Bir eşkenar dörtgendeki yazılı dairenin yarıçapı. Eşkenar üçgen

Bir daire bir açının içinde bulunuyorsa ve kenarlarına değiyorsa, bu açıya yazılı olarak adlandırılır. Böyle bir yazılı dairenin merkezi bu açının açıortayı.

Dışbükey bir çokgenin içinde yer alıyorsa ve tüm kenarlarına dokunuyorsa, dışbükey çokgene yazılı denir.

Bir üçgenin içine yazılan daire

Bir üçgenin içine yazılan bir daire, bu şeklin her iki tarafına yalnızca bir noktada değiyor. Bir üçgene yalnızca bir daire yazılabilir.

Böyle bir dairenin yarıçapı üçgenin aşağıdaki parametrelerine bağlı olacaktır:

1. Üçgenin kenarlarının uzunlukları.
2. Onun alanı.
3. Çevresi.
4. Bir üçgenin açılarının ölçülmesi.

Bir üçgendeki yazılı dairenin yarıçapını hesaplamak için yukarıda listelenen tüm parametrelerin bilinmesi her zaman gerekli değildir, çünkü bunlar trigonometrik fonksiyonlarla birbiriyle ilişkilidir.

Yarı çevre kullanarak hesaplama

1. Geometrik bir şeklin tüm kenarlarının uzunlukları biliniyorsa (bunları a, b ve c harfleriyle belirtiriz), o zaman yarıçapın karekök alınarak hesaplanması gerekecektir.
2. Hesaplamalara başlarken, ilk verilere bir değişken daha eklemek gerekir - yarı çevre (p). Tüm uzunlukları toplayıp elde edilen toplamı 2'ye bölerek hesaplanabilir. p = (a+b+c)/2. Bu şekilde yarıçapı bulma formülü önemli ölçüde basitleştirilebilir.
3. Genel olarak formül, kesrin yerleştirildiği radikalin işaretini içermelidir; bu kesrin paydası, yarı çevre p'nin değeri olacaktır.
4. Bu kesrin payı (p-a)*(p-b)*(p-c) farklarının çarpımı olacaktır.
5. Böylece formülün tam hali şu şekilde sunulacaktır: r = √(p-a)*(p-b)*(p-c)/p).

Bir üçgenin alanını dikkate alarak hesaplama

Eğer biliyorsak bir üçgenin alanı ve tüm kenarlarının uzunlukları, bu, ilgilendiğimiz dairenin yarıçapını, kökleri çıkarmaya başvurmadan bulmamızı sağlayacaktır.

1. Öncelikle alanın boyutunu ikiye katlamanız gerekir.
2. Sonuç, tüm kenarların uzunluklarının toplamına bölünür. O zaman formül şu şekilde görünecektir: r = 2*S/(a+b+c).
3. Yarı çevre değerini kullanırsanız çok basit bir formül elde edebilirsiniz: r = S/p.

Trigonometrik fonksiyonları kullanarak hesaplama

Problem ifadesi kenarlardan birinin uzunluğunu, karşı açının değerini ve çevreyi içeriyorsa, trigonometrik fonksiyonu - teğet kullanabilirsiniz. Bu durumda hesaplama formülü şöyle görünecektir:

r = (P /2- a)* tg (α/2), burada r istenen yarıçaptır, P çevredir, a kenarlardan birinin uzunluğudur, α karşı tarafın değeridir ve açı.

Düzgün bir üçgenin içine yazılması gereken dairenin yarıçapı r = a*√3/6 formülü kullanılarak bulunabilir.

Dik üçgenin içine yazılan daire

Dik üçgene sığdırabilirsiniz sadece bir daire. Böyle bir dairenin merkezi aynı anda tüm açıortayların kesişme noktası görevi görür. Bu geometrik şekil, yazılı dairenin yarıçapını hesaplarken dikkate alınması gereken bazı ayırt edici özelliklere sahiptir.

1. Öncelikle verilen parametrelerle dik bir üçgen oluşturmanız gerekir. Böyle bir şekli, bir kenarın büyüklüğüne ve iki açının değerlerine göre veya iki kenar ve bu kenarlar arasındaki açıya göre oluşturabilirsiniz. Tüm bu parametreler görev koşullarında belirtilmelidir. Üçgen ABC olarak gösterilir ve C dik açının tepe noktasıdır. Bacaklar değişkenler tarafından belirlenir, A Ve B ve hipotenüs bir değişkendir İle.
2. Klasik formülü oluşturmak ve bir dairenin yarıçapını hesaplamak için problem cümlesinde açıklanan şeklin tüm kenarlarının boyutlarını bulmak ve bunlardan yarı çevreyi hesaplamak gerekir. Koşullar iki bacağın boyutlarını veriyorsa, Pisagor teoremine dayanarak hipotenüsün boyutunu hesaplamak için bunları kullanabilirsiniz.
3. Koşul bir bacağın büyüklüğünü ve bir açıyı veriyorsa bu açının bitişik mi yoksa karşıt mı olduğunu anlamak gerekir. İlk durumda hipotenüs sinüs teoremi kullanılarak bulunur: c=a/sinСАВ ikinci durumda kosinüs teoremi uygulanır c=a/cosCBA.
4. Tüm hesaplamalar tamamlandığında ve tüm tarafların değerleri bilindiğinde, yukarıda açıklanan formül kullanılarak yarı çevre bulunur.
5. Yarı çevrenin boyutunu bilerek yarıçapı bulabilirsiniz. Formül kesirlidir. Payı, yarı çevre ile her iki taraf arasındaki farkların çarpımıdır ve payda, yarı çevrenin değeridir.

Bu formülün payının bir alan göstergesi olduğunu belirtmek gerekir. Bu durumda yarıçapı bulma formülü çok daha basittir - alanı yarı çevreye bölmek yeterlidir.

Bir geometrik şeklin her iki tarafı da bilinse bile alanını belirlemek mümkündür. Bu bacakların karelerinin toplamı hipotenüsü bulmak için kullanılır, ardından yarı çevre hesaplanır. Bacakların değerlerini birbiriyle çarpıp sonucu 2'ye bölerek alanı hesaplayabilirsiniz.

Hem bacakların hem de hipotenüsün uzunlukları verilmişse, yarıçap çok basit bir formül kullanılarak belirlenebilir: bunun için bacakların uzunlukları toplanır ve hipotenüsün uzunluğu sonuçtan çıkarılır. sayı. Sonuç ikiye bölünmelidir.

Video

Bu videoda bir üçgenin içine yazılan dairenin yarıçapını nasıl bulacağınızı öğreneceksiniz.

Bir üçgenin içine yazılan daire

Üçgenin içine yazılmış bir dairenin varlığı

Tanımı hatırlayalım açıortaylar .

Tanım 1 .Açıortay Bir açıyı iki eşit parçaya bölen ışına denir.

Teorem 1 (Açıortayın temel özelliği) . Açıortayın her noktası açının kenarlarından aynı uzaklıkta bulunmaktadır (Şekil 1).

Pirinç. 1

Kanıt D , açının ortaortasında yatıyorBAC , Ve Almanya Ve DF köşenin yanlarında (Şek. 1).Sağ Üçgenler ADF Ve ADE eşit dar açıları eşit olduğundanDAF Ve DAE ve hipotenüs Reklam - genel. Buradan,

DF = DE,

Q.E.D.

Teorem 2 (Teorem 1'in tersi) . Eğer öyleyse, o zaman açının açıortayında yer alır (Şekil 2).

Pirinç. 2

Kanıt . Rastgele bir noktayı düşününD , açının içinde uzananBAC ve açının kenarlarından aynı mesafede bulunur. Konudan ayrılalımD dikler Almanya Ve DF köşenin yanlarında (Şek. 2).Sağ Üçgenler ADF Ve ADE eşit bacakları eşit olduğundanDF Ve Almanya ve hipotenüs Reklam - genel. Buradan,

Q.E.D.

Tanım 2 . Çember denir bir açıyla yazılmış daire , eğer bu açının kenarları ise.

Teorem 3 . Bir daire bir açıyla yazılmışsa, açının tepe noktasından dairenin açının kenarlarıyla temas noktalarına kadar olan mesafeler eşittir.

Kanıt . Bırakın nokta D – bir açıyla yazılmış bir dairenin merkeziBAC ve noktalar e Ve F – dairenin açının kenarlarıyla temas noktaları (Şekil 3).

Şek. 3

A , B , C - üçgenin kenarları,
 S -kare,

R – yazılı dairenin yarıçapı,
 P – yarı çevre

.

Formül çıktısını görüntüle

A – ikizkenar üçgenin yan tarafı , 
 B - temel, R – yazılı daire yarıçapı

A R – yazılı daire yarıçapı

Formül çıktısını görüntüle

,

Nerede

,

o zaman, ikizkenar üçgen durumunda, ne zaman

aldık

gerekli olan da buydu.

Teorem 7 . Eşitlik için

Nerede A – eşkenar üçgenin kenarı,R – yazılı dairenin yarıçapı (Şekil 8).

Pirinç. 8

Kanıt .

,

o zaman, eşkenar üçgen durumunda, ne zaman

b = a,

aldık

gerekli olan da buydu.

Yorum . Bir alıştırma olarak, bir eşkenar üçgenin içine yazılan bir dairenin yarıçapının formülünü doğrudan türetmenizi öneriyorum; rastgele bir üçgen veya ikizkenar üçgen içine yazılan dairelerin yarıçapları için genel formüller kullanılmadan.

Teorem 8 . Bir dik üçgen için aşağıdaki eşitlik geçerlidir:

Nerede A , B – bir dik üçgenin bacakları, C – hipotenüs , R – yazılı dairenin yarıçapı.

Kanıt . Şekil 9'u düşünün.

Pirinç. 9

Dörtgen olduğundanCDOF dır-dir bitişik kenarları olanYAPMAK Ve İLE İLGİLİ eşitse bu dikdörtgen . Buradan,

CB = CF= r,

Teorem 3'e göre aşağıdaki eşitlikler doğrudur:

Bu nedenle, şunu da dikkate alarak şunu elde ederiz:

gerekli olan da buydu.

“Üçgenin içine yazılmış bir daire” konulu problemlerden bir seçki.

1.

İkizkenar üçgen içine yazılan bir daire, temas noktasındaki yan kenarlardan birini tabanın karşısındaki tepe noktasından itibaren uzunlukları 5 ve 3 olan iki parçaya böler. Üçgenin çevresini bulun.

2.

3

ABC AC=4, BC=3 üçgeninde C açısı 90°'dir. Yazılı dairenin yarıçapını bulun.

4.

Bir ikizkenar dik üçgenin bacakları 2+'dir. Bu üçgenin içine yazılan dairenin yarıçapını bulun.

5.

Bir ikizkenar dik üçgenin içine yazılan dairenin yarıçapı 2'dir. Bu üçgenin hipotenüsü c'yi bulun. Lütfen cevabınızda c(–1) şıkkını belirtin.

Birleşik Devlet Sınavından bir dizi sorunu çözümleri ile sunuyoruz.

Bir ikizkenar dik üçgenin içine yazılan dairenin yarıçapı eşittir. Bu üçgenin hipotenüsünü bulun. Lütfen cevabınızda belirtin.

Üçgen dikdörtgen ve ikizkenardır. Bu, bacaklarının aynı olduğu anlamına gelir. Her bacağın eşit olmasına izin verin. O zaman hipotenüs eşittir.

ABC üçgeninin alanını iki şekilde yazıyoruz:

Bu ifadeleri eşitlersek şunu elde ederiz:. Çünkü, bunu anladık. Daha sonra.

Cevap olarak yazacağız.

Cevap:.

Görev 2.

1. Serbestte 10cm ve 6cm (AB ve BC) olmak üzere iki kenar bulunmaktadır. Sınırlandırılmış ve yazılı dairelerin yarıçaplarını bulun
Sorun yorum yapılarak bağımsız olarak çözülür.

Çözüm:

İÇİNDE.

1) Bul:
2) Kanıtlayın:ve CK'yi bul
3) Bul: çevrelenmiş ve yazılı dairelerin yarıçapları

Çözüm:

Görev 6.

R kare içine yazılan dairenin yarıçapı. Bu karenin çevrelediği dairenin yarıçapını bulun.Verilen :

Bulmak: İşletim Sistemi=?
Çözüm: Bu durumda problem ya Pisagor teoremi ya da R formülü kullanılarak çözülebilir. R formülü teoremden türetildiği için ikinci durum daha basit olacaktır.

Görev 7.

İkizkenar dik üçgenin içine yazılan dairenin yarıçapı 2'dir. Hipotenüsü bulunİle bu üçgen. Lütfen cevabınızda belirtin.

S – üçgen alanı

Üçgenin kenarlarını ve alanını bilmiyoruz. Bacakları x olarak gösterelim, o zaman hipotenüs şuna eşit olacaktır:

Ve üçgenin alanı 0,5x olacak 2 .

Araç

Böylece hipotenüs şuna eşit olacaktır:

Cevabınızda şunu yazmanız gerekir:

Cevap: 4

Görev 8.

ABC üçgeninde AC = 4, BC = 3, açı C 90 0'a eşittir. Yazılı dairenin yarıçapını bulun.

Bir üçgenin içine yazılan dairenin yarıçapı formülünü kullanalım:

burada a, b, c üçgenin kenarlarıdır

S – üçgen alanı

İki kenar biliniyor (bunlar bacaklar), üçüncüyü (hipotenüs) hesaplayabiliriz ve ayrıca alanı da hesaplayabiliriz.

Pisagor teoremine göre:

Alanı bulalım:

Böylece:

Cevap 1

Görev 9.

Bir ikizkenar üçgenin kenarları 5 ve tabanı 6'dır. İçinde yazılı dairenin yarıçapını bulun.

Bir üçgenin içine yazılan dairenin yarıçapı formülünü kullanalım:

burada a, b, c üçgenin kenarlarıdır

S – üçgen alanı

Bütün kenarlar biliniyor, alanı hesaplayalım. Bunu Heron formülünü kullanarak bulabiliriz:

Daha sonra

Eşkenar dörtgen, tüm kenarları eşit olan bir paralelkenardır. Bu nedenle paralelkenarın tüm özelliklerini taşır. Yani:

• Eşkenar dörtgenin köşegenleri birbirine diktir.
• Bir eşkenar dörtgenin köşegenleri, iç açılarının ortaortaylarıdır.

Bir daire, ancak ve ancak karşılıklı kenarların toplamı eşitse bir dörtgenin içine yazılabilir.
Bu nedenle, herhangi bir eşkenar dörtgende bir daire yazılabilir. Yazılı dairenin merkezi, eşkenar dörtgenin köşegenlerinin kesişme merkezi ile çakışmaktadır.
Bir eşkenar dörtgendeki yazılı dairenin yarıçapı çeşitli şekillerde ifade edilebilir

1 yol. Yükseklik boyunca bir eşkenar dörtgen içindeki yazılı dairenin yarıçapı

Eşkenar dörtgenin yüksekliği, yazılı dairenin çapına eşittir. Bu, yazılı dairenin çapı ve eşkenar dörtgenin yüksekliğinden oluşan dikdörtgenin özelliğinden kaynaklanmaktadır - dikdörtgenin karşıt kenarları eşittir.

Bu nedenle, eşkenar dörtgendeki yazılı bir dairenin yükseklik cinsinden yarıçapının formülü:

Yöntem 2. Köşegenler boyunca eşkenar dörtgen içindeki yazılı dairenin yarıçapı

Bir eşkenar dörtgenin alanı, yazılı dairenin yarıçapı cinsinden ifade edilebilir
, Nerede R– bir eşkenar dörtgenin çevresi. Çevrenin dörtgenin tüm kenarlarının toplamı olduğunu bilerek, p= 4×a. Daha sonra
Ancak bir eşkenar dörtgenin alanı aynı zamanda köşegenlerinin çarpımının yarısına eşittir
Alan formüllerinin sağ taraflarını eşitlersek aşağıdaki eşitliği elde ederiz:
Sonuç olarak, eşkenar dörtgendeki yazılı dairenin yarıçapını köşegenler boyunca hesaplamamıza izin veren bir formül elde ediyoruz.

Köşegenler biliniyorsa eşkenar dörtgen içine yazılan bir dairenin yarıçapını hesaplamaya bir örnek
Köşegen uzunluklarının 30 cm ve 40 cm olduğu biliniyorsa, eşkenar dörtgen içine yazılan bir dairenin yarıçapını bulun
İzin vermek ABCD-eşkenar dörtgen, o zaman AC. Ve BD onun köşegenleri. AC= 30 cm ,BD=40cm
Bırakın nokta HAKKINDA– eşkenar dörtgendeki yazının merkezidir ABCD daire, o zaman aynı zamanda köşegenlerinin kesişme noktası olacak ve onları ikiye bölecektir.


Eşkenar dörtgenin köşegenleri dik açıyla kesiştiğine göre üçgen AOB dikdörtgen. O zaman Pisagor teoremine göre
daha önce elde edilen değerleri formülde değiştirin

AB= 25cm
Eşkenar dörtgendeki çevrelenmiş dairenin yarıçapı için daha önce elde edilen formülü uygulayarak şunu elde ederiz:

3 yollu. Bir eşkenar dörtgendeki yazılı dairenin m ve n bölümleri boyunca yarıçapı

Nokta F– dairenin eşkenar dörtgenin kenarı ile temas noktası, onu parçalara böler A.F. Ve B.F.. İzin vermek AF=m, BF=n.
Nokta Ö- bir eşkenar dörtgenin köşegenlerinin kesişme merkezi ile içine yazılan dairenin merkezi.
Üçgen AOB– dikdörtgendir, çünkü bir eşkenar dörtgenin köşegenleri dik açılarda kesişir.
, Çünkü çemberin teğet noktasına çizilen yarıçaptır. Buradan İLE İLGİLİ– üçgenin yüksekliği AOB hipotenüse. Daha sonra A.F. Ve erkek arkadaş bacakların hipotenüs üzerindeki çıkıntıları.
Hipotenüse indirilen bir dik üçgenin yüksekliği, bacakların hipotenüse izdüşümleri arasındaki ortalama orantılıdır.

Bir eşkenar dörtgende bölümler boyunca yazılı bir dairenin yarıçapının formülü, dairenin teğet noktasının eşkenar dörtgenin kenarını böldüğü bu bölümlerin çarpımının kareköküne eşittir.

Bir üçgen içine yazılmış bir daire düşünün (Şekil 302). O merkezinin üçgenin iç açılarının açıortaylarının kesişme noktasında bulunduğunu hatırlayın. O'yu ABC üçgeninin köşelerine bağlayan OA, OB, OC parçaları üçgeni üç üçgene bölecektir:

AOV, VOS, SOA. Bu üçgenlerin her birinin yüksekliği yarıçapa eşit olduğundan alanları şu şekilde ifade edilecektir:

S üçgeninin tamamının alanı bu üç alanın toplamına eşittir:

üçgenin yarı çevresi nerede. Buradan

Yazılı dairenin yarıçapı, üçgenin alanının yarı çevresine oranına eşittir.

Bir üçgenin çevre yarıçapına ilişkin bir formül elde etmek için aşağıdaki önermeyi kanıtlarız.

Teorem a: Herhangi bir üçgende kenar, çevrelenen dairenin çapının karşı açının sinüsüyle çarpımına eşittir.

Kanıt. Rasgele bir ABC üçgeni ve onun etrafında çevrelenen, yarıçapı R ile gösterilecek bir daire düşünün (Şekil 303). Üçgenin dar açısı A olsun. Çemberin OB, OS yarıçaplarını çizelim ve dik OK'yi O merkezinden üçgenin BC kenarına bırakalım. Bir üçgenin a açısının BC yayının yarısı kadar ölçüldüğüne ve BOC açısının merkez açı olduğuna dikkat edin. Bundan şu anlaşılıyor. Bu nedenle, RNS dik üçgeninden, veya kanıtlamamız gereken şeyi buluyoruz.

Verilen şekil. 303 ve muhakeme, bir üçgenin dar açısı durumuna atıfta bulunur; Dik ve geniş açı durumları için ispatı gerçekleştirmek kolay olacaktır (okuyucu bunu kendisi yapacaktır), ancak sinüs (218.3) teoremini kullanabilirsiniz. Nereden olması gerektiğine göre

Sinüs teoremi de yazılmıştır. biçim

ve gösterim formu (218.3) ile karşılaştırma şunları sağlar:

Sınırlandırılmış dairenin yarıçapı, üçgenin üç tarafının ürününün dörtlü alanına oranına eşittir.

Görev. İç daire ve çevrel dairenin yarıçapları sırasıyla varsa, ikizkenar üçgenin kenarlarını bulun

Çözüm. Bir üçgenin yazılı ve sınırlı dairelerinin yarıçaplarını ifade eden formüller yazalım:

Bir kenarı ve tabanı olan bir ikizkenar üçgen için alan aşağıdaki formülle ifade edilir:

veya kesri sıfırdan farklı bir faktörle azaltarak, elimizdeki

bu da ikinci dereceden bir denkleme yol açar

İki çözümü var:

Herhangi bir denklemdeki ifadesini veya R yerine koyarsak, sonunda problemimize iki cevap bulacağız:

Egzersizler

1. Bir dik açının tepe noktasından çizilen bir dik üçgenin yüksekliği, hipotenüsün oranına bölünerek her bir bacağın hipotenüse oranını bulun.

2. Bir daire etrafında çevrelenen ikizkenar yamuğun tabanları a ve b'ye eşittir. Çemberin yarıçapını bulun.

3. İki daire dışarıdan birbirine dokunuyor. Ortak teğetleri merkez çizgisine 30° açı yapacak şekilde eğimlidir. Teğet noktaları arasındaki teğet parçasının uzunluğu 108 cm'dir Dairelerin yarıçaplarını bulun.

4. Bir dik üçgenin bacakları a ve b'ye eşittir. Kenarları, dik açının tepe noktasından çizilen belirli bir üçgenin yüksekliği ve ortancası olan bir üçgenin alanını ve hipotenüs ile kesişme noktaları arasındaki hipotenüs segmentini bulun.

5. Üçgenin kenarları 13, 14, 15'tir. Her birinin diğer ikisine izdüşümünü bulun.

6. Üçgenin kenarları ve yükseklikleri biliniyor, b ve c kenarlarını bulun.

7. Üçgenin iki kenarı ve kenarortayı biliniyor, üçgenin üçüncü kenarını bulun.

8. Bir üçgenin iki kenarı ve aralarındaki a açısı verildiğinde: İçinde yazılı ve sınırlı olan dairelerin yarıçaplarını bulun.

9. a, b, c üçgeninin kenarları bilinmektedir. Yazılı dairenin üçgenin kenarlarıyla temas noktalarına göre bölündükleri bölümler nelerdir?