Теорема гаусса в вакууме. Применение теоремы Гаусса для расчета электрических полей

Как было сказано выше, силовые линии условились проводить с такой густотой, чтобы количество линий, пронизывающих единицу поверхности, перпендикулярной к линиям площадки, было бы равно модулю вектора . Тогда по картине линий напряженности можно судить не только о направлении, но и величине вектора в различных точках пространства.

Рассмотрим силовые линии неподвижного положительного точечного заряда. Они представляют собой радиальные прямые, выходящие из заряда и заканчивающиеся на бесконечности. Проведем N таких линий. Тогда на расстоянии r от заряда число силовых линий, пересекающих единицу поверхности сферы радиуса r , будет равно . Эта величина пропорциональна напряженности поля точечного заряда на расстоянии r. Число N всегда можно выбрать таким, чтобы выполнялось равенство

откуда . Поскольку силовые линии непрерывны, то такое же число силовых линий пересекает замкнутую поверхность любой формы, охватывающую заряд q. В зависимости от знака заряда силовые линии либо входят в эту замкнутую поверхность, либо выходят наружу. Если число выходящих линий считать положительным, а входящих – отрицательным, то можно опустить знак модуля и записать:

.

(1.4)

Поток вектора напряженности. Поместим в электрическое поле элементарную площадку, имеющую площадь . Площадка должна быть настолько малой, чтобы напряженность электрического поля во всех ее точках можно было считать одинаковой. Проведем нормаль к площадке (рис. 1.17). Направление этой нормали выбирается произвольно. Нормаль составляет угол с вектором . Потоком вектора напряженности электрического поля через выделенную поверхность называется произведение площади поверхности на проекцию вектора напряженности электрического поля на нормаль к площадке:

где – проекция вектора на нормаль к площадке .

Поскольку число силовых линий, пронизывающих единичную площадку, равно модулю вектора напряженности в окрестности выделенной площадки, то поток вектора напряженности через поверхность пропорционален числу силовых линий, пересекающих эту поверхность. Поэтому, в общем случае, наглядно поток вектора напряженности поля через площадку можно интерпретировать как величину, равную числу силовых линий, пронизывающих эту площадку:

.

(1.5)

Заметим, что выбор направления нормали условен, ее можно направить и в другую сторону. Следовательно, поток – величина алгебраическая: знак потока зависит не только от конфигурации поля, но и от взаимной ориентации вектора нормали и вектора напряженности. Если эти два вектора образуют острый угол, поток положителен, если тупой – отрицателен. В случае замкнутой поверхности принято нормаль брать наружу области, охватываемой этой поверхностью, то есть выбирать внешнюю нормаль.

Если поле неоднородно и поверхность произвольна, то поток определяется так. Всю поверхность надо разбить на малые элементы площадью , вычислить потоки напряженности через каждый из этих элементов, а потом просуммировать потоки через все элементы:

Таким образом, напряженность поля характеризует электрическое поле в точке пространства. Поток напряженности зависит не от значения напряженности поля в данной точке, а от распределения поля по поверхности той или иной площади.

Силовые линии электрического поля могут начинаться только на положительных зарядах и заканчиваться на отрицательных. Они не могут начинаться или обрываться в пространстве. Поэтому, если внутри некоторого замкнутого объема нет электрического заряда, то полное число линий, входящих в данный объем и выходящих из него, должно равняться нулю. Если из объема выходит больше линий, чем входит в него, то внутри объема находится положительный заряд; если входит линий больше, чем выходит, то внутри должен быть отрицательный заряд. При равенстве полного заряда внутри объема нулю или при отсутствии в нем электрического заряда линии поля пронизывают его насквозь, и полный поток равен нулю.

Эти простые соображения не зависят от того, как электрический заряд распределен внутри объема. Он может находиться в центре объема или вблизи поверхности, ограничивающей объем. В объеме может находиться несколько положительных и отрицательных зарядов, распределенных внутри объема любым способом. Только суммарный заряд определяет полное число входящих или выходящих линий напряженности.

Как видно из (1.4) и (1.5), поток вектора напряженности электрического поля через произвольную замкнутую поверхность, охватывающую заряд q, равен . Если внутри поверхности находится n зарядов, то, согласно принципу суперпозиции полей, полный поток будет складываться из потоков напряженностей полей всех зарядов и будет равен , где под в этом случае подразумевается алгебраическая сумма всех зарядов, охватываемых замкнутой поверхностью.

Теорема Гаусса. Гаусс первым обнаружил тот простой факт, что поток вектора напряженности электрического поля через произвольную замкнутую поверхность должен быть связан с полным зарядом, находящимся внутри этого объема:

Гаусс Карл Фридрих (1777–1855)

Великий немецкий математик, физик и астроном, создатель абсолютной системы единиц в физике. Разработал теорию электростатического потенциала и доказал важнейшую теорему электростатики (теорема Гаусса). Создал теорию построения изображений в сложных оптических системах. Одним из первых пришел к мысли о возможности существования неевклидовой геометрии. Кроме того, Гаусс внес выдающийся вклад практически во все разделы математики.

Последнее соотношение и представляет собой теорему Гаусса для электрического поля:поток вектора напряженности через произвольную замкнутую поверхность пропорционален алгебраической сумме зарядов, расположенных внутри этой поверхности.Коэффициент пропорциональности зависит от выбора системы единиц.

Следует отметить, что теорема Гаусса получается как следствие закона Кулона и принципа суперпозиции. Если бы напряженность электрического поля изменялась бы не обратно пропорционально квадрату расстояния, то теорема оказалась бы несправедливой. Поэтому теорема Гаусса применима к любым полям, в которых строго выполняется закон обратных квадратов и принцип суперпозиции, например, к гравитационному полю. В случае гравитационного поля роль зарядов, создающих поле, играют массы тел. Поток линий гравитационного поля через замкнутую поверхность пропорционален полной массе, заключенной внутри этой поверхности.

Напряженность поля заряженной плоскости. Применим теорему Гаусса для определения напряженности электрического поля бесконечной заряженной плоскости. Если плоскость бесконечна и заряжена равномерно, то есть поверхностная плотность заряда одинакова в любом ее месте, то линии напряженности электрического поля в любой точке перпендикулярны этой плоскости. Чтобы показать это, воспользуемся принципом суперпозиции для вектора напряженности. Выделим два элементарных участка на плоскости, которые можно считать точечными для точки А , в которой необходимо определить напряженность поля. Как видно из рис. 1.18, результирующий вектор напряженности будет направлен перпендикулярно плоскости. Поскольку плоскость можно разбить на бесконечное количество пар таких участков для любой точки наблюдения, то, очевидно, что силовые линии поля заряженной плоскости перпендикулярны к плоскости, и поле является однородным (рис. 1.19). Если бы это было не так, то при перемещении плоскости вдоль самой себя поле в каждой точке пространства менялось, но это противоречит симметрии заряженной системы (плоскость бесконечна). В случае положительно заряженной плоскости силовые линии начинаются на плоскости и заканчиваются на бесконечности, а для отрицательно заряженной плоскости силовые линии начинаются на бесконечности и входят в плоскость.

Рис. 1.18	Рис. 1.19

Для определения напряженности электрического поля бесконечной положительно заряженной плоскости мысленно выделим в пространстве цилиндр, ось которого перпендикулярна заряженной плоскости, а основания параллельны ей, и одно из оснований проходит через интересующую нас точку поля (рис. 1.19). Цилиндр вырезает из заряженной плоскости участок площадью , и такую же площадь имеют основания цилиндра, расположенные по разные стороны от плоскости.

Согласно теореме Гаусса поток вектора напряженности электрического поля через поверхность цилиндра связан с электрическим зарядом внутри цилиндра выражением:

.

Так как линии напряженности пересекают лишь основания цилиндра, поток через боковую поверхность цилиндра равен нулю. Поэтому поток вектора напряженности через цилиндрическую поверхность будет складываться только из потоков через основания цилиндра, следовательно,

Сравнивая два последних выражения для потока вектора напряженности, получим

Напряженность электрического поля между разноименно заряженными пластинами. Если размеры пластин значительно превосходят расстояние между ними, то электрическое поле каждой из пластин можно считать близким к полю бесконечной равномерно заряженной плоскости. Так как линии напряженности электрического поля разноименно заряженных пластин между пластинами направлены в одну сторону (рис. 1.20), то напряженность поля между пластинами равна

.

Во внешнем пространстве линии напряженности электрического поля разноименно заряженных пластин имеют противоположные направления, поэтому вне этих пластин результирующая напряженность электрического поля равна нулю. Полученное для напряженности выражение справедливо для больших заряженных пластин, когда напряженность определяется в точке, расположенной далеко от их краев.

Напряженность электрического поля равномерно заряженной тонкой проволоки бесконечной длины. Найдем зависимость напряженности электрического поля равномерно заряженной тонкой проволоки бесконечной длины от расстояния до оси проволоки, используя теорему Гаусса. Выделим участок проволоки конечной длины . Если линейная плотность заряда на проволоке , то заряд выделенного участка равен .

Рассмотрим поле точечного заряда $q$, найдем поток вектора напряжённости ($\overrightarrow{E}$) через замкнутую поверхность $S$. Будем считать, что заряд находится внутри поверхности. Поток вектора напряженности через любую поверхность равен количеству линий вектора напряженности, которые выходят наружу (начинаются на заряде, если $q>0$) или количеству линий $\overrightarrow{E}$входящих внутрь, если $q \[Ф_E=\frac{q}{{\varepsilon }_0}\ \left(1\right),\]

где знак потока совпадает со знаком заряда.

Теорема Остроградского - Гаусса в интегральной форме

Допустим, что внутри поверхности S находится N точечных зарядов, величины $q_1,q_2,\dots q_N.$ Из принципа суперпозиции мы знаем, что результирующая напряженность поля всех N зарядов может быть найдена как сумма напряженностей полей, которые создаются каждым из зарядов, то есть:

Следовательно, для потока системы точечных зарядов можно записать:

Используем формулу (1), получаем, что:

\[Ф_E=\oint\limits_S{\overrightarrow{E}d\overrightarrow{S}}=\frac{1}{{\varepsilon }_0}\sum\limits^N_{i=1}{q_i\ }\left(4\right).\]

Уравнение (4) значит, что поток вектора напряженности электрического поля через замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, которые находятся внутри данной поверхности, деленой на электрическую постоянную. Это теорема Остроградского - Гаусса в интегральной форме. Данная теорема является следствием закона Кулона. Значение данной теоремы заключается в том, что она позволяет довольно просто вычислять электрические поля при различных распределениях зарядов.

Как следствие теоремы Остроградского - Гаусса надо сказать, что поток вектора напряженности ($Ф_E$) через замкнутую поверхность в случае при котором заряды находятся вне данной поверхности, равен нулю.

В том случае, когда можно не учитывать дискретность зарядов используют понятие объемной плотности заряда ($\rho $), если заряд распределен по объему. Она определена как:

\[\rho =\frac{dq}{dV}\left(5\right),\]

где $dq$ - заряд, который можно считать точечным, $dV$ -- малый объем. (Относительно $dV$ необходимо сделать следующее замечание. Данный объем мал настолько, чтобы плотность заряда в нем можно было считать постоянной, но достаточно велик, чтобы не начала проявляться дискретность заряда). Суммарный заряд, который находится в полости, можно найти как:

\[\sum\limits^N_{i=1}{q_i\ }=\int\limits_V{\rho dV}\left(6\right).\]

В таком случае формулу (4) перепишем в виде:

\[\oint\limits_S{\overrightarrow{E}d\overrightarrow{S}}=\frac{1}{{\varepsilon }_0}\int\limits_V{\rho dV}\left(7\right).\]

Теорема Остроградского - Гаусса в дифференциальной форме

Используя формулу Остроградского - Гаусса для любого поля векторной природы, с помощью которой осуществляется переход от интегрирования по замкнутой поверхности к интегрированию по объему:

\[\oint\limits_S{\overrightarrow{a}\overrightarrow{dS}=\int\nolimits_V{div}}\overrightarrow{a}dV\ \left(8\right),\]

где $\overrightarrow{a}-$вектор поля (в нашем случае это $\overrightarrow{E}$), $div\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\nabla }\overrightarrow{a}=\frac{\partial a_x}{\partial x}+\frac{\partial a_y}{\partial y}+\frac{\partial a_z}{\partial z}$ -- дивергенция вектора $\overrightarrow{a}$ в точке с координатами (x,y,z), которая отображает векторное поле на скалярное. $\overrightarrow{\nabla }=\frac{\partial }{\partial x}\overrightarrow{i}+\frac{\partial }{\partial y}\overrightarrow{j}+\frac{\partial }{\partial z}\overrightarrow{k}$ - оператор набла. (В нашем случае будет $div\overrightarrow{E}=\overrightarrow{\nabla }\overrightarrow{E}=\frac{\partial E_x}{\partial x}+\frac{\partial E_y}{\partial y}+\frac{\partial E_z}{\partial z}$) -- дивергенция вектора напряженности. Следуя вышесказанному, формулу (6) перепишем как:

\[\oint\limits_S{\overrightarrow{E}\overrightarrow{dS}=\int\nolimits_V{div}}\overrightarrow{E}dV=\frac{1}{{\varepsilon }_0}\int\limits_V{\rho dV}\left(9\right).\]

Равенства в уравнении (9) выполняются для любого объема, а это осуществимо только, если функции, которые находятся в подынтегральных выражениях, равны в каждой токе пространства, то есть мы можем записать, что:

Выражение (10) -- теорема Остроградского - Гаусса в дифференциальной форме. Трактовка ее такова: заряды являются источниками электрического поля. Если $div\overrightarrow{E}>0$, то в этих точках поля (заряды положительные) мы имеем источники поля, если $div\overrightarrow{E}

Задание: Заряд равномерно распределен по объему, в этом объеме выделена кубическая поверхность, со стороной b. Она вписана в сферу. Найдите отношение потоков вектора напряженности сквозь эти поверхности.

Согласно теореме Гаусса поток ($Ф_E$) вектора напряженности $\overrightarrow{E}$ через замкнутую поверхность при равномерном распределении заряда по объему равен:

\[Ф_E=\frac{1}{{\varepsilon }_0}Q=\frac{1}{{\varepsilon }_0}\int\limits_V{\rho dV=\frac{\rho }{{\varepsilon }_0}\int\limits_V{dV}=\frac{\rho V}{{\varepsilon }_0}}\left(1.1\right).\]

Следовательно, нам необходимо определить объемы куба и шара, если шар описать вокруг этого куба. Для начала, объем куба ($V_k$) если сторона его b равен:

Найдем объем шара ($V_{sh}$) по формуле:

где $D$ -- диаметр шара и (так как шар описан вокруг куба), главная диагональ куба. Следовательно, нам необходимо выразить диагональ куба через его сторону. Это легко сделать, если использовать теорему Пифагора. Для вычисления диагонали куба, например, (1,5) нам сначала необходимо найти диагональ квадрата (нижнего основания куба) (1,6). Длина диагонали (1,6) равна:

В таком случает длина диагонали (1,5) равна:

\[{D=D}_{15}=\sqrt{b^2+{(\sqrt{b^2+b^2\ \ \ })}^2}=b\sqrt{3}\ \left(1.5\right).\]

Подставим в (1.3) найденный диаметр шара, получим:

Теперь мы можем найти потоки вектора напряженности через поверхность куба, она равна:

\[Ф_{Ek}=\frac{\rho V_k}{{\varepsilon }_0}=\frac{\rho b^3}{{\varepsilon }_0}\left(1.7\right),\]

через поверхность шара:

\[Ф_{Esh}=\frac{\rho V_{sh}}{{\varepsilon }_0}=\frac{\rho }{{\varepsilon }_0}\frac{\sqrt{3}}{2}\pi b^3\ \left(1.8\right).\]

Найдем отношение $\frac{Ф_{Esh}}{Ф_{Ek}}$:

\[\frac{Ф_{Esh}}{Ф_{Ek}}=\frac{\frac{с}{\varepsilon_0}\frac{\sqrt{3}}{2} \pi b^3}{\frac{сb^3}{\varepsilon_0}}=\frac{\pi}{2}\sqrt{3}\ \approx 2,7\left(1.9\right).\]

Ответ: Поток через поверхность шара в 2,7 раза больше.

Задание: Докажите, что заряд проводника располагается на его поверхности.

Используем для доказательства теорему Гаусса. Выделим в проводнике замкнутую поверхность произвольной формы около поверхности проводника (рис.2).

Допустим, что заряды внутри проводника есть, запишем с теорему Остроградского - Гаусса для дивергенции поля имеем для любой точки поверхности S:

где $\rho -плотность\ $внутреннего заряда. Однако поля внутри проводника нет, то есть $\overrightarrow{E}=0$, следовательно, $div\overrightarrow{E}=0\to \rho =0$. Теорема Остроградского - Гаусса в дифференциальной форме локальна, то есть, она записана для точки поля, мы специальным образом точку не выбирали, следовательно, плотность заряда равна нулю в любой точке поля внутри проводника.

Принцип суперпозиции в сочетании с законом Кулона даёт ключ к вычислению электрического поля произвольной системы зарядов, но непосредственное суммирование полей по формуле (4.2) обычно требует сложных вычислений. Впрочем, при наличии той или иной симметрии системы зарядов вычисления существенно упрощаются, если ввести понятие потока электрического поля и использовать теорему Гаусса.

Представления о потоке электрического поля привнесены в электродинамику из гидродинамики. В гидродинамике поток жидкости через трубу, то есть объём жидкости N , проходящий через сечение трубы в единицу времени, равен v ⋅ S , где v — скорость жидкости, а S — площадь сечения трубы. Если скорость жидкости изменяется по сечению, нужно использовать интегральную формулу N = ∫ S v → ⋅ d S → . Действительно, выделим в поле скоростей малую площадку d S , перпендикулярную к вектору скорости (рис. ).

Рис. 1.4: Поток жидкости

Объём жидкости, протекающий через эту площадку за время d t , равен v d S d t . Если площадка наклонена к потоку, то соответствующий объём будет v d S cos θ d t , где θ — угол между вектором скорости v → и нормалью n → к площадке d S . Объём жидкости, протекающий через площадку d S в единицу времени получается делением этой величины на d t . Он равен v d S cos θ d t , т.е. скалярному произведению v → ⋅ d S → вектора скорости v → на вектор элемента площади d S → = n → d S . Единичный вектор n → нормали к площадке d S можно провести в двух прямо противоположных направлениях. одно из них условно принимается за положительное. В этом направлении и проводится нормаль n → . Та сторона площадки, из которой выходит нормаль n → , называется внешней, а та, в которую нормаль n → входит, — внутренней. Вектор элемента площади d S → направлен по внешней нормали n → к поверхности, а по величине равен площади элемента d S = ∣ d S → ∣ . При вычислении объёма протекающей жидкости через площадку S конечных размеров, её надо развить на бесконечно малые площадки d S , а затем вычислить интеграл ∫ S v → ⋅ d S → по всей поверхности S .

Выражения типа ∫ S v → ⋅ d S → встречаются во многих отраслях физики и математики. Они называются потоком вектора v → через поверхность S независимо от природы вектора v → . В электродинамике интеграл

N = ∫ S E → ⋅ d S →

(5.1)

называют потоком напряженности электрического поля E → через произвольную поверхность S , хотя с этим понятием не связано никакое реальное течение.

Допустим, что вектор E → представляется геометрической суммой

E → = ∑ j E → j .

Умножив это равенство скалярно на d S → и проинтегрировав, получим

N = ∑ j N j .

где N j — поток вектора E → j через ту же самую поверхность. Таким образом, из принципа суперпозиции напряженности электрического поля следует, что потоки через одну и ту же поверхность складываются алгебраически.

Теорема Гаусса гласит, что поток вектора E → через произвольную замкнутую поверхность равен умноженному на 4 π суммарному заряду Q всех частиц, находящихся внутри этой поверхности:

Доказательство теоремы проведем в три этапа.

1. Начнем с вычисления потока электрического поля одного точечного заряда q (рис. ). В простейшем случае, когда поверхность интегрирования S является сферой, а заряд находится в её центре, справедливость теоремы Гаусса практически очевидна. На поверхности сферы напряженность электрического поля

E → = q r → ∕ r 3

постоянна по величине и всюду направлена по нормали к поверхности, так что поток электрического поля просто равен произведению E = q ∕ r 2 на площадь сферы S = 4 π r 2 . Следовательно, N = 4 π q . Этот результат не зависит от формы поверхности, окружающей заряд. Чтобы доказать это, выделим произвольную площадку поверхности достаточно малого размера с установленным на ней направлением внешней нормали n → . На рис. показан один такой сегмент преувеличенно большого (для наглядности) размера.

Поток вектора E → через эту площадку равен d N = E → ⋅ d S → = E cos θ d S ,

где θ — угол между направлением E → и внешней нормалью n → к площадке d S . Так как E = q ∕ r 2 , а d S cos θ ∕ r 2 по абсолютной величине есть элемент телесного угла d Ω = d S ∣ cos θ ∣ ∕ r 2 , под которым видна площадка d S из точки расположения заряда,

D N = ± q d Ω .

где знаки плюс и минус отвечают знаку cos θ , а именно: следует взять знак плюс, если вектор E → составляет острый угол с направлением внешней нормали n → , и знак минус в противном случае.

2. Теперь рассмотрим конечную поверхность S , охватывающую некоторый выделенный объём V . По отношению к этому объёму всегда можно определить, какое из двух противоположных направлений нормали к любому элементу поверхности S следует считать внешним. Внешняя нормаль направлена из объёма V наружу. Суммируя по сегментам, с точностью до знака имеем N = q Ω , где Ω — телесный угол, под которым видна поверхность S из точки, где находится заряд q . Если поверхность S замкнута, то Ω = 4 π при условии, что заряд q находится внутри S . В противном случае Ω = 0 . Чтобы пояснить последнее утверждение, можно вновь обратиться к рис. .

Очевидно, что потоки через сегменты замкнутой поверхности, опирающиеся на равные телесные углы, но обращенные в противоположные стороны, взаимно сокращаются. Очевидно также, что если заряд находится вне замкнутой поверхности, то любому сегменту, обращенному наружу, найдется соответствующий сегмент, обращенный внутрь.

3. Наконец, воспользовавшись принципом суперпозиции, приходим к итоговой формулировке теоремы Гаусса (). Действительно, поле системы зарядов равно сумме полей каждого заряда в отдельности, но в правую часть теоремы () дают ненулевой вклад только заряды, находящиеся внутри замкнутой поверхности. Этим завершается доказательство.

В макроскопических телах число носителей заряда столь велико, что дискретный ансамбль частиц удобно представить в виде непрерывного распределения, введя понятие плотности заряда. По определению, плотностью заряда ρ называется отношение Δ Q ∕ Δ V в пределе, когда объём Δ V стремится к физически бесконечно малой величине:

где интегрирование в правой части производится по объему V , замкнутому поверхностью S .

Теорема Гаусса даёт одно скалярное уравнение на три компоненты вектора E → , поэтому для расчета электрического поля одной этой теоремы недостаточно. Необходима известная симметрия распределения плотности зарядов, чтобы задача могла быть сведена к одному скалярному уравнению. Теорема Гаусса позволяет найти поле в тех случаях, когда поверхность интегрирования в () удается выбрать так, что напряженность электрического поля E постоянна на всей поверхности. Рассмотрим наиболее поучительные примеры.

▸ Задача 5.1

Найти поле шара, равномерно заряженного по объёму или поверхности.

Решение: Электрическое поле точечного заряда E → = q r → ∕ r 3 стремится к бесконечности при r → 0 . Этот факт показывает противоречивость представления элементарных частиц точечными зарядами. Если же заряд q равномерно распределен по объему шара конечного радиуса a , то электрическое поле не имеет особенностей.

Из симметрии задачи ясно, что электрическое поле E → всюду направлено радиально, а его напряженность E = E (r) зависит только от расстояния r до центра шара. Тогда поток электрического поля через сферу радиуса r просто равен 4 π r 2 E (рис. ).

С другой стороны, заряд внутри той же сферы равен полному заряду шара Q , если r ≥ a . Приравнивая 4 π r 2 E к умноженному на 4 π заряду шара q , получаем: E (r) = q ∕ r 2 .

Таким образом, во внешнем пространстве заряженный шар создает такое поле, как если бы весь заряд был сосредоточен в его центре. Этот результат справедлив при любом сферически симметричном распределении заряда.

Поле внутри шара равно E (r) = Q ∕ r 2 , где Q — заряд внутри серы радиуса r . Если заряд равномерно распределен по объему шара, то Q = q (r ∕ a) 3 . В этом случае

E (r) = q r ∕ a 3 = (4 π ∕ 3) ρ r ,

где ρ = q ∕ (4 π a 3 ∕ 3) — плотность заряда. Внутри шара поле линейно спадает от максимального значения на поверхности шара до нуля в его центре (рис. ).

Функция E (r) при этом всюду конечна и непрерывна.

Если заряд распределен по поверхности шара, то Q = 0 , а поэтому также E = 0 . Это результат также справедлив для случая, когда внутри сферической полости зарядов нет, а внешние заряды распределены сферически симметрично. ▸ Задача 5.2

Найти поле равномерно заряженной бесконечной нити; радиус нити a , заряд на единицу длины ϰ .

▸ Задача 5.3

Найти поле бесконечной прямой нити и бесконечно длинного равномерно заряженного цилиндра.

▸ Задача 5.4

Найти поле бесконечной заряженной плоскости и равномерно заряженного бесконечного плоского слоя.

Решение: Вследствие симметрии задачи поле направлено по нормали к слою и зависит только от расстояния x от плоскости симметрии пластины. Для вычисления поля с помощью теоремы Гаусса удобно выбрать поверхность интегрирования S в виде параллелипипеда, как показано на рис. .

Последний результат получается предельным переходом a → 0 при одновременном увеличении плотности заряда ρ так, чтобы величина σ = ρ a оставалась неизменной. По разные стороны от плоскости напряженность электрического поля одинакова по величине, но противоположна по направлению. Поэтому при переходе через заряженную плоскость поле скачком меняется на величину 4 π σ . Заметим, что пластина может считаться бесконечной, если расстояние от пренебрежимо мало по сравнению с её размерами. На расстояниях очень больших по сравнению с размерами пластины она действует, как точечный заряд, и её поле убывает обратно пропорционально квадрату расстояния.

Электростатическое поле наглядно можно изобразить с помощью силовых линий (линий напряженности). Силовыми линиями называют кривые, касательные к которым в каждой точке совпадают с вектором напряженности Е .

Силовые линии являются условным понятием и реально не существуют. Силовые линии одиночного отрицательного и одиночного положительного зарядов изображены на рис. 5 - это радиальные прямые, выходящие от положительного заряда или идущие к отрицательному заряду.

Если густота и направление силовых линий по всему объему поля сохраняются неизменными, такое электростатическое поле считается однородным (выделение">число линий должно быть численно равно напряженности поля Е .

Число силовых линий пометка">dS, перпендикулярную к ним, определяет поток вектора напряженности электростатического поля:

формула" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook785/files/17-1.gif" border="0" align="absmiddle" alt=" - проекция вектора Е на направление нормали n к площадке dS (рис. 6 ).

Соответственно поток вектора Е сквозь произвольную замкнутую поверхность S

пометка">S не только величина, но и знак потока могут меняться:

1) при формула" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook785/files/17-4.gif" border="0" align="absmiddle" alt="

3) при выделение">Найдем поток вектора Е сквозь сферическую поверхность S, в центре которой находится точечный заряд q.

В этом случае пометка">Е и n во всех точках сферической поверхности совпадают.

С учетом напряженности поля точечного заряда формула" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook785/files/18-2.gif" border="0" align="absmiddle" alt=" получим

формула" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook785/files/Fe.gif" border="0" align="absmiddle" alt=" - алгебраическая величина, зависящая от знака заряда. Например, при q <0 линии Е направлены к заряду и противоположны направлению внешней нормали n ..gif" border="0" align="absmiddle" alt=" вокруг заряда q имеет произвольную форму. Очевидно, что поверхность пометка">Е, что и поверхность S. Следовательно, поток вектора Е сквозь произвольную поверхность формула" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook785/files/Fe.gif" border="0" align="absmiddle" alt=".

Если заряд будет находиться вне замкнутой поверхности, то, очевидно, сколько линий войдет в замкнутую область, столько же из нее и выйдет. В результате поток вектора Е будет равен нулю.

Если электрическое поле создается системой точечных зарядов формула" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook785/files/18-4.gif" border="0" align="absmiddle" alt="

Эта формула является математическим выражением теоремы Гаусса: поток вектора напряженности Е электрического поля в вакууме через произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, которые она охватывает, деленной на формула" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook785/files/18-6.gif" border="0" align="absmiddle" alt="

Для полноты описания представим теорему Гаусса еще и в локальной форме, опираясь не на интегральные соотношения, а на параметры поля в данной точке пространства. Для этого удобно использовать дифференциальный оператор - дивергенцию вектора, -

формула" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook785/files/nabla.gif" border="0" align="absmiddle" alt=" («набла») -

формула" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook785/files/19-1.gif" border="0" align="absmiddle" alt="

В математическом анализе известна теорема Гаусса-Остроградского: поток вектора через замкнутую поверхность равен интегралу от его дивергенции по объему, ограниченному этой поверхностью, -

формула" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook785/files/ro.gif" border="0" align="absmiddle" alt=":

формула" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook785/files/19-4.gif" border="0" align="absmiddle" alt="

Это выражение и есть теорема Гаусса в локальной (дифференциальной) форме.

Теорема Гаусса (2.2) позволяет определять напряженности различных электростатических полей. Рассмотрим несколько примеров применения теоремы Гаусса.

1. Вычислим Е электростатического поля, создаваемого равномерно заряженной сферической поверхностью.

Предположим, что сферическая поверхность радиуса R несет на себе равномерно распределенный заряд q, т.е. поверхностная плотность заряда всюду одинакова пометка">r >R от центра сферы мысленно построим новую сферическую поверхность S, симметричную заряженной сфере. В соответствии с теоремой Гаусса

формула" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook785/files/20-1.gif" border="0" align="absmiddle" alt="

Для точек, находящихся на поверхности заряженной сферы радиуса R, по аналогии можно записать:

выделение">внутри заряженной сферы, не содержит внутри себя электрических зарядов, поэтому поток пометка">Е = 0.

Задачу вычисления напряженности поля системы электрических зарядов, используя помощью принципа суперпозиции электростатических полей можно сильно облегчить, если применять открытую немецким ученым К. Гауссом (1777-1855) теорему, которая определяет поток вектора напряженности электрического поля сквозь произвольную замкнутую поверхность.

Из определения потока вектора напряженности сквозь замкнутую поверхность, поток вектора напряженности сквозь сферическую поверхность радиуса r, которая охватывает точечный заряд Q, находящийся в ее центре (рис. 1), равен

Этот результат справедлив для замкнутой поверхности произвольной формы. Действительно, если заключить сферу (рис. 1) в произвольную замкнутую поверхность, то каждая линия напряженности, которая пронизывает сферу, пройдет и сквозь эту поверхность.

В случае, если замкнутая поверхность любой формы охватывает заряд (рис. 2), то при пересечении любой линии напряженности с поверхностью она то входит в нее, то выходит из нее. При вычислении потока нечетное число пересечений в конечном счете сводится к одному пересечению, так как поток полагается положительным, если линии напряженности выходят из поверхности, и отрицательным для линий, которые входят в поверхнЕсли замкнутая поверхность не охватывает заряда, то поток сквозь нее равен нулю, так как число линий напряженности, которые входят в поверхность, равно числу линий напряженности, которые выходят из нее.

Значит, для поверхности произвольной формы, если она замкнута и заключает в себя точечный заряд Q, поток вектора Е будет равен Q/ε 0 , т. е.

Знак потока совпадает со знаком заряда Q.

Исследуем общий случай произвольной поверхности, окружающей n зарядов. Используя с принцип суперпозиции, напряженность Е поля, которая создавается всеми зарядами, равна сумме напряженностей E i полей, которые создаваются каждым зарядом в отдельности. Поэтому

Согласно (1), каждый из интегралов, который стоит под знаком суммы, равен Q i /ε 0 . Значит,

(2)

Формула (2) выражает теорему Гаусса для электростатического поля в вакууме : поток вектора напряженности электростатического поля в вакууме сквозь произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхности зарядов, деленной на ε 0 . Эта теорема получена математически для векторного поля произвольной природы русским математиком М.В.Остроградским (1801-1862), а затем независимо от него применительно к электростатическому полю - К. Гауссом.

В общем случае электрические заряды могут быть распределены с некоторой объемной плотностью ρ=dQ/dV, которая различна в разных местах пространства. Тогда суммарный заряд, заключенный внутри замкнутой поверхности S, которая охватывает некоторый объем V,

(3)

Используя формулу (3), теорему Гаусса (2) можно записать так:

Циркуляцией вектора напряженности называется работа, которую совершают электрические силы при перемещении единичного положительного заряда по замкнутому пути L

(13.18)

Так как работа сил электростатического поля по замкнутому контуру равна нулю (работа сил потенциального поля), следовательно циркуляция напряженности электростатического поля по замкнутому контуру равна нулю.

Потенциал электростатического поля. Поле консервативной силы может быть описано не только векторной функцией, но эквивалентное описание этого поля можно получить, определив в каждой его точке подходящую скалярную величину. Для электростатического поля такой величиной является потенциал электростатического поля , определяемый как отношение потенциальной энергии пробного заряда q к величине этого заряда,  = W п / q , откуда следует, что потенциал численно равен потенциальной энергии, которой обладает в данной точке поля единичный положительный заряд. Единицей измерения потенциала служит Вольт (1 В).

Потенциал поля точечного заряда Q в однородной изотропной среде с диэлектрической проницаемостью  :

Принцип суперпозиции. Потенциал есть скалярная функция, для неё справедлив принцип суперпозиции. Так для потенциала поля системы точечных зарядов Q 1, Q 2 , Q n имеем

,

где r i - расстояние от точки поля, обладающей потенциалом , до заряда Q i . Если заряд произвольным образом распределен в пространстве, то

,

где r - расстояние от элементарного объема dx , dy , dz до точки (x , y , z ), где определяется потенциал; V - объем пространства, в котором распределен заряд.

Потенциал и работа сил электрического поля. Основываясь на определении потенциала, можно показать, что работа сил электрического поля при перемещении точечного заряда q из одной точки поля в другую равна произведению величины этого заряда на разность потенциалов в начальной и конечной точках пути, A = q (     
Если по аналогии с потенциальной энергией считать, что в точках, бесконечно удалённых от электрических зарядов - источников поля, потенциал равен нулю, то работу сил электрического поля при перемещении заряда q из точки 1 в бесконечность можно представить как A   q  1 .
Таким образом, потенциал â данной точке электростатического поля - это физическая величина, численно равная работе, совершаемой силами электрического поля при перемещении единичного положительного точечного заряда из данной точки поля в бесконечно удаленную :  = A  / q .
В некоторых случаях потенциал электрического поля нагляднее определяется как физическая величина, численно равная работе внешних сил против сил электрического поля при перемещении единичного положительного точечного заряда из бесконечности в данную точку . Последнее определение удобно записать следующим образом:

В современной науке и технике, особенно при описании явлений, происходящих в микромире, часто используется единица работы и энергии, называемая электрон-вольтом (эВ). Это работа, совершаемая при перемещении заряда, равного заряду электрона, между двумя точками с разностью потенциалов 1 В: 1 эВ = 1,6010  Кл1 В = 1,6010  Дж

Эквипотенциальные поверхности - понятие, применимое к любому потенциальному векторному полю, например, к статическому электрическому полю или к ньютоновскому гравитационному полю. Эквипотенциальная поверхность - это поверхность, на которой скалярный потенциал данного потенциального поля принимает постоянное значение (поверхность уровня потенциала). Другое, эквивалентное, определение - поверхность, в любой своей точке ортогональная силовым линиям поля.

Поверхность проводника в электростатике является эквипотенциальной поверхностью. Кроме того, помещение проводника на эквипотенциальную поверхность не вызывает изменения конфигурации электростатического поля. Этот факт используется в методе изображений, который позволяет рассчитывать электростатическое поле для сложных конфигураций.

В (стационарном) гравитационном поле уровень неподвижной жидкости устанавливается по эквипотенциальной поверхности. В частности, приближенно можно утверждать, что по эквипотенциальной поверхности гравитационного поля Земли проходит уровень океанов . Форма поверхности океанов , продолженная на поверхность Земли, называется геоидом и играет важную роль в геодезии. Геоид, таким образом является эквипотенциальной поверхностью силы тяжести, состоящей из гравитационной и центробежной составляющей.