Jejari bulatan bertulis dalam rombus. segi tiga sama sisi

Jika bulatan terletak di dalam sudut dan menyentuh sisinya, ia dipanggil tertulis dalam sudut ini. Pusat bulatan bertulis tersebut terletak di pembahagi dua sudut ini.

Jika ia terletak di dalam poligon cembung dan menyentuh semua sisinya, ia dipanggil tertulis dalam poligon cembung.

Bulatan tertulis dalam segi tiga

Bulatan yang ditulis dalam segi tiga menyentuh setiap sisi rajah ini pada satu titik sahaja. Hanya satu bulatan boleh ditulis dalam satu segi tiga.

Jejari bulatan sedemikian akan bergantung pada parameter segitiga berikut:

1. Panjang sisi segi tiga.
2. kawasannya.
3. Perimeternya.
4. Ukuran sudut bagi segi tiga.

Untuk mengira jejari bulatan tersurat dalam segi tiga, tidak semestinya perlu mengetahui semua parameter yang disenaraikan di atas, kerana ia saling berkaitan melalui fungsi trigonometri.

Pengiraan menggunakan separuh perimeter

1. Jika panjang semua sisi rajah geometri diketahui (kami menandakannya dengan huruf a, b dan c), maka jejari perlu dikira dengan mengambil punca kuasa dua.
2. Apabila memulakan pengiraan, perlu menambah satu lagi pembolehubah kepada data awal - separuh perimeter (p). Ia boleh dikira dengan menjumlahkan semua panjang dan membahagikan jumlah yang terhasil dengan 2. p = (a+b+c)/2. Dengan cara ini, formula untuk mencari jejari boleh dipermudahkan dengan ketara.
3. Secara amnya, formula harus mengandungi tanda radikal di bawahnya pecahan diletakkan; penyebut pecahan ini ialah nilai separuh perimeter p.
4. Pengangka bagi pecahan ini akan menjadi hasil darab beza (p-a)*(p-b)*(p-c)
5. Oleh itu, bentuk penuh formula akan dibentangkan seperti berikut: r = √(p-a)*(p-b)*(p-c)/p).

Pengiraan dengan mengambil kira luas segi tiga

Jika kita tahu luas segi tiga dan panjang semua sisinya, ini akan membolehkan kita mencari jejari bulatan yang kita minati tanpa perlu mengeluarkan akarnya.

1. Mula-mula anda perlu menggandakan saiz kawasan.
2. Hasilnya dibahagikan dengan jumlah panjang semua sisi. Maka formula akan kelihatan seperti ini: r = 2*S/(a+b+c).
3. Jika anda menggunakan nilai separuh perimeter, anda boleh mendapatkan formula yang sangat mudah: r = S/p.

Pengiraan menggunakan fungsi trigonometri

Jika penyataan masalah mengandungi panjang salah satu sisi, nilai sudut bertentangan dan perimeter, anda boleh menggunakan fungsi trigonometri - tangen. Dalam kes ini, formula pengiraan akan kelihatan seperti ini:

r = (P /2- a)* tg (α/2), dengan r ialah jejari yang dikehendaki, P ialah perimeter, a ialah panjang salah satu sisi, α ialah nilai sisi bertentangan, dan sudut.

Jejari bulatan yang perlu ditulis dalam segi tiga sekata boleh didapati menggunakan formula r = a*√3/6.

Bulatan tertulis dalam segi tiga tepat

Anda boleh muat ke dalam segi tiga tepat hanya satu bulatan. Pusat bulatan sedemikian secara serentak berfungsi sebagai titik persilangan semua pembahagi dua. Angka geometri ini mempunyai beberapa ciri tersendiri yang mesti diambil kira semasa mengira jejari bulatan bersurat.

1. Mula-mula anda perlu membina segi tiga tepat dengan parameter yang diberikan. Anda boleh membina rajah sedemikian dengan saiz satu sisi dan nilai dua sudut, atau dengan dua sisi dan sudut antara sisi ini. Semua parameter ini mesti dinyatakan dalam keadaan tugas. Segitiga itu dilambangkan sebagai ABC, dengan C ialah bucu sudut tegak. Kaki ditentukan oleh pembolehubah, A Dan b, dan hipotenus ialah pembolehubah Dengan.
2. Untuk membina formula klasik dan mengira jejari bulatan, adalah perlu untuk mencari dimensi semua sisi rajah yang diterangkan dalam pernyataan masalah dan mengira separuh perimeter daripadanya. Jika keadaan memberikan saiz dua kaki, anda boleh menggunakannya untuk mengira saiz hipotenus berdasarkan teorem Pythagoras.
3. Sekiranya keadaan memberi saiz satu kaki dan satu sudut, perlu difahami sama ada sudut ini bersebelahan atau bertentangan. Dalam kes pertama, hipotenus didapati menggunakan teorem sinus: c=a/sinСАВ, dalam kes kedua teorem kosinus digunakan c=a/cosCBA.
4. Apabila semua pengiraan telah selesai dan nilai semua sisi diketahui, separuh perimeter ditemui menggunakan formula yang diterangkan di atas.
5. Mengetahui saiz separuh perimeter, anda boleh mencari jejari. Formulanya ialah pecahan. Pengangkanya ialah hasil daripada perbezaan antara separuh perimeter dan setiap sisi, dan penyebutnya ialah nilai separuh perimeter.

Perlu diingatkan bahawa pengangka formula ini adalah penunjuk kawasan. Dalam kes ini, formula untuk mencari jejari adalah lebih mudah - cukup untuk membahagikan kawasan dengan separuh perimeter.

Adalah mungkin untuk menentukan luas rajah geometri walaupun kedua-dua belah diketahui. Hasil tambah kuasa dua kaki ini digunakan untuk mencari hipotenus, kemudian separuh perimeter dikira. Anda boleh mengira kawasan dengan mendarabkan nilai kaki dengan satu sama lain dan membahagikan hasilnya dengan 2.

Jika dalam keadaan panjang kedua-dua kaki dan hipotenus diberikan, jejari boleh ditentukan menggunakan formula yang sangat mudah: untuk ini, panjang kaki ditambah bersama, dan panjang hipotenus dikurangkan daripada yang terhasil. nombor. Hasilnya mesti dibahagikan kepada separuh.

Video

Dalam video ini anda akan belajar cara mencari jejari bulatan yang tertera dalam segi tiga.

Bulatan tertulis dalam segi tiga

Kewujudan bulatan yang ditulis dalam segi tiga

Mari kita ingat definisi pembahagi dua sudut .

Definisi 1 .Pembahagi dua sudut dipanggil sinar yang membahagikan sudut kepada dua bahagian yang sama.

Teorem 1 (Sifat asas pembahagi dua sudut) . Setiap titik pembahagi dua sudut berada pada jarak yang sama dari sisi sudut (Rajah 1).

nasi. 1

Bukti D , terletak pada pembahagi dua sudutBAC , Dan DE Dan DF pada sisi sudut (Gamb. 1).Segi Tiga Kanan ADF Dan ADE sama rata , kerana mereka mempunyai sudut lancip yang samaDAF Dan DAE , dan hipotenus AD – am. Oleh itu,

DF = DE,

Q.E.D.

Teorem 2 (berbalik dengan Teorem 1) . Jika ada, maka ia terletak pada pembahagi dua sudut (Rajah 2).

nasi. 2

Bukti . Pertimbangkan satu perkara yang sewenang-wenangnyaD , terletak di dalam sudutBAC dan terletak pada jarak yang sama dari sisi sudut. Mari kita turun dari titikD serenjang DE Dan DF pada sisi sudut (Gamb. 2).Segi Tiga Kanan ADF Dan ADE sama rata , kerana mereka mempunyai kaki yang samaDF Dan DE , dan hipotenus AD – am. Oleh itu,

Q.E.D.

Definisi 2 . Bulatan dipanggil bulatan yang ditulis dalam sudut , jika ia adalah sisi sudut ini.

Teorem 3 . Jika bulatan ditulis dalam sudut, maka jarak dari bucu sudut ke titik sentuhan bulatan dengan sisi sudut adalah sama.

Bukti . Biarkan titik D – pusat bulatan yang ditulis dalam sudutBAC , dan mata E Dan F – titik sentuhan bulatan dengan sisi sudut (Rajah 3).

Rajah.3

a , b , c - sisi segi tiga,
 S -persegi,

r – jejari bulatan bertulis,
 hlm – separuh perimeter

.

Lihat output formula

a – sisi sisi segi tiga sama kaki , 
 b - asas, r – jejari bulatan bertulis

a r – jejari bulatan bertulis

Lihat output formula

,

di mana

,

maka, dalam kes segi tiga sama kaki, apabila

kita mendapatkan

iaitu yang dikehendaki.

Teorem 7 . Untuk kesamarataan

di mana a – sisi segi tiga sama sisi,r – jejari bulatan tersurat (Rajah 8).

nasi. 8

Bukti .

,

maka, dalam kes segitiga sama sisi, apabila

b = a,

kita mendapatkan

iaitu yang dikehendaki.

Komen . Sebagai latihan, saya mengesyorkan mendapatkan formula untuk jejari bulatan yang ditulis dalam segi tiga sama secara langsung, i.e. tanpa menggunakan formula am untuk jejari bulatan yang ditulis dalam segitiga sembarangan atau segi tiga sama kaki.

Teorem 8 . Untuk segi tiga tepat, persamaan berikut berlaku:

di mana a , b – kaki segi tiga tepat, c – hipotenus , r – jejari bulatan bersurat.

Bukti . Pertimbangkan Rajah 9.

nasi. 9

Sejak segi empatCDOF ialah , yang mempunyai sisi bersebelahanLAKUKAN Dan DARIPADA adalah sama, maka segi empat tepat ini ialah . Oleh itu,

CB = CF= r,

Berdasarkan Teorem 3, persamaan berikut adalah benar:

Oleh itu, juga mengambil kira , kami memperoleh

iaitu yang dikehendaki.

Pilihan masalah mengenai topik "Bulatan yang ditulis dalam segi tiga."

1.

Bulatan yang ditulis dalam segi tiga sama kaki membahagikan salah satu sisi sisi pada titik sentuhan kepada dua segmen, yang panjangnya ialah 5 dan 3, dikira dari bucu bertentangan dengan tapak. Cari perimeter segi tiga itu.

2.

3

Dalam segi tiga ABC AC=4, BC=3, sudut C ialah 90º. Cari jejari bulatan bersurat itu.

4.

Kaki segi tiga sama kaki ialah 2+. Cari jejari bulatan yang tertulis dalam segi tiga ini.

5.

Jejari bulatan yang ditulis dalam segi tiga tegak sama kaki ialah 2. Cari hipotenus c bagi segi tiga ini. Sila nyatakan c(–1) dalam jawapan anda.

Kami membentangkan beberapa masalah daripada Peperiksaan Negeri Bersepadu dengan penyelesaian.

Jejari bulatan yang ditulis dalam segi tiga tegak sama kaki adalah sama dengan . Cari hipotenus bagi segi tiga ini. Sila nyatakan dalam jawapan anda.

Segitiga itu adalah segi empat tepat dan sama kaki. Ini bermakna bahawa kakinya adalah sama. Biarkan setiap kaki sama. Maka hipotenus adalah sama.

Kami menulis luas segi tiga ABC dalam dua cara:

Menyamakan ungkapan ini, kita dapati itu. Kerana ia, kita faham. Kemudian.

Kami akan menulis sebagai jawapan.

Jawapan:.

Tugasan 2.

1. Secara percuma, terdapat dua sisi 10cm dan 6cm (AB dan BC). Cari jejari bagi bulatan berhad dan bergaris
Masalahnya diselesaikan secara bebas dengan mengulas.

Penyelesaian:

DALAM.

1) Cari:
2) Buktikan:dan cari CK
3) Cari: jejari bulatan berhad dan bergaris

Penyelesaian:

Tugasan 6.

R jejari bulatan yang ditulis dalam segi empat sama ialah. Cari jejari bulatan yang dihadkan tentang petak ini.Diberi :

Cari: OS=?
Penyelesaian: Dalam kes ini, masalah boleh diselesaikan sama ada menggunakan teorem Pythagoras atau formula untuk R. Kes kedua akan menjadi lebih mudah, kerana formula untuk R diperoleh daripada teorem.

Tugasan 7.

Jejari bulatan yang ditulis dalam segi tiga tegak sama kaki ialah 2. Cari hipotenusDengan segi tiga ini. Sila nyatakan dalam jawapan anda.

S – kawasan segi tiga

Kita tidak tahu sama ada sisi segi tiga atau luasnya. Mari kita nyatakan kaki sebagai x, maka hipotenus akan sama dengan:

Dan luas segi tiga itu ialah 0.5x 2 .

Bermakna

Oleh itu, hipotenus akan sama dengan:

Dalam jawapan anda, anda perlu menulis:

Jawapan: 4

Tugasan 8.

Dalam segi tiga ABC AC = 4, BC = 3, sudut C sama dengan 90 0. Cari jejari bulatan bersurat itu.

Mari kita gunakan formula untuk jejari bulatan yang ditulis dalam segi tiga:

dengan a, b, c ialah sisi segi tiga itu

S – kawasan segi tiga

Dua sisi diketahui (ini adalah kaki), kita boleh mengira yang ketiga (hipotenus), dan kita juga boleh mengira kawasan.

Mengikut teorem Pythagoras:

Mari cari kawasan:

Oleh itu:

Jawapan: 1

Tugasan 9.

Sisi segi tiga sama kaki ialah 5 dan tapaknya ialah 6. Cari jejari bulatan bersurat itu.

Mari kita gunakan formula untuk jejari bulatan yang ditulis dalam segi tiga:

dengan a, b, c ialah sisi segi tiga itu

S – kawasan segi tiga

Semua pihak diketahui, mari kita kira luas. Kita boleh mencarinya menggunakan formula Heron:

Kemudian

Rombus ialah segi empat selari dengan semua sisi sama. Oleh itu, ia mewarisi semua sifat segi empat selari. Iaitu:

• Diagonal bagi rombus adalah saling berserenjang.
• Diagonal bagi rombus ialah pembahagi dua sudut dalamannya.

Bulatan boleh ditulis dalam segi empat jika dan hanya jika jumlah sisi bertentangan adalah sama.
Oleh itu, bulatan boleh ditulis dalam mana-mana belah ketupat. Pusat bulatan bertulis bertepatan dengan pusat persilangan pepenjuru rombus.
Jejari bulatan bertulis dalam rombus boleh dinyatakan dalam beberapa cara

1 cara. Jejari bulatan bertulis dalam rombus melalui ketinggian

Ketinggian rombus adalah sama dengan diameter bulatan yang tertulis. Ini berikutan daripada sifat segi empat tepat, yang dibentuk oleh diameter bulatan bertulis dan ketinggian rombus - sisi bertentangan segi empat tepat adalah sama.

Oleh itu, formula untuk jejari bulatan bertulis dalam rombus dari segi ketinggian:

Kaedah 2. Jejari bulatan bertulis dalam rombus melalui pepenjuru

Luas rombus boleh dinyatakan dalam sebutan jejari bulatan bertulis
, Di mana R– perimeter belah ketupat. Mengetahui bahawa perimeter ialah jumlah semua sisi segi empat, kita ada P= 4×a. Kemudian
Tetapi luas rombus juga sama dengan separuh hasil pepenjurunya
Menyamakan sisi kanan formula kawasan, kita mempunyai kesamaan berikut
Hasilnya, kami memperoleh formula yang membolehkan kami mengira jejari bulatan yang tersurat dalam rombus melalui pepenjuru.

Contoh pengiraan jejari bulatan yang tertulis dalam rombus jika pepenjurunya diketahui
Cari jejari bulatan yang tertulis dalam rombus jika diketahui bahawa panjang pepenjuru ialah 30 cm dan 40 cm
biarlah ABCD-ketupat, kemudian A.C. Dan BD pepenjurunya. AC= 30 sm ,BD=40 sm
Biarkan titik TENTANG– ialah pusat yang tertulis dalam rombus ABCD bulatan, maka ia juga akan menjadi titik persilangan pepenjurunya, membahagikannya kepada separuh.


kerana pepenjuru rombus bersilang pada sudut tepat, maka segi tiga AOB segi empat tepat. Kemudian, dengan teorem Pythagoras
, gantikan nilai yang diperoleh sebelumnya ke dalam formula

AB= 25 cm
Menggunakan formula terbitan sebelumnya untuk jejari bulatan berhad dalam rombus, kita memperoleh

3 cara. Jejari bulatan tersurat dalam rombus melalui ruas m dan n

titik F– titik sentuhan bulatan dengan sisi rombus, yang membahagikannya kepada segmen A.F. Dan B.F.. biarlah AF=m, BF=n.
titik O– pusat persilangan pepenjuru rombus dan pusat bulatan yang tertulis di dalamnya.
Segi tiga AOB– segi empat tepat, kerana pepenjuru rombus bersilang pada sudut tepat.
, kerana ialah jejari yang dilukis ke titik tangen bulatan. Oleh itu DARIPADA– ketinggian segi tiga AOB kepada hipotenus. Kemudian A.F. Dan BF unjuran kaki ke hipotenus.
Ketinggian dalam segi tiga tegak, diturunkan kepada hipotenus, ialah purata berkadar antara unjuran kaki ke hipotenus.

Formula untuk jejari bulatan tersurat dalam rombus melalui segmen adalah sama dengan punca kuasa dua hasil darab segmen ini di mana titik tangen bulatan membahagi sisi rombus

Pertimbangkan bulatan yang ditulis dalam segi tiga (Gamb. 302). Ingat bahawa pusatnya O terletak di persimpangan pembahagi dua sudut pedalaman segi tiga itu. Segmen OA, OB, OC yang menghubungkan O dengan bucu segitiga ABC akan membahagikan segi tiga kepada tiga segi tiga:

AOV, VOS, SOA. Ketinggian setiap segi tiga ini adalah sama dengan jejari, dan oleh itu kawasannya akan dinyatakan sebagai

Luas keseluruhan segi tiga S adalah sama dengan jumlah tiga kawasan ini:

di manakah separuh perimeter bagi segi tiga itu. Dari sini

Jejari bulatan bertulis adalah sama dengan nisbah luas segi tiga kepada separuh perimeternya.

Untuk mendapatkan formula bagi circumradius segitiga, kami membuktikan proposisi berikut.

Teorem a: Dalam mana-mana segi tiga, sisi adalah sama dengan diameter bulatan berhad didarab dengan sinus sudut bertentangan.

Bukti. Pertimbangkan segitiga arbitrari ABC dan bulatan yang dihadkan di sekelilingnya, jejarinya akan dilambangkan dengan R (Rajah 303). Biarkan A ialah sudut lancip bagi segi tiga itu. Mari kita lukis jejari OB, OS bulatan dan lepaskan OK berserenjang dari pusat O ke sisi BC segi tiga. Perhatikan bahawa sudut a bagi segi tiga diukur dengan separuh daripada lengkok BC, yang mana sudut BOC ialah sudut pusat. Daripada ini jelas bahawa . Oleh itu, dari segi tiga tepat RNS kita dapati , atau , yang kita perlu buktikan.

Rajah yang diberikan. 303 dan alasan merujuk kepada kes sudut akut segi tiga; Adalah mudah untuk menjalankan pembuktian untuk kes sudut tegak dan tumpul (pembaca akan melakukannya sendiri), tetapi anda boleh menggunakan teorem sinus (218.3). Memandangkan ia mesti dari mana

Teorem sinus juga ditulis dalam. bentuk

dan perbandingan dengan bentuk tatatanda (218.3) memberikan untuk

Jejari bulatan yang dihadkan adalah sama dengan nisbah hasil darab tiga sisi segi tiga dengan luas empat kali gandanya.

Tugasan. Cari sisi segi tiga sama kaki jika bulatan dan bulatannya mempunyai jejari masing-masing

Penyelesaian. Mari kita tulis formula yang menyatakan jejari bagi bulatan tersurat dan berhad bagi segi tiga:

Untuk segi tiga sama kaki dengan sisi dan tapak, luas dinyatakan dengan formula

atau, mengurangkan pecahan dengan faktor bukan sifar, kita ada

yang membawa kepada persamaan kuadratik berkenaan dengan

Ia mempunyai dua penyelesaian:

Menggantikan dan bukannya ungkapannya dalam mana-mana persamaan untuk atau R, kami akhirnya akan menemui dua jawapan kepada masalah kami:

Senaman

1. Ketinggian segi tiga tepat yang dilukis dari bucu sudut tegak, membahagi hipotenus dalam nisbah Cari nisbah setiap kaki kepada hipotenus.

2. Tapak trapezium sama kaki yang dihadkan pada bulatan adalah sama dengan a dan b. Cari jejari bulatan itu.

3. Dua bulatan bersentuhan secara luaran. Tangen sepunya mereka condong ke garis pusat pada sudut 30°. Panjang ruas tangen antara titik tangen ialah 108 cm Cari jejari bulatan itu.

4. Kaki segi tiga tepat adalah sama dengan a dan b. Cari luas segi tiga yang sisinya ialah altitud dan median bagi segi tiga yang diberi yang dilukis dari bucu sudut tegak, dan segmen hipotenus antara titik persilangannya dengan hipotenus.

5. Sisi segi tiga ialah 13, 14, 15. Cari unjuran setiap satunya pada dua yang lain.

6. Tepi dan altitud segitiga diketahui Cari sisi b dan c.

7. Dua sisi segitiga dan median diketahui Cari sisi ketiga segitiga itu.

8. Diberi dua sisi segitiga dan sudut a di antaranya: Cari jejari bagi bulatan bergaris dan berhad.

9. Sisi segi tiga a, b, c diketahui. Apakah segmen di mana ia dibahagikan dengan titik sentuhan bulatan bertulis dengan sisi segi tiga?