Piramid ketinggian tulang rusuk sisi asasnya. Piramid

• apotema- ketinggian muka sisi piramid biasa, yang dilukis dari atasnya (selain itu, apotema ialah panjang serenjang, yang diturunkan dari tengah poligon biasa ke 1 sisinya);
• muka sebelah (ASB, BSC, CSD, DSA) - segi tiga yang menumpu di bahagian atas;
• rusuk sebelah ( AS , BS , CS , D.S. ) - sisi biasa muka sisi;
• bahagian atas piramid (v. S) - titik yang menghubungkan tepi sisi dan yang tidak terletak pada satah pangkalan;
• ketinggian ( JADI ) - segmen serenjang, yang ditarik melalui bahagian atas piramid ke satah pangkalannya (hujung segmen sedemikian akan menjadi bahagian atas piramid dan pangkal serenjang);
• bahagian pepenjuru piramid- bahagian piramid, yang melalui bahagian atas dan pepenjuru asas;
• asas (ABCD) ialah poligon yang mana bahagian atas piramid itu bukan miliknya.

sifat piramid.

1. Apabila semua tepi sisi adalah sama saiz, maka:

• berhampiran dasar piramid adalah mudah untuk menggambarkan bulatan, manakala bahagian atas piramid akan diunjurkan ke tengah bulatan ini;
• rusuk sisi membentuk sudut yang sama dengan satah asas;
• di samping itu, sebaliknya juga benar, i.e. apabila tepi sisi membentuk sudut yang sama dengan satah asas, atau apabila bulatan boleh diterangkan berhampiran dasar piramid dan bahagian atas piramid akan diunjurkan ke tengah bulatan ini, maka semua tepi sisi piramid mempunyai saiz yang sama.

2. Apabila muka sisi mempunyai sudut kecondongan kepada satah tapak dengan nilai yang sama, maka:

• berhampiran pangkal piramid, mudah untuk menggambarkan bulatan, manakala bahagian atas piramid akan diunjurkan ke tengah bulatan ini;
• ketinggian muka sisi ialah sama panjang;
• luas permukaan sisi ialah ½ hasil darab perimeter tapak dan tinggi muka sisi.

3. Sfera boleh diterangkan berhampiran piramid jika tapak piramid ialah poligon di sekelilingnya yang boleh diterangkan bulatan (keadaan yang perlu dan mencukupi). Pusat sfera akan menjadi titik persilangan satah yang melalui titik tengah tepi piramid yang berserenjang dengannya. Daripada teorem ini kita membuat kesimpulan bahawa, seperti mana-mana segi tiga, dan kira-kira mana-mana piramid yang betul sfera boleh diterangkan.

4. Sfera boleh ditulis dalam piramid jika satah pembahagi dua sudut dihedral dalaman piramid itu bersilang pada titik pertama (keadaan yang perlu dan mencukupi). Titik ini akan menjadi pusat sfera.

Piramid paling ringkas.

Mengikut bilangan sudut asas piramid, mereka dibahagikan kepada segi tiga, segi empat, dan sebagainya.

Piramid akan segi tiga, segi empat, dan seterusnya, apabila tapak piramid ialah segi tiga, segi empat, dan seterusnya. Piramid segi tiga ialah tetrahedron - tetrahedron. Kuadrangular - pentahedron dan sebagainya.

Di sini dikumpul maklumat asas tentang piramid dan formula serta konsep yang berkaitan. Kesemua mereka belajar dengan tutor matematik sebagai persediaan menghadapi peperiksaan.

Pertimbangkan satah, poligon terletak di dalamnya dan titik S tidak terletak di dalamnya. Sambungkan S ke semua bucu poligon. Polihedron yang terhasil dipanggil piramid. Segmen itu dipanggil tepi sisi. Poligon dipanggil tapak, dan titik S dipanggil bahagian atas piramid. Bergantung kepada nombor n, piramid dipanggil segi tiga (n=3), segi empat (n=4), pentagonal (n=5) dan seterusnya. Nama alternatif untuk piramid segi tiga - tetrahedron. Ketinggian piramid ialah serenjang yang dilukis dari puncaknya ke satah asas.

Piramid dipanggil betul jika poligon sekata, dan tapak ketinggian piramid (pangkal serenjang) ialah pusatnya.

Komen tutor:
Jangan mengelirukan konsep "piramid biasa" dan "tetrahedron biasa". Dalam piramid biasa, tepi sisi tidak semestinya sama dengan tepi tapak, tetapi dalam tetrahedron biasa, semua 6 tepi tepi adalah sama. Ini definisi dia. Adalah mudah untuk membuktikan bahawa kesamaan membayangkan bahawa pusat P poligon itu dengan tapak ketinggian, jadi tetrahedron biasa ialah piramid biasa.

Apakah apotema?
Apotema piramid ialah ketinggian muka sisinya. Jika piramid itu sekata, maka semua apotemanya adalah sama. Sebaliknya tidak benar.

Tutor matematik tentang istilahnya: bekerja dengan piramid adalah 80% dibina melalui dua jenis segi tiga:
1) Mengandungi SK apotema dan SP ketinggian
2) Mengandungi SA tepi sisi dan PA unjurannya

Untuk memudahkan rujukan kepada segi tiga ini, adalah lebih mudah bagi tutor matematik untuk menamakan yang pertama daripadanya apotemik, dan kedua costal. Malangnya, anda tidak akan menemui istilah ini dalam mana-mana buku teks, dan guru perlu memperkenalkannya secara unilateral.

Formula isipadu piramid:
1) , di manakah luas tapak piramid, dan ialah ketinggian piramid
2) , di manakah jejari sfera yang tertulis, dan ialah jumlah luas permukaan piramid.
3) , dengan MN ialah jarak mana-mana dua tepi silang, dan ialah luas segi empat selari yang dibentuk oleh titik tengah empat tepi yang tinggal.

Harta Asas Ketinggian Piramid:

Titik P (lihat rajah) bertepatan dengan pusat bulatan bertulis di dasar piramid jika salah satu daripada syarat berikut dipenuhi:
1) Semua apothems adalah sama
2) Semua muka sisi sama condong ke arah pangkal
3) Semua apothems adalah sama condong kepada ketinggian piramid
4) Ketinggian piramid adalah sama condong kepada semua muka sisi

Komen tutor matematik: ambil perhatian bahawa semua mata disatukan oleh satu harta bersama: satu cara atau yang lain, muka sisi mengambil bahagian di mana-mana (apothems adalah elemen mereka). Oleh itu, tutor boleh menawarkan rumusan yang kurang tepat, tetapi lebih mudah untuk hafalan: titik P bertepatan dengan pusat bulatan bertulis, pangkal piramid, jika terdapat sebarang maklumat yang sama tentang muka sisinya. Untuk membuktikannya, sudah memadai untuk menunjukkan bahawa semua segitiga apotemik adalah sama.

Titik P bertepatan dengan pusat bulatan yang dihadkan berhampiran dasar piramid, jika salah satu daripada tiga keadaan adalah benar:
1) Semua tepi sisi adalah sama
2) Semua rusuk sisi sama condong ke arah pangkal
3) Semua rusuk sisi sama condong ke ketinggian

Video pelajaran 2: Cabaran piramid. Isipadu Piramid

Video pelajaran 3: Cabaran piramid. Piramid yang betul

Syarahan: Piramid, tapaknya, tepi sisi, ketinggian, permukaan sisi; piramid segi tiga; piramid kanan

Piramid- Ini ialah badan tiga dimensi yang mempunyai poligon di tapak, dan semua mukanya terdiri daripada segi tiga.

Kes khas piramid ialah kon, di pangkalnya terdapat bulatan.

Pertimbangkan elemen utama piramid:

Apothem ialah segmen yang menghubungkan bahagian atas piramid dengan bahagian tengah tepi bawah muka sisi. Dalam erti kata lain, ini adalah ketinggian muka piramid.

Dalam rajah anda boleh melihat segi tiga ADS, ABS, BCS, CDS. Jika anda melihat dengan teliti pada nama, anda dapat melihat bahawa setiap segi tiga mempunyai satu huruf biasa dalam namanya - S. Iaitu, ini bermakna semua muka sisi (segi tiga) bertumpu pada satu titik, yang dipanggil bahagian atas piramid.

OS segmen, yang menghubungkan puncak dengan titik persilangan pepenjuru tapak (dalam kes segi tiga, pada titik persilangan ketinggian), dipanggil ketinggian piramid.

Bahagian pepenjuru ialah satah yang melalui bahagian atas piramid, serta salah satu pepenjuru tapak.

Oleh kerana permukaan sisi piramid terdiri daripada segi tiga, untuk mencari jumlah luas permukaan sisi, adalah perlu untuk mencari kawasan setiap muka dan menambahnya. Bilangan dan bentuk muka bergantung kepada bentuk dan saiz sisi poligon yang terletak di dasar.

Satu-satunya satah dalam piramid yang tidak mempunyai bucu dipanggil asas piramid.

Dalam rajah, kita melihat bahawa asasnya ialah segi empat selari, namun, boleh ada sebarang poligon sewenang-wenangnya.

Sifat:

Pertimbangkan kes pertama piramid, di mana ia mempunyai tepi yang sama panjang:

• Satu bulatan boleh diterangkan di sekeliling pangkal piramid tersebut. Jika anda menayangkan bahagian atas piramid sedemikian, maka unjurannya akan terletak di tengah bulatan.
• Sudut di dasar piramid adalah sama untuk setiap muka.
• Pada masa yang sama, syarat yang mencukupi untuk fakta bahawa bulatan boleh diterangkan di sekeliling dasar piramid, dan juga bahawa semua tepi mempunyai panjang yang berbeza, boleh dianggap sebagai sudut yang sama antara tapak dan setiap tepi muka. .

Jika anda menjumpai piramid dengan sudut antara muka sisi dan tapak adalah sama, maka sifat berikut adalah benar:

• Anda akan dapat menerangkan bulatan di sekeliling pangkal piramid, bahagian atasnya diunjurkan tepat ke tengah.
• Jika anda melukis pada setiap sisi muka ketinggian ke pangkal, maka ia akan sama panjang.
• Untuk mencari luas permukaan sisi piramid sedemikian, cukup untuk mencari perimeter tapak dan darab dengan separuh panjang ketinggian.
• Sbp \u003d 0.5P oc H.
• Jenis-jenis piramid.
• Bergantung pada poligon yang terletak di dasar piramid, ia boleh menjadi segi tiga, segi empat, dsb. Jika poligon sekata (dengan sisi yang sama) terletak di dasar piramid, maka piramid tersebut akan dipanggil sekata.

Piramid segi tiga biasa

Konsep Piramid

Definisi 1

Rajah geometri, dibentuk oleh poligon dan titik yang tidak terletak pada satah yang mengandungi poligon ini, disambungkan kepada semua bucu poligon, dipanggil piramid (Rajah 1).

Poligon dari mana piramid itu tersusun dipanggil tapak piramid, segi tiga yang diperolehi dengan menyambung dengan titik ialah muka sisi piramid, sisi segi tiga ialah sisi piramid, dan titik biasa kepada semua. segi tiga ialah bahagian atas piramid.

Jenis-jenis piramid

Bergantung pada bilangan sudut di dasar piramid, ia boleh dipanggil segi tiga, segi empat, dan sebagainya (Rajah 2).

Rajah 2.

Satu lagi jenis piramid ialah piramid biasa.

Mari kita perkenalkan dan buktikan harta piramid biasa.

Teorem 1

Semua muka sisi piramid biasa ialah segi tiga sama kaki yang sama antara satu sama lain.

Bukti.

Pertimbangkan piramid $n-$gonal sekata dengan bucu $S$ ketinggian $h=SO$. Mari kita terangkan bulatan di sekeliling tapak (Gamb. 4).

Rajah 4

Pertimbangkan segi tiga $SOA$. Dengan teorem Pythagoras, kita dapat

Jelas sekali, mana-mana tepi sisi akan ditakrifkan dengan cara ini. Oleh itu, semua tepi sisi adalah sama antara satu sama lain, iaitu, semua muka sisi adalah segi tiga sama kaki. Mari kita buktikan bahawa mereka adalah sama antara satu sama lain. Oleh kerana tapaknya ialah poligon sekata, tapak semua muka sisi adalah sama antara satu sama lain. Akibatnya, semua muka sisi adalah sama mengikut tanda III kesamaan segi tiga.

Teorem telah terbukti.

Kami kini memperkenalkan definisi berikut berkaitan dengan konsep piramid biasa.

Definisi 3

Apotema piramid biasa ialah ketinggian muka sisinya.

Jelas sekali, dengan Teorem 1, semua apotema adalah sama.

Teorem 2

Luas permukaan sisi piramid biasa ditakrifkan sebagai hasil darab separuh perimeter tapak dan apotema.

Bukti.

Mari kita nyatakan sisi tapak $n-$piramid arang batu sebagai $a$, dan apotema sebagai $d$. Oleh itu, luas muka sisi adalah sama dengan

Oleh kerana, dengan Teorem 1, semua sisi adalah sama, maka

Teorem telah terbukti.

Satu lagi jenis piramid ialah piramid terpotong.

Definisi 4

Jika satah selari dengan tapaknya dilukis melalui piramid biasa, maka rajah yang terbentuk di antara satah ini dan satah tapak dipanggil piramid terpotong (Rajah 5).

Rajah 5. Piramid terpotong

Muka sisi piramid terpotong ialah trapezoid.

Teorem 3

Luas permukaan sisi piramid terpotong biasa ditakrifkan sebagai hasil tambah separuh perimeter tapak dan apotema.

Bukti.

Mari kita nyatakan sisi tapak bagi $n-$piramid arang batu oleh $a\ dan\ b$, masing-masing, dan apotema dengan $d$. Oleh itu, luas muka sisi adalah sama dengan

Oleh kerana semua pihak adalah sama, maka

Teorem telah terbukti.

Contoh tugasan

Contoh 1

Cari luas permukaan sisi piramid segi tiga terpotong jika ia diperoleh daripada piramid sekata dengan sisi tapak 4 dan apotema 5 dengan memotong oleh satah yang melalui garis tengah muka sisi.

Penyelesaian.

Mengikut teorem garis median, kita memperolehi bahawa tapak atas piramid terpotong adalah sama dengan $4\cdot \frac(1)(2)=2$, dan apotema adalah sama dengan $5\cdot \frac(1)( 2)=2.5$.

Kemudian, dengan Teorem 3, kita dapat