namai › Salonas › Grafinis lygčių sistemos sprendimo būdas. Lygčių, nelygybių, sistemų sprendimas naudojant funkcijų grafikus

Grafinis lygčių sistemos sprendimo būdas. Lygčių, nelygybių, sistemų sprendimas naudojant funkcijų grafikus

Pristatymas ir pamoka tema: „Kvadratinių lygčių grafinis sprendimas“

Papildomos medžiagos
Mieli vartotojai, nepamirškite palikti savo komentarų, atsiliepimų, pageidavimų! Visa medžiaga buvo patikrinta antivirusine programa.

Mokomosios priemonės ir simuliatoriai Integral internetinėje parduotuvėje 8 klasei
Galios ir šaknys Funkcijos ir grafikai

Kvadratinių funkcijų grafikai

Paskutinėje pamokoje išmokome pavaizduoti bet kurią kvadratinę funkciją. Tokių funkcijų pagalba galime išspręsti vadinamąsias kvadratines lygtis, kurios paprastai rašomos taip: $ax^2+bx+c=0$,
$a, b, c$ yra bet kokie skaičiai, bet $a≠0$.
Vaikinai, palyginkite aukščiau parašytą lygtį ir šią: $y=ax^2+bx+c$.
Jie beveik identiški. Skirtumas tas, kad vietoj $y$ parašėme $0$, t.y. $y=0$. Kaip tada išspręsti kvadratines lygtis? Pirmas dalykas, kuris ateina į galvą, yra sukurti parabolės $ax^2+bx+c$ grafiką ir rasti šio grafiko susikirtimo taškus su tiese $y=0$. Yra ir kitų sprendimų. Pažvelkime į juos naudodami konkretų pavyzdį.

Kvadratinių funkcijų sprendimo metodai

Pavyzdys.
Išspręskite lygtį: $x^2+2x-8=0$.

Sprendimas.
1 būdas. Nubraižykime funkciją $y=x^2+2x-8$ ir raskime susikirtimo taškus su tiese $y=0$. Aukščiausio laipsnio koeficientas yra teigiamas, o tai reiškia, kad parabolės šakos nukreiptos į viršų. Raskime viršūnės koordinates:
$x_(c)=-\frac(b)(2a)=\frac(-2)(2)=-1$.
$y_(в)=(-1)^2+2*(-1)-8=1-2-8=-9$.

Paimkime tašką su koordinatėmis $(-1;-9)$ kaip naujos koordinačių sistemos pradžią ir jame sukonstruokime parabolės $y=x^2$ grafiką.

Matome du susikirtimo taškus. Grafike jie pažymėti juodais taškais. Mes sprendžiame x lygtį, todėl turime pasirinkti šių taškų abscises. Jie yra lygūs -4 USD ir 2 USD.
Taigi kvadratinės lygties $x^2+2x-8=0$ sprendimas yra dvi šaknys: $ x_1=-4$ ir $x_2=2$.

2 būdas. Pradinę lygtį paverskite tokia forma: $x^2=8-2x$.
Taigi šią lygtį galime išspręsti įprastu grafiniu būdu, radę dviejų grafikų $y=x^2$ ir $y=8-2x$ susikirtimo taškų abscises.
Gavome du susikirtimo taškus, kurių abscisės sutampa su pirmuoju metodu gautais sprendiniais, būtent: $x_1=-4$ ir $x_2=2$.

3 būdas.
Transformuokime pradinę lygtį į šią formą: $x^2-8=-2x$.
Sukurkime du grafikus $y=x^2-8$ ir $y=-2x$ ir raskime jų susikirtimo taškus.
$y=x^2-8$ grafikas yra parabolė, paslinkta 8 vienetais žemyn.
Gavome du susikirtimo taškus, o šių taškų abscisės yra tokios pačios kaip ir ankstesniuose dviejuose metoduose, būtent: $x_1=-4$ ir $x_2=2$.

4 būdas.
Pradinėje lygtyje pasirinkite tobulą kvadratą: $x^2+2x-8=x^2+2x+1-9=(x+1)^2-9$.
Sukurkime du funkcijų $y=(x+1)^2$ ir $y=9$ grafikus. Pirmosios funkcijos grafikas yra parabolė, paslinkta vienu vienetu į kairę. Antrosios funkcijos grafikas yra tiesi linija, lygiagreti abscisių ašiai ir einanti per ordinates, lygias $ 9 $.
Dar kartą gavome du grafikų susikirtimo taškus, o šių taškų abscisės sutampa su gautomis ankstesniais metodais $x_1=-4$ ir $x_2=2$.

5 būdas.
Padalinkite pradinę lygtį iš x: $\frac(x^2)(x)+\frac(2x)(x)-\frac(8)(x)=\frac(0)(x)$.
$x+2-\frac(8)(x)=0$.
$x+2=\frac(8)(x)$.
Išspręskime šią lygtį grafiškai, sukonstruokime du grafikus $y=x+2$ ir $y=\frac(8)(x)$.
Vėlgi gavome du susikirtimo taškus, o šių taškų abscisės sutampa su gautomis aukščiau $x_1=-4$ ir $x_2=2$.

Kvadratinių funkcijų grafinio sprendimo algoritmas

Vaikinai, mes pažvelgėme į penkis būdus, kaip grafiškai išspręsti kvadratines lygtis. Kiekviename iš šių metodų lygčių šaknys buvo tos pačios, o tai reiškia, kad sprendimas buvo gautas teisingai.

Pagrindiniai kvadratinių lygčių $ax^2+bx+c=0$, $a, b, c$ grafinio sprendimo metodai – bet kokie skaičiai, bet $a≠0$:
1. Sukurkite funkcijos $y=ax^2+bx+c$ grafiką, suraskite susikirtimo su abscisių ašimi taškus, kurie bus lygties sprendinys.
2. Sukurkite du grafikus $y=ax^2$ ir $y=-bx-c$, raskite šių grafikų susikirtimo taškų abscises.
3. Sukurkite du grafikus $y=ax^2+c$ ir $y=-bx$, raskite šių grafikų susikirtimo taškų abscises. Pirmosios funkcijos grafikas bus parabolė, paslinkta žemyn arba aukštyn, priklausomai nuo skaičiaus c ženklo. Antrasis grafikas yra tiesi linija, einanti per pradžią.
4. Pasirinkite pilną kvadratą, ty pradinę lygtį perkelkite į formą: $a(x+l)^2+m=0$.
Sukurkite du funkcijos $y=a(x+l)^2$ ir $y=-m$ grafikus, raskite jų susikirtimo taškus. Pirmosios funkcijos grafikas bus parabolė, paslinkta arba į kairę, arba į dešinę, priklausomai nuo skaičiaus $l$ ženklo. Antrosios funkcijos grafikas bus tiesi linija, lygiagreti abscisių ašiai ir kertanti ordinačių ašį taške, lygiame $-m$.
5. Padalinkite pradinę lygtį iš x: $ax+b+\frac(c)(x)=0$.
Konvertuoti į formą: $\frac(c)(x)=-ax-b$.
Dar kartą sukonstruokite du grafikus ir suraskite jų susikirtimo taškus. Pirmasis grafikas yra hiperbolė, antrasis grafikas yra tiesė. Deja, grafinis kvadratinių lygčių sprendimo metodas ne visada yra geras sprendimas. Įvairių grafikų susikirtimo taškai ne visada yra sveikieji skaičiai arba gali turėti labai didelius skaičius abscisėje (ordinatėje), kurių negalima atvaizduoti įprastame popieriaus lape.

Aiškiau parodykime visus šiuos metodus pavyzdžiu.

Pavyzdys.
Išspręskite lygtį: $x^2+3x-12=0$,

Sprendimas.
Nubraižykime parabolę ir raskime viršūnių koordinates: $x_(c)=-\frac(b)(2a)=\frac(-3)(2)=-1,5$.
$y_(в)=(-1.5)^2+2*(-1.5)-8=2.25-3-8=-8.75$.
Statant tokią parabolę iš karto kyla problemų, pavyzdžiui, teisingai pažymint parabolės viršūnę. Norint tiksliai pažymėti viršūnės ordinates, reikia pasirinkti vieną langelį, lygų 0,25 mastelio vienetų. Esant tokiai skalei, reikia nuleisti 35 vienetus, o tai nepatogu. Bet kokiu atveju sudarykime savo tvarkaraštį.
Antroji problema, su kuria susiduriame, yra ta, kad mūsų funkcijos grafikas kerta x ašį taške, kurio koordinatės negali būti tiksliai nustatytos. Galimas apytikslis sprendimas, tačiau matematika yra tikslus mokslas.
Taigi grafinis metodas nėra pats patogiausias. Todėl kvadratinėms lygtims spręsti reikia universalesnio metodo, kurį nagrinėsime tolesnėse pamokose.

Problemos, kurias reikia spręsti savarankiškai

1. Išspręskite lygtį grafiškai (visais penkiais būdais): $x^2+4x-12=0$.
2. Išspręskite lygtį naudodami bet kurį grafinį metodą: $-x^2+6x+16=0$.

Kartais lygtys išsprendžiamos grafiškai. Norėdami tai padaryti, turite paversti lygtį taip (jei ji dar nepateikta transformuota forma), kad lygybės ženklo kairėje ir dešinėje būtų išraiškos, kurioms galite lengvai nubraižyti funkcijų grafikus. Pavyzdžiui, atsižvelgiant į šią lygtį:
x² – 2x – 1 = 0

Jei dar nestudijavome kvadratinių lygčių sprendimo algebriniu būdu, tai galime pabandyti padaryti faktoringo arba grafiškai. Norėdami išspręsti tokią lygtį grafiškai, pateikiame ją tokia forma:
x² = 2x + 1

Iš šio lygties vaizdavimo išplaukia, kad reikia rasti tokias x reikšmes, kurių kairioji pusė bus lygi dešiniajai.

Kaip žinote, funkcijos y = x² grafikas yra parabolė, o y = 2x + 1 yra tiesė. Koordinačių plokštumos, esančios ir pirmame, ir antrame grafike, taškų x koordinatė (tai yra grafikų susikirtimo taškai) yra būtent tos x reikšmės, kurioms esant kairioji lygties pusė bus lygi. į dešinę. Kitaip tariant, taškų, kuriuose susikerta grafikai, x koordinatės yra lygties šaknys.

Grafikai gali susikirsti keliuose taškuose, viename taške arba iš viso nesikirsti. Iš to išplaukia, kad lygtis gali turėti kelias šaknis, vieną šaknį arba išvis jokios.

Pažvelkime į paprastesnį pavyzdį:
x² – 2x = 0 arba x² = 2x

Nubraižykime funkcijų y = x² ir y = 2x grafikus:

Kaip matyti iš brėžinio, parabolė ir tiesė susikerta taškuose (0; 0) ir (2; 4). Šių taškų x koordinatės yra atitinkamai lygios 0 ir 2. Tai reiškia, kad lygtis x² – 2x = 0 turi dvi šaknis – x 1 = 0, x 2 = 2.

Patikrinkime tai išspręsdami lygtį iš skliaustų išimdami bendrą koeficientą:
x² – 2x = 0
x(x – 2) = 0

Nulis dešinėje gali atsirasti, kai x yra 0 arba 2.

Priežastis, kodėl mes grafiškai neišsprendėme lygties x² – 2x – 1 = 0, yra ta, kad daugumoje lygčių šaknys yra tikrieji (trupmeniniai) skaičiai ir sunku tiksliai nustatyti x reikšmę grafike. Todėl daugumai lygčių grafinis sprendimas nėra pats geriausias. Tačiau šio metodo žinios leidžia giliau suprasti lygčių ir funkcijų ryšį.

>>Matematika: grafinis lygčių sprendimas

Grafinis lygčių sprendimas

Apibendrinkime savo žinias apie grafikus funkcijas. Sužinojome, kaip sudaryti šių funkcijų grafikus:

y =b (tiesė, lygiagreti x ašiai);

y = kx (tiesė, einanti per pradžios tašką);

y - kx + m (tiesi linija);

y = x 2 (parabolė).

Žinios apie šiuos grafikus leis mums, jei reikia, pakeisti analitinį modelis geometrinis (grafinis), pavyzdžiui, vietoj modelio y = x 2 (kuris reiškia lygybę su dviem kintamaisiais x ir y), apsvarstykite parabolę koordinačių plokštumoje. Ypač kartais tai naudinga sprendžiant lygtis. Aptarkime, kaip tai padaryti, naudodamiesi keliais pavyzdžiais.

A. V. Pogorelovas, Geometrija 7-11 klasei, Vadovėlis ugdymo įstaigoms

Pamokos turinys pamokų užrašai remiančios kadrinės pamokos pristatymo pagreitinimo metodus interaktyvios technologijos Praktika užduotys ir pratimai savikontrolės seminarai, mokymai, atvejai, užduotys namų darbai diskusija klausimai retoriniai mokinių klausimai Iliustracijos garso, vaizdo klipai ir multimedija nuotraukos, paveikslėliai, grafika, lentelės, diagramos, humoras, anekdotai, anekdotai, komiksai, palyginimai, posakiai, kryžiažodžiai, citatos Priedai tezės straipsniai gudrybės smalsiems lopšiai vadovėliai pagrindinis ir papildomas terminų žodynas kita Vadovėlių ir pamokų tobulinimasklaidų taisymas vadovėlyje vadovėlio fragmento atnaujinimas, naujovių elementai pamokoje, pasenusių žinių keitimas naujomis Tik mokytojams tobulos pamokos kalendorinis metų planas, metodinės rekomendacijos, diskusijų programos Integruotos pamokos

Tegu būna pilna kvadratinė lygtis: A*x2+B*x+C=0, kur A, B ir C yra bet kokie skaičiai, o A nelygu nuliui. Tai yra bendras kvadratinės lygties atvejis. Taip pat yra sumažinta forma, kurioje A=1. Norėdami grafiškai išspręsti bet kurią lygtį, turite perkelti didžiausio laipsnio terminą į kitą dalį ir abi dalis prilyginti tam tikram kintamajam.

Po to A*x2 liks kairėje lygties pusėje, o B*x-C – dešinėje (galime manyti, kad B yra neigiamas skaičius, tai nekeičia esmės). Gauta lygtis yra A*x2=B*x-C=y. Aiškumo dėlei šiuo atveju abi dalys prilyginamos kintamajam y.

Grafikų braižymas ir rezultatų apdorojimas

Dabar galime parašyti dvi lygtis: y=A*x2 ir y=B*x-C. Tada turite sudaryti kiekvienos iš šių funkcijų grafiką. Grafas y=A*x2 yra parabolė su viršūne ištakoje, kurios šakos nukreiptos aukštyn arba žemyn, priklausomai nuo skaičiaus A ženklo. Jei jis neigiamas, šakos nukreiptos žemyn, jei teigiama, šakos nukreiptos į viršų.

Grafikas y=B*x-C yra taisyklinga tiesė. Jei C = 0, linija eina per pradinę vietą. Bendruoju atveju nuo ordinačių ašies nupjauna atkarpą, lygią C. Šios tiesės pasvirimo kampas abscisių ašies atžvilgiu nustatomas koeficientu B. Jis lygus šio kampo polinkio liestinei.

Nubraižius grafikus bus matyti, kad jie susikerta dviejuose taškuose. Šių taškų koordinatės išilgai x ašies nustato kvadratinės lygties šaknis. Norėdami tiksliai juos nustatyti, turite aiškiai sudaryti grafikus ir pasirinkti tinkamą skalę.

Kitas grafinis sprendimas

Yra dar vienas būdas kvadratinę lygtį išspręsti grafiškai. Nebūtina perkelti B*x+C į kitą lygties pusę. Galite iš karto nubraižyti funkciją y=A*x2+B*x+C. Toks grafikas yra parabolė, kurios viršūnė yra savavališkame taške. Šis metodas yra sudėtingesnis nei ankstesnis, tačiau galite sukurti tik vieną grafiką, kad...

Pirmiausia reikia nustatyti parabolės viršūnę su koordinatėmis x0 ir y0. Jos abscisė apskaičiuojama pagal formulę x0=-B/2*a. Norėdami nustatyti ordinates, gautą abscisių reikšmę turite pakeisti pradine funkcija. Matematiškai šis teiginys parašytas taip: y0=y(x0).

Tada reikia rasti du taškus, simetriškus parabolės ašiai. Juose pradinė funkcija turi išnykti. Po to galite sukurti parabolę. Jo susikirtimo su X ašimi taškai duos dvi kvadratinės lygties šaknis.