Prinsip tindakan paling sedikit. Prinsip variasi Hamilton-Ostrogradsky dalam konfigurasi dan ruang fase Rumus gelombang bidang
HAMILTON - PRINSIP OSTROGRADSKY
Prinsip aksi stasioner merupakan integral umum prinsip variasi mekanika klasik, dipasang oleh U.
Hamilton untuk sistem holonomi dibatasi oleh sambungan stasioner ideal, dan digeneralisasikan oleh M. V. Ostrogradsky menjadi sambungan non-stasioner. Menurut G.-O.
mempunyai nilai stasioner dibandingkan dengan gerak yang mungkin terjadi secara kinematis, yang posisi awal dan akhir sistem serta waktu geraknya sama dengan gerak sebenarnya. Di Sini T - kinetis, kamu- energi potensial, LTU Fungsi lagrange sistem. Dalam beberapa kasus, kebenaran tidak hanya berhubungan dengan titik stasioner dari suatu fungsi S, tetapi juga menganggapnya paling tidak penting. Oleh karena itu G.-O. n.sering dipanggil prinsip tindakan paling sedikit. Dalam hal gaya aktif non-potensial Fv kondisi stasioneritas aksi d S= 0 digantikan oleh kondisi
menyala.: Hamilton W., Laporan Pertemuan Keempat Asosiasi Inggris untuk Kemajuan Ilmu Pengetahuan, L., 1835, hal. 513-18; Strogradskу M., "Mem. de 1" Acad. des Sains. de St-Petershourg", 1850, t. 8, no. 3, hal. 33-48.
V.V.Rumyantsev.
Ensiklopedia matematika. - M.: Ensiklopedia Soviet. I.M.Vinogradov. 1977-1985.
Lihat apa itu "PRINSIP HAMILTON - OSTROGRAD" di kamus lain:
Prinsip Fisher adalah model evolusi yang menjelaskan mengapa rasio jenis kelamin dominan spesies organisme hidup di alam kira-kira 1:1; di mana gen untuk produksi lebih banyak individu dari kedua jenis kelamin ... ... Wikipedia
Hamilton (juga sederhananya prinsip Hamilton), lebih tepatnya prinsip stasioneritas aksi, suatu metode untuk memperoleh persamaan gerak suatu sistem fisik dengan mencari stasioner (seringkali ekstrem, biasanya sehubungan dengan tradisi yang sudah mapan... .. .Wikipedia
Pembiasan gelombang menurut Huygens ... Wikipedia
Dalam metodologi sains, pernyataannya adalah bahwa setiap teori ilmiah baru, dengan adanya teori lama yang telah teruji dengan baik, tidak sepenuhnya bertentangan dengannya, tetapi memberikan konsekuensi yang sama dalam beberapa pendekatan ekstrem (kasus khusus). Misalnya hukum... ... Wikipedia
Prinsip maksimum diskrit Pontryagin untuk proses kontrol diskrit waktu. Untuk proses seperti itu, operator beda hingga mungkin tidak berlaku, meskipun untuk analog kontinunya, diperoleh dengan mengganti operator beda hingga dengan operator diferensial... ... Ensiklopedia Matematika
Atau prinsip Hamilton, dalam mekanika dan fisika matematika, berfungsi untuk memperoleh persamaan diferensial gerak. Prinsip ini berlaku pada semua sistem material, tidak peduli gaya apa yang dikenakan pada sistem tersebut; Pertama kami akan mengungkapkannya dalam hal itu... Kamus Ensiklopedis F.A. Brockhaus dan I.A. Efron
Postulat kuantum. mekanika, membutuhkan kebetulan fisiknya. konsekuensi dalam kasus pembatas bilangan kuantum besar dengan hasil klasik. teori. Dalam S. p. terungkap fakta kuantum itu. efeknya signifikan hanya ketika mempertimbangkan objek mikro, ketika... ... Ensiklopedia fisik
Prinsip variasi Hamilton- Hamiltono variacinis principas statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. Prinsip variasi Hamilton vok. Variasi Hamiltonschesprinzip, n rus. Prinsip variasi Hamilton, m pranc. variasi utama dari Hamilton, m … Istilah akhir yang jelas
Sebuah postulat mekanika kuantum (Lihat Mekanika kuantum), yang mensyaratkan bahwa konsekuensi fisiknya dalam kasus bilangan kuantum besar yang terbatas (Lihat bilangan kuantum) bertepatan dengan hasil teori klasik. Dalam S. p. faktanya terungkap bahwa... ... Ensiklopedia Besar Soviet
- (mekanika gelombang), teori yang menetapkan metode deskripsi dan hukum gerak mikropartikel (elemen, atom, molekul, inti atom) dan sistemnya (misalnya kristal), serta hubungan antara besaran yang menjadi ciri partikel dan sistem, dengan fisik ukuran... ... Ensiklopedia fisik
Istilah ini mempunyai arti lain, lihat Aksi (fisika). Dimensi Aksi L2MT−1 Aksi dalam fisika adalah besaran fisis skalar yaitu ... Wikipedia
Buku
- Prinsip-prinsip pergerakan sistem ekonomi. Monograf, Kusner Yuri Semenovich, Tsarev Igor Gennadievich. Persamaan dasar gerak sistem ekonomi disajikan dalam bentuk analitis dan masalah menemukan metode yang memadai untuk mengendalikan geraknya terpecahkan. Peralatan matematika yang digunakan...
Gagasan yang mendasari semua prinsip integral dan beberapa prinsip diferensial adalah posisi bahwa gerak nyata suatu sistem mekanis memberikan ekstremitas pada besaran fisika tertentu. Untuk perumusan matematis dari posisi ini, perlu, seperti sebelumnya, untuk mempertimbangkan, bersama dengan gerakan nyata, serangkaian gerakan yang mungkin terjadi, dengan mensubordinasikannya pada persyaratan yang ditentukan dengan baik.
Perumusan prinsip integral dilakukan dalam ruang konfigurasi. Ingatlah bahwa untuk sistem dengan derajat kebebasan, koordinat umum 
, mendefinisikan konfigurasi sistem pada suatu waktu 
, diperlakukan sebagai koordinat Cartesian pada persamaannya 
-ruang dimensi, yaitu ruang konfigurasi. Seiring waktu, keadaan sistem mekanis berubah dan titik yang mewakili sistem ini menggambarkan kurva tertentu. Pergerakan sistem dapat dianggap sebagai pergerakan titik yang mewakili sepanjang kurva ini. Waktu 
dengan pertimbangan ini adalah sebuah parameter, dan setiap titik lintasan akan berhubungan dengan satu atau lebih nilai 
.
Jika kita tertarik pada posisi sistem pada lintasan konfigurasi pada setiap momen 
, maka Anda perlu menambahkan sumbu lain 
.
Kemudian kita akan mendapatkan “grafik multidimensi” dari pergerakan sistem yang kita pertimbangkan. Misalnya, seseorang juga dapat mempelajari proyeksi grafik multidimensi ke bidang tertentu 
(Gbr. 2.7). Pada gambar A, B adalah proyeksi titik yang mewakili momen 
Dan 
Oleh karena itu, garis padat menggambarkan keadaan sebenarnya, garis putus-putus melambangkan salah satu gerakan yang mungkin terjadi.
Prinsip integral adalah pernyataan tentang bagaimana pergerakan nyata suatu sistem terjadi dalam periode waktu yang terbatas (bukan sangat kecil!) 
.
Ada apa dengan sistem hingga saat ini 
,
kami tidak tertarik. Tetapi selama momen awal dan akhir waktu tetap, diyakini bahwa sistem mekanis dengan semua pergerakan yang mungkin terjadi pada momen waktu 
melewati suatu titik A, pada saat ini 
- DI DALAM;
titik-titik ini sesuai dengan posisi awal dan akhir sistem dalam gerak sebenarnya.
Rumusan paling umum tentang posisi gerak sistem mekanik terkandung dalam apa yang disebut prinsip aksi terkecil (disebut juga prinsip Hamilton-Ostrogradsky):
Pergerakan nyata suatu sistem mekanik dalam selang waktu dari
sebelum
sedemikian rupa sehingga integralnya disebut fungsi aksi
dan setara
, (60.7)
Di mana
-- Lagrangian dari sistem mekanis tertentu memiliki titik ekstrem (minimum). Variabel
itu tidak bervariasi.
Dengan kata lain, selama gerakan nyata, variasi aksi harus nol
(61.7)
asalkan semua lintasan konfigurasi pada waktu tertentu 
Dan 
melewati titik awal dan akhir gerakan nyata, yaitu.
Prinsip ini, berbeda dengan prinsip diferensial D’Alembert, bersifat integral dalam arti memuat pernyataan tentang pergerakan sistem secara keseluruhan dalam periode waktu yang terbatas. 
.
Faktanya, persamaan Lagrange mengikutinya, sehingga dari prinsip aksi terkecil, dapat dikatakan, seluruh dinamika sistem mekanis diperoleh.
Biarkan fungsinya 
, menggambarkan gerakan nyata, mis. 
-fungsi-fungsi yang mana 
memiliki minimum. Mari kita pertimbangkan serangkaian fungsi 
Di mana 
- Variasi fungsi 
, yang diasumsikan kecil dibandingkan dengan 
sepanjang seluruh interval waktu dari 
sebelum 
. Selain itu, semuanya 
hubungan yang memuaskan (62.7). Mari kita hitung apa yang disebut variasi pertama 
, perlu diingat bahwa fungsi Lagrange dapat bergantung pada koordinat umum 
,
kecepatan umum 
, dan waktu 
:
Karena 
, semester kedua masuk 
dapat diintegrasikan dengan bagian-bagian dan dapatkan
.
Karena kondisi (62.7), jumlahnya
menghilang, dan integral sisanya akan sama dengan nol untuk nilai sembarang 
hanya jika setiap suku dari jumlah integran hilang. Jadi, kita memperoleh persamaan Lagrange jenis ke-2
.
(63.7)
Penting untuk diingat bahwa dari menyelesaikan masalah ekstrem suatu fungsi, diperoleh sistem persamaan berhingga, yang darinya ditemukan titik di mana fungsi tersebut mencapai nilai ekstrem. Dalam hal ini, kita berurusan dengan solusi fungsional untuk masalah ekstrem, yang diberikan oleh sistem persamaan diferensial orde 2. Dari persamaan ini ditemukan sebuah garis pada ruang konfigurasi yang ditentukan oleh fungsi-fungsinya 
, yang fungsionalitasnya mencapai minimum. Garis ini disebut ekstrim.
Karena tugas membangun model mekanik tertentu adalah menyusun persamaan gerak, kita melihat bahwa sebenarnya dinamika sistem ditentukan oleh satu fungsi - Lagrangian, karena fungsi inilah yang menyelesaikan masalah. Dengan demikian, Lagrangian suatu sistem merupakan objek fisik yang menarik, yang kajiannya diperlukan sehubungan dengan masalah dinamika. Secara khusus, dari prinsip tindakan terkecil jelas fungsinya 
didefinisikan hanya sampai penjumlahan turunan total dari fungsi koordinat dan waktu yang berubah-ubah. Hal ini harus dipahami sebagai berikut: suatu sistem yang ditentukan oleh persamaan geraknya berhubungan dengan lebih dari satu fungsi Lagrange 
.
Memang benar, biarlah ada 
berhubungan dengan 
perbandingan
(64.7)
,
.
Tapi sejak itu 
,
dan, oleh karena itu, persamaan Lagrange diperoleh dengan menggunakan fungsi tersebut 
Dan 
, sama. Ketidakjelasan dalam definisi fungsi Lagrange bentuk (64.7) tidak mempengaruhi persamaan gerak, dan masing-masing 
dari kelas (64.7) memecahkan masalah membangun dinamika sistem secara unik.
Properti penting dari sistem persamaan Lagrange adalah kovariansnya. Ini berarti persamaan Lagrange mempertahankan bentuknya di bawah transformasi titik koordinat umum 4
yaitu saat menggunakan koordinat umum 
Persamaan Lagrange akan memiliki bentuk yang sama:
,
seperti ketika menggunakan koordinat umum 
:
.
Mari kita buktikan secara langsung bahwa persamaan Lagrange adalah kovarian pada transformasi (65.7). Mari kita membangun 
:
dan derivatif
,
1. Kinematika suatu titik material. Titik material adalah benda fisik yang secara geometris setara dengan titik matematika, namun memiliki massa. Kinematika adalah salah satu cabang ilmu fisika yang mempelajari jenis-jenis gerak suatu benda tanpa mempertimbangkan sebab-sebab gerak tersebut. Posisi suatu titik dalam ruang dicirikan oleh vektor radius. Vektor jari-jari suatu titik adalah vektor yang awalnya berimpit dengan titik asal sistem koordinat, dan berakhir pada titik yang bersangkutan. R = Saya x+ J kamu+ k z. Kecepatan adalah jarak yang ditempuh suatu benda per satuan waktu ay(t) = d R/dt. ay(t) = Saya dx/dt+ J mati/dt + k dz/dt. Akselerasi adalah laju perubahan kecepatan. A=D ay/dt = d 2 R/ hari 2 = Saya d 2 x/dt 2 + J d 2 tahun/dt 2 + k d 2 z/dt 2 . A = A τ + A n= τ dv/dt + N v 2 /R.
D R = ay dt; D ay = A oleh karena itu ay = ay 0 + A T; R = R 2 – R 1 = ay 0t+ A t 2 /2.
2. Dinamika suatu titik material. hukum Newton. Konsep utama dalam dinamika adalah konsep massa dan gaya. Kekuatan adalah penyebab gerakan, mis. di bawah pengaruh gaya, benda memperoleh kecepatan. Gaya merupakan besaran vektor. Massa adalah ukuran kelembaman suatu benda. Hasil kali massa dan kecepatan disebut momentum P= m ay. Momentum sudut suatu titik material adalah vektor L = R * P. Momen gaya yang bekerja pada suatu titik material disebut vektor M = R * F. Jika kita membedakan persamaan momentum sudut, kita memperoleh: d L/ dt = d R/dt* P + R*D P/dt. Memperhatikan hal itu d R/dt= ay Dan ay paralel P, kita mendapatkan d L/dt= M.hukum Newton. Hukum pertama Newton menyatakan bahwa suatu benda tetap dalam keadaan diam atau gerak linier beraturan kecuali ada gaya lain yang bekerja padanya atau aksinya dikompensasi. Hukum kedua Newton menyatakan bahwa perubahan momentum terhadap waktu adalah besaran konstan dan sama dengan gaya efektif d P/ dt = d / dt (m ay) = m d ay/dt= F.Ini adalah hukum kedua Newton, ditulis dalam bentuk diferensial. Hukum ketiga Newton menyatakan bahwa ketika dua benda berinteraksi, masing-masing benda akan bekerja satu sama lain dengan gaya yang besarnya sama, tetapi arahnya berlawanan. F 1 = - F 2 .
3. Dinamika sistem poin material. hukum konservasi. Sistem poin material adalah kumpulan dari jumlah poin yang terbatas. Setiap titik dalam sistem dipengaruhi oleh kekuatan internal (dari titik lain) dan eksternal. Misalkan m adalah massa, r i adalah vektor jari-jari. x saya, y saya, z saya – tali. poin ke-i. Dorongan suatu sistem titik-titik material adalah jumlah dari impuls-impuls titik-titik material yang membentuk sistem: P= Σ (i=1,n) P saya = [ P 1 + P 2 +…+ P N]. Momentum sudut suatu sistem titik material adalah jumlah momentum sudut yang membentuk sistem titik material: L = Σ [ L saya ] = Σ [ R Saya* P Saya]. Gaya yang bekerja pada suatu sistem titik-titik material didefinisikan sebagai jumlah semua gaya yang bekerja pada titik-titik sistem, termasuk gaya-gaya interaksi antar titik-titik sistem: F = Σ [ F aku dimana F saya = F saya ’ + Σ(j ≠ saya) F ji adalah gaya yang bekerja pada titik material sistem, yang dilambangkan dengan indeks i. Itu terdiri dari kekuatan eksternal F i ' dan gaya dalam Σ(i ≠ j) [ F ji ], bekerja pada suatu titik sebagai hasil interaksi dengan titik-titik lain dalam sistem. Maka: F = Σ (i=1,n) [ F i ’] + Σ (i=1,n) Σ(j ≠ i) [ F Ji]. Menurut hukum ketiga Newton Σ (i=1,n) Σ(j ≠ i) [ F ji ] = 0, jadi F = Σ [ F Saya']. Momen gaya yang bekerja pada suatu sistem titik-titik material adalah jumlah momen gaya-gaya yang diterapkan pada titik-titik sistem tersebut M= Σ (saya) [ M saya ] = Σ (saya) [ R Saya* F saya ] = Σ (saya) [ R Saya* F Saya']. Untuk sistem titik material, persamaan geraknya berbentuk d P/ dt = Σ = Σ [ F Saya].
Pusat massa suatu sistem titik material adalah titik imajiner dengan vektor jari-jari R= 1/m Σ . Kecepatan gerakannya V=D R/dt. Maka persamaan gerak m d V/dt= F. Persamaan momen untuk sistem titik material d L/dt= M. hukum konservasi. Sistem yang terisolasi adalah sistem yang tidak terpengaruh oleh kekuatan eksternal. Di dalamnya F= 0, jadi d P/dt = 0. Lalu P= konstanta. Dalam sistem yang terisolasi, momen gaya luar M= 0. Oleh karena itu d L/dt = 0 yang artinya L= konstanta. Perubahan energi kinetik suatu titik material ketika bergerak antara dua posisi sama dengan usaha yang dilakukan oleh gaya. m 0 v 2 2 /2 – m 0 v 1 2 /2 = ∫(1,2) F D aku atau m 0 v 2 /2 + E p = konstanta.
4. Gerakan dalam bidang simetris terpusat. hukum Kepler. Suatu medan disebut pusat jika energi potensial suatu benda di dalamnya hanya bergantung pada jarak r ke suatu titik tetap tertentu. Memaksa F= - ∂U(r)/ ∂ R= - dU/dr R/r yang bekerja pada suatu partikel, nilai absolutnya juga hanya bergantung pada r dan diarahkan pada setiap titik sepanjang vektor jari-jari. Ketika bergerak dalam medan pusat, momen sistem relatif terhadap pusat medan adalah kekal. Untuk satu partikel saat ini M = [R*R]. Karena vektor M dan r saling tegak lurus, maka keteguhan M berarti ketika suatu partikel bergerak, vektor jari-jarinya selalu berada pada satu bidang – bidang yang tegak lurus M. Jadi, lintasan partikel di medan pusat seluruhnya terletak pada satu pesawat. Setelah memasukkan koordinat polar r, φ ke dalamnya, kita tuliskan fungsi Lagrange dalam bentuk L = m/2 (r 2 (∙) + r 2 φ 2 (∙)) - U(r). Fungsi ini tidak secara eksplisit memuat koordinat φ. Untuk koordinat seperti itu, impuls umum pi yang sesuai adalah integral gerak. Dalam hal ini, impuls umum p φ = mr 2 φ(∙) bertepatan dengan momen M z = M, jadi M = mr 2 φ(∙) (1). Perhatikan bahwa untuk gerak bidang suatu partikel dalam suatu medan pusat, hukum ini menerima interpretasi geometri sederhana. Ekspresi 1/2 r r d φ mewakili luas sektor yang dibentuk oleh dua vektor radius yang sangat dekat dan elemen busur lintasan. Dinyatakan sebagai df, kita tuliskan momen partikel dalam bentuk M = 2mf, dimana turunan dari f disebut kecepatan sektoral. Oleh karena itu, kekekalan momentum berarti keteguhan kecepatan sektoral - dalam periode waktu yang sama, vektor jari-jari suatu titik bergerak menggambarkan luas yang sama ( hukum kedua Kepler). Menyatakan φ(∙) melalui M dari (1) dan mensubstitusikannya ke dalam ekspresi energi, kita memperoleh: E = m/2 (r 2 (∙) + r 2 φ 2 (∙)) + U(r) = mr 2 (∙ )/2 + M 2 /2mr 2 + U(r). Oleh karena itu r(∙) = √(2/m (E – U(r)) - M 2 /m 2 r 2) atau, memisahkan variabel dan mengintegrasikan: t = ∫dr/√(2/m (E – U( r)) - M 2 /m 2 r 2) + konstanta. Selanjutnya, tulis (1) dalam bentuk dφ = M 2 /mr 2 dt, substitusikan dt di sini dan integrasikan, kita peroleh: φ = ∫dr (M/r 2)/√(2/m (E – U(r) ) - M 2 /r 2) + konstanta. hukum pertama Kepler. Setiap planet berputar dalam bentuk elips, dengan Matahari sebagai salah satu fokusnya. hukum ketiga Kepler. Kuadrat periode revolusi bintang planet-planet dihubungkan sebagai pangkat tiga sumbu semimayor orbitnya T 1 2 /T 2 2 = a 1 3 /a 2 3 .
5. Fungsi Lagrange dan persamaan Lagrange dari sistem titik material. Integral gerak. Mari kita pertimbangkan sistem poin material yang tertutup. Fungsi Lagrange berbentuk L = Σ(a) – U(r 1 , r 2 , …), dimana T = Σ (a) adalah energi kinetik, dan U adalah energi potensial interaksi partikel. Maka persamaan gerak d/dt (∂L/∂v a) = ∂L/∂r a berbentuk m a dv a /dt = - ∂U/∂r a . Persamaan gerak ini disebut persamaan Newton. Vektor F a = - ∂U/∂r a disebut gaya. Jika untuk menggambarkan gerak yang digunakan bukan koordinat titik Cartesian, melainkan koordinat umum sembarang q i, maka untuk memperoleh fungsi Lagrangian perlu dilakukan transformasi yang sesuai: x a = f(q 1, q 2, .., q s) , x a (∙) = Σ(k ) [∂f a /∂q k (∙)], dst. Dengan mensubstitusi ekspresi ini ke dalam fungsi L= 1 / 2 Σ(a) – U, kita memperoleh fungsi Lagrange yang diinginkan dalam bentuk L = 1/2 Σ(i,k) – U(q). Integral gerak. Ada fungsi koordinat umum yang mempertahankan nilai konstan selama pergerakan, hanya bergantung pada kondisi awal. Mereka disebut integral gerak. Karena homogenitas waktu, dL/ dt = Σ(i) [∂L/∂q i q i (∙)] + Σ(i) [∂L/∂q i (∙) q i (∙∙)]. Mengganti ∂L/∂q i menurut persamaan Lagrange dengan d/dt (∂L/∂q i (∙)), diperoleh dL/dt = Σ(i) atau d/dt (Σ(i) - L) = 0 Dari sini kita melihat, bahwa besaran E = Σ(i) – L, yang disebut energi, tidak berubah, yaitu integral gerak. Karena homogenitas ruang dengan transfer yang sangat kecil ε, ketika semua titik sistem dipindahkan sebesar ε = δr, perubahan fungsi Lagrange sama dengan δL = ε Σ(a) [∂L/∂r a ] harus sama menjadi nol, yaitu Σ(a) [∂L/∂r a ] = 0. Dengan menggunakan persamaan Lagrange, diperoleh Σ(a) = d/dt (Σ(a)[ ∂L/∂v a ]) = 0. Maka besarannya R= Σ(a)[ ∂L/∂v a ], disebut momentum, tetap tidak berubah, yaitu integral gerak. Karena isotropi ruang, dengan rotasi yang sangat kecil melalui sudut δφ, perubahan fungsi Lagrange sama dengan δL = Σ(a) [∂L/∂r a δ R a + ∂L/∂v a δ ay a ] harus sama dengan nol. Setelah melakukan penggantian ∂L/∂ ay sebuah = P a dan ∂L/∂ R sebuah = P a (∙) karena kesewenang-wenangan δφ kita memperoleh d/dt Σ(a) [ R A P a ] = 0. Nilai M = Σ(a) [ R A P a ], disebut momentum sudut, tetap konstan, yaitu. integral gerak.
6. Dinamika benda yang benar-benar kaku. Tensor inersia. persamaan Euler. Benda tegar adalah suatu sistem titik-titik material yang jarak antara titik-titik tersebut tetap. Untuk mendeskripsikan gerak suatu benda tegar secara lengkap, selain gerak salah satu titiknya, perlu juga diketahui gerak benda di sekitar titik tersebut sebagai titik fiksasi. Misalkan benda diam di titik O. Mari kita nyatakan vektor jari-jari titik m i relatif terhadap O R Saya, w adalah kecepatan sudut sesaat benda, kemudian momentum sudut L= Σ [ R I MI ay saya ] = Σ = wΣ – Σ. Persamaan vektor ini dapat ditulis dalam bentuk tiga proyeksi pada sumbu koordinat L x = w x Σ - Σ ; L y = w y Σ - Σ ; Lz = wz Σ - Σ . Mengingat bahwa ( w R i) = x i w x + y i w y + z i w z kita peroleh L x = J xx w x + J xy w y + J xz w z ; L y = J yx w x + J yy w y + J yz w z ; L x = J zx w x + J zy w y + J zz w z, dimana J xx = Σ, J xy = Σ, yang lainnya serupa. Besaran J xx , J yy , J zz disebut momen inersia aksial, dan J xy = J yx , J xz = J zx , J yz = J zy – momen inersia sentrifugal. Himpunan besaran J ij disebut tensor inersia. Unsur-unsur J ii disebut diagonal. Jika semua elemen nondiagonal sama dengan nol, maka dikatakan bahwa sumbu benda yang berimpit dengan sumbu koordinat adalah sumbu utama inersia, dan besaran J ii disebut momen inersia utama. Tensor seperti itu direduksi menjadi bentuk diagonal.
persamaan Euler. Persamaan gerak pusat massa suatu benda berbentuk m d ay 0 /dt = m d/dt ( w * R 0) = F, Di mana R 0 – vektor jari-jari pusat massa suatu benda, ditarik dari titik perlekatannya. Lebih mudah untuk mengarahkan sumbu sistem koordinat yang terkait dengan benda di sepanjang sumbu inersia utama. Dalam hal ini, momentum sudut berbentuk sederhana L 1 = J 1 w 1, L 2 = J 2 w 2, L 3 = J 3 w 3, dan w i adalah proyeksi kecepatan sudut pada sumbu koordinat yang bergerak dengan tubuh. Menggunakan rumus umum d A/dt = ∂ A/∂t + w* A, kita dapat merepresentasikan persamaan momen sebagai berikut ∂ L/∂t + w * L = M. Mengingat L x = J x w x , L y = J y w y , L z = J z w z , persamaan ini kita tulis ulang dalam proyeksi sumbu sistem koordinat bergerak: J x dw x /dt + (J z - J y )w y w z = M x , J y dw y /dt + (J x – J z)w z w x = M y , J z dw z /dt + (J y – J x)w x w y = M z . Persamaan ini disebut persamaan Euler.
7.
Gerak relatif terhadap kerangka acuan non-inersia.
NISO adalah sebuah sistem, pada kucing. benda bergerak dengan percepatan relatif terhadap keadaan diam. sistem koordinasi Di sini konsep homogenitas dan isotropi ruang dan waktu tidak terpenuhi, sebab durasi dan luasnya di NISO bervariasi. Selain itu, isi prinsip ke-3 Newton dan prinsip kekekalan hilang. Alasan segalanya adalah gaya inersia yang hanya terkait dengan sistem koordinat, cat. mempengaruhi pergerakan tubuh. ITU. percepatan dapat diubah dengan menggunakan gaya luar atau gaya inersia. F=∑Fi=ma (ISO), F=F(ext.)+Fi=ma′(NISO), dimana Fi adalah gaya inersia, a adalah percepatan. badan dalam ISO, a′-akselerasi. tubuh yang sama di NISO. Di NISO, hukum 1 Newton tidak terpenuhi! Fi=-m(a′-a), mis. gaya inersia tidak mematuhi hukum ke-3 Newton, karena mereka berumur pendek. Saat berpindah dari ISO ke NISO, gaya inersia menghilang. Kelembaman kekuatan selalu diarahkan ke kelopak mata. kekuatan luar. Gaya inersia dapat ditambahkan secara vektor. Dalam ISO: v=konstan, v< dx/dt=Ux=dx′/dt+dv(t)/dt′=U′x+v(t) dUx/dt=d/dt′(U′x+v(t))=dU′x/ dt′+dv(t)/dt′=a x ' + a 0 = a x . NISO memperkenalkan konsep kecepatan absolut, relatif, dan portabel: u 0 adalah kecepatan absolut, dan 0 adalah percepatan relatif. beristirahat sistem koordinasi kamu x 0 = v + kamu x 0'; ax 0 = a' + ax ; kamu x ' a x - kecepatan dan percepatan relatif. pergerakan sistem koordinasi (relatif) ; v, kecepatan a′ dan dipercepat. untuk′ merujuk. untuk, yaitu kecepatan dan akselerasi portabel Ada fungsi koordinat umum, kecepatan, waktu. Misalkan suatu ruang berdimensi 2S, maka posisi sistem S = ∫(t 1 , t 2) L(g, g( ), t)dt, L adalah fungsi Lagrange; S-aksi. Fungsi aksi disebut itnegral S=∫ Ldt=0, pada cat. diambil sepanjang lintasan gerak sebenarnya, sistem akan mempunyai nilai minimum, yaitu. S=Smin, δS=0. Itu. sistem dari 1 ke 2 bergerak sepanjang lintasan sedemikian rupa sehingga aksinya minimal - prinsip aksi terkecil Hamilton. L = T – U adalah selisih antara energi kinetik dan energi potensial sistem. Menurut Hamilton, lintasan sebenarnya sesuai dengan aksi minimum. Mari kita temukan lintasannya. Lintasan sebenarnya adalah lintasan minimum. S-fungsional. Mari kita temukan min. δS = 0 variasi pertama. δS = ∫(t 1 ,t 2)(Σ[∂L/∂g i δg i ] + Σ[∂L/∂g i ( ) δg i ( )])dt; ∫(t 1 ,t 2) ∂L/∂g i ( ) δg i ( ) dt = ∫(t 1 ,t 2) ∂L/∂g i ( ) dδg i = ∂L/∂g i ( )δg i (t 1 ,t 2) - ∫(t 1 ,t 2) δg i d/dt (∂L/∂g i ( )) dt; δg saya tidak bergantung satu sama lain 9.
Osilasi sistem dengan satu dan banyak derajat kebebasan. Getaran bebas dan paksa
.
Kasus paling sederhana adalah ketika sistem mempunyai satu derajat kebebasan. Kesetimbangan stabil sesuai dengan posisi sistem ini, pada kucing. potensinya en. U(q) memiliki minimum. Penyimpangan dari posisi ini menyebabkan munculnya gaya - dU/dq, yang cenderung mengembalikan sistem. q 0 - koordinat umum. Mari kita tingkatkan U(q) - U(q0) menjadi pangkat dan dapatkan U(q) - U(q0) ≈ k/2 (q - q 0) 2 dengan k = U’’(q 0) adalah koefisien positif. U(q 0) = 0, dinotasikan x = q - q 0 - penyimpangan koordinat dari nilai kesetimbangan, maka U(x) = kx 2 /2 – energi potensial. 1/2a(q) q' 2 =1/2a(q)x' 2 -energi kinetik pada q = q0 dan a(q0) = m kita memperoleh fungsi Lagrange untuk sistem yang melakukan osilasi satu dimensi: L = mx 2 (∙) /2 – kx 2 /2. Persamaan gerak yang sesuai dengan fungsi ini adalah: mx(∙∙) + kx = 0 atau x(∙∙) + w 2 x = 0, dengan w = √(k/m) adalah frekuensi osilasi siklik. Penyelesaian persamaan ini adalah x = a cos(wt + α) dengan a adalah amplitudo osilasi, wt + α adalah fase osilasi. Itu. energi osilasi sistem adalah E = mx 2 (∙)/2 + kx 2 /2. Getaran paksa. Dalam hal ini, bersama dengan energi potensialnya sendiri ½ kx 2, sistem juga memiliki energi potensial U e (x, m) yang berhubungan dengan aksi medan luar. Oleh karena itu, fungsi Lagrange sistem tersebut adalah: L = mx 2 (∙)/2 + kx 2 /2 + x F(t), dengan F(t) adalah gaya luar. Tingkat gerak yang sesuai adalah mx(∙∙) + kx = F(t), atau x(∙∙) + w 2 x = F(t)/m. Jika F(t) merupakan fungsi periodik waktu sederhana dengan frekuensi tertentu γ: F(t) = f cos(γt + β) maka penyelesaian persamaan geraknya adalah: X = a cos(wt + α) + f cos(γt + β)/(m(w 2 – γ 2)) a dan α ditentukan dari kondisi awal. Itu. di bawah pengaruh gaya penggerak, sistem melakukan gerakan yang mewakili kombinasi dua osilasi - dengan frekuensi alami sistem w dan dengan frekuensi gaya penggerak - γ. Osilasi sistem dengan banyak derajat kebebasan
.
Ampuh. en. sistem U(q i) memiliki minimum pada q i =q i 0 . Dengan memasukkan perpindahan kecil x i = q i - q i 0 dan memperluas U hingga suku orde 2, kita memperoleh potensial. energi: U = 1/2 Σ(i,k) , k ik =k ki . Kinet. en. untuk sistem seperti itu akan ada 1/2 Σ(i,k) , dimana m ik =m ki . Persamaan Lagrange untuk sistem tersebut adalah: L = 1/2 Σ(i,k) . Maka dL = Σ(i,k) . Kita mencari x k (t) dalam bentuk x k = A k exp(-iwt), A k adalah konstanta. Mengganti ini ke dalam persamaan Lagrange, kita memperoleh sistem persamaan linier homogen. Σ(k) [(-w 2 m ik +k ik)A k ] = 0 - persamaan karakteristik, memiliki s akar yang berbeda w 2 α (α=1,2,….,s) w α - frekuensi alami dari sistem. Solusi khusus sistem mempunyai bentuk: x k = ∆ kα C α exp(-iw α t). Solusi umum adalah jumlah seluruh solusi parsial: x k = Σ(α) [∆ kα Q α ], dengan Q = Re (C α exp(-iw α t)). 10.
Persamaan kanonik Hamilton.
Sejumlah keuntungan ketika mempelajari pertanyaan-pertanyaan mekanika diberikan oleh deskripsi menggunakan koordinat dan impuls umum, transisi dari satu set variabel independen ke yang lain dapat dicapai melalui transformasi Legendre. Dalam hal ini, hal ini terjadi sebagai berikut. Diferensial total fungsi Lagrange sebagai fungsi koordinat dan kecepatan adalah sama dengan: dL = Σ(i) [∂L/∂q i ] + Σ(i) [[∂L/∂q i (∙)]. Ekspresi ini dapat ditulis sebagai dL = Σ(i) + Σ(i) . Mari kita tulis ulang dalam bentuk: d(Σ(i) – L) = - Σ(i) + Σ(i) . Besaran di bawah tanda diferensial menyatakan energi sistem yang dinyatakan dalam koordinat dan momentum dan disebut fungsi Hamilton: H(p,q,t) = Σ(i) – L. Dari diferensial. persamaan dH = - Σ(i) + Σ(i) ikuti persamaannya: q i (∙) = ∂H/∂p i, p i (∙) = - ∂H/∂q i – ini adalah persamaan Hamilton. Karena kesederhanaan dan simetrinya, mereka disebut juga. resmi. kurung Poisson. Turunan waktu dari fungsi apa pun F dari koordinat umum, impuls, dan waktu adalah dF/dt = ∂F/∂t + Σ(i) [∂F/∂q i dq i /dt] + Σ(i) [∂F/ ∂p saya dp saya /dt]. Dengan menggunakan persamaan Hamilton, kita dapat menulis ulang persamaan ini dalam bentuk berikut: dF/dt = ∂F/∂t + , dimana = Σ(i) [∂F/∂q i ∂H/∂p i - ∂H/∂q i ∂F /∂ pi ] - dipanggil Braket Poisson. Jelasnya, persamaan Hamilton dapat ditulis dengan menggunakan tanda kurung Poisson. 11.
Persamaan Hamilton – Jacobi
.
Berdasarkan prinsip aksi terkecil kita mempunyai S = ∫(t 1 ,t 2)Ldt. Mari kita anggap aksi (S) sebagai besaran yang mencirikan pergerakan sepanjang lintasan sebenarnya. Berdasarkan persamaan Lagrange untuk mengubah aksi ketika berpindah dari satu lintasan ke lintasan lain yang dekat dengannya (pada satu derajat kebebasan), kita peroleh: δS = pδq atau untuk sejumlah derajat kebebasan: δS = Σ(i) . Oleh karena itu, turunan parsial aksi terhadap koordinat sama dengan impuls yang bersesuaian: ∂S/∂q i = p i (1). Berdasarkan definisinya, dS/dt = L, sebaliknya, dengan mempertimbangkan S sebagai fungsi koordinat dan waktu, dan menggunakan rumus (1) kita mendapatkan: dS/dt = ∂S/∂t + Σ(i) [∂S/ ∂q i q i (∙)] = ∂S/∂t + Σ(i) . Dengan membandingkan kedua ekspresi tersebut, diperoleh ∂S/∂t = L - Σ(i) atau ∂S/∂t = - H(p,q,t) (2). Rumus (1), (2) dapat ditulis bersama sebagai dS = Σ(i) – Hdt. Dan aksi (S) itu sendiri adalah S = ∫ (Σ(i) – Hdt). Ketika H tidak tergantung pada t – S(q,t)=S 0 (q) - Et, dimana S 0 (q) = Σ(i) [∫p i dq i ] adalah aksi yang dipersingkat dan Et digantikan oleh H( hal,q) . Fungsi S(q,t) memenuhi diferensial tertentu. persamaan yang kita peroleh dengan mengganti pulsa P pada relasi (2) dengan turunan ∂S/∂q: ∂S/∂t + H(∂S/∂q 1 ,…, ∂S/∂q s ;q 1 ,… ,q s ,t) = 0 adalah persamaan diferensial parsial orde 1 yang disebut. Persamaan Hamilton-Jacobi. Jadi, untuk satu partikel dalam medan luar U(x,y,z,t) mempunyai bentuk: ∂S/∂t + 1/(2m)((∂S/∂x) 2 + (∂S/∂ y) 2 + (∂S/∂z) 2) + U(x,y,z,t) = 0. 12.
Deformasi dan tegangan pada benda padat. Modulus Young, geser. rasio Poisson
.
Deformasi adalah perubahan bentuk dan volume suatu benda akibat pengaruh gaya luar. Di bawah pengaruh kekuatan eksternal, bentuk tubuh berubah. Semua deformasi di alam dapat dikurangi menjadi 3 M deformasi utama: 1) tegangan, kompresi; 2) pergeseran; 3) torsi. Bedakan antara deformasi homogen dan heterogen. Jika semua bagian mengalami deformasi yang sama, maka ini terdeformasi secara homogen. Jika semua bagian tubuh mengalami deformasi yang tidak merata, maka ini mengalami deformasi heterogen. Hukum Hooke terpenuhi hanya pada daerah deformasi elastis saja. = E’. F/S = E ∆l/l 0 ; Kontrol F = ES∆l/l 0 = kx; k = ES/aku 0 ; Kontrol F = ESx/l 0 . Hukum Hooke mendefinisikan hubungan antara dan . k adalah koefisien elastisitas, tergantung pada dimensi geometri, bahan, dan bahan pembuat benda. modulus E-Young. Modulus Young sama dengan gaya yang harus diterapkan pada suatu benda dengan penampang satuan agar ukurannya menjadi dua kali lipat. Jenis deformasi lainnya adalah deformasi geser, yang terjadi ketika permukaan diaplikasikan secara tangensial; itu sejajar dengan permukaan deformasi geser dan diamati di bawah aksi gaya tangensial, yaitu gaya diterapkan secara tangensial. Ψ~F t /S (sudut pergeseran). Ψ = nF t /S; n adalah koefisien pergeseran. Ft = nS. (E>N, E~ 4N). 13.
Mekanika zat cair dan gas.
Untuk semua cairan dan gas, parameter pemersatunya adalah: massa jenis ρ, tekanan P=F n /S. Dalam zat cair dan gas terjadi modulus Young, tetapi modulus geser |σ|=|P| tidak terjadi, σ adalah tegangan. Jika zat cair (gas) tidak bergerak, maka kita berhadapan dengan hidrostatika (aerostatika). Hukum karakteristik: Hukum Pascal: tekanan berlebih yang dihasilkan dalam gas dan cairan diteruskan secara merata ke segala arah. Prinsip Archimedes berlaku untuk zat cair dan gas. Gaya Archimedes selalu bekerja melawan gravitasi. Penyebab terjadinya gaya Archimedes adalah adanya volume V pada benda Prinsip Archimedes: Suatu benda yang terletak di dalam zat cair atau gas selalu mendapat gaya yang sama dengan berat zat cair atau gas yang dipindahkan oleh benda tersebut. bagian tubuh yang terbenam, dan diarahkan secara vertikal ke atas. Jika F A >F GRAVITY maka benda terapung, jika sebaliknya maka tenggelam. Jika cairan (gas) mengalir, maka persamaan kontinuitas pancaran ditambahkan ke persamaan tersebut. Lintasan suatu partikel dalam zat cair disebut. garis saat ini. Bagian ruang yang dibatasi oleh garis arus disebut. tabung saat ini. Cairan dalam tabung arus dapat mengalir diam atau tidak stabil. Arus disebut statis jika melalui suatu bagian tabung tertentu terdapat arus per satuan. waktu, jumlah cairan (gas) yang sama akan mengalir, jika tidak maka alirannya tidak tunak. Mari kita mempunyai tabung arus dengan bentuk berikut: Jika aliran fluida statis. Maka m 1 =m 2 =…=mn per satuan waktu, jika fluida tidak dapat dimampatkan, maka ρ 1 V 1 =ρ 2 V 2 =…; =ρ n V n , ρ 1 Δx 1 = ρ 2 Δx 2 =…; = ρ n Δx n, ρ 1 υ 1 ΔtS 1 =ρ 2 υ 2 ΔtS 2 =…= ρ n υ n ΔtS n, karena fluida tidak dapat dimampatkan ρ konstan υ 1 S 1 =υ 2 S 2 =…= υ n S n , υS=konstanta; υ=const/S – persamaan kontinuitas pancaran. ρ d ay/dt = ρ G– lulusan P – persamaan. Euler - urutan ke-2. Newton untuk cairan dan gas. Hukum dilestarikan Energi dalam cairan dan gas. Lv. Bernoulli. PENGENAL. Nama Fluida yang tidak dapat dimampatkan dimana gaya gesek viskosnya dapat diabaikan. Energi kinetik tidak terbuang untuk melakukan usaha melawan gaya gesekan. Ρυ 2 /2+ρgh + P = konstanta – persamaan. Bernoulli, ρυ 2 /2 – tekanan dinamis, ρgh – hidrostat. Tekanan, P – tekanan molekul. Mυ 2 /2 = EK ; mυ 2 /2V= E K /V= ρυ 2 /2. Gaya gesek viskos F A = - ηΔυΔS/ΔZ 6 π r η υ – Gaya Stokes. Η - koefisien viskositas, Δυ/ΔZ – grad υ, r – dimensi benda. Ini adalah rumus Newton untuk gaya gesekan viskos. Jika ada gaya gesekan pada zat cair, maka id. Cairan menjadi kental. ρ v 1 2 /2 + ρgh 1 + P 1 = ρ v 2 2 /2 + ρgh 2 + P 2 ; (P 1 – P 2) = ρ(υ 2 2 – υ 1 2)/2. Jika ΔP = 0, maka υ 2 2 – υ 1 2 = 0, dan tidak akan ada aliran fluida. Dimana P lebih besar, maka ada kecepatan. Arusnya lebih sedikit. Jika penampang S bertambah, maka P bertambah dan υ berkurang. Jika tabung arus tidak terletak horizontal, maka υ 2 2 -υ 1 2 =2g (h 1 -h 2); υ = akar persegi(2g (h 1 -h 2)) – rumus Torricelli. Lintasan yang menggambarkan gerak sistem mekanis dalam konfigurasi yang diperluas dan ruang fase memiliki sifat yang luar biasa - lintasan tersebut merupakan masalah ekstrem dari beberapa variasi dan memberikan nilai stasioner pada fungsi aksi. Mari kita perhatikan rumusan masalah variasional dalam ruang konfigurasi yang diperluas R"*", yang titik-titiknya merupakan himpunan (q, ().
Misalkan kurva y„ = ((q, T): q e Rt e, 5q(/ 0)= 8q(/,) = 0). Variasi 8q(/) adalah fungsi sembarang dari kelas C1 yang hilang di ujung segmen = 0. Variasi fungsionalitas pertama sy bila y = y 0 menurut definisi sama dengan dan setelah integrasi bagian-bagian mengambil bentuk Istilah ekstra-intrinsik dalam ekspresi (2.3) hilang, Karena bq k (t 0) = bq k (t y) = 0, Ke - 1.....l, dan ekspresi dalam bentuk persegi dalam tanda kurung di bawah tanda integral sama dengan nol, karena 0 adalah lintasan nyata yang memenuhi persamaan Lagrange (2.1). Jadi, variasi 55(y 0) = 0. ? Pernyataan sebaliknya juga benar: jika variasi 65(y*) = 0, dimana y* termasuk dalam kelas lintasan bundaran, maka y* = y 0 merupakan lintasan nyata. Validitas pernyataan ini mengikuti ekspresi variasi pertama (2.3) dan lemma utama kalkulus variasi. Dalam hal ini, dari persamaan ke nol pada variasi pertama dan independensi variasi 6 sampai - 1, ..., validitas persamaan Lagrange jenis kedua l, maka itu benar Kapan qk = qk *(t), k= 1.....l. Artinya y* adalah lintasan sebenarnya dari sistem mekanik. 3.1. Dalam kasus sistem non-konservatif, tidak mungkin untuk menunjukkan suatu fungsi yang nilai stasionernya dicapai pada lintasan sebenarnya. Namun, dalam kasus ini, pernyataan berikut ini setara: dimana q(/) adalah lintasan sebenarnya. Pernyataan pertama di atas merupakan isi dari prinsip variasi Hamilton-Ostrogradsky untuk sistem non-konservatif. 3.2. Dapat ditunjukkan bahwa nilai stasioner fungsi aksi adalah minimum jika selisih - / 0 cukup kecil. Keadaan ini dikaitkan dengan nama lain untuk prinsip yang sedang dibahas - prinsip tindakan terkecil Hamilton-Ostrograd. Masalah variasional yang dibahas di atas dapat dirumuskan dalam ruang fase yang diperluas, yang ternyata menjadi penting ketika mempertimbangkan masalah keterintegrasian persamaan kanonik Hamilton. Mari kita nyatakan dengan = ((р + 6р.q + 8q, SAYA): hal, q, 6p. 6q e R",te[r 0 , /,]. 5q(/ 0)= 8q(/|) = 0) kurva dalam ruang fase diperpanjang dan misalkan pada 8p = 8q = 0 kurva Г 0 menjadi solusi sistem persamaan Hamilton kanonik Semua fungsi waktu termasuk dalam kelas C 1. Dengan demikian, kelompok lintasan bundaran (G) telah ditentukan, yang termasuk dalam lintasan sebenarnya G 0 (Gbr. 46). Aksi fungsional, dengan mempertimbangkan hubungan antara fungsi Lagrange dan Hamilton, mengambil bentuk Di sini huruf p, q digunakan untuk singkatnya, bukan huruf p + 8p, q + 8q. Menghitung variasi fungsional S[Г] pada lintasan nyata, kita peroleh Mengintegrasikan bagian-bagian dengan mempertimbangkan kondisi batas, kami temukan Oleh karena itu variasi 85|Г 0 1 = 0 jika p(/), q(f) memenuhi persamaan kanonik Hamilton (2.4), dan. sebaliknya, dari kondisi independensi variasi 8p(r), persamaan 6q(/) (2.4) mengikuti lemma utama kalkulus variasi. Dengan demikian, validitas prinsip aksi terkecil dalam ruang fase sistem telah terbukti: aksi fungsional 5[Г], yang diberikan pada ruang lintasan bundaran (Г|. mengambil nilai stasioner pada lintasan sebenarnya, yaitu. 85[Г 0 1 = 0. Beras. 46 Ketika saya pertama kali mempelajari prinsip ini, saya merasakan semacam mistisisme. Tampaknya alam secara misterius menelusuri semua kemungkinan jalur pergerakan sistem dan memilih yang terbaik. Hari ini saya ingin berbicara sedikit tentang salah satu prinsip fisika yang paling luar biasa - prinsip tindakan terkecil. Ketika dipantulkan, cahaya juga bergerak sedemikian rupa sehingga berpindah dari satu titik ke titik lain dalam waktu sesingkat-singkatnya. Pada gambar, jalur terpendek adalah jalur hijau, yang sudut datangnya sama dengan sudut pantul. Jalur lainnya, misalnya merah, akan lebih panjang. Pada tahun 1662, Pierre Fermat mengemukakan bahwa kecepatan cahaya dalam benda padat, seperti kaca, lebih kecil dibandingkan di udara. Sebelumnya, versi Descartes diterima secara umum, yang menyatakan bahwa kecepatan cahaya dalam materi harus lebih besar daripada di udara untuk mendapatkan hukum pembiasan yang benar. Bagi Fermat, asumsi bahwa cahaya dapat bergerak lebih cepat di medium yang lebih padat dibandingkan di medium yang lebih rapat tampaknya tidak wajar. Oleh karena itu, ia berasumsi bahwa segala sesuatu justru sebaliknya dan membuktikan suatu hal yang menakjubkan - dengan asumsi ini, cahaya dibiaskan sedemikian rupa sehingga mencapai tujuannya dalam waktu yang minimal. Semua fakta ini menunjukkan bahwa alam bertindak dengan cara yang rasional, cahaya dan benda bergerak dengan cara yang paling optimal, dengan mengeluarkan tenaga sesedikit mungkin. Namun upaya apa yang dilakukan dan bagaimana cara menghitungnya masih menjadi misteri. Pada tahun 1744, Maupertuis memperkenalkan konsep “aksi” dan merumuskan prinsip yang menyatakan bahwa lintasan sebenarnya suatu partikel berbeda dari yang lain karena aksinya minimal. Namun, Maupertuis sendiri tidak pernah bisa memberikan definisi yang jelas mengenai apa maksud dari tindakan tersebut. Rumusan matematis yang ketat tentang prinsip tindakan terkecil telah dikembangkan oleh matematikawan lain - Euler, Lagrange, dan akhirnya diberikan oleh William Hamilton: Jadi, bagaimana sebaiknya Anda mengemudi agar sampai ke tujuan tepat pada waktu yang ditentukan dan menggunakan bahan bakar sesedikit mungkin? Jelas bahwa Anda harus berjalan dalam garis lurus. Semakin bertambahnya jarak tempuh, semakin sedikit bahan bakar yang dikonsumsi. Dan kemudian Anda dapat memilih taktik yang berbeda. Misalnya, Anda dapat dengan cepat tiba di suatu titik terlebih dahulu dan hanya duduk menunggu hingga waktunya tiba. Kecepatan berkendara dan konsumsi bahan bakar setiap saat akan tinggi, namun waktu berkendara juga akan berkurang. Mungkin konsumsi bahan bakar secara keseluruhan tidak akan terlalu besar. Atau Anda dapat berkendara secara merata, dengan kecepatan yang sama, sehingga tanpa terburu-buru, Anda tiba tepat pada waktunya. Atau berkendara sebagian dengan cepat, dan sebagian lagi lebih lambat. Apa cara terbaik untuk pergi? Ternyata cara berkendara yang paling optimal dan hemat adalah berkendara dengan kecepatan konstan, sehingga Anda sampai di tempat tujuan tepat pada waktu yang ditentukan. Pilihan lain mana pun akan menghabiskan lebih banyak bahan bakar. Anda dapat memeriksanya sendiri menggunakan beberapa contoh. Alasannya adalah konsumsi bahan bakar meningkat seiring dengan kuadrat kecepatan. Oleh karena itu, seiring dengan peningkatan kecepatan, konsumsi bahan bakar meningkat lebih cepat daripada penurunan waktu berkendara, dan konsumsi bahan bakar secara keseluruhan juga meningkat. Jadi, kami menemukan bahwa jika sebuah mobil pada setiap saat mengkonsumsi bahan bakar sebanding dengan energi kinetiknya, maka cara paling ekonomis untuk berpindah dari titik ke titik pada waktu yang ditentukan adalah dengan mengemudi secara merata dan lurus, tepatnya. cara suatu benda bergerak tanpa adanya gaya yang bekerja padanya.kekuatan Metode mengemudi lainnya akan menghasilkan konsumsi bahan bakar keseluruhan yang lebih tinggi. Konsumsi bahan bakar pada setiap waktu sama dengan energi kinetik dikurangi energi potensial mobil (dikurangi energi potensial, karena perangkat yang dipasang menghasilkan bahan bakar dan tidak mengkonsumsinya). Sekarang tugas kita untuk memindahkan mobil antar titik seefisien mungkin menjadi lebih sulit. Gerak beraturan lurus ternyata bukan yang paling efektif dalam kasus ini. Ternyata lebih optimal naik sedikit ketinggian, diam di sana sebentar, menghabiskan lebih banyak bahan bakar, lalu turun ke titik. Dengan lintasan penerbangan yang benar, total produksi bahan bakar akibat pendakian akan menutupi biaya bahan bakar tambahan untuk menambah panjang jalur dan menambah kecepatan. Jika Anda menghitung dengan cermat, cara paling ekonomis bagi sebuah mobil adalah terbang dalam parabola, sepanjang lintasan yang persis sama dan dengan kecepatan yang persis sama dengan kecepatan batu yang terbang di medan gravitasi bumi. Analog dari jumlah total bahan bakar yang dikonsumsi selama seluruh periode pergerakan, mis. nilai Lagrangian yang terakumulasi sepanjang waktu pergerakan disebut “aksi”. Prinsip tindakan terkecil adalah bahwa benda bergerak sedemikian rupa sehingga tindakan (yang bergantung pada lintasan pergerakan) adalah minimal. Pada saat yang sama, kita tidak boleh lupa bahwa kondisi awal dan akhir telah ditentukan, yaitu. di mana tubuh berada pada saat waktu dan pada saat waktu. Dalam hal ini, benda tidak harus bergerak dalam medan gravitasi seragam, seperti yang kita pertimbangkan untuk mobil kita. Situasi yang sangat berbeda dapat dipertimbangkan. Sebuah benda dapat berosilasi pada pita elastis, berayun pada pendulum, atau terbang mengelilingi Matahari, dalam semua kasus ini ia bergerak sedemikian rupa untuk meminimalkan “konsumsi bahan bakar total” yaitu. tindakan. Jika suatu sistem terdiri dari beberapa benda, maka Lagrangian sistem tersebut akan sama dengan energi kinetik total semua benda dikurangi energi potensial total semua benda. Dan sekali lagi, semua benda akan bergerak secara serempak sehingga pengaruh seluruh sistem selama gerakan tersebut menjadi minimal. Misalnya, ambil sebuah bola dan letakkan di ruang kosong. Agak jauh darinya kita akan menempatkan dinding elastis. Katakanlah kita ingin bolanya berakhir di tempat yang sama setelah beberapa waktu. Dalam kondisi tertentu, bola dapat bergerak dalam dua cara berbeda. Pertama, ia bisa tetap di tempatnya. Kedua, Anda bisa mendorongnya ke arah dinding. Bola akan terbang ke dinding, memantul dan kembali. Jelas bahwa Anda dapat mendorongnya dengan kecepatan sedemikian rupa sehingga ia kembali pada waktu yang tepat. Bagaimana kita dapat mempertahankan prinsip tindakan terkecil agar berlaku dalam situasi seperti itu? Kita akan membicarakan hal ini di.8. Prinsip variasi Hamilton. (prinsip tindakan terkecil).
;
=0
pada lintasan sebenarnya persamaan berikut harus dipenuhi: 
- Persamaan Lagrange (untuk sembarang i= 1,…S).
Hubungan kuantitatif antara E dan N ditentukan melalui rasio Poisson. N = E/(2(1+μ)), dengan adalah rasio Poisson. μ = |∆d/d 0 |/|∆l/l 0 |. Rasio Poisson menentukan perubahan dimensi melintang selama tarikan atau kompresi. 0,5.
Latar belakang
Sejak zaman Galileo telah diketahui bahwa benda-benda yang tidak dipengaruhi oleh gaya apapun bergerak sepanjang garis lurus, yaitu sepanjang lintasan terpendek. Sinar cahaya juga merambat dalam garis lurus. 
Hal ini mudah dibuktikan hanya dengan memantulkan jalur sinar pada sisi berlawanan cermin. Mereka ditunjukkan dalam garis putus-putus pada gambar. 
Terlihat jalur hijau ACB berubah menjadi ACB' lurus. Dan jalur merah berubah menjadi garis ADB' putus-putus, yang tentu saja lebih panjang dari jalur hijau. 
Sekali lagi, warna hijau menunjukkan jalur yang dilalui berkas cahaya. Jalur yang ditandai dengan warna merah adalah yang terpendek, tetapi bukan yang tercepat, karena cahaya mempunyai jalur yang lebih panjang untuk melewati kaca dan lebih lambat di sana. Jalur tercepat adalah jalur berkas cahaya sebenarnya. 
Dalam bahasa matematika, prinsip tindakan terkecil dirumuskan dengan cukup singkat, namun tidak semua pembaca dapat memahami maksud dari notasi yang digunakan. Saya ingin mencoba menjelaskan prinsip ini dengan lebih jelas dan sederhana. Tubuh bebas
Jadi, bayangkan Anda sedang duduk di dalam mobil pada suatu titik dan pada saat itu Anda diberi tugas sederhana: pada saat itu Anda perlu mengemudikan mobil ke titik tersebut. 
Bahan bakar untuk sebuah mobil mahal dan tentu saja Anda ingin menghabiskannya sesedikit mungkin. Mobil Anda dibuat menggunakan teknologi super terkini dan dapat berakselerasi atau mengerem secepat yang Anda suka. Namun dirancang sedemikian rupa sehingga semakin cepat melaju, semakin banyak pula bahan bakar yang dikonsumsi. Apalagi konsumsi bahan bakar sebanding dengan kuadrat kecepatan. Jika Anda mengemudi dua kali lebih cepat, Anda akan mengonsumsi bahan bakar 4 kali lebih banyak dalam jangka waktu yang sama. Selain kecepatan, konsumsi bahan bakar tentunya juga dipengaruhi oleh bobot kendaraan. Semakin berat mobil kita, semakin banyak pula konsumsi bahan bakarnya. Konsumsi bahan bakar mobil kita pada setiap waktu adalah sama, yaitu. sama persis dengan energi kinetik mobil. Di bidang gravitasi
Sekarang mari kita tingkatkan sedikit mobil kita. Mari kita pasangkan mesin jet agar bisa terbang bebas ke segala arah. Secara umum, desainnya tetap sama, sehingga konsumsi bahan bakar tetap sebanding dengan energi kinetik mobil. Jika sekarang tugas diberikan untuk terbang dari suatu titik pada suatu titik waktu dan sampai pada suatu titik pada suatu titik waktu, maka cara yang paling ekonomis, seperti sebelumnya, tentu saja adalah dengan terbang secara seragam dan lurus untuk mengakhirinya. sampai pada suatu titik pada waktu yang ditentukan secara tepat. Ini sekali lagi berhubungan dengan pergerakan bebas suatu benda dalam ruang tiga dimensi. 
Namun, perangkat yang tidak biasa dipasang pada model mobil terbaru. Perangkat ini dapat menghasilkan bahan bakar dari ketiadaan. Namun desainnya sedemikian rupa sehingga semakin tinggi posisi mobil, semakin banyak bahan bakar yang dihasilkan perangkat tersebut pada waktu tertentu. Produksi bahan bakar berbanding lurus dengan ketinggian tempat mobil berada saat ini. Selain itu, semakin berat mobil, semakin kuat perangkat yang dipasang di dalamnya dan semakin banyak bahan bakar yang dihasilkan, dan produksinya berbanding lurus dengan bobot mobil. Alat tersebut ternyata sedemikian rupa sehingga produksi bahan bakarnya sama persis dengan (di mana percepatan jatuh bebas), yaitu. energi potensial mobil. 
Ada baiknya membuat klarifikasi di sini. Tentu saja, Anda dapat melempar batu dari suatu titik dengan berbagai cara agar tepat sasaran. Tetapi Anda perlu melemparkannya sedemikian rupa sehingga, setelah lepas landas dari titik pada saat itu, ia mengenai titik tersebut tepat pada saat itu. Gerakan inilah yang paling irit untuk mobil kita. Fungsi Lagrange dan prinsip tindakan terkecil
Sekarang kita dapat mentransfer analogi ini ke tubuh fisik yang nyata. Analog dari tingkat konsumsi bahan bakar untuk suatu benda disebut fungsi Lagrange atau Lagrangian (untuk menghormati Lagrange) dan dilambangkan dengan huruf . Lagrangian menunjukkan berapa banyak “bahan bakar” yang dikonsumsi tubuh pada waktu tertentu. Untuk benda yang bergerak dalam medan potensial, Lagrangian sama dengan energi kinetik dikurangi energi potensial. Tidak sesederhana itu
Sebenarnya saya sedikit curang dengan mengatakan bahwa benda selalu bergerak dengan cara yang meminimalkan tindakan. Meskipun hal ini benar dalam banyak kasus, ada kemungkinan untuk memikirkan situasi di mana tindakan yang dilakukan jelas tidak minimal. 
Kedua pilihan pergerakan bola tersebut dimungkinkan, namun aksi pada kasus kedua akan lebih besar, karena selama ini bola akan bergerak dengan energi kinetik yang bukan nol.
