Gradmått av inskrivna och centrala vinklar. Cirkel och inskriven vinkel

Vinkel ABC är en inskriven vinkel. Den vilar på bågen AC, innesluten mellan dess sidor (bild 330).

Sats. En inskriven vinkel mäts med halva bågen den skär.

Detta ska förstås på följande sätt: en inskriven vinkel innehåller lika många vinkelgrader, minuter och sekunder som båggrader, minuter och sekunder finns i den halva av bågen som den vilar på.

För att bevisa detta teorem måste vi överväga tre fall.

Första fallet. Cirkelns centrum ligger på sidan av den inskrivna vinkeln (bild 331).

Låt ∠ABC vara en inskriven vinkel och cirkelns centrum O ligger på sidan BC. Det krävs för att bevisa att det mäts med halva bågen AC.

Anslut punkt A till cirkelns mitt. Vi får de likbenta \(\Delta\)AOB, där AO = OB, som radierna för samma cirkel. Därför är ∠A = ∠B.

∠AOC är utanför triangeln AOB, så ∠AOC = ∠A + ∠B, och eftersom vinklarna A och B är lika, är ∠B 1/2 ∠AOC.

Men ∠AOC mäts med båge AC, därför mäts ∠B med hälften av båge AC.

Till exempel, om \(\breve(AC)\) innehåller 60°18', så innehåller ∠B 30°9'.

Andra fallet. Cirkelns centrum ligger mellan sidorna av den inskrivna vinkeln (bild 332).

Låt ∠ABD vara en inskriven vinkel. Mitten av cirkel O ligger mellan dess sidor. Det krävs för att bevisa att ∠ABD mäts med hälften av bågen AD.

För att bevisa detta, låt oss rita diametern BC. Vinkel ABD delas upp i två vinklar: ∠1 och ∠2.

∠1 mäts med hälften av bågen AC, och ∠2 mäts med hälften av bågen CD, därför mäts hela ∠ABD med 1/2 \(\breve(AC)\) + 1/2 \( \breve(CD)\), dvs hälften av bågen AD.

Till exempel, om \(\breve(AD)\) innehåller 124°, så innehåller ∠B 62°.

Tredje fallet. Cirkelns centrum ligger utanför den inskrivna vinkeln (bild 333).

Låt ∠MAD vara en inskriven vinkel. Mitten av cirkel O är utanför hörnet. Det krävs för att bevisa att ∠MAD mäts med hälften av bågen MD.

För att bevisa detta, låt oss rita diametern AB. ∠MAD = ∠MAB - ∠DAB. Men ∠MAB mäter 1/2 \(\breve(MB)\) och ∠DAB mäter 1/2 \(\breve(DB)\).

Därför mäter ∠MAD 1/2 (\(\breve(MB) - \breve(DB))\), d.v.s. 1/2 \(\breve(MD)\).

Till exempel, om \(\breve(MD)\) innehåller 48° 38", så innehåller ∠MAD 24° 19' 8".

Konsekvenser
1. Alla inskrivna vinklar baserade på samma båge är lika med varandra, eftersom de mäts med hälften av samma båge (Fig. 334, a).

2. En inskriven vinkel baserad på en diameter är en rät vinkel eftersom den är baserad på en halv cirkel. Halva cirkeln innehåller 180 båggrader, vilket innebär att vinkeln baserat på diametern innehåller 90 vinkelgrader (fig. 334, b).

Begreppet inskriven och central vinkel

Låt oss först introducera begreppet en central vinkel.

Anmärkning 1

Anteckna det gradmåttet för en mittvinkel är lika med gradmåttet för den båge den skär.

Vi introducerar nu begreppet en inskriven vinkel.

Definition 2

En vinkel vars spets ligger på en cirkel och vars sidor skär samma cirkel kallas en inskriven vinkel (fig. 2).

Figur 2. Inskriven vinkel

Inskriven vinkelsats

Sats 1

Måttet på en inskriven vinkel är halva måttet på den båge den skär.

Bevis.

Låt oss få en cirkel centrerad vid punkten $O$. Beteckna den inskrivna vinkeln $ACB$ (Fig. 2). Följande tre fall är möjliga:

• Strålen $CO$ sammanfaller med någon sida av vinkeln. Låt detta vara $CB$-sidan (Fig. 3).

Figur 3

I detta fall är bågen $AB$ mindre än $(180)^(()^\circ )$, därför är mittvinkeln $AOB$ lika med bågen $AB$. Eftersom $AO=OC=r$ är triangeln $AOC$ likbent. Därför är basvinklarna $CAO$ och $ACO$ lika. Enligt satsen om en triangels yttre vinkel har vi:

• Ray $CO$ delar en inre vinkel i två vinklar. Låt den skära cirkeln i punkten $D$ (Fig. 4).

Figur 4

Vi får

• Ray $CO$ delar inte en inre vinkel i två vinklar och sammanfaller inte med någon av dess sidor (fig. 5).

Bild 5

Betrakta vinklarna $ACD$ och $DCB$ separat. Genom det som bevisades i punkt 1 får vi

Vi får

Teoremet har bevisats.

Låt oss ta konsekvenser från detta teorem.

Resultat 1: De inskrivna vinklarna som skär samma båge är lika.

Konsekvens 2: En inskriven vinkel som skär en diameter är en rät vinkel.

Begreppet inskriven och central vinkel

Låt oss först introducera begreppet en central vinkel.

Anmärkning 1

Anteckna det gradmåttet för en mittvinkel är lika med gradmåttet för den båge den skär.

Vi introducerar nu begreppet en inskriven vinkel.

Definition 2

En vinkel vars spets ligger på en cirkel och vars sidor skär samma cirkel kallas en inskriven vinkel (fig. 2).

Figur 2. Inskriven vinkel

Inskriven vinkelsats

Sats 1

Måttet på en inskriven vinkel är halva måttet på den båge den skär.

Bevis.

Låt oss få en cirkel centrerad vid punkten $O$. Beteckna den inskrivna vinkeln $ACB$ (Fig. 2). Följande tre fall är möjliga:

• Strålen $CO$ sammanfaller med någon sida av vinkeln. Låt detta vara $CB$-sidan (Fig. 3).

Figur 3

I detta fall är bågen $AB$ mindre än $(180)^(()^\circ )$, därför är mittvinkeln $AOB$ lika med bågen $AB$. Eftersom $AO=OC=r$ är triangeln $AOC$ likbent. Därför är basvinklarna $CAO$ och $ACO$ lika. Enligt satsen om en triangels yttre vinkel har vi:

• Ray $CO$ delar en inre vinkel i två vinklar. Låt den skära cirkeln i punkten $D$ (Fig. 4).

Figur 4

Vi får

• Ray $CO$ delar inte en inre vinkel i två vinklar och sammanfaller inte med någon av dess sidor (fig. 5).

Bild 5

Betrakta vinklarna $ACD$ och $DCB$ separat. Genom det som bevisades i punkt 1 får vi

Vi får

Teoremet har bevisats.

Låt oss ta konsekvenser från detta teorem.

Resultat 1: De inskrivna vinklarna som skär samma båge är lika.

Konsekvens 2: En inskriven vinkel som skär en diameter är en rät vinkel.

Inskriven vinkel, problemteori. Vänner! I den här artikeln kommer vi att prata om uppgifter, för vars lösning det är nödvändigt att känna till egenskaperna hos en inskriven vinkel. Det här är en hel grupp uppgifter, de ingår i provet. De flesta av dem löses mycket enkelt, i ett steg.

Det finns svårare uppgifter, men de kommer inte att ge dig mycket svårigheter, du måste känna till egenskaperna hos den inskrivna vinkeln. Gradvis kommer vi att analysera alla prototyper av uppgifter, jag inbjuder dig till bloggen!

Nu nödvändig teori. Kom ihåg vilken central och inskriven vinkel, ackord, båge, som dessa vinklar är beroende av:

Den centrala vinkeln i en cirkel kallas en platt vinkel medhöjdpunkten i mitten.

Den del av en cirkel som är inuti ett platt hörnkallas en cirkelbåge.

Gradmåttet för en cirkelbåge är gradmåttetmotsvarande mittvinkel.

En vinkel kallas inskriven i en cirkel om vinkelns spets liggerpå en cirkel, och vinkelns sidor skär denna cirkel.

Ett linjesegment som förbinder två punkter på en cirkel kallasackord. Det längsta ackordet passerar genom mitten av cirkeln och kallasdiameter.

För att lösa problem för vinklar inskrivna i en cirkel,du behöver känna till följande egenskaper:

1. Den inskrivna vinkeln är lika med halva mittvinkeln baserat på samma båge.

2. Alla inskrivna vinklar baserade på samma båge är lika.

3. Alla inskrivna vinklar baserade på samma ackord, vars hörn ligger på samma sida av detta ackord, är lika.

4. Varje par av vinklar baserade på samma ackord, vars hörn ligger på motsatta sidor av ackordet, summerar till 180°.

Följd: Motsatta vinklar på en fyrhörning inskriven i en cirkel summerar till 180 grader.

5. Alla inskrivna vinklar baserat på diametern är raka.

I allmänhet är denna egenskap en följd av egendom (1), detta är dess specialfall. Titta - den centrala vinkeln är lika med 180 grader (och denna utvecklade vinkel är inget annat än en diameter), vilket betyder att enligt den första egenskapen är den inskrivna vinkeln C lika med dess halva, det vill säga 90 grader.

Kunskap om denna egenskap hjälper till att lösa många problem och gör att du ofta kan undvika onödiga beräkningar. Efter att ha bemästrat det väl kommer du att kunna lösa mer än hälften av denna typ av problem muntligen. Två konsekvenser som kan göras:

Följd 1: om en triangel är inskriven i en cirkel och en av dess sidor sammanfaller med diametern på denna cirkel, då är triangeln rätvinklig (den räta vinkelns spets ligger på cirkeln).

Resultat 2: mitten av det beskrivna om rät triangel cirkeln sammanfaller med mittpunkten av dess hypotenusa.

Många prototyper av stereometriska problem löses också genom att använda denna egenskap och dessa följder. Kom ihåg själva faktum: om diametern på en cirkel är en sida av en inskriven triangel, är denna triangel rätvinklig (vinkeln motsatt diametern är 90 grader). Du kan dra alla andra slutsatser och konsekvenser själv, du behöver inte lära ut dem.

I regel ges hälften av problemen för en inskriven vinkel med en skiss, men utan notation. För att förstå resonemangsprocessen när man löser problem (nedan i artikeln), introduceras beteckningarna på hörn (hörn). På tentamen kan du inte göra detta.Tänk på uppgifterna:

Vad är en spetsig inskriven vinkel som skär ett korda som är lika med cirkelns radie? Ge ditt svar i grader.

Låt oss bygga en central vinkel för en given inskriven vinkel, beteckna hörnen:

Enligt egenskapen hos en vinkel inskriven i en cirkel:

Vinkeln AOB är lika med 60 0, eftersom triangeln AOB är liksidig, och i en liksidig triangel är alla vinklar lika med 60 0 . Triangelns sidor är lika, eftersom villkoret säger att kordan är lika med radien.

Således är den inskrivna vinkeln DIA 30°.

Svar: 30

Hitta ackordet som vinkeln 30 0 vilar på, inskrivet i en cirkel med radie 3.

Detta är i huvudsak det omvända problemet (av det föregående). Låt oss bygga ett centralt hörn.

Den är dubbelt så stor som den inskrivna, det vill säga vinkeln AOB är 60 0 . Av detta kan vi dra slutsatsen att triangeln AOB är liksidig. Således är ackordet lika med radien, det vill säga tre.

Svar: 3

Cirkelns radie är 1. Hitta värdet på en trubbig inskriven vinkel baserat på ett korda som är lika med roten av två. Ge ditt svar i grader.

Låt oss bygga den centrala vinkeln:

Genom att känna till radien och ackordet kan vi hitta den centrala vinkeln DIA. Detta kan göras med hjälp av cosinuslagen. Genom att känna till centralvinkeln kan vi enkelt hitta den inskrivna vinkeln ACB.

Cosinussats: kvadraten på vilken sida som helst i en triangel är lika med summan av kvadraterna på de andra två sidorna, utan att dubbla produkten av dessa sidor gånger cosinus för vinkeln mellan dem.

Därför är den andra centrala vinkeln 360 0 – 90 0 = 270 0 .

Enligt egenskapen hos en inskriven vinkel är vinkeln DIA lika med dess halva, det vill säga 135 grader.

Svar: 135

Hitta ackordet på vilket vinkeln på 120 grader, roten av tre, är inskriven i en cirkel med radie.

Förbind punkterna A och B med cirkelns mittpunkt. Låt oss kalla det O:

Vi känner till radien och den inskrivna vinkeln DIA. Vi kan hitta den centrala vinkeln AOB (större än 180 grader), sedan hitta vinkeln AOB i triangeln AOB. Och sedan, med hjälp av cosinussatsen, beräkna AB.

Genom egenskapen för en inskriven vinkel kommer den centrala vinkeln AOB (som är större än 180 grader) att vara lika med två gånger den inskrivna vinkeln, det vill säga 240 grader. Det betyder att vinkeln AOB i triangeln AOB är 360 0 - 240 0 = 120 0 .

Enligt cosinuslagen:

Svar: 3

Hitta den inskrivna vinkeln baserat på bågen som är 20 % av cirkeln. Ge ditt svar i grader.

Genom egenskapen för en inskriven vinkel är den hälften så stor som den centrala vinkeln baserat på samma båge, i det här fallet Vi pratar om bågen AB.

Det sägs att bågen AB är 20 procent av omkretsen. Detta innebär att mittvinkeln AOB också är 20 procent av 360 0 .* En cirkel är en 360 graders vinkel. Betyder att,

Således är den inskrivna vinkeln ACB 36 grader.

Svar: 36

cirkelbåge AC, som inte innehåller poäng B, är 200 grader. Och cirkelbågen BC, som inte innehåller punkter A, är 80 grader. Hitta den inskrivna vinkeln ACB. Ge ditt svar i grader.

Låt oss för tydlighetens skull beteckna de bågar vars vinkelmått anges. Båge motsvarande 200 grader - Blå färg, bågen som motsvarar 80 grader är röd, resten av cirkeln är gul.

Gradmåttet för bågen AB (gul), och därmed mittvinkeln AOB är alltså: 360 0 – 200 0 – 80 0 = 80 0 .

Den inskrivna vinkeln DAB är halva mittvinkeln AOB, det vill säga lika med 40 grader.

Svar: 40

Vilken är den inskrivna vinkeln baserat på cirkelns diameter? Ge ditt svar i grader.

Detta är vinkeln som bildas av två ackord har sitt ursprung i en punkt på cirkeln. En inskriven vinkel sägs vara förlitar på en båge innesluten mellan dess sidor.

Inskriven vinkel lika med hälften av den båge som den vilar på.

Med andra ord, inskriven vinkel inkluderar så många grader, minuter och sekunder som båggrader, minuter och sekunder är inneslutna i hälften av den båge som den förlitar sig på. För motivering analyserar vi tre fall:

Första fallet:

Center O ligger på sidan inskriven vinkel MAGMUSKLER. Om vi ​​ritar radien AO får vi ΔABO, där OA = OB (som radier) och följaktligen ∠ABO = ∠BAO. I förhållande till detta triangel, vinkeln AOC är extern. Och så är det lika med summan av vinklarna ABO och BAO, eller lika med dubbelvinkeln ABO. Så ∠ABO är hälften centrala hörnet AOC. Men denna vinkel mäts av båge AC. Det vill säga, den inskrivna vinkeln ABC mäts med halva bågen AC.

Andra fallet:

Mitten O ligger mellan sidorna inskriven vinkel ABC. Efter att ha ritat diametern BD kommer vi att dela vinkeln ABC i två vinklar, av vilka, enligt det som fastställdes i det första fallet, en mäts med hälften bågar AD, och den andra halvan av bågen CD. Och följaktligen mäts vinkeln ABC med (AD + DC) / 2, dvs. 1/2 AC.

Tredje fallet:

Centrum O ligger utanför inskriven vinkel MAGMUSKLER. Efter att ha ritat diametern BD kommer vi att ha: ∠ABС = ∠ABD - ∠CBD . Men vinklarna ABD och CBD mäts, baserat på de tidigare underbyggda halvorna bågar AD och CD. Och eftersom ∠ABС mäts med (AD-CD)/2, det vill säga hälften av AC-bågen.

Konsekvens 1. Alla , baserade på samma båge är desamma, det vill säga de är lika med varandra. Eftersom var och en av dem mäts med hälften av detsamma bågar .

Konsekvens 2. Inskriven vinkel, baserat på diametern - rätt vinkel. Eftersom varje sådan vinkel mäts med en halv halvcirkel och därför innehåller 90 °.