Rangkap tiga Pythagoras dan bilangannya. Teknologi intensif sains moden Nombor perdana sebagai sebahagian daripada tiga kali ganda Pythagoras

"Pusat pendidikan serantau"

Pembangunan berkaedah

Menggunakan rangkap tiga Pythagoras dalam penyelesaian

masalah geometri dan tugas trigonometri PENGGUNAAN

Kaluga, 2016

I. Pengenalan

Teorem Pythagoras adalah salah satu teorem utama dan, boleh dikatakan, teorem geometri yang paling penting. Kepentingannya terletak pada fakta bahawa kebanyakan teorem geometri boleh disimpulkan daripadanya atau dengan bantuannya. Teorem Pythagoras juga luar biasa kerana dengan sendirinya ia tidak sama sekali jelas. Sebagai contoh, sifat segi tiga sama kaki boleh dilihat secara langsung pada lukisan. Tetapi tidak kira bagaimana anda melihat segi tiga tepat, anda tidak akan melihat bahawa terdapat nisbah yang begitu mudah antara sisinya: a2+b2=c2. Walau bagaimanapun, bukan Pythagoras yang menemui teorem yang membawa namanya. Ia diketahui lebih awal, tetapi mungkin hanya sebagai fakta yang diperoleh daripada pengukuran. Agaknya, Pythagoras tahu ini, tetapi menemui bukti.

Terdapat bilangan nombor asli yang tidak terhingga a, b, c, memuaskan hubungan a2+b2=c2.. Mereka dipanggil nombor Pythagoras. Menurut teorem Pythagoras, nombor tersebut boleh berfungsi sebagai panjang sisi beberapa segi tiga bersudut tegak - kami akan memanggilnya segitiga Pythagoras.

Matlamat kerja: untuk mengkaji kemungkinan dan keberkesanan menggunakan triple Pythagoras untuk menyelesaikan masalah kursus matematik sekolah, tugasan USE.

Berdasarkan tujuan kerja, berikut tugasan:

Untuk mengkaji sejarah dan klasifikasi triple Pythagoras. Menganalisis tugasan menggunakan triple Pythagoras yang terdapat dalam buku teks sekolah dan terdapat dalam bahan kawalan dan pengukuran peperiksaan. Nilaikan keberkesanan penggunaan rangkap tiga Pythagoras dan sifatnya untuk menyelesaikan masalah.

Objek kajian: Pythagoras tiga kali ganda nombor.

Subjek kajian: tugas kursus sekolah trigonometri dan geometri, di mana triple Pythagoras digunakan.

Perkaitan penyelidikan. Tiga kali ganda Pythagoras sering digunakan dalam geometri dan trigonometri, mengetahuinya akan menghapuskan ralat dalam pengiraan dan menjimatkan masa.

II. Bahagian utama. Menyelesaikan masalah menggunakan triple Pythagoras.

2.1 Jadual tiga kali ganda nombor Pythagoras (mengikut Perelman)

Nombor Pythagoras mempunyai bentuk a= m n, , dengan m dan n ialah beberapa nombor ganjil koprime.

Nombor Pythagoras mempunyai beberapa ciri menarik:

Satu daripada "kaki" mestilah gandaan tiga.

Satu daripada "kaki" mestilah gandaan empat.

Satu daripada nombor Pythagoras mestilah gandaan lima.

Buku "Algebra Menghibur" mengandungi jadual tiga kali ganda Pythagoras yang mengandungi nombor hingga seratus, yang tidak mempunyai faktor sepunya.

		32+42=52
		52+122=132
		72+242=252
		92+402=412
		112+602=612
		132+842=852
		152+82=172
		212 +202=292
		332+562=652
		392+802=892
		352+122=372
		452+282=532
		552+482=732
		652+722=972
		632+162=652
		772+362=852

2.2. Klasifikasi Shustrov bagi triple Pythagoras.

Shustrov menemui corak berikut: jika semua segitiga Pythagoras dibahagikan kepada kumpulan, maka formula berikut adalah sah untuk kaki ganjil x, genap y dan hipotenus z:

x \u003d (2N-1) (2n + 2N-1); y = 2n (n+2N-1); z = 2n (n+2N-1)+(2N-1) 2, dengan N ialah nombor keluarga dan n ialah nombor ordinal segi tiga dalam keluarga.

Menggantikan dalam formula sebagai ganti N dan n mana-mana integer positif, bermula dari satu, anda boleh mendapatkan semua rangkap tiga nombor Pythagoras utama, serta gandaan jenis tertentu. Anda boleh membuat jadual semua triple Pythagoras untuk setiap keluarga.

2.3. tugas planimetri

Mari kita pertimbangkan masalah daripada pelbagai buku teks mengenai geometri dan ketahui kekerapan triple Pythagoras ditemui dalam tugasan ini. Masalah remeh untuk mencari unsur ketiga dalam jadual triple Pythagoras tidak akan dipertimbangkan, walaupun ia juga terdapat dalam buku teks. Mari kita tunjukkan cara untuk mengurangkan penyelesaian masalah yang datanya tidak dinyatakan oleh nombor asli kepada tiga kali ganda Pythagoras.

Pertimbangkan tugasan daripada buku teks geometri untuk gred 7-9.

№ 000. Cari hipotenus bagi segi tiga tegak A=, b=.

Penyelesaian. Darabkan panjang kaki dengan 7, kita mendapat dua elemen daripada triple Pythagoras 3 dan 4. Unsur yang hilang ialah 5, yang kita bahagikan dengan 7. Jawapan.

№ 000. Dalam segi empat tepat ABCD cari BC jika CD=1.5, AC=2.5.

https://pandia.ru/text/80/406/images/image007_0.gif" width="240" height="139 src=">

Penyelesaian. Mari kita selesaikan segi tiga tepat ACD. Kami mendarabkan panjang dengan 2, kami mendapat dua elemen dari triple Pythagoras 3 dan 5, elemen yang hilang ialah 4, yang kami bahagikan dengan 2. Jawapan: 2.

Apabila menyelesaikan nombor seterusnya, semak nisbah a2+b2=c2 ia adalah pilihan sepenuhnya, sudah cukup untuk menggunakan nombor Pythagoras dan sifatnya.

№ 000. Ketahui jika segitiga bersudut tegak jika sisinya dinyatakan dengan nombor:

a) 6,8,10 (Pythagoras triple 3,4.5) - ya;

Satu daripada kaki segi tiga tegak mesti boleh dibahagi dengan 4. Jawapan: tidak.

c) 9,12,15 (Pythagoras triple 3,4.5) - ya;

d) 10,24,26 (Pythagoras triple 5,12.13) - ya;

Satu daripada nombor Pythagoras mestilah gandaan lima. Jawapan: tidak.

g) 15, 20, 25 (Pythagoras triple 3,4.5) - ya.

Daripada tiga puluh sembilan tugasan dalam bahagian ini (teorem Pythagoras), dua puluh dua diselesaikan secara lisan menggunakan nombor Pythagoras dan pengetahuan tentang sifatnya.

Pertimbangkan masalah #000 (dari bahagian "Tugas Tambahan"):

Cari luas segi empat ABCD di mana AB=5 cm, BC=13 cm, CD=9 cm, DA=15 cm, AC=12 cm.

Tugasnya adalah untuk menyemak nisbah a2+b2=c2 dan buktikan bahawa sisi empat yang diberi terdiri daripada dua segi tiga tepat (teorem songsang). Dan pengetahuan tentang tiga kali ganda Pythagoras: 3, 4, 5 dan 5, 12, 13, menghapuskan keperluan untuk pengiraan.

Mari berikan penyelesaian kepada beberapa masalah daripada buku teks geometri untuk gred 7-9.

Masalah 156 (h). Kaki segi tiga tepat ialah 9 dan 40. Cari median yang dilukis pada hipotenus.

Penyelesaian . Median yang dilukis ke hipotenus adalah sama dengan separuh daripadanya. Rangkap tiga Pythagoras ialah 9.40 dan 41. Oleh itu, median ialah 20.5.

Masalah 156 (i). Sisi segi tiga ialah: A= 13 cm, b= 20 cm dan tinggi hс = 12 cm Cari tapaknya Dengan.

Tugasan (KIM USE). Cari jejari bulatan yang tertulis dalam segi tiga akut ABC jika ketinggian BH ialah 12 dan diketahui bahawa dosa A=,sin C \u003d kiri "\u003e

Penyelesaian. Kami menyelesaikan segi empat tepat ∆ ASC: sin A=, BH=12, maka AB=13,AK=5 (Pythagoras triple 5,12,13). Selesaikan segi empat tepat ∆ BCH: BH =12, sin C===https://pandia.ru/text/80/406/images/image015_0.gif" width="12" height="13">3=9 (Pythagoras triple 3,4,5).Jejari didapati dengan formula r === 4. Jawapan.4.

2.4. Pythagoras tiga kali ganda dalam trigonometri

Identiti trigonometri utama ialah kes khas teorem Pythagoras: sin2a + cos2a = 1; (a/c) 2 + (b/c)2 =1. Oleh itu, beberapa tugas trigonometri mudah diselesaikan secara lisan menggunakan triple Pythagoras.

Masalah di mana ia diperlukan untuk mencari nilai fungsi trigonometri lain daripada nilai tertentu fungsi boleh diselesaikan tanpa kuasa dua dan mengekstrak punca kuasa dua. Semua tugasan jenis ini dalam buku teks sekolah algebra (10-11) Mordkovich (No. 000-No. 000) boleh diselesaikan secara lisan, hanya mengetahui beberapa rangkap tiga Pythagoras: 3,4,5 ; 5,12,13 ; 8,15,17 ; 7,24,25 . Mari kita pertimbangkan penyelesaian dua tugasan.

No. 000 a). sin t = 4/5, π/2< t < π.

Penyelesaian. Rangkap tiga Pythagoras: 3, 4, 5. Oleh itu, cos t = -3/5; tg t = -4/3,

No. 000 b). tg t = 2.4, π< t < 3π/2.

Penyelesaian. tg t \u003d 2.4 \u003d 24/10 \u003d 12/5. Pythagoras tiga kali ganda 5,12,13. Memandangkan tanda-tanda, kita mendapat sin t = -12/13, cos t = -5/13, ctg t = 5/12.

3. Mengawal dan mengukur bahan peperiksaan

a) cos (arcsin 3/5)=4/5 (3, 4, 5)

b) dosa (arccos 5/13)=12/13 (5, 12, 13)

c) tg (arcsin 0.6)=0.75 (6, 8, 10)

d) ctg (arccos 9/41) = 9/40 (9, 40, 41)

e) 4/3 tg (π–arcsin (–3/5))= 4/3 tg (π+arcsin 3/5)= 4/3 tg arcsin 3/5=4/3 3/4=1

e) semak kesahihan kesaksamaan:

arcsin 4/5 + arcsin 5/13 + arcsin 16/65 = π/2.

Penyelesaian. arcsin 4/5 + arcsin 5/13 + arcsin 16/65 = π/2

arcsin 4/5 + arcsin 5/13 = π/2 - arcsin 16/65

dosa (arcsin 4/5 + arcsin 5/13) = dosa (arccos 16/65)

sin (arcsin 4/5) cos (arcsin 5/13) + cos (arcsin 4/5) sin (arcsin 5/13) = 63/65

4/5 12/13 + 3/5 5/13 = 63/65

III. Kesimpulan

Dalam masalah geometri, seseorang selalunya perlu menyelesaikan segi tiga tepat, kadangkala beberapa kali. Selepas menganalisis tugas buku teks sekolah dan bahan PENGGUNAAN, kita boleh membuat kesimpulan bahawa triplet digunakan terutamanya: 3, 4, 5; 5, 12, 13; 7, 24, 25; 9, 40, 41; 8,15,17; yang mudah diingati. Apabila menyelesaikan beberapa tugas trigonometri, penyelesaian klasik menggunakan formula trigonometri dan sejumlah besar pengiraan mengambil masa, dan pengetahuan tentang triple Pythagoras akan menghapuskan ralat dalam pengiraan dan menjimatkan masa untuk menyelesaikan masalah yang lebih sukar dalam peperiksaan.

Senarai bibliografi

1. Algebra dan permulaan analisis. 10-11 darjah. Pada jam 2. Bahagian 2. Buku tugas untuk institusi pendidikan / [dan lain-lain]; ed. . - ed. ke-8, Sr. - M. : Mnemosyne, 2007. - 315 p. : sakit.

2. Algebra Perelman. - D.: VAP, 1994. - 200 p.

3. Roganovsky: Proc. Untuk 7-9 sel. dengan dalam pengajian matematik pendidikan am. sekolah daripada bahasa Rusia lang. pembelajaran, - 3rd ed. - Mn.; Nar. Asveta, 2000. - 574 p.: sakit.

4. Matematik: Pembaca tentang sejarah, metodologi, didaktik. / Komp. . - M.: Rumah penerbitan URAO, 2001. - 384 p.

5. Jurnal "Matematik di Sekolah" Bil 1, 1965.

6. Mengawal dan mengukur bahan peperiksaan.

7. Geometri, 7-9: Proc. untuk institusi pendidikan /, dsb. - ed. ke-13 - M .: Pendidikan, 2003. – 384 hlm. : sakit.

8. Geometri: Proc. untuk 10-11 sel. purata sekolah /, dsb. - ed ke-2. - M .: Pendidikan, 1993, - 207 hlm: sakit.

algebra Perelman. - D.: VAP, 1994. - 200 p.

Jurnal "Matematik di Sekolah" No. 1, 1965.

Geometri, 7-9: Proc. untuk institusi pendidikan /, dsb. - ed. ke-13 - M .: Pendidikan, 2003. – 384 hlm. : sakit.

Roganovsky: Proc. Untuk 7-9 sel. dengan dalam pengajian matematik pendidikan am. sekolah daripada bahasa Rusia lang. pembelajaran, - 3rd ed. - Mn.; Nar. Asveta, 2000. - 574 p.: sakit.

Algebra dan permulaan analisis. 10-11 darjah. Pada jam 2. Bahagian 2. Buku tugas untuk institusi pendidikan / [dan lain-lain]; ed. . - ed. ke-8, Sr. - M. : Mnemosyne, 2007. - 315 p. : sakit., hlm.18.

Belotelov V.A. Tiga kali ganda Pythagoras dan bilangannya // Ensiklopedia Nesterov

Artikel ini adalah jawapan kepada seorang profesor - pencubit. Lihat, profesor, bagaimana mereka melakukannya di kampung kita.

Wilayah Nizhny Novgorod, Zavolzhye.

Pengetahuan tentang algoritma untuk menyelesaikan persamaan Diophantine (ADDE) dan pengetahuan tentang janjang polinomial diperlukan.

IF ialah nombor perdana.

MF ialah nombor komposit.

Biar ada nombor ganjil N. Untuk sebarang nombor ganjil selain daripada satu, anda boleh menulis persamaan.

p 2 + N \u003d q 2,

di mana р + q = N, q – р = 1.

Sebagai contoh, untuk nombor 21 dan 23, persamaannya ialah, -

10 2 + 21 = 11 2 , 11 2 + 23 = 12 2 .

Jika N ialah perdana, persamaan ini adalah unik. Jika nombor N adalah komposit, maka adalah mungkin untuk mengarang persamaan yang serupa untuk bilangan pasangan faktor yang mewakili nombor ini, termasuk 1 x N.

Mari kita ambil nombor N = 45, -

1 x 45 = 45, 3 x 15 = 45, 5 x 9 = 45.

Saya bermimpi, tetapi adakah mungkin, berpegang pada perbezaan antara IF dan MF ini, untuk mencari kaedah untuk mengenal pasti mereka.

Mari kita perkenalkan notasi;

Mari kita ubah persamaan yang lebih rendah, -

N \u003d dalam 2 - a 2 \u003d (b - a) (b + a).

Mari kita kumpulkan nilai N mengikut kriteria dalam - a, i.e. jom buat meja.

Nombor N diringkaskan dalam matriks, -

Untuk tugasan inilah saya terpaksa berurusan dengan janjang polinomial dan matriksnya. Segala-galanya ternyata sia-sia - pertahanan PCh dipegang kuat. Mari masukkan lajur dalam jadual 1, di mana dalam - a \u003d 1 (q - p \u003d 1).

Sekali lagi. Jadual 2 diperoleh hasil daripada percubaan untuk menyelesaikan masalah mengenal pasti IF dan MF. Ia berikutan daripada jadual bahawa untuk sebarang nombor N, terdapat seberapa banyak persamaan bentuk a 2 + N \u003d dalam 2, ke dalam berapa banyak pasangan faktor nombor N boleh dibahagikan, termasuk faktor 1 x N. Di samping itu kepada nombor N \u003d ℓ 2, di mana

ℓ - FC. Untuk N = ℓ 2 , dengan ℓ ialah IF, terdapat persamaan unik p 2 + N = q 2 . Apakah bukti tambahan yang boleh kita bincangkan jika jadual menyenaraikan faktor yang lebih kecil daripada pasangan faktor membentuk N, daripada satu hingga ∞. Kami akan meletakkan Jadual 2 di dalam peti, dan menyembunyikan dada di dalam almari.

Mari kembali kepada topik yang dinyatakan dalam tajuk artikel.

Artikel ini adalah jawapan kepada seorang profesor - pencubit.

Saya meminta bantuan - saya memerlukan satu siri nombor yang tidak dapat saya temui di Internet. Saya menghadapi soalan seperti, - "untuk apa?", "Tetapi tunjukkan saya kaedahnya." Khususnya, terdapat persoalan sama ada siri triple Pythagoras adalah tidak terhingga, "bagaimana untuk membuktikannya?". Dia tidak membantu saya. Lihat, profesor, bagaimana mereka melakukannya di kampung kita.

Mari kita ambil formula triple Pythagoras, -

x 2 \u003d y 2 + z 2. (1)

Jom melalui ARDU.

Tiga situasi mungkin:

I. x ialah nombor ganjil,

y ialah nombor genap

z ialah nombor genap.

Dan terdapat syarat x > y > z.

II. x ialah nombor ganjil

y ialah nombor genap

z ialah nombor ganjil.

x > z > y.

III.x - nombor genap,

y ialah nombor ganjil

z ialah nombor ganjil.

x > y > z.

Mari kita mulakan dengan saya.

Mari perkenalkan pembolehubah baharu

Gantikan ke dalam persamaan (1).

Mari kita batalkan dengan pembolehubah yang lebih kecil 2γ.

(2α - 2γ + 2k + 1) 2 = (2β - 2γ + 2k) 2 + (2k + 1) 2 .

Mari kita kurangkan pembolehubah 2β – 2γ dengan yang lebih kecil dengan pengenalan serentak parameter baharu ƒ, -

(2α - 2β + 2ƒ + 2k + 1) 2 = (2ƒ + 2k) 2 + (2k + 1) 2 (2)

Kemudian, 2α - 2β = x - y - 1.

Persamaan (2) akan mengambil bentuk, -

(x - y + 2ƒ + 2k) 2 \u003d (2ƒ + 2k) 2 + (2k + 1) 2

Mari kita kuadkan -

(x - y) 2 + 2 (2ƒ + 2k) (x - y) + (2ƒ + 2k) 2 \u003d (2ƒ + 2k) 2 + (2k + 1) 2,

(x - y) 2 + 2(2ƒ + 2k)(x - y) - (2k + 1) 2 = 0. (3)

ARDU memberikan melalui parameter hubungan antara istilah kanan persamaan, jadi kami mendapat persamaan (3).

Tidak kukuh untuk berurusan dengan pemilihan penyelesaian. Tetapi, pertama, tiada tempat untuk pergi, dan kedua, beberapa daripada penyelesaian ini diperlukan, dan kami boleh memulihkan bilangan penyelesaian yang tidak terhingga.

Untuk ƒ = 1, k = 1, kita mempunyai x – y = 1.

Dengan ƒ = 12, k = 16, kita mempunyai x - y = 9.

Dengan ƒ = 4, k = 32, kita mempunyai x - y = 25.

Anda boleh mengambilnya untuk masa yang lama, tetapi pada akhirnya siri itu akan mengambil bentuk -

x - y \u003d 1, 9, 25, 49, 81, ....

Pertimbangkan pilihan II.

Mari kita perkenalkan pembolehubah baharu ke dalam persamaan (1)

(2α + 2k + 1) 2 = (2β + 2k) 2 + (2γ + 2k + 1) 2 .

Kami mengurangkan dengan pembolehubah yang lebih kecil 2 β, -

(2α - 2β + 2k + 1) 2 = (2α - 2β + 2k+1) 2 + (2k) 2 .

Mari kita kurangkan dengan pembolehubah yang lebih kecil 2α – 2β, –

(2α - 2γ + 2ƒ + 2k + 1) 2 = (2ƒ + 2k + 1) 2 + (2k) 2 . (4)

2α - 2γ = x - z dan gantikan kepada persamaan (4).

(x - z + 2ƒ + 2k + 1) 2 = (2ƒ + 2k + 1) 2 + (2k) 2

(x - z) 2 + 2 (2ƒ + 2k + 1) (x - z) + (2ƒ + 2k + 1) 2 = (2ƒ + 2k + 1) 2 + (2k) 2 (x - z) 2 + 2(2ƒ + 2k + 1) (x - z) - (2k) 2 = 0

Dengan ƒ = 3, k = 4, kita mempunyai x - z = 2.

Dengan ƒ = 8, k = 14, kita mempunyai x - z = 8.

Dengan ƒ = 3, k = 24, kita mempunyai x - z = 18.

x - z \u003d 2, 8, 18, 32, 50, ....

Mari kita lukis trapezoid -

Mari kita tulis formula.

di mana n=1, 2,...∞.

Kes III tidak akan diterangkan - tiada penyelesaian di sana.

Untuk keadaan II, set tiga kali ganda adalah seperti berikut:

Persamaan (1) dibentangkan sebagai x 2 = z 2 + y 2 untuk kejelasan.

Untuk syarat I, set tiga kali ganda adalah seperti berikut:

Secara keseluruhan, 9 lajur tiga kali ganda dicat, lima tiga kali ganda dalam setiap satu. Dan setiap lajur yang dibentangkan boleh ditulis sehingga ∞.

Sebagai contoh, pertimbangkan tiga kali ganda lajur terakhir, di mana x - y \u003d 81.

Untuk nilai x, kita tulis trapezoid, -

Mari kita tulis formula

Untuk nilai-nilai kita menulis trapezoid, -

Mari kita tulis formula

Untuk nilai z, kita tulis trapezoid, -

Mari kita tulis formula

Di mana n = 1 ÷ ∞.

Seperti yang dijanjikan, satu siri kembar tiga dengan x - y = 81 terbang ke ∞.

Terdapat percubaan untuk kes I dan II untuk membina matriks bagi x, y, z.

Tulis lima lajur terakhir x dari baris atas dan bina trapezium.

Ia tidak berfungsi, dan coraknya mestilah kuadratik. Untuk membuat segala-galanya dalam kerja terbuka, ternyata perlu untuk menggabungkan lajur I dan II.

Dalam kes II, kuantiti y, z sekali lagi ditukar.

Kami berjaya bergabung untuk satu sebab - kad itu sesuai dengan tugas ini - kami bernasib baik.

Sekarang anda boleh menulis matriks untuk x, y, z.

Mari kita ambil daripada lima lajur terakhir nilai x dari baris atas dan bina trapezium.

Semuanya baik-baik saja, anda boleh membina matriks, dan mari kita mulakan dengan matriks untuk z.

Saya berlari ke almari untuk mencari peti.

Jumlah: Sebagai tambahan kepada satu, setiap nombor ganjil paksi berangka mengambil bahagian dalam pembentukan tiga kali ganda Pythagoras dengan bilangan pasangan faktor yang sama membentuk nombor N ini, termasuk faktor 1 x N.

Nombor N \u003d ℓ 2, di mana ℓ - IF, membentuk satu triple Pythagoras, jika ℓ ialah MF, maka tiada tiga kali ganda pada faktor ℓхℓ.

Mari bina matriks untuk x, y.

Mari kita mulakan dengan matriks untuk x. Untuk melakukan ini, kami akan menariknya grid koordinat daripada masalah mengenal pasti IF dan MF.

Penomboran baris menegak dinormalkan oleh ungkapan

Mari kita keluarkan lajur pertama, kerana

Matriks akan mengambil bentuk -

Mari kita terangkan baris menegak, -

Mari kita terangkan pekali pada "a", -

Mari kita huraikan ahli percuma, -

Mari kita buat formula am untuk "x", -

Jika kita melakukan kerja yang serupa untuk "y", kita dapat -

Anda boleh mendekati hasil ini dari sisi lain.

Mari kita ambil persamaan,

dan 2 + N = dalam 2 .

Mari kita ubah sedikit -

N \u003d dalam 2 - a 2.

Mari kita kuadkan -

N 2 \u003d dalam 4 - 2v 2 a 2 + a 4.

Pada sisi kiri dan kanan persamaan, tambahkan dalam magnitud 4v 2 a 2, -

N 2 + 4v 2 a 2 \u003d dalam 4 + 2v 2 a 2 + a 4.

Dan akhirnya -

(dalam 2 + a 2) 2 \u003d (2va) 2 + N 2.

Rangkap tiga Pythagoras terdiri seperti berikut:

Pertimbangkan contoh dengan nombor N = 117.

1 x 117 = 117, 3 x 39 = 117, 9 x 13 = 117.

Lajur menegak Jadual 2 dinomborkan dengan nilai dalam - a, manakala lajur menegak Jadual 3 dinomborkan dengan nilai x - y.

x - y \u003d (c - a) 2,

x \u003d y + (c - a) 2.

Mari kita buat tiga persamaan.

(y + 1 2) 2 \u003d y 2 + 117 2,

(y + 3 2) 2 \u003d y 2 + 117 2,

(y + 9 2) 2 \u003d y 2 + 117 2.

x 1 = 6845, y 1 = 6844, z 1 = 117.

x 2 = 765, y 2 = 756, z 2 = 117 (x 2 = 85, y 2 = 84, z 2 = 13).

x 3 = 125, y 3 = 44, z 3 = 117.

Faktor 3 dan 39 bukanlah nombor perdana, jadi satu rangkap tiga ternyata dengan faktor 9.

Mari kita gambarkan di atas ditulis dalam simbol umum, -

Dalam kerja ini, segala-galanya, termasuk contoh untuk mengira tiga kali ganda Pythagoras dengan nombor

N = 117, terikat dengan faktor yang lebih kecil dalam - a. Diskriminasi eksplisit berhubung dengan faktor dalam + a. Mari kita betulkan ketidakadilan ini - kita akan mengarang tiga persamaan dengan faktor dalam + a.

Mari kita kembali kepada persoalan pengenalan IF dan MF.

Banyak perkara telah dilakukan ke arah ini, dan hari ini pemikiran berikut telah datang melalui tangan - tidak ada persamaan pengenalan, dan tidak ada perkara seperti untuk menentukan faktor.

Katakan kita telah menemui hubungan F = a, b (N).

Ada formula

Anda boleh menyingkirkan dalam formula F dari dalam dan anda mendapat persamaan homogen darjah ke-n berkenaan dengan a, i.e. F = a(N).

Untuk sebarang darjah n persamaan ini, terdapat nombor N dengan pasangan m faktor, untuk m > n.

Dan sebagai akibatnya, persamaan homogen darjah n mesti mempunyai punca m.

Ya, ini tidak boleh.

Dalam kertas ini, nombor N telah dipertimbangkan untuk persamaan x 2 = y 2 + z 2 apabila ia berada dalam persamaan di tempat z. Apabila N berada di tempat x, ini adalah tugas lain.

Yang ikhlas, Belotelov V.A.

Seterusnya, kami mempertimbangkan kaedah yang terkenal untuk menghasilkan tiga kali ganda Pythagoras yang berkesan. Pelajar Pythagoras adalah yang pertama mencipta cara mudah untuk menjana tripel Pythagoras, menggunakan formula yang bahagiannya mewakili tripel Pythagoras:

m 2 + ((m 2 − 1)/2) 2 = ((m 2 + 1)/2) 2 ,

di mana m- tidak berpasangan, m>2. sungguh,

4m 2 + m 4 − 2m 2 + 1
m 2 + ((m 2 − 1)/2) 2 = ————————— = ((m 2 + 1)/2) 2 .
4

Formula yang sama telah dicadangkan oleh ahli falsafah Yunani kuno Plato:

(2m) 2 + (m 2 − 1) 2 = (m 2 + 1) 2 ,

di mana m- sebarang nombor. Untuk m= 2,3,4,5 kembar tiga berikut dijana:

(16,9,25), (36,64,100), (64,225,289), (100,576,676).

Seperti yang anda lihat, formula ini tidak boleh memberikan semua tiga kali ganda primitif yang mungkin.

Pertimbangkan polinomial berikut, yang diuraikan menjadi jumlah polinomial:

(2m 2 + 2m + 1) 2 = 4m 4 + 8m 3 + 8m 2 + 4m + 1 =
=4m 4 + 8m 3 + 4m 2 + 4m 2 + 4m + 1 = (2m(m+1)) 2 + (2m +1) 2 .

Oleh itu formula berikut untuk mendapatkan tiga kali ganda primitif:

a = 2m +1 , b = 2m(m+1) = 2m 2 + 2m , c = 2m 2 + 2m + 1.

Formula ini menjana tiga kali ganda di mana bilangan purata berbeza daripada yang terbesar dengan tepat satu, iaitu, tidak semua tiga kali ganda yang mungkin juga dijana. Di sini tiga kali ganda pertama ialah: (5,12,13), (7,24,25), (9,40,41), (11,60,61).

Untuk menentukan cara menjana semua tripel primitif, seseorang mesti memeriksa sifatnya. Pertama, jika ( a,b,c) ialah rangkap tiga primitif, maka a Dan b, b Dan c, A Dan c- mestilah koprime. biarlah a Dan b dibahagikan kepada d. Kemudian a 2 + b 2 juga boleh dibahagikan dengan d. Masing-masing, c 2 dan c hendaklah dibahagikan kepada d. Iaitu, ia bukan triple primitif.

Kedua, antara nombor a, b satu mesti berpasangan dan satu lagi tidak berpasangan. Sesungguhnya, jika a Dan b- berpasangan, kemudian Dengan akan berpasangan, dan nombor boleh dibahagikan dengan sekurang-kurangnya 2. Jika kedua-duanya tidak berpasangan, maka mereka boleh diwakili sebagai 2 k+1 dan 2 l+1, di mana k,l- beberapa nombor. Kemudian a 2 + b 2 = 4k 2 +4k+1+4l 2 +4l+1, iaitu, Dengan 2, serta a 2 + b 2 mempunyai baki 2 apabila dibahagikan dengan 4.

biarlah Dengan- sebarang nombor, iaitu Dengan = 4k+i (i=0,…,3). Kemudian Dengan 2 = (4k+i) 2 mempunyai baki 0 ​​atau 1 dan tidak boleh mempunyai baki 2. Oleh itu, a Dan b tidak boleh tidak berpasangan, iaitu a 2 + b 2 = 4k 2 +4k+4l 2 +4l+1 dan selebihnya Dengan 2 dengan 4 sepatutnya 1, yang bermaksud itu Dengan sepatutnya tidak berpasangan.

Keperluan sedemikian untuk unsur-unsur triple Pythagoras dipenuhi oleh nombor berikut:

a = 2mn, b = m 2 − n 2 , c = m 2 + n 2 , m > n, (2)

di mana m Dan n adalah coprime dengan pasangan yang berbeza. Buat pertama kalinya, kebergantungan ini diketahui daripada karya Euclid, yang hidup 2300 r. belakang.

Mari kita buktikan kesahihan tanggungan (2). biarlah A- dua kali ganda, kemudian b Dan c- tidak berpasangan. Kemudian c + b i c − b- pasangan. Mereka boleh diwakili sebagai c + b = 2u Dan c − b = 2v, Di mana u,v ialah beberapa integer. sebab tu

a 2 = Dengan 2 − b 2 = (c + b)(c − b) = 2u 2 v = 4UV

Dan oleh itu ( a/2) 2 = UV.

Ia boleh dibuktikan dengan percanggahan itu u Dan v adalah coprime. biarlah u Dan v- dibahagikan kepada d. Kemudian ( c + b) Dan ( c − b) terbahagi kepada d. Dan oleh itu c Dan b hendaklah dibahagikan kepada d, dan ini bercanggah dengan syarat untuk triple Pythagoras.

Kerana UV = (a/2) 2 dan u Dan v coprime, mudah untuk membuktikannya u Dan v mestilah segi empat sama beberapa nombor.

Jadi terdapat integer positif m Dan n, seperti itu u = m 2 dan v = n 2. Kemudian

A 2 = 4UV = 4m 2 n 2 jadi
A = 2mn; b = u − v = m 2 − n 2 ; c = u + v = m 2 + n 2 .

Kerana b> 0, kemudian m > n.

Ia kekal untuk menunjukkan itu m Dan n mempunyai pasangan yang berbeza. Jika m Dan n- berpasangan, kemudian u Dan v mesti dipasangkan, tetapi ini adalah mustahil, kerana ia adalah coprime. Jika m Dan n- tidak berpasangan, kemudian b = m 2 − n 2 dan c = m 2 + n 2 akan dipasangkan, yang mustahil kerana c Dan b adalah coprime.

Oleh itu, mana-mana rangkap tiga Pythagoras primitif mesti memenuhi syarat (2). Pada masa yang sama, nombor m Dan n dipanggil menjana nombor kembar tiga primitif. Sebagai contoh, mari kita mempunyai rangkap tiga Pythagoras primitif (120,119,169). Dalam kes ini

A= 120 = 2 12 5, b= 119 = 144 − 25, dan c = 144+25=169,

di mana m = 12, n= 5 - menjana nombor, 12 > 5; 12 dan 5 adalah koprime dan pasangan yang berbeza.

Ia boleh dibuktikan bahawa nombor m, n formula (2) memberikan rangkap tiga Pythagoras primitif (a,b,c). sungguh,

A 2 + b 2 = (2mn) 2 + (m 2 − n 2) 2 = 4m 2 n 2 + (m 4 − 2m 2 n 2 + n 4) =
= (m 4 + 2m 2 n 2 + n 4) = (m 2 + n 2) 2 = c 2 ,

Itu dia ( a,b,c) ialah rangkap tiga Pythagoras. Mari kita buktikan bahawa sementara a,b,c ialah nombor koprima mengikut percanggahan. Biarkan nombor ini dibahagikan dengan hlm> 1. Sejak m Dan n mempunyai pasangan yang berbeza, kemudian b Dan c- tidak berpasangan, iaitu hlm≠ 2. Sejak R membahagikan b Dan c, Itu R mesti bahagi 2 m 2 dan 2 n 2 , yang mustahil kerana hlm≠ 2. Oleh itu m, n adalah coprime dan a,b,c juga koprime.

Jadual 1 menunjukkan semua tripel Pythagoras primitif yang dihasilkan oleh formula (2) untuk m≤10.

Jadual 1. Rangkap tiga Pythagoras Primitif untuk m≤10

m	n	a	b	c	m	n	a	b	c
2	1	4	3	5	8	1	16	63	65
3	2	12	5	13	8	3	48	55	73
4	1	8	15	17	8	5	80	39	89
4	3	24	7	25	8	7	112	15	113
5	2	20	21	29	9	2	36	77	85
5	4	40	9	41	9	4	72	65	97
6	1	12	35	37	9	8	144	17	145
6	5	60	11	61	10	1	20	99	101
7	2	28	45	53	10	3	60	91	109
7	4	56	33	65	10	7	140	51	149
7	6	84	13	85	10	9	180	19	181

Analisis jadual ini menunjukkan kehadiran siri corak berikut:

• atau a, atau b dibahagikan dengan 3;
• salah satu nombor a,b,c boleh dibahagikan dengan 5;
• nombor A boleh dibahagikan dengan 4;
• kerja a· b boleh dibahagi dengan 12.

Pada tahun 1971, ahli matematik Amerika Teigan dan Hedwin mencadangkan parameter segi tiga bersudut tegak yang kurang diketahui sebagai ketinggian (ketinggiannya) untuk menghasilkan tiga kali ganda. h = c− b dan lebihan (kejayaan) e = a + b − c. Dalam Rajah.1. kuantiti ini ditunjukkan pada segi tiga tepat tertentu.

Rajah 1. Segitiga tegak dan pertumbuhan serta lebihannya

Nama "lebihan" berasal dari fakta bahawa ini adalah jarak tambahan yang mesti dilalui di sepanjang kaki segitiga dari satu puncak ke sebaliknya, jika anda tidak mengikuti pepenjurunya.

Melalui lebihan dan pertumbuhan, sisi segitiga Pythagoras boleh dinyatakan sebagai:

e 2 e 2
a = h + e, b = e + ——, c = h + e + ——, (3)
2h 2h

Bukan semua gabungan h Dan e mungkin sepadan dengan segi tiga Pythagoras. Untuk diberikan h nilai yang mungkin e ialah hasil darab beberapa nombor d. Nombor ini d dipanggil pertumbuhan dan merujuk kepada h dengan cara berikut: d ialah integer positif terkecil yang kuasa duanya boleh dibahagi dengan 2 h. Kerana e pelbagai d, maka ia ditulis sebagai e = kd, Di mana k ialah integer positif.

Dengan bantuan pasangan ( k,h) anda boleh menjana semua segi tiga Pythagoras, termasuk bukan primitif dan umum, seperti berikut:

(dk) 2 (dk) 2
a = h + dk, b = dk + ——, c = h + dk + ——, (4)
2h 2h

Selain itu, triple adalah primitif jika k Dan h adalah koprime dan jika h =± q 2 pada q- tidak berpasangan.
Lebih-lebih lagi, ia akan menjadi tepat tiga kali ganda Pythagoras jika k> √2 h/d Dan h > 0.

Untuk mencari k Dan h daripada ( a,b,c) lakukan perkara berikut:

• h = c − b;
• menulis h Bagaimana h = pq 2, di mana hlm> 0 dan yang bukan segi empat sama;
• d = 2pq Jika hlm- tidak berpasangan dan d = pq, jika p dipasangkan;
• k = (a − h)/d.

Sebagai contoh, untuk triple (8,15,17) yang kita ada h= 17−15 = 2 1, jadi hlm= 2 dan q = 1, d= 2, dan k= (8 − 2)/2 = 3. Jadi rangkap tiga ini diberikan sebagai ( k,h) = (3,2).

Untuk triple (459,1260,1341) yang kami ada h= 1341 − 1260 = 81, jadi hlm = 1, q= 9 dan d= 18, oleh itu k= (459 − 81)/18 = 21, jadi kod rangkap tiga ini ialah ( k,h) = (21, 81).

Menentukan tiga kali ganda dengan h Dan k mempunyai beberapa sifat yang menarik. Parameter k sama

k = 4S/(dP), (5)

di mana S = ab/2 ialah luas segi tiga, dan P = a + b + c ialah perimeternya. Ini berikutan daripada kesamarataan eP = 4S, yang berasal daripada teorem Pythagoras.

Untuk segi tiga tepat e sama dengan diameter bulatan yang tertulis dalam segi tiga. Ini datang daripada fakta bahawa hipotenus Dengan = (A − r)+(b − r) = a + b − 2r, Di mana r ialah jejari bulatan. Dari sini h = c − b = A − 2r Dan e = a − h = 2r.

Untuk h> 0 dan k > 0, k ialah nombor ordinal kembar tiga a-b-c dalam urutan segi tiga Pythagoras dengan peningkatan h. Daripada jadual 2, yang menunjukkan beberapa pilihan untuk kembar tiga yang dijana oleh pasangan h, k, dapat dilihat bahawa dengan peningkatan k sisi segi tiga bertambah. Oleh itu, tidak seperti penomboran klasik, penomboran secara berpasangan h, k mempunyai susunan yang lebih tinggi dalam urutan kembar tiga.

Jadual 2. Rangkap tiga Pythagoras yang dijana oleh pasangan h, k.

h	k	a	b	c	h	k	a	b	c
2	1	4	3	5	3	1	9	12	15
2	2	6	8	10	3	2	15	36	39
2	3	8	15	17	3	3	21	72	75
2	4	10	24	26	3	4	27	120	123
2	5	12	35	37	3	5	33	180	183

Untuk h > 0, d memenuhi ketaksamaan 2√ h ≤ d ≤ 2h, di mana sempadan bawah dicapai pada hlm= 1, dan yang atas, di q= 1. Oleh itu, nilai d berkenaan dengan 2√ h adalah ukuran berapa banyak h jauh daripada kuasa dua beberapa nombor.

Hartanah

Sejak persamaan x 2 + y 2 = z 2 homogen, apabila didarab x , y Dan z untuk nombor yang sama anda mendapat satu lagi triple Pythagoras. Rangkap tiga Pythagoras dipanggil primitif, jika ia tidak boleh diperolehi dengan cara ini, iaitu - nombor relatif perdana.

Contoh

Beberapa rangkap tiga Pythagoras (diisih dalam tertib menaik bagi nombor maksimum, yang primitif diserlahkan):

(3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (16, 30, 34), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (14, 48, 50), (30, 40, 50)…

Berdasarkan sifat nombor Fibonacci, anda boleh menjadikannya, sebagai contoh, tiga kali ganda Pythagoras:

.

cerita

Triple Pythagoras telah diketahui sejak sekian lama. Dalam seni bina batu nisan Mesopotamia purba, segitiga sama kaki ditemui, terdiri daripada dua segi empat tepat dengan sisi 9, 12 dan 15 hasta. Piramid Firaun Snefru (abad XXVII SM) dibina menggunakan segi tiga dengan sisi 20, 21 dan 29, serta 18, 24 dan 30 puluh hasta Mesir.

lihat juga

Pautan

• E. A. Gorin Kuasa nombor perdana dalam tiga kali ganda Pythagoras // Pendidikan matematik. - 2008. - V. 12. - S. 105-125.

Yayasan Wikimedia. 2010 .

Lihat apakah "nombor Pythagoras" dalam kamus lain:

Tiga kali ganda nombor asli supaya segitiga yang panjang sisinya berkadar (atau sama) dengan nombor ini adalah bersudut tegak, mis. tiga nombor: 3, 4, 5… Kamus Ensiklopedia Besar

Tiga kali ganda nombor asli sedemikian rupa sehingga segitiga yang panjang sisinya berkadar (atau sama) dengan nombor ini adalah segi empat tepat, contohnya, tiga kali ganda nombor: 3, 4, 5. * * * NOMBOR PYTHAGORAN NOMBOR PYTHAGORAN, tiga kali ganda nombor asli seperti itu ... ... Kamus ensiklopedia

Tiga kali ganda nombor asli supaya segitiga yang panjang sisinya berkadar (atau sama) dengan nombor ini ialah segi tiga tepat. Menurut teorem, songsang teorem Pythagoras (lihat teorem Pythagoras), untuk ini sudah cukup bahawa mereka ... ...

Kembar tiga bagi integer positif x, y, z memuaskan persamaan x2+y 2=z2. Semua penyelesaian persamaan ini, dan akibatnya, semua P. p., dinyatakan oleh formula x=a 2 b2, y=2ab, z=a2+b2, dengan a, b ialah integer positif arbitrari (a>b). P. h ... Ensiklopedia Matematik

Tiga kali ganda nombor asli sedemikian rupa sehingga segitiga, panjang sisi yang berkadar (atau sama) dengan nombor ini, adalah segi empat tepat, contohnya. tiga nombor: 3, 4, 5… Sains semula jadi. Kamus ensiklopedia

Dalam matematik, nombor Pythagoras (Pythagoras triple) ialah tuple tiga integer yang memenuhi hubungan Pythagoras: x2 + y2 = z2. Kandungan 1 Sifat 2 Contoh ... Wikipedia

Nombor kerinting ialah nama umum nombor yang dikaitkan dengan rajah geometri tertentu. Konsep sejarah ini kembali kepada Pythagoreans. Mungkin, ungkapan "Petak atau kubus" timbul daripada nombor kerinting. Kandungan ... ... Wikipedia

Nombor kerinting ialah nama umum nombor yang dikaitkan dengan rajah geometri tertentu. Konsep sejarah ini kembali kepada Pythagoreans. Terdapat jenis nombor kerinting berikut: Nombor linear ialah nombor yang tidak terurai menjadi faktor, iaitu ... ... Wikipedia

- "Paradoks pi" adalah jenaka mengenai topik matematik, yang telah beredar di kalangan pelajar sehingga tahun 80-an (sebenarnya, sebelum pengedaran jisim mikrokalkulator) dan dikaitkan dengan ketepatan terhad pengiraan fungsi trigonometri dan ... ... Wikipedia

- (Aritmetika Yunani, daripada nombor arithmys) sains nombor, terutamanya nombor asli (integer positif) dan pecahan (rasional), dan operasi padanya. Memiliki konsep nombor asli yang cukup maju dan keupayaan untuk ... ... Ensiklopedia Soviet yang Hebat

Buku

• Musim panas Archimedean, atau sejarah komuniti ahli matematik muda. Sistem nombor binari, Bobrov Sergey Pavlovich. Sistem nombor binari, "Menara Hanoi", gerakan kesatria, petak ajaib, segi tiga aritmetik, nombor kerinting, gabungan, konsep kebarangkalian, jalur Möbius dan botol Klein.…

» Profesor Matematik yang dihormati di Universiti Warwick, seorang pempopular sains terkenal Ian Stewart, berdedikasi untuk peranan nombor dalam sejarah umat manusia dan kaitan kajian mereka pada zaman kita.

Hipotenus Pythagoras

Segitiga Pythagoras mempunyai sudut tegak dan sisi integer. Dalam yang paling mudah, sisi terpanjang mempunyai panjang 5, selebihnya ialah 3 dan 4. Terdapat 5 polyhedra biasa secara keseluruhan. Persamaan darjah kelima tidak boleh diselesaikan dengan punca darjah kelima - atau mana-mana punca lain. Kekisi dalam satah dan dalam ruang tiga dimensi tidak mempunyai simetri putaran lima lobus; oleh itu, simetri sedemikian juga tiada dalam kristal. Walau bagaimanapun, ia boleh berada dalam kekisi dalam ruang empat dimensi dan dalam struktur menarik yang dikenali sebagai kuasikkristal.

Hypotenuse bagi triple Pythagoras terkecil

Teorem Pythagoras menyatakan bahawa sisi terpanjang bagi segi tiga tegak (hipotenus yang terkenal) berkorelasi dengan dua sisi lain dari segi tiga ini dengan cara yang sangat mudah dan cantik: kuasa dua sisi miring adalah sama dengan hasil tambah kuasa dua yang lain. dua belah.

Secara tradisinya, kami memanggil teorem ini selepas Pythagoras, tetapi sebenarnya sejarahnya agak kabur. Tablet tanah liat mencadangkan bahawa orang Babylon purba mengetahui teorem Pythagoras jauh sebelum Pythagoras sendiri; kemuliaan penemu telah dibawa kepadanya oleh kultus matematik Pythagoreans, yang penyokongnya percaya bahawa alam semesta adalah berdasarkan corak berangka. Pengarang purba dikaitkan dengan Pythagoras - dan oleh itu kepada Pythagoras - pelbagai teorem matematik, tetapi sebenarnya kita tidak tahu jenis matematik yang Pythagoras sendiri ceburi. Kita tidak tahu sama ada Pythagoras boleh membuktikan Teorem Pythagoras, atau jika mereka hanya percaya ia benar. Atau, kemungkinan besar, mereka mempunyai data yang meyakinkan tentang kebenarannya, yang bagaimanapun tidak akan mencukupi untuk apa yang kita anggap sebagai bukti hari ini.

Bukti Pythagoras

Bukti pertama teorem Pythagoras yang diketahui ditemui dalam Elemen Euclid. Ini adalah bukti yang agak rumit menggunakan lukisan yang akan segera dikenali oleh pelajar sekolah Victoria sebagai "seluar Pythagoras"; lukisan itu benar-benar menyerupai seluar dalam yang dijemur pada tali. Secara harfiah beratus-ratus bukti lain diketahui, kebanyakannya menjadikan pernyataan itu lebih jelas.

// Nasi. 33. Seluar Pythagoras

Salah satu bukti paling mudah ialah sejenis teka-teki matematik. Ambil mana-mana segi tiga tepat, buat empat salinannya dan kumpulkannya di dalam petak. Dengan satu peletakan, kita melihat segi empat sama pada hipotenus; dengan yang lain - segi empat sama pada dua sisi segitiga yang lain. Adalah jelas bahawa kawasan dalam kedua-dua kes adalah sama.

// Nasi. 34. Kiri: segi empat sama pada hipotenus (tambah empat segi tiga). Kanan: jumlah segi empat sama pada dua sisi yang lain (ditambah empat segi tiga yang sama). Sekarang hapuskan segitiga

Pembedahan Perigal adalah satu lagi bukti teka-teki.

// Nasi. 35. Pembedahan Perigal

Terdapat juga bukti teorem menggunakan petak susun pada satah. Mungkin ini adalah bagaimana Pythagoras atau pendahulu mereka yang tidak diketahui menemui teorem ini. Jika anda melihat bagaimana segi empat sama serong bertindih dengan dua petak yang lain, anda boleh melihat cara memotong petak besar menjadi kepingan dan kemudian meletakkannya bersama-sama menjadi dua petak yang lebih kecil. Anda juga boleh melihat segi tiga bersudut tepat, yang sisinya memberikan dimensi tiga segi empat sama yang terlibat.

// Nasi. 36. Buktikan dengan menurap

Terdapat bukti menarik menggunakan segi tiga yang serupa dalam trigonometri. Sekurang-kurangnya lima puluh bukti yang berbeza diketahui.

Kembar tiga Pythagoras

Dalam teori nombor, teorem Pythagoras menjadi sumber idea yang bermanfaat: untuk mencari penyelesaian integer kepada persamaan algebra. Rangkap tiga Pythagoras ialah set integer a, b dan c sedemikian

Secara geometri, triple sedemikian mentakrifkan segi tiga tepat dengan sisi integer.

Hipotenus terkecil bagi triple Pythagoras ialah 5.

Dua lagi sisi segitiga ini ialah 3 dan 4. Di sini

32 + 42 = 9 + 16 = 25 = 52.

Hipotenus terbesar seterusnya ialah 10 kerana

62 + 82 = 36 + 64 = 100 = 102.

Walau bagaimanapun, ini pada dasarnya adalah segi tiga yang sama dengan sisi dua kali ganda. Hipotenus terbesar dan benar-benar berbeza seterusnya ialah 13, yang mana

52 + 122 = 25 + 144 = 169 = 132.

Euclid tahu bahawa terdapat sejumlah tak terhingga variasi berbeza Pythagoras triple, dan dia memberikan apa yang boleh dipanggil formula untuk mencari kesemuanya. Kemudian, Diophantus dari Alexandria menawarkan resipi mudah, pada dasarnya sama dengan Euclidean.

Ambil mana-mana dua nombor asli dan hitung:

produk berganda mereka;

perbezaan petak mereka;

jumlah kuasa dua mereka.

Tiga nombor yang terhasil akan menjadi sisi segitiga Pythagoras.

Ambil, sebagai contoh, nombor 2 dan 1. Kira:

hasil dua kali ganda: 2 × 2 × 1 = 4;

perbezaan segi empat sama: 22 - 12 = 3;

jumlah kuasa dua: 22 + 12 = 5,

dan kami mendapat segitiga 3-4-5 yang terkenal. Jika kita mengambil nombor 3 dan 2 sebaliknya, kita mendapat:

hasil dua kali ganda: 2 × 3 × 2 = 12;

perbezaan segi empat sama: 32 - 22 = 5;

jumlah kuasa dua: 32 + 22 = 13,

dan kita mendapat segitiga terkenal seterusnya 5 - 12 - 13. Mari cuba ambil nombor 42 dan 23 dan dapatkan:

hasil dua kali ganda: 2 × 42 × 23 = 1932;

perbezaan segi empat sama: 422 - 232 = 1235;

jumlah kuasa dua: 422 + 232 = 2293,

tiada siapa yang pernah mendengar tentang segi tiga 1235–1932–2293.

Tetapi nombor ini juga berfungsi:

12352 + 19322 = 1525225 + 3732624 = 5257849 = 22932.

Terdapat satu lagi ciri dalam peraturan Diophantine yang telah dibayangkan: setelah menerima tiga nombor, kita boleh mengambil satu lagi nombor sewenang-wenangnya dan mendarabkan kesemuanya dengannya. Oleh itu, segitiga 3-4-5 boleh ditukar menjadi segitiga 6-8-10 dengan mendarab semua sisi dengan 2, atau menjadi segitiga 15-20-25 dengan mendarabkan semuanya dengan 5.

Jika kita bertukar kepada bahasa algebra, peraturannya dalam bentuk berikut: biarkan u, v dan k ialah nombor asli. Kemudian segi tiga tepat dengan sisi

2kuv dan k (u2 - v2) mempunyai hipotenus

Terdapat cara lain untuk menyampaikan idea utama, tetapi semuanya bermuara kepada yang diterangkan di atas. Kaedah ini membolehkan anda mendapatkan semua triple Pythagoras.

polyhedra biasa

Terdapat betul-betul lima polyhedra biasa. Polihedron biasa (atau polihedron) ialah rajah tiga dimensi dengan bilangan muka rata yang terhingga. Faset bertumpu antara satu sama lain pada garisan yang dipanggil tepi; tepi bertemu pada titik yang dipanggil bucu.

Kemuncak "Prinsip" Euclidean adalah bukti bahawa hanya terdapat lima polyhedra biasa, iaitu polyhedra di mana setiap muka adalah poligon sekata (sisi sama, sudut sama), semua muka adalah serupa, dan semua bucu dikelilingi. dengan bilangan muka yang sama jaraknya. Berikut adalah lima polyhedra biasa:

tetrahedron dengan empat muka segi tiga, empat bucu dan enam tepi;

kubus, atau segi enam, dengan 6 muka persegi, 8 bucu dan 12 tepi;

oktahedron dengan 8 muka segi tiga, 6 bucu dan 12 tepi;

dodecahedron dengan 12 muka pentagonal, 20 bucu dan 30 tepi;

icosahedron dengan 20 muka segi tiga, 12 bucu dan 30 tepi.

// Nasi. 37. Lima polyhedra biasa

Polyhedra biasa juga boleh didapati di alam semula jadi. Pada tahun 1904, Ernst Haeckel menerbitkan lukisan organisma kecil yang dikenali sebagai radiolarians; banyak daripadanya berbentuk seperti lima polyhedra biasa yang sama. Mungkin, bagaimanapun, dia sedikit membetulkan alam semula jadi, dan lukisan itu tidak mencerminkan sepenuhnya bentuk makhluk hidup tertentu. Tiga struktur pertama juga diperhatikan dalam kristal. Anda tidak akan menemui dodekahedron dan ikosahedron dalam kristal, walaupun dodekahedron dan ikosahedron yang tidak sekata kadangkala terjumpa di sana. Dodecahedron sebenar boleh muncul sebagai kuasikkristal, yang seperti kristal dalam semua cara, kecuali atomnya tidak membentuk kekisi berkala.

// Nasi. 38. Lukisan oleh Haeckel: radiolarians dalam bentuk polyhedra biasa

// Nasi. 39. Perkembangan Polihedra Biasa

Ia boleh menjadi menarik untuk membuat model polyhedra biasa daripada kertas dengan terlebih dahulu memotong satu set muka yang saling berkaitan - ini dipanggil sapuan polihedron; imbasan dilipat di sepanjang tepi dan tepi yang sepadan dilekatkan bersama. Adalah berguna untuk menambah kawasan tambahan untuk gam pada salah satu tepi setiap pasangan tersebut, seperti yang ditunjukkan dalam Rajah. 39. Jika tiada platform sedemikian, anda boleh menggunakan pita pelekat.

Persamaan darjah kelima

Tiada formula algebra untuk menyelesaikan persamaan darjah ke-5.

Secara umum, persamaan darjah kelima kelihatan seperti ini:

ax5 + bx4 + cx3 + dx2 + ex + f = 0.

Masalahnya ialah untuk mencari formula untuk menyelesaikan persamaan sedemikian (ia boleh mempunyai sehingga lima penyelesaian). Pengalaman dengan persamaan kuadratik dan kubik, serta persamaan darjah keempat, menunjukkan bahawa formula sedemikian juga harus wujud untuk persamaan darjah kelima, dan, secara teori, punca darjah kelima, ketiga dan kedua harus muncul dalam ia. Sekali lagi, seseorang boleh mengandaikan bahawa formula sedemikian, jika wujud, akan menjadi sangat, sangat rumit.

Andaian ini akhirnya ternyata meleset. Sesungguhnya, tiada formula sedemikian wujud; sekurang-kurangnya tidak ada rumus yang terdiri daripada pekali a, b, c, d, e dan f, yang digubah menggunakan penambahan, penolakan, pendaraban dan pembahagian, serta mengambil punca. Oleh itu, terdapat sesuatu yang sangat istimewa tentang nombor 5. Sebab-sebab tingkah laku luar biasa lima orang ini sangat mendalam, dan ia mengambil banyak masa untuk memikirkannya.

Tanda pertama masalah ialah tidak kira betapa sukarnya ahli matematik untuk mencari formula sedemikian, tidak kira betapa pintar mereka, mereka sentiasa gagal. Untuk beberapa waktu, semua orang percaya bahawa sebabnya terletak pada kerumitan formula yang luar biasa. Adalah dipercayai bahawa tiada siapa yang boleh memahami algebra ini dengan betul. Walau bagaimanapun, dari masa ke masa, beberapa ahli matematik mula meragui bahawa formula sedemikian wujud, dan pada tahun 1823 Niels Hendrik Abel dapat membuktikan sebaliknya. Tiada formula sedemikian. Tidak lama selepas itu, Évariste Galois menemui cara untuk menentukan sama ada persamaan satu darjah atau yang lain - ke-5, ke-6, ke-7, umumnya mana-mana - boleh diselesaikan menggunakan formula jenis ini.

Kesimpulan dari semua ini adalah mudah: nombor 5 adalah istimewa. Anda boleh menyelesaikan persamaan algebra (menggunakan punca ke-n untuk nilai n yang berbeza) untuk kuasa 1, 2, 3, dan 4, tetapi bukan untuk kuasa 5. Di sinilah corak yang jelas berakhir.

Tiada siapa yang terkejut bahawa persamaan kuasa yang lebih besar daripada 5 berkelakuan lebih teruk; khususnya, kesukaran yang sama berkaitan dengan mereka: tidak ada formula umum untuk penyelesaian mereka. Ini tidak bermakna bahawa persamaan tidak mempunyai penyelesaian; ia juga tidak bermakna bahawa adalah mustahil untuk mencari nilai berangka yang sangat tepat bagi penyelesaian ini. Ini semua tentang batasan alat algebra tradisional. Ini mengingatkan kemustahilan memotong sudut dengan pembaris dan kompas. Terdapat jawapan, tetapi kaedah yang disenaraikan tidak mencukupi dan tidak membenarkan anda menentukan apa itu.

Had kristalografi

Kristal dalam dua dan tiga dimensi tidak mempunyai simetri putaran 5 rasuk.

Atom dalam kristal membentuk kekisi, iaitu struktur yang berulang secara berkala dalam beberapa arah bebas. Sebagai contoh, corak pada kertas dinding diulang sepanjang gulungan; di samping itu, ia biasanya diulang dalam arah mendatar, kadang-kadang dengan peralihan dari satu keping kertas dinding ke yang seterusnya. Pada asasnya, kertas dinding adalah kristal dua dimensi.

Terdapat 17 jenis corak kertas dinding pada pesawat (lihat bab 17). Mereka berbeza dalam jenis simetri, iaitu, dengan cara mengalihkan corak secara tegar supaya ia terletak tepat pada dirinya dalam kedudukan asalnya. Jenis simetri termasuk, khususnya, pelbagai varian simetri putaran, di mana corak harus diputar melalui sudut tertentu di sekeliling titik tertentu - pusat simetri.

Susunan simetri putaran ialah berapa kali anda boleh memusingkan badan ke bulatan penuh supaya semua butiran gambar kembali ke kedudukan asalnya. Contohnya, putaran 90° ialah simetri putaran tertib ke-4*. Senarai kemungkinan jenis simetri putaran dalam kekisi kristal sekali lagi menunjukkan keanehan nombor 5: ia tidak ada di sana. Terdapat varian dengan simetri putaran tertib ke-2, ke-3, ke-4 dan ke-6, tetapi tiada corak kertas dinding mempunyai simetri putaran tertib ke-5. Juga tiada simetri putaran tertib lebih besar daripada 6 dalam kristal, tetapi pelanggaran jujukan pertama masih berlaku pada nombor 5.

Perkara yang sama berlaku dengan sistem kristalografi dalam ruang tiga dimensi. Di sini kekisi berulang dalam tiga arah bebas. Terdapat 219 jenis simetri yang berbeza, atau 230 jika kita menganggap pantulan cermin corak sebagai versi berasingan daripadanya - lebih-lebih lagi, dalam kes ini tidak ada simetri cermin. Sekali lagi, simetri putaran pesanan 2, 3, 4, dan 6 diperhatikan, tetapi bukan 5. Fakta ini dipanggil kekangan kristalografi.

Dalam ruang empat dimensi, kekisi dengan simetri tertib ke-5 wujud; secara umum, untuk kekisi dengan dimensi yang cukup tinggi, sebarang susunan simetri putaran yang telah ditetapkan adalah mungkin.

// Nasi. 40. Kekisi kristal garam meja. Bola gelap mewakili atom natrium, bola cahaya mewakili atom klorin.

Kuasikristal

Walaupun simetri putaran tertib ke-5 tidak boleh didapati dalam kekisi 2D dan 3D, ia boleh wujud dalam struktur yang kurang sekata yang dikenali sebagai quasicrystals. Menggunakan lakaran Kepler, Roger Penrose menemui sistem rata dengan jenis simetri lima kali ganda yang lebih umum. Mereka dipanggil quasicrystals.

Kuasikristal wujud dalam alam semula jadi. Pada tahun 1984, Daniel Shechtman mendapati bahawa aloi aluminium dan mangan boleh membentuk kuasi-kristal; Pada mulanya, ahli kristalograf menyambut mesejnya dengan sedikit keraguan, tetapi kemudian penemuan itu disahkan, dan pada tahun 2011 Shechtman telah dianugerahkan Hadiah Nobel dalam Kimia. Pada tahun 2009, sekumpulan saintis yang diketuai oleh Luca Bindi menemui kristal kuasi dalam mineral dari Tanah Tinggi Koryak Rusia - sebatian aluminium, tembaga dan besi. Hari ini mineral ini dipanggil icosahedrite. Dengan mengukur kandungan pelbagai isotop oksigen dalam mineral dengan spektrometer jisim, saintis menunjukkan bahawa mineral ini tidak berasal dari Bumi. Ia terbentuk kira-kira 4.5 bilion tahun yang lalu, pada masa ketika sistem suria baru sahaja muncul, dan menghabiskan sebahagian besar masanya dalam tali pinggang asteroid, mengorbit matahari, sehingga beberapa jenis gangguan mengubah orbitnya dan akhirnya membawanya ke Bumi.

// Nasi. 41. Kiri: satu daripada dua kekisi kuasi-hablur dengan simetri lima kali ganda tepat. Kanan: Model atom bagi kuasikristal aluminium-paladium-mangan ikosahedral