Основные понятия теории вероятностей, определение и свойства вероятностей. Непосредственное вычисление вероятностей

"Случайности не случайны"... Звучит так, словно сказал философ, но на деле изучать случайности удел великой науки математики. В математике случайностями занимается теория вероятности. Формулы и примеры заданий, а также основные определения этой науки будут представлены в статье.

Что такое теория вероятности?

Теория вероятности - это одна из математических дисциплин, которая изучает случайные события.

Чтобы было немного понятнее, приведем небольшой пример: если подкинуть вверх монету, она может упасть «орлом» или «решкой». Пока монета находится в воздухе, обе эти вероятности возможны. То есть вероятность возможных последствий соотносится 1:1. Если из колоды с 36-ю картами вытащить одну, тогда вероятность будет обозначаться как 1:36. Казалось бы, что здесь нечего исследовать и предугадывать, тем более при помощи математических формул. Тем не менее, если повторять определенное действие много раз, то можно выявить некую закономерность и на ее основе спрогнозировать исход событий в других условиях.

Если обобщить все вышесказанное, теория вероятности в классическом понимании изучает возможность возникновения одного из возможных событий в числовом значении.

Со страниц истории

Теория вероятности, формулы и примеры первых заданий появились еще в далеком Средневековье, когда впервые возникли попытки спрогнозировать исход карточных игр.

Изначально теория вероятности не имела ничего общего с математикой. Она обосновывалась эмпирическими фактами или свойствами события, которое можно было воспроизвести на практике. Первые работы в этой сфере как в математической дисциплине появились в XVII веке. Родоначальниками стали Блез Паскаль и Пьер Ферма. Длительное время они изучали азартные игры и увидели определенные закономерности, о которых и решили рассказать обществу.

Такую же методику изобрел Христиан Гюйгенс, хотя он не был знаком с результатами исследований Паскаля и Ферма. Понятие «теория вероятности», формулы и примеры, что считаются первыми в истории дисциплины, были введены именно им.

Немаловажное значение имеют и работы Якоба Бернулли, теоремы Лапласа и Пуассона. Они сделали теорию вероятности больше похожей на математическую дисциплину. Свой теперешний вид теория вероятностей, формулы и примеры основных заданий получили благодаря аксиомам Колмогорова. В результате всех изменений теория вероятности стала одним из математических разделов.

Базовые понятия теории вероятностей. События

Главным понятием этой дисциплины является "событие". События бывают трех видов:

• Достоверные. Те, которые произойдут в любом случае (монета упадет).
• Невозможные. События, что не произойдут ни при каком раскладе (монета останется висеть в воздухе).
• Случайные. Те, что произойдут или не произойдут. На них могут повлиять разные факторы, которые предугадать очень трудно. Если говорить о монете, то случайные факторы, что могут повлиять на результат: физические характеристики монеты, ее форма, исходное положение, сила броска и т. д.

Все события в примерах обозначаются заглавными латинскими буквами, за исключением Р, которой отведена другая роль. Например:

• А = «студенты пришли на лекцию».
• Ā = «студенты не пришли на лекцию».

В практических заданиях события принято записывать словами.

Одна из важнейших характеристик событий - их равновозможность. То есть, если подбросить монету, все варианты исходного падения возможны, пока она не упала. Но также события бывают и не равновозможными. Это происходит, когда кто-то специально воздействует на исход. Например, «меченые» игральные карты или игральные кости, в которых смещен центр тяжести.

Еще события бывают совместимыми и несовместимыми. Совместимые события не исключают появления друг друга. Например:

• А = «студентка пришла на лекцию».
• В = «студент пришел на лекцию».

Эти события независимы друг от друга, и появление одного из них не влияет на появление другого. Несовместимые события определяются тем, что появление одного исключает появление другого. Если говорить о той же монете, то выпадение «решки» делает невозможным появление «орла» в этом же эксперименте.

Действия над событиями

События можно умножать и складывать, соответственно, в дисциплине вводятся логические связки «И» и «ИЛИ».

Сумма определяется тем, что может появиться или событие А, или В, или два одновременно. В случае когда они несовместимы, последний вариант невозможен, выпадет или А, или В.

Умножение событий заключается в появлении А и В одновременно.

Теперь можно привести несколько примеров, чтобы лучше запомнились основы, теория вероятности и формулы. Примеры решения задач далее.

Задание 1 : Фирма принимает участие в конкурсе на получение контрактов на три разновидности работы. Возможные события, которые могут произойти:

• А = «фирма получит первый контракт».
• А 1 = «фирма не получит первый контракт».
• В = «фирма получит второй контракт».
• В 1 = «фирма не получит второй контракт»
• С = «фирма получит третий контракт».
• С 1 = «фирма не получит третий контракт».

С помощью действий над событиями попробуем выразить следующие ситуации:

• К = «фирма получит все контракты».

В математическом виде уравнение будет иметь следующий вид: К = АВС.

• М = «фирма не получит ни одного контракта».

М = А 1 В 1 С 1 .

Усложняем задание: H = «фирма получит один контракт». Поскольку не известно, какой именно контракт получит фирма (первый, второй или третий), необходимо записать весь ряд возможных событий:

Н = А 1 ВС 1 υ АВ 1 С 1 υ А 1 В 1 С.

А 1 ВС 1 - это ряд событий, где фирма не получает первый и третий контракт, но получает второй. Соответственным методом записаны и другие возможные события. Символ υ в дисциплине обозначает связку «ИЛИ». Если перевести приведенный пример на человеческий язык, то фирма получит или третий контракт, или второй, или первый. Подобным образом можно записывать и другие условия в дисциплине «Теория вероятности». Формулы и примеры решения задач, представленные выше, помогут сделать это самостоятельно.

Собственно, вероятность

Пожалуй, в этой математической дисциплине вероятность события - это центральное понятие. Существует 3 определения вероятности:

• классическое;
• статистическое;
• геометрическое.

Каждое имеет свое место в изучении вероятностей. Теория вероятности, формулы и примеры (9 класс) в основном используют классическое определение, которое звучит так:

• Вероятность ситуации А равняется отношению числа исходов, что благоприятствуют ее появлению, к числу всех возможных исходов.

Формула выглядит так: Р(А)=m/n.

А - собственно, событие. Если появляется случай, противоположный А, его можно записывать как Ā или А 1 .

m - количество возможных благоприятных случаев.

n - все события, которые могут произойти.

Например, А = «вытащить карту червовой масти». В стандартной колоде 36 карт, 9 из них червовой масти. Соответственно, формула решения задания будет иметь вид:

Р(А)=9/36=0,25.

В итоге вероятность того, что из колоды вытянут карту червовой масти, составит 0,25.

К высшей математике

Теперь стало немного известно, что такое теория вероятности, формулы и примеры решения заданий, которые попадаются в школьной программе. Однако теория вероятностей встречается и в высшей математике, которая преподается в вузах. Чаще всего там оперируют геометрическими и статистическими определениями теории и сложными формулами.

Очень интересна теория вероятности. Формулы и примеры (высшая математика) лучше начинать изучать с малого - со статистического (или частотного) определения вероятности.

Статистический подход не противоречит классическому, а немного расширяет его. Если в первом случае нужно было определить, с какой долей вероятности произойдет событие, то в этом методе необходимо указать, как часто оно будет происходить. Здесь вводится новое понятие «относительная частота», которую можно обозначить W n (A). Формула ничем не отличается от классической:

Если классическая формула вычисляется для прогнозирования, то статистическая - согласно результатам эксперимента. Возьмем, к примеру, небольшое задание.

Отдел технологического контроля проверяет изделия на качество. Среди 100 изделий нашли 3 некачественных. Как найти вероятность частоты качественного товара?

А = «появление качественного товара».

W n (A)=97/100=0,97

Таким образом, частота качественного товара составляет 0,97. Откуда взяли 97? Из 100 товаров, которые проверили, 3 оказались некачественными. От 100 отнимаем 3, получаем 97, это количество качественного товара.

Немного о комбинаторике

Еще один метод теории вероятности называют комбинаторикой. Его основной принцип состоит в том, что если определенный выбор А можно осуществить m разными способами, а выбор В - n разными способами, то выбор А и В можно осуществить путем умножения.

Например, из города А в город В ведет 5 дорог. Из города В в город С ведет 4 пути. Сколькими способами можно доехать из города А в город С?

Все просто: 5х4=20, то есть двадцатью разными способами можно добраться из точки А в точку С.

Усложним задание. Сколько существует способов раскладывания карт в пасьянсе? В колоде 36 карт - это исходная точка. Чтобы узнать количество способов, нужно от исходной точки «отнимать» по одной карте и умножать.

То есть 36х35х34х33х32…х2х1= результат не вмещается на экран калькулятора, поэтому его можно просто обозначить 36!. Знак «!» возле числа указывает на то, что весь ряд чисел перемножается между собой.

В комбинаторике присутствуют такие понятия, как перестановка, размещение и сочетание. Каждое из них имеет свою формулу.

Упорядоченный набор элементов множества называют размещением. Размещения могут быть с повторениями, то есть один элемент можно использовать несколько раз. И без повторений, когда элементы не повторяются. n - это все элементы, m - элементы, которые участвуют в размещении. Формула для размещения без повторений будет иметь вид:

A n m =n!/(n-m)!

Соединения из n элементов, которые отличаются только порядком размещения, называют перестановкой. В математике это имеет вид: Р n = n!

Сочетаниями из n элементов по m называют такие соединения, в которых важно, какие это были элементы и каково их общее количество. Формула будет иметь вид:

A n m =n!/m!(n-m)!

Формула Бернулли

В теории вероятности, так же как и в каждой дисциплине, имеются труды выдающихся в своей области исследователей, которые вывели ее на новый уровень. Один из таких трудов - формула Бернулли, что позволяет определять вероятность появления определенного события при независимых условиях. Это говорит о том, что появление А в эксперименте не зависит от появления или не появления того же события в ранее проведенных или последующих испытаниях.

Уравнение Бернулли:

P n (m) = C n m ×p m ×q n-m .

Вероятность (р) появления события (А) неизменна для каждого испытания. Вероятность того, что ситуация произойдет ровно m раз в n количестве экспериментов, будет вычисляться формулой, что представлена выше. Соответственно, возникает вопрос о том, как узнать число q.

Если событие А наступает р количество раз, соответственно, оно может и не наступить. Единица - это число, которым принято обозначать все исходы ситуации в дисциплине. Поэтому q - число, которое обозначает возможность ненаступления события.

Теперь вам известна формула Бернулли (теория вероятности). Примеры решения задач (первый уровень) рассмотрим далее.

Задание 2: Посетитель магазина сделает покупку с вероятностью 0,2. В магазин зашли независимым образом 6 посетителей. Какова вероятность того, что посетитель сделает покупку?

Решение: Поскольку неизвестно, сколько посетителей должны сделать покупку, один или все шесть, необходимо просчитать все возможные вероятности, пользуясь формулой Бернулли.

А = «посетитель совершит покупку».

В этом случае: р = 0,2 (как указано в задании). Соответственно, q=1-0,2 = 0,8.

n = 6 (поскольку в магазине 6 посетителей). Число m будет меняться от 0 (ни один покупатель не совершит покупку) до 6 (все посетители магазина что-то приобретут). В итоге получим решение:

P 6 (0) = C 0 6 ×p 0 ×q 6 =q 6 = (0,8) 6 = 0,2621.

Ни один из покупателей не совершит покупку с вероятностью 0,2621.

Как еще используется формула Бернулли (теория вероятности)? Примеры решения задач (второй уровень) далее.

После вышеприведенного примера возникают вопросы о том, куда делись С и р. Относительно р число в степени 0 будет равно единице. Что касается С, то его можно найти формулой:

C n m = n! / m!(n-m)!

Поскольку в первом примере m = 0, соответственно, С=1, что в принципе не влияет на результат. Используя новую формулу, попробуем узнать, какова вероятность покупки товаров двумя посетителями.

P 6 (2) = C 6 2 ×p 2 ×q 4 = (6×5×4×3×2×1) / (2×1×4×3×2×1) × (0,2) 2 × (0,8) 4 = 15 × 0,04 × 0,4096 = 0,246.

Не так уж и сложна теория вероятности. Формула Бернулли, примеры которой представлены выше, прямое тому доказательство.

Формула Пуассона

Уравнение Пуассона используется для вычисления маловероятных случайных ситуаций.

Основная формула:

P n (m)=λ m /m! × e (-λ) .

При этом λ = n х p. Вот такая несложная формула Пуассона (теория вероятности). Примеры решения задач рассмотрим далее.

Задание 3 : На заводе изготовили детали в количестве 100000 штук. Появление бракованной детали = 0,0001. Какова вероятность, что в партии будет 5 бракованных деталей?

Как видим, брак - это маловероятное событие, в связи с чем для вычисления используется формула Пуассона (теория вероятности). Примеры решения задач подобного рода ничем не отличаются от других заданий дисциплины, в приведенную формулу подставляем необходимые данные:

А = «случайно выбранная деталь будет бракованной».

р = 0,0001 (согласно условию задания).

n = 100000 (количество деталей).

m = 5 (бракованные детали). Подставляем данные в формулу и получаем:

Р 100000 (5) = 10 5 /5! Х е -10 = 0,0375.

Так же как и формула Бернулли (теория вероятности), примеры решений с помощью которой написаны выше, уравнение Пуассона имеет неизвестное е. По сути его можно найти формулой:

е -λ = lim n ->∞ (1-λ/n) n .

Однако есть специальные таблицы, в которых находятся практически все значения е.

Теорема Муавра-Лапласа

Если в схеме Бернулли количество испытаний достаточно велико, а вероятность появления события А во всех схемах одинакова, то вероятность появления события А определенное количество раз в серии испытаний можно найти формулой Лапласа:

Р n (m)= 1/√npq x ϕ(X m).

X m = m-np/√npq.

Чтобы лучше запомнилась формула Лапласа (теория вероятности), примеры задач в помощь ниже.

Сначала найдем X m , подставляем данные (они все указаны выше) в формулу и получим 0,025. При помощи таблиц находим число ϕ(0,025), значение которого 0,3988. Теперь можно подставлять все данные в формулу:

Р 800 (267) = 1/√(800 х 1/3 х 2/3) х 0,3988 = 3/40 х 0,3988 = 0,03.

Таким образом, вероятность того, что рекламная листовка сработает ровно 267 раз, составляет 0,03.

Формула Байеса

Формула Байеса (теория вероятности), примеры решения заданий с помощью которой будут приведены ниже, представляет собой уравнение, которое описывает вероятность события, опираясь на обстоятельства, которые могли быть связаны с ним. Основная формула имеет следующий вид:

Р (А|B) = Р (В|А) х Р (А) / Р (В).

А и В являются определенными событиями.

Р(А|B) - условная вероятность, то есть может произойти событие А при условии, что событие В истинно.

Р (В|А) - условная вероятность события В.

Итак, заключительная часть небольшого курса «Теория вероятности» - формула Байеса, примеры решений задач с которой ниже.

Задание 5 : На склад привезли телефоны от трех компаний. При этом часть телефонов, которые изготавливаются на первом заводе, составляет 25%, на втором - 60%, на третьем - 15%. Известно также, что средний процент бракованных изделий у первой фабрики составляет 2%, у второй - 4%, и у третьей - 1%. Необходимо найти вероятность того, что случайно выбранный телефон окажется бракованным.

А = «случайно взятый телефон».

В 1 - телефон, который изготовила первая фабрика. Соответственно, появятся вводные В 2 и В 3 (для второй и третьей фабрик).

В итоге получим:

Р (В 1) = 25%/100% = 0,25; Р(В 2) = 0,6; Р (В 3) = 0,15 - таким образом мы нашли вероятность каждого варианта.

Теперь нужно найти условные вероятности искомого события, то есть вероятность бракованной продукции в фирмах:

Р (А/В 1) = 2%/100% = 0,02;

Р(А/В 2) = 0,04;

Р (А/В 3) = 0,01.

Теперь подставим данные в формулу Байеса и получим:

Р (А) = 0,25 х 0,2 + 0,6 х 0,4 + 0,15 х 0,01= 0,0305.

В статье представлена теория вероятности, формулы и примеры решения задач, но это только вершина айсберга обширной дисциплины. И после всего написанного логично будет задаться вопросом о том, нужна ли теория вероятности в жизни. Простому человеку сложно ответить, лучше спросить об этом у того, кто с ее помощью не единожды срывал джек-пот.

Теория вероятностей - это математическая наука, изучающая закономерности в массовых случайных явлениях.

До появления теории вероятностей как общепризнанной теории в науке господствовал детерминизм, согласно которому осуществление определенного комплекса условий однозначно определяет результат. Классическим примером является механика. Например, на основании законов небесной механики по известному в некоторый момент положению планет Солнечной системы могут быть очень точно предсказаны солнечные и лунные затмения. Подобные законы называются детерминированными законами.

Однако практика показала, что этот подход далеко не всегда применим. Не все явления макромира поддаются точному предсказанию, несмотря на то, что наши знания о нем непрерывно уточняются и углубляются. Еще менее детерминированы законы и закономерности микромира.

Математические законы теории вероятностей отражают реальные статистические законы, объективно существующие в массовых случайных явлениях.

Теория вероятностей развивалась вначале как прикладная дисциплина. В связи с этим ее понятия и выводы имели окраску тех областей знаний, в которых они были получены.

В работах Б.В. Гнеденко, Л.Е. Майстрова, А.Н. Колмогорова представлены основные этапы развития теории вероятностей. Для краткости приведем их в виде таблицы.

Таблица 1

Этапы развития теории вероятностей

Представленные в таблице источники становления отражают потребности практики, которые стали толчком к развитию теории вероятностей.

Философия к 17 веку накопила довольно богатый материал, который оказал влияние на зарождение и первый период развития теории вероятностей. Главным же источником зарождения теории вероятностей является практика. Необходимость создания математического аппарата для анализа случайных явлений, вытекала из потребностей обработки и обобщения статистического материала. Однако теория вероятностей сформировалась, не только на материале практических задач: эти задачи слишком сложны. Более простым и удобным материалом для изучения закономерностей случайных явлений оказались азартные игры. На базе азартных игр наряду с основными понятиями развивались и методы теории вероятностей.

Зарождение теории вероятностей началось с того, что придворный французского короля, шевалье (кавалер) де Мере (1607-1648), сам азартный игрок, обратился к французскому физику, математику и философу Блезу Паскалю (1623-1662) с вопросами к задаче об очках. До нас дошли два знаменитых вопроса де Мере к Паскалю: 1) сколько раз надо бросить две игральные кости, чтобы случаев выпадения сразу двух шестерок было больше половины от общего числа бросаний; 2) как справедливо разделить поставленные на кон деньги, если игроки прекратили игру преждевременно? Паскаль обратился к математику Пьеру Ферма (1601-1665) и переписывался с ним по поводу этих задач. Они вдвоем установили некоторые исходные положения теории вероятностей, в частности пришли к понятию математического ожидания и теоремам сложения и умножения вероятностей.

Непосредственное практическое применение вероятностные методы нашли, прежде всего, в задачах страхования. С тех пор теория вероятностей находит все более широкое применение в различных областях.

Первооткрывателями теории вероятностей считаются французские ученые Б.Паскаль и П.Ферма и голландский ученый Х.Гюйгенс (1629-1695). Стала зарождаться новая наука, вырисовываться ее специфика и методология: определения, теоремы, методы.

Крупный шаг в развитии теории вероятностей связан с работами Якова Бернулли (1654?1705). Ему принадлежит первое доказательство одного из важнейших положений теории вероятностей? закона больших чисел. Еще до Якова Бернулли многие отмечали как эмпирический факт ту особенность случайных явлений, которую называют «свойством устойчивости частот при большом числе опытов». Было неоднократно отмечено, что при большом числе опытов, исход каждого из которых является случайным, относительная частота появления данного исхода имеет тенденцию стабилизироваться, приближаясь к некоторому определенному числу?вероятности этого исхода. Яков Бернулли впервые дал теоретическое обоснование этому эмпирическому факту. Теорема Якова Бернулли? простейшая форма закона больших чисел? устанавливает связь между вероятностью события и частотой его появления; при достаточно большом числе опытов можно с практической достоверностью ожидать сколь угодно близкого совпадения частоты с вероятностью.

Другой важный этап в развитии теории вероятностей связан с именем Моавра (1667?1754). Этот ученый впервые ввел в рассмотрение и для простейшего случая обосновал закон, очень часто наблюдаемый в случайных явлениях: так называемый нормальный закон (закон Гаусса).

Нормальный закон играет исключительно важную роль в случайных явлениях. Теоремы, обосновывающие этот закон для тех или иных условий, носят в теории вероятностей общее название «центральной предельной теоремы».

Стройное и систематическое изложение основ теории вероятностей впервые дал знаменитый математик Лаплас (1749?1827). Он доказал одну из форм центральной предельной теоремы (теоремы Моавра? Лапласа) и развил ряд замечательных приложений теории вероятностей к вопросам практики, в частности, к анализу ошибок наблюдений и измерений.

Значительный шаг вперед в развитии теории вероятностей связан с именем Гаусса (1777?1855), который дал еще более общее обоснование нормальному закону и разработал метод обработки экспериментальных данных, известный под названием «метода наименьших квадратов».

Следует отметить работы Пуассона (1781?1840), доказавшего более общую, чем у Якова Бернулли, форму закона больших чисел, а также впервые применившего теорию вероятностей к задачам стрельбы. С именем Пуассона связан один из законов распределения, играющий большую роль в теории вероятностей и ее приложениях.

Для всего XVIII и начала XIX века характерны бурное развитие теории вероятностей и повсеместное увлечение ею. Теория вероятностей становится «модной» наукой. Ее начинают применять не только там, где применение правомерно, но и там, где оно ничем не оправдано.

Для этого периода характерны многочисленные попытки применить теорию вероятностей к изучению общественных явлений, к так называемым «моральным» или «нравственным» наукам. Во множестве появились работы, посвященные вопросам судопроизводства, истории, политики, даже богословия, в которых применялся аппарат теории вероятностей. Для всех этих псевдонаучных исследований характерен чрезвычайно упрощенный, механический подход к рассматриваемым в них общественным явлениям. В основу рассуждения полагаются некоторые произвольно заданные вероятности (например, при рассмотрении вопросов судопроизводства склонность каждого человека к правде или лжи оценивается некоторой постоянной, одинаковой для всех людей вероятностью), и далее общественная проблема решается как простая арифметическая задача.

Естественно, что все подобные попытки были обречены на неудачу и не могли сыграть положительной роли в развитии науки. Напротив, их косвенным результатом оказалось то, что примерно в двадцатых? тридцатых годах XIX века в Западной Европе повсеместное увлечение теорией вероятностей сменилось разочарованием и скептицизмом. На теорию вероятностей стали смотреть как на науку сомнительную, второсортную, род математического развлечения, вряд ли достойный серьезного изучения.

Замечательно, что именно в это время в России создается та знаменитая Петербургская математическая школа, трудами которой теория вероятностей была поставлена на прочную логическую и математическую основу и сделана надежным, точным и эффективным методом познания. Со времени появления этой школы развитие теории вероятностей уже тесным образом связано работами русских, а в дальнейшем? советских ученых.

Среди ученых Петербургской математической школы следует назвать В. Я. Буняковского (1804?1889) ? автора первого курса теории вероятностей на русском языке, создателя современной русской терминологии в теории вероятностей, автора оригинальных исследований в области статистики и демографии.

Учеником В. Я. Буняковского был великий русский математик П. Л. Чебышев (1821?1894), которому принадлежит дальнейшее расширение и обобщение закона больших чисел. Кроме того, П. Л. Чебышев ввел в теорию вероятностей весьма мощный и плодотворный метод моментов.

Учеником П. Л. Чебышева был А. А. Марков (1856?1922), который существенно расширил область применения закона больших чисел и центральной предельной теоремы, распространив их не только на независимые, но и на зависимые опыты. Важнейшей заслугой А. А. Маркова явилось то, что он заложил основы совершенно новой ветви теории вероятностей? теории случайных, или «стохастических», процессов. Развитие этой теории составляет основное содержание новейшей, современной теории вероятностей.

Учеником П. Л. Чебышева был и А. М. Ляпунов (1857?1918), с именем которого связано первое доказательство центральной предельной теоремы при чрезвычайно общих условиях. Для доказательства своей теоремы А. М. Ляпунов разработал специальный метод характеристических функций, широко применяемый в современной теории вероятностей.

Характерной особенностью работ Петербургской математической школы была исключительная четкость постановки задач, полная математическая строгость применяемых методов и наряду с этим тесная связь теории с непосредственными требованиями практики. Трудами ученых Петербургской математической школы теория вероятностей была выведена с задворков науки и поставлена как полноправный член в ряд точных математических наук. Условия применения ее методов были строго определены, а самые методы доведены до высокой степени совершенства.

Советская школа теории вероятностей, унаследовав традиции Петербургской математической школы, занимает в мировой науке ведущее место. Назовем только некоторых крупнейших советских ученых, труды которых сыграли решающую роль в развитии современной теории вероятностей и ее практических приложений.

С. Н. Бернштейн разработал первую законченную аксиоматику теории вероятностей, а также существенно расширил область применения предельных теорем.

А. Я. Хинчин (1894?1959) известен своими исследованиями в области дальнейшего обобщения и усиления закона больших чисел, но главным образом своими исследованиями в области стационарных случайных процессов.

Ряд важнейших основополагающих работ в различных областях теории вероятностей и математической статистики принадлежит А. Н. Колмогорову. Он дал наиболее совершенное аксиоматическое построение теории вероятностей, связав ее с одним из важнейших разделов современной математики? метрической теорией функций. Особое значение работы А. Н. Колмогорова имеют в области теории случайных функций (стохастических процессов), которые в настоящее время являются основой всех исследований в данной области. Работы А. Н. Колмогорова, относящиеся к оценке эффективности легли в основу целого нового научного направления в теории стрельбы, переросшего затем в более широкую науку об эффективности боевых действий.

В. И. Романовский и Н. В. Смирнов известны своими работами в области математической статистики, Е. Е. Слуцкий? в теории случайных процессов, Б. В. Гнеденко? в области теории массового обслуживания, Е. Б. Дынкин? в области марковских случайных процессов, В. С. Пугачев? в области случайных процессов в применении к задачам автоматического управления.

Развитие зарубежной теории вероятностей в настоящее время также идет усиленными темпами в связи с настоятельными требованиями практики. Преимущественным вниманием пользуются, как и у нас, вопросы, относящиеся к случайным процессам. Значительные работы в этой области принадлежат Н. Винеру, В. Феллеру, Д. Дубу. Важные работы по теории вероятностей и математической статистике принадлежат Р. Фишеру, Д. Нейману и Г. Крамеру.

Теория вероятностей, подобно другим разделам математики, развилась из потребностей практики, и абстрактно она отражает закономерности в массовых случайных событиях. Эти закономерности играют очень важную роль в различных областях естествознания, медицине, технике, экономике, военном деле. Многие разделы теории вероятностей были развиты благодаря запросам практики.

В основе классического определения вероятности лежит понятие вероятностного опыта, или вероятностного эксперимента. Его результатом является один из нескольких возможных исходов, называемых элементарными исходами , причем нет оснований ожидать, что какой-либо элементарный исход будет появляться чаще других при повторении вероятностного опыта. Например, рассмотрим вероятностный эксперимент по бросанию игральной кости (кубика). Результатом этого опыта является выпадение одного из 6 очков, нарисованных на гранях кубика.

Таким образом, в этом эксперименте 6 элементарных исходов:

и каждый из них равноожидаем.

Событием в классическом вероятностном эксперименте является произвольное подмножество множества элементарных исходов. В рассмотренном примере по бросанию игральной кости событием является, например, выпадение четного числа очков, которое состоит из элементарных исходов .

Вероятностью события называется число:

где число элементарных исходов, из которых состоит событие (иногда говорят, что это число элементарных исходов, благоприятствующих появлению события ), а - число всех элементарных исходов.

В нашем примере:

Элементы комбинаторики .

При описании многих вероятностных опытов элементарные исходы можно отождествить с одним из следующих объектов комбинаторики (науки о конечных множествах).

Перестановкой из чисел называется произвольная упорядоченная запись этих чисел без повторений. Например, для множества из трех чисел имеется 6 различных перестановок:

, , , , , .

Для произвольного число перестановок равно

(произведение подряд стоящих чисел натурального ряда, начиная с 1).

Сочетанием из по называется произвольный неупорядоченный набор любых элементов множества . Например, для множества из трех чисел имеется 3 различных сочетания из 3 по 2:

Для произвольной пары , , число сочетаний из по равно

Например,

Гипергеометрическое распределение.

Рассмотрим следующий вероятностный опыт. Имеется черный ящик, в котором лежит белых и черных шаров. Шары одинакового размера и неотличимы наощупь. Эксперимент состоит в том, что мы наудачу вытаскиваем шаров. Событие , вероятность которого надо найти, состоит в том, что из этих шаров - белые, а остальные - черные.

Перенумеруем все шары числами от 1 до . Пусть числа 1, ¼, соответствуют белым шарам, а числа , ¼, - черным шарам. Элементарным исходом в этом опыте является неупорядоченный набор элементов из множества , то есть сочетание из по . Следовательно, имеется всех элементарных исходов.

Найдем число элементарных исходов, благоприятствующих появлению события . Соответствующие наборы состоят из “белых” и “черных” чисел. Выбрать чисел из “белых” чисел можно способами, а чисел из “черных” ¾ способами. Белые и черные наборы могут соединяться произвольно, поэтому всего имеется элементарных исходов, благоприятствующих событию .

Вероятность события равна

Полученная формула называется гипергеометрическим распределением.

Задача 5.1. В ящике находится 55 кондиционных и 6 бракованных однотипных деталей. Какова вероятность того, что среди трех наудачу выбранных деталей окажется хотя бы одна бракованная?

Решение. Всего имеется 61 деталь, берем 3. Элементарный исход есть сочетание из 61 по 3. Число всех элементарных исходов равно . Благоприятные исходы делятся на три группы: 1) это те исходы, в которых 1 деталь бракованная, а 2 хорошие; 2) 2 детали бракованные, а 1 хорошая; 3) все 3 детали бракованные. Число наборов первого вида равно , число наборов второго вида равно , число наборов третьего вида равно . Следовательно, появлению события благоприятствуют элементарных исходов. Вероятность события равна

Алгебра событий

Пространством элементарных событий называется множество всех элементарных исходов, относящихся к данному опыту.

Суммой двух событий называется событие, которое состоит из элементарных исходов, принадлежащих событию или событию .

Произведением двух событий называется событие, состоящие из элементарных исходов, принадлежащих одновременно событиям и .

События и называются несовместными, если .

Событие называется противоположным событию , если событию благоприятствуют все те элементарные исходы, которые не принадлежат событию . В частности, , .

ТЕОРЕМА о сумме.

В частности, .

Условной вероятностью события при условии, что событие произошло, называется отношение числа элементарных исходов, принадлежащих пересечению , к числу элементарных исходов, принадлежащих . Иными словами, условная вероятность события определяется классической формулой вероятности, в которой новым вероятностным пространством является . Обозначается условная вероятность события через .

ТЕОРЕМА о произведении. .

События называются независимыми , если . Для независимых событий теорема о произведении дает соотношение .

Следствием теорем о сумме и о произведении является следующие две формулы.

Формула полной вероятности. Полной группой гипотез называется произвольный набор несовместных событий , , ¼, , в сумме составляющих все вероятностное пространство:

В этой ситуации для произвольного события справедлива формула, называемая формулой полной вероятности,

где есть функция Лапласа , , . Функция Лапласа затабулирована, и ее значения при заданном можно найти в любом учебнике по теории вероятности и математической статистике.

Задача 5.3. Известно, что в большой партии деталей имеется 11% бракованных. Для проверки выбирается 100 деталей. Какова вероятность того, что среди них найдется не более 14 бракованных? Оценить ответ с использованием теоремы Муавра-Лапласа.

Решение. Мы имеем дело с испытанием Бернулли , где , , . Успехом считается обнаружить бракованную деталь, и число успехов удовлетворяет неравенству . Следовательно,

Прямой подсчет дает:

, , , , , , , , , , , , , , .

Следовательно, . Теперь применим интегральную теорему Муавра-Лапласа. Получаем:

Используя таблицу значений функции , с учетом нечетности функции, получаем

Ошибка приближенного вычисления не превышает .

Случайные величины

Случайной величиной называется числовая характеристика вероятностного опыта, которая является функцией от элементарных исходов. Если , , ¼, есть множество элементарных исходов, то случайная величина есть функция . Удобнее, однако, охарактеризовать случайную величину , перечислив все ее возможные значения и вероятности, с которыми она принимает это значение .

Такая таблица называется законом распределения случайной величины. Поскольку события образуют полную группу, выполнен закон вероятностной нормировки

Математическое ожидание, или среднее значение, случайной величины есть число, равное сумме произведений значений случайной величины на соответствующие вероятности.

Дисперсия (степень разброса значений вокруг математического ожидания) случайной величины есть математическое ожидание случайной величины ,

Можно показать, что

Величина

называется средним квадратичным уклонением случайной величины .

Функцией распределения для случайной величины есть вероятность попасть на множество , то есть

Является неотрицательной, неубывающей функцией, принимающей значения от 0 до 1. Для случайной величины, имеющей конечное множество значений, является кусочно-постоянной функцией, имеющие разрывы второго рода в точках состояний . При этом непрерывна слева и .

Задача 5.4. Производится последовательное бросание двух игральных костей. При выпадении на одной игральной кости одного, трех или пяти очков игрок лишается 5 рублей. При выпадении двух или четырех очков игрок получает 7рублей. При выпадении шести очков игрок лишается 12рублей. Случайная величина x есть выигрыш игрока при двух бросаниях костей. Найти закон распределения x , построить график функции распределения, найти математическое ожидание и дисперсию x .

Решение. Рассмотрим сначала, чему равен выигрыш игрока при одном бросании кубика. Пусть событие состоит в том, что выпало 1, 3 или 5 очков. Тогда , а выигрыш составит рублей. Пусть событие состоит в том, что выпало 2 или 4 очка. Тогда , а выигрыш составит рублей. Наконец, пусть событие означает выпадение 6 очков. Тогда и выигрыш равен рублей.

Теперь рассмотрим все возможные комбинации событий , и при двух бросаниях кости, и определим значения выигрыша при каждой такой комбинации.

Если произошло событие , то , при этом .

Если произошло событие , то , при этом .

Аналогично, при получаем , .

Все найденные состояния и суммарные вероятности этих состояний записываем в таблицу:

Проверяем выполнение закона вероятностной нормировки: на вещественной прямой нужно уметь определить вероятность попадания случайной величины в этот интервал 1) и быстро убывающую при, ¼,

Многие, столкнувшись с понятием «теория вероятности», пугаются, думая, что это нечто непосильное, очень сложное. Но все на самом деле не так трагично. Сегодня мы рассмотрим основное понятие теории вероятности, научимся решать задачи на конкретных примерах.

Наука

Что же изучает такой раздел математики, как «теория вероятности»? Она отмечает закономерности и величин. Впервые данным вопросом заинтересовались ученые еще в восемнадцатом веке, когда изучали азартные игры. Основное понятие теории вероятности - событие. Это любой факт, который констатируется опытом или наблюдением. Но что же такое опыт? Еще одно основное понятие теории вероятности. Оно означает, что этот состав обстоятельств создан не случайно, а с определенной целью. Что касается наблюдения, то здесь исследователь сам не участвует в опыте, а просто является свидетелем данных событий, он никак не влияет на происходящее.

События

Мы узнали, что основное понятие теории вероятности - это событие, но не рассмотрели классификацию. Все они делятся на следующие категории:

• Достоверные.
• Невозможные.
• Случайные.

Независимо от того, какие это события, за которыми наблюдают или создают в ходе опыта, все они подвержены данной классификации. Предлагаем с каждым из видов познакомиться отдельно.

Достоверное событие

Это такое обстоятельство, перед которым сделан необходимый комплекс мероприятий. Для того чтобы лучше вникнуть в суть, лучше привести несколько примеров. Этому закону подчинены и физика, и химия, и экономика, и высшая математика. Теория вероятности включает такое важное понятие, как достоверное событие. Приведем примеры:

• Мы работаем и получаем вознаграждение в виде заработной платы.
• Сдали хорошо экзамены, прошли конкурс, за это получаем вознаграждение в виде поступления в учебное заведение.
• Мы вложили деньги в банк, при необходимости получим их назад.

Такие события являются достоверными. Если мы выполнили все необходимые условия, то обязательно получим ожидаемый результат.

Невозможные события

Сейчас мы рассматриваем элементы теории вероятности. Предлагаем перейти к пояснению следующего вида события, а именно - невозможного. Для начала оговорим самое важное правило - вероятность невозможного события равна нулю.

От данной формулировки нельзя отступать при решении задач. Для пояснения приведем примеры таких событий:

• Вода замерзла при температуре плюс десять (это невозможно).
• Отсутствие электроэнергии никак не влияет на производство (так же невозможно, как и в предыдущем примере).

Более примеров приводить не стоит, так как описанные выше очень ярко отражают суть данной категории. Невозможное событие никогда не произойдет во время опыта ни при каких обстоятельствах.

Случайные события

Изучая элементы особое внимание стоит уделить именно данному виду события. Именно их и изучает данная наука. В результате опыта может что-то произойти или нет. Кроме этого, испытание может проводиться неограниченное количество раз. Яркими примерами могут служить:

• Бросок монеты - это опыт, или испытание, выпадение орла - это событие.
• Вытягивание мячика из мешка вслепую - испытание, попался красный шар - это событие и так далее.

Таких примеров может быть неограниченное количество, но, в общем, суть должна быть понятна. Для обобщения и систематизирования полученных знаний о событиях приведена таблица. Теория вероятности изучает только последний вид из всех представленных.

Законы

Теория вероятности - это наука, изучающая возможность выпадения какого-либо события. Как и другие, она имеет некоторые правила. Существуют следующие законы теории вероятности:

• Сходимость последовательностей случайных величин.
• Закон больших чисел.

При расчете возможности сложного можно использовать комплекс простых событий для достижения результата более легким и быстрым путем. Отметим, что законы теории вероятности легко доказываются с помощью некоторых теорем. Предлагаем для начала познакомиться с первым законом.

Сходимость последовательностей случайных величин

Отметим, что видов сходимости несколько:

• Последовательность случайных величин сходима по вероятности.
• Почти невозможное.
• Среднеквадратическая сходимость.
• Сходимость по распределению.

Так, с лету, очень тяжело вникнуть в суть. Приведем определения, которые помогут разобраться в данной теме. Для начала первый вид. Последовательность называют сходимой по вероятности , если соблюдено следующее условие: n стремится к бесконечности, число, к которому стремится последовательность, больше нуля и приближена к единице.

Переходим к следующему виду, почти наверное . Говорят, что последовательность сходится почти наверное к случайной величине при n, стремящейся к бесконечности, и Р, стремящейся к величине, приближенной к единице.

Следующий тип - это сходимость среднеквадратическая . При использовании СК-сходимости изучение векторных случайных процессов сводится к изучению их координатных случайных процессов.

Остался последний тип, давайте разберем кратко и его, чтобы переходить непосредственно к решению задач. Сходимость по распределению имеет и еще одно название - «слабое», далее поясним, почему. Слабая сходимость — это сходимость функций распределения во всех точках непрерывности предельной функции распределения.

Обязательно выполним обещание: слабая сходимость отличается от всех вышеперечисленных тем, что случайная величина не определена на вероятностном пространстве. Это возможно потому, что условие формируется исключительно с использованием функций распределения.

Закон больших чисел

Отличными помощниками при доказательстве данного закона станут теоремы теории вероятности, такие как:

• Неравенство Чебышева.
• Теорема Чебышева.
• Обобщенная теорема Чебышева.
• Теорема Маркова.

Если будем рассматривать все эти теоремы, то данный вопрос может затянуться на несколько десятков листов. У нас же основная задача - это применение теории вероятности на практике. Предлагаем вам прямо сейчас этим и заняться. Но перед этим рассмотрим аксиомы теории вероятностей, они будут основными помощниками при решении задач.

Аксиомы

С первой мы уже познакомились, когда говорили о невозможном событии. Давайте вспоминать: вероятность невозможного события равна нулю. Пример мы приводили очень яркий и запоминающийся: выпал снег при температуре воздуха тридцать градусов по Цельсию.

Вторая звучит следующим образом: достоверное событие происходит с вероятностью, равной единице. Теперь покажем, как это записать с помощью математического языка: Р(В)=1.

Третья: Случайное событие может произойти или нет, но возможность всегда варьируется в пределах от нуля до единицы. Чем ближе значение к единице, тем шансов больше; если значение приближается к нулю, вероятность очень мала. Запишем это математическим языком: 0<Р(С)<1.

Рассмотрим последнюю, четвертую аксиому, которая звучит так: вероятность суммы двух событий равняется сумме их вероятностей. Записываем математическим языком: Р(А+В)=Р(А)+Р(В).

Аксиомы теории вероятностей - это простейшие правила, которые не составит труда запомнить. Попробуем решить некоторые задачи, опираясь на уже полученные знания.

Лотерейный билет

Для начала рассмотрим простейший пример - лотерея. Представьте, что вы купили один лотерейный билет на удачу. Какова вероятность, что вы выиграете не менее двадцати рублей? Всего в тираже участвует тысяча билетов, один из которых имеет приз в пятьсот рублей, десять по сто рублей, пятьдесят по двадцать рублей, а сто - по пять. Задачи по теории вероятности основаны на том, чтобы найти возможность удачи. Сейчас вместе разберем решение выше представленного задания.

Если мы буквой А обозначим выигрыш в пятьсот рублей, то вероятность выпадения А будет равняться 0,001. Как мы это получили? Просто необходимо количество "счастливых" билетов разделить на общее их число (в данном случае: 1/1000).

В - это выигрыш в сто рублей, вероятность будет равняться 0,01. Сейчас мы действовали по тому же принципу, что и в прошлом действии (10/1000)

С - выигрыш равен двадцати рублям. Находим вероятность, она равняется 0,05.

Остальные билеты нас не интересуют, так как их призовой фонд меньше заданного в условии. Применим четвертую аксиому: Вероятность выиграть не менее двадцати рублей составляет Р(А)+Р(В)+Р(С). Буквой Р обозначается вероятность происхождения данного события, мы в предыдущих действиях уже их нашли. Осталось только сложить необходимые данные, в ответе мы получаем 0,061. Это число и будет являться ответом на вопрос задания.

Карточная колода

Задачи по теории вероятности бывают и более сложными, для примера возьмем следующее задание. Перед вами колода из тридцати шести карт. Ваша задача - вытянуть две карты подряд, не перемешивая стопку, первая и вторая карты должны быть тузами, масть значения не имеет.

Для начала найдем вероятность того, что первая карта будет тузом, для этого четыре делим на тридцать шесть. Отложили его в сторону. Достаем вторую карту, это будет туз с вероятностью три тридцать пятых. Вероятность второго события зависит от того, какую карту мы вытянули первой, нам интересно, был это туз или нет. Из этого следует, что событие В зависит от события А.

Следующим действием находим вероятность одновременного осуществления, то есть перемножаем А и В. Их произведение находится следующим образом: вероятность одного события умножаем на условную вероятность другого, которую мы вычисляем, предполагая, что первое событие произошло, то есть первой картой мы вытянули туз.

Для того чтобы стало все понятно, дадим обозначение такому элементу, как события. Вычисляется она, предполагая, что событие А произошло. Рассчитывается следующим образом: Р(В/А).

Продолжим решение нашей задачи: Р(А * В)=Р(А) * Р(В/А) или Р(А * В)=Р(В) * Р(А/В). Вероятность равняется (4/36) * ((3/35)/(4/36). Вычисляем, округляя до сотых. Мы имеем: 0,11 * (0,09/0,11)=0,11 * 0,82=0,09. Вероятность того, что мы вытянем два туза подряд, равна девяти сотым. Значение очень мало, из этого следует, что и вероятность происхождения события крайне мала.

Забытый номер

Предлагаем разобрать еще несколько вариантов заданий, которые изучает теория вероятности. Примеры решения некоторых из них вы уже видели в данной статье, попробуем решить следующую задачу: мальчик забыл последнюю цифру номера телефона своего друга, но так как звонок был очень важен, то начал набирать все по очереди. Нам необходимо вычислить вероятность того, что он позвонит не более трех раз. Решение задачи простейшее, если известны правила, законы и аксиомы теории вероятности.

Перед тем как смотреть решение, попробуйте решить самостоятельно. Нам известно, что последняя цифра может быть от нуля до девяти, то есть всего десять значений. Вероятность набрать нужную составляет 1/10.

Далее нам нужно рассматривать варианты происхождения события, предположим, что мальчик угадал и сразу набрал нужную, вероятность такого события равняется 1/10. Второй вариант: первый звонок промах, а второй в цель. Рассчитаем вероятность такого события: 9/10 умножаем на 1/9, в итоге получаем также 1/10. Третий вариант: первый и второй звонок оказались не по адресу, только с третьего мальчик попал туда, куда хотел. Вычисляем вероятность такого события: 9/10 умножаем на 8/9 и на 1/8, получаем в итоге 1/10. Другие варианты по условию задачи нас не интересуют, по этому нам осталось сложить полученные результаты, в итоге мы имеем 3/10. Ответ: вероятность того, что мальчик позвонит не более трех раз, равняется 0,3.

Карточки с числами

Перед вами девять карточек, на каждой из которых написано число от одного до девяти, цифры не повторяются. Их положили в коробку и тщательно перемешали. Вам необходимо рассчитать вероятность того, что

• выпадет четное число;
• двухзначное.

Перед тем как переходить к решению, оговорим, что m - это число удачных случаев, а n - это общее количество вариантов. Найдем вероятность того, что число будет четным. Не составит труда посчитать, что четных чисел четыре, это и будет наша m, всего возможно девять вариантов, то есть m=9. Тогда вероятность равняется 0,44 или 4/9.

Рассматриваем второй случай: количество вариантов девять, а удачных исходов быть вообще не может, то есть m равняется нулю. Вероятность того, что вытянутая карточка будет содержать двухзначное число, так же равняется нулю.

Нижегородский Государственный Технический Университет

им. А.Е.Алексеева

Реферат по дисциплине теория вероятности

Выполнила: Ручина Н.А гр 10МЕНз

Проверил: Гладков В.В

Нижний Новгород, 2011

Теория вероятностей……………………………………

Предмет теории вероятностей…………………………

Основные понятия теории вероятностей……………

Случайные события, вероятности событий…………………………………………………

Предельные теоремы……………………………………

Случайные процессы……………………………………

Историческая справка…………………………………

Используемая литература…………………………………………

Теория вероятностей

Теория вероятностей - математическая наука, позволяющая по вероятностям одних случайных событий находить вероятности других случайных событий, связанных каким-либо образом с первыми.

Утверждение о том, что какое-либо событие наступает с вероятностью, равной, например 0,75, ещё не представляет само по себе окончательной ценности, так как мы стремимся к достоверному знанию. Окончательную познавательную ценность имеют те результаты теории вероятностей, которые позволяют утверждать, что вероятность наступления какого-либо событияА весьма близка к единице или (что то же самое) вероятность не наступления событияА весьма мала. В соответствии с принципом «пренебрежения достаточно малыми вероятностями» такое событие справедливо считают практически достоверным. Имеющие научный и практический интерес выводы такого рода обычно основаны на допущении, что наступление или не наступление событияА зависит от большого числа случайных, мало связанных друг с другом факторов. Поэтому можно также сказать, что теория вероятностей есть математическая наука, выясняющая закономерности, которые возникают при взаимодействии большого числа случайных факторов

Предмет теории вероятностей

Предмет теории вероятностей. Для описания закономерной связи между некоторыми условиямиS и событиемА, наступление или не наступление которого при данных условиях может быть точно установлено, естествознание использует обычно одну из следующих двух схем:

а) при каждом осуществлении условий S наступает событиеА. Такой вид, например, имеют все законы классической механики, которые утверждают, что при заданных начальных условиях и силах, действующих на тело или систему тел, движение будет происходить однозначно определённым образом.

б) При условиях S событиеА имеет определённую вероятностьP (A / S ), равнуюр. Так, например, законы радиоактивного излучения утверждают, что для каждого радиоактивного вещества существует определённая вероятность того, что из данного количества вещества за данный промежуток времени распадётся какое-либо числоN атомов.

Назовем частотой события А в данной серии изn испытаний (то есть изn повторных осуществлений условийS ) отношениеh = m/n числаm тех испытаний, в которыхА наступило, к общему их числуn. Наличие у событияА при условияхS определённой вероятности, равнойр, проявляется в том, что почти в каждой достаточно длинной серии испытаний частота событияА приблизительно равнар.

Статистические закономерности, то есть закономерности, описываемые схемой типа (б), были впервые обнаружены на примере азартных игр, подобных игре в кости. Очень давно известны также статистические закономерности рождения, смерти (например, вероятность новорождённому быть мальчиком равна 0,515). Конец 19 в. и 1-я половина 20 в. отмечены открытием большого числа статистических закономерностей в физике, химии, биологии и т.п.

Возможность применения методов теории вероятностей к изучению статистических закономерностей, относящихся к весьма далёким друг от друга областям науки, основана на том, что вероятности событий всегда удовлетворяют некоторым простым соотношениям. Изучение свойств вероятностей событий на основе этих простых соотношений и составляет предмет теории вероятностей.

Основные понятия теории вероятностей

Основные понятия теории вероятностей. Наиболее просто определяются основные понятия теории вероятностей, как математической дисциплины, в рамках так называемой элементарной теории вероятностей. Каждое испытаниеТ, рассматриваемое в элементарной теории вероятностей, таково, что оно заканчивается одним и только одним из событийE 1 , E 2 ,..., E S (тем или иным, в зависимости от случая). Эти события называются исходами испытания. С каждым исходомE k связывается положительное числор к - вероятность этого исхода. Числаp k должны при этом в сумме давать единицу. Затем рассматриваются событияА, заключающиеся в том, что «наступает илиE i , илиE j ,..., илиE k ». ИсходыE i , E j ,..., E k называются благоприятствующимиА, и по определению полагают вероятностьР (А ) событияА , равной сумме вероятностей благоприятствующих ему исходов:

P (A ) =p i +p s +… +p k . (1)

Частный случай p 1 =p 2 =...p s =1/S приводит к формуле

Р (А ) =r/s. (2)

Формула (2) выражает так называемое классическое определение вероятности, в соответствии с которым вероятность какого-либо события А равна отношению числаr исходов, благоприятствующихА, к числуs всех «равновозможных» исходов. Классическое определение вероятности лишь сводит понятие «вероятности» к понятию «равновозможности», которое остаётся без ясного определения.

Пример. При бросании двух игральных костей каждый из 36 возможных исходов может быть обозначен (i ,j ), гдеi - число очков, выпадающее на первой кости,j - на второй. Исходы предполагаются равновероятными. СобытиюА - «сумма очков равна 4», благоприятствуют три исхода (1; 3), (2; 2), (3; 1). Следовательно,Р (A ) = 3/36= 1/12.

Исходя из каких-либо данных событий, можно определить два новых события: их объединение (сумму) и совмещение (произведение).

Событие В называется объединением событийA 1 , A 2 ,..., A r ,-, если оно имеет вид: «наступает илиA 1 , илиА 2 ,..., илиA r ».

Событие С называется совмещением событий A 1 , А. 2 ,..., A r , если оно имеет вид: «наступает иA 1 , и A 2 ,..., и A r ». Объединение событий обозначают знаком, а совмещение - знаком. Таким образом, пишут:

B = A 1  A 2  …  A r , C = A 1  A 2  …  A r .

События А иВ называют несовместными, если их одновременное осуществление невозможно, то есть если не существует среди исходов испытания ни одного благоприятствующего иА иВ.

С введёнными операциями объединения и совмещения событий связаны две основные теоремы теории вероятностей - теоремы сложения и умножения вероятностей.

Теорема сложения вероятностей: Если событияA 1 , A 2 ,...,A r таковы, что каждые два из них несовместны, то вероятность их объединения равна сумме их вероятностей.

Так, в приведённом выше примере с бросанием двух костей событие В - «сумма очков не превосходит 4», есть объединение трёх несовместных событийA 2 , A 3 , A 4 , заключающихся в том, что сумма очков равна соответственно 2, 3, 4. Вероятности этих событий 1/36; 2/36; 3/36. По теореме сложения вероятностьР (В ) равна

1/36 + 2/36 + 3/36 = 6/36 = 1/6.

События A 1 , A 2 ,...,A r называются независимыми, если условная вероятность каждого из них при условии, что какие-либо из остальных наступили, равна его «безусловной» вероятности.

Теорема умножения вероятностей: Вероятность совмещения событийA 1 , A 2 ,...,A r равна вероятности событияA 1 , умноженной на вероятность событияA 2 , взятую при условии, чтоА 1 наступило,..., умноженной на вероятность событияA r при условии, чтоA 1 , A 2 ,...,A r-1 наступили. Для независимых событий теорема умножения приводит к формуле:

P (A 1 A 2 …A r ) =P (A 1 ) · P (A 2 ) · … · P (A r ), (3)

то есть вероятность совмещения независимых событий равна произведению вероятностей этих событий. Формула (3) остаётся справедливой, если в обеих её частях некоторые из событий заменить на противоположные им.

Пример. Производится 4 выстрела по цели с вероятностью попадания 0,2 при отдельном выстреле. Попадания в цель при различных выстрелах предполагаются независимыми событиями. Какова вероятность попадания в цель ровно три раза?

Каждый исход испытания может быть обозначен последовательностью из четырёх букв [напр., (у, н, н, у) означает, что при первом и четвёртом выстрелах были попадания (успех), а при втором и третьем попаданий не было (неудача)]. Всего будет 2·2·2·2 = 16 исходов. В соответствии с предположением о независимости результатов отдельных выстрелов следует для определения вероятностей этих исходов использовать формулу (3) и примечание к ней. Так, вероятность исхода (у, н. н, н) следует положить равной 0,2·0,8·0,8·0,8 = 0,1024; здесь 0,8 = 1-0,2 - вероятность промаха при отдельном выстреле. Событию «в цель попадают три раза» благоприятствуют исходы (у, у, у, н), (у, у, н, у), (у, н, у, у). (н, у, у, у), вероятность каждого одна и та же:

0,2·0,2·0,2·0,8 =...... =0,8·0,2·0,2·0,2 = 0,0064;

следовательно, искомая вероятность равна

4·0,0064 = 0,0256.

Обобщая рассуждения разобранного примера, можно вывести одну из основных формул теории вероятностей: если события A 1 , A 2 ,..., A n независимы и имеют каждое вероятностьр, то вероятность наступления ровноm из них равна

P n (m ) = C n m p m (1 - p ) n-m ; (4)

здесь C n m обозначает число сочетаний изn элементов поm. При большихn вычисления по формуле (4) становятся затруднительными.

К числу основных формул элементарной теории вероятностей относится также так называемая формула полной вероятности : если событияA 1 , A 2 ,..., A r попарно несовместны и их объединение есть достоверное событие, то для любого событияВ его вероятность равна их сумме.

Теорема умножения вероятностей оказывается особенно полезной при рассмотрении составных испытаний. Говорят, что испытание Т составлено из испытанийT 1 , T 2 ,..., T n-1 , T n , если каждый исход испытанияТ есть совмещение некоторых исходовA i , B j ,..., X k , Y l соответствующих испытанийT 1 , T 2 ,..., T n-1 , T n . Из тех или иных соображений часто бывают известны вероятности

P (A i ), P (B j /A i ), …,P (Y l /A i B j …X k ). (5)

По вероятностям (5) с помощью теоремы умножения могут быть определены вероятности Р (Е ) для всех исходовЕ составного испытания, а вместе с тем и вероятности всех событий, связанных с этим испытанием. Наиболее значительными с практической точки зрения представляются два типа составных испытаний:

а) составляющие испытания не зависимы, то есть вероятности (5) равны безусловным вероятностям P (A i ), P (B j ),..., P (Y l );

б) на вероятности исходов какого-либо испытания влияют результаты лишь непосредственно предшествующего испытания, то есть вероятности (5) равны соответственно: P (A i ), P (B j /A i ),..., P (Y i / X k ). В этом случае говорят об испытаниях, связанных в цепь Маркова. Вероятности всех событий, связанных с составным испытанием, вполне определяются здесь начальными вероятностямиР (А i ) и переходными вероятностямиP (B j / A i ),..., P (Y l / X k ).

Основные формулы по теории вероятности

Формулы теории вероятностей.

1. Основные формулы комбинаторики

а) перестановки.

\б) размещения

в) сочетания .

2. Классическое определение вероятности.

Где- число благоприятствующих событиюисходов,- число всех элементарных равновозможных исходов.

3. Вероятность суммы событий

Теорема сложения вероятностей несовместных событий:

Теорема сложения вероятностей совместных событий:

4. Вероятность произведения событий

Теорема умножения вероятностей независимых событий:

Теорема умножения вероятностей зависимых событий:

,

Условная вероятность события при условии, что произошло событие,

Условная вероятность события при условии, что произошло событие.

Комбинаторика - это раздел математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов. Основы комбинаторики очень важны для оценки вероятностей случайных событий, т.к. именно они позволяют подсчитать принципиально возможное количество различных вариантов развития событий.

Основная формула комбинаторики

Пусть имеется k групп элементов, причем i-я группа состоит из ni элементов. Выберем по одному элементу из каждой группы. Тогда общее число N способов, которыми можно произвести такой выбор, определяется соотношением N=n1*n2*n3*...*nk.

Пример 1. Поясним это правило на простом примере. Пусть имеется две группы элементов, причем первая группа состоит из n1 элементов, а вторая - из n2 элементов. Сколько различных пар элементов можно составить из этих двух групп, таким образом, чтобы в паре было по одному элементу от каждой группы? Допустим, мы взяли первый элемент из первой группы и, не меняя его, перебрали все возможные пары, меняя только элементы из второй группы. Таких пар для этого элемента можно составить n2. Затем мы берем второй элемент из первой группы и также составляем для него все возможные пары. Таких пар тоже будет n2. Так как в первой группе всего n1 элемент, всего возможных вариантов будет n1*n2.

Пример 2. Сколько трехзначных четных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, если цифры могут повторяться?

Решение: n1=6 (т.к. в качестве первой цифры можно взять любую цифру из 1, 2, 3, 4, 5, 6), n2=7 (т.к. в качестве второй цифры можно взять любую цифру из 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6), n3=4 (т.к. в качестве третьей цифры можно взять любую цифру из 0, 2, 4, 6).

Итак, N=n1*n2*n3=6*7*4=168.

В том случае, когда все группы состоят из одинакового числа элементов, т.е. n1=n2=...nk=n можно считать, что каждый выбор производится из одной и той же группы, причем элемент после выбора снова возвращается в группу. Тогда число всех способов выбора равно nk.Такой способ выбора носит название выборки с возвращением.

Пример. Сколько всех четырехзначных чисел можно составить из цифр 1, 5, 6, 7, 8?

Решение. Для каждого разряда четырехзначного числа имеется пять возможностей, значит N=5*5*5*5=54=625.

Рассмотрим множество, состоящие из n элементов. Это множество будем называть генеральной совокупностью.

Определение 1. Размещением из n элементов по m называется любой упорядоченный набор из m различных элементов, выбранных из генеральной совокупности в n элементов.

Пример. Различными размещениями из трех элементов {1, 2, 3} по два будут наборы (1, 2), (2, 1), (1, 3), (3, 1), (2, 3),(3, 2). Размещения могут отличаться друг от друга как элементами, так и их порядком.

Число размещений обозначается А, м от nи вычисляется по формуле:

Замечание: n!=1*2*3*...*n (читается: "эн факториал"), кроме того полагают, что 0!=1.

Пример 5. Сколько существует двузначных чисел, в которых цифра десятков и цифра единиц различные и нечетные?

Решение: т.к. нечетных цифр пять, а именно 1, 3, 5, 7, 9, то эта задача сводится к выбору и размещению на две разные позиции двух из пяти различных цифр, т.е. указанных чисел будет:

Определение 2. Сочетанием из n элементов по m называется любой неупорядоченный набор из m различных элементов, выбранных из генеральной совокупности в n элементов.

Пример 6. Для множества {1, 2, 3}сочетаниями являются {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}.

Число сочетаний обозначается Cnm и вычисляется по формуле:

Определение 3. Перестановкой из n элементов называется любой упорядоченный набор этих элементов.

Пример 7a. Всевозможными перестановками множества, состоящего из трех элементов {1, 2, 3} являются: (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 3, 1), (2, 1, 3), (3, 2, 1), (3, 1, 2).

Число различных перестановок из n элементов обозначается Pn и вычисляется по формуле Pn=n!.

Пример 8. Сколькими способами семь книг разных авторов можно расставить на полке в один ряд?

Решение: эта задача о числе перестановок семи разных книг. Имеется P7=7!=1*2*3*4*5*6*7=5040 способов осуществить расстановку книг.

Обсуждение. Мы видим, что число возможных комбинаций можно посчитать по разным правилам (перестановки, сочетания, размещения) причем результат получится различный, т.к. принцип подсчета и сами формулы отличаются. Внимательно посмотрев на определения, можно заметить, что результат зависит от нескольких факторов одновременно.

Во-первых, от того, из какого количества элементов мы можем комбинировать их наборы (насколько велика генеральная совокупность элементов).

Во-вторых, результат зависит от того, какой величины наборы элементов нам нужны.

И последнее, важно знать, является ли для нас существенным порядок элементов в наборе. Поясним последний фактор на следующем примере.

Пример. На родительском собрании присутствует 20 человек. Сколько существует различных вариантов состава родительского комитета, если в него должны войти 5 человек?

Решение: В этом примере нас не интересует порядок фамилий в списке комитета. Если в результате в его составе окажутся одни и те же люди, то по смыслу для нас это один и тот же вариант. Поэтому мы можем воспользоваться формулой для подсчета числа сочетаний из 20 элементов по 5.

Иначе будут обстоять дела, если каждый член комитета изначально отвечает за определенное направление работы. Тогда при одном и том же списочном составе комитета, внутри него возможно 5! вариантов перестановок, которые имеют значение. Количество разных (и по составу, и по сфере ответственности) вариантов определяется в этом случае числом размещений из 20 элементов по 5.

Геометрическое определение вероятности

Пусть случайное испытание можно представить себе как бросание точки наудачу в некоторую геометрическую область G (на прямой, плоскости или пространстве). Элементарные исходы – это отдельные точки G, любое событие – это подмножество этой области, пространства элементарных исходов G. Можно считать, что все точки G «равноправны» и тогда вероятность попадания точки в некоторое подмножество пропорционально его мере (длине, площади, объему) и не зависит от его расположения и формы.

Геометрическая вероятность события А определяется отношением: , где m(G), m(A) – геометрические меры (длины, площади или объемы) всего пространства элементарных исходов и события А.

Пример. На плоскость, разграфленную параллельными полосами шириной 2d, расстояние между осевыми линиями которых равно 2D, наудачу брошен круг радиуса r (). Найти вероятность того, что круг пересечет некоторую полосу.

Решение. В качестве элементарного исхода этого испытания будем считать расстояние x от центра круга до осевой линии ближайшей к кругу полосы. Тогда все пространство элементарных исходов – это отрезок . Пересечение круга с полосой произойдетв том случае, если его центр попадет в полосу, т.е., или будет находится от края полосы на расстоянии меньшем чем радиус, т.е..

Для искомой вероятности получаем: .

Классификация событий на возможные, вероятные и случайные. Понятия простого и сложного элементарного события. Операции над событиями. Классическое определение вероятности случайного события и её свойства. Элементы комбинаторики в теории вероятностей. Геометрическая вероятность. Аксиомы теории вероятностей.

1. Классификация событий

Одним из основных понятий теории вероятностей является понятие события. Под событием понимают любой факт, который может произойти в результате опыта или испытания. Под опытом, или испытанием, понимается осуществление определённого комплекса условий.

Примеры событий:

– попадание в цель при выстреле из орудия (опыт - произведение выстрела; событие - попадание в цель);

– выпадение двух гербов при трёхкратном бросании монеты (опыт - трёхкратное бросание монеты; событие - выпадение двух гербов);

– появление ошибки измерения в заданных пределах при измерении дальности до цели (опыт - измерение дальности; событие - ошибка измерения).

Можно привести бесчисленное множество подобных примеров. События обозначаются заглавными буквами латинского алфавита и т д.

Различают события совместные и несовместные. События называются совместными, если наступление одного из них не исключает наступления другого. В противном случае события называются несовместными. Например, подбрасываются две игральные кости. Событие -выпадание трех очков на первой игральной кости, событие- выпадание трех очков на второй кости.и- совместные события. Пусть в магазин поступила партия обуви одного фасона и размера, но разного цвета. Событие- наудачу взятая коробка окажется с обувью черного цвета, событие- коробка окажется с обувью коричневого цвета,и- несовместные события.

Событие называется достоверным, если оно обязательно произойдет в условиях данного опыта.

Событие называется невозможным, если оно не может произойти в условиях данного опыта. Например, событие, заключающееся в том, что из партии стандартных деталей будет взята стандартная деталь, является достоверным, а нестандартная - невозможным.

Событие называется возможным, или случайным, если в результате опыта оно может появиться, но может и не появиться. Примером случайного события может служить выявление дефектов изделия при контроле партии готовой продукции, несоответствие размера обрабатываемого изделия заданному, отказ одного из звеньев автоматизированной системы управления.

События называются равновозможными, если по условиям испытания ни одно из этих событий не является объективно более возможным, чем другие. Например, пусть магазину поставляют электролампочки (причем в равных количествах) несколько заводов-изготовителей. События, состоящие в покупке лампочки любого из этих заводов, равновозможны.

Важным понятием является полная группа событий. Несколько событий в данном опыте образуют полную группу, если в результате опыта обязательно появится хотя бы одно из них. Например, в урне находится десять шаров, из них шесть шаров красных, четыре белых, причем пять шаров имеют номера. - появление красного шара при одном извлечении,- появление белого шара,- появление шара с номером. Событияобразуют полную группу совместных событий.

Введем понятие противоположного, или дополнительного, события. Под противоположным событием понимается событие, которое обязательно должно произойти, если не наступило некоторое событие. Противоположные события несовместны и единственно возможны. Они образуют полную группу событий. Например, если партия изготовленных изделий состоит из годных и бракованных, то при извлечении одного изделия оно может оказаться либо годным - событие, либо бракованным- событие.

2. Операции над событиями

При разработке аппарата и методики исследования случайных событий в теории вероятностей очень важным является понятие суммы и произведения событий.