; 0) и (2; 4). Координаты x этих точек соответственно равны 0 и 2. Значит, уравнение x² – 2x = 0 имеет два корня - x 1 = 0, x 2 = 2.

Проверим это, решив уравнение вынесением общего множителя за скобки:
x² – 2x = 0
x(x – 2) = 0

Ноль в правой части может получиться либо при x равном 0, либо 2.

Причина, по которой мы не стали графически решать уравнение x² – 2x – 1 = 0 в том, что в большинстве уравнений корнями являются вещественные (дробные) числа, а точно определить на графике значение x сложно. Поэтому для большинства уравнений графический способ решения не является лучшим. Однако знание этого способа дает более глубокое понимание связи между уравнениями и функциями.

>>Математика: Графическое решение уравнений

Графическое решение уравнений

Подытожим наши знания о графиках функций. Мы с вами научились строить графики следующих функций:

у =b (прямую, параллельную оси х);

y = kx (прямую, проходящую через начало координат);

y - kx + m (прямую);

у = х 2 (параболу).

Знание этих графиков позволит нам в случае необходимости заменить аналитическую модель геометрической (графической), например, вместо модели у = х 2 (которая представляет собой равенство с двумя переменными х и у) рассматривать параболу в координатной плоскости. В частности, это иногда полезно для решения уравнений. Как это делается, обсудим на нескольких примерах.

А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений

Содержание урока конспект урока опорный каркас презентация урока акселеративные методы интерактивные технологии Практика задачи и упражнения самопроверка практикумы, тренинги, кейсы, квесты домашние задания дискуссионные вопросы риторические вопросы от учеников Иллюстрации аудио-, видеоклипы и мультимедиа фотографии, картинки графики, таблицы, схемы юмор, анекдоты, приколы, комиксы притчи, поговорки, кроссворды, цитаты Дополнения рефераты статьи фишки для любознательных шпаргалки учебники основные и дополнительные словарь терминов прочие Совершенствование учебников и уроков исправление ошибок в учебнике обновление фрагмента в учебнике элементы новаторства на уроке замена устаревших знаний новыми Только для учителей идеальные уроки календарный план на год методические рекомендации программы обсуждения Интегрированные уроки

Пусть имеется полное квадратное уравнение: A*x2+B*x+C=0, где A, B и C - любые числа, причем A не равно нулю. Это общий случай квадратного уравнения. Существует также приведенный вид, в котором A=1. Чтобы решить графически любое уравнение, нужно перенести в другую часть слагаемое с наибольшей степенью и приравнять обе части к какой-либо переменной.

После этого в левой части уравнения останется A*x2, а в правой - B*x-C (можно предположить, что B - отрицательное число, сути это не меняет). Получится уравнение A*x2=B*x-C=y. Для наглядности в этом случае обе части приравнены к переменной y.

Построение графиков и обработка результатов

Теперь можно записать два уравнения: y=A*x2 и y=B*x-C. Далее необходимо построить график каждой из этих функций. График y=A*x2 представляет собой параболу с вершиной в начале координат, ветви которой направлены вверх или вниз, в зависимости от знака числа A. Если оно отрицательно, ветви направлены вниз, если положительно - вверх.

График y=B*x-C представляет собой обычную прямую линию. Если C=0, прямая проходит через начало координат. В общем случае она отсекает от оси ординат отрезок, равный С. Угол наклона этой прямой относительно оси абсцисс определяется коэффициентом B. Он равен тангенсу наклона этого угла.

После того как графики построены, будет видно, что они пересекутся в двух точках. Координаты этих точек по оси абсцисс определяют корни квадратного уравнения. Для их точного определения нужно четко строить графики и правильно выбрать масштаб.

Другой способ графического решения

Существует еще один способ графического решения квадратного уравнения. Необязательно переносить B*x+C в другую часть уравнения. Можно сразу построить график функции y=A*x2+B*x+C. Такой график представляет собой параболу с вершиной в произвольной точке. Этот способ сложнее предыдущего, зато можно построить только один график, чтобы .

Сначала нужно определить вершину параболы с координатами x0 и y0. Ее абсцисса вычисляется по формуле x0=-B/2*a. Для определения ординаты нужно подставить полученное значение абсциссы в исходную функцию. Математически это утверждение записывается так: y0=y(x0).

Затем требуется найти две точки, симметричные оси параболы. В них исходная функция должна обращаться в ноль. После этого можно строить параболу. Точки ее пересечения с осью Х дадут два корня квадратного уравнения.