rumah › Cahaya dan kaca › Turunan dari hasil kali fungsi pada suatu titik tertentu. Temukan turunannya: algoritma dan contoh solusi

Turunan dari hasil kali fungsi pada suatu titik tertentu. Temukan turunannya: algoritma dan contoh solusi

Pada pembelajaran kali ini kita melanjutkan pembelajaran turunan fungsi dan beralih ke topik lebih lanjut yaitu turunan hasil perkalian dan hasil bagi. Jika Anda menonton pelajaran sebelumnya, Anda mungkin menyadari bahwa kita hanya membahas konstruksi paling sederhana, yaitu turunan dari fungsi pangkat, jumlah, dan selisih. Secara khusus, kita mengetahui bahwa turunan suatu jumlah sama dengan jumlah keduanya, dan turunan suatu selisih masing-masing sama dengan selisihnya. Sayangnya, dalam kasus hasil bagi dan turunan hasil kali, rumusnya akan jauh lebih rumit. Kita akan mulai dengan rumus turunan suatu produk fungsi.

Turunan dari fungsi trigonometri

Untuk memulainya, izinkan saya membuat penyimpangan liris kecil. Faktanya adalah selain fungsi pangkat standar - $y=((x)^(n))$, dalam pelajaran ini kita juga akan menemukan fungsi lain, yaitu $y=\sin x$, serta $ y=\ cos x$ dan trigonometri lainnya - $y=tgx$ dan, tentu saja, $y=ctgx$.

Jika kita semua mengetahui dengan baik turunan suatu fungsi pangkat yaitu $\left(((x)^(n)) \right)=n\cdot ((x)^(n-1))$, maka adapun fungsi trigonometri, perlu disebutkan tersendiri. Mari kita tuliskan:

\[\begin(align)& ((\left(\sinx \right))^(\prime ))=\cosx \\& ((\left(\cos x \right))^(\prime ))= -\sin x \\& ((\kiri(tgx \kanan))^(\prime ))=\frac(1)(((\cos )^(2))x) \\& ((\kiri( ctgx \kanan))^(\prime ))=\frac(1)(((\cos )^(2))x) \\\end(align)\]

Tapi Anda tahu rumus ini dengan baik, mari kita lanjutkan.

Apa turunan dari suatu produk?

Pertama, hal terpenting: jika suatu fungsi merupakan hasil kali dua fungsi lainnya, misalnya $f\cdot g$, maka turunan dari konstruksi ini akan sama dengan ekspresi berikut:

Seperti yang Anda lihat, rumus ini sangat berbeda dan lebih kompleks dibandingkan rumus yang kita lihat sebelumnya. Misalnya, turunan suatu penjumlahan dihitung dengan cara dasar - $((\left(f+g \right))^(\prime ))=(f)"+(g)"$, atau turunan dari perbedaan, yang juga dihitung dengan cara dasar - $(( \left(f-g \right))^(\prime ))=(f)"-(g)"$.

Mari kita coba menerapkan rumus pertama untuk menghitung turunan dari dua fungsi yang diberikan kepada kita dalam soal. Mari kita mulai dengan contoh pertama:

Jelasnya, konstruksi berikut bertindak sebagai produk, atau lebih tepatnya, sebagai pengali: $((x)^(3))$, kita dapat menganggapnya sebagai $f$, dan $\left(x-5 \right) $ kita dapat menganggapnya sebagai $g$. Maka produknya akan menjadi produk dari dua fungsi. Kami memutuskan:

\[\begin(align)& ((\left(((x)^(3))\cdot \left(x-5 \right) \right))^(\prime ))=((\left(( (x)^(3)) \kanan))^(\prime ))\cdot \kiri(x-5 \kanan)+((x)^(3))\cdot ((\kiri(x-5 \ kanan))^(\prime ))= \\& =3((x)^(2))\cdot \kiri(x-5 \kanan)+((x)^(3))\cdot 1 \\ \end(sejajarkan)\].

Sekarang mari kita lihat lebih dekat setiap istilah kita. Kita melihat bahwa suku pertama dan suku kedua mempunyai derajat $x$: pada kasus pertama adalah $((x)^(2))$, dan pada suku kedua adalah $((x)^(3)) $. Mari kita keluarkan derajat terkecil dari tanda kurung, sisakan dalam tanda kurung:

\[\begin(sejajarkan)& 3((x)^(2))\cdot \kiri(x-5 \kanan)+((x)^(3))\cdot 1=((x)^(2 ))\left(3\cdot 1\left(x-5 \kanan)+x \kanan)= \\& =((x)^(2))\left(3x-15+x \kanan)=( (x)^(2))(4x-15)\\\end(sejajarkan)\]

Itu saja, kami menemukan jawabannya.

Mari kita kembali ke masalah kita dan mencoba menyelesaikannya:

Jadi, mari kita tulis ulang:

Sekali lagi, kita perhatikan bahwa kita berbicara tentang hasil kali dua fungsi: $x$, yang dapat dilambangkan dengan $f$, dan $\left(\sqrt(x)-1 \right)$, yang dapat dinotasikan dengan $f$, dan $\left(\sqrt(x)-1 \right)$, yang dapat dilambangkan dengan $g$.

Jadi, kita kembali mempunyai hasil kali dua fungsi. Untuk mencari turunan dari fungsi $f\left(x \right)$ kita akan menggunakan rumus kita lagi. Kita mendapatkan:

\[\begin(align)& (f)"=\left(x \right)"\cdot \left(\sqrt(x)-1 \right)+x\cdot ((\left(\sqrt(x) -1 \kanan))^(\prime ))=1\cdot \kiri(\sqrt(x)-1 \kanan)+x\frac(1)(3\sqrt(x))= \\& =\ persegi(x)-1+\sqrt(x)\cdot \frac(1)(3)=\frac(4)(3)\sqrt(x)-1 \\\end(sejajarkan)\]

Jawabannya telah ditemukan.

Mengapa turunan faktor?

Kami baru saja menggunakan beberapa fakta matematika yang sangat penting, yang tidak terkait dengan turunan, tetapi tanpa sepengetahuan mereka, seluruh studi lebih lanjut tentang topik ini tidak masuk akal.

Pertama, ketika memecahkan masalah pertama dan telah menghilangkan semua tanda turunannya, untuk beberapa alasan kami mulai memfaktorkan persamaan ini.

Kedua, saat menyelesaikan soal berikut, kami berpindah dari akar ke pangkat dengan eksponen rasional dan mundur beberapa kali, menggunakan rumus kelas 8-9, yang sebaiknya diulangi secara terpisah.

Mengenai faktorisasi – mengapa semua upaya dan transformasi tambahan ini diperlukan? Faktanya, jika soal hanya mengatakan “temukan turunan suatu fungsi”, maka langkah tambahan ini tidak diperlukan. Namun, dalam soal nyata yang menanti Anda dalam semua jenis ujian dan ulangan, mencari turunannya saja seringkali tidak cukup. Faktanya adalah turunan hanyalah alat yang dapat digunakan untuk mengetahui, misalnya, kenaikan atau penurunan suatu fungsi, dan untuk itu Anda perlu menyelesaikan persamaan dan memfaktorkannya. Dan disinilah teknik ini akan sangat tepat. Dan secara umum, akan jauh lebih nyaman dan menyenangkan untuk bekerja dengan fungsi yang difaktorkan di masa depan jika diperlukan transformasi. Oleh karena itu, aturan nomor 1: jika turunannya dapat difaktorkan, itulah yang harus Anda lakukan. Dan langsung aturan no 2 (intinya ini materi kelas 8-9): jika soal mengandung akar N-derajat, dan akarnya jelas lebih besar dari dua, maka akar ini dapat diganti dengan derajat biasa dengan eksponen rasional, dan akan muncul pecahan pada eksponen tersebut, dimana N― derajat itu ― akan menjadi penyebut pecahan ini.

Tentu saja, jika ada derajat tertentu di bawah akar (dalam kasus kami ini adalah derajatnya k), maka ia tidak kemana-mana, tetapi hanya berakhir di pembilang derajat ini.

Sekarang setelah Anda memahami semua ini, mari kembali ke turunan produk dan menghitung beberapa persamaan lagi.

Namun sebelum langsung ke perhitungan, saya ingin mengingatkan Anda tentang pola berikut:

\[\begin(align)& ((\left(\sin x \right))^(\prime ))=\cos x \\& ((\left(\cos x \right))^(\prime ) )=-\sin x \\& \kiri(tgx \kanan)"=\frac(1)(((\cos )^(2))x) \\& ((\kiri(ctgx \kanan))^ (\prime ))=-\frac(1)(((\sin )^(2))x) \\\end(align)\]

Mari kita perhatikan contoh pertama:

Kita kembali mempunyai hasil kali dua fungsi: yang pertama adalah $f$, yang kedua adalah $g$. Izinkan saya mengingatkan Anda rumusnya:

\[((\kiri(f\cdot g \kanan))^(\prime ))=(f)"\cdot g+f\cdot (g)"\]

Mari kita putuskan:

\[\begin(align)& (y)"=((\left(((x)^(4)) \right))^(\prime ))\cdot \sin x+((x)^(4) )\cdot ((\kiri(\sin x \kanan))^(\prime ))= \\& =3((x)^(3))\cdot \sin x+((x)^(4)) \cdot \cos x=((x)^(3))\left(3\sin x+x\cdot \cos x \kanan) \\\end(align)\]

Mari beralih ke fungsi kedua:

Sekali lagi, $\left(3x-2 \right)$ adalah fungsi dari $f$, $\cos x$ adalah fungsi dari $g$. Secara total, turunan hasil kali dua fungsi akan sama dengan:

\[\begin(align)& (y)"=((\left(3x-2 \kanan))^(\prime ))\cdot \cos x+\left(3x-2 \kanan)\cdot ((\ kiri(\cos x \kanan))^(\prime ))= \\& =3\cdot \cos x+\left(3x-2 \kanan)\cdot \kiri(-\sin x \kanan)=3\ cos x-\kiri(3x-2 \kanan)\cdot \sin x \\\end(align)\]

\[(y)"=((\kiri(((x)^(2))\cdot \cos x \kanan))^(\prime ))+((\kiri(4x\sin x \kanan)) ^(\prime ))\]

Mari kita tuliskan secara terpisah:

\[\begin(align)& ((\left(((x)^(2))\cdot \cos x \right))^(\prime ))=\left(((x)^(2)) \kanan)"\cos x+((x)^(2))\cdot ((\kiri(\cos x \kanan))^(\prime ))= \\& =2x\cdot \cos x+((x )^(2))\cdot \kiri(-\sin x \kanan)=2x\cdot \cos x-((x)^(2))\cdot \sin x \\\end(sejajarkan)\]

Kami tidak memfaktorkan ungkapan ini, karena ini belum merupakan jawaban akhir. Sekarang kita harus menyelesaikan bagian kedua. Mari kita tuliskan:

\[\begin(align)& ((\left(4x\cdot \sin x \right))^(\prime ))=((\left(4x \right))^(\prime ))\cdot \sin x+4x\cdot ((\kiri(\sin x \kanan))^(\prime ))= \\& =4\cdot \sin x+4x\cdot \cos x \\\end(sejajarkan)\]

Sekarang mari kembali ke tugas awal kita dan gabungkan semuanya ke dalam satu struktur:

\[\begin(sejajarkan)& (y)"=2x\cdot \cos x-((x)^(2))\cdot \sin x+4\sin x+4x\cos x=6x\cdot \cos x= \\& =6x\cdot \cos x-((x)^(2))\cdot \sin x+4\sin x \\\end(sejajarkan)\]

Itu saja, inilah jawaban akhirnya.

Mari kita beralih ke contoh terakhir - ini akan menjadi contoh yang paling rumit dan paling banyak dalam hal perhitungan. Jadi, contohnya:

\[(y)"=((\left(((x)^(2))\cdot tgx \kanan))^(\prime ))-((\left(2xctgx \kanan))^(\prime ) )\]

Kami menghitung setiap bagian secara terpisah:

\[\begin(align)& ((\left(((x)^(2))\cdot tgx \kanan))^(\prime ))=((\left(((x)^(2)) \kanan))^(\prime ))\cdot tgx+((x)^(2))\cdot ((\left(tgx \kanan))^(\prime ))= \\& =2x\cdot tgx+( (x)^(2))\cdot \frac(1)(((\cos )^(2))x) \\\end(sejajarkan)\]

\[\begin(sejajarkan)& ((\kiri(2x\cdot ctgx \kanan))^(\prime ))=((\kiri(2x \kanan))^(\prime ))\cdot ctgx+2x\ cdot ((\kiri(ctgx \kanan))^(\prime ))= \\& =2\cdot ctgx+2x\kiri(-\frac(1)(((\sin )^(2))x) \kanan)=2\cdot ctgx-\frac(2x)(((\sin )^(2))x) \\\end(align)\]

Kembali ke fungsi semula, mari kita hitung turunannya secara keseluruhan:

\[\begin(align)& (y)"=2x\cdot tgx+\frac(((x)^(2)))(((\cos )^(2))x)-\left(2ctgx-\ frac(2x)(((\sin )^(2))x) \kanan)= \\& =2x\cdot tgx+\frac(((x)^(2)))(((\cos )^( 2))x)-2ctgx+\frac(2x)(((\sin )^(2))x) \\\end(sejajarkan)\]

Sebenarnya hanya itu yang ingin saya ceritakan tentang karya turunan. Seperti yang Anda lihat, masalah utama rumus ini bukanlah pada menghafalnya, tetapi pada kenyataan bahwa rumus tersebut melibatkan sejumlah besar perhitungan. Tapi tidak apa-apa, karena sekarang kita beralih ke turunan hasil bagi, yang mana kita harus bekerja sangat keras.

Apa turunan dari hasil bagi?

Jadi, rumus turunan dari hasil bagi. Ini mungkin rumus paling rumit dalam kursus derivatif sekolah. Katakanlah kita mempunyai fungsi berbentuk $\frac(f)(g)$, dimana $f$ dan $g$ juga merupakan fungsi yang juga dapat kita hilangkan bilangan primanya. Kemudian akan dihitung dengan rumus sebagai berikut:

Pembilangnya agak mengingatkan kita pada rumus turunan suatu hasil kali, namun terdapat tanda minus di antara suku-suku tersebut dan kuadrat penyebut aslinya juga telah ditambahkan ke penyebutnya. Mari kita lihat cara kerjanya dalam praktik:

Mari kita coba menyelesaikannya:

\[(f)"=((\kiri(\frac(((x)^(2))-1)(x+2) \kanan))^(\prime ))=\frac(((\kiri (((x)^(2))-1 \kanan))^(\prime ))\cdot \kiri(x+2 \kanan)-\kiri(((x)^(2))-1 \kanan )\cdot ((\kiri(x+2 \kanan))^(\prime )))(((\kiri(x+2 \kanan))^(2)))\]

Saya menyarankan untuk menulis setiap bagian secara terpisah dan menuliskan:

\[\begin(align)& ((\left(((x)^(2))-1 \kanan))^(\prime ))=((\left(((x)^(2)) \ kanan))^(\prime ))-(1)"=2x \\& ((\kiri(x+2 \kanan))^(\prime ))=(x)"+(2)"=1 \ \\akhir(sejajarkan)\]

Mari kita tulis ulang ekspresi kita:

\[\begin(align)& (f)"=\frac(2x\cdot \left(x+2 \right)-\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 1) (((\kiri(x+2 \kanan))^(2)))= \\& =\frac(2((x)^(2))+4x-((x)^(2))+ 1)(((\kiri(x+2 \kanan))^(2)))=\frac(((x)^(2))+4x+1)(((\kiri(x+2 \kanan ))^(2))) \\\end(sejajarkan)\]

Kami telah menemukan jawabannya. Mari beralih ke fungsi kedua:

Dilihat dari fakta bahwa pembilangnya hanya satu, perhitungan di sini akan sedikit lebih sederhana. Jadi, mari kita menulis:

\[(y)"=((\kiri(\frac(1)(((x)^(2))+4) \kanan))^(\prime ))=\frac((1)"\cdot \kiri(((x)^(2))+4 \kanan)-1\cdot ((\kiri(((x)^(2))+4 \kanan))^(\prime )))(( (\kiri(((x)^(2))+4 \kanan))^(2)))\]

Mari kita hitung setiap bagian dari contoh secara terpisah:

\[\begin(align)& (1)"=0 \\& ((\left(((x)^(2))+4 \kanan))^(\prime ))=((\left(( (x)^(2)) \kanan))^(\prime ))+(4)"=2x \\\end(align)\]

Mari kita tulis ulang ekspresi kita:

\[(y)"=\frac(0\cdot \kiri(((x)^(2))+4 \kanan)-1\cdot 2x)(((\kiri(((x)^(2) )+4 \kanan))^(2)))=-\frac(2x)(((\kiri(((x)^(2))+4 \kanan))^(2)))\]

Kami telah menemukan jawabannya. Seperti yang diharapkan, jumlah komputasi ternyata jauh lebih sedikit dibandingkan fungsi pertama.

Apa perbedaan antara sebutannya?

Siswa yang penuh perhatian mungkin sudah mempunyai pertanyaan: mengapa dalam beberapa kasus kita menyatakan fungsi sebagai $f\left(x \right)$, dan dalam kasus lain kita hanya menulis $y$? Faktanya, dari sudut pandang matematika, sama sekali tidak ada perbedaan - Anda berhak menggunakan sebutan pertama dan kedua, dan tidak akan ada penalti dalam ujian atau ulangan. Bagi mereka yang masih tertarik, saya akan menjelaskan mengapa penulis buku teks dan soal dalam beberapa kasus menulis $f\left(x \right)$, dan dalam kasus lain (lebih sering) - cukup $y$. Faktanya adalah dengan menulis suatu fungsi dalam bentuk \, kita secara implisit memberi isyarat kepada mereka yang membaca perhitungan kita bahwa kita sedang berbicara secara khusus tentang interpretasi aljabar ketergantungan fungsional. Artinya, ada variabel tertentu $x$, kami mempertimbangkan ketergantungan pada variabel ini dan menyatakannya $f\left(x \right)$. Pada saat yang sama, setelah melihat sebutan seperti itu, orang yang membaca perhitungan Anda, misalnya, inspektur, secara tidak sadar akan berharap bahwa di masa depan hanya transformasi aljabar yang menunggunya - tidak ada grafik dan tidak ada geometri.

Sebaliknya, dengan menggunakan notasi bentuk \, yaitu menyatakan suatu variabel dengan satu huruf, kita segera memperjelas bahwa di masa depan kita tertarik pada interpretasi geometrik dari fungsi tersebut, yaitu pertama-tama kita tertarik pada semuanya, dalam grafiknya. Oleh karena itu, ketika dihadapkan dengan catatan berbentuk\, pembaca berhak mengharapkan perhitungan grafis, yaitu grafik, konstruksi, dll., tetapi, tidak berarti, transformasi analitis.

Saya juga ingin menarik perhatian Anda pada salah satu fitur desain tugas yang sedang kita pertimbangkan hari ini. Banyak siswa berpikir bahwa saya memberikan perhitungan yang terlalu rinci, dan banyak di antaranya yang terlewatkan atau diselesaikan begitu saja di kepala mereka. Namun, catatan terperinci seperti itulah yang akan memungkinkan Anda menghilangkan kesalahan yang menyinggung dan secara signifikan meningkatkan persentase masalah yang diselesaikan dengan benar, misalnya, dalam hal persiapan diri untuk ujian atau ujian. Oleh karena itu, jika Anda masih ragu dengan kemampuan Anda, jika Anda baru mulai mempelajari topik ini, jangan terburu-buru - jelaskan setiap langkah secara mendetail, tuliskan setiap faktor, setiap pukulan, dan Anda akan segera belajar memecahkan contoh-contoh tersebut dengan lebih baik. daripada banyak guru sekolah. Saya harap ini jelas. Mari kita hitung beberapa contoh lagi.

Beberapa tugas menarik

Kali ini, seperti yang kita lihat, trigonometri hadir dalam turunan yang dihitung. Oleh karena itu, izinkan saya mengingatkan Anda hal berikut:

\[\begin(align)& (sinx())"=\cos x \\& ((\left(\cos x \right))^(\prime ))=-\sin x \\\end(align )\]

Tentu saja kita tidak dapat melakukannya tanpa turunan dari hasil bagi, yaitu:

\[((\left(\frac(f)(g) \right))^(\prime ))=\frac((f)"\cdot g-f\cdot (g)")(((g)^( 2)))\]

Mari kita pertimbangkan fungsi pertama:

\[\begin(align)& (f)"=((\left(\frac(\sin x)(x) \right))^(\prime ))=\frac(((\left(\sin x \kanan))^(\prime ))\cdot x-\sin x\cdot \kiri(((x)") \kanan))(((x)^(2)))= \\& =\frac (x\cdot \cos x-1\cdot \sin x)(((x)^(2)))=\frac(x\cos x-\sin x)(((x)^(2))) \\\end(sejajarkan)\]

Jadi kami telah menemukan solusi untuk ungkapan ini.

Mari beralih ke contoh kedua:

Jelasnya, turunannya akan lebih kompleks, jika hanya karena trigonometri terdapat pada pembilang dan penyebut fungsi ini. Kami memutuskan:

\[(y)"=((\left(\frac(x\sin x)(\cos x) \kanan))^(\prime ))=\frac(((\left(x\sin x \kanan ))^(\prime ))\cdot \cos x-x\sin x\cdot ((\kiri(\cos x \kanan))^(\prime )))(((\kiri(\cos x \kanan)) ^(2)))\]

Perhatikan bahwa kami memiliki turunan dari produk tersebut. Dalam hal ini akan sama dengan:

\[\begin(align)& ((\left(x\cdot \sin x \right))^(\prime ))=(x)"\cdot \sin x+x((\left(\sin x \ kanan))^(\prime ))= \\& =\sin x+x\cos x \\\end(align)\]

Mari kita kembali ke perhitungan kita. Kami menulis:

\[\begin(align)& (y)"=\frac(\left(\sin x+x\cos x \right)\cos x-x\cdot \sin x\cdot \left(-\sin x \right) )(((\cos )^(2))x)= \\& =\frac(\sin x\cdot \cos x+x((\cos )^(2))x+x((\sin ) ^(2))x)(((\cos )^(2))x)= \\& =\frac(\sin x\cdot \cos x+x\left(((\sin )^(2) )x+((\cos )^(2))x \kanan))(((\cos )^(2))x)=\frac(\sin x\cdot \cos x+x)(((\cos )^(2))x) \\\end(sejajarkan)\]

Itu saja! Kami menghitungnya.

Bagaimana cara mereduksi turunan suatu hasil bagi menjadi rumus sederhana untuk turunan suatu hasil kali?

Dan di sini saya ingin menyampaikan satu komentar yang sangat penting mengenai fungsi trigonometri. Faktanya adalah konstruksi asli kita berisi ekspresi dalam bentuk $\frac(\sin x)(\cos x)$, yang dapat dengan mudah diganti hanya dengan $tgx$. Jadi, kita mereduksi turunan suatu hasil bagi menjadi rumus yang lebih sederhana untuk turunan suatu hasil kali. Mari kita hitung kembali contoh ini dan bandingkan hasilnya.

Jadi sekarang kita perlu mempertimbangkan hal berikut:

\[\frac(\sin x)(\cos x)=tgx\]

Mari kita tulis ulang fungsi asli kita $y=\frac(x\sin x)(\cos x)$ dengan mempertimbangkan fakta ini. Kita mendapatkan:

Mari berhitung:

\[\begin(align)& (y)"=((\left(x\cdot tgx \right))^(\prime ))(x)"\cdot tgx+x((\left(tgx \right) )^(\prima ))=tgx+x\frac(1)(((\cos )^(2))x)= \\& =\frac(\sin x)(\cos x)+\frac( x)(((\cos )^(2))x)=\frac(\sin x\cdot \cos x+x)(((\cos )^(2))x) \\\end(sejajarkan) \]

Sekarang, jika kita membandingkan hasil yang diperoleh dengan hasil yang kita peroleh sebelumnya ketika menghitung dengan cara yang berbeda, maka kita akan yakin bahwa kita telah memperoleh ekspresi yang sama. Jadi, apapun cara kita menghitung turunannya, jika semuanya dihitung dengan benar, maka jawabannya akan tetap sama.

Nuansa penting saat memecahkan masalah

Sebagai penutup, saya ingin memberi tahu Anda satu lagi seluk-beluk terkait penghitungan turunan suatu hasil bagi. Apa yang akan saya sampaikan kepada Anda sekarang tidak ada dalam naskah asli video pelajaran tersebut. Namun, beberapa jam sebelum syuting, saya sedang belajar dengan salah satu siswa saya, dan kami baru saja mendiskusikan topik turunan hasil bagi. Dan ternyata banyak siswa yang belum memahami hal ini. Jadi, katakanlah kita perlu menghitung penghapusan stroke dari fungsi berikut:

Pada prinsipnya, sekilas tidak ada yang supernatural dalam hal ini. Namun, dalam proses perhitungan kita bisa membuat banyak kesalahan bodoh dan menyinggung, yang ingin saya bahas sekarang.

Jadi, kami menghitung turunan ini. Pertama-tama, kita perhatikan bahwa kita mempunyai suku $3((x)^(2))$, jadi sebaiknya kita mengingat rumus berikut:

\[((\kiri(((x)^(n)) \kanan))^(\prime ))=n\cdot ((x)^(n-1))\]

Selain itu, kita mempunyai suku $\frac(48)(x)$ - kita akan menyelesaikannya melalui turunan hasil bagi, yaitu:

\[((\left(\frac(f)(g) \right))^(\prime ))=\frac((f)"\cdot g-f\cdot (g)")(((g)^( 2)))\]

Jadi mari kita putuskan:

\[(y)"=((\left(\frac(48)(x) \kanan))^(\prime ))+((\left(3((x)^(2)) \kanan)) ^(\prime ))+10(0)"\]

Tidak ada masalah dengan istilah pertama, lihat:

\[((\kiri(3((x)^(2)) \kanan))^(\prime ))=3\cdot ((\kiri(((x)^(2)) \kanan))^ (\prime ))=3k.2x=6x\]

Namun dengan suku pertama, $\frac(48)(x)$, Anda harus mengerjakannya secara terpisah. Faktanya adalah banyak siswa yang bingung dengan situasi ketika mereka perlu mencari $((\left(\frac(x)(48) \right))^(\prime ))$ dan ketika mereka perlu mencari $((\left (\frac (48)(x) \kanan))^(\prime ))$. Artinya, mereka menjadi bingung ketika konstanta berada di penyebut dan ketika konstanta berada di pembilang, masing-masing, ketika variabel berada di pembilang atau penyebut.

Mari kita mulai dengan opsi pertama:

\[((\kiri(\frac(x)(48) \kanan))^(\prime ))=((\kiri(\frac(1)(48)\cdot x \kanan))^(\prime ))=\frac(1)(48)\cdot (x)"=\frac(1)(48)\cdot 1=\frac(1)(48)\]

Sebaliknya, jika kita mencoba melakukan hal yang sama dengan pecahan kedua, kita mendapatkan hasil berikut:

\[\begin(align)& ((\left(\frac(48)(x) \kanan))^(\prime ))=((\left(48\cdot \frac(1)(x) \kanan ))^(\prime ))=48\cdot ((\left(\frac(1)(x) \kanan))^(\prime ))= \\& =48\cdot \frac((1)" \cdot x-1\cdot (x)")(((x)^(2)))=48\cdot \frac(-1)(((x)^(2)))=-\frac(48 )(((x)^(2))) \\\end(sejajarkan)\]

Namun, contoh yang sama dapat dihitung secara berbeda: pada tahap di mana kita meneruskan ke turunan dari hasil bagi, kita dapat menganggap $\frac(1)(x)$ sebagai pangkat dengan eksponen negatif, yaitu, kita mendapatkan yang berikut :

\[\begin(align)& 48\cdot ((\left(\frac(1)(x) \kanan))^(\prime ))=48\cdot ((\left(((x)^(- 1)) \kanan))^(\prime ))=48\cdot \kiri(-1 \kanan)\cdot ((x)^(-2))= \\& =-48\cdot \frac(1 )(((x)^(2)))=-\frac(48)(((x)^(2))) \\\end(align)\]

Jadi, dan kami menerima jawaban yang sama.

Jadi, kita sekali lagi diyakinkan akan dua fakta penting. Pertama, turunan yang sama dapat dihitung dengan cara yang sangat berbeda. Misalnya, $((\left(\frac(48)(x) \right))^(\prime ))$ dapat dianggap sebagai turunan hasil bagi dan turunan fungsi pangkat. Apalagi jika semua perhitungan dilakukan dengan benar, maka jawabannya akan selalu sama. Kedua, ketika menghitung turunan yang mengandung variabel dan konstanta, pada dasarnya penting di mana letak variabel tersebut - di pembilang atau penyebutnya. Dalam kasus pertama, ketika variabel berada di pembilangnya, kita mendapatkan fungsi linier sederhana yang dapat dihitung dengan mudah. Dan jika variabelnya ada di penyebut, maka kita mendapatkan ekspresi yang lebih kompleks dengan perhitungan yang diberikan sebelumnya.

Pada titik ini, pelajaran dapat dianggap selesai, jadi jika Anda tidak memahami apa pun tentang turunan dari suatu hasil bagi atau produk, dan secara umum, jika Anda memiliki pertanyaan tentang topik ini, jangan ragu - kunjungi situs web saya , menulis, menelepon, dan saya pasti akan mencoba, adakah yang bisa saya bantu.

Derivatif sendiri bukanlah topik yang kompleks, namun sangat luas, dan apa yang kita pelajari sekarang akan digunakan di masa depan ketika memecahkan masalah yang lebih kompleks. Oleh karena itu, sebaiknya segera identifikasi semua kesalahpahaman terkait penghitungan turunan suatu hasil bagi atau perkalian, sekarang juga. Bukan saat kesalahpahaman itu menjadi bola salju yang besar, tapi saat itu adalah bola tenis kecil yang mudah ditangani.

Jika mengikuti definisi tersebut, maka turunan suatu fungsi di suatu titik adalah limit rasio kenaikan fungsi tersebut Δ kamu dengan kenaikan argumen Δ X:

Segalanya tampak jelas. Tapi coba gunakan rumus ini untuk menghitung, katakanlah, turunan suatu fungsi F(X) = X 2 + (2X+ 3) · e X dosa X. Jika Anda melakukan semuanya sesuai definisi, maka setelah beberapa halaman perhitungan Anda akan tertidur. Oleh karena itu, ada cara yang lebih sederhana dan efektif.

Pertama-tama, kita perhatikan bahwa dari seluruh ragam fungsi kita dapat membedakan apa yang disebut fungsi dasar. Ini adalah ekspresi yang relatif sederhana, yang turunannya telah lama dihitung dan ditabulasikan. Fungsi seperti itu cukup mudah diingat - beserta turunannya.

Turunan dari fungsi dasar

Semua fungsi dasar tercantum di bawah ini. Turunan dari fungsi-fungsi tersebut harus dihafal. Selain itu, menghafalnya sama sekali tidak sulit - itulah mengapa mereka bersifat dasar.

Jadi, turunan dari fungsi dasar:

Nama	Fungsi	Turunan
Konstan	F(X) = C, C ∈ R	0 (ya, nol!)
Kekuatan dengan eksponen rasional	F(X) = X N	N · X N − 1
Sinus	F(X) = dosa X	karena X
Kosinus	F(X) = karena X	−dosa X(dikurangi sinus)
Garis singgung	F(X) = tg X	1/karena 2 X
Kotangens	F(X) = ctg X	− 1/dosa 2 X
Logaritma natural	F(X) = catatan X	1/X
Logaritma sewenang-wenang	F(X) = catatan A X	1/(X dalam A)
Fungsi eksponensial	F(X) = e X	e X(Tidak ada yang berubah)

Jika suatu fungsi dasar dikalikan dengan konstanta sembarang, maka turunan dari fungsi baru tersebut juga mudah dihitung:

(C · F)’ = C · F ’.

Secara umum, konstanta dapat dikeluarkan dari tanda turunannya. Misalnya:

(2X 3)' = 2 · ( X 3)' = 2 3 X 2 = 6X 2 .

Jelasnya, fungsi-fungsi dasar dapat dijumlahkan, dikalikan, dibagi - dan masih banyak lagi. Dengan demikian akan muncul fungsi-fungsi baru, tidak lagi bersifat dasar, tetapi juga dibedakan menurut aturan-aturan tertentu. Aturan-aturan ini dibahas di bawah ini.

Turunan dari jumlah dan selisih

Biarkan fungsinya diberikan F(X) Dan G(X), yang turunannya kita ketahui. Misalnya, Anda dapat mengambil fungsi dasar yang dibahas di atas. Kemudian Anda dapat mencari turunan dari jumlah dan selisih fungsi berikut:

(F + G)’ = F ’ + G ’
(F − G)’ = F ’ − G ’

Jadi, turunan jumlah (selisih) dua fungsi sama dengan jumlah (selisih) turunannya. Mungkin ada lebih banyak istilah. Misalnya, ( F + G + H)’ = F ’ + G ’ + H ’.

Sebenarnya, tidak ada konsep “pengurangan” dalam aljabar. Ada konsep “elemen negatif”. Oleh karena itu perbedaannya F − G dapat ditulis ulang sebagai jumlah F+ (−1) G, dan kemudian hanya satu rumus yang tersisa - turunan dari jumlah tersebut.

F(X) = X 2 + dosa x; G(X) = X 4 + 2X 2 − 3.

Fungsi F(X) adalah jumlah dari dua fungsi dasar, oleh karena itu:

F ’(X) = (X 2 + dosa X)’ = (X 2)' + (dosa X)’ = 2X+ karena x;

Kami beralasan serupa untuk fungsinya G(X). Hanya saja sudah ada tiga suku (dari sudut pandang aljabar):

G ’(X) = (X 4 + 2X 2 − 3)’ = (X 4 + 2X 2 + (−3))’ = (X 4)’ + (2X 2)’ + (−3)’ = 4X 3 + 4X + 0 = 4X · ( X 2 + 1).

Menjawab:
F ’(X) = 2X+ karena x;
G ’(X) = 4X · ( X 2 + 1).

Turunan dari produk

Matematika merupakan ilmu logika, sehingga banyak orang yang meyakini bahwa jika turunan suatu penjumlahan sama dengan jumlah turunannya, maka turunan dari hasil perkaliannya memukul">sama dengan hasil kali turunan. Tapi persetan! Turunan suatu hasil kali dihitung menggunakan rumus yang sama sekali berbeda. Yaitu:

(F · G) ’ = F ’ · G + F · G ’

Rumusnya sederhana, namun sering dilupakan. Dan tidak hanya anak sekolah, tapi juga pelajar. Hasilnya adalah masalah yang diselesaikan secara tidak benar.

Tugas. Temukan turunan fungsi: F(X) = X 3 karena x; G(X) = (X 2 + 7X− 7) · e X .

Fungsi F(X) adalah produk dari dua fungsi dasar, jadi semuanya sederhana:

F ’(X) = (X 3 karena X)’ = (X 3)' karena X + X 3 (kos X)’ = 3X 2 karena X + X 3 (− dosa X) = X 2 (3ko X − X dosa X)

Fungsi G(X) pengali pertama sedikit lebih rumit, tetapi skema umumnya tidak berubah. Jelasnya, faktor pertama adalah fungsinya G(X) adalah polinomial dan turunannya merupakan turunan dari jumlah tersebut. Kita punya:

G ’(X) = ((X 2 + 7X− 7) · e X)’ = (X 2 + 7X− 7)’ · e X + (X 2 + 7X− 7) · ( e X)’ = (2X+ 7) · e X + (X 2 + 7X− 7) · e X = e X· (2 X + 7 + X 2 + 7X −7) = (X 2 + 9X) · e X = X(X+ 9) · e X .

Menjawab:
F ’(X) = X 2 (3ko X − X dosa X);
G ’(X) = X(X+ 9) · e X .

Perlu diketahui bahwa pada langkah terakhir turunannya difaktorkan. Secara formal, hal ini tidak perlu dilakukan, tetapi sebagian besar turunan tidak dihitung sendiri, melainkan untuk menguji fungsinya. Artinya, selanjutnya turunannya akan disamakan dengan nol, ditentukan tanda-tandanya, dan seterusnya. Untuk kasus seperti ini, lebih baik ekspresi difaktorkan.

Jika ada dua fungsi F(X) Dan G(X), Dan G(X) ≠ 0 pada himpunan yang kita minati, kita dapat mendefinisikan fungsi baru H(X) = F(X)/G(X). Untuk fungsi seperti itu, Anda juga dapat mencari turunannya:

Tidak lemah, ya? Minusnya dari mana? Mengapa G 2? Dan seperti ini! Ini adalah salah satu formula yang paling rumit - Anda tidak dapat mengetahuinya tanpa botol. Oleh karena itu, lebih baik mempelajarinya dengan contoh-contoh spesifik.

Tugas. Temukan turunan fungsi:

Pembilang dan penyebut setiap pecahan mengandung fungsi dasar, jadi yang kita perlukan hanyalah rumus turunan dari hasil bagi:

Menurut tradisi, mari kita memfaktorkan pembilangnya - ini akan sangat menyederhanakan jawabannya:

Fungsi kompleks belum tentu merupakan rumus yang panjangnya setengah kilometer. Misalnya saja mengambil fungsinya saja F(X) = dosa X dan ganti variabelnya X, katakanlah, aktif X 2 + ln X. Ini akan berhasil F(X) = dosa ( X 2 + ln X) - ini adalah fungsi yang kompleks. Ia juga memiliki turunannya, tetapi tidak mungkin menemukannya menggunakan aturan yang dibahas di atas.

Apa yang harus saya lakukan? Dalam kasus seperti itu, mengganti variabel dan rumus dengan turunan fungsi kompleks akan membantu:

F ’(X) = F ’(T) · T', Jika X digantikan oleh T(X).

Biasanya, situasi pemahaman rumus ini bahkan lebih menyedihkan dibandingkan dengan turunan hasil bagi. Oleh karena itu, ada baiknya juga menjelaskannya dengan menggunakan contoh spesifik, dengan penjelasan rinci setiap langkahnya.

Tugas. Temukan turunan fungsi: F(X) = e 2X + 3 ; G(X) = dosa ( X 2 + ln X)

Perhatikan bahwa jika dalam fungsinya F(X) alih-alih ekspresi 2 X+3 akan mudah X, maka kita mendapatkan fungsi dasar F(X) = e X. Oleh karena itu, kami melakukan penggantian: misalkan 2 X + 3 = T, F(X) = F(T) = e T. Kita mencari turunan fungsi kompleks menggunakan rumus:

F ’(X) = F ’(T) · T ’ = (e T)’ · T ’ = e T · T ’

Dan sekarang - perhatian! Kami melakukan penggantian terbalik: T = 2X+ 3. Kita mendapatkan:

F ’(X) = e T · T ’ = e 2X+ 3 (2 X + 3)’ = e 2X+ 3 2 = 2 e 2X + 3

Sekarang mari kita lihat fungsinya G(X). Jelas itu perlu diganti X 2 + ln X = T. Kita punya:

G ’(X) = G ’(T) · T’ = (dosa T)’ · T' = karena T · T ’

Penggantian terbalik: T = X 2 + ln X. Kemudian:

G ’(X) = karena ( X 2 + ln X) · ( X 2 + ln X)’ = cos ( X 2 + ln X) · (2 X + 1/X).

Itu saja! Seperti dapat dilihat dari ekspresi terakhir, seluruh masalah direduksi menjadi menghitung jumlah turunan.

Menjawab:
F ’(X) = 2 · e 2X + 3 ;
G ’(X) = (2X + 1/X) karena ( X 2 + ln X).

Seringkali dalam pelajaran saya, alih-alih menggunakan istilah “turunan”, saya menggunakan kata “prima”. Misalnya, pukulan dari penjumlahan sama dengan jumlah pukulan. Apakah itu lebih jelas? Itu bagus.

Jadi, penghitungan turunannya dilakukan untuk menghilangkan goresan yang sama sesuai dengan aturan yang dibahas di atas. Sebagai contoh terakhir, mari kita kembali ke pangkat turunan dengan eksponen rasional:

(X N)’ = N · X N − 1

Hanya sedikit orang yang mengetahui peran itu N mungkin merupakan bilangan pecahan. Misalnya, akarnya adalah X 0,5. Bagaimana jika ada sesuatu yang mewah di bawah akarnya? Sekali lagi, hasilnya akan menjadi fungsi yang kompleks - mereka suka memberikan konstruksi seperti itu dalam ujian dan ujian.

Tugas. Temukan turunan dari fungsi tersebut:

Pertama, mari kita tulis ulang akar sebagai pangkat dengan eksponen rasional:

F(X) = (X 2 + 8X − 7) 0,5 .

Sekarang kita buat penggantinya: biarkan X 2 + 8X − 7 = T. Kami menemukan turunannya menggunakan rumus:

F ’(X) = F ’(T) · T ’ = (T 0,5)' · T' = 0,5 · T−0,5 · T ’.

Mari lakukan penggantian terbalik: T = X 2 + 8X− 7. Kita mempunyai:

F ’(X) = 0,5 · ( X 2 + 8X− 7) −0,5 · ( X 2 + 8X− 7)' = 0,5 · (2 X+ 8) ( X 2 + 8X − 7) −0,5 .

Terakhir, kembali ke akar:

Menjaga privasi Anda penting bagi kami. Karena alasan ini, kami telah mengembangkan Kebijakan Privasi yang menjelaskan cara kami menggunakan dan menyimpan informasi Anda. Harap tinjau praktik privasi kami dan beri tahu kami jika Anda memiliki pertanyaan.

Pengumpulan dan penggunaan informasi pribadi

Informasi pribadi mengacu pada data yang dapat digunakan untuk mengidentifikasi atau menghubungi orang tertentu.

Anda mungkin diminta untuk memberikan informasi pribadi Anda kapan saja saat Anda menghubungi kami.

Di bawah ini adalah beberapa contoh jenis informasi pribadi yang kami kumpulkan dan cara kami menggunakan informasi tersebut.

Informasi pribadi apa yang kami kumpulkan:

Saat Anda mengajukan permohonan di situs, kami dapat mengumpulkan berbagai informasi, termasuk nama, nomor telepon, alamat email, dll.

Cara kami menggunakan informasi pribadi Anda:

Informasi pribadi yang kami kumpulkan memungkinkan kami menghubungi Anda dengan penawaran unik, promosi, dan acara lainnya serta acara mendatang.
Dari waktu ke waktu, kami dapat menggunakan informasi pribadi Anda untuk mengirimkan pemberitahuan dan komunikasi penting.
Kami juga dapat menggunakan informasi pribadi untuk keperluan internal, seperti melakukan audit, analisis data, dan berbagai penelitian guna meningkatkan layanan yang kami berikan dan memberi Anda rekomendasi mengenai layanan kami.
Jika Anda berpartisipasi dalam undian berhadiah, kontes, atau promosi serupa, kami dapat menggunakan informasi yang Anda berikan untuk mengelola program tersebut.

Keterbukaan informasi kepada pihak ketiga

Kami tidak mengungkapkan informasi yang diterima dari Anda kepada pihak ketiga.

Pengecualian:

Jika diperlukan - sesuai dengan hukum, prosedur peradilan, dalam proses hukum, dan/atau berdasarkan permintaan publik atau permintaan dari badan pemerintah di Federasi Rusia - untuk mengungkapkan informasi pribadi Anda. Kami juga dapat mengungkapkan informasi tentang Anda jika kami menganggap bahwa pengungkapan tersebut diperlukan atau sesuai untuk keamanan, penegakan hukum, atau tujuan kepentingan publik lainnya.
Jika terjadi reorganisasi, merger, atau penjualan, kami dapat mentransfer informasi pribadi yang kami kumpulkan kepada pihak ketiga penerus yang berlaku.

Perlindungan informasi pribadi

Kami melakukan tindakan pencegahan - termasuk administratif, teknis, dan fisik - untuk melindungi informasi pribadi Anda dari kehilangan, pencurian, dan penyalahgunaan, serta akses, pengungkapan, perubahan, dan penghancuran tanpa izin.

Menghormati privasi Anda di tingkat perusahaan

Untuk memastikan informasi pribadi Anda aman, kami mengomunikasikan standar privasi dan keamanan kepada karyawan kami dan menegakkan praktik privasi secara ketat.

Memecahkan masalah fisika atau contoh dalam matematika sama sekali tidak mungkin dilakukan tanpa mengetahui turunan dan metode penghitungannya. Turunan adalah salah satu konsep terpenting dalam analisis matematika. Kami memutuskan untuk mendedikasikan artikel hari ini untuk topik mendasar ini. Apa itu turunan, apa arti fisis dan geometrinya, bagaimana cara menghitung turunan suatu fungsi? Semua pertanyaan ini bisa digabungkan menjadi satu: bagaimana memahami turunan?

Arti geometri dan fisis turunan

Biarlah ada fungsinya f(x) , ditentukan dalam interval tertentu (a, b) . Poin x dan x0 termasuk dalam interval ini. Ketika x berubah, fungsi itu sendiri berubah. Mengubah argumen berarti perbedaan maknanya x-x0 . Perbedaan ini ditulis sebagai delta x dan disebut kenaikan argumen. Perubahan atau kenaikan suatu fungsi adalah selisih antara nilai suatu fungsi di dua titik. Definisi turunan:

Turunan suatu fungsi di suatu titik adalah limit rasio kenaikan fungsi pada suatu titik tertentu dengan kenaikan argumen ketika argumen tersebut cenderung nol.

Kalau tidak, dapat ditulis seperti ini:

Apa gunanya menemukan batasan seperti itu? Dan inilah isinya:

turunan suatu fungsi di suatu titik sama dengan garis singgung sudut antara sumbu OX dan garis singgung grafik fungsi di suatu titik tertentu.

Arti fisis dari turunan: turunan lintasan terhadap waktu sama dengan kecepatan gerak lurus.

Memang sejak masa sekolah semua orang tahu bahwa kecepatan adalah jalur tertentu x=f(t) dan waktu T . Kecepatan rata-rata dalam jangka waktu tertentu:

Untuk mengetahui kecepatan gerak pada suatu waktu t0 Anda perlu menghitung batasnya:

Aturan satu: tetapkan konstanta

Konstanta tersebut dapat dikeluarkan dari tanda turunannya. Apalagi hal ini harus dilakukan. Saat memecahkan contoh dalam matematika, anggaplah sebagai aturan - Jika Anda dapat menyederhanakan suatu ekspresi, pastikan untuk menyederhanakannya .

Contoh. Mari kita hitung turunannya:

Aturan kedua: turunan dari jumlah fungsi

Turunan dari jumlah dua fungsi sama dengan jumlah turunan fungsi tersebut. Hal yang sama juga berlaku untuk turunan selisih fungsi.

Kami tidak akan memberikan bukti teorema ini, melainkan mempertimbangkan contoh praktis.

Temukan turunan dari fungsi tersebut:

Aturan ketiga: turunan dari produk fungsi

Turunan hasil kali dua fungsi terdiferensiasi dihitung dengan rumus:

Contoh: mencari turunan suatu fungsi:

Larutan:

Penting untuk membicarakan penghitungan turunan fungsi kompleks di sini. Turunan suatu fungsi kompleks sama dengan hasil kali turunan fungsi tersebut terhadap argumen perantara dan turunan argumen perantara terhadap variabel bebas.

Dalam contoh di atas kita menemukan ungkapan:

Dalam hal ini, argumen perantaranya adalah 8x pangkat lima. Untuk menghitung turunan dari ekspresi seperti itu, pertama-tama kita menghitung turunan fungsi eksternal terhadap argumen perantara, dan kemudian mengalikannya dengan turunan dari argumen perantara itu sendiri terhadap variabel bebas.

Aturan empat: turunan dari hasil bagi dua fungsi

Rumus untuk menentukan turunan hasil bagi dua fungsi:

Kami mencoba membicarakan turunan untuk boneka dari awal. Topik ini tidak sesederhana kelihatannya, jadi berhati-hatilah: sering kali terdapat kesalahan dalam contoh, jadi berhati-hatilah saat menghitung turunan.

Jika ada pertanyaan tentang ini dan topik lainnya, Anda dapat menghubungi layanan siswa. Dalam waktu singkat, kami akan membantu Anda menyelesaikan tes yang paling sulit dan memahami tugas-tugasnya, meskipun Anda belum pernah melakukan perhitungan turunan sebelumnya.

Biarkan fungsi u terdefinisi di lingkungan tertentu suatu titik dan mempunyai turunan di titik tersebut. Maka hasil perkaliannya mempunyai turunan pada titik, yang ditentukan dengan rumus:
(1) .

Bukti

Mari kita perkenalkan notasi berikut:
;
.
Di sini dan adalah fungsi dari variabel dan . Namun untuk kemudahan notasi, kami akan menghilangkan sebutan argumen mereka.

Selanjutnya kita memperhatikan hal itu
;
.
Dengan syarat, fungsi dan mempunyai turunan pada titik yang limitnya sebagai berikut:
;
.
Dari adanya turunan maka fungsi dan kontinu di suatu titik. Itu sebabnya
;
.

Perhatikan fungsi y dari variabel x, yang merupakan hasil kali fungsi dan:
.
Mari kita perhatikan kenaikan fungsi ini pada titik:

.
Sekarang kita cari turunannya:

.

Jadi,
.
Aturan itu sudah terbukti.

Selain variabel, Anda dapat menggunakan variabel lain. Mari kita nyatakan sebagai x. Kemudian jika terdapat turunan dan , maka turunan hasil kali dua fungsi ditentukan dengan rumus:
.
Atau dalam versi yang lebih pendek
(1) .