Pythagoras trippel och deras antal. Modern vetenskapsintensiv teknologi Primtal som en del av Pythagoras trippel

"Regionalt utbildningscentrum"

Metodisk utveckling

Använda Pythagoras trippel för att lösa

geometriska problem och trigonometriska uppgifter ANVÄNDNING

Kaluga, 2016

I. INLEDNING

Pythagoras sats är en av de viktigaste och, man kan till och med säga, den viktigaste satsen inom geometri. Dess betydelse ligger i det faktum att de flesta av geometrins satser kan härledas från den eller med dess hjälp. Pythagoras sats är också anmärkningsvärd genom att den i sig inte alls är självklar. Till exempel kan egenskaperna hos en likbent triangel ses direkt på ritningen. Men oavsett hur du ser på en rätvinklig triangel kommer du aldrig att se att det finns ett så enkelt förhållande mellan dess sidor: a2+b2=c2. Det var dock inte Pythagoras som upptäckte satsen som bär hans namn. Det var känt ännu tidigare, men kanske bara som ett faktum härlett från mätningar. Förmodligen visste Pythagoras detta, men fann bevis.

Det finns ett oändligt antal naturliga tal a, b, c, som uppfyller förhållandet a2+b2=c2.. De kallas pytagoreiska tal. Enligt Pythagoras sats kan sådana tal tjäna som längderna på sidorna i någon rätvinklig triangel – vi kommer att kalla dem Pythagoras trianglar.

Målet med arbetet: att studera möjligheten och effektiviteten av att använda Pythagoras trippel för att lösa problem i en skolmatematikkurs, ANVÄND-uppgifter.

Utifrån syftet med arbetet, följande uppgifter:

Att studera historien och klassificeringen av Pythagoras trippel. Analysera uppgifter med hjälp av pythagoras trippel som finns i skolböckerna och som finns i kontroll- och mätmaterialet för provet. Utvärdera effektiviteten av att använda Pythagoras trippel och deras egenskaper för att lösa problem.

Studieobjekt: Pythagoras trippel av tal.

Studieämne: uppgifter i skolkursen trigonometri och geometri, där pythagoras trippel används.

Forskningens relevans. Pythagoras trippel används ofta i geometri och trigonometri, att veta dem kommer att eliminera fel i beräkningar och spara tid.

II. Huvudsak. Lösa problem med Pythagoras trippel.

2.1 Tabell över trippel av Pythagoras tal (enligt Perelman)

Pythagoras tal har formen a= m n, , där m och n är några coprime udda tal.

Pythagoras tal har ett antal intressanta egenskaper:

Ett av "benen" måste vara en multipel av tre.

Ett av "benen" måste vara en multipel av fyra.

Ett av de pytagoreiska talen måste vara en multipel av fem.

Boken "Underhållande algebra" innehåller en tabell med pythagoras trippel som innehåller tal upp till hundra, som inte har gemensamma faktorer.

		32+42=52
		52+122=132
		72+242=252
		92+402=412
		112+602=612
		132+842=852
		152+82=172
		212 +202=292
		332+562=652
		392+802=892
		352+122=372
		452+282=532
		552+482=732
		652+722=972
		632+162=652
		772+362=852

2.2. Shustrovs klassificering av Pythagoras trippel.

Shustrov upptäckte följande mönster: om alla pythagoras trianglar är indelade i grupper, är följande formler giltiga för det udda benet x, jämnt y och hypotenusan z:

x \u003d (2N-1) (2n + 2N-1); y = 2n (n+2N-1); z = 2n (n+2N-1)+(2N-1) 2, där N är numret på familjen och n är ordningstalet för triangeln i familjen.

Genom att ersätta i formeln i stället för N och n alla positiva heltal, med början från ett, kan du få alla de viktigaste pythagoras trippel av tal, såväl som multiplar av en viss typ. Du kan göra en tabell över alla Pythagoras trippel för varje familj.

2.3. Planimetriuppgifter

Låt oss överväga problem från olika läroböcker om geometri och ta reda på hur ofta pythagoras trippel finns i dessa uppgifter. Triviala problem med att hitta det tredje elementet i tabellen över Pythagoras trippel kommer inte att beaktas, även om de också finns i läroböcker. Låt oss visa hur man reducerar lösningen av ett problem vars data inte uttrycks med naturliga tal till Pythagoras trippel.

Tänk på uppgifter från en geometrilärobok för årskurs 7-9.

№ 000. Hitta hypotenusan för en rätvinklig triangel A=, b=.

Lösning. Multiplicera benens längder med 7, vi får två element från Pythagoras trippel 3 och 4. Det saknade elementet är 5, som vi dividerar med 7. Svara.

№ 000. I rektangel ABCD hitta BC om CD=1.5, AC=2.5.

https://pandia.ru/text/80/406/images/image007_0.gif" width="240" height="139 src=">

Lösning. Låt oss lösa rätt triangel ACD. Vi multiplicerar längderna med 2, vi får två element från Pythagoras trippel 3 och 5, det saknade elementet är 4, som vi dividerar med 2. Svar: 2.

När du löser nästa siffra, kontrollera förhållandet a2+b2=c2 det är helt valfritt, det räcker med att använda pythagoras tal och deras egenskaper.

№ 000. Ta reda på om en triangel är rätvinklig om dess sidor uttrycks med siffror:

a) 6,8,10 (Pythagorean trippel 3,4,5) - ja;

Ett av benen i en rätvinklig triangel måste vara delbart med 4. Svar: nej.

c) 9,12,15 (Pythagorean trippel 3,4,5) - ja;

d) 10,24,26 (Pythagorean trippel 5,12,13) ​​- ja;

Ett av de pytagoreiska talen måste vara en multipel av fem. Svar: nej.

g) 15, 20, 25 (Pythagorean trippel 3,4,5) - ja.

Av de 39 uppgifterna i detta avsnitt (Pythagores sats) löses tjugotvå muntligt med hjälp av pythagoras tal och kunskap om deras egenskaper.

Tänk på problem #000 (från avsnittet "Ytterligare uppgifter"):

Hitta arean av fyrhörning ABCD där AB=5 cm, BC=13 cm, CD=9 cm, DA=15 cm, AC=12 cm.

Uppgiften är att kontrollera förhållandet a2+b2=c2 och bevisa att den givna fyrhörningen består av två räta trianglar (inverssatsen). Och kunskapen om Pythagoras trippel: 3, 4, 5 och 5, 12, 13 eliminerar behovet av beräkningar.

Låt oss ge lösningar på flera problem från en lärobok i geometri för årskurs 7-9.

Uppgift 156 (h). Benen i en rätvinklig triangel är 9 och 40. Hitta medianen som dras till hypotenusan.

Lösning . Medianen som dras till hypotenusan är lika med hälften av den. Pythagoras trippel är 9,40 och 41. Därför är medianen 20,5.

Problem 156 (i). Triangelns sidor är: A= 13 cm, b= 20 cm och höjd hс = 12 cm Hitta basen Med.

Uppgift (KIM ANVÄNDNING). Hitta radien för en cirkel inskriven i en spetsig triangel ABC om höjden BH är 12 och det är känt att synd A=,sin C \u003d lämnade "\u003e

Lösning. Vi löser rektangulär ∆ ASC: sin A=, BH=12, därav AB=13,AK=5 (Pythagorean trippel 5,12,13). Lös rektangulär ∆ BCH: BH =12, sin C===https://pandia.ru/text/80/406/images/image015_0.gif" width="12" height="13">3=9 (Pythagorean) trippel 3,4,5).Radien hittas av formeln r === 4. Svar.4.

2.4. Pythagoras trippel i trigonometri

Den huvudsakliga trigonometriska identiteten är ett specialfall av Pythagoras sats: sin2a + cos2a = 1; (a/c)2+ (b/c)2=1. Därför löses vissa trigonometriska uppgifter lätt muntligt med hjälp av Pythagoras trippel.

Problem där det krävs att hitta värdena för andra trigonometriska funktioner från ett givet värde på en funktion kan lösas utan att kvadrera och extrahera en kvadratrot. Alla uppgifter av denna typ i skolans lärobok i algebra (10-11) Mordkovich (nr 000-nr 000) kan lösas muntligt, med kunskap om bara några pythagoras trippel: 3,4,5 ; 5,12,13 ; 8,15,17 ; 7,24,25 . Låt oss överväga lösningarna för två uppgifter.

nr 000 a). sin t = 4/5, π/2< t < π.

Lösning. Pythagoras trippel: 3, 4, 5. Därför är cos t = -3/5; tg t = -4/3,

nr 000 b). tg t = 2,4, π< t < 3π/2.

Lösning. tg t \u003d 2.4 \u003d 24/10 \u003d 12/5. Pythagoras trippel 5,12,13. Givet tecknen får vi sin t = -12/13, cos t = -5/13, ctg t = 5/12.

3. Kontroll- och mätmaterial för tentamen

a) cos (arcsin 3/5)=4/5 (3, 4, 5)

b) synd (arccos 5/13)=12/13 (5, 12, 13)

c) tg (arcsin 0,6)=0,75 (6, 8, 10)

d) ctg (arccos 9/41) = 9/40 (9, 40, 41)

e) 4/3 tg (π–arcsin (–3/5))= 4/3 tg (π+arcsin 3/5)= 4/3 tg arcsin 3/5=4/3 3/4=1

e) kontrollera giltigheten av jämlikheten:

arcsin 4/5 + arcsin 5/13 + arcsin 16/65 = π/2.

Lösning. arcsin 4/5 + arcsin 5/13 + arcsin 16/65 = π/2

arcsin 4/5 + arcsin 5/13 = π/2 - arcsin 16/65

sin (arcsin 4/5 + arcsin 5/13) = sin (arccos 16/65)

sin (arcsin 4/5) cos (arcsin 5/13) + cos (arcsin 4/5) sin (arcsin 5/13) = 63/65

4/5 12/13 + 3/5 5/13 = 63/65

III. Slutsats

I geometriska problem måste man ofta lösa räta trianglar, ibland flera gånger. Efter att ha analyserat uppgifterna i skolböcker och ANVÄND-material kan vi dra slutsatsen att trillingar huvudsakligen används: 3, 4, 5; 5, 12, 13; 7, 24, 25; 9, 40, 41; 8,15,17; som är lätta att komma ihåg. När man löser vissa trigonometriska uppgifter tar den klassiska lösningen med trigonometriska formler och ett stort antal beräkningar tid, och kunskap om Pythagoras trippel kommer att eliminera fel i beräkningar och spara tid för att lösa svårare problem på tentan.

Bibliografisk lista

1. Algebra och början av analys. 10-11 årskurser. Vid 2 timmar Del 2. En uppgiftsbok för utbildningsinstitutioner / [och andra]; ed. . - 8:e upplagan, Sr. - M. : Mnemosyne, 2007. - 315 sid. : sjuk.

2. Perelman algebra. - D.: VAP, 1994. - 200 sid.

3. Roganovsky: Proc. För 7-9 celler. med en djup studiet av matematik allmän bildning. skola från ryska lang. lärande, - 3:e uppl. - Mn.; Nar. Asveta, 2000. - 574 s.: ill.

4. Matematik: Läsare om historia, metodik, didaktik. / Komp. . - M.: URAOs förlag, 2001. - 384 sid.

5. Tidskrift "Matematik i skolan" nr 1, 1965.

6. Kontroll- och mätmaterial för tentamen.

7. Geometri, 7-9: Proc. för läroanstalter /, etc. - 13:e uppl. - M .: Education, 2003. – 384 sid. : sjuk.

8. Geometri: Proc. för 10-11 celler. snitt skola /, etc. - 2:a uppl. - M .: Utbildning, 1993, - 207 s.: ill.

Perelman algebra. - D.: VAP, 1994. - 200 sid.

Tidskrift "Matematik i skolan" nr 1, 1965.

Geometry, 7-9: Proc. för läroanstalter /, etc. - 13:e uppl. - M .: Education, 2003. – 384 sid. : sjuk.

Roganovsky: Proc. För 7-9 celler. med en djup studiet av matematik allmän bildning. skola från ryska lang. lärande, - 3:e uppl. - Mn.; Nar. Asveta, 2000. - 574 s.: ill.

Algebra och början av analys. 10-11 årskurser. Vid 2 timmar Del 2. En uppgiftsbok för utbildningsinstitutioner / [och andra]; ed. . - 8:e upplagan, Sr. - M. : Mnemosyne, 2007. - 315 sid. : ill., s.18.

Belotelov V.A. Pythagoras trippel och deras antal // Encyclopedia of the Nesterovs

Den här artikeln är ett svar till en professor - en nypa. Titta, professor, hur de gör det i vår by.

Nizhny Novgorod-regionen, Zavolzhye.

Kunskaper om algoritmen för att lösa diofantiska ekvationer (ADDE) och kunskap om polynomprogressioner krävs.

OM är ett primtal.

MF är ett sammansatt tal.

Låt det vara ett udda tal N. För vilket udda tal som helst förutom ett kan du skriva en ekvation.

p 2 + N \u003d q 2,

där р + q = N, q – р = 1.

Till exempel, för talen 21 och 23, skulle ekvationerna vara, -

10 2 + 21 = 11 2 , 11 2 + 23 = 12 2 .

Om N är primtal är denna ekvation unik. Om talet N är sammansatt, är det möjligt att komponera liknande ekvationer för antalet par av faktorer som representerar detta tal, inklusive 1 x N.

Låt oss ta talet N = 45, -

1 x 45 = 45, 3 x 15 = 45, 5 x 9 = 45.

Jag drömde, men är det möjligt, att hålla fast vid denna skillnad mellan IF och MF, att hitta en metod för deras identifiering.

Låt oss introducera notationen;

Låt oss ändra den nedre ekvationen, -

N \u003d i 2 - a 2 \u003d (b - a) (b + a).

Låt oss gruppera värdena på N enligt kriteriet i - a, dvs. låt oss göra en tabell.

Siffrorna N sammanfattades i en matris, -

Det var för denna uppgift som jag var tvungen att ta itu med polynomens progressioner och deras matriser. Allt visade sig vara förgäves - PCh-försvaret hålls kraftfullt. Låt oss ange en kolumn i tabell 1, där i - a \u003d 1 (q - p \u003d 1).

Ännu en gång. Tabell 2 erhölls som ett resultat av ett försök att lösa problemet med att identifiera IF och MF. Det följer av tabellen att för vilket tal N som helst finns det lika många ekvationer av formen a 2 + N \u003d i 2, i hur många par av faktorer talet N kan delas, inklusive faktorn 1 x N. Dessutom till siffrorna N \u003d ℓ 2, där

ℓ - FC. För N = ℓ 2, där ℓ är IF, finns det en unik ekvation p 2 + N = q 2 . Vilka ytterligare bevis kan vi prata om om tabellen listar mindre faktorer från par av faktorer som bildar N, från ett till ∞. Vi kommer att placera bord 2 i en kista och gömma kistan i en garderob.

Låt oss återgå till ämnet som anges i artikelns titel.

Den här artikeln är ett svar till en professor - en nypa.

Jag bad om hjälp - jag behövde en serie nummer som jag inte kunde hitta på Internet. Jag stötte på frågor som, "Vad för?", "Men visa mig metoden." I synnerhet var det en fråga om huruvida serien av Pythagoras trippel är oändlig, "hur kan man bevisa det?". Han hjälpte mig inte. Titta, professor, hur de gör det i vår by.

Låt oss ta formeln för Pythagoras trippel, -

x 2 \u003d y 2 + z 2. (1)

Låt oss passera genom ARDU.

Tre situationer är möjliga:

I. x är ett udda tal,

y är ett jämnt tal

z är ett jämnt tal.

Och det finns ett villkor x > y > z.

II. x är ett udda tal

y är ett jämnt tal

z är ett udda tal.

x > z > y.

III.x - ett jämnt tal,

y är ett udda tal

z är ett udda tal.

x > y > z.

Låt oss börja med I.

Låt oss introducera nya variabler

Ersätt i ekvation (1).

Låt oss avbryta med den mindre variabeln 2γ.

(2a - 2y + 2k + 1) 2 = (2p - 2y + 2k) 2 + (2k + 1) 2 .

Låt oss reducera variabeln 2β – 2γ med en mindre med samtidig introduktion av en ny parameter ƒ, -

(2α - 2β + 2ƒ + 2k + 1) 2 = (2ƒ + 2k) 2 + (2k + 1) 2 (2)

Sedan, 2a - 2β = x - y - 1.

Ekvation (2) kommer att ha formen –

(x - y + 2ƒ + 2k) 2 \u003d (2ƒ + 2k) 2 + (2k + 1) 2

Låt oss kvadrera det -

(x - y) 2 + 2 (2ƒ + 2k) (x - y) + (2ƒ + 2k) 2 \u003d (2ƒ + 2k) 2 + (2k + 1) 2,

(x - y) 2 + 2(2ƒ + 2k)(x - y) - (2k + 1) 2 = 0. (3)

ARDU ger genom parametrarna förhållandet mellan ekvationens seniortermer, så vi fick ekvation (3).

Det är inte solidt att ta itu med valet av lösningar. Men för det första finns det ingenstans att ta vägen, och för det andra behövs flera av dessa lösningar, och vi kan återställa ett oändligt antal lösningar.

För ƒ = 1, k = 1, har vi x – y = 1.

Med ƒ = 12, k = 16, har vi x - y = 9.

Med ƒ = 4, k = 32, har vi x - y = 25.

Du kan plocka upp det länge, men i slutändan kommer serien att ta formen -

x - y \u003d 1, 9, 25, 49, 81, ....

Överväg alternativ II.

Låt oss introducera nya variabler i ekvation (1)

(2a + 2k + 1) 2 = (2p + 2k) 2 + (2y + 2k + 1) 2 .

Vi reducerar med en mindre variabel 2 β, -

(2a - 2p + 2k + 1) 2 = (2a - 2p + 2k+1) 2 + (2k) 2 .

Låt oss reducera med den mindre variabeln 2α – 2β, –

(2α - 2γ + 2ƒ + 2k + 1) 2 = (2ƒ + 2k + 1) 2 + (2k) 2 . (4)

2a - 2y = x - z och sätt in i ekvation (4).

(x - z + 2ƒ + 2k + 1) 2 = (2ƒ + 2k + 1) 2 + (2k) 2

(x - z) 2 + 2 (2ƒ + 2k + 1) (x - z) + (2ƒ + 2k + 1) 2 = (2ƒ + 2k + 1) 2 + (2k) 2 (x - z) 2 + 2(2ƒ + 2k + 1) (x - z) - (2k) 2 = 0

Med ƒ = 3, k = 4, har vi x - z = 2.

Med ƒ = 8, k = 14, har vi x - z = 8.

Med ƒ = 3, k = 24, har vi x - z = 18.

x - z \u003d 2, 8, 18, 32, 50, ....

Låt oss rita en trapets -

Låt oss skriva en formel.

där n=1, 2,...∞.

Fall III kommer inte att beskrivas - det finns inga lösningar där.

För villkor II kommer uppsättningen av trippel att vara följande:

Ekvation (1) presenteras som x 2 = z 2 + y 2 för tydlighetens skull.

För villkor I kommer uppsättningen av trippel att vara följande:

Totalt målas 9 kolumner med trippel, fem trippel i varje. Och var och en av de presenterade kolumnerna kan skrivas upp till ∞.

Som ett exempel, betrakta trippeln av den sista kolumnen, där x - y \u003d 81.

För värdena på x skriver vi en trapets, -

Låt oss skriva formeln

För värdena av vi skriver en trapets, -

Låt oss skriva formeln

För värdena på z skriver vi en trapets, -

Låt oss skriva formeln

Där n = 1 ÷ ∞.

Som utlovat flyger en serie trillingar med x - y = 81 till ∞.

Det gjordes ett försök för fall I och II att konstruera matriser för x, y, z.

Skriv ut de fem sista kolumnerna av x från de översta raderna och bygg en trapets.

Det fungerade inte, och mönstret ska vara kvadratiskt. För att göra allt i genombrutet, visade det sig att det var nödvändigt att kombinera kolumner I och II.

I fall II byts återigen storheterna y, z om.

Vi lyckades slå samman av en anledning - korten passade bra i denna uppgift - vi hade tur.

Nu kan du skriva matriser för x, y, z.

Låt oss ta från de fem sista kolumnerna av x-värdet från de översta raderna och bygga en trapets.

Allt är bra, du kan bygga matriser, och låt oss börja med en matris för z.

Jag springer till garderoben efter en kista.

Totalt: Förutom en deltar varje udda nummer på den numeriska axeln i bildandet av Pythagoras trippel med lika många par av faktorer som bildar detta tal N, inklusive faktorn 1 x N.

Talet N \u003d ℓ 2, där ℓ - IF, bildar en Pythagoras trippel, om ℓ är MF, så finns det ingen trippel på faktorerna ℓхℓ.

Låt oss bygga matriser för x, y.

Låt oss börja med matrisen för x. För att göra detta kommer vi att dra på det koordinatnätet från problemet med att identifiera IF och MF.

Numreringen av vertikala rader normaliseras av uttrycket

Låt oss ta bort den första kolumnen, eftersom

Matrisen kommer att ha formen -

Låt oss beskriva de vertikala raderna, -

Låt oss beskriva koefficienterna vid "a", -

Låt oss beskriva de gratis medlemmarna, -

Låt oss göra en allmän formel för "x", -

Om vi ​​gör ett liknande jobb för "y" får vi -

Du kan närma dig detta resultat från andra sidan.

Låt oss ta ekvationen,

och 2 + N = i 2 .

Låt oss ändra det lite -

N \u003d i 2 - a 2.

Låt oss kvadrera det -

N 2 \u003d i 4 - 2v 2 a 2 + a 4.

Till vänster och höger sida av ekvationen, lägg till i magnitud 4v 2 a 2, -

N 2 + 4v 2 a 2 \u003d i 4 + 2v 2 a 2 + a 4.

Och slutligen -

(i 2 + a 2) 2 \u003d (2va) 2 + N 2.

Pythagoras trippel är sammansatt enligt följande:

Tänk på ett exempel med talet N = 117.

1 x 117 = 117, 3 x 39 = 117, 9 x 13 = 117.

De vertikala kolumnerna i Tabell 2 är numrerade med värden i -a, medan de vertikala kolumnerna i Tabell 3 är numrerade med värden x - y.

x - y \u003d (c - a) 2,

x \u003d y + (c - a) 2.

Låt oss göra tre ekvationer.

(y + 1 2) 2 \u003d y 2 + 117 2,

(y + 3 2) 2 \u003d y 2 + 117 2,

(y + 9 2) 2 \u003d y 2 + 117 2.

x 1 = 6845, y 1 = 6844, z 1 = 117.

x2 = 765, y2 = 756, z2 = 117 (x2 = 85, y2 = 84, z2 = 13).

x 3 = 125, y 3 = 44, z 3 = 117.

Faktorerna 3 och 39 är inte relativt primtal, så en trippel blev med en faktor 9.

Låt oss skildra ovanstående skrivna i allmänna symboler, -

I detta arbete, allt, inklusive ett exempel för att beräkna Pythagoras trippel med talet

N = 117, bunden till den mindre faktorn i - a. Uttrycklig diskriminering i förhållande till faktorn i + a. Låt oss rätta till denna orättvisa - vi kommer att komponera tre ekvationer med en faktor i + a.

Låt oss återgå till frågan om identifiering av IF och MF.

Många saker har gjorts i den här riktningen, och idag har följande tanke kommit genom händerna - det finns ingen identifieringsekvation, och det finns inget sådant som att bestämma faktorerna.

Antag att vi har hittat sambandet F = a, b (N).

Det finns en formel

Man kan bli av med i formeln F från in och man får en homogen ekvation av n:e graden med avseende på a, d.v.s. F = a(N).

För vilken grad n som helst i denna ekvation finns det ett tal N med m par av faktorer, för m > n.

Och som en konsekvens måste en homogen ekvation av grad n ha m rötter.

Ja, det kan inte vara så.

I denna uppsats togs talen N i beaktande för ekvationen x 2 = y 2 + z 2 när de är i ekvationen på platsen z. När N är i stället för x är detta en annan uppgift.

Med vänlig hälsning, Belotelov V.A.

Därefter överväger vi de välkända metoderna för att generera effektiva Pythagoras trippel. Eleverna i Pythagoras var de första att hitta på ett enkelt sätt att generera Pythagoras trippel, med hjälp av en formel vars delar representerar en Pythagoras trippel:

m 2 + ((m 2 − 1)/2) 2 = ((m 2 + 1)/2) 2 ,

Var m- oparad, m>2. Verkligen,

4m 2 + m 4 − 2m 2 + 1
m 2 + ((m 2 − 1)/2) 2 = ————————— = ((m 2 + 1)/2) 2 .
4

En liknande formel föreslogs av den antika grekiske filosofen Platon:

(2m) 2 + (m 2 − 1) 2 = (m 2 + 1) 2 ,

Var m- vilket nummer som helst. För m= 2,3,4,5 genereras följande tripletter:

(16,9,25), (36,64,100), (64,225,289), (100,576,676).

Som du kan se kan dessa formler inte ge alla möjliga primitiva trippel.

Betrakta följande polynom, som delas upp i en summa av polynom:

(2m 2 + 2m + 1) 2 = 4m 4 + 8m 3 + 8m 2 + 4m + 1 =
=4m 4 + 8m 3 + 4m 2 + 4m 2 + 4m + 1 = (2m(m+1)) 2 + (2m +1) 2 .

Därav följande formler för att erhålla primitiva trippel:

a = 2m +1 , b = 2m(m+1) = 2m 2 + 2m , c = 2m 2 + 2m + 1.

Dessa formler genererar trippel där medeltalet skiljer sig från det största med exakt en, det vill säga alla möjliga trippel genereras inte också. Här är de första trippelna: (5,12,13), (7,24,25), (9,40,41), (11,60,61).

För att avgöra hur man genererar alla primitiva trippel måste man undersöka deras egenskaper. Först, om ( a,b,c) är alltså en primitiv trippel a Och b, b Och c, A Och c— måste vara coprime. Låta a Och bär uppdelade i d. Sedan a 2 + b 2 är också delbart med d. Respektive, c 2 och c bör delas upp i d. Det vill säga att det inte är en primitiv trippel.

För det andra bland siffrorna a, b den ena måste vara parad och den andra oparad. Ja, om a Och b- ihopkopplad alltså Med kommer att paras, och talen kan delas med minst 2. Om de båda är oparade, kan de representeras som 2 k+1 i 2 l+1, var k,l- några siffror. Sedan a 2 + b 2 = 4k 2 +4k+1+4l 2 +4l+1, det vill säga Med 2 , samt a 2 + b 2 har en återstod av 2 när de divideras med 4.

Låta Med- vilket nummer som helst Med = 4k+i (i=0,…,3). Sedan Med 2 = (4k+i) 2 har en rest av 0 eller 1 och kan inte ha en rest av 2. Alltså, a Och b kan inte kopplas bort, det vill säga a 2 + b 2 = 4k 2 +4k+4l 2 +4l+1 och resten Med 2 x 4 ska vara 1, vilket betyder att Med bör vara oparad.

Sådana krav för elementen i Pythagoras trippel uppfylls av följande siffror:

a = 2mn, b = m 2 − n 2 , c = m 2 + n 2 , m > n, (2)

Var m Och när coprime med olika parningar. För första gången blev dessa beroenden kända från verk av Euclid, som levde 2300 r. tillbaka.

Låt oss bevisa giltigheten av beroenden (2). Låta A- dubbelt alltså b Och c- oparad. Sedan c + b i c − b- par. De kan representeras som c + b = 2u Och c − b = 2v, Var u,vär några heltal. Det är därför

a 2 = Med 2 − b 2 = (c + b)(c − b) = 2u 2 v = 4UV

Och därför ( a/2) 2 = UV.

Det kan bevisas motsägelsefullt u Och vär coprime. Låta u Och v- är indelade i d. Sedan ( c + b) Och ( c − b) är indelade i d. Och därför c Och b bör delas upp i d, och detta motsäger villkoret för Pythagoras trippel.

Därför att UV = (a/2) 2 och u Och v coprime, det är lätt att bevisa det u Och v måste vara kvadrater av vissa tal.

Så det finns positiva heltal m Och n, Så att u = m 2 och v = n 2. Sedan

A 2 = 4UV = 4m 2 n 2 alltså
A = 2mn; b = u − v = m 2 − n 2 ; c = u + v = m 2 + n 2 .

Därför att b>0 alltså m > n.

Det återstår att visa det m Och n har olika parningar. Om m Och n- ihopkopplad alltså u Och v måste paras ihop, men detta är omöjligt eftersom de är coprime. Om m Och n- oparad alltså b = m 2 − n 2 och c = m 2 + n 2 skulle paras ihop, vilket är omöjligt eftersom c Och bär coprime.

Alltså måste varje primitiv pytagoreisk trippel uppfylla villkor (2). Samtidigt siffrorna m Och n kallad genererar siffror primitiva trillingar. Låt oss till exempel ha en primitiv Pythagoras trippel (120,119,169). I detta fall

A= 120 = 2 12 5, b= 119 = 144 − 25, och c = 144+25=169,

Var m = 12, n= 5 - genererande tal, 12 > 5; 12 och 5 är coprime och av olika parningar.

Det kan bevisas att siffrorna m, n formler (2) ger en primitiv pythagoras trippel (a,b,c). Verkligen,

A 2 + b 2 = (2mn) 2 + (m 2 − n 2) 2 = 4m 2 n 2 + (m 4 − 2m 2 n 2 + n 4) =
= (m 4 + 2m 2 n 2 + n 4) = (m 2 + n 2) 2 = c 2 ,

Det är ( a,b,c) är en pytagoreisk trippel. Låt oss bevisa det samtidigt a,b,cär coprimtal genom motsägelse. Låt dessa tal divideras med sid> 1. Sedan m Och n har olika parningar då b Och c- oparad, alltså sid≠ 2. Eftersom R delar upp b Och c, Den där R måste dela 2 m 2 och 2 n 2 , vilket är omöjligt eftersom sid≠ 2. Därför m, när coprime och a,b,cär också coprime.

Tabell 1 visar alla primitiva Pythagoras trippel genererade av formler (2) för m≤10.

Tabell 1. Primitiva Pythagoras trippel för m≤10

m	n	a	b	c	m	n	a	b	c
2	1	4	3	5	8	1	16	63	65
3	2	12	5	13	8	3	48	55	73
4	1	8	15	17	8	5	80	39	89
4	3	24	7	25	8	7	112	15	113
5	2	20	21	29	9	2	36	77	85
5	4	40	9	41	9	4	72	65	97
6	1	12	35	37	9	8	144	17	145
6	5	60	11	61	10	1	20	99	101
7	2	28	45	53	10	3	60	91	109
7	4	56	33	65	10	7	140	51	149
7	6	84	13	85	10	9	180	19	181

Analys av denna tabell visar närvaron av följande serie av mönster:

• eller a, eller b delas med 3;
• ett av siffrorna a,b,cär delbart med 5;
• siffra Aär delbart med 4;
• arbete a· bär delbart med 12.

1971 föreslog de amerikanska matematikerna Teigan och Hedwin sådana föga kända parametrar för en rätvinklig triangel som dess höjd (höjd) för att generera trillingar h = c− b och överskott (framgång) e = a + b − c. I fig. 1. dessa kvantiteter visas på en viss rätvinklig triangel.

Figur 1. Rätt triangel och dess tillväxt och överskott

Namnet "överskott" kommer från det faktum att detta är det extra avståndet som måste passeras längs triangelns ben från en vertex till den motsatta, om du inte går längs dess diagonal.

Genom överskott och tillväxt kan sidorna av Pythagoras triangel uttryckas som:

e 2 e 2
a = h + e, b = e + ——, c = h + e + ——, (3)
2h 2h

Inte alla kombinationer h Och e kan motsvara pythagoras trianglar. För en given h möjliga värden eär produkten av något tal d. Detta nummer d kallas tillväxt och syftar på h på följande sätt: där det minsta positiva heltal vars kvadrat är delbart med 2 h. Därför att e flera olika d, då skrivs det som e = kd, Var kär ett positivt heltal.

Med hjälp av par ( k,h) kan du generera alla Pythagoras trianglar, inklusive icke-primitiva och generaliserade, enligt följande:

(dk) 2 (dk) 2
a = h + dk, b = dk + ——, c = h + dk + ——, (4)
2h 2h

Dessutom är en trippel primitiv om k Och här coprime och om h =± q 2 kl q- oparad.
Dessutom blir det exakt en Pythagoras trippel om k> √2 h/d Och h > 0.

Att hitta k Och h från ( a,b,c) gör följande:

• h = c − b;
• Skriv ner h Hur h = pq 2, var sid> 0 och sådant som inte är en kvadrat;
• d = 2pq Om sid- oparade och d = pq, om p är parat;
• k = (a − h)/d.

Till exempel, för trippeln (8,15,17) vi har h= 17−15 = 2 1, alltså sid= 2 och q = 1, d= 2, och k= (8 − 2)/2 = 3. Så denna trippel ges som ( k,h) = (3,2).

För trippeln (459,1260,1341) har vi h= 1341 − 1260 = 81, alltså sid = 1, q= 9 och d= 18, alltså k= (459 − 81)/18 = 21, så koden för denna trippel är ( k,h) = (21, 81).

Ange trippel med h Och k har ett antal intressanta egenskaper. Parameter k lika

k = 4S/(dP), (5)

Var S = ab/2 är arean av triangeln, och P = a + b + cär dess omkrets. Detta följer av jämlikheten eP = 4S, som kommer från Pythagoras sats.

För en rätvinklig triangel eär lika med diametern på cirkeln inskriven i triangeln. Detta kommer från det faktum att hypotenusan Med = (A − r)+(b − r) = a + b − 2r, Var rär cirkelns radie. Härifrån h = c − b = A − 2r Och e = a − h = 2r.

För h> 0 och k > 0, kär ordningen för trillingar a-b-c i en sekvens av pythagoras trianglar med ökande h. Från tabell 2, som visar flera alternativ för tripletter genererade av par h, k, kan man se att med ökande k triangelns sidor ökar. Således, till skillnad från klassisk numrering, numrering i par h, k har en högre ordning i sekvenser av tripletter.

Tabell 2. Pythagoras trippel genererade av paren h, k.

h	k	a	b	c	h	k	a	b	c
2	1	4	3	5	3	1	9	12	15
2	2	6	8	10	3	2	15	36	39
2	3	8	15	17	3	3	21	72	75
2	4	10	24	26	3	4	27	120	123
2	5	12	35	37	3	5	33	180	183

För h > 0, d uppfyller ojämlikheten 2√ h ≤ d ≤ 2h, där den nedre gränsen nås vid sid= 1, och den övre, vid q= 1. Därför värdet d med avseende på 2√ här ett mått på hur mycket h långt från kvadraten av något tal.

Egenskaper

Sedan ekvationen x 2 + y 2 = z 2 homogen, när den multipliceras x , y Och z för samma tal får du ytterligare en pytagoreisk trippel. Pythagoras trippel kallas primitiv, om det inte kan erhållas på detta sätt, det vill säga - relativt primtal.

Exempel

Vissa Pythagoras trippel (sorterade i stigande ordning efter maximalt antal, primitiva är markerade):

(3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (16, 30, 34), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (14, 48, 50), (30, 40, 50)…

Baserat på egenskaperna hos Fibonacci-tal kan du göra dem, till exempel, sådana Pythagoras trippel:

.

Berättelse

Pythagoras trippel har varit kända under mycket lång tid. I arkitekturen av antika mesopotamiska gravstenar finns en likbent triangel, uppbyggd av två rektangulära med sidor på 9, 12 och 15 alnar. Faraos Snefrus pyramid (XXVII-talet f.Kr.) byggdes med hjälp av trianglar med sidorna 20, 21 och 29, samt 18, 24 och 30 tiotals egyptiska alnar.

se även

Länkar

• E. A. Gorin Potenser för primtal i Pythagoras trippel // Matematisk utbildning. - 2008. - V. 12. - S. 105-125.

Wikimedia Foundation. 2010 .

Se vad "Pythagoreiska tal" är i andra ordböcker:

Trippel av naturliga tal så att en triangel vars sidolängder är proportionella (eller lika med) dessa tal är rätvinkliga, t.ex. trippel av siffror: 3, 4, 5... Stor encyklopedisk ordbok

Trippel av naturliga tal så att en triangel vars sidlängder är proportionella (eller lika med) med dessa tal är rektangulär, till exempel en trippel av tal: 3, 4, 5. * * * PYTAGORA TAL PYTAGORA TAL, trippel av naturliga tal t.ex. den där ... ... encyklopedisk ordbok

Trippel av naturliga tal så att en triangel vars sidolängder är proportionella (eller lika med) dessa tal är en rätvinklig triangel. Enligt satsen, inversen av Pythagoras sats (se Pythagoras sats), för detta räcker det att de ... ...

Trillingar av positiva heltal x, y, z som uppfyller ekvationen x2+y 2=z2. Alla lösningar av denna ekvation, och följaktligen alla P.p., uttrycks med formlerna x=a 2 b2, y=2ab, z=a2+b2, där a, b är godtyckliga positiva heltal (a>b). P. h... Matematisk uppslagsverk

Trippel av naturliga tal så att en triangel, vars längder på sidorna är proportionella (eller lika) med dessa tal, är rektangulär, till exempel. trippel av siffror: 3, 4, 5... Naturvetenskap. encyklopedisk ordbok

Inom matematiken är pythagoras tal (pythagoras trippel) en tupel av tre heltal som uppfyller Pythagoras relation: x2 + y2 = z2. Innehåll 1 Egenskaper 2 Exempel ... Wikipedia

Lockiga siffror är det allmänna namnet på siffror som är associerade med en viss geometrisk figur. Detta historiska koncept går tillbaka till pytagoreerna. Förmodligen uppstod uttrycket "kvadrat eller kub" från lockiga siffror. Innehåll ... ... Wikipedia

Lockiga siffror är det allmänna namnet på siffror som är associerade med en viss geometrisk figur. Detta historiska koncept går tillbaka till pytagoreerna. Det finns följande typer av krulliga tal: Linjära tal är tal som inte bryts ner i faktorer, det vill säga deras ... ... Wikipedia

- "Pi-paradoxen" är ett skämt om ämnet matematik, som var i omlopp bland elever fram till 80-talet (i själva verket före massdistributionen av mikroräknare) och var förknippad med den begränsade noggrannheten i att beräkna trigonometriska funktioner och ... ... Wikipedia

- (grekisk aritmetika, från aritmys tal) vetenskapen om tal, främst av naturliga (positiva heltal) tal och (rationella) bråk, och operationer på dem. Innehav av ett tillräckligt utvecklat begrepp om ett naturligt tal och förmåga att ... ... Stora sovjetiska encyklopedien

Böcker

• Arkimedeisk sommar, eller historien om samhället av unga matematiker. Binärt talsystem, Bobrov Sergey Pavlovich. Binärt talsystem, "Tower of Hanoi", riddardrag, magiska rutor, aritmetisk triangel, lockiga tal, kombinationer, sannolikhetsbegrepp, Möbius-remsa och Klein-flaska...

» Hedrad professor i matematik vid University of Warwick, en välkänd populariserare av vetenskapen Ian Stewart, tillägnad siffrors roll i mänsklighetens historia och relevansen av deras studier i vår tid.

Pythagoras hypotenusa

Pythagoras trianglar har en rät vinkel och heltalssidor. I den enklaste av dem har den längsta sidan en längd på 5, resten är 3 och 4. Det finns 5 vanliga polyedrar totalt. En femtegradsekvation kan inte lösas med femtegradsrötter - eller några andra rötter. Gitter i planet och i tredimensionellt utrymme har inte en femlobs rotationssymmetri, därför saknas sådana symmetrier också i kristaller. De kan dock vara i gitter i fyrdimensionellt utrymme och i intressanta strukturer som kallas kvasikristaller.

Hypotenus av den minsta Pythagoras trippel

Pythagoras sats säger att den längsta sidan av en rätvinklig triangel (den beryktade hypotenusan) korrelerar med de andra två sidorna av denna triangel på ett mycket enkelt och vackert sätt: hypotenusans kvadrat är lika med summan av kvadraterna på den andra. två sidor.

Traditionellt kallar vi denna sats efter Pythagoras, men i själva verket är dess historia ganska vag. Lertavlor tyder på att de gamla babylonierna kände till Pythagoras sats långt före Pythagoras själv; upptäckarens ära fördes till honom av den matematiska kulten av pytagoreerna, vars anhängare trodde att universum var baserat på numeriska mönster. Forntida författare tillskrev pytagoreerna – och därmed Pythagoras – en mängd olika matematiska satser, men i själva verket har vi ingen aning om vilken typ av matematik Pythagoras själv sysslade med. Vi vet inte ens om pytagoreerna kunde bevisa Pythagoras sats, eller om de helt enkelt trodde att det var sant. Eller, mer troligt, de hade övertygande data om dess sanning, som ändå inte skulle ha räckt för vad vi anser vara bevis idag.

Bevis för Pythagoras

Det första kända beviset för Pythagoras sats finns i Euklids element. Detta är ett ganska komplicerat bevis med hjälp av en teckning som viktorianska skolbarn omedelbart skulle känna igen som "pythagoranska byxor"; teckningen påminner verkligen om kalsonger som torkar på ett rep. Bokstavligen hundratals andra bevis är kända, varav de flesta gör påståendet mer uppenbart.

// Ris. 33. Pythagorasbyxor

Ett av de enklaste bevisen är ett slags matematiskt pussel. Ta valfri rätvinklig triangel, gör fyra kopior av den och samla dem inuti kvadraten. Med en läggning ser vi en kvadrat på hypotenusan; med den andra - rutor på de andra två sidorna av triangeln. Det är tydligt att områdena i båda fallen är lika.

// Ris. 34. Vänster: kvadrat på hypotenusan (plus fyra trianglar). Höger: summan av kvadraterna på de andra två sidorna (plus samma fyra trianglar). Ta nu bort trianglarna

Dissektionen av Perigal är ett annat pusselbit som bevis.

// Ris. 35. Dissektion av Perigal

Det finns också ett bevis på satsen genom att stapla rutor på planet. Kanske var det så här pytagoreerna eller deras okända föregångare upptäckte denna sats. Om du tittar på hur den sneda kvadraten överlappar de andra två rutor kan du se hur du skär den stora kvadraten i bitar och sedan sätter ihop dem till två mindre rutor. Du kan också se rätvinkliga trianglar, vars sidor anger måtten på de tre inblandade kvadraterna.

// Ris. 36. Bevis genom stenläggning

Det finns intressanta bevis som använder liknande trianglar i trigonometri. Minst femtio olika bevis är kända.

Pythagoras trillingar

I talteorin blev Pythagoras sats källan till en fruktbar idé: att hitta heltalslösningar till algebraiska ekvationer. En pytagoreisk trippel är en uppsättning heltal a, b och c så att

Geometriskt definierar en sådan trippel en rätvinklig triangel med heltalssidor.

Den minsta hypotenusan av en pythagoras trippel är 5.

De andra två sidorna av denna triangel är 3 och 4. Här

32 + 42 = 9 + 16 = 25 = 52.

Den näst största hypotenusan är 10 eftersom

62 + 82 = 36 + 64 = 100 = 102.

Detta är dock i huvudsak samma triangel med dubbla sidor. Den näst största och verkligen annorlunda hypotenusan är 13, för vilken

52 + 122 = 25 + 144 = 169 = 132.

Euklid visste att det fanns ett oändligt antal olika varianter av Pythagoras trippel, och han gav vad man kan kalla en formel för att hitta dem alla. Senare erbjöd Diophantus av Alexandria ett enkelt recept, i princip samma som euklidiskt.

Ta två valfria naturliga tal och beräkna:

deras dubbla produkt;

skillnaden mellan deras kvadrater;

summan av deras kvadrater.

De tre resulterande talen kommer att vara sidorna av den pytagoreiska triangeln.

Ta till exempel siffrorna 2 och 1. Beräkna:

dubbel produkt: 2 × 2 × 1 = 4;

skillnad på kvadrater: 22 - 12 = 3;

summa av kvadrater: 22 + 12 = 5,

och vi fick den berömda 3-4-5 triangeln. Om vi ​​istället tar siffrorna 3 och 2 får vi:

dubbel produkt: 2 × 3 × 2 = 12;

skillnad på kvadrater: 32 - 22 = 5;

summa av kvadrater: 32 + 22 = 13,

och vi får nästa berömda triangel 5 - 12 - 13. Låt oss försöka ta siffrorna 42 och 23 och få:

dubbel produkt: 2 × 42 × 23 = 1932;

skillnad på kvadrater: 422 - 232 = 1235;

summa av kvadrater: 422 + 232 = 2293,

ingen har någonsin hört talas om triangeln 1235–1932–2293.

Men dessa siffror fungerar också:

12352 + 19322 = 1525225 + 3732624 = 5257849 = 22932.

Det finns en annan funktion i den diofantiska regeln som redan har antytts: efter att ha fått tre siffror kan vi ta ett annat godtyckligt tal och multiplicera dem alla med det. Således kan en 3-4-5 triangel förvandlas till en 6-8-10 triangel genom att multiplicera alla sidor med 2, eller till en 15-20-25 triangel genom att multiplicera allt med 5.

Om vi ​​byter till algebraspråket har regeln följande form: låt u, v och k vara naturliga tal. Sedan en rätvinklig triangel med sidor

2kuv och k (u2 - v2) har en hypotenusa

Det finns andra sätt att presentera huvudidén, men de kokar alla ner till det som beskrivs ovan. Denna metod låter dig få alla Pythagoras trippel.

Vanliga polyedrar

Det finns exakt fem vanliga polyedrar. En vanlig polyeder (eller polyeder) är en tredimensionell figur med ett ändligt antal plana ytor. Fasetter konvergerar med varandra på linjer som kallas kanter; kanterna möts vid punkter som kallas hörn.

Kulmen på de euklidiska "principerna" är beviset på att det bara kan finnas fem reguljära polyedrar, det vill säga polyedrar där varje yta är en vanlig polygon (lika sidor, lika vinklar), alla ytor är identiska och alla hörn är omgivna med lika många ytor med lika mellanrum. Här är fem vanliga polyedrar:

tetraeder med fyra triangulära ytor, fyra hörn och sex kanter;

kub, eller hexaeder, med 6 kvadratiska ytor, 8 hörn och 12 kanter;

oktaeder med 8 triangulära ytor, 6 hörn och 12 kanter;

dodekaeder med 12 femkantiga ytor, 20 hörn och 30 kanter;

icosahedron med 20 triangulära ytor, 12 hörn och 30 kanter.

// Ris. 37. Fem vanliga polyedrar

Vanliga polyedrar kan också hittas i naturen. År 1904 publicerade Ernst Haeckel ritningar av små organismer som kallas radiolarier; många av dem är formade som samma fem vanliga polyedrar. Men kanske korrigerade han naturen något, och teckningarna återspeglar inte helt specifika levande varelsers form. De tre första strukturerna observeras också i kristaller. Du hittar inte en dodekaeder och en ikosaeder i kristaller, även om oregelbundna dodekaeder och ikosaeder ibland stöter på där. Sanna dodekaedrar kan uppträda som kvasikristaller, som är som kristaller på alla sätt, förutom att deras atomer inte bildar ett periodiskt gitter.

// Ris. 38. Ritningar av Haeckel: radiolarier i form av regelbundna polyedrar

// Ris. 39. Utvecklingen av vanliga polyedrar

Det kan vara intressant att göra modeller av vanliga polyedrar av papper genom att först klippa ut en uppsättning sammankopplade ytor - detta kallas ett polyhedron-svep; skanningen viks längs kanterna och motsvarande kanter limmas ihop. Det är användbart att lägga till ett ytterligare område för lim till en av kanterna på varje sådant par, som visas i fig. 39. Om det inte finns någon sådan plattform kan du använda tejp.

Ekvation av femte graden

Det finns ingen algebraisk formel för att lösa ekvationer av 5:e graden.

I allmänhet ser ekvationen av den femte graden ut så här:

ax5 + bx4 + cx3 + dx2 + ex + f = 0.

Problemet är att hitta en formel för att lösa en sådan ekvation (den kan ha upp till fem lösningar). Erfarenhet av andragradsekvationer och kubiska ekvationer, såväl som av ekvationer av fjärde graden, tyder på att en sådan formel bör finnas även för ekvationer av femte graden, och i teorin bör rötterna till femte, tredje och andra graden förekomma i Det. Återigen kan man lugnt anta att en sådan formel, om den finns, kommer att visa sig vara väldigt, väldigt komplex.

Detta antagande visade sig i slutändan vara felaktigt. Det finns faktiskt ingen sådan formel; åtminstone finns det ingen formel som består av koefficienterna a, b, c, d, e och f, sammansatta med hjälp av addition, subtraktion, multiplikation och division, samt att slå rötter. Det är alltså något väldigt speciellt med siffran 5. Orsakerna till detta ovanliga beteende hos de fem är mycket djupa, och det tog mycket tid att ta reda på dem.

Det första tecknet på ett problem var att oavsett hur hårt matematiker försökte hitta en sådan formel, hur smarta de än var, så misslyckades de alltid. Under en tid trodde alla att orsakerna ligger i formelns otroliga komplexitet. Man trodde att ingen helt enkelt kunde förstå denna algebra ordentligt. Men med tiden började vissa matematiker tvivla på att en sådan formel ens existerade, och 1823 kunde Niels Hendrik Abel bevisa motsatsen. Det finns ingen sådan formel. Kort därefter hittade Évariste Galois ett sätt att avgöra om en ekvation av en eller annan grad - 5:e, 6:e, 7:e, i allmänhet vilken som helst - är lösbar med den här typen av formel.

Slutsatsen från allt detta är enkel: siffran 5 är speciell. Du kan lösa algebraiska ekvationer (med n:te rötter för olika värden på n) för potenserna 1, 2, 3 och 4, men inte för potenserna 5. Det är här det uppenbara mönstret slutar.

Ingen är förvånad över att ekvationer med potenser större än 5 beter sig ännu sämre; i synnerhet är samma svårighet förknippad med dem: det finns inga allmänna formler för deras lösning. Det betyder inte att ekvationerna inte har några lösningar; det betyder inte heller att det är omöjligt att hitta mycket exakta numeriska värden för dessa lösningar. Allt handlar om begränsningarna hos traditionella algebraverktyg. Detta påminner om omöjligheten att treskära en vinkel med en linjal och en kompass. Det finns ett svar, men de angivna metoderna är inte tillräckliga och låter dig inte avgöra vad det är.

Kristallografisk begränsning

Kristaller i två och tre dimensioner har inte 5-stråle rotationssymmetri.

Atomerna i en kristall bildar ett gitter, det vill säga en struktur som upprepas periodiskt i flera oberoende riktningar. Till exempel upprepas mönstret på tapeten längs rullens längd; dessutom upprepas det vanligtvis i horisontell riktning, ibland med en förskjutning från en tapetbit till nästa. I huvudsak är tapeten en tvådimensionell kristall.

Det finns 17 varianter av tapetmönster på planet (se kapitel 17). De skiljer sig åt i typerna av symmetri, det vill säga i sätten att styvt förskjuta mönstret så att det ligger exakt på sig själv i sin ursprungliga position. Typerna av symmetri inkluderar i synnerhet olika varianter av rotationssymmetri, där mönstret ska roteras genom en viss vinkel runt en viss punkt - symmetricentrum.

Rotationssymmetriordningen är hur många gånger du kan rotera kroppen till en hel cirkel så att alla detaljer i bilden återgår till sina ursprungliga positioner. Till exempel är en 90° rotation 4:e ordningens rotationssymmetri*. Listan över möjliga typer av rotationssymmetri i kristallgittret pekar återigen på det ovanliga med siffran 5: det finns inte där. Det finns varianter med rotationssymmetri av 2:a, 3:e, 4:e och 6:e ordningen, men inget tapetmönster har 5:e ordningens rotationssymmetri. Det finns heller ingen rotationssymmetri av ordning större än 6 i kristaller, men den första överträdelsen av sekvensen sker fortfarande vid siffran 5.

Samma sak händer med kristallografiska system i tredimensionellt rum. Här upprepar gallret sig i tre oberoende riktningar. Det finns 219 olika typer av symmetri, eller 230 om vi betraktar mönstrets spegelreflektion som en separat version av det - dessutom finns det ingen spegelsymmetri i det här fallet. Återigen observeras rotationssymmetrier av ordning 2, 3, 4 och 6, men inte 5. Detta faktum kallas den kristallografiska begränsningen.

I det fyrdimensionella rummet finns gitter med 5:e ordningens symmetri; i allmänhet, för gitter med tillräckligt hög dimension, är vilken som helst förutbestämd ordning av rotationssymmetri möjlig.

// Ris. 40. Kristallgitter av bordssalt. Mörka bollar representerar natriumatomer, ljusa bollar representerar kloratomer.

Kvasikristaller

Även om 5:e ordningens rotationssymmetri inte är möjlig i 2D- och 3D-gitter, kan den existera i något mindre regelbundna strukturer som kallas kvasikristaller. Med hjälp av Keplers skisser upptäckte Roger Penrose platta system med en mer allmän typ av femfaldig symmetri. De kallas kvasikristaller.

Kvasikristaller finns i naturen. 1984 upptäckte Daniel Shechtman att en legering av aluminium och mangan kan bilda kvasikristaller; Till en början hälsade kristallografer hans budskap med viss skepsis, men senare bekräftades upptäckten och 2011 tilldelades Shechtman Nobelpriset i kemi. 2009 upptäckte ett team av forskare under ledning av Luca Bindi kvasikristaller i ett mineral från det ryska Koryak-höglandet - en förening av aluminium, koppar och järn. Idag kallas detta mineral icosahedrite. Genom att mäta innehållet av olika syreisotoper i mineralet med en masspektrometer visade forskare att detta mineral inte har sitt ursprung på jorden. Det bildades för cirka 4,5 miljarder år sedan, vid en tidpunkt då solsystemet precis höll på att växa fram, och tillbringade det mesta av sin tid i asteroidbältet och kretsade runt solen, tills någon form av störning ändrade sin bana och förde den så småningom till jorden.

// Ris. 41. Vänster: ett av två kvasikristallina gitter med exakt femfaldig symmetri. Till höger: Atommodell av en icosaedrisk kvasikristall av aluminium-palladium-mangan