Soal B15 - Selidiki suatu fungsi menggunakan turunannya. Mempelajari suatu fungsi dengan menggunakan turunannya Mempelajari suatu fungsi dengan menggunakan turunannya

Soal B15 mengusulkan untuk memeriksa fungsi yang ditentukan oleh rumus ekstrem. Ini adalah soal kalkulus standar, dan tingkat kesulitannya sangat bervariasi tergantung pada fungsi yang dimaksud: beberapa dapat diselesaikan secara lisan, sementara yang lain memerlukan pemikiran serius.

Sebelum mempelajari metode penyelesaian, Anda perlu memahami beberapa istilah dari bidang analisis matematis. Jadi, pada Soal B15 Anda perlu mencari besaran berikut menggunakan turunannya:

1. Poin maksimum (minimum) lokal - nilai variabel di mana fungsi mencapai nilai terbesar (terkecil). Titik-titik seperti ini disebut juga titik ekstrem.
2. Maksimum (minimum) global suatu fungsi adalah nilai terbesar (terkecil) dari fungsi tersebut berdasarkan batasan yang ditentukan. Nama lainnya adalah ekstrem global.

Dalam hal ini, ekstrem global biasanya dicari tidak pada seluruh domain definisi fungsi, tetapi hanya pada segmen tertentu. Penting untuk dipahami bahwa ekstrem global dan nilai fungsi pada titik ekstrem tidak selalu bersamaan. Mari kita jelaskan ini dengan contoh spesifik:

Tugas. Tentukan titik minimum dan nilai minimum fungsi y = 2x 3 − 3x 2 − 12x + 1 pada interval [−3; 3].

Pertama, kita cari titik minimumnya, untuk itu kita hitung turunannya:
kamu’ = (2x 3 − 3x 2 − 12x + 1)’ = 6x 2 − 6x − 12.

Mari kita cari titik kritisnya dengan menyelesaikan persamaan y' = 0. Kita mendapatkan persamaan kuadrat standar:
y’ = 0 ⇒ 6x 2 − 6x − 12 = 0 ⇒ ... ⇒ x 1 = −1, x 2 = 2.

Mari tandai titik-titik ini pada garis koordinat, tambahkan tanda turunan dan batasan - ujung segmen:

Skala gambar tidak menjadi masalah. Yang terpenting adalah menandai titik-titik dalam urutan yang benar. Dari pelajaran matematika sekolah kita mengetahui bahwa pada titik minimum turunannya berubah tanda dari minus menjadi plus. Hitungannya selalu bergerak dari kiri ke kanan - ke arah sumbu semi positif. Oleh karena itu, hanya ada satu titik minimum: x = 2.

Sekarang mari kita cari nilai minimum fungsi tersebut pada interval [−3; 3]. Hal ini dicapai baik pada titik minimum (kemudian menjadi titik minimum global) atau pada akhir segmen. Perhatikan bahwa pada interval (2; 3) turunannya bernilai positif dimana-mana, artinya y(3) > y(2), sehingga ujung kanan ruas dapat diabaikan. Titik yang tersisa hanyalah x = −3 (ujung kiri ruas) dan x = 2 (titik minimum). Kita punya:
y(−3) = 2(−3) 3 − 3(−3) 2 − 12(−3) + 1 = −44;
y(2) = 2*2 3 − 3*2 2 − 12*2 + 1 = −19.

Jadi, nilai terkecil dari fungsi tersebut dicapai pada akhir segmen dan sama dengan −44.

Jawaban: x menit = 2; kamu menit = −44

Dari alasan di atas berikut sebuah fakta penting yang banyak dilupakan orang. Fungsi tersebut mengambil nilai maksimum (minimum) tidak harus pada titik ekstrem. Terkadang nilai ini dicapai pada akhir segmen, dan turunannya tidak harus sama dengan nol.

Skema pemecahan masalah B15

Jika dalam soal B15 Anda perlu mencari nilai maksimum atau minimum fungsi f(x) pada interval, lakukan langkah-langkah berikut:

1. Selesaikan persamaan f’(x) = 0. Jika tidak ada akar-akarnya, lewati langkah ketiga dan langsung ke langkah keempat.
2. Dari kumpulan akar yang dihasilkan, coret semua yang berada di luar ruas. Mari kita nyatakan bilangan yang tersisa x 1, x 2, ..., x n - biasanya jumlahnya sedikit.
3. Mari kita substitusikan ujung-ujung ruas dan titik x 1, x 2, ..., x n ke dalam fungsi aslinya. Kami mendapatkan satu set angka f(a), f(b), f(x 1), f(x 2), ..., f(x n), dari mana kita memilih nilai terbesar atau terkecil - ini akan menjadi jawabannya.

Penjelasan singkat tentang mencoret akar-akar yang berhimpitan dengan ujung-ujung ruas. Mereka juga dapat dicoret, karena pada langkah keempat ujung-ujung segmen masih disubstitusikan ke dalam fungsi - meskipun persamaan f’(x) = 0 tidak mempunyai solusi.

Tugas. Tentukan nilai terbesar dari fungsi y = x 3 + 3x 2 − 9x − 7 pada interval [−5; 0].

Pertama, cari turunannya: y’ = (x 3 + 3x 2 − 9x − 7)’ = 3x 2 + 6x − 9.

Lalu kita selesaikan persamaannya: y’ = 0 ⇒ 3x 2 + 6x − 9 = 0 ⇒ ... ⇒ x = −3; x = 1.

Kita coret akar x = 1, karena tidak termasuk ruas [−5; 0].

Tetap menghitung nilai fungsi di ujung segmen dan di titik x = −3:
y(−5) = (−5) 3 + 4·(−5) 2 − 9·(−5) − 7 = −12;
y(−3) = (−3) 3 + 4·(−3) 2 − 9·(−3) − 7 = 20;
y(0) = 0 3 + 4 0 2 − 9 0 − 7 = −7.

Jelasnya, nilai terbesar adalah 20 - dicapai pada titik x = −3.

Sekarang perhatikan kasus ketika Anda perlu mencari titik maksimum atau minimum dari fungsi f(x) pada segmen tersebut. Jika segmen tidak ditentukan, fungsi tersebut dianggap dalam domain definisinya. Solusinya adalah sebagai berikut:

1. Temukan turunan dari fungsi tersebut: f’(x).
2. Selesaikan persamaan f’(x) = 0. Jika turunannya merupakan fungsi rasional pecahan, kita juga mencari tahu kapan penyebutnya nol. Mari kita nyatakan akar-akar yang dihasilkan x 1 , x 2 , ..., x n .
3. Tandai x 1, x 2, ..., x n pada garis koordinat dan susunlah tanda turunan di antara bilangan-bilangan tersebut. Jika suatu segmen diberikan, tandai dan coret semua yang ada di luarnya.
4. Di antara titik-titik yang tersisa, kita mencari titik yang tanda turunannya berubah dari minus menjadi plus (ini adalah titik minimum) atau dari plus ke minus (titik minimum). Seharusnya hanya ada satu poin - inilah jawabannya.

Pembaca yang bijaksana mungkin akan memperhatikan bahwa untuk beberapa fungsi algoritma ini tidak berfungsi. Memang, ada seluruh kelas fungsi yang pencarian titik ekstremnya memerlukan perhitungan yang lebih rumit. Namun fungsi tersebut tidak ditemukan dalam Unified State Examination bidang matematika.

Perhatikan baik-baik penempatan tanda di antara titik x 1, x 2, ..., x n. Ingat: ketika melewati akar multiplisitas genap, tanda turunannya tidak berubah. Saat mencari titik ekstrim, rambu selalu dilihat dari kiri ke kanan, yaitu. searah dengan sumbu bilangan.

Tugas. Temukan titik maksimum dari fungsi tersebut

pada segmen [−8; 8].

Mari kita cari turunannya:

Karena ini adalah fungsi rasional pecahan, kita menyamakan turunan dan penyebutnya dengan nol:
y’ = 0 ⇒ x 2 − 25 = 0 ⇒ ... ⇒ x = 5; x = −5;
x 2 = 0 ⇒ x = 0 (akar multiplisitas kedua).

Mari kita tandai titik x = −5, x = 0 dan x = 5 pada garis koordinat, letakkan tanda dan batasnya:

Jelasnya, hanya ada satu titik tersisa di dalam ruas x = −5, yang tanda turunannya berubah dari plus ke minus. Ini adalah titik maksimal.

Mari kita jelaskan sekali lagi perbedaan titik ekstrem dengan titik ekstrem itu sendiri. Titik ekstrem adalah nilai variabel yang fungsinya mempunyai nilai terbesar atau terkecil. Ekstrem adalah nilai dari fungsi itu sendiri, maksimum atau minimum di beberapa lingkungannya.

Selain polinomial biasa dan fungsi rasional pecahan, jenis ekspresi berikut ditemukan di Soal B15:

1. Fungsi yang tidak rasional
2. Fungsi trigonometri,
3. fungsi eksponensial,
4. Fungsi logaritma.

Biasanya, tidak ada masalah yang muncul dengan fungsi yang tidak rasional. Kasus-kasus lainnya layak untuk dipertimbangkan secara lebih rinci.

Fungsi trigonometri

Kesulitan utama dengan fungsi trigonometri adalah ketika menyelesaikan persamaan, muncul akar yang jumlahnya tak terhingga. Misalnya persamaan sin x = 0 mempunyai akar-akar x = πn, dimana n ∈ Z. Nah, bagaimana cara menandainya pada garis koordinat jika bilangan-bilangan tersebut jumlahnya tak terhingga?

Jawabannya sederhana: Anda perlu mengganti nilai n tertentu. Memang dalam soal B15 dengan fungsi trigonometri selalu ada kendala – segmen. Oleh karena itu, untuk memulainya, kita ambil n = 0, dan kemudian tingkatkan n hingga akar yang bersangkutan “terbang” melampaui batas segmen. Demikian pula, dengan mengurangi n, kita akan segera memperoleh akar yang lebih kecil dari batas bawah.

Sangat mudah untuk menunjukkan bahwa tidak ada akar, selain yang diperoleh dalam proses yang dipertimbangkan, yang ada pada segmen tersebut. Sekarang mari kita pertimbangkan proses ini dengan menggunakan contoh spesifik.

Tugas. Tentukan titik maksimum dari fungsi y = sin x − 5x·sin x − 5cos x + 1, yang termasuk dalam ruas [−π/3; π/3].

Kita menghitung turunannya: y’ = (sin x − 5x sin x − 5cos x + 1)’ = ... = cos x − 5x cos x = (1 − 5x) cos x.

Lalu kita selesaikan persamaannya: y’ = 0 ⇒ (1 − 5x) cos x = 0 ⇒ ... ⇒ x = 0,2 atau x = π/2 + πn, n ∈ Z.

Semuanya jelas dengan akar x = 0,2, tetapi rumus x = π/2 + πn memerlukan pemrosesan tambahan. Kami akan mengganti nilai n yang berbeda, mulai dari n = 0.

n = 0 ⇒ x = π/2. Namun π/2 > π/3, sehingga akar x = π/2 tidak termasuk dalam ruas aslinya. Selain itu, semakin besar n, semakin besar x, jadi tidak ada gunanya mempertimbangkan n > 0.

n = −1 ⇒ x = − π/2. Tapi −π/2< −π/3 - этот корень тоже придется отбросить. А вместе с ним - и все корни для n < −1.

Ternyata pada interval [−π/3; π/3] hanya terletak pada akar x = 0,2. Mari kita tandai beserta tanda dan batasnya pada garis koordinat:

Untuk memastikan turunan di sebelah kanan x = 0,2 benar-benar negatif, cukup dengan mensubstitusikan nilai x = π/4 ke dalam y’. Kita perhatikan secara sederhana bahwa pada titik x = 0,2 turunannya berubah tanda dari plus ke minus, dan oleh karena itu ini adalah titik maksimum.

Tugas. Carilah nilai terbesar dari fungsi y = 4tg x − 4x + π − 5 pada interval [−π/4; π/4].

Kita menghitung turunannya: y’ = (4tg x − 4x + π − 5)’ = 4/cos 2x − 4.

Lalu kita selesaikan persamaannya: y’ = 0 ⇒ 4/cos 2x − 4 = 0 ⇒ ... ⇒ x = πn, n ∈ Z.

Mari kita ekstrak akar-akar rumus ini dengan mensubstitusi n tertentu, dimulai dari n = 0:
n = 0 ⇒ x = 0. Akar ini cocok untuk kita.
n = 1 ⇒ x = π. Tetapi π > π/4, jadi akar x = π dan nilai n > 1 harus dicoret.
n = −1 ⇒ x = −π. Tapi π< −π/4, поэтому x = π и n < −1 тоже вычеркиваем.

Dari seluruh ragam akar, hanya tersisa satu: x = 0. Oleh karena itu, kita menghitung nilai fungsi untuk x = 0, x = π/4 dan x = −π/4.
y(0) = 4tg 0 − 4 0 + π − 5 = π − 5;
y(π/4) = 4tg (π/4) − 4 π/4 + π − 5 = −1;
y(π/4) = 4tg (−π/4) − 4 (−π/4) + π − 5 = ... = 2π − 9.

Sekarang perhatikan bahwa π = 3,14...< 4, поэтому π − 5 < 4 − 5 = −1 и 2π − 9 < 8 − 9 = −1. Получается одно положительное число и два отрицательных. Мы ищем наибольшее - очевидно, это y = −1.

Perhatikan bahwa dalam soal terakhir dimungkinkan untuk tidak membandingkan angka satu sama lain. Lagi pula, dari bilangan π − 5, 1 dan 2π − 9, hanya satu yang dapat ditulis pada formulir jawaban. Memang, bagaimana cara menulis, katakanlah, angka π pada formulir? Tapi tidak mungkin. Ini adalah fitur penting dari bagian pertama Ujian Negara Bersatu dalam matematika, yang sangat menyederhanakan penyelesaian banyak masalah. Dan itu berfungsi tidak hanya di B15.

Terkadang ketika mempelajari suatu fungsi, muncul persamaan yang tidak memiliki akar. Dalam hal ini, tugasnya menjadi lebih sederhana, karena hanya ujung-ujung segmen yang perlu dipertimbangkan.

Tugas. Tentukan nilai terkecil dari fungsi y = 7sin x − 8x + 5 pada interval [−3π/2; 0].

Pertama kita cari turunannya: y’ = (7sin x − 8x + 5)’ = 7cos x − 8.

Mari kita coba selesaikan persamaannya: y’ = 0 ⇒ 7cos x − 8 = 0 ⇒ cos x = 8/7. Namun nilai cos x selalu terletak pada interval [−1; 1], dan 8/7 > 1. Oleh karena itu, tidak ada akar.

Jika tidak ada akar, maka tidak perlu mencoret apapun. Mari kita lanjutkan ke langkah terakhir - menghitung nilai fungsinya:
y(−3π/2) = 7sin (−3π/2) − 8·(−3π/2) + 5 = ... = 12π + 12;
y(0) = 7dosa 0 − 8 0 + 5 = 5.

Karena angka 12π + 12 tidak dapat dituliskan pada lembar jawaban, maka yang tersisa hanyalah y = 5.

Fungsi eksponensial

Secara umum, fungsi eksponensial adalah ekspresi dari bentuk y = a x, dimana a > 0. Namun dalam soal B15 hanya ada fungsi dari bentuk y = e x dan, dalam kasus ekstrim, y = e kx + b. Alasannya adalah turunan dari fungsi-fungsi ini dihitung dengan sangat mudah:

1. (e x)" = e x. Tidak ada yang berubah.
2. (e kx + b)" = k·e kx + b. Cukup tambahkan faktor yang sama dengan koefisien variabel x. Ini adalah kasus khusus turunan fungsi kompleks.

Segala sesuatu yang lain benar-benar standar. Tentu saja fungsi sebenarnya pada soal B15 terlihat lebih parah, tetapi hal ini tidak mengubah skema solusi. Mari kita lihat beberapa contoh, hanya menyoroti poin utama dari solusi - tanpa alasan atau komentar menyeluruh.

Tugas. Tentukan nilai terkecil dari fungsi y = (x 2 − 5x + 5)e x − 3 pada interval [−1; 5].

Turunan: y’ = ((x 2 − 5x + 5)e x − 3)’ = ... = (x 2 − 3x)e x − 3 = x(x − 3)e x − 3 .

Carilah akar-akarnya: y’ = 0 ⇒ x(x − 3)e x − 3 = 0 ⇒ ... ⇒ x = 0; x = 3.

Kedua akar terletak pada ruas [−1; 5]. Tetap mencari nilai fungsi di semua titik:
y(−1) = ((−1) 2 − 5·(−1) + 5)e − 1 − 3 = ... = 11·e −4 ;
y(0) = (0 2 − 5 0 + 5)e 0 − 3 = ... = 5 e −3 ;
y(3) = (3 2 − 5 3 + 5)e 3 − 3 = ... = −1;
kamu(5) = (5 2 − 5 5 + 5)e 5 − 3 = ... = 5 e 2 .

Dari empat bilangan yang didapat, hanya y = −1 yang dapat dituliskan pada formulir. Selain itu, ini adalah satu-satunya angka negatif - ini akan menjadi yang terkecil.

Tugas. Tentukan nilai terbesar fungsi y = (2x − 7) e 8 − 2x pada ruas tersebut.

Turunan: y’ = ((2x − 7) e 8 − 2x)’ = ... = (16 − 4x) e 8 − 2x = 4(4 − x) e 8 − 2x .

Carilah akar-akarnya: y’ = 0 ⇒ 4(4 − x) e 8 − 2x = 0 ⇒ x = 4.

Akar x = 4 termasuk dalam segmen tersebut. Kami mencari nilai fungsi:
y(0) = (2 0 − 7)e 8 − 2 0 = ... = −7 e 8 ;
y(4) = (2 4 − 7)e 8 − 2 4 = ... = 1;
y(6) = (2 6 − 7)e 8 − 2 6 = ... = 5 e −4 .

Jelasnya, hanya y = 1 yang bisa menjadi jawabannya.

Fungsi logaritma

Dengan analogi fungsi eksponensial, pada soal B15 hanya ditemui logaritma natural, karena turunannya mudah dihitung:

1. (ln x)' = 1/x;
2. (ln(kx + b))' = k/(kx + b). Khususnya, jika b = 0, maka (ln(kx))’ = 1/x.

Jadi, turunannya akan selalu berupa fungsi rasional pecahan. Yang tersisa hanyalah menyamakan turunan ini dan penyebutnya dengan nol, lalu menyelesaikan persamaan yang dihasilkan.

Untuk mencari nilai maksimum atau minimum suatu fungsi logaritma, ingat: logaritma natural menjadi bilangan “normal” hanya pada titik-titik berbentuk e n. Misalnya, ln 1 = ln e 0 = 0 adalah nol logaritmik, dan paling sering solusinya adalah nol. Dalam kasus lain, tidak mungkin untuk “menghilangkan” tanda logaritma.

Tugas. Tentukan nilai terkecil dari fungsi y = x 2 − 3x + ln x pada ruas tersebut.

Kami menghitung turunannya:

Kami menemukan angka nol dari turunan dan penyebutnya:
y’ = 0 ⇒ 2x 2 − 3x + 1 = 0 ⇒ ... ⇒ x = 0,5; x = 1;
x = 0 - tidak ada yang perlu diputuskan di sini.

Dari ketiga bilangan x = 0, x = 0,5 dan x = 1, hanya x = 1 yang terletak di dalam ruas tersebut, dan bilangan x = 0,5 adalah ujungnya. Kita punya:
y(0,5) = 0,5 2 − 3 0,5 + ln 0,5 = ln 0,5 − 1,25;
y(1) = 1 2 − 3 1 + ln 1 = −2;
y(5) = 5 2 − 3 5 + ln 5 = 10 + ln 5.

Dari ketiga nilai yang diperoleh, hanya y = −2 yang tidak mengandung tanda logaritma - inilah jawabannya.

Tugas. Tentukan nilai terbesar fungsi y = ln(6x) − 6x + 4 pada ruas tersebut.

Kami menghitung turunannya:

Kita mencari tahu kapan turunan atau penyebutnya sama dengan nol:
y’ = 0 ⇒ 1 − 6x = 0 ⇒ x = 1/6;
x = 0 - sudah diputuskan.

Bilangan x = 0 kita coret karena letaknya di luar ruas. Kita hitung nilai fungsi di ujung ruas dan di titik x = 1/6:
y(0,1) = ln(6 0,1) − 6 0,1 + 4 = ln 0,6 + 3,4;
y(1/6) = ln(6 1/6) − 6 1/6 + 4 = ln 1 + 3 = 3;
y(3) = ln(6 3) − 6 3 + 4 = ln 18 − 14.

Tentunya hanya y = 3 yang dapat dijadikan jawaban - nilai selebihnya mengandung tanda logaritma dan tidak dapat dituliskan pada lembar jawaban.

Intinya disebut titik maksimum (minimum). fungsi, jika terdapat lingkungan suatu titik sedemikian rupa sehingga setiap orang dalam lingkungan tersebut terdapat pertidaksamaan ().

Titik maksimum dan minimum suatu fungsi disebut titik ekstrim (Gbr. 25).

Teorema 3.9 (kondisi yang diperlukan untuk keberadaan titik ekstrem) . Pada titik kritis jenis pertama, turunan fungsinya adalah salah satu

nol atau tidak ada

Titik kritis jenis pertama biasa disebut titik kritis saja.

Titik kritis dimana turunan suatu fungsi sama dengan nol disebut titik stasioneritas . Titik kritis dimana fungsi tersebut kontinu tetapi tidak terdiferensiasi disebut titik sudut . Misalnya, suatu fungsi di suatu titik kontinu, tetapi tidak memiliki turunan, karena pada titik ini garis singgung yang jumlahnya tak terhingga dapat digambarkan pada grafik fungsi tersebut (Gbr. 26). Kasus ini dapat dianggap sebagai konfirmasi bahwa kebalikan dari Teorema 3.3 salah.

Fungsinya disebut meningkat pada interval tertentu, jika pada interval ini nilai argumen yang lebih besar berhubungan dengan nilai variabel yang lebih besar, dan menurun , jika nilai argumen yang lebih besar berhubungan dengan nilai variabel yang lebih kecil.

Untuk penelitian lebih lanjut, titik-titik kritis ditempatkan pada sumbu numerik, yang dibagi oleh titik-titik ini menjadi beberapa interval, setelah itu kondisi memadai berikut diverifikasi.

Teorema 3.10 (kondisi cukup untuk menaikkan dan menurunkan fungsi). Jika pada interval tertentu suatu fungsi terdiferensiasi dan turunannya positif (negatif), maka fungsi pada interval tersebut bertambah (berkurang)

Teorema 3.11 (kondisi cukup bagi keberadaan titik ekstrem suatu fungsi). Jika fungsi tersebut kontinu dan terdiferensiasi di suatu lingkungan titik kritis dan ketika melewatinya turunan berubah tanda dari plus ke minus, maka titik tersebut merupakan titik maksimum; jika dari minus ke plus, maka titik tersebut adalah titik minimum dari fungsi tersebut

Titik-titik kritis suatu fungsi yang kondisi cukupnya tidak terpenuhi tetaplah titik-titik kritis jenis pertama.

Titik kritis jenis pertama yang tidak ada turunannya, dibagi menjadi dua kelas:

– titik-titik di mana fungsinya kontinu (jika Teorema 3.11 terpenuhi, fungsi pada titik-titik ini memiliki ekstrem “tajam”), ini adalah sudut titik-titik;

– titik di mana fungsinya mengalami diskontinuitas (selalu masuk ke kelas titik kritis jenis ke-2).

Namun penelitian yang dilakukan dengan cara ini tidak menjawab pertanyaan yang sangat penting: bagaimana fungsi naik (turun) - cembung atau cekung? Jawaban atas pertanyaan yang diajukan diberikan dengan mempelajari fungsi lebih lanjut dengan menggunakan turunan kedua. Mari kita berikan sejumlah definisi yang diperlukan.

Fungsinya disebut cembung (cekung) pada suatu interval tertentu jika garis singgung yang ditarik grafik fungsi pada setiap titik interval tersebut terletak di atas (di bawah) grafik fungsi tersebut.

Titik-titik yang memisahkan daerah cembung dan daerah cekung suatu fungsi disebut titiknya titik belok (Gbr. 27).

Teorema 3.12 (kondisi yang diperlukan adanya titik belok). Pada titik kritis jenis ke-2, turunan kedua dari fungsi tersebut nol atau tidak ada

Untuk penelitian lebih lanjut, titik-titik kritis jenis ke-2 ditempatkan pada sumbu numerik, yang dibagi oleh titik-titik tersebut menjadi beberapa interval, setelah itu kondisi cukup berikut diverifikasi.

Teorema 3.13 (kondisi yang cukup untuk kecembungan dan kecekungan suatu fungsi). Jika pada interval tertentu suatu fungsi terdiferensiasi dua kali dan turunan keduanya positif (negatif), maka fungsi pada interval tersebut cekung (cembung)

Titik-titik kritis suatu fungsi yang kondisi cukupnya tidak terpenuhi tetaplah titik-titik kritis jenis ke-2.

Titik kritis jenis ke-2, yang tidak terdapat turunan keduanya, dibagi menjadi dua kelas:

– titik-titik di mana fungsinya kontinu, inilah yang disebut titik-titik belok “tajam” - pada titik-titik tersebut sejumlah garis singgung yang tak terhingga dapat ditarik ke grafik fungsi tersebut (Gbr. 28);

– titik-titik dimana fungsi tersebut mengalami diskontinuitas (pada titik-titik diskontinuitas jenis ke-2, grafik fungsi mempunyai asimtot vertikal).

Untuk membuat daftar akhir titik ekstrem dan titik belok suatu fungsi, Anda perlu mencari ordinatnya, lalu menuliskan titik-titik yang ditunjukkan dengan dua koordinat.

Pertanyaan tes mandiri.

1. Titik apa yang disebut titik ekstrem (maksimum dan minimum) suatu fungsi?

2. Fungsi apa yang disebut kenaikan (penurunan)?

3. Apa syarat perlu dan cukup bagi keberadaan titik ekstrem suatu fungsi?

4. Berapakah syarat cukup untuk kenaikan (penurunan) suatu fungsi?

5. Titik apa yang disebut titik belok suatu fungsi?

6. Fungsi manakah yang disebut cembung (cekung)?

7. Apa syarat perlu dan cukup bagi adanya titik belok suatu fungsi?

8. Berapakah syarat cukup untuk kecembungan (cekung) suatu fungsi?

Tujuan pelajaran: Pelajari cara melakukan penelitian tentang fungsi; membangun grafik mereka.

Membentuk: percakapan-pelajaran.

Metode: dialog, alat bantu visual, dan slide.

Peralatan: TIK, tabel.

Selama kelas

I. Memeriksa pekerjaan rumah.

Guru: - Teman-teman! Anda memiliki pekerjaan rumah "Titik kritis suatu fungsi, maksimum dan minimum". Tentukan titik kritis suatu fungsi.

Siswa: - Titik kritis adalah titik dalam domain definisi yang turunannya sama dengan nol atau tidak ada.

Guru: - Bagaimana menemukan titik kritis?

Siswa: - 1

) Temukan turunan dari fungsi tersebut;

2) Selesaikan persamaan: f"(x) = 0. Akar persamaan ini adalah titik kritis.

Guru: - Temukan titik kritis dari fungsi:

a) f(x)= 4 - 2x + 7x 2

b) f(x)= 4x - x 3 /3

a) 1) Temukan turunan dari fungsi ini:

f "(x)= (4 - 2x + 7x 2)" = -2+14x

2) Selesaikan persamaan f "(x)=0<=>-2+14x =0<=>x=1/7

3) Karena persamaan f"(x) = 0 mempunyai satu akar, fungsi ini mempunyai satu titik kritis x = 1/7.

b) 1) Temukan turunan dari fungsi ini: f "(x)= 4 - x 2

2) Selesaikan persamaan: f "(x)=0<=>4 - x 2 = 0<=>x = 2 atau x = -2

3) Karena persamaan f"(x) = 0 mempunyai dua akar, fungsi ini mempunyai dua titik kritis x 1 = 2 dan x 2 = -2.

II.Pekerjaan lisan.

Guru: - Teman-teman! Mari kita ulangi pertanyaan-pertanyaan dasar yang diperlukan untuk mempelajari topik baru. Untuk melakukan ini, pertimbangkan tabel dengan gambar ( Lampiran 1).

Tunjukkan titik-titik di mana fungsi tersebut naik dan turun. Disebut apakah titik-titik tersebut?

Siswa : - Pada gambar a) - titik K adalah titik maksimum, pada gambar b) - titik M adalah titik maksimum.

Guru: - Sebutkan titik-titik minimum dari fungsi tersebut.

Siswa: - Titik K pada Gambar c) dan d) merupakan titik minimum fungsi tersebut.

Guru: - Titik manakah yang dapat menjadi titik ekstrem dari fungsi tersebut?

Siswa: - Titik kritis dapat menjadi titik ekstrem suatu fungsi.

Guru: - Kondisi penting apa yang Anda ketahui?

Siswa: - Ada teorema Fermat. Kondisi yang diperlukan untuk ekstrem: Jika titik x 0 merupakan titik ekstrem fungsi f dan pada titik tersebut terdapat turunan f", maka sama dengan nol: f"(x) = 0.

Guru: - Temukan titik kritis untuk fungsi tersebut:

a) f(x) = | x |

b) f(x) = 2x + | x |

Siswa: - Perhatikan fungsi f(x) = | x | ( lampiran 2). Fungsi ini tidak mempunyai turunan di 0. Artinya 0 merupakan titik kritis. Jelasnya, pada titik 0 fungsinya memiliki minimum.

Siswa: - Perhatikan fungsi f(x) = 2x + | x | ( Lampiran 3). Grafik menunjukkan bahwa pada titik 0 fungsi ini tidak memiliki ekstrem. Pada titik ini fungsi tersebut tidak memiliki turunan.

Faktanya, jika kita asumsikan fungsi f mempunyai turunan di titik 0, maka f(x) - 2x juga mempunyai turunan di 0. Namun f(x) - 2x = | x |, dan fungsi | x | pada titik 0 tidak terdiferensiasi, mis. kita telah sampai pada suatu kontradiksi.

Artinya fungsi f di titik 0 tidak mempunyai turunan.

Guru: - Dari teorema Fermat dapat disimpulkan bahwa ketika mencari titik ekstrem, Anda perlu mencari titik kritis. Namun dari contoh yang diberikan terlihat jelas bahwa agar titik kritis ini menjadi titik ekstrim diperlukan suatu kondisi tambahan.

Kondisi apa yang cukup untuk keberadaan suatu titik ekstrem yang Anda ketahui?

Murid: - Tanda fungsi maksimal: Jika fungsi f kontinu di titik x 0, dan f"(x)>0 pada interval (a; x 0) dan f"(x)<0 на интервале (х 0 ; в), то точка х 0 является точкой максимума функции f.

Artinya, jika di titik x 0 turunannya berubah tanda dari plus ke minus, maka x 0 adalah titik maksimumnya.

Murid: - Tanda minimal: Jika fungsi f kontinu di titik x 0, dan f"(x)<0 на интервале (а;х 0) и f "(x) >0 pada interval (x 0 ; b), maka titik x 0 merupakan titik minimum fungsi f.

Artinya, jika di titik x 0 turunannya berubah tanda dari minus menjadi plus, maka x 0 adalah titik minimumnya.

Guru: - Algoritma apa untuk mencari titik ekstrem suatu fungsi yang Anda ketahui?

Siswa menjelaskan algoritma mempelajari fungsi f hingga ekstremnya menggunakan turunan ( Lampiran 4) dan mencari titik ekstrem dari fungsi tersebut:

f (x)= x 4 -2x 2

D (f) =IR dan f kontinu pada seluruh garis bilangan, seperti fungsi rasional keseluruhan.

2. f"(x) = 4x 3 -4x = 4x (x+1)(x-1).

3.f"(x)=0<=>x= -1 V x=0 V x=1.

Gambar.1 (tanda f")

Karena f kontinu pada titik kritis, maka dari Gambar 1 ( Lampiran 5) jelas bahwa -1 dan 1 adalah titik minimum, dan 0 adalah titik maksimum fungsi f.

f menit = f (-1) = f (1) = -1, f maks = f (0) =0.

Guru: - Teman-teman! Mari kita ingat algoritma untuk mencari interval monotonisitas suatu fungsi f.

Siswa mengingat algoritma untuk mencari interval monotonisitas fungsi f ( Lampiran 6).

Guru: - Temukan interval kenaikan dan penurunan fungsi f yang diberikan oleh rumus

f (x)= x 3 -12x

Larutan:

1. Karena f(x) adalah polinomial, maka D (f) =IR.

2. Fungsi f terdiferensialkan pada seluruh garis bilangan dan f"(x)= 3x 2 -12 = 3 (x+2) (x-2).

3. Titik kritis suatu fungsi f hanya dapat berupa angka nol dari f"(x).

f "(x) =0<=>x = -2 Vx=2.

D (f)\ (-2; 2)= (-; -2) kamu (-2; 2) kamu (2; +).

Gambar.2 (tanda f").

Temukan domain definisi dan nilai fungsi ini f.

Cari tahu apakah fungsi tersebut mempunyai ciri-ciri yang memudahkan penelitian, yaitu apakah fungsi f:

a) genap atau ganjil;

b) berkala.

3. Hitung koordinat titik potong grafik dengan sumbu koordinat.

4. Temukan interval tanda konstan dari fungsi f.

5. Cari tahu pada interval mana fungsi f bertambah dan pada interval mana fungsi f berkurang.

6. Temukan titik ekstrem (maksimum atau minimum) dan hitung nilai f pada titik-titik tersebut.

7. Selidiki perilaku fungsi f di sekitar titik-titik karakteristik yang tidak termasuk dalam domain definisi.

8. Buatlah grafik fungsi tersebut.

Diagram ini merupakan perkiraan.

Dengan mempertimbangkan semua yang telah dikatakan, mari kita periksa fungsinya: f(x) = 3x 5 -5x 3 +2 dan buat grafiknya.

Mari kita lakukan penelitian sesuai dengan skema yang ditunjukkan:

D (f") =IR, karena f(x) adalah polinomial.

Fungsi f tidak genap maupun ganjil, karena

f (-x)= 3(-x) 5 -5(-x) 3 +2 = -3x 5 +5x 3 +2= -(3x 5 -5x 3 -2) f(x)

Mari kita cari koordinat titik potong grafik dengan sumbu koordinat:

a) dengan sumbu 0X, untuk ini kita selesaikan persamaan: 3x 5 -5x 3 +2 = 0.

Dengan menggunakan metode seleksi, Anda dapat menemukan salah satu akarnya (x = 1). Akar lainnya hanya dapat ditemukan kira-kira. Oleh karena itu, untuk fungsi ini, kita tidak akan menemukan sisa titik potong grafik dengan sumbu absis dan interval tanda konstan.

b) dengan sumbu 0У: f(0)=2

Titik A (0; 2) merupakan titik potong grafik fungsi dengan sumbu 0Y.

Kita mencatat bahwa kita tidak akan menemukan interval keteguhan tanda.

Mari kita cari interval kenaikan dan penurunan fungsi

a) f"(x)= 15x 4 -15x 2 = 15x 2 (x 2 -1)

D (f") =IR, oleh karena itu tidak ada titik kritis yang f"(x) tidak ada.

b) f"(x) = 0, jika x 2 (x 2 -1) = 0<=>x = -1 V x = 0 V x = 1.

c) Kita mendapatkan tiga titik kritis yang membagi garis koordinat menjadi empat interval. Mari kita tentukan tanda turunannya pada interval berikut:

Gambar.3 (tanda f")

IV. Menyematkan topik baru. Penyelesaian masalah.

Guru: - Jelajahi fungsi dan buat grafiknya: f(x) = x 4 -2x 2 -3.

Siswa : - 1) D(f) = R.

2) f(-x)= (-x) 4 -2(-x) 2 -3 = x 4 -2x 2 -3; f(-x)= f(x),

Artinya fungsi f genap. Kajiannya dapat dilakukan pada interval kenaikan fungsi dari - menjadi -4, oleh karena itu pada interval tersebut persamaan f(x) = 0 tidak mempunyai akar.

b) Pada interval [-1; 2] persamaan tersebut juga tidak mempunyai akar, karena pada interval ini fungsinya menurun dari -4 menjadi -31.

c) Pada interval dan berkurang [-∞;-1].

Poin ekstrem: x menit = -1

Ekstrem fungsi: y min =y(-1)=1-2= -1

Bab III. Penelitian fungsi.

3.1. Skema umum untuk mempelajari fungsi.

Saat memeriksa suatu fungsi, Anda perlu mengetahui skema penelitian umum:

1) D(y) – domain definisi (rentang perubahan variabel x)

2) E(y) – luas nilai x (luas perubahan variabel y)

3) Jenis fungsi: fungsi genap, ganjil, periodik atau umum.

4) Titik potong grafik fungsi dengan sumbu Ohi O (jika memungkinkan).

5) Interval keteguhan tanda:

a) fungsi tersebut bernilai positif: f(x)>0

b) nilai negatif: f(x)<0.

6) Interval monotonisitas fungsi:

a) meningkat;

b) menurun;

c) keteguhan (f=const).

7) Titik ekstrem (titik minimum dan maksimum)

8) Fungsi ekstrem (nilai fungsi pada titik minimum dan maksimum)

9) Poin tambahan.

Mereka dapat diambil untuk memplot grafik fungsi dengan lebih akurat.

Perlu dicatat bahwa ekstrem dari fungsi f tidak selalu bertepatan dengan nilai terbesar dan terkecil dari fungsi tersebut.

3.2. Tanda fungsi naik dan turun.

Jika Anda membuat grafik suatu fungsi menggunakan beberapa titik yang dipilih secara acak, menghubungkannya dengan garis halus, bahkan dengan jumlah titik yang dipilih secara acak sangat banyak, ternyata grafik yang dibuat dengan cara ini akan sangat berbeda dari grafik fungsi yang diberikan.

Jika Anda menggunakan turunan saat mempelajari suatu fungsi dan menemukan apa yang disebut titik “referensi”, mis. titik putus, titik maksimum dan minimum, interval monotonisitas suatu fungsi, bahkan dengan sejumlah kecil titik “referensi” tersebut kita akan mendapatkan gambaran yang benar tentang grafik fungsi tersebut.

Sebelum beralih ke contoh, saya akan memberikan definisi dan teorema yang diperlukan.

Penentuan monotonisitas suatu fungsi pada suatu interval Suatu fungsi y=f(x) dikatakan meningkat pada suatu interval jika untuk sembarang titik x 1 dan x 2 pada interval tersebut dari kondisi x 1<х 2 следует, что f(x 1)f(x 2), maka fungsi tersebut dikatakan menurun pada interval tersebut.

Tanda cukup dari monotonisitas suatu fungsi dalam interval. Teorema: jika suatu fungsi mempunyai turunan positif (negatif) pada setiap titik interval, maka fungsi tersebut bertambah (berkurang) pada interval tersebut.

Teorema ini diterima tanpa pembuktian di buku pelajaran sekolah.

Interpretasi geometri dari teorema ini sangat sederhana jika kita ingat bahwa f '(x)=tgα, α adalah kemiringan garis singgung grafik fungsi di titik x tertentu. Jika misalnya f’ (x)>0 di semua titik pada interval tertentu, maka garis singgung grafik dengan sumbu absis membentuk sudut lancip, artinya semakin besar x maka f(x) juga semakin besar. Jika f ' (x)<0, то касательная с осью абсцисс образуют тупой угол, а значит, с ростом х функция f(x) убывает. Поскольку эти рассуждения основаны лишь на наглядных геометрических представлениях, они не являются доказательством теоремы.

3.3. Titik kritis suatu fungsi, maxima dan minima.

Menentukan titik ekstrem suatu fungsi . Misalkan x 0 adalah titik dalam dari domain definisi fungsi f(x). Lalu, jika terdapat δ - lingkungan ] x 0 - δ, x 0 + δ [ titik x 0 sehingga untuk semua x dari lingkungan tersebut terdapat pertidaksamaan f(x)≤f(x 0) (pertidaksamaan f(x )≥f (x 0)), titik x 0 disebut titik maksimum (titik minimum) dari fungsi ini.

Titik maksimum dan minimum adalah titik internal domain definisi fungsi.

Tanda penting dari keberadaan fungsi terdiferensiasi ekstrem .

teorema Fermat.

Jika x 0 adalah titik ekstrem fungsi f(x) dan pada titik tersebut ada turunannya, maka sama dengan nol: f ’(x 0) = 0.

Teorema ini bukanlah syarat yang cukup untuk adanya ekstrem suatu fungsi terdiferensiasi: jika pada suatu titik x 0 turunannya hilang, maka fungsi tersebut tidak mempunyai ekstrem pada titik x 0.

Menentukan titik kritis suatu fungsi . Titik-titik dalam daerah definisi suatu fungsi yang turunannya sama dengan nol atau tidak ada disebut titik kritis fungsi tersebut.

Kondisi yang cukup untuk keberadaan ekstrem .

Teorema 1. Jika fungsi f(x) kontinu di titik x 0, f’(x)>0 pada interval dan f’(x)<0 на интервале , то х 0 является точкой максимума функции f(x).

Teorema 2. Jika fungsi f(x) kontinu di titik x 0, f’(x)<0 на интервале и f ‘(x)>0 pada interval , maka x 0 adalah titik minimum fungsi f(x).

Untuk mencari titik ekstrem suatu fungsi, Anda perlu mencari titik kritisnya dan memeriksa masing-masing titik kritis apakah kondisi ekstrem terpenuhi.

3.4. Nilai terbesar dan terkecil dari suatu fungsi.

Aturan mencari nilai fungsi terbesar dan terkecil dalam interval. Untuk mencari nilai terbesar dan terkecil suatu fungsi yang terdiferensiasi dalam suatu interval tertentu, Anda perlu mencari semua titik kritis yang terletak di dalam interval tersebut, menghitung nilai fungsi pada titik-titik tersebut dan di ujung-ujung interval, dan pilih yang terbesar dan terkecil dari semua nilai fungsi yang diperoleh dengan cara ini.

Bab IV. Contoh penerapan turunan untuk mempelajari suatu fungsi.

Contoh 11. Jelajahi fungsi y=x 3 +6x 2 +9x dan buatlah grafiknya.

2) Mari kita tentukan jenis fungsinya:

y(-x)=(-x) 3 +6(-x) 2 +9(-x)=-x+6x 2 -9x fungsi bentuk umum.

x=0 atau x 2 +6x+9=0

D=0, persamaan mempunyai satu akar.

(0;0) dan (-3;0) merupakan titik potong dengan sumbu x.

y’=(x 3 +6x 2 +9x)’=3x 2 +12x+9

y'=0, yaitu 3x 2 +12x+9=0 dikurangi 3

D>0, persamaan mempunyai 2 akar.

x 1,2 =(-b±√D)/2a, x 1 =(-4+2)/2, x 2 =(-4-2)/2

0
-4

x=-4, y'=3*16-48+9=9>0

x=-2, y'=12-24+9=-3<0

x=0, y'=0+0+9=9>0

7) Temukan x min dan x max:

8) Temukan ekstrem dari fungsi tersebut:

kamu menit =y(-1)=-1+6-9=-4

kamu maksimal =y(-3)=-27+54-27=0

9) Mari kita gambarkan fungsinya:

10) Poin tambahan:

y(-4)=-64+96-36=-4

Contoh 12. Jelajahi fungsi y=x 2 /(x-2) dan buat grafiknya

kamu=x 2 /(x-2)=x+2+4/(x-2)

Mari kita cari asimtot dari fungsi tersebut:

x≠ 2, x=2 – asimtot vertikal

y=x+2 – asimtot miring, karena

Mari kita temukan domain definisinya.

2) Mari kita tentukan jenis fungsinya.

y(-x)=(-x) 2 /(-x-2)=x 2 /(-x-2), suatu fungsi bentuk umum.

3) Temukan titik potong dengan sumbu.

Oy: x=0, y=0 (0;0) – titik potong dengan sumbu y.

x=0 atau x=2 (2;0) – titik potong dengan sumbu x

4) Temukan turunan dari fungsi tersebut:

y'=(2x(x-2)-x 2)/(x-2) 2 =(2x 2 -4x-x 2)/(x-2) 2 =(x(x-4))/(x -2) 2 =(x 2 -4x)/(x-2) 2

5) Mari kita tentukan titik kritisnya:

x 2 -4x=0 x(x-4)=0

y’=0, (x 2 -4x)/(x-2) 2 =0<=> <=>

(x-2) 2 ≠ 0 x≠ 2

x 2 -4x=0, dan (x-2) 2 ≠ 0, yaitu x≠ 2

6) Mari kita tentukan titik-titik kritis pada garis koordinat dan tentukan tanda fungsinya.

0 8

x=-1, y'=(1+4)/9=5/9>0

x=1, y'=(1-4)/1=-3<0

x=3, y'=(9-12)/1=-3<0

x=5, y'=(25-20)/9=5/9>0

7) Temukan titik minimum dan maksimum dari fungsi tersebut:

8) Temukan ekstrem dari fungsi tersebut:

kamu menit =y(4)=16/2=8

9) Mari kita gambarkan fungsinya:

10) Poin tambahan:

kamu(-3)=9/-5=-1,8 kamu(3)=9/1=9

kamu(1)=1/-1=-1 kamu(6)=36/4=9

Contoh 13. Jelajahi fungsi y=(6(x-1))/(x 2 +3) dan buatlah grafik. 1) Temukan domain definisi fungsi:

2) Mari kita tentukan jenis fungsinya:

y(-x)=(6(-x-1))/(x 2 +3)=-(6(x+1))/(x 2 -3) adalah fungsi dari bentuk umum.

3) Temukan titik potong dengan sumbu:

O y: x=0, y=(6(0-1))/(0+3)=-2, (0;-2) – titik potong dengan sumbu y.

(6(x-1))/(x 2 +3)=0

Ox: kamu=0,<=>

4) Temukan turunan dari fungsi tersebut:

y'=(6(x-1)/(x 2 +3))'=6(x 2 +3-2x 2 +2x)/(x 2 +2) 2 =-6(x+1)(x -3)/(x 2 +3) 2

5) Mari kita tentukan titik kritisnya:

y'=0, yaitu -6(x+1)(x-3)/(x 2 +3) 2 =0

y’=0, jika x 1 =-1 atau x 2 =3, maka x=-1 dan x=3, titik kritis.

6) Mari kita nyatakan titik-titik kritis pada garis koordinat dan tentukan tanda fungsinya:

-3 2

x=-2, y'=-6(-2+1)(-2-3)/(4+3) 2 =-30/49<0

x=0, y'=-6(0+1)(0-3)/(0+3) 2 =2>0

x=4, y'=-6(4+1)(4-3)/(16+3) 2 =-30/361<0

7) Temukan poin minimum dan maksimum:

8) Temukan ekstrem dari fungsi tersebut:

kamu menit =y(-1)=(6(-1-1))/(1+3)=-12/4=-3

kamu maksimal =y(3)=(6(3-1))/(9+3)=12/12=1

9) Mari kita gambarkan fungsinya:

10) Poin tambahan:

y(-3)=(6(-3-1))/(9+3)=-24/12=-2

y(6)=(6(6-1))/(36+3)=30/39=10/13≈ 0,77

Contoh 14. Jelajahi fungsi y=xlnx dan plotkan:

1) Temukan domain definisi fungsi:

D(y)=R + (hanya nilai positif)

2) Mari kita tentukan jenis fungsinya:

y(-x)=-xlnx - bentuk umum.

3) Temukan titik potong dengan sumbu:

O y, tetapi x≠ 0 yang artinya tidak ada titik potong dengan sumbu y.

O x: y=0, yaitu xlnx=0

x=0 atau lnx=0

(1;0) – titik potong dengan sumbu x

4) Temukan turunan dari fungsi tersebut:

y’=x’ ln x + x(ln x)’=ln x +1

5) Mari kita tentukan titik kritisnya:

y'=0, yaitu lnx +1=0

y’=0, jika x=1/e, maka x=1/e adalah titik kritis.

6) Mari kita nyatakan titik-titik kritis pada garis koordinat dan tentukan tanda fungsinya:

1/e

x=1/(2e); y’=log(2e) -1 +1=1-ln(2e)=1-ln e=-ln 2<0

x=2e; y’=ln(2e)+1=ln 2+ln e+1=ln 2+2>0

7) 1/e – titik minimum dari fungsi tersebut.

8) Temukan ekstrem dari fungsi tersebut:

y menit =y(1/e)=1/e ln e -1 =-1/e (≈ -0,4).

9) Mari kita gambarkan fungsinya:

Kesimpulan.

Banyak ilmuwan dan filsuf telah membahas topik ini. Bertahun-tahun yang lalu istilah-istilah ini muncul: fungsi, grafik, studi tentang fungsi, dan istilah-istilah tersebut masih dipertahankan, memperoleh fitur dan karakteristik baru.

Saya memilih topik ini karena saya sangat tertarik untuk menempuh jalur penelitian fungsi ini. Tampaknya bagi saya banyak orang yang tertarik untuk mempelajari lebih lanjut tentang fungsi, sifat-sifatnya, dan transformasinya. Dengan menyelesaikan esai ini, saya mensistematisasikan keterampilan saya dan memperluas pengetahuan saya tentang topik ini.

Saya ingin mendorong semua orang untuk mempelajari topik ini lebih lanjut.

Bibliografi.

1. Bashmakov, M.I. Aljabar dan permulaan analisis - M.: Pendidikan, 1992.

2. Glazer, GI. Sejarah matematika di sekolah - M.: Pendidikan, 1983.

3. Gusev, V.A. Matematika: Bahan Referensi - M.: Pendidikan, 1888.

4. Dorofeev, G.V. Panduan matematika bagi mereka yang masuk perguruan tinggi - M.: Nauka, 1974.

5. Zorin, V.V. Panduan matematika bagi mereka yang masuk perguruan tinggi - M.: Higher School, 1980.

6. Kolmogorov A.N. Aljabar dan awal mula analisis - M.: Pendidikan, 1993.