Trigêmeos pitagóricos e seu número. Números primos modernos de alta tecnologia em triplos pitagóricos

“Centro Regional de Educação”

Desenvolvimento metodológico

Usando triplos pitagóricos na resolução

problemas geométricos e tarefas trigonométricas do Exame Estadual Unificado

Kaluga, 2016

I. Introdução

O teorema de Pitágoras é um dos principais e, pode-se até dizer, o mais importante teorema da geometria. Seu significado reside no fato de que a maioria dos teoremas da geometria podem ser deduzidos dele ou com sua ajuda. O teorema de Pitágoras também é notável porque em si não é nada óbvio. Por exemplo, as propriedades de um triângulo isósceles podem ser vistas diretamente no desenho. Mas não importa o quanto você olhe para um triângulo retângulo, você nunca verá que existe uma relação tão simples entre seus lados: a2+b2 =c2. Porém, não foi Pitágoras quem descobriu o teorema que leva seu nome. Já era conhecido ainda antes, mas talvez apenas como um fato deduzido de medições. Presumivelmente, Pitágoras sabia disso, mas encontrou provas.

Existem inúmeros números naturais a, b, c, satisfazendo a relação a2+b2 =c2.. Eles são chamados de números pitagóricos. De acordo com o teorema de Pitágoras, esses números podem servir como comprimentos dos lados de um certo triângulo retângulo - vamos chamá-los de triângulos pitagóricos.

Objetivo do trabalho: estudar a possibilidade e eficácia do uso de triplos pitagóricos para resolver problemas em um curso escolar de matemática e tarefas do Exame Estadual Unificado.

Com base no objetivo do trabalho, são definidos: tarefas:

Estude a história e classificação dos trigêmeos pitagóricos. Analise problemas usando triplos pitagóricos, disponíveis em livros escolares e encontrados em materiais de teste e medição para o Exame Estadual Unificado. Avalie a eficácia do uso dos triplos pitagóricos e suas propriedades para resolver problemas.

Objeto de estudo: Triplos pitagóricos de números.

Assunto de estudo: problemas do curso escolar de trigonometria e geometria em que são utilizados trigêmeos pitagóricos.

A relevância da pesquisa. Os trigêmeos pitagóricos são frequentemente usados ​​​​em geometria e trigonometria; conhecê-los eliminará erros nos cálculos e economizará tempo.

II. Parte principal. Resolvendo problemas usando triplos pitagóricos.

2.1.Tabela de triplos de números pitagóricos (de acordo com Perelman)

Os números pitagóricos têm a forma a= m·n, , onde m e n são alguns números ímpares relativamente primos.

Os números pitagóricos têm uma série de características interessantes:

Uma das “pernas” deve ser múltipla de três.

Uma das “pernas” deve ser múltiplo de quatro.

Um dos números pitagóricos deve ser múltiplo de cinco.

O livro “Álgebra Divertida” contém uma tabela de trigêmeos pitagóricos contendo números até cem que não possuem fatores comuns.

		32+42=52
		52+122=132
		72+242=252
		92+402=412
		112+602=612
		132+842=852
		152+82=172
		212 +202=292
		332+562=652
		392+802=892
		352+122=372
		452+282=532
		552+482=732
		652+722=972
		632+162=652
		772+362=852

2.2. Classificação dos triplos pitagóricos segundo Shustrov.

Shustrov descobriu o seguinte padrão: se todos os triângulos pitagóricos são distribuídos em grupos, então para a perna ímpar x, par y e hipotenusa z as seguintes fórmulas são válidas:

x = (2N-1)·(2n+2N-1); y = 2n·(n+2N-1); z = 2n·(n+2N-1)+(2N-1) 2, onde N é o número da família en é o número de série do triângulo na família.

Ao substituir quaisquer números inteiros positivos, começando com um, na fórmula de N e n, você pode obter todos os trigêmeos básicos de números pitagóricos, bem como múltiplos de um determinado tipo. Você pode fazer uma tabela com todos os trigêmeos pitagóricos para cada família.

2.3. Problemas de planimetria

Vejamos problemas de vários livros de geometria e descubramos com que frequência os triplos pitagóricos aparecem nessas tarefas. Não consideraremos problemas triviais de encontrar o terceiro elemento da tabela dos triplos pitagóricos, embora eles também sejam encontrados em livros didáticos. Mostraremos como reduzir a solução de um problema cujos dados não são expressos em números naturais a trigêmeos pitagóricos.

Vejamos os problemas de um livro de geometria para as séries 7 a 9.

№ 000. Encontre a hipotenusa de um triângulo retângulo usando os catetos A=, b=.

Solução. Multiplicamos os comprimentos das pernas por 7, obtemos dois elementos do triplo pitagórico 3 e 4. O elemento que falta é 5, que dividimos por 7. Resposta.

№ 000. No retângulo ABCD, encontre BC se CD=1,5, AC=2,5.

https://pandia.ru/text/80/406/images/image007_0.gif" width="240" height="139 src=">

Solução. Resolva o triângulo retângulo ACD. Multiplicamos os comprimentos por 2, obtemos dois elementos do triplo pitagórico 3 e 5, o elemento que falta é 4, que dividimos por 2. Resposta: 2.

Ao resolver o próximo número, verifique a proporção a2+b2 =c2É totalmente opcional, basta usar os números pitagóricos e suas propriedades.

№ 000. Descubra se um triângulo é retângulo se seus lados forem expressos por números:

a) 6,8,10 (triplo pitagórico 3,4,5) – sim;

Um dos catetos de um triângulo retângulo deve ser divisível por 4. Resposta: não.

c) 9,12,15 (triplo pitagórico 3,4,5) – sim;

d) 10,24,26 (triplo pitagórico 5,12,13) ​​– sim;

Um dos números pitagóricos deve ser múltiplo de cinco. Resposta: não.

g) 15, 20, 25 (triplo pitagórico 3,4,5) – sim.

Das trinta e nove tarefas desta seção (teorema de Pitágoras), vinte e duas são resolvidas oralmente usando números pitagóricos e o conhecimento de suas propriedades.

Considere a tarefa nº 000 (da seção “Tarefas adicionais”):

Encontre a área do quadrilátero ABCD em que AB=5 cm, BC=13 cm, CD=9 cm, DA=15 cm, AC=12 cm.

No problema precisamos verificar a relação a2+b2 =c2 e prove que um determinado quadrilátero consiste em dois triângulos retângulos (o teorema inverso). E o conhecimento dos trigêmeos pitagóricos: 3, 4, 5 e 5, 12, 13, evita cálculos.

Apresentamos soluções para vários problemas de um livro de geometria para as séries 7 a 9.

Problema 156 (h). Os catetos de um triângulo retângulo são 9 e 40. Encontre a mediana desenhada até a hipotenusa.

Solução . A mediana desenhada para a hipotenusa é igual à metade dela. O triplo pitagórico é 9,40 e 41. Portanto, a mediana é 20,5.

Problema 156 (i). Os lados do triângulo são iguais: A= 13 cm, b = 20 cm e altura hс = 12 cm Encontre a base Com.

Problema (Exame de Estado Unificado KIMY). Encontre o raio de um círculo inscrito em um triângulo agudo ABC se a altura BH for 12 e for conhecido que pecado A=,pecado С=esquerda">

Solução. Resolvemos o ∆ ASK retangular: sen A=, BH=12, portanto AB=13,AK=5 (triplo pitagórico 5,12,13). Resolvemos o retangular ∆ ВСH: ВH =12, sin С===https://pandia.ru/text/80/406/images/image015_0.gif" width="12" height="13">3=9 (triplo pitagórico 3,4,5).O raio é encontrado usando a fórmula r ===4.Resposta.4.

2.4. Triplos pitagóricos em trigonometria

A principal identidade trigonométrica é um caso especial do teorema de Pitágoras: sin2a + cos2a = 1; (a/c) 2 + (b/c)2 =1. Portanto, alguns problemas trigonométricos podem ser facilmente resolvidos oralmente usando trigêmeos pitagóricos.

Problemas em que é necessário encontrar os valores de outras funções trigonométricas a partir de um determinado valor de uma função podem ser resolvidos sem elevar ao quadrado e sem extrair a raiz quadrada. Todas as tarefas deste tipo no livro escolar de álgebra (10-11) de Mordkovich (nº 000-nº 000) podem ser resolvidas oralmente, conhecendo apenas alguns triplos pitagóricos: 3,4,5 ; 5,12,13 ; 8,15,17 ; 7,24,25 . Vamos considerar soluções para duas tarefas.

Nº 000 a). sen t = 4/5, π/2< t < π.

Solução. Triplo pitagórico: 3, 4, 5. Portanto, cos t = -3/5; tan t = -4/3,

Nº 000b). tan t = 2,4, π< t < 3π/2.

Solução. tg t = 2,4=24/10=12/5. Triplo pitagórico 5,12,13. Levando em consideração os sinais, obtemos sin t = -12/13, cos t = -5/13, cot t = 5/12.

3. Materiais de teste e medição para o Exame de Estado Unificado

a) cos (arco seno 3/5) = 4/5 (3, 4, 5)

b) pecado (arccos 5/13)=12/13 (5, 12, 13)

c) tg (arco seno 0,6) = 0,75 (6, 8, 10)

d) ctg (arcos 9/41) =9/40 (9, 40, 41)

e) 4/3 tg (π – arco seno (–3/5)) = 4/3 tg (π + arco seno 3/5) = 4/3 tg arco seno 3/5 = 4/3 3/4 = 1

f) verifique a igualdade:

arco seno 4/5 + arco seno 5/13 + arco seno 16/65 = π/2.

Solução. arco seno 4/5 + arco seno 5/13 + arco seno 16/65 = π/2

arco seno 4/5 + arco seno 5/13 = π/2 - arco seno 16/65

pecado (arco seno 4/5 + arco seno 5/13) = pecado (arcos 16/65)

sen (arco seno 4/5) cos (arco seno 5/13) + cos (arco seno 4/5) sen (arco seno 5/13) = 63/65

4/5 12/13 + 3/5 5/13 = 63/65

III. Conclusão

Em problemas de geometria, muitas vezes é necessário resolver triângulos retângulos, às vezes várias vezes. Depois de analisar as atribuições dos livros escolares e dos materiais do Exame Estadual Unificado, podemos concluir que são utilizados principalmente trigêmeos: 3, 4, 5; 5, 12, 13; 7, 24, 25; 9, 40, 41; 8,15,17; que são fáceis de lembrar. Ao resolver alguns problemas trigonométricos, a solução clássica usando fórmulas trigonométricas e um grande número de cálculos leva tempo, e o conhecimento dos triplos pitagóricos eliminará erros nos cálculos e economizará tempo para resolver problemas mais difíceis no Exame de Estado Unificado.

Bibliografia

1. A Álgebra e os primórdios da análise. 10-11 séries. Às 2 horas Parte 2. Caderno de problemas para instituições de ensino / [e outros]; editado por . – 8ª ed., apagada. – M.: Mnemosyne, 2007. – 315 p. : doente.

2. Álgebra de Perelman. – D.: VAP, 1994. – 200 p.

3. Roganovsky: livro didático. Para 7ª a 9ª séries. com profundidade estudando matemática no ensino geral. escola do russo linguagem treinamento, - 3ª ed. – Sr.; Nar. Asveta, 2000. – 574 pp.: il.

4. Matemática: Leitor de história, metodologia, didática. / Comp. . – M.: Editora URAO, 2001. – 384 p.

5. Revista “Matemática na Escola” nº 1, 1965.

6. Materiais de teste e medição para o Exame de Estado Unificado.

7. Geometria, 7-9: Livro didático. para instituições de ensino geral /, etc. - 13ª ed. - M.: Educação, 2003. – 384 pág. : doente.

8. Geometria: livro didático. para as séries 10-11. média. escola/, etc. – 2ª ed. – M.: Educação, 1993, - 207 p.: il.

Álgebra de Perelman. – D.: VAP, 1994. – 200 p.

Revista "Matemática na Escola" nº 1, 1965.

Geometria, 7-9: Livro didático. para instituições de ensino geral /, etc. - 13ª ed. - M.: Educação, 2003. – 384 pág. : doente.

Roganovsky: livro didático. Para 7ª a 9ª séries. com profundidade estudando matemática no ensino geral. escola do russo linguagem treinamento, - 3ª ed. – Mn.; Nar. Asveta, 2000. – 574 pp.: il.

Álgebra e os primórdios da análise. 10-11 séries. Às 2 horas Parte 2. Caderno de problemas para instituições de ensino / [e outros]; editado por . – 8ª ed., apagada. – M.: Mnemosyne, 2007. – 315 p. : il., p.18.

Belotelov V.A. Trigêmeos pitagóricos e seu número // Enciclopédia Nesterov

Este artigo é uma resposta a um professor - Shchipach. Olha, professor, como fazem isso na nossa aldeia.

Região de Nizhny Novgorod, Zavolzhye.

Requer conhecimento do algoritmo de resolução de equações diofantinas (ARDE) e conhecimento de progressões de polinômios.

SE é um número primo.

SP é um número composto.

Seja um número ímpar N. Para qualquer número ímpar, exceto um, você pode criar uma equação.

p 2 + N = q 2,

onde р + q = N, q – р = 1.

Por exemplo, para os números 21 e 23 as equações seriam, -

10 2 + 21 = 11 2 , 11 2 + 23 = 12 2 .

Se N for um número primo, esta equação é única. Se o número N for composto, equações semelhantes poderão ser construídas usando o número de pares de fatores que representam esse número, incluindo 1 x N.

Vamos pegar o número N = 45, -

1 x 45 = 45, 3 x 15 = 45, 5 x 9 = 45.

Perguntei-me se, apegando-me a esta diferença entre o FI e os médios, seria possível encontrar um método para identificá-los.

Vamos apresentar alguma notação;

Vamos mudar a equação inferior, -

N = em 2 – a 2 = (em – a)(em + a).

Agrupemos os valores de N de acordo com o critério b - a, ou seja, Vamos fazer uma mesa.

Os números N foram resumidos em uma matriz, -

Foi para esta tarefa que tivemos que lidar com progressões de polinômios e suas matrizes. Tudo acabou em vão - os IFs mantiveram sua defesa com força. Vamos inserir uma coluna na Tabela 1 onde b - a = 1 (q - p = 1).

Outra vez. A Tabela 2 foi obtida como resultado de uma tentativa de resolver o problema de identificação dos FI e MF. Da tabela segue-se que para qualquer número N existem tantas equações da forma a 2 + N = em 2, em quantos pares de fatores o número N pode ser dividido, incluindo o fator 1 x N. Além de os números N = ℓ 2, onde

ℓ - SE. Para N = ℓ 2, onde ℓ é o conversor de frequência, existe uma equação única p 2 + N = q 2. De que tipo de prova adicional podemos falar se a tabela enumera os fatores menores dos pares de fatores que formam N, de um a ∞. Colocaremos a Mesa 2 no baú e esconderemos o baú no armário.

Voltemos ao tema indicado no título do artigo.

Este artigo é uma resposta a um professor - Shchipach.

Pedi ajuda, precisava de uma série de números que não encontrei na Internet. Me deparei com perguntas como “por quê?”, “mostre-me o método”. Em particular, surgiu a questão de saber se a série dos triplos pitagóricos é infinita, “como provar isso?” Ele não me ajudou. Olha, professor, como fazem isso na nossa aldeia.

Vamos pegar a fórmula dos trigêmeos pitagóricos, -

x 2 = y 2 + z 2. (1)

Vamos passar pelo ARD.

Três situações são possíveis:

I. x – número ímpar,

y é um número par,

z é um número par.

E existe uma condição x > y > z.

II. x é um número ímpar,

y é um número par,

z é um número ímpar.

x > z > y.

III.x – número par,

y é um número ímpar,

z é um número ímpar.

x > y > z.

Vamos começar em ordem a partir de I.

Vamos introduzir novas variáveis

Vamos substituir na equação (1).

Vamos reduzir em uma variável menor 2γ.

(2α – 2γ + 2k + 1) 2 = (2β – 2γ + 2k) 2 + (2k + 1) 2 .

Vamos reduzir a variável 2β – 2γ por uma variável menor enquanto introduzimos simultaneamente um novo parâmetro ƒ, -

(2α – 2β + 2ƒ + 2k + 1) 2 = (2ƒ + 2k) 2 + (2k + 1) 2 (2)

Então, 2α – 2β = x – y – 1.

A equação (2) terá a forma -

(x – y + 2ƒ + 2k) 2 = (2ƒ + 2k) 2 + (2k + 1) 2

Vamos resolver isso -

(x – y) 2 + 2(2ƒ + 2k)(x – y) + (2ƒ + 2k) 2 = (2ƒ + 2k) 2 + (2k + 1) 2,

(x – y) 2 + 2(2ƒ + 2k)(x – y) – (2k + 1) 2 = 0. (3)

O ARDE fornece, através de parâmetros, a relação entre os termos principais da equação, obtendo assim a equação (3).

Não é uma boa ideia selecionar soluções. Mas, em primeiro lugar, não há para onde ir e, em segundo lugar, são necessárias várias destas soluções, e podemos restaurar uma série interminável de soluções.

Quando ƒ = 1, k = 1, temos x – y = 1.

Com ƒ = 12, k = 16, temos x – y = 9.

Com ƒ = 4, k = 32, temos x – y = 25.

A seleção pode demorar muito, mas no final a série assumirá a forma -

x – y = 1, 9, 25, 49, 81,….

Vamos considerar a opção II.

Vamos introduzir novas variáveis ​​na equação (1)

(2α + 2k + 1) 2 = (2β + 2k) 2 + (2γ + 2k + 1) 2.

Vamos reduzir em uma variável menor 2 β, -

(2α – 2β + 2k + 1) 2 = (2α – 2β + 2k+1) 2 + (2k) 2.

Vamos reduzir em uma variável menor 2α – 2β, –

(2α – 2γ + 2ƒ + 2k + 1) 2 = (2ƒ + 2k + 1) 2 + (2k) 2 . (4)

2α – 2γ = x – z e substitua na equação (4).

(x – z + 2ƒ + 2k + 1) 2 = (2ƒ + 2k + 1) 2 + (2k) 2

(x - z) 2 + 2 (2ƒ + 2k + 1) (x - z) + (2ƒ + 2k + 1) 2 = (2ƒ + 2k + 1) 2 + (2k) 2 (x - z) 2 + 2(2ƒ + 2k + 1)(x – z) – (2k) 2 = 0

Com ƒ = 3, k = 4, temos x – z = 2.

Com ƒ = 8, k = 14, temos x – z = 8.

Com ƒ = 3, k = 24, temos x – z = 18.

x – z = 2, 8, 18, 32, 50,….

Vamos desenhar um trapézio -

Vamos escrever a fórmula.

onde n=1, 2,... ∞.

Não descreveremos o caso III - não há soluções para isso.

Para a condição II, o conjunto de trigêmeos será o seguinte:

A equação (1) é apresentada como x 2 = z 2 + y 2 para maior clareza.

Para a condição I, o conjunto de triplos será o seguinte:

No total, são 9 colunas de trigêmeos, com cinco trigêmeos em cada. E cada uma das colunas apresentadas pode ser escrita até ∞.

Como exemplo, considere os triplos da última coluna, onde x – y = 81.

Para as quantidades x escrevemos um trapézio, -

Vamos escrever a fórmula -

Para as quantidades y escrevemos um trapézio, -

Vamos escrever a fórmula -

Para valores de z escrevemos um trapézio, -

Vamos escrever a fórmula -

Onde n = 1 ÷ ∞.

Como prometido, uma série de triplos em x – y = 81 voa para ∞.

Houve uma tentativa de construção de matrizes para os valores x, y, z para os casos I e II.

Vamos anotar os valores de x das linhas superiores das últimas cinco colunas e construir um trapézio.

Não deu certo, mas o padrão deveria ser quadrático. Para manter tudo em ordem, foi necessário combinar as colunas I e II.

No caso II, os valores y e z são trocados novamente.

Conseguimos fundir por um motivo - as cartas funcionaram bem nesta tarefa - sorte.

Agora você pode escrever as matrizes para x, y, z.

Vamos pegar os valores de x das linhas superiores das últimas cinco colunas e construir um trapézio.

Está tudo bem, podemos construir matrizes, e vamos começar com a matriz de z.

Corra até o armário para pegar o baú.

Total: Além da unidade, cada número ímpar da reta numérica participa da formação de trigêmeos pitagóricos iguais ao número de pares de fatores que formam um determinado número N, incluindo o fator 1 x N.

O número N = ℓ 2, onde ℓ é o fator de frequência, forma um triplo pitagórico, se ℓ for a frequência de frequência, então não há triplo nos fatores ℓxℓ.

Vamos construir matrizes para os valores x, y.

Vamos começar trabalhando com a matriz para x. Para fazer isso, vamos esticar a grade de coordenadas da tarefa de identificar o IF e o MF para ela.

A numeração das linhas verticais é normalizada pela expressão

Removeremos a primeira coluna, porque

A matriz terá a forma -

Vamos descrever as linhas verticais, -

Vamos descrever os coeficientes para "a", -

Vamos descrever os termos gratuitos -

Vamos criar uma fórmula geral para “x” –

Se realizarmos um trabalho semelhante para "y", obteremos -

Você pode abordar esse resultado do outro lado.

Vamos pegar a equação -

a 2 + N = em 2.

Vamos transformar um pouco -

N = em 2 – uma 2 .

Vamos resolver isso -

N 2 = em 4 – 2 em 2 a 2 + a 4.

Aos lados esquerdo e direito da equação adicionamos o valor 4в 2 а 2, -

N 2 + 4b 2 a 2 = b 4 + 2b 2 a 2 + a 4.

E finalmente, -

(em 2 + a 2) 2 = (2va) 2 + N 2.

Os trigêmeos pitagóricos são compostos da seguinte forma:

Vamos considerar um exemplo com o número N = 117.

1 x 117 = 117, 3 x 39 = 117, 9 x 13 = 117.

As colunas verticais da Tabela 2 são numeradas com valores a – a, enquanto as colunas verticais da Tabela 3 são numeradas com valores x – y.

x – y = (c – a) 2,

x = y + (c – a) 2.

Vamos fazer três equações.

(y + 1 2) 2 = y 2 + 117 2,

(y + 3 2) 2 = y 2 + 117 2,

(y + 9 2) 2 = y 2 + 117 2.

x 1 = 6845, y 1 = 6844, z 1 = 117.

x 2 = 765, y 2 = 756, z 2 = 117 (x 2 = 85, y 2 = 84, z 2 = 13).

x 3 = 125, y 3 = 44, z 3 = 117.

Os fatores 3 e 39 não são números primos, então um triplo foi obtido com coeficiente 9.

Vamos descrever o que está escrito acima em símbolos gerais -

Tudo neste trabalho, incluindo um exemplo de cálculo de triplos pitagóricos com o número

N = 117, vinculado ao fator menor em - a. Discriminação explícita em relação ao fator in + a. Vamos corrigir essa injustiça criando três equações com fator em + a.

Voltemos à questão da identificação do IF e do MF.

Muito foi feito nesse sentido e hoje surgiu a seguinte ideia: não existe uma equação de identificação que possa determinar os fatores.

Suponha que a relação F = a,b (N) seja encontrada.

Existe uma fórmula

Você pode se livrar de b na fórmula F e obter uma equação homogênea de enésimo grau em relação a a, ou seja, F = uma(N).

Para qualquer grau n desta equação, existe um número N com m pares de fatores, para m > n.

E como consequência, uma equação homogênea de grau n deve ter m raízes.

Sim, isso não pode ser.

Neste trabalho, os números N foram considerados para a equação x 2 = y 2 + z 2 quando estão no lugar de z na equação. Quando N está no lugar de x, este é um problema diferente.

Atenciosamente, Belotelov V.A.

A seguir, consideraremos métodos conhecidos para gerar triplos pitagóricos eficazes. Os alunos de Pitágoras foram os primeiros a inventar uma maneira simples de gerar triplos pitagóricos, usando uma fórmula cujas partes representam um triplo pitagórico:

eu 2 + ((eu 2 − 1)/2) 2 = ((eu 2 + 1)/2) 2 ,

Onde eu- desemparelhado, eu>2. Realmente,

4eu 2 + eu 4 − 2eu 2 + 1
eu 2 + ((eu 2 − 1)/2) 2 = ————————— = ((eu 2 + 1)/2) 2 .
4

Uma fórmula semelhante foi proposta pelo antigo filósofo grego Platão:

(2eu) 2 + (eu 2 − 1) 2 = (eu 2 + 1) 2 ,

Onde eu- qualquer número. Para eu= 2,3,4,5 são gerados os seguintes triplos:

(16,9,25), (36,64,100), (64,225,289), (100,576,676).

Como vemos, estas fórmulas não podem fornecer todos os trigêmeos primitivos possíveis.

Considere o seguinte polinômio, que pode ser expandido em uma soma de polinômios:

(2eu 2 + 2eu + 1) 2 = 4eu 4 + 8eu 3 + 8eu 2 + 4eu + 1 =
=4eu 4 + 8eu 3 + 4eu 2 + 4eu 2 + 4eu + 1 = (2eu(eu+1)) 2 + (2eu +1) 2 .

Daí as seguintes fórmulas para obter triplos primitivos:

a = 2eu +1 , b = 2eu(eu+1) = 2eu 2 + 2eu , c = 2eu 2 + 2eu + 1.

Essas fórmulas geram trigêmeos em que o número médio difere do maior número em exatamente um, ou seja, também não são gerados todos os trigêmeos possíveis. Aqui os primeiros três são iguais a: (5,12,13), (7,24,25), (9,40,41), (11,60,61).

Para determinar como gerar todos os trigêmeos primitivos, suas propriedades devem ser examinadas. Em primeiro lugar, se ( abc) é um triplo primitivo, então a E b, b E c, A E c- deve ser relativamente simples. Deixar a E b são divididos em d. Então a 2 + b 2 - também divisível por d. Respectivamente, c 2 e c deve ser dividido por d. Ou seja, este não é um três primitivo.

Em segundo lugar, entre os números a, b um deve ser emparelhado e o outro desemparelhado. Na verdade, se a E b- emparelhado, então Com serão emparelhados e os números podem ser divididos por pelo menos 2. Se ambos não estiverem emparelhados, podem ser representados como 2 k+1 e 2 eu+1, onde k,eu- alguns números. Então a 2 + b 2 = 4k 2 +4k+1+4eu 2 +4eu+1, ou seja, Com 2, como a 2 + b 2 tem resto 2 quando dividido por 4.

Deixar Com- qualquer número, isto é Com = 4k+eu (eu=0,…,3). Então Com 2 = (4k+eu) 2 tem resto 0 ou 1 e não pode ter resto 2. Assim, a E b não pode ser desemparelhado, isto é a 2 + b 2 = 4k 2 +4k+4eu 2 +4eu+1 e o restante da divisão Com 2 por 4 deve ser 1, o que significa que Com deve ser desemparelhado.

Tais requisitos para os elementos de um triplo pitagórico são satisfeitos pelos seguintes números:

a = 2homem, b = eu 2 − n 2 , c = eu 2 + n 2 , eu > n, (2)

Onde eu E n- relativamente nobre com pares diferentes. Essas dependências ficaram conhecidas pela primeira vez nas obras de Euclides, que viveu em 2.300 r. voltar.

Vamos provar a validade das dependências (2). Deixar A- emparelhado, então b E c- desemparelhado. Então c + b eu c − b- emparelhado. Eles podem ser representados como c + b = 2você E c − b = 2v, Onde você,v- alguns números inteiros. É por isso

a 2 = Com 2 − b 2 = (c + b)(c − b) = 2você·2 v = 4UV

E portanto ( a/2) 2 = UV.

Pode-se provar por contradição que você E v- mutuamente simples. Deixar você E v- são divididos em d. Então ( c + b) E ( c − b) são divididos em d. E portanto c E b deve ser dividido por d, e isso contradiz a condição para o triplo pitagórico.

Porque UV = (a/2) 2 e você E v são relativamente primos, é fácil provar que você E v devem ser quadrados de alguns números.

Então existem inteiros positivos eu E n, de tal modo que você = eu 2 e v = n 2. Então

A 2 = 4UV = 4eu 2 n 2 então
A = 2homem; b = você − v = eu 2 − n 2 ; c = você + v = eu 2 + n 2 .

Porque b> 0, então eu > n.

Resta mostrar que eu E n têm pares diferentes. Se eu E n- emparelhado, então você E v devem ser emparelhados, mas isso é impossível, uma vez que são relativamente primos. Se eu E n- desemparelhado, então b = eu 2 − n 2 e c = eu 2 + n 2 seriam emparelhados, o que é impossível, pois c E b- mutuamente simples.

Assim, qualquer tripla pitagórica primitiva deve satisfazer as condições (2). Ao mesmo tempo, os números eu E n são chamados gerando números trigêmeos primitivos. Por exemplo, tenhamos uma tripla pitagórica primitiva (120.119.169). Nesse caso

A= 120 = 2·12·5, b= 119 = 144 − 25, e c = 144+25=169,

Onde eu = 12, n= 5 — gerando números, 12 > 5; 12 e 5 são mutuamente primos e de pares diferentes.

Você pode provar o contrário, que os números eu, n usando as fórmulas (2) eles fornecem uma tripla pitagórica primitiva (a,b,c). Realmente,

A 2 + b 2 = (2homem) 2 + (eu 2 − n 2) 2 = 4eu 2 n 2 + (eu 4 − 2eu 2 n 2 + n 4) =
= (eu 4 + 2eu 2 n 2 + n 4) = (eu 2 + n 2) 2 = c 2 ,

Aquilo é ( a,b,c) é um triplo pitagórico. Vamos provar que neste caso a,b,c são números mutuamente primos por contradição. Deixe esses números serem divisíveis por p> 1. Desde eu E n têm pares diferentes, então b E c- não pareado, isto é p≠ 2. Desde R divide b E c, Que R deve dividir 2 eu 2 e 2 n 2, mas isso é impossível, pois p≠ 2. Portanto eu, n- mutuamente primos e a,b,c- também são relativamente simples.

A Tabela 1 mostra todos os triplos pitagóricos primitivos gerados usando fórmulas (2) para eu≤10.

Tabela 1. Triplos pitagóricos primitivos para eu≤10

eu	n	a	b	c	eu	n	a	b	c
2	1	4	3	5	8	1	16	63	65
3	2	12	5	13	8	3	48	55	73
4	1	8	15	17	8	5	80	39	89
4	3	24	7	25	8	7	112	15	113
5	2	20	21	29	9	2	36	77	85
5	4	40	9	41	9	4	72	65	97
6	1	12	35	37	9	8	144	17	145
6	5	60	11	61	10	1	20	99	101
7	2	28	45	53	10	3	60	91	109
7	4	56	33	65	10	7	140	51	149
7	6	84	13	85	10	9	180	19	181

A análise desta tabela mostra a presença das seguintes séries de padrões:

• ou a, ou b divisível por 3;
• um dos números a,b,c divisível por 5;
• número A divisível por 4;
• trabalhar a· b divisível por 12.

Em 1971, os matemáticos americanos Teigan e Hedwin propuseram parâmetros pouco conhecidos de um triângulo retângulo como sua altura para gerar trigêmeos. h = c− b e excesso (sucesso) e = a + b − c. Na Figura 1. essas quantidades são mostradas em um certo triângulo retângulo.

Figura 1. Triângulo retângulo e seu crescimento e excesso

O nome “excesso” deriva do fato de ser a distância adicional que deve ser percorrida ao longo dos catetos do triângulo de um vértice ao oposto, se não for ao longo de sua diagonal.

Através do excesso e crescimento dos lados do triângulo pitagórico pode ser expresso como:

e 2 e 2
a = h + e, b = e + ——, c = h + e + ——, (3)
2h 2h

Nem todas as combinações h E e pode corresponder a triângulos pitagóricos. Para um dado h valores possíveis e são produtos de um certo número d. Este número d tem o nome de crescimento e refere-se a h Da seguinte maneira: dé o menor número inteiro positivo cujo quadrado é divisível por 2 h. Porque e múltiplo d, então é escrito como e = kd, Onde ké um número inteiro positivo.

Usando pares ( k,h) você pode gerar todos os triângulos pitagóricos, incluindo os não primitivos e generalizados, da seguinte forma:

(não sei) 2 (não sei) 2
a = h + não sei, b = não sei + ——, c = h + não sei + ——, (4)
2h 2h

Além disso, um triplo é primitivo se k E h são relativamente primos e se h =± q 2 às q- desemparelhado.
Além disso, este será precisamente um triplo pitagórico se k> √2· h/d E h > 0.

Encontrar k E h de ( a,b,c), execute as seguintes ações:

• h = c − b;
• escreva h Como h = pq 2 onde p> 0 e tal que não é um quadrado;
• d = 2pq Se p- desemparelhado e d = pq, se p estiver emparelhado;
• k = (a − h)/d.

Por exemplo, para o triplo (8,15,17) temos h= 17−15 = 2 1, então p= 2 e q = 1, d= 2, e k= (8 − 2)/2 = 3. Portanto, este triplo é dado por ( k,h) = (3,2).

Para o triplo (459.1260.1341) temos h= 1341 − 1260 = 81, então p = 1, q= 9 e d= 18, daqui k= (459 − 81)/18 = 21, então o código deste triplo é ( k,h) = (21, 81).

Configurando trigêmeos usando h E k tem uma série de propriedades interessantes. Parâmetro ké igual a

k = 4S/(dP), (5)

Onde S = ab/2 é a área do triângulo, e P = a + b + c- seu perímetro. Isso decorre da igualdade EP = 4S, que segue do teorema de Pitágoras.

Para um triângulo retângulo e igual ao diâmetro do círculo inscrito no triângulo. Isto decorre do fato de que a hipotenusa Com = (A − R)+(b − R) = a + b − 2R, Onde R- raio do círculo. Daqui h = c − b = A − 2R E e = a − h = 2R.

Para h> 0 e k > 0, ké o número ordinal de trigêmeos a-b-c em uma sequência de triângulos pitagóricos com aumento h. Da Tabela 2, que apresenta diversas opções de trigêmeos gerados por pares h, k, fica claro que com o aumento k os tamanhos dos lados do triângulo aumentam. Assim, ao contrário da numeração clássica, a numeração em pares h, k tem maior ordem em sequências de trigêmeos.

Tabela 2. Triplos pitagóricos gerados pelos pares h, k.

h	k	a	b	c	h	k	a	b	c
2	1	4	3	5	3	1	9	12	15
2	2	6	8	10	3	2	15	36	39
2	3	8	15	17	3	3	21	72	75
2	4	10	24	26	3	4	27	120	123
2	5	12	35	37	3	5	33	180	183

Para h > 0, d satisfaz a desigualdade 2√ h ≤ d ≤ 2h, em que o limite inferior é atingido em p= 1, e o de cima - em q= 1. Portanto o valor d em relação a 2√ hé uma medida de quanto um número h distante do quadrado de um certo número.

Propriedades

Desde a Eq. x 2 + sim 2 = z 2 homogêneo, ao multiplicar x , sim E z pelo mesmo número você obtém outro triplo pitagórico. O triplo pitagórico é chamado primitivo, se não puder ser obtido desta forma, ou seja, números coprimos.

Exemplos

Alguns triplos pitagóricos (classificados em ordem crescente de número máximo, os primitivos em destaque):

(3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (16, 30, 34), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (14, 48, 50), (30, 40, 50)…

Com base nas propriedades dos números de Fibonacci, é possível compor a partir deles, por exemplo, os seguintes trigêmeos pitagóricos:

.

História

Os trigêmeos pitagóricos são conhecidos há muito tempo. Na arquitetura das antigas lápides mesopotâmicas, encontra-se um triângulo isósceles, composto por dois retângulos com lados de 9, 12 e 15 côvados. As pirâmides do Faraó Snofru (século XXVII aC) foram construídas com triângulos com lados de 20, 21 e 29, além de 18, 24 e 30 dezenas de côvados egípcios.

Veja também

Ligações

• E. A. Gorin Potências dos números primos em triplos pitagóricos // Educação matemática. - 2008. - V. 12. - S. 105-125.

Fundação Wikimedia. 2010.

Veja o que são “números pitagóricos” em outros dicionários:

Triplos de números naturais tais que um triângulo cujos comprimentos laterais são proporcionais (ou iguais) a esses números é retangular, por ex. triplo de números: 3, 4, 5... Grande Dicionário Enciclopédico

Triplos de números naturais tais que um triângulo cujos comprimentos laterais são proporcionais (ou iguais) a esses números seja retangular, por exemplo, um triplo de números: 3, 4, 5. que... ... dicionário enciclopédico

Triplos de números naturais tais que um triângulo cujos comprimentos laterais são proporcionais (ou iguais) a esses números seja retangular. De acordo com o teorema inverso ao teorema de Pitágoras (ver teorema de Pitágoras), para isso basta que eles... ...

Triplos de inteiros positivos x, y, z satisfazendo a equação x2+y 2=z2. Todas as soluções desta equação, e portanto todos os números parciais, são expressas pelas fórmulas x = a 2 b2, y = 2ab, z = a2 + b2, onde aeb são inteiros positivos arbitrários (a>b). P.h... Enciclopédia Matemática

Triplos de números naturais tais que um triângulo cujos comprimentos laterais são proporcionais (ou iguais) a esses números seja retangular, por exemplo. triplo de números: 3, 4, 5... Ciência natural. dicionário enciclopédico

Em matemática, os números pitagóricos (triplos pitagóricos) são uma tupla de três inteiros que satisfazem a relação pitagórica: x2 + y2 = z2. Conteúdo 1 Propriedades 2 Exemplos ... Wikipedia

Números figurados são o nome geral para números associados a uma figura geométrica específica. Este conceito histórico remonta aos pitagóricos. Presumivelmente, a expressão “ao quadrado ou ao cubo” surgiu de números figurados. Conteúdo... ...Wikipédia

Números figurados são o nome geral para números associados a uma figura geométrica específica. Este conceito histórico remonta aos pitagóricos. Distinguem-se os seguintes tipos de números figurados: Números lineares são números que não podem ser fatorados, ou seja, seus... ... Wikipedia

- “O paradoxo do pi” é uma piada sobre o tema da matemática, que circulou entre os estudantes até a década de 80 (na verdade, antes da distribuição em massa das microcalculadoras) e estava associada à precisão limitada dos cálculos de funções trigonométricas e .. ... ... Wikipédia

- (grego arithmetika, de número arithmys) a ciência dos números, principalmente sobre números naturais (inteiros positivos) e frações (racionais), e operações sobre eles. Posse de um conceito suficientemente desenvolvido de números naturais e a capacidade... ... Grande Enciclopédia Soviética

Livros

• Verão de Arquimedes, ou a História da Comunidade de Jovens Matemáticos. Sistema numérico binário, Bobrov Sergey Pavlovich. Sistema numérico binário, Torre de Hanói, movimento do cavaleiro, quadrados mágicos, triângulo aritmético, números figurados, combinações, conceito de probabilidade, tira de Mobius e garrafa de Klein.…

» pelo Professor Emérito de Matemática da Universidade de Warwick, famoso divulgador da ciência Ian Stewart, dedicado ao papel dos números na história da humanidade e à relevância do seu estudo no nosso tempo.

Hipotenusa pitagórica

Os triângulos pitagóricos têm ângulos retos e lados inteiros. O mais simples deles tem o lado mais longo de comprimento 5, os outros - 3 e 4. Existem 5 poliedros regulares no total. Uma equação de quinto grau não pode ser resolvida usando raízes de quinto grau - ou quaisquer outras raízes. As redes em um plano e no espaço tridimensional não possuem simetria rotacional de cinco lóbulos, portanto, tais simetrias estão ausentes nos cristais. No entanto, eles podem ser encontrados em redes em quatro dimensões e em estruturas interessantes conhecidas como quasicristais.

Hipotenusa do menor triplo pitagórico

O teorema de Pitágoras afirma que o lado mais longo de um triângulo retângulo (a notória hipotenusa) está relacionado com os outros dois lados deste triângulo de uma forma muito simples e bonita: o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados do outros dois lados.

Tradicionalmente, chamamos esse teorema pelo nome de Pitágoras, mas na verdade sua história é bastante vaga. Tábuas de argila sugerem que os antigos babilônios conheciam o teorema de Pitágoras muito antes do próprio Pitágoras; A fama do descobridor lhe foi trazida pelo culto matemático dos pitagóricos, cujos defensores acreditavam que o Universo era baseado em leis numéricas. Autores antigos atribuíram uma variedade de teoremas matemáticos aos pitagóricos - e, portanto, a Pitágoras, mas na verdade não temos ideia em que tipo de matemática o próprio Pitágoras estava envolvido. Nem sabemos se os pitagóricos conseguiram provar o Teorema de Pitágoras ou se simplesmente acreditaram que ele era verdade. Ou, muito provavelmente, tinham provas convincentes da sua veracidade, que, no entanto, não seriam suficientes para o que hoje consideramos provas.

Provas de Pitágoras

A primeira prova conhecida do teorema de Pitágoras é encontrada nos Elementos de Euclides. Esta é uma prova bastante complexa usando um desenho que as crianças das escolas vitorianas reconheceriam imediatamente como “calças pitagóricas”; O desenho realmente lembra uma cueca secando em um varal. Existem literalmente centenas de outras provas, muitas das quais tornam a afirmação mais óbvia.

// Arroz. 33. Calça pitagórica

Uma das provas mais simples é uma espécie de quebra-cabeça matemático. Pegue qualquer triângulo retângulo, faça quatro cópias dele e monte-as dentro do quadrado. Num arranjo vemos um quadrado na hipotenusa; com o outro - quadrados nos outros dois lados do triângulo. É claro que as áreas em ambos os casos são iguais.

// Arroz. 34. Esquerda: quadrado na hipotenusa (mais quatro triângulos). À direita: soma dos quadrados dos outros dois lados (mais os mesmos quatro triângulos). Agora elimine os triângulos

A dissecação de Perigal é outra prova do enigma.

// Arroz. 35. Dissecação de Perigal

Há também uma prova do teorema organizando quadrados em um plano. Talvez tenha sido assim que os pitagóricos ou seus predecessores desconhecidos descobriram este teorema. Se você observar como o quadrado inclinado se sobrepõe a dois outros quadrados, poderá ver como cortar um quadrado grande em pedaços e depois juntá-los em dois quadrados menores. Você também pode ver triângulos retângulos, cujos lados fornecem as dimensões dos três quadrados envolvidos.

// Arroz. 36. Prova por pavimentação

Existem provas interessantes usando triângulos semelhantes em trigonometria. São conhecidas pelo menos cinquenta provas diferentes.

Triplos pitagóricos

Na teoria dos números, o teorema de Pitágoras tornou-se a fonte de uma ideia frutífera: encontrar soluções inteiras para equações algébricas. Um triplo pitagórico é um conjunto de inteiros a, b e c tais que

Geometricamente, tal triplo define um triângulo retângulo com lados inteiros.

A menor hipotenusa de uma tripla pitagórica é 5.

Os outros dois lados deste triângulo são 3 e 4. Aqui

32 + 42 = 9 + 16 = 25 = 52.

A próxima maior hipotenusa é 10 porque

62 + 82 = 36 + 64 = 100 = 102.

No entanto, este é essencialmente o mesmo triângulo com lados duplos. A próxima hipotenusa maior e verdadeiramente diferente é 13, para a qual

52 + 122 = 25 + 144 = 169 = 132.

Euclides sabia que havia um número infinito de variações diferentes dos trigêmeos pitagóricos e deu o que poderia ser chamado de fórmula para encontrar todas elas. Mais tarde, Diofanto de Alexandria propôs uma receita simples, basicamente idêntica à euclidiana.

Pegue quaisquer dois números naturais e calcule:

seu duplo produto;

a diferença de seus quadrados;

a soma de seus quadrados.

Os três números resultantes serão os lados do triângulo pitagórico.

Tomemos, por exemplo, os números 2 e 1. Vamos calcular:

produto duplo: 2 × 2 × 1 = 4;

diferença de quadrados: 22 - 12 = 3;

soma dos quadrados: 22 + 12 = 5,

e obtivemos o famoso triângulo 3-4-5. Se pegarmos os números 3 e 2, obteremos:

produto duplo: 2 × 3 × 2 = 12;

diferença de quadrados: 32 - 22 = 5;

soma dos quadrados: 32 + 22 = 13,

e obtemos o próximo triângulo mais famoso 5 - 12 - 13. Vamos tentar pegar os números 42 e 23 e obter:

produto duplo: 2 × 42 × 23 = 1932;

diferença de quadrados: 422 - 232 = 1235;

soma dos quadrados: 422 + 232 = 2293,

ninguém nunca ouviu falar do triângulo 1235–1932–2293.

Mas esses números também funcionam:

12352 + 19322 = 1525225 + 3732624 = 5257849 = 22932.

Há outra característica da regra Diofantina que já foi sugerida: dados três números, podemos pegar outro número arbitrário e multiplicá-los todos por ele. Assim, um triângulo 3–4–5 pode ser transformado em um triângulo 6–8–10 multiplicando todos os lados por 2, ou em um triângulo 15–20–25 multiplicando tudo por 5.

Se mudarmos para a linguagem da álgebra, a regra assume a seguinte forma: sejam u, v e k números naturais. Então um triângulo retângulo com lados

2kuv e k (u2 - v2) tem uma hipotenusa

Existem outras formas de apresentar a ideia principal, mas todas se resumem à descrita acima. Este método permite obter todos os triplos pitagóricos.

Poliedros regulares

Existem exatamente cinco poliedros regulares. Um poliedro regular (ou poliedro) é uma figura tridimensional com um número finito de faces planas. As faces se encontram em linhas chamadas arestas; as arestas se encontram em pontos chamados vértices.

A culminação dos Principia de Euclides é a prova de que só pode haver cinco poliedros regulares, ou seja, poliedros em que cada face é um polígono regular (lados iguais, ângulos iguais), todas as faces são idênticas e todos os vértices são rodeados por um polígono igual. número de faces igualmente espaçadas. Aqui estão cinco poliedros regulares:

tetraedro com quatro faces triangulares, quatro vértices e seis arestas;

cubo, ou hexaedro, com 6 faces quadradas, 8 vértices e 12 arestas;

octaedro com 8 faces triangulares, 6 vértices e 12 arestas;

dodecaedro com 12 faces pentagonais, 20 vértices e 30 arestas;

Um icosaedro com 20 faces triangulares, 12 vértices e 30 arestas.

// Arroz. 37. Cinco poliedros regulares

Poliedros regulares também podem ser encontrados na natureza. Em 1904, Ernst Haeckel publicou desenhos de minúsculos organismos conhecidos como radiolários; muitos deles têm o formato dos mesmos cinco poliedros regulares. Talvez, porém, ele tenha corrigido ligeiramente a natureza e os desenhos não reflitam totalmente a forma de seres vivos específicos. As três primeiras estruturas também são observadas em cristais. Você não encontrará dodecaedros e icosaedros em cristais, embora às vezes sejam encontrados dodecaedros e icosaedros irregulares. Os verdadeiros dodecaedros podem ocorrer como quasicristais, que são semelhantes aos cristais em todos os aspectos, exceto que seus átomos não formam uma rede periódica.

// Arroz. 38. Desenhos de Haeckel: radiolários em forma de poliedros regulares

// Arroz. 39. Desenvolvimentos de poliedros regulares

Pode ser interessante fazer modelos de poliedros regulares a partir de papel, primeiro recortando um conjunto de faces interligadas - isto é chamado de desenvolvimento de um poliedro; o desenvolvimento é dobrado ao longo das bordas e as bordas correspondentes são coladas. É útil adicionar uma almofada de cola adicional a uma das nervuras de cada par, como mostrado na Fig. 39. Se não existir tal plataforma, você pode usar fita adesiva.

Equação do quinto grau

Não existe fórmula algébrica para resolver equações do 5º grau.

Em geral, uma equação do quinto grau se parece com isto:

ax5 + bx4 + cx3 + dx2 + ex + f = 0.

O problema é encontrar uma fórmula para soluções para tal equação (pode ter até cinco soluções). A experiência com equações quadráticas e cúbicas, bem como equações de quarto grau, sugere que tal fórmula também deveria existir para equações de quinto grau e, em teoria, raízes de quinto, terceiro e segundo graus deveriam aparecer nela. Mais uma vez, podemos assumir com segurança que tal fórmula, se existir, será muito, muito complexa.

Essa suposição acabou se revelando errada. Na verdade, tal fórmula não existe; pelo menos não existe uma fórmula composta pelos coeficientes a, b, c, d, e e f, feita por meio de adição, subtração, multiplicação e divisão, e tirando raízes. Portanto, há algo muito especial no número 5. As razões para esse comportamento incomum dos cinco são muito profundas e demorou muito para entendê-las.

O primeiro sinal de problema foi que, por mais que os matemáticos tentassem encontrar tal fórmula, por mais inteligentes que fossem, eles invariavelmente falhavam. Durante algum tempo, todos acreditaram que as razões residiam na incrível complexidade da fórmula. Acreditava-se que ninguém simplesmente conseguia entender essa álgebra adequadamente. No entanto, com o tempo, alguns matemáticos começaram a duvidar da existência de tal fórmula e, em 1823, Niels Hendrik Abel conseguiu provar o contrário. Não existe tal fórmula. Pouco depois, Évariste Galois encontrou uma maneira de determinar se uma equação de um grau ou de outro – 5º, 6º, 7º, qualquer tipo – era solucionável usando este tipo de fórmula.

A conclusão de tudo isso é simples: o número 5 é especial. Você pode resolver equações algébricas (usando raízes enésimas para diferentes valores de n) para potências 1, 2, 3 e 4, mas não para potências 5. É aqui que termina o padrão óbvio.

Ninguém fica surpreso que equações de graus maiores que 5 se comportem ainda pior; em particular, a mesma dificuldade está associada a eles: não existem fórmulas gerais para resolvê-los. Isto não significa que as equações não tenham soluções; Isto também não significa que seja impossível encontrar valores numéricos muito precisos para estas soluções. É tudo uma questão de limitações das ferramentas tradicionais de álgebra. Isso lembra a impossibilidade de trissecção de um ângulo usando régua e compasso. A resposta existe, mas os métodos listados são insuficientes e não nos permitem determinar o que é.

Limitação cristalográfica

Cristais em duas e três dimensões não possuem simetria rotacional de 5 raios.

Os átomos de um cristal formam uma rede, ou seja, uma estrutura que se repete periodicamente em várias direções independentes. Por exemplo, o padrão do papel de parede é repetido ao longo do comprimento do rolo; além disso, geralmente se repete na direção horizontal, às vezes com mudança de um pedaço de papel de parede para outro. Essencialmente, o papel de parede é um cristal bidimensional.

Existem 17 variedades de padrões de papel de parede em um avião (veja o Capítulo 17). Eles diferem nos tipos de simetria, ou seja, nas formas de mover rigidamente o padrão para que ele fique exatamente sobre si mesmo em sua posição original. Os tipos de simetria incluem, em particular, várias variantes de simetria rotacional, onde o padrão deve ser girado em um determinado ângulo em torno de um determinado ponto - o centro de simetria.

A ordem da simetria rotacional é quantas vezes o corpo pode ser girado em um círculo completo para que todos os detalhes do padrão retornem às suas posições originais. Por exemplo, uma rotação de 90° é uma simetria de rotação de 4ª ordem*. A lista de possíveis tipos de simetria rotacional em uma rede cristalina aponta novamente para a incomum do número 5: ele não existe. Existem opções com simetria de rotação de 2ª, 3ª, 4ª e 6ª ordem, mas nenhum dos designs de papel de parede possui simetria de rotação de 5ª ordem. Simetria de rotação de ordem maior que 6 também não existe em cristais, mas a primeira violação da sequência ainda ocorre no número 5.

O mesmo acontece com os sistemas cristalográficos no espaço tridimensional. Aqui a rede se repete em três direções independentes. Existem 219 tipos diferentes de simetria, ou 230 se contarmos a imagem espelhada de um desenho como uma variante separada - apesar do fato de que neste caso não há simetria espelhada. Novamente, são observadas simetrias rotacionais de ordens 2, 3, 4 e 6, mas não 5. Este fato é chamado de confinamento cristalográfico.

No espaço quadridimensional, existem redes com simetria de 5ª ordem; Em geral, para redes de dimensões suficientemente altas, qualquer ordem predeterminada de simetria rotacional é possível.

// Arroz. 40. Estrutura cristalina de sal de cozinha. As bolas escuras representam átomos de sódio, as bolas claras representam átomos de cloro.

Quasicristais

Embora a simetria rotacional de 5ª ordem não seja possível em redes 2D ou 3D, ela pode existir em estruturas ligeiramente menos regulares conhecidas como quasicristais. Usando os esboços de Kepler, Roger Penrose descobriu sistemas planares com um tipo mais geral de simetria quíntupla. Eles são chamados de quasicristais.

Os quasicristais existem na natureza. Em 1984, Daniel Shechtman descobriu que uma liga de alumínio e manganês poderia formar quasicristais; Inicialmente, os cristalógrafos receberam o seu relatório com algum cepticismo, mas a descoberta foi posteriormente confirmada e, em 2011, Shechtman recebeu o Prémio Nobel de Química. Em 2009, uma equipe de cientistas liderada por Luca Bindi descobriu quasicristais em um mineral das montanhas russas de Koryak - um composto de alumínio, cobre e ferro. Hoje esse mineral é chamado de icosaedrita. Ao medir o conteúdo de diferentes isótopos de oxigênio no mineral usando um espectrômetro de massa, os cientistas mostraram que esse mineral não se originou na Terra. Formou-se há cerca de 4,5 mil milhões de anos, numa altura em que o sistema solar estava apenas a começar, e passou a maior parte do seu tempo na cintura de asteróides, orbitando o Sol, até que alguma perturbação mudou a sua órbita e eventualmente o trouxe para a Terra.

// Arroz. 41. Esquerda: uma das duas redes quasicristalinas com exata simetria quíntupla. À direita: modelo atômico de um quasicristal icosaédrico de alumínio-paládio-manganês