Процесс поиска наименьшего и наибольшего значения функции на отрезке напоминает
увлекательный облёт объекта (графика функции) на вертолёте с обстрелом из дальнобойной пушки
определённых точек и выбором из этих точек совсем особенных точек для контрольных выстрелов. Точки выбираются определённым образом и
по определённым правилам. По каким правилам? Об этом мы далее и поговорим.
Если функция y
= f
(x
)
непрерывна на отрезке [a
, b
]
,
то она достигает на этом отрезке наименьшего
и наибольшего значений
. Это
может произойти либо в точках экстремума
, либо на концах отрезка. Поэтому для нахождения наименьшего
и наибольшего значений функции
,
непрерывной на отрезке [a
, b
]
, нужно
вычислить её значения во всех критических точках
и на концах отрезка, а затем выбрать из них наименьшее
и наибольшее.
Пусть, например, требуется определить наибольшее значение функции
f
(x
)
на отрезке [a
, b
]
.
Для этого следует найти все её критические точки, лежащие на [a
, b
]
.
Критической точкой
называется точка, в которой
функция определена
, а её
производная
либо равна нулю, либо не существует. Затем следует вычислить значения функции в критических
точках. И, наконец, следует сравнить между собой по величине значения функции в критических точках и
на концах отрезка (f
(a
)
и f
(b
)
).
Наибольшее из этих чисел и будет наибольшим значением функции на отрезке
[a
, b
]
.
Аналогично решаются и задачи на нахождение наименьших значений
функции
.
Ищем наименьшее и наибольшее значения функции вместе
Пример 1. Найти наименьшее и наибольшее значения функции
на отрезке
[-1, 2]
.
Решение. Находим производную данной функции .
Приравняем производную нулю ()
и получим две критические точки: и
. Для нахождения
наименьшего и наибольшего значений функции на заданном отрезке достаточно вычислить её значения на
концах отрезка и в точке ,
так как точка не
принадлежит отрезку [-1, 2]
. Эти значения функции - следующие: ,
,
. Из этого следует, что
наименьшее значение функции
(на графике ниже обозначено красным), равное -7, достигается на правом конце отрезка - в точке
, а наибольшее
(тоже
красное на графике), равно 9,
- в критической точке .
Если функция непрерывна в некотором промежутке и этот промежуток не является отрезком
(а является, например, интервалом; разница между интервалом и отрезком: граничные точки интервала не входят в интервал, а граничные точки отрезка входят в отрезок),
то среди значений функции может и не быть наименьшего и наибольшего. Так, например, функция, изображённая
на рисунке ниже, непрерывна на ]-∞, +∞[
и не имеет
наибольшего значения.
Однако для любого промежутка (закрытого, открытого или бесконечного) справедливо
следующее свойство непрерывных функций.
Пример 4. Найти наименьшее и наибольшее значения функции
на отрезке
[-1, 3]
.
Решение. Находим производную данной функции как производную частного:
.
Приравниваем производную нулю,
что даёт нам одну критическую точку: .
Она принадлежит отрезку [-1, 3]
. Для нахождения
наименьшего и наибольшего значений функции на заданном отрезке находим её значения на
концах отрезка и в найденной критической точке:
Сравниваем эти значения. Вывод: , равного -5/13,
в точке и наибольшего
значения
, равного 1, в точке
.
Продолжаем искать наименьшее и наибольшее значения функции вместе
Есть преподаватели, которые по теме нахождения наименьшего и наибольшего значений функции
не дают студентам для решения примеры сложнее только что рассмотренных, то есть таких, в которых функция -
многочлен либо дробь, числитель и знаменатель которой - многочлены. Но мы не ограничимся такими примерами,
поскольку среди преподавателей бывают любители заставить студентов думать по полной (таблице производных).
Поэтому в ход пойдут логарифм и тригонометрическая функция.
Пример 6. Найти наименьшее и наибольшее значения функции
на отрезке
.
Решение. Находим производную данной функции как производную произведения
:
Приравниваем производную нулю, что даёт
одну критическую точку: .
Она принадлежит отрезку
. Для нахождения
наименьшего и наибольшего значений функции на заданном отрезке находим её значения на
концах отрезка и в найденной критической точке:
Результат всех действий: функция достигает наименьшего значения
, равного 0,
в точке и в точке
и наибольшего
значения
, равного e
²
, в точке
.
Пример 7. Найти наименьшее и наибольшее значения функции
на отрезке
.
Решение. Находим производную данной функции:
Приравниваем производную нулю:
Единственная критическая точку
принадлежит отрезку . Для нахождения
наименьшего и наибольшего значений функции на заданном отрезке находим её значения на
концах отрезка и в найденной критической точке:
Вывод: функция достигает наименьшего значения
, равного ,
в точке и наибольшего
значения
, равного , в точке
.
В прикладных экстремальных задачах нахождение наименьшего (наибольшего) значений
функции, как правило, сводится к нахождению минимума (максимума). Но больший практический интерес имеют
не сами минимумы или максимумы, а те значения аргумента, при которых они достигаются. При решении
прикладных задач возникает дополнительная трудность - составление функций, описывающих рассматриваемое
явление или процесс.
Пример 8.
Резервуар ёмкостью 4 ,
имеющий форму параллелепипеда с квадратным основанием и открытый сверху, нужно вылудить оловом. Каковы
должны быть размеры резервуара, чтобы на его покрытие ушло наименьшее количество материала?
Решение. Пусть x
- сторона основания, h
- высота резервуара,
S
- площадь его поверхности без крышки, V
- его объём. Площадь поверхности резервуара
выражается формулой ,
т.е. является функцией двух переменных .
Чтобы выразить S
как функцию одной переменной, воспользуемся тем, что ,
откуда . Подставив
найденное выражение h
в формулу для S
:
Исследуем эту функцию на экстремум. Она определена и дифференцируема всюду в
]0, +∞[
, причём
.
Приравниваем производную нулю ()
и находим критическую точку . Кроме того,
при производная не
существует, но это значение не входит в область определения и поэтому не может быть точкой экстремума.
Итак, - единственная
критическая точка. Проверим её на наличие экстремума, используя второй достаточный признак. Найдём
вторую производную .
При вторая производная
больше нуля (). Значит, при
функция достигает
минимума . Поскольку
этот минимум - единственный экстремум данной функции, он и является её наименьшим значением
. Итак,
сторона основания резервуара должна быть равна 2 м, а его высота .
Пример 9.
Из пункта A
, находящегося на линии железной
дороги, в пункт С
, отстоящий от неё на расстоянии l
, должны переправляться грузы.
Стоимость провоза весовой единицы на единицу расстояния по железной дороге равна ,
а по шоссе она равна . К
какой точке М
линии железной дороги следует провести шоссе, чтобы транспортировка груза из
А
в С
была наиболее экономичной (участок АВ
железной дороги предполагается
прямолинейным)?
Как найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке?
Для этого мы следуем известному алгоритму
:
1
. Находим ОДЗ функции.
2
. Находим производную функции
3
. Приравниваем производную к нулю
4
. Находим промежутки, на которых производная сохраняет знак, и по ним определяем промежутки возрастания и убывания функции:
Если на промежутке I производная функции 0" title="f^{prime}(x)>0">, то функция возрастает на этом промежутке.
Если на промежутке I производная функции , то функция убывает на этом промежутке.
5
. Находим точки максимума и минимума функции
.
В точке максимума функции производная меняет знак с "+" на "-"
.
В точке минимума функции
производная меняет знак с "-" на "+"
.
6
. Находим значение функции в концах отрезка,
- затем сравниваем значение функции в концах отрезка и в точках максимума, и выбираем из них наибольшее, если нужно найти наибольшее значение функции
- или сравниваем значение функции в концах отрезка и в точках минимума, и выбираем из них наименьшее, если нужно найти наименьшее значение функции
Однако, в зависимости от того, как себя ведет функция на отрезке, это алгоритм можно значительно сократить.
Рассмотрим функцию . График этой функции выглядит так:
Рассмотрим несколько примеров решения задач из Открытого банка заданий для
1
. Задание B15 (№ 26695)
На отрезке .
1. Функция определена при всех действительных значениях х
Очевидно, что это уравнений не имеет решений, и производная при всех значениях х положительна. Следовательно, функция возрастает и принимает наибольшее значение в правом конце промежутка, то есть при х=0.
Ответ: 5.
2
. Задание B15 (№ 26702)
Найдите наибольшее значение функции
на отрезке .
1. ОДЗ функции title="x{pi}/2+{pi}k, k{in}{bbZ}">
Производная равна нулю при , однако, в этих точках она не меняет знак:
Следовательно, title="3/{cos^2{x}}>=3">, значит, title="3/{cos^2{x}}-3>=0">, то есть производная при всех допустимых значених х неотрицательна, следовательно, функция возрастает и принимает наибольшее значение в правом конце промежутка, при .
Чтобы стало очевидно, почему производная не меняет знак, преобразуем выражение для производной следующим образом:
Title="y^{prime}=3/{cos^2{x}}-3={3-3cos^2{x}}/{cos^2{x}}={3sin^2{x}}/{cos^2{x}}=3tg^2{x}>=0">
Ответ: 5.
3
. Задание B15 (№ 26708)
Найдите наименьшее значение функции на отрезке .
1. ОДЗ функции : title="x{pi}/2+{pi}k, k{in}{bbZ}">
Расположим корни этого уравнения на тригонометрической окружности.
Промежутку принадлежат два числа: и
Расставим знаки. Для этого определим знак производной в точке х=0: . При переходе через точки и производная меняет знак.
Изобразим смену знаков производной функции на координатной прямой:
Очевидно, что точка является точкой минимума (в ней производная меняет знак с "-" на "+"), и чтобы найти наименьшее значение функции на отрезке , нужно сравнить значения функции в точке минимума и в левом конце отрезка, .
В этой статье я расскажу про алгоритм поиска наибольшего и наименьшего значения
функции, точек минимума и максимума.
Из теории нам точно пригодится таблица производных
и правила дифференцирования
. Все это есть в этой табличке:
Алгоритм поиска наибольшего и наименьшего значения.
Мне удобнее объяснять на конкретном примере. Рассмотрим:
Пример:
Найдите наибольшее значение функции y=x^5+20x^3–65x на отрезке [–4;0].
Шаг 1.
Берем производную.
Y" = (x^5+20x^3–65x)" = 5x^4 + 20*3x^2 - 65 = 5x^4 + 60x^2 - 65
Шаг 2.
Находим точки экстремума.
Точкой экстремума
мы называем такие точки, в которых функция достигает своего наибольшего или наименьшего значения.
Чтобы найти точки экстремума, надо приравнять производную функции к нулю (y" = 0)
5x^4 + 60x^2 - 65 = 0
Теперь решаем это биквадратное уравнение и найденные корни есть наши точки экстремума.
Я решаю такие уравнения заменой t = x^2, тогда 5t^2 + 60t - 65 = 0.
Сократим уравнение на 5, получим: t^2 + 12t - 13 = 0
D = 12^2 - 4*1*(-13) = 196
T_(1) = (-12 + sqrt(196))/2 = (-12 + 14)/2 = 1
T_(2) = (-12 - sqrt(196))/2 = (-12 - 14)/2 = -13
Делаем обратную замену x^2 = t:
X_(1 и 2) = ±sqrt(1) = ±1
x_(3 и 4) = ±sqrt(-13) (исключаем, под корнем не может быть отрицательных чисел, если конечно речь не идет о комплексных числах)
Итого: x_(1) = 1 и x_(2) = -1 - это и есть наши точки экстремума.
Шаг 3.
Определяем наибольшее и наименьшее значение.
Метод подстановки.
В условии нам был дан отрезок [b][–4;0]. Точка x=1 в этот отрезок не входит. Значит ее мы не рассматриваем. Но помимо точки x=-1 нам также надо рассмотреть левую и правую границу нашего отрезка, то есть точки -4 и 0. Для этого подставляем все эти три точки в исходную функцию. Заметьте исходную - это ту, которая дана в условии (y=x^5+20x^3–65x), некоторые начинают подставлять в производную...
Y(-1) = (-1)^5 + 20*(-1)^3 - 65*(-1) = -1 - 20 + 65 = [b]44
y(0) = (0)^5 + 20*(0)^3 - 65*(0) = 0
y(-4) = (-4)^5 + 20*(-4)^3 - 65*(-4) = -1024 - 1280 + 260 = -2044
Значит наибольшее значение функции это [b]44 и достигается оно в точки [b]-1, которая называется точкой максимума функции на отрезке [-4; 0].
Мы решили и получили ответ, мы молодцы, можно расслабиться. Но стоп! Вам не кажется, что считать y(-4) как-то слишком сложно? В условиях ограниченного времени лучше воспользоваться другим способом, я называю его так:
Через промежутки знакопостоянства.
Находятся эти промежутки для производной функции, то есть для нашего биквадратного уравнения.
Я делаю это следующим образом. Рисую направленный отрезок. Расставляю точки: -4, -1, 0, 1. Не смотря на то, что 1 не входит в заданный отрезок, ее все равно следует отметить для того, чтобы корректно определить промежутки знакопостоянства. Возьмем какое-нибудь число во много раз больше 1, допустим 100, мысленно подставим его в наше биквадратное уравнение 5(100)^4 + 60(100)^2 - 65. Даже ничего не считая становится очевидно, что в точке 100 функция имеет знак плюс. А значит и на промежутки от 1 до 100 она имеет знак плюс. При переходе через 1 (мы идем справа налево)функция сменит знак на минус. При переходе через точку 0 функция сохранит свой знак, так как это лишь граница отрезка, а не корень уравнения. При переходе через -1 функция опять сменит знак на плюс.
Из теории мы знаем, что там, где производная функции (а мы именно для нее это и чертили) меняет знак с плюса на минус
(точка -1 в нашем случае)
функция достигает своего локального максимума
(y(-1)=44, как была посчитано ранее)
на данном отрезке (это логически очень понятно, функция перестала возрастать, так как достигла своего максимума и начала убывать).
Соответственно, там где производная функции меняет знак с минуса на плюс
, достигается локальный минимум функции
. Да, да, мы также нашли точку локального минимума это 1, а y(1) - это минимальное значение функции на отрезке, допустим от -1 до +∞. Обратите огромное внимание, что это лишь ЛОКАЛЬНЫЙ МИНИМУМ, то есть минимум на определенном отрезке. Так как действительный (глобальный) минимум функция достигнет где-то там, в -∞.
На мой взгляд первый способ проще теоретически, а второй проще с точки зрения арифметических действий, но намного сложнее с точки зрения теории. Ведь иногда бывают случаи, когда функция не меняет знак при переходе через корень уравнения, да и вообще можно запутаться с этими локальными, глобальными максимумами и минимумами, хотя Вам так и так придется это хорошо освоить, если вы планируете поступать в технический ВУЗ (а для чего иначе сдавать профильное ЕГЭ и решать это задание). Но практика и только практика раз и навсегда научит Вас решать такие задачи. А тренироваться можете на нашем сайте. Вот .
Если появились какие-то вопросы, или что-то непонятно - обязательно спросите. Я с радостью Вам отвечу, и внесу изменения, дополнения в статью. Помните мы делаем этот сайт вместе!
Популярное в рубрике:
Как проявляется желудочный кашель и как его лечить Кашель от...
читать
Кт брюшной полости - подготовка, показания к исследованию,...
читать
Синдром парацентральных долек: симптомы, признаки, диагностика,...
читать
Что такое днк - дезоксирибонуклеиновая кислота Строение днк генетика
читать
Top