मुख्यपृष्ठ › नानाविध › लॉगरिदम व्याख्या काय आहेत. लॉगरिदम - गुणधर्म, सूत्रे, आलेख

लॉगरिदम व्याख्या काय आहेत. लॉगरिदम - गुणधर्म, सूत्रे, आलेख

मुख्य गुणधर्म.

logax + logay = loga(x y);
logax − logay = loga (x: y).

समान कारणे

Log6 4 + log6 9.

आता कार्य थोडे क्लिष्ट करूया.

लॉगरिदम सोडवण्याची उदाहरणे

लॉगरिदमचा आधार किंवा युक्तिवाद ही शक्ती असेल तर? नंतर खालील नियमांनुसार या पदवीचा घातांक लॉगरिदमच्या चिन्हातून काढला जाऊ शकतो:

अर्थात, लॉगरिदमचे ODZ पाहिल्यास हे सर्व नियम अर्थपूर्ण आहेत: a > 0, a ≠ 1, x >

कार्य. अभिव्यक्तीचा अर्थ शोधा:

नवीन पायावर संक्रमण

लॉगॅरिथम लॉगॅक्स द्या. मग c > 0 आणि c ≠ 1 अशा कोणत्याही संख्येसाठी, समानता सत्य आहे:

कार्य. अभिव्यक्तीचा अर्थ शोधा:

हे देखील पहा:

लॉगरिदमचे मूलभूत गुणधर्म

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

घातांक 2.718281828 आहे…. घातांक लक्षात ठेवण्यासाठी, आपण नियमाचा अभ्यास करू शकता: घातांक 2.7 च्या समान आहे आणि लिओ निकोलाविच टॉल्स्टॉयच्या जन्माच्या वर्षाच्या दुप्पट आहे.

लॉगरिदमचे मूलभूत गुणधर्म

हा नियम जाणून घेतल्यास, तुम्हाला घातांकाचे अचूक मूल्य आणि लिओ टॉल्स्टॉयची जन्मतारीख दोन्ही कळेल.

लॉगरिदमची उदाहरणे

लॉगरिदम अभिव्यक्ती

उदाहरण १.
अ). x=10ac^2 (a>0,c>0).

गुणधर्म 3.5 वापरून आम्ही गणना करतो

4. कुठे .

उदाहरण 2. जर x शोधा

उदाहरण 3. लॉगरिदमचे मूल्य देऊ

जर लॉग(x) ची गणना करा

लॉगरिदमचे मूलभूत गुणधर्म

लॉगरिदम, कोणत्याही संख्येप्रमाणे, प्रत्येक प्रकारे जोडले, वजा केले आणि बदलले जाऊ शकतात. परंतु लॉगरिदम अगदी सामान्य संख्या नसल्यामुळे, येथे नियम आहेत, ज्यांना म्हणतात मुख्य गुणधर्म.

आपल्याला हे नियम निश्चितपणे माहित असणे आवश्यक आहे - त्यांच्याशिवाय, एकही गंभीर लॉगरिदमिक समस्या सोडविली जाऊ शकत नाही. याव्यतिरिक्त, त्यापैकी खूप कमी आहेत - आपण एका दिवसात सर्वकाही शिकू शकता. चला तर मग सुरुवात करूया.

लॉगरिदम जोडणे आणि वजा करणे

समान आधारांसह दोन लॉगरिदम विचारात घ्या: लॉगॅक्स आणि लॉगे. मग ते जोडले आणि वजा केले जाऊ शकतात आणि:

logax + logay = loga(x y);
logax − logay = loga (x: y).

तर, लॉगरिदमची बेरीज उत्पादनाच्या लॉगरिथमच्या समान आहे आणि फरक भागाच्या लॉगरिथमच्या समान आहे. कृपया लक्षात ठेवा: येथे मुख्य मुद्दा आहे समान कारणे. कारणे वेगळी असतील तर हे नियम चालत नाहीत!

ही सूत्रे तुम्हाला लॉगरिदमिक अभिव्यक्ती मोजण्यात मदत करतील, जरी त्याचे वैयक्तिक भाग विचारात घेतले जात नसले तरीही (“लोगॅरिथम म्हणजे काय” हा धडा पहा). उदाहरणे पहा आणि पहा:

लॉगरिदमचे आधार समान असल्याने, आम्ही बेरीज सूत्र वापरतो:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

कार्य. अभिव्यक्तीचे मूल्य शोधा: log2 48 − log2 3.

बेस समान आहेत, आम्ही फरक सूत्र वापरतो:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

कार्य. अभिव्यक्तीचे मूल्य शोधा: log3 135 − log3 5.

पुन्हा बेस समान आहेत, म्हणून आमच्याकडे आहे:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

तुम्ही बघू शकता, मूळ अभिव्यक्ती "खराब" लॉगरिदमपासून बनलेली आहेत, ज्यांची स्वतंत्रपणे गणना केली जात नाही. परंतु परिवर्तनानंतर, पूर्णपणे सामान्य संख्या प्राप्त होतात. अनेक चाचण्या या वस्तुस्थितीवर आधारित आहेत. होय, युनिफाइड स्टेट एक्झामिनेशनवर सर्व गांभीर्याने (कधीकधी अक्षरशः कोणतेही बदल न करता) चाचणी सारखी अभिव्यक्ती दिली जाते.

लॉगरिदममधून घातांक काढत आहे

हे पाहणे सोपे आहे की शेवटचा नियम पहिल्या दोनचे अनुसरण करतो. परंतु तरीही ते लक्षात ठेवणे चांगले आहे - काही प्रकरणांमध्ये ते गणनाचे प्रमाण लक्षणीयरीत्या कमी करेल.

अर्थात, लॉगॅरिथमचे ODZ पाहिल्यास हे सर्व नियम अर्थपूर्ण ठरतात: a > 0, a ≠ 1, x > 0. आणि आणखी एक गोष्ट: सर्व सूत्रे केवळ डावीकडून उजवीकडेच नव्हे तर त्याउलट लागू करायला शिका. , म्हणजे लॉगरिथम चिन्हाच्या आधी तुम्ही लॉगरिदममध्येच संख्या प्रविष्ट करू शकता. हे बहुतेक वेळा आवश्यक असते.

कार्य. अभिव्यक्तीचे मूल्य शोधा: log7 496.

प्रथम सूत्र वापरून युक्तिवादातील पदवीपासून मुक्त होऊ या:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

कार्य. अभिव्यक्तीचा अर्थ शोधा:

लक्षात घ्या की भाजकामध्ये लॉगरिदम आहे, ज्याचा आधार आणि युक्तिवाद अचूक शक्ती आहेत: 16 = 24; 49 = 72. आमच्याकडे आहे:

माझ्या मते शेवटच्या उदाहरणासाठी काही स्पष्टीकरण आवश्यक आहे. लॉगरिदम कुठे गेले? अगदी शेवटच्या क्षणापर्यंत आम्ही फक्त भाजकासह काम करतो.

लॉगरिदम सूत्रे. लॉगरिदम उदाहरणे उपाय.

आम्ही तेथे उभे असलेल्या लॉगरिदमचा आधार आणि युक्तिवाद शक्तीच्या रूपात सादर केला आणि घातांक काढले - आम्हाला "तीन-मजली" अपूर्णांक मिळाला.

आता मुख्य अपूर्णांक पाहू. अंश आणि भाजकांमध्ये समान संख्या असते: लॉग2 7. लॉग2 7 ≠ 0 असल्याने, आपण अपूर्णांक कमी करू शकतो - 2/4 भाजकात राहील. अंकगणिताच्या नियमांनुसार, चार अंकात हस्तांतरित केले जाऊ शकतात, जे केले होते. परिणाम उत्तर होते: 2.

नवीन पायावर संक्रमण

लॉगरिदम जोडण्यासाठी आणि वजा करण्याच्या नियमांबद्दल बोलताना, मी विशेषतः जोर दिला की ते फक्त समान बेससह कार्य करतात. कारणे वेगळी असतील तर? जर ते समान संख्येच्या अचूक शक्ती नसतील तर?

नवीन पायावर संक्रमणाची सूत्रे बचावासाठी येतात. चला त्यांना प्रमेयाच्या रूपात तयार करूया:

विशेषतः, जर आपण c = x सेट केले तर आपल्याला मिळेल:

दुसऱ्या सूत्रावरून असे दिसून येते की लॉगॅरिथमचा आधार आणि युक्तिवाद स्वॅप केला जाऊ शकतो, परंतु या प्रकरणात संपूर्ण अभिव्यक्ती "उलटली" आहे, म्हणजे. लॉगॅरिथम भाजकामध्ये दिसते.

ही सूत्रे क्वचितच सामान्य संख्यात्मक अभिव्यक्तींमध्ये आढळतात. लॉगरिदमिक समीकरणे आणि असमानता सोडवतानाच ते किती सोयीस्कर आहेत याचे मूल्यमापन करणे शक्य आहे.

तथापि, अशा समस्या आहेत ज्या नवीन पायावर जाण्याशिवाय सोडवल्या जाऊ शकत नाहीत. चला यापैकी काही पाहू:

कार्य. अभिव्यक्तीचे मूल्य शोधा: log5 16 log2 25.

लक्षात घ्या की दोन्ही लॉगरिदमच्या वितर्कांमध्ये अचूक शक्ती आहेत. चला निर्देशक काढूया: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

आता दुसरा लॉगरिथम “उलट” करूया:

घटकांची पुनर्रचना करताना उत्पादन बदलत नसल्यामुळे, आम्ही शांतपणे चार आणि दोन गुणाकार केले आणि नंतर लॉगरिदम हाताळले.

कार्य. अभिव्यक्तीचे मूल्य शोधा: log9 100 lg 3.

पहिल्या लॉगरिदमचा आधार आणि युक्तिवाद अचूक शक्ती आहेत. चला हे लिहू आणि निर्देशकांपासून मुक्त होऊ:

आता नवीन बेसवर जाऊन दशांश लॉगरिथमपासून मुक्त होऊ या:

मूलभूत लॉगरिदमिक ओळख

सोल्युशन प्रक्रियेत अनेकदा दिलेल्या बेसला लॉगरिदम म्हणून संख्या दर्शवणे आवश्यक असते. या प्रकरणात, खालील सूत्रे आम्हाला मदत करतील:

पहिल्या प्रकरणात, n ही संख्या युक्तिवादात घातांक बनते. n ही संख्या पूर्णपणे काहीही असू शकते, कारण ती फक्त लॉगरिथम मूल्य आहे.

दुसरे सूत्र प्रत्यक्षात एक परिभाषित व्याख्या आहे. यालाच म्हणतात: .

किंबहुना, संख्या b ला अशा बळावर वाढवल्यास काय होईल की या घाताची संख्या b ही संख्या a देते? ते बरोबर आहे: परिणाम समान संख्या आहे a. हा परिच्छेद पुन्हा काळजीपूर्वक वाचा - बरेच लोक त्यावर अडकतात.

नवीन बेसवर जाण्यासाठी सूत्रांप्रमाणे, मूलभूत लॉगरिदमिक ओळख हा काही वेळा एकमेव संभाव्य उपाय असतो.

कार्य. अभिव्यक्तीचा अर्थ शोधा:

लक्षात घ्या की log25 64 = log5 8 - लॉगरिदमच्या बेस आणि आर्ग्युमेंटमधून फक्त स्क्वेअर घेतला. समान बेससह शक्तींचा गुणाकार करण्याचे नियम विचारात घेतल्यास, आम्हाला मिळते:

जर कोणाला माहित नसेल तर, युनिफाइड स्टेट परीक्षेचे हे खरे कार्य होते :)

लॉगरिदमिक एकक आणि लॉगरिदमिक शून्य

शेवटी, मी दोन ओळख देईन ज्यांना क्वचितच गुणधर्म म्हटले जाऊ शकतात - त्याऐवजी, ते लॉगरिथमच्या व्याख्येचे परिणाम आहेत. ते सतत समस्यांमध्ये दिसतात आणि आश्चर्याची गोष्ट म्हणजे "प्रगत" विद्यार्थ्यांसाठी देखील समस्या निर्माण करतात.

logaa = 1 आहे. एकदा आणि सर्वांसाठी लक्षात ठेवा: त्या बेसच्या कोणत्याही बेस a चे लॉगरिदम स्वतः एक समान आहे.
loga 1 = 0 आहे. बेस a हा काहीही असू शकतो, पण जर वितर्कात एक असेल तर लॉगरिथम शून्य असेल! कारण a0 = 1 हा व्याख्येचा थेट परिणाम आहे.

एवढेच गुणधर्म. त्यांना प्रत्यक्ष व्यवहारात आणण्याचा सराव नक्की करा! धड्याच्या सुरुवातीला फसवणूक पत्रक डाउनलोड करा, त्याची प्रिंट काढा आणि समस्या सोडवा.

हे देखील पहा:

a ला बेस करण्यासाठी b चा लॉगरिदम ही अभिव्यक्ती दर्शवते. लॉगरिदमची गणना करणे म्हणजे x () पॉवर शोधणे ज्यावर समानता समाधानी आहे

लॉगरिदमचे मूलभूत गुणधर्म

वरील गुणधर्म जाणून घेणे आवश्यक आहे, कारण लॉगरिदमशी संबंधित जवळजवळ सर्व समस्या आणि उदाहरणे त्यांच्या आधारावर सोडविली जातात. उर्वरित विदेशी गुणधर्म या सूत्रांसह गणितीय हाताळणीद्वारे मिळवता येतात

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

लॉगरिदम (3.4) च्या बेरीज आणि फरकासाठी सूत्राची गणना करताना आपण बर्‍याचदा भेटता. उर्वरित काहीसे जटिल आहेत, परंतु अनेक कार्यांमध्ये ते जटिल अभिव्यक्ती सुलभ करण्यासाठी आणि त्यांची मूल्ये मोजण्यासाठी अपरिहार्य आहेत.

लॉगरिदमची सामान्य प्रकरणे

काही सामान्य लॉगरिदम असे आहेत ज्यात बेस अगदी दहा, घातांक किंवा दोन आहे.
बेस टेन ला लॉगरिदम सामान्यतः दशांश लॉगरिथम म्हणतात आणि फक्त lg(x) द्वारे दर्शविला जातो.

रेकॉर्डिंगमध्ये मूलभूत गोष्टी लिहिल्या जात नसल्याचे रेकॉर्डिंगवरून स्पष्ट होते. उदाहरणार्थ

नैसर्गिक लॉगरिथम हा लॉगरिथम आहे ज्याचा आधार घातांक असतो (ln(x) द्वारे दर्शविला जातो).

घातांक 2.718281828 आहे…. घातांक लक्षात ठेवण्यासाठी, आपण नियमाचा अभ्यास करू शकता: घातांक 2.7 च्या समान आहे आणि लिओ निकोलाविच टॉल्स्टॉयच्या जन्माच्या वर्षाच्या दुप्पट आहे. हा नियम जाणून घेतल्यास, तुम्हाला घातांकाचे अचूक मूल्य आणि लिओ टॉल्स्टॉयची जन्मतारीख दोन्ही कळेल.

आणि बेस दोनचे आणखी एक महत्त्वाचे लॉगरिदम द्वारे दर्शविले जाते

फंक्शनच्या लॉगरिदमचे व्युत्पन्न व्हेरिएबलने भागलेल्या एका समान असते

इंटिग्रल किंवा अँटीडेरिव्हेटिव्ह लॉगरिथम संबंधांद्वारे निर्धारित केले जाते

लॉगरिदम आणि लॉगरिदमशी संबंधित समस्यांच्या विस्तृत वर्गाचे निराकरण करण्यासाठी दिलेली सामग्री तुमच्यासाठी पुरेशी आहे. तुम्हाला सामग्री समजून घेण्यात मदत करण्यासाठी, मी शालेय अभ्यासक्रम आणि विद्यापीठांमधून फक्त काही सामान्य उदाहरणे देईन.

लॉगरिदमची उदाहरणे

लॉगरिदम अभिव्यक्ती

उदाहरण १.
अ). x=10ac^2 (a>0,c>0).

गुणधर्म 3.5 वापरून आम्ही गणना करतो

2.
लॉगरिदमच्या फरकाच्या गुणधर्मानुसार आपल्याकडे आहे

3.
गुणधर्म 3.5 वापरून आपण शोधतो

4. कुठे .

एक उशिर जटिल अभिव्यक्ती अनेक नियम वापरून तयार करण्यासाठी सरलीकृत केली जाते

लॉगरिदम मूल्ये शोधत आहे

उदाहरण 2. जर x शोधा

उपाय. गणनासाठी, आम्ही शेवटच्या टर्म 5 आणि 13 गुणधर्मांना लागू करतो

आम्ही ते रेकॉर्डवर ठेवले आणि शोक व्यक्त केला

बेस समान असल्याने, आम्ही अभिव्यक्ती समान करतो

लॉगरिदम. पहिला स्तर.

लॉगरिदमचे मूल्य दिले जाऊ द्या

जर लॉग(x) ची गणना करा

उपाय: चला लॉगरिदम लिहिण्यासाठी व्हेरिएबलचा लॉगरिदम घेऊ.

लॉगरिदम आणि त्यांच्या गुणधर्मांबद्दलच्या आमच्या परिचयाची ही फक्त सुरुवात आहे. गणनेचा सराव करा, तुमची व्यावहारिक कौशल्ये समृद्ध करा - लॉगरिदमिक समीकरणे सोडवण्यासाठी तुम्हाला लवकरच मिळणारे ज्ञान आवश्यक असेल. अशी समीकरणे सोडवण्याच्या मूलभूत पद्धतींचा अभ्यास केल्यावर, आम्ही तुमचे ज्ञान दुसर्‍या तितक्याच महत्त्वाच्या विषयावर वाढवू - लॉगरिदमिक असमानता...

लॉगरिदमचे मूलभूत गुणधर्म

लॉगरिदम जोडणे आणि वजा करणे

logax + logay = loga(x y);
logax − logay = loga (x: y).

कार्य. अभिव्यक्तीचे मूल्य शोधा: log6 4 + log6 9.

लॉगरिदमचे आधार समान असल्याने, आम्ही बेरीज सूत्र वापरतो:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

कार्य. अभिव्यक्तीचे मूल्य शोधा: log2 48 − log2 3.

बेस समान आहेत, आम्ही फरक सूत्र वापरतो:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

कार्य. अभिव्यक्तीचे मूल्य शोधा: log3 135 − log3 5.

पुन्हा बेस समान आहेत, म्हणून आमच्याकडे आहे:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

लॉगरिदममधून घातांक काढत आहे

आता कार्य थोडे क्लिष्ट करूया. लॉगरिदमचा आधार किंवा युक्तिवाद ही शक्ती असेल तर? नंतर खालील नियमांनुसार या पदवीचा घातांक लॉगरिदमच्या चिन्हातून काढला जाऊ शकतो:

लॉगरिदम कसे सोडवायचे

हे बहुतेक वेळा आवश्यक असते.

कार्य. अभिव्यक्तीचे मूल्य शोधा: log7 496.

प्रथम सूत्र वापरून युक्तिवादातील पदवीपासून मुक्त होऊ या:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

कार्य. अभिव्यक्तीचा अर्थ शोधा:

माझ्या मते शेवटच्या उदाहरणासाठी काही स्पष्टीकरण आवश्यक आहे. लॉगरिदम कुठे गेले? अगदी शेवटच्या क्षणापर्यंत आम्ही फक्त भाजकासह काम करतो. आम्ही तेथे उभे असलेल्या लॉगरिदमचा आधार आणि युक्तिवाद शक्तीच्या रूपात सादर केला आणि घातांक काढले - आम्हाला "तीन-मजली" अपूर्णांक मिळाला.

नवीन पायावर संक्रमण

विशेषतः, जर आपण c = x सेट केले तर आपल्याला मिळेल:

कार्य. अभिव्यक्तीचे मूल्य शोधा: log5 16 log2 25.

आता दुसरा लॉगरिथम “उलट” करूया:

कार्य. अभिव्यक्तीचे मूल्य शोधा: log9 100 lg 3.

आता नवीन बेसवर जाऊन दशांश लॉगरिथमपासून मुक्त होऊ या:

मूलभूत लॉगरिदमिक ओळख

दुसरे सूत्र प्रत्यक्षात एक परिभाषित व्याख्या आहे. यालाच म्हणतात: .

कार्य. अभिव्यक्तीचा अर्थ शोधा:

जर कोणाला माहित नसेल तर, युनिफाइड स्टेट परीक्षेचे हे खरे कार्य होते :)

लॉगरिदमिक एकक आणि लॉगरिदमिक शून्य

logaa = 1 आहे. एकदा आणि सर्वांसाठी लक्षात ठेवा: त्या बेसच्या कोणत्याही बेस a चे लॉगरिदम स्वतः एक समान आहे.
loga 1 = 0 आहे. बेस a हा काहीही असू शकतो, पण जर वितर्कात एक असेल तर लॉगरिथम शून्य असेल! कारण a0 = 1 हा व्याख्येचा थेट परिणाम आहे.

लॉगरिदम सकारात्मक संख्याएन ते बेस(b> 0, b 1 ) घातांक म्हणतात x , ज्यासाठी आपण तयार करणे आवश्यक आहे b N मिळवण्यासाठी .

लॉगरिदम नोटेशन:

ही नोंद खालीलप्रमाणे आहे:b x = N .

उदाहरणे: लॉग 3 81 = 4, 3 4 = 81 पासून;

लॉग 1/3 27 = – 3, (1/3) पासून - 3 = 3 3 = 27.

लॉगरिथमची वरील व्याख्या ओळख म्हणून लिहिली जाऊ शकते:

लॉगरिदमचे मूलभूत गुणधर्म.

1) लॉग b= 1 , कारण b 1 = ब.

2) लॉग 1 = 0 , कारण b 0 = 1 .

3) उत्पादनाचा लॉगरिदम घटकांच्या लॉगरिदमच्या बेरजेइतका आहे:

लॉग( ab) = लॉग a+ लॉग b

4) भागफलाचा लॉगरिदम हा लाभांश आणि विभाजक यांच्या लॉगरिदममधील फरकाइतका आहे:

लॉग( a/b) = लॉग a- लॉग b

5) पॉवरचा लॉगरिथम घातांकाच्या गुणाकार आणि त्याच्या बेसच्या लॉगरिदमच्या समान असतो:

लॉग (b k ) = kलॉग b

या मालमत्तेचा परिणाम खालीलप्रमाणे आहे:रूटचा लॉगरिदम मुळाच्या शक्तीने भागलेल्या मूलगामी संख्येच्या लॉगरिदमच्या बरोबरीचे:

6) जर लॉगरिदमचा आधार पदवी असेल, तर मूल्य घातांकाचा व्यस्त, लॉग चिन्हातून बाहेर काढला जाऊ शकतोयमक:

शेवटचे दोन गुणधर्म एकामध्ये एकत्र केले जाऊ शकतात:

7) संक्रमण मॉड्यूलस सूत्र (उदा. e . एका बेस पासून संक्रमणदुसर्या बेससाठी लॉगरिदम):

विशेष प्रकरणात जेव्हा N=aआमच्याकडे आहे:

दशांश लॉगरिदम म्हणतात बेस लॉगरिथम 10. हे नियुक्त केले आहे lg, i.e. लॉग 10 एन = lg एन. 10, 100, 1000, ... संख्यांचे लॉगरिदम p संख्या अनुक्रमे 1, 2, 3, …, आहेतत्या खूप सकारात्मक आहेत

एकके, लॉगरिदमिक संख्येमध्ये एकानंतर किती शून्य आहेत. 0.1, 0.01, 0.001, ... संख्यांचे लॉगरिदम p अवना अनुक्रमे -1, –2, -3, …, म्हणजे लॉगरिदमिक संख्येमध्ये एकाच्या आधी शून्ये आहेत तितके ऋण आहेत ( मोजणी आणि शून्य पूर्णांक). लॉगरिदम इतर संख्यांना अपूर्णांक म्हणतात मंटिसा. संपूर्णलॉगरिदमचा भाग म्हणतात वैशिष्ट्यपूर्ण. व्यावहारिक वापरासाठीदशांश लॉगरिदम सर्वात सोयीस्कर आहेत.

नैसर्गिक लॉगरिदम म्हणतात बेस लॉगरिथम e. हे नियुक्त केले आहे ln, i.e. लॉग eएन = ln एन. क्रमांक eतर्कहीन आहे, तेअंदाजे मूल्य 2.718281828.ते संख्या ज्याकडे झुकते ती मर्यादा आहे(1 + 1 / n) n अमर्यादित वाढीसहn(सेमी. पहिली अद्भुत मर्यादा ).
हे विचित्र वाटू शकते, फंक्शन्सच्या विश्लेषणाशी संबंधित विविध प्रकारचे ऑपरेशन्स पार पाडताना नैसर्गिक लॉगरिदम खूप सोयीस्कर ठरले.बेसवर लॉगरिदमची गणना करणेeइतर कोणत्याही कारणास्तव खूप जलद चालते.

संख्या b चा बेस a चे लॉगरिदम हा घातांक आहे ज्यावर संख्या b मिळवण्यासाठी a ला वाढवणे आवश्यक आहे.

जर तर.

लॉगरिदम - अत्यंत महत्त्वाचे गणितीय प्रमाण, कारण लॉगरिदमिक कॅल्क्युलस केवळ घातांकीय समीकरणे सोडवण्याची परवानगी देत नाही, तर घातांकांसह कार्य करण्यास, घातांक आणि लॉगरिदमिक फंक्शन्समध्ये फरक करणे, त्यांना एकत्रित करणे आणि त्यांना गणना करण्यासाठी अधिक स्वीकार्य स्वरूपाकडे नेण्याची परवानगी देते.

च्या संपर्कात आहे

लॉगरिदमचे सर्व गुणधर्म घातांकीय कार्यांच्या गुणधर्मांशी थेट संबंधित आहेत. उदाहरणार्थ, वस्तुस्थिती आहे की याचा अर्थ असा की:

हे लक्षात घेतले पाहिजे की विशिष्ट समस्या सोडवताना, लॉगरिदमचे गुणधर्म शक्तींसह कार्य करण्याच्या नियमांपेक्षा अधिक महत्त्वाचे आणि उपयुक्त ठरू शकतात.

चला काही ओळखी सादर करूया:

येथे मूलभूत बीजगणित अभिव्यक्ती आहेत:

;

लक्ष द्या!फक्त x>0, x≠1, y>0 साठी अस्तित्वात असू शकते.

नैसर्गिक लॉगरिदम म्हणजे काय हा प्रश्न समजून घेण्याचा प्रयत्न करूया. गणितात विशेष रुची दोन प्रकारांचे प्रतिनिधित्व करा- पहिल्या क्रमांकाचा आधार म्हणून “10” हा अंक आहे आणि त्याला “दशांश लॉगरिदम” म्हणतात. दुसऱ्याला नैसर्गिक म्हणतात. नैसर्गिक लॉगरिदमचा आधार "e" ही संख्या आहे. या लेखात आपण याबद्दल तपशीलवार चर्चा करू.

पदनाम:

lg x - दशांश;
ln x - नैसर्गिक.

ओळख वापरून, आपण ते ln e = 1, तसेच lg 10=1 हे देखील पाहू शकतो.

नैसर्गिक लॉगरिथम आलेख

मानक शास्त्रीय पद्धतीचा बिंदू बिंदू वापरून नैसर्गिक लॉगरिदमचा आलेख तयार करू. तुमची इच्छा असल्यास, आम्ही फंक्शनचे परीक्षण करून फंक्शन योग्यरित्या तयार करत आहोत की नाही हे तुम्ही तपासू शकता. तथापि, लॉगरिदमची अचूक गणना कशी करायची हे जाणून घेण्यासाठी ते "मॅन्युअली" कसे तयार करावे हे शिकणे अर्थपूर्ण आहे.

कार्य: y = ln x. चला बिंदूंची सारणी लिहू ज्यातून आलेख जाईल:

आर्ग्युमेंट x ची ही विशिष्ट मूल्ये आपण का निवडली हे स्पष्ट करू. हे सर्व ओळखीबद्दल आहे: . नैसर्गिक लॉगरिथमसाठी ही ओळख यासारखी दिसेल:

सोयीसाठी, आम्ही पाच संदर्भ मुद्दे घेऊ शकतो:

;

अशा प्रकारे, नैसर्गिक लॉगरिदमची गणना करणे हे अगदी सोपे काम आहे; शिवाय, ते शक्तींसह ऑपरेशन्सची गणना सुलभ करते, त्यांना बदलते सामान्य गुणाकार.

बिंदूनुसार आलेख बिंदू प्लॉट करून, आम्हाला अंदाजे आलेख मिळतो:

नैसर्गिक लॉगरिथमच्या व्याख्येचे डोमेन (म्हणजे, X ची सर्व वैध मूल्ये) सर्व संख्या शून्यापेक्षा जास्त आहेत.

लक्ष द्या!नैसर्गिक लॉगरिथमच्या व्याख्येच्या डोमेनमध्ये फक्त सकारात्मक संख्या समाविष्ट आहेत! व्याख्येच्या व्याप्तीमध्ये x=0 समाविष्ट नाही. लॉगरिदमच्या अस्तित्वाच्या अटींवर आधारित हे अशक्य आहे.

मूल्यांची श्रेणी (म्हणजे y = ln x फंक्शनची सर्व वैध मूल्ये) मध्यांतरातील सर्व संख्या आहेत.

नैसर्गिक लॉग मर्यादा

आलेखाचा अभ्यास करताना, प्रश्न उद्भवतो - फंक्शन y वर कसे वागते<0.

साहजिकच, फंक्शनचा आलेख y-अक्ष ओलांडू शकतो, परंतु हे करू शकणार नाही, कारण x चा नैसर्गिक लॉगरिथम<0 не существует.

नैसर्गिक मर्यादा लॉगअसे लिहिले जाऊ शकते:

लॉगरिदमचा पाया बदलण्यासाठी सूत्र

अनियंत्रित आधार असलेल्या लॉगरिथमशी व्यवहार करण्यापेक्षा नैसर्गिक लॉगरिथम हाताळणे खूप सोपे आहे. म्हणूनच आपण कोणताही लॉगरिदम नैसर्गिक ला कसा कमी करायचा किंवा नैसर्गिक लॉगॅरिथमद्वारे अनियंत्रित बेसवर कसा व्यक्त करायचा हे शिकण्याचा प्रयत्न करू.

चला लॉगरिदमिक ओळख सह प्रारंभ करूया:

मग कोणतीही संख्या किंवा व्हेरिएबल y असे दर्शवले जाऊ शकते:

जेथे x ही कोणतीही संख्या आहे (लोगॅरिथमच्या गुणधर्मांनुसार सकारात्मक).

ही अभिव्यक्ती दोन्ही बाजूंनी लॉगरिदमिक पद्धतीने घेतली जाऊ शकते. हे अनियंत्रित बेस z वापरून करू:

चला गुणधर्म वापरू (फक्त “c” ऐवजी आपल्याकडे अभिव्यक्ती आहे):

येथून आम्हाला सार्वत्रिक सूत्र मिळते:

विशेषतः, जर z=e असेल तर:

आम्ही दोन नैसर्गिक लॉगॅरिथमच्या गुणोत्तराद्वारे अनियंत्रित बेसमध्ये लॉगरिदमचे प्रतिनिधित्व करू शकलो.

आम्ही समस्या सोडवतो

नैसर्गिक लॉगरिदम चांगल्या प्रकारे समजून घेण्यासाठी, अनेक समस्यांची उदाहरणे पाहू.

समस्या १. ln x = 3 हे समीकरण सोडवणे आवश्यक आहे.

उपाय:लॉगरिथमची व्याख्या वापरून: जर , नंतर , आम्हाला मिळते:

समस्या 2. समीकरण सोडवा (5 + 3 * ln (x - 3)) = 3.

ऊत्तराची: लॉगरिथमची व्याख्या वापरून: जर , नंतर , आपल्याला मिळते:

चला लॉगरिदमची व्याख्या पुन्हा वापरू:

अशा प्रकारे:

तुम्ही अंदाजे उत्तराची गणना करू शकता किंवा तुम्ही ते या फॉर्ममध्ये सोडू शकता.

कार्य 3.समीकरण सोडवा.

उपाय:चला एक पर्याय बनवू: t = ln x. मग समीकरण खालील फॉर्म घेईल:

आमच्याकडे चतुर्भुज समीकरण आहे. चला त्याचे भेदभाव शोधूया:

सांख्यिकी आणि संभाव्यता सिद्धांतामध्ये, लॉगरिदमिक परिमाण खूप वेळा आढळतात. हे आश्चर्यकारक नाही, कारण e ही संख्या अनेकदा घातांकीय प्रमाणांच्या वाढीचा दर दर्शवते.

संगणक विज्ञान, प्रोग्रामिंग आणि संगणक सिद्धांतामध्ये, लॉगरिदम बर्‍याचदा आढळतात, उदाहरणार्थ, मेमरीमध्ये N बिट्स संचयित करण्यासाठी.

भग्न आणि परिमाणांच्या सिद्धांतांमध्ये, लॉगरिदम सतत वापरला जातो, कारण फ्रॅक्टल्सची परिमाणे केवळ त्यांच्या मदतीने निर्धारित केली जातात.

यांत्रिकी आणि भौतिकशास्त्रातअसा कोणताही विभाग नाही जिथे लॉगरिदम वापरले गेले नाहीत. बॅरोमेट्रिक वितरण, सांख्यिकीय थर्मोडायनामिक्सची सर्व तत्त्वे, त्सीओल्कोव्स्की समीकरण इ. या अशा प्रक्रिया आहेत ज्यांचे गणितीय वर्णन केवळ लॉगरिदम वापरून केले जाऊ शकते.

रसायनशास्त्रात, लॉगरिदम नर्न्स्ट समीकरणे आणि रेडॉक्स प्रक्रियेच्या वर्णनात वापरले जातात.

आश्चर्याची गोष्ट म्हणजे, संगीतातही, अष्टकाच्या भागांची संख्या शोधण्यासाठी, लॉगरिदम वापरले जातात.

नैसर्गिक लॉगरिथम फंक्शन y=ln x त्याचे गुणधर्म

नैसर्गिक लॉगरिथमच्या मुख्य गुणधर्माचा पुरावा

a (a>0, a 1 च्या बरोबरीचे नाही) साठी सकारात्मक संख्या b चे लॉगरिदम ही एक संख्या c आहे जसे की c = b: लॉग a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a ≠ 1, b) > 0)

लक्षात घ्या की नॉन-पॉझिटिव्ह संख्येचा लॉगरिथम अपरिभाषित आहे. या व्यतिरिक्त, लॉगरिदमचा आधार 1 च्या बरोबरीचा नसलेली सकारात्मक संख्या असणे आवश्यक आहे. उदाहरणार्थ, जर आपण -2 चा वर्ग केला तर आपल्याला 4 संख्या मिळेल, परंतु याचा अर्थ असा नाही की 4 च्या बेस -2 चे लॉगरिदम 2 च्या बरोबरीचे आहे.

मूलभूत लॉगरिदमिक ओळख

a लॉग a b = b (a > 0, a ≠ 1) (2)

या सूत्राच्या उजव्या आणि डाव्या बाजूंच्या व्याख्येची व्याप्ती भिन्न आहे हे महत्त्वाचे आहे. डावी बाजू फक्त b>0, a>0 आणि a ≠ 1 साठी परिभाषित केली आहे. उजवी बाजू कोणत्याही b साठी परिभाषित केली आहे आणि ती अ वर अजिबात अवलंबून नाही. अशा प्रकारे, समीकरणे आणि असमानता सोडवताना मूलभूत लॉगरिदमिक "ओळख" वापरल्याने OD मध्ये बदल होऊ शकतो.

लॉगरिथमच्या व्याख्येचे दोन स्पष्ट परिणाम

लॉग a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) (3)
लॉग a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) (4)

खरंच, a ची संख्या पहिल्या पॉवरवर वाढवताना, आपल्याला समान संख्या मिळते आणि ती शून्य पॉवरवर वाढवताना, आपल्याला एक मिळते.

गुणाकाराचा लॉगरिदम आणि भागफलाचा लॉगरिदम

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (5)

लॉग a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (6)

लॉगरिदमिक समीकरणे आणि असमानता सोडवताना या सूत्रांचा अविचारीपणे वापर करण्यापासून मी शाळकरी मुलांना चेतावणी देऊ इच्छितो. त्यांचा वापर करताना “डावीकडून उजवीकडे”, ODZ संकुचित होतो आणि लॉगरिदमच्या बेरीज किंवा फरकापासून उत्पादनाच्या किंवा भागाच्या लॉगरिदमकडे जाताना, ODZ विस्तारतो.

खरंच, अभिव्यक्ती लॉग a (f (x) g (x)) दोन प्रकरणांमध्ये परिभाषित केली जाते: जेव्हा दोन्ही कार्ये कठोरपणे सकारात्मक असतात किंवा जेव्हा f(x) आणि g(x) दोन्ही शून्यापेक्षा कमी असतात.

या अभिव्यक्तीचे बेरीज लॉग a f (x) + log a g (x) मध्ये रूपांतरित करून, आम्हाला स्वतःला फक्त f(x)>0 आणि g(x)>0 इतकेच मर्यादित ठेवण्यास भाग पाडले जाते. स्वीकार्य मूल्यांच्या श्रेणीमध्ये एक संकुचितता आहे, आणि हे स्पष्टपणे अस्वीकार्य आहे, कारण यामुळे उपायांचे नुकसान होऊ शकते. फॉर्म्युला (6) साठी समान समस्या अस्तित्वात आहे.

लॉगरिदमच्या चिन्हातून पदवी काढली जाऊ शकते

लॉग a b p = p लॉग a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) (7)

आणि पुन्हा मी अचूकतेसाठी कॉल करू इच्छितो. खालील उदाहरणाचा विचार करा:

लॉग a (f (x) 2 = 2 log a f (x)

समानतेची डावी बाजू शून्य वगळता f(x) च्या सर्व मूल्यांसाठी स्पष्टपणे परिभाषित केली आहे. उजवी बाजू फक्त f(x)>0 साठी आहे! लॉगरिथममधून पदवी काढून, आम्ही पुन्हा ODZ संकुचित करतो. उलट प्रक्रियेमुळे स्वीकार्य मूल्यांच्या श्रेणीचा विस्तार होतो. हे सर्व शेरे केवळ पॉवर २ वरच लागू होत नाहीत तर कोणत्याही सम पॉवरलाही लागू होतात.

नवीन पायावर जाण्याचे सूत्र

log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) (8)

ते दुर्मिळ प्रकरण जेव्हा परिवर्तनादरम्यान ODZ बदलत नाही. जर तुम्ही बेस c बुद्धीने निवडला असेल (सकारात्मक आणि 1 च्या समान नसेल), तर नवीन बेसवर जाण्याचे सूत्र पूर्णपणे सुरक्षित आहे.

जर आपण b ही संख्या नवीन बेस c म्हणून निवडली, तर आपल्याला सूत्र (8) चा एक महत्त्वाचा विशेष केस प्राप्त होतो:

लॉग a b = 1 लॉग b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) (9)

लॉगरिदमसह काही सोपी उदाहरणे

उदाहरण 1. गणना करा: log2 + log50.
उपाय. log2 + log50 = log100 = 2. आम्ही लॉगरिदम सूत्राची बेरीज (5) आणि दशांश लॉगरिदमची व्याख्या वापरली.

उदाहरण 2. गणना करा: lg125/lg5.
उपाय. log125/log5 = log 5 125 = 3. आम्ही नवीन बेस (8) वर जाण्यासाठी सूत्र वापरले.

लॉगरिदमशी संबंधित सूत्रांची सारणी

a लॉग a b = b (a > 0, a ≠ 1)

लॉग a a = 1 (a > 0, a ≠ 1)

लॉग a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1)

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

लॉग a b p = p लॉग a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)

log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1)

लॉग a b = 1 लॉग b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1)

त्याच्या व्याख्येवरून अनुसरण करते. आणि म्हणून संख्येचा लॉगरिदम bआधारीत एघातांक म्‍हणून परिभाषित केले आहे जिच्‍यावर संख्‍या वाढवण्‍याची आवश्‍यकता आहे aनंबर मिळवण्यासाठी b(लोगॅरिथम फक्त सकारात्मक संख्यांसाठी अस्तित्वात आहे).

या फॉर्म्युलेशनवरून हे गणना होते x=log a b, समीकरण सोडवण्यासाठी समतुल्य आहे a x = b.उदाहरणार्थ, लॉग 2 8 = 3कारण 8 = 2 3 . लॉगॅरिथमच्या सूत्रीकरणामुळे ते योग्य ठरविणे शक्य होते जर b=a c, नंतर संख्येचा लॉगरिदम bआधारीत aसमान सह. हे देखील स्पष्ट आहे की लॉगरिदमचा विषय एका संख्येच्या शक्तींच्या विषयाशी जवळून संबंधित आहे.

लॉगरिदमसह, कोणत्याही संख्येप्रमाणे, तुम्ही करू शकता बेरीज, वजाबाकीची क्रियाआणि प्रत्येक संभाव्य मार्गाने परिवर्तन करा. परंतु लॉगरिदम पूर्णपणे सामान्य संख्या नसल्यामुळे, त्यांचे स्वतःचे विशेष नियम येथे लागू होतात, ज्यांना मुख्य गुणधर्म.