การแก้สมการด้วย X เครื่องคำนวณสมการอตรรกยะออนไลน์

เพื่อแก้คณิตศาสตร์ ค้นหาอย่างรวดเร็ว การแก้สมการทางคณิตศาสตร์อยู่ในโหมด ออนไลน์. เว็บไซต์ www.site อนุญาต แก้สมการเกือบทุกอย่างที่ได้รับ พีชคณิต, ตรีโกณมิติหรือ สมการเหนือธรรมชาติออนไลน์. เมื่อเรียนคณิตศาสตร์เกือบทุกสาขาในแต่ละช่วง คุณต้องตัดสินใจ สมการออนไลน์. หากต้องการได้รับคำตอบทันที และที่สำคัญที่สุดคือคำตอบที่แม่นยำ คุณต้องมีทรัพยากรที่ช่วยให้คุณดำเนินการนี้ได้ ขอบคุณเว็บไซต์ www.site แก้สมการออนไลน์จะใช้เวลาไม่กี่นาที ข้อได้เปรียบหลักของ www.site เมื่อแก้โจทย์คณิต สมการออนไลน์- นี่คือความเร็วและความแม่นยำของการตอบสนองที่ให้ไว้ เว็บไซต์สามารถแก้ปัญหาใดๆ สมการพีชคณิตออนไลน์, สมการตรีโกณมิติออนไลน์, สมการเหนือธรรมชาติออนไลน์, และ สมการด้วยพารามิเตอร์ที่ไม่รู้จักในโหมด ออนไลน์. สมการทำหน้าที่เป็นเครื่องมือทางคณิตศาสตร์อันทรงพลัง โซลูชั่นปัญหาในทางปฏิบัติ ด้วยความช่วยเหลือ สมการทางคณิตศาสตร์เป็นไปได้ที่จะแสดงข้อเท็จจริงและความสัมพันธ์ที่อาจดูสับสนและซับซ้อนเมื่อมองแวบแรก ปริมาณที่ไม่ทราบ สมการสามารถพบได้โดยการกำหนดปัญหาใน ทางคณิตศาสตร์ภาษาในรูปแบบ สมการและ ตัดสินใจได้รับงานในโหมด ออนไลน์บนเว็บไซต์ www.site. ใดๆ สมการพีชคณิต, สมการตรีโกณมิติหรือ สมการซึ่งประกอบด้วย เหนือธรรมชาติคุณสมบัติที่คุณทำได้อย่างง่ายดาย ตัดสินใจออนไลน์และรับคำตอบที่แน่นอน เมื่อศึกษาวิทยาศาสตร์ธรรมชาติ คุณจะต้องพบกับความต้องการอย่างหลีกเลี่ยงไม่ได้ การแก้สมการ. ในกรณีนี้คำตอบจะต้องแม่นยำและต้องได้รับทันทีในโหมด ออนไลน์. ดังนั้นเพื่อ การแก้สมการทางคณิตศาสตร์ออนไลน์เราขอแนะนำเว็บไซต์ www.site ซึ่งจะกลายเป็นเครื่องคิดเลขที่ขาดไม่ได้ของคุณ การแก้สมการพีชคณิตออนไลน์, สมการตรีโกณมิติออนไลน์, และ สมการเหนือธรรมชาติออนไลน์หรือ สมการด้วยพารามิเตอร์ที่ไม่รู้จัก สำหรับปัญหาเชิงปฏิบัติในการหารากเหง้าต่างๆ สมการทางคณิตศาสตร์ทรัพยากร www.. การแก้ปัญหา สมการออนไลน์ตัวคุณเองจะมีประโยชน์ในการตรวจสอบคำตอบที่ได้รับโดยใช้ การแก้สมการออนไลน์บนเว็บไซต์ www.site. คุณต้องเขียนสมการให้ถูกต้องและรับทันที โซลูชั่นออนไลน์หลังจากนั้นสิ่งที่เหลืออยู่ก็คือการเปรียบเทียบคำตอบกับคำตอบของคุณกับสมการ การตรวจสอบคำตอบจะใช้เวลาไม่เกินหนึ่งนาทีก็เพียงพอแล้ว แก้สมการออนไลน์และเปรียบเทียบคำตอบ ซึ่งจะช่วยให้คุณหลีกเลี่ยงข้อผิดพลาดได้ การตัดสินใจและแก้ไขคำตอบให้ตรงเวลาเมื่อ การแก้สมการออนไลน์ทั้ง พีชคณิต, ตรีโกณมิติ, เหนือธรรมชาติหรือ สมการด้วยพารามิเตอร์ที่ไม่รู้จัก

วัตถุประสงค์ของการบริการ. เครื่องคำนวณเมทริกซ์ได้รับการออกแบบมาเพื่อแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้วิธีเมทริกซ์ (ดูตัวอย่างการแก้ปัญหาที่คล้ายกัน)

คำแนะนำ. ในการแก้ปัญหาแบบออนไลน์ คุณต้องเลือกประเภทของสมการและกำหนดขนาดของเมทริกซ์ที่เกี่ยวข้อง โดยที่ A, B, C คือเมทริกซ์ที่ระบุ X คือเมทริกซ์ที่ต้องการ สมการเมทริกซ์ในรูปแบบ (1), (2) และ (3) ได้รับการแก้ไขผ่านเมทริกซ์ผกผัน A -1 หากกำหนดนิพจน์ A·X - B = C ไว้ จำเป็นต้องเพิ่มเมทริกซ์ C + B ก่อน และหาคำตอบสำหรับนิพจน์ A·X = D โดยที่ D = C + B หากกำหนดนิพจน์ A*X = B 2 ไว้ จะต้องนำเมทริกซ์ B ยกกำลังสองก่อน

ขอแนะนำให้ทำความคุ้นเคยกับการดำเนินการพื้นฐานของเมทริกซ์ด้วย

ตัวอย่างหมายเลข 1 ออกกำลังกาย. หาคำตอบของสมการเมทริกซ์
สารละลาย. เรามาแสดงว่า:
จากนั้นสมการเมทริกซ์จะเขียนอยู่ในรูปแบบ: A·X·B = C
ดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์ A เท่ากับ detA=-1
เนื่องจาก A เป็นเมทริกซ์ที่ไม่เป็นเอกพจน์ จึงมีเมทริกซ์ผกผัน A -1 คูณทั้งสองด้านของสมการทางซ้ายด้วย A -1: คูณทั้งสองด้านของสมการทางซ้ายด้วย A -1 และทางขวาด้วย B -1: A -1 ·A·X·B·B -1 = เอ -1 ·ซีบี -1 เนื่องจาก A A -1 = B B -1 = E และ E X = X E = X ดังนั้น X = A -1 C B -1

เมทริกซ์ผกผัน A -1:
ลองหาเมทริกซ์ผกผัน B -1 กัน
เมทริกซ์ที่ถูกย้าย BT:
เมทริกซ์ผกผัน B -1:
เรามองหาเมทริกซ์ X โดยใช้สูตร: X = A -1 ·C·B -1

คำตอบ:

ตัวอย่างหมายเลข 2 ออกกำลังกาย.แก้สมการเมทริกซ์
สารละลาย. เรามาแสดงว่า:
จากนั้นสมการเมทริกซ์จะเขียนอยู่ในรูปแบบ: A·X = B
ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ A คือ detA=0
เนื่องจาก A เป็นเมทริกซ์เอกพจน์ (ดีเทอร์มีแนนต์คือ 0) ดังนั้นสมการจึงไม่มีคำตอบ

ตัวอย่างหมายเลข 3 ออกกำลังกาย. หาคำตอบของสมการเมทริกซ์
สารละลาย. เรามาแสดงว่า:
จากนั้นสมการเมทริกซ์จะถูกเขียนในรูปแบบ: X A = B
ดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์ A คือ detA=-60
เนื่องจาก A เป็นเมทริกซ์ที่ไม่เป็นเอกพจน์ จึงมีเมทริกซ์ผกผัน A -1 ลองคูณทั้งสองข้างของสมการทางขวาด้วย A -1: X A A -1 = B A -1 จากจุดที่เราพบว่า X = B A -1
ลองหาเมทริกซ์ผกผัน A -1 กัน
เมทริกซ์ที่ถูกย้าย A T:
เมทริกซ์ผกผัน A -1:
เราค้นหาเมทริกซ์ X โดยใช้สูตร: X = B A -1


คำตอบ: >

มีการศึกษาสมการกำลังสองในชั้นประถมศึกษาปีที่ 8 ดังนั้นจึงไม่มีอะไรซับซ้อนที่นี่ ความสามารถในการแก้ไขปัญหาเหล่านี้มีความจำเป็นอย่างยิ่ง

สมการกำลังสองคือสมการที่มีรูปแบบ ax 2 + bx + c = 0 โดยที่สัมประสิทธิ์ a, b และ c เป็นตัวเลขใดๆ และ a ≠ 0

ก่อนที่จะศึกษาวิธีการแก้ปัญหาเฉพาะ โปรดทราบว่าสมการกำลังสองทั้งหมดสามารถแบ่งออกเป็นสามประเภท:

1. ไม่มีราก
2. มีรากเพียงอันเดียว
3. พวกเขามีสองรากที่แตกต่างกัน

นี่เป็นข้อแตกต่างที่สำคัญระหว่างสมการกำลังสองและสมการเชิงเส้น โดยที่รากมีอยู่เสมอและไม่ซ้ำกัน จะทราบได้อย่างไรว่าสมการหนึ่งมีกี่ราก? มีสิ่งที่ยอดเยี่ยมสำหรับสิ่งนี้ - เลือกปฏิบัติ.

เลือกปฏิบัติ

ให้สมการกำลังสอง ax 2 + bx + c = 0 จากนั้นตัวแยกแยะก็เป็นเพียงตัวเลข D = b 2 − 4ac

คุณต้องรู้สูตรนี้ด้วยใจ มาจากไหนไม่สำคัญตอนนี้ อีกสิ่งหนึ่งที่สำคัญ: ด้วยเครื่องหมายของการแบ่งแยก คุณสามารถระบุได้ว่าสมการกำลังสองมีรากกี่ราก กล่าวคือ:

1. ถ้า D< 0, корней нет;
2. ถ้า D = 0 แสดงว่ามีรากเดียวเท่านั้น
3. ถ้า D > 0 จะมีราก 2 อัน

โปรดทราบ: ผู้จำแนกระบุจำนวนรากและไม่ใช่สัญญาณเลยเนื่องจากหลายคนเชื่อด้วยเหตุผลบางประการ ดูตัวอย่างแล้วคุณจะเข้าใจทุกอย่างด้วยตัวเอง:

งาน. สมการกำลังสองมีกี่ราก:

1. x 2 - 8x + 12 = 0;
2. 5x 2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 − 6x + 9 = 0

ลองเขียนสัมประสิทธิ์สำหรับสมการแรกแล้วหาค่าจำแนก:
a = 1, b = −8, c = 12;
ง = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

การแบ่งแยกเป็นบวก สมการจึงมีรากที่ต่างกัน 2 ราก เราวิเคราะห์สมการที่สองในลักษณะเดียวกัน:
ก = 5; ข = 3; ค = 7;
ง = 3 2 − 4 5 7 = 9 − 140 = −131

การเลือกปฏิบัติเป็นลบไม่มีราก สมการสุดท้ายที่เหลืออยู่คือ:
ก = 1; ข = −6; ค = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0

การแบ่งแยกเป็นศูนย์ - รูทจะเป็นหนึ่ง

โปรดทราบว่าค่าสัมประสิทธิ์ได้ถูกเขียนไว้สำหรับแต่ละสมการแล้ว ใช่ มันยาว ใช่ มันน่าเบื่อ แต่คุณจะไม่ปะปนโอกาสและทำผิดพลาดโง่ๆ เลือกด้วยตัวคุณเอง: ความเร็วหรือคุณภาพ

อย่างไรก็ตาม หากคุณเข้าใจแล้ว คุณไม่จำเป็นต้องจดค่าสัมประสิทธิ์ทั้งหมดหลังจากผ่านไประยะหนึ่ง คุณจะดำเนินการดังกล่าวในหัวของคุณ คนส่วนใหญ่เริ่มทำสิ่งนี้หลังจากแก้สมการไปแล้ว 50-70 ข้อ โดยทั่วไปแล้วไม่มากขนาดนั้น

รากของสมการกำลังสอง

ตอนนี้เรามาดูวิธีแก้ปัญหากันดีกว่า หากจำแนก D > 0 คุณสามารถค้นหารากได้โดยใช้สูตร:

สูตรพื้นฐานสำหรับรากของสมการกำลังสอง

เมื่อ D = 0 คุณสามารถใช้สูตรใดก็ได้เหล่านี้ - คุณจะได้ตัวเลขเดียวกันซึ่งจะเป็นคำตอบ สุดท้ายนี้ถ้า D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 - 2x - 3 = 0;
2. 15 − 2x - x 2 = 0;
3. x 2 + 12x + 36 = 0

สมการแรก:
x 2 − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; ข = −2; ค = −3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16

D > 0 ⇒ สมการมีสองราก มาหาพวกเขากันเถอะ:

สมการที่สอง:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; ข = −2; ค = 15;
D = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64

D > 0 ⇒ สมการอีกครั้งมีสองราก มาหาพวกเขากันเถอะ

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3 \\ \end(จัดแนว)\]

ในที่สุดสมการที่สาม:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; ข = 12; ค = 36;
ง = 12 2 − 4 1 36 = 0

D = 0 ⇒ สมการมีหนึ่งรูท สามารถใช้สูตรใดก็ได้ ตัวอย่างเช่นอันแรก:

อย่างที่คุณเห็นจากตัวอย่างทุกอย่างนั้นง่ายมาก ถ้ารู้สูตรและนับได้ก็ไม่มีปัญหา บ่อยครั้งที่ข้อผิดพลาดเกิดขึ้นเมื่อแทนที่ค่าสัมประสิทธิ์ลบลงในสูตร อีกครั้ง เทคนิคที่อธิบายไว้ข้างต้นจะช่วยได้: ดูสูตรตามตัวอักษร เขียนแต่ละขั้นตอน - และในไม่ช้าคุณก็จะกำจัดข้อผิดพลาด

สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์

มันเกิดขึ้นที่สมการกำลังสองแตกต่างจากที่ให้ไว้ในคำจำกัดความเล็กน้อย ตัวอย่างเช่น:

1. x 2 + 9x = 0;
2. x 2 − 16 = 0

สังเกตได้ง่ายว่าสมการเหล่านี้ขาดคำศัพท์ข้อใดข้อหนึ่งไป สมการกำลังสองดังกล่าวแก้ได้ง่ายกว่าสมการมาตรฐาน โดยไม่จำเป็นต้องคำนวณการแบ่งแยกด้วยซ้ำ ขอแนะนำแนวคิดใหม่:

สมการ ax 2 + bx + c = 0 เรียกว่าสมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ ถ้า b = 0 หรือ c = 0 กล่าวคือ ค่าสัมประสิทธิ์ของตัวแปร x หรือองค์ประกอบอิสระเท่ากับศูนย์

แน่นอนว่าเป็นกรณีที่ยากมากเมื่อสัมประสิทธิ์ทั้งสองมีค่าเท่ากับศูนย์: b = c = 0 ในกรณีนี้ สมการจะอยู่ในรูปแบบ ax 2 = 0 เห็นได้ชัดว่าสมการดังกล่าวมีรากเดียว: x = 0.

ลองพิจารณากรณีที่เหลือ ให้ b = 0 จากนั้นเราจะได้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ของรูปแบบ ax 2 + c = 0 ให้เราแปลงมันสักหน่อย:

เนื่องจากรากที่สองทางคณิตศาสตร์มีอยู่เฉพาะจำนวนที่ไม่เป็นลบ ความเท่าเทียมกันสุดท้ายจึงสมเหตุสมผลสำหรับ (−c /a) ≥ 0 เท่านั้น สรุป:

1. หากสมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ในรูปแบบ ax 2 + c = 0 เป็นไปตามสมการ (−c /a) ≥ 0 ก็จะได้รากสองอัน สูตรได้รับข้างต้น
2. ถ้า (−c /a)< 0, корней нет.

อย่างที่คุณเห็น ไม่จำเป็นต้องแยกแยะ เนื่องจากไม่มีการคำนวณที่ซับซ้อนเลยในสมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ ที่จริงแล้ว ไม่จำเป็นต้องจำความไม่เท่าเทียมกัน (−c /a) ≥ 0 ด้วยซ้ำ การแสดงค่า x 2 และดูว่าอีกด้านของเครื่องหมายเท่ากับมีอะไรอยู่ก็เพียงพอแล้ว ถ้ามีจำนวนบวกก็จะมีรากสองตัว หากเป็นลบก็จะไม่มีรากเลย

ตอนนี้เรามาดูสมการของรูปแบบ ax 2 + bx = 0 ซึ่งองค์ประกอบอิสระมีค่าเท่ากับศูนย์ ทุกอย่างเรียบง่ายที่นี่: จะมีสองรากเสมอ ก็เพียงพอแล้วที่จะแยกตัวประกอบพหุนาม:

นำตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บ

ผลคูณจะเป็นศูนย์เมื่อมีปัจจัยอย่างน้อยหนึ่งตัวเป็นศูนย์ นี่คือที่มาของราก โดยสรุป ลองดูที่สมการเหล่านี้บางส่วน:

งาน. แก้สมการกำลังสอง:

1. x 2 - 7x = 0;
2. 5x 2 + 30 = 0;
3. 4x 2 - 9 = 0

x 2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(−7)/1 = 7

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6 ไม่มีรากเพราะว่า สี่เหลี่ยมจัตุรัสไม่สามารถเท่ากับจำนวนลบได้

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1.5; x 2 = −1.5