Завдання B15 - дослідження функції за допомогою похідної. Дослідження функції за допомогою похідної Дослідження функції похідної
У задачі B15 пропонується досліджувати на екстремуми функцію, задану формулою. Це стандартне завдання з математичного аналізу, і її складність сильно змінюється залежно від функції, що розглядається: деякі з них вирішуються буквально усно, інші ж вимагають серйозних роздумів.
Перш ніж вивчати методи рішення, треба засвоїти деякі терміни в галузі математичного аналізу. Отже, завдання B15 потрібно знайти з допомогою похідної такі величини:
- Точки локального максимуму (мінімуму) - значення змінної, коли він функція сягає своєї найбільшої (найменшої) величини. Такі точки ще називають точками екстремуму.
- Глобальний максимум (мінімум) функції – найбільше (найменше) значення функції при зазначених обмеженнях. Інша назва – глобальні екстремуми.
При цьому глобальні екстремуми зазвичай шукаються не на всій області визначення функції, а лише на деякому відрізку. Важливо розуміти, що глобальний екстремум та значення функції у точці екстремуму далеко не завжди збігаються. Пояснимо це на конкретному прикладі:
Завдання. Знайти точку мінімуму та мінімальне значення функції y = 2x 3 − 3x 2 − 12x + 1 на відрізку [−3; 3].
Спочатку знайдемо точку мінімуму, навіщо обчислимо похідну:
y' = (2x 3 − 3x 2 − 12x + 1)' = 6x 2 − 6x − 12.
Знайдемо критичні точки, розв'язавши рівняння y' = 0. Отримаємо стандартне квадратне рівняння:
y′ = 0 ⇒ 6x 2 − 6x − 12 = 0 ⇒ ... ⇒ x 1 = −1, x 2 = 2.
Зазначимо ці точки на координатній прямій, додамо знаки похідної та обмеження - кінці відрізка:
Масштаб картинки не має значення. Найголовніше - відзначити точки у правильній послідовності. Зі шкільного курсу математики відомо, що в точці мінімуму похідна змінює знак з мінуса на плюс. Відлік завжди йде ліворуч - у напрямку позитивної півосі. Тож точка мінімуму одна: x = 2.
Тепер знайдемо мінімальне значення функції на відрізку [-3; 3]. Воно досягається або у точці мінімуму (тоді вона стає точкою глобального мінімуму), або наприкінці відрізка. Зауважимо, що у інтервалі (2; 3) похідна всюди позитивна, отже y(3) > y(2), тому правий кінець відрізка можна розглядати. Залишилися лише точки x = −3 (лівий кінець відрізка) та x = 2 (точка мінімуму). Маємо:
y(−3) = 2(−3) 3 − 3(−3) 2 − 12(−3) + 1 = −44;
y(2) = 2*2 3 − 3*2 2 − 12*2 + 1 = −19.
Отже, найменше значення функції досягається на кінці відрізка і −44.
Відповідь: x min = 2; y min = −44
З наведених міркувань випливає важливий факт, про який багато хто забуває. Функція набуває максимального (мінімального) значення не обов'язково в точці екстремуму. Іноді таке значення досягається на кінці відрізка, і похідна там не повинна дорівнювати нулю.
Схема розв'язання задач B15
Якщо завдання B15 потрібно знайти максимальне чи мінімальне значення функції f(x) на відрізку , виконуємо такі действия:
- Розв'язати рівняння f'(x) = 0. Якщо коріння немає, пропускаємо третій крок і переходимо відразу до четвертого.
- З отриманого набору коренів викреслити все, що лежить поза відрізка . Числа, що залишилися, позначимо x 1 , x 2 , ..., x n - їх, як правило, буде небагато.
- Підставимо кінці відрізка і точки x 1 x 2 ... x n у вихідну функцію. Отримаємо набір чисел f(a), f(b), f(x 1), f(x 2), ..., f(x n), з якого вибираємо найбільше чи найменше значення - і буде відповідь.
Невелике пояснення щодо викреслення коренів, коли вони збігаються з кінцями відрізка. Їх теж можна викреслити, оскільки на четвертому кроці кінці відрізка однаково підставляються у функцію - навіть якщо рівняння f'(x) = 0 не мало рішень.
Завдання. Знайти найбільше значення функції y = x 3 + 3x 2 − 9x − 7 на відрізку [−5; 0].
Для початку знайдемо похідну: y' = (x 3 + 3x 2 − 9x − 7)' = 3x 2 + 6x − 9.
Потім розв'язуємо рівняння: y′ = 0 ⇒ 3x 2 + 6x − 9 = 0 ⇒ ... ⇒ x = −3; x = 1.
Викреслюємо корінь x = 1, тому що він не належить відрізку [−5; 0].
Залишилося обчислити значення функції на кінцях відрізка та у точці x = −3:
y(−5) = (−5) 3 + 4·(−5) 2 − 9·(−5) − 7 = −12;
y(−3) = (−3) 3 + 4·(−3) 2 − 9·(−3) − 7 = 20;
y(0) = 0 3 + 4·0 2 − 9·0 − 7 = −7.
Очевидно, що найбільше значення дорівнює 20 - воно досягається в точці x = −3.
Тепер розглянемо випадок, коли потрібно знайти точку максимуму чи мінімуму функції f(x) на відрізку . Якщо відрізок не заданий, функція розглядається у своїй області визначення. У будь-якому випадку, схема рішення така:
- Знайти похідну функції: f'(x).
- Розв'язати рівняння f'(x) = 0. Якщо похідна - дробово-раціональна функція, додатково з'ясовуємо, коли її знаменник дорівнює нулю. Отримані корені позначимо x 1 x 2 ... x n .
- Відзначити x 1 , x 2 , ..., x n на координатній прямій та розставити знаки, які приймає похідна між цими числами. Якщо заданий відрізок , відзначаємо його і викреслюємо усе, що лежить поза межами.
- Серед точок, що залишилися, шукаємо таку, де знак похідної змінюється з мінуса на плюс (це точка мінімуму) або з плюсу на мінус (точка мінімуму). Така точка має бути лише одна – це і буде відповідь.
Вдумливий читач, напевно, помітить, що для деяких функцій цей алгоритм не працює. Справді, існує цілий клас функцій, котрим знаходження точок екстремуму вимагає складніших викладок. Однак такі функції в ЄДІ з математики не трапляються.
Уважно поставтеся до розташування знаків між точками x 1 , x 2 , ..., x n . Пам'ятайте: під час переходу через корінь парної кратності знак похідної не змінюється. Коли шукаються точки екстремуму, знаки завжди проглядаються ліворуч, тобто. за напрямом числової осі.
Завдання. Знайти точку максимуму функції
на відрізку [-8; 8].
Знайдемо похідну:
Оскільки це дробово-раціональна функція, прирівнюємо до нуля похідну та її знаменник:
y′ = 0 ⇒ x 2 − 25 = 0 ⇒ ... ⇒ x = 5; x = -5;
x 2 = 0 ⇒ x = 0 (корінь другої кратності).
Зазначимо точки x = −5, x = 0 та x = 5 на координатній прямій, розставимо знаки та межі:
Очевидно, що всередині відрізка залишилася лише одна точка x = −5, де знак похідної змінюється з плюсу на мінус. Це і є точка максимуму.
Ще раз пояснимо, чим відрізняються точки екстремуму від самих екстремумів. Точки екстремуму - це значення змінних, у яких функція набирає найбільше чи найменше значення. Екстремуми - це значення самих функцій, максимальні або мінімальні в деякій своїй околиці.
Крім звичайних багаточленів і дробово-раціональних функцій, у задачі B15 зустрічаються такі види виразів:
- Ірраціональні функції,
- Тригонометричні функції,
- Показові функції,
- Логарифмічні функції.
Із ірраціональними функціями проблем, як правило, не виникає. Інші випадки варто розглянути докладніше.
Тригонометричні функції
Основна складність тригонометричних функцій полягає в тому, що при вирішенні рівнянь виникає безліч коренів. Наприклад, рівняння sin x = 0 має коріння x = πn, де n ∈ Z. Ну і як відзначати їх на координатній прямій, якщо таких чисел нескінченно багато?
Відповідь проста: треба підставляти конкретні значення n. Адже завдання B15 з тригонометричними функціями завжди є обмеження - відрізок . Тому спочатку беремо n = 0, та був збільшуємо n до того часу, поки відповідний корінь не «вилетить» межі відрізка . Аналогічно, зменшуючи n, дуже скоро отримаємо корінь, який менший за нижню межу.
Нескладно показати, що жодного коріння, крім отриманих у розглянутому процесі, на відрізку не існує. Розглянемо тепер цей процес на прикладах.
Завдання. Знайти точку максимуму функції y = sin x − 5x·sin x − 5cos x + 1, що належить відрізку [−π/3; π/3].
Обчислюємо похідну: y' = (sin x − 5x·sin x − 5cos x + 1)′ = ... = cos x − 5x·cos x = (1 − 5x)·cos x.
Потім розв'язуємо рівняння: y′ = 0 ⇒ (1 − 5x)·cos x = 0 ⇒ ... ⇒ x = 0,2 або x = π/2 + πn, n ∈ Z.
З коренем x = 0,2 все зрозуміло, а формула x = π/2 + πn вимагає додаткової обробки. Підставлятимемо різні значення n, починаючи з n = 0.
n = 0 ⇒ x = π/2. Але π/2 > π/3, тому корінь x = π/2 не входить у вихідний відрізок. Крім того, що більше n, то більше x, тому немає сенсу розглядати n > 0.
n = −1 ⇒ x = − π/2. Але −π/2< −π/3 - этот корень тоже придется отбросить. А вместе с ним - и все корни для n < −1.
Виходить, що у відрізку [−π/3; π/3] лежить лише корінь x = 0,2. Зазначимо його разом із знаками та кордонами на координатній прямій:
Щоб переконатися, що праворуч від x = 0,2 похідна дійсно негативна, достатньо підставити в y значення x = π/4. Ми просто відзначимо, що у точці x = 0,2 похідна змінює знак із плюса на мінус, отже це точка максимуму.
Завдання. Знайти найбільше значення функції y = 4tg x − 4x + π − 5 на відрізку [−π/4; π/4].
Обчислюємо похідну: y' = (4tg x − 4x + π − 5)' = 4/cos 2x − 4.
Потім розв'язуємо рівняння: y′ = 0 ⇒ 4/cos 2x − 4 = 0 ⇒ ... ⇒ x = πn, n ∈ Z.
Виділимо з цієї формули коріння, підставляючи конкретні n, починаючи з n = 0:
n = 0 ⇒ x = 0. Цей корінь нам підходить.
n = 1 ⇒ x = π. Але π > π/4, тому корінь x = π і значення n > 1 треба викреслити.
n = −1 ⇒ x = −π. Але π< −π/4, поэтому x = π и n < −1 тоже вычеркиваем.
З усього різноманіття коренів залишився лише один: x = 0. Тому обчислюємо значення функції x = 0, x = π/4 і x = −π/4.
y(0) = 4tg 0 − 4·0 + π − 5 = π − 5;
y(π/4) = 4tg (π/4) − 4·π/4 + π − 5 = −1;
y(π/4) = 4tg (−π/4) − 4·(−π/4) + π − 5 = ... = 2π − 9.
Тепер зауважимо, що π = 3,14...< 4, поэтому π − 5 < 4 − 5 = −1 и 2π − 9 < 8 − 9 = −1. Получается одно положительное число и два отрицательных. Мы ищем наибольшее - очевидно, это y = −1.
Зауважимо, що в останній задачі можна було і не порівнювати числа між собою. Адже з чисел π−5, 1 та 2π−9 у бланк відповідей може бути записана лише одиниця. Справді, як написати у бланку, скажімо, число π? А ніяк. Це важлива особливість першої частини ЄДІ з математики, яка спрощує вирішення багатьох завдань. І працює вона не лише у B15.
Іноді при дослідженні функції виникають рівняння, які не мають коріння. У такому разі завдання стає ще простіше, оскільки залишається розглянути лише кінці відрізка.
Завдання. Знайти найменше значення функції y = 7sin x − 8x + 5 на відрізку [−3π/2; 0].
Спочатку знаходимо похідну: y' = (7sin x − 8x + 5)' = 7cos x − 8.
Спробуємо розв'язати рівняння: y' = 0 ⇒ 7cos x − 8 = 0 ⇒ cos x = 8/7. Але значення cos x завжди лежать на відрізку [−1; 1], а 8/7 > 1. Тому коріння немає.
Якщо коріння немає, то й викреслювати нічого не треба. Переходимо до останнього кроку – обчислюємо значення функції:
y(−3π/2) = 7sin (−3π/2) − 8·(−3π/2) + 5 = ... = 12π + 12;
y(0) = 7sin 0 − 8·0 + 5 = 5.
Оскільки число 12π + 12 до бланку відповідей не записати, залишається лише y = 5.
Показові функції
Взагалі кажучи, показова функція - це вираз виду y = a x , де a > 0. Але в задачі B15 зустрічаються тільки функції виду y = e x і, у крайньому випадку, y = e kx + b. Причина в тому, що похідні цих функцій вважаються дуже легко:
- (e x)" = e x. Нічого не змінилося.
- (e kx + b)" = k e kx + b . Просто додається множник, рівний коефіцієнту при змінній x. Це окремий випадок похідної складної функції.
Решта абсолютно стандартно. Зрозуміло, справжні функції завдання B15 виглядають суворіше, але схема рішення від цього змінюється. Розглянемо пару прикладів, виділяючи лише основні моменти рішення – без ґрунтовних міркувань та коментарів.
Завдання. Знайти найменше значення функції y = (x 2 − 5x + 5)e x − 3 на відрізку [−1; 5].
Похідна: y' = ((x 2 − 5x + 5)e x − 3)' = ... = (x 2 − 3x)e x − 3 = x(x − 3)e x − 3 .
Знаходимо коріння: y′ = 0 ⇒ x(x − 3)e x − 3 = 0 ⇒ ... ⇒ x = 0; x = 3.
Обидва корені лежать на відрізку [−1; 5]. Залишилося знайти значення функції у всіх точках:
y(−1) = ((−1) 2 − 5·(−1) + 5)e − 1 − 3 = ... = 11·e −4 ;
y(0) = (0 2 − 5·0 + 5)e 0 − 3 = ... = 5·e −3 ;
y(3) = (3 2 − 5·3 + 5)e 3 − 3 = ... = −1;
y(5) = (5 2 − 5·5 + 5)e 5 − 3 = ... = 5·e 2 .
З чотирьох отриманих чисел до бланку можна записати лише y = −1. До того ж це єдине негативне число - воно і буде найменшим.
Завдання. Знайти найбільше значення функції y = (2x − 7)·e 8 − 2x на відрізку .
Похідна: y' = ((2x − 7)·e 8 − 2x)′ = ... = (16 − 4x)·e 8 − 2x = 4(4 − x)·e 8 − 2x .
Знаходимо коріння: y′ = 0 ⇒ 4(4 − x)·e 8 − 2x = 0 ⇒ x = 4.
Корінь x = 4 належить відрізку. Шукаємо значення функції:
y(0) = (2·0 − 7)e 8 − 2·0 = ... = −7·e 8 ;
y(4) = (2·4 − 7)e 8 − 2·4 = ... = 1;
y(6) = (2·6 − 7)e 8 − 2·6 = ... = 5·e −4 .
Очевидно, як відповідь може виступати лише y = 1.
Логарифмічні функції
За аналогією з показовими функціями, у задачі B15 зустрічаються лише натуральні логарифми, оскільки їх похідна легко вважається:
- (ln x)' = 1/x;
- (ln(kx + b))' = k/(kx + b). Зокрема, якщо b = 0, (ln(kx))' = 1/x.
Таким чином, похідна завжди буде дробово-раціональною функцією. Залишається лише прирівняти цю похідну та її знаменник до нуля, а потім вирішити отримані рівняння.
Для пошуку максимального чи мінімального значення логарифмічної функції пам'ятайте: натуральний логарифм звертається до «нормального» числа лише у точках виду e n . Наприклад, ln 1 = ln e 0 = 0 – це логарифмічний нуль, і найчастіше рішення зводиться саме до нього. В інших випадках "прибрати" знак логарифму неможливо.
Завдання. Знайти найменше значення функції y = x 2 - 3x + ln x на відрізку.
Вважаємо похідну:
Знаходимо нулі похідної та її знаменника:
y' = 0 ⇒ 2x 2 − 3x + 1 = 0 ⇒ ... ⇒ x = 0,5; x = 1;
x = 0 - тут вирішувати нема чого.
З трьох чисел x = 0, x = 0,5 та x = 1 усередині відрізка лежить тільки x = 1, а число x = 0,5 є його кінцем. Маємо:
y(0,5) = 0,5 2 − 3·0,5 + ln 0,5 = ln 0,5 − 1,25;
y(1) = 1 2 − 3·1 + ln 1 = −2;
y(5) = 5 2 − 3·5 + ln 5 = 10 + ln 5.
З отриманих трьох значень лише y = −2 не містить знака логарифму – це буде відповідь.
Завдання. Знайти найбільше значення функції y = ln(6x) − 6x + 4 на відрізку .
Обчислюємо похідну:
З'ясовуємо, коли похідна чи її знаменник дорівнюють нулю:
y' = 0 ⇒ 1 − 6x = 0 ⇒ x = 1/6;
x = 0 – вже вирішено.
Викреслюємо число x = 0, оскільки воно лежить поза відрізка . Вважаємо значення функції на кінцях відрізка та у точці x = 1/6:
y(0,1) = ln(6·0,1) − 6·0,1 + 4 = ln 0,6 + 3,4;
y(1/6) = ln(6·1/6) − 6·1/6 + 4 = ln 1 + 3 = 3;
y(3) = ln(6·3) − 6·3 + 4 = ln 18 − 14.
Очевидно, тільки y = 3 може виступати як відповідь - інші значення містять знак логарифму і не можуть бути записані до бланку відповідей.
Крапка називається точкою максимуму (мінімуму)
функції, якщо існує така околиця точки, що для всіх з цієї околиці виконується нерівність 
(
).
Точки максимуму та мінімуму функції називаються точками екстремуму (Рис. 25).
Теорема 3.9 (необхідна умова існування точок екстремуму) . У критичних точках 1-го роду похідна функції чи
дорівнює нулю, або не існує
Критичні точки 1-го роду прийнято називати просто критичними точками.
Критичні точки, у яких похідна функції дорівнює нулю, називаються точками стаціонарності
. Критичні точки, в яких функція безперервна, але не диференційована, називаються кутовими точками
. Наприклад, функція у точці безперервна, але похідної немає, оскільки у цій точці до графіку функції можна провести безліч дотичних (рис. 26). Даний випадок можна розглядати як підтвердження того, що зворотне твердження до теореми 3.3 є неправильним.
Функція називається зростаючою на певному інтервалі, якщо на цьому інтервалі більшому значенню аргументу відповідає більше значення змінної, та спадаючою якщо більшому значенню аргументу відповідає менше значення змінної.
Для подальшого дослідження критичні точки поміщають на числову вісь, яка ділиться цими точками на інтервали, після чого довіряють виконання достатніх умов.
Теорема 3.10 (достатня умова зростання та зменшення функції).Якщо деякому інтервалі функція диференційована і навіть її похідна позитивна (негативна), то функція цьому інтервалі зростає (убуває)
Теорема 3.11 (достатня умова існування точок екстремуму функції).Якщо функція безперервна і диференційована в околиці критичної точки і при переході через неї похідна змінює знак з плюсу на мінус, то крапка є точкою максимуму; якщо з мінусу на плюс, то точка є точкою мінімуму функції
Ті критичні точки функції, котрим достатня умова не виконується, залишаються просто критичними точками 1-го роду.
Критичні точки 1-го роду, в яких похідна не існує, поділяються на два класи:
- точки, в яких функція безперервна (при виконанні для них теореми 3.11 функція в даних точках має "гострий" екстремум), це кутові точки;
- Точки, в яких функція терпить розрив (завжди переходять в клас критичних точок 2-го роду).
Але проведене таким чином дослідження не дає відповіді на дуже важливе питання: як зростає (зменшується) функція – опукло чи увігнуто? Відповідь на поставлене питання дає подальше дослідження функції за допомогою другої похідної. Дамо низку необхідних визначень.
Функція називається опуклою (увігнутою) на деякому інтервалі , якщо дотична, проведена до графіка функції у кожній точці цього інтервалу, лежить вище (нижче) графіка функції.
Крапки, що відокремлюють ділянки опуклості від ділянок увігнутості функції, називають її точками перегину (Рис. 27).
Теорема 3.12 (необхідна умова існування точок перегину). У критичних точках 2-го роду друга похідна функції або дорівнює нулю, або немає
Для подальшого дослідження критичні точки 2-го роду поміщають на числову вісь, яка ділиться цими точками на інтервали, після чого довіряють виконання достатніх умов.
Теорема 3.13 (достатня умова опуклості та увігнутості функції).Якщо деякому інтервалі функція двічі диференційована і навіть її друга похідна позитивна (негативна), то функція цьому інтервалі увігнута (опукла)
Ті критичні точки функції, котрим достатня умова не виконується, залишаються просто критичними точками 2-го роду.
Критичні точки 2-го роду, в яких друга похідна не існує, поділяються на два класи:
- точки, в яких функція безперервна, це так звані точки "гострого" перегину - у таких точках до графіка функції можна провести безліч дотичних (рис. 28);
– точки, у яких функція зазнає розриву (у точках розриву 2-го роду графік функції має вертикальну асимптоту).
Для остаточного перерахування точок екстремуму та перегину функції необхідно знайти їх ординати, після чого виписати зазначені точки двома координатами.
Запитання для самоперевірки.
1. Які точки називаються точками екстремуму (максимуму та мінімуму) функції?
2. Яка функція називається зростаючою (убутною)?
3. Які необхідні та достатні умови існування точок екстремуму функції?
4. У чому полягає достатня умова зростання (зменшення) функції?
5. Які точки називаються точками перегину функції?
6. Яка функція називається опуклою (увігнутою)?
7. Які необхідні та достатні умови існування точок перегину функції?
8. У чому полягає достатня умова опуклості (увігнутості) функції?
Мета уроку:Навчити проводити дослідження функцій; будувати свої графіки.
Форма:урок-розмова.
Методи:діалог, наочні посібники та слайди.
Обладнання:ІКТ, таблиці.
Хід уроку
I. Перевірка домашнього завдання.
Вчитель: - Хлопці! У вас було домашнє завдання "Критичні точки функції, максимуми та мінімуми". Дайте визначення критичної точки функції.
Учень: - Критичною точкою називається внутрішня точка області визначення, у якій похідна або дорівнює нулю, або немає.
- Як знайти критичні точки?
Учень: - 1
) Знайти похідну функції;
2) Розв'язати рівняння: f "(x) = 0. Коріння цього рівняння є критичними точками.
Вчитель: - Знайдіть критичні точки функцій:
а) f(x) = 4 - 2x + 7x2
б) f(x) = 4x - x 3/3
а) 1) Знайдемо похідну цієї функції:
f "(x) = (4 - 2x + 7x 2)" = -2 +14x
2) Розв'яжемо рівняння f "(x) = 0<=>-2+14x =0<=>x=1/7
3) Оскільки рівняння f "(x) = 0 має один корінь, то ця функція має одну критичну точку х = 1/7.
б) 1) Знайдемо похідну цієї функції: f "(x) = 4 - x 2
2) Розв'яжемо рівняння: f "(x) = 0<=>4 - x 2 = 0<=>х = 2 або х = -2
3) Оскільки рівняння f "(x) = 0 має два корені, то дана функція має дві критичні точки х 1 = 2 і х 2 = -2.
ІІ.Усна робота.
Вчитель: - Хлопці! Повторимо основні питання, необхідні для вивчення нової теми. Для цього розглянемо таблиці з малюнками ( Додаток 1).
Вкажіть точки, де зростання функції змінюється зменшенням. Як називаються ці точки?
Учень: - малюнку а) - точка К-это точка максимуму, малюнку б) - точка М - це точка максимуму.
Вчитель: - Назвіть крапки мінімуму функції.
Учень: - Точка До малюнку в) і г) - точка мінімуму функції.
- Які точки можуть бути точками екстремуму функції?
Учень: - Критичні точки можуть бути точками екстремуму функції.
Вчитель: - Які необхідні умови ви знаєте?
Учень: - Існує теорема Ферма. Необхідна умова екстремуму:Якщо точка х 0 є точкою екстремуму функції f і цій точці існує похідна f ", вона дорівнює нулю: f "(x)=0.
Вчитель: - Знайдіть критичні точки для функції:
а) f(x) = | х |
б) f(x) = 2х + | х |
Учень: - Розглянемо функцію f(x) = | х | ( Додаток 2). Ця функція не має похідної 0. Значить, 0 - критична точка. Вочевидь, що у точці 0 функція має мінімум.
Учень: - Розглянемо функцію f(x) = 2x + | х | ( додаток 3). За графіком видно, що у точці 0 ця функція немає екстремуму. У цій точці функція немає і похідної.
У насправді, якщо припустити, що функція f має у точці 0 похідну, то f(х) - 2х також має похідну 0. Але f(х) - 2х = | х |, а функція | х | у точці 0 не диференційована, тобто. ми дійшли суперечності.
Отже, функція f у точці 0 похідної немає.
Вчитель: - З теореми Ферма випливає, що при знаходженні точок екстремуму потрібно знайти критичні точки. Але з розглянутих прикладів видно, що для того, щоб дана критична точка була точкою екстремуму, потрібна ще якась додаткова умова.
Які достатні умови для існування екстремуму в точці ви знаєте?
Учень: - Ознака максимуму функції: Якщо функція f неперервна у точці х 0 , а f "(x)>0 на інтервалі (а;х 0) та f "(x)<0 на интервале (х 0 ; в), то точка х 0 является точкой максимума функции f.
Тобто якщо в точці х0 похідна змінює знак із плюсу на мінус, то х0 є точка максимуму.
Учень: - Ознака мінімуму: Якщо функція f неперервна у точці х 0 , а f "(x)<0 на интервале (а;х 0) и f "(x) >0 на інтервалі (х 0; в), то точка х 0 є точкою мінімуму функції f.
Тобто, якщо в точці х 0 похідна змінює знак з мінуса на плюс, то х 0 є точка мінімуму.
Вчитель: - А який алгоритм знаходження точок екстремуму функції ви знаєте.
Учень пояснює алгоритм дослідження функції f на екстремум за допомогою похідної ( додаток 4) і знаходить точки екстремуму функції:
f(х) = x 4 -2х 2
D(f) = IR і f безперервна на всій числовій прямій, як ціла раціональна функція.
2. f "(x) = 4x3 -4х = 4х (х +1) (х-1).
3. f "(x) = 0<=>x = -1 V x = 0 V x = 1.
Рис.1 (знаки f")
Оскільки f безперервна в критичних точках, то з малюнка 1 ( додаток 5) видно, що -1 та 1 - точки мінімуму, а 0 - точка максимуму функції f.
f min = f (-1) = f (1) = -1, f max = f (0) = 0.
Вчитель: - Хлопці! Згадаймо алгоритм пошуку проміжків монотонності функції f.
Учень згадує алгоритм пошуку проміжків монотонності функції f ( додаток 6).
Вчитель: - Знайти проміжки зростання та зменшення функції f, заданої формулою
f (x) = x 3 -12х
Рішення:
1. Оскільки f(x) - багаточлен, то D(f) = IR.
2. Функція f диференційована на всій числовій прямій і f "(x) = 3x 2 -12 = 3 (х +2) (х-2).
3. Критичними точками функції f можуть бути лише нулі f"(x).
f "(x) = 0<=>x = -2 V x = 2.
D (f) \ (-2; 2) = (-; -2) U (-2; 2) U (2; +).
Рис.2 (Знаки f ").
Знайти області визначення та значень цієї функції f.
З'ясувати, чи функція має особливості, що полегшують дослідження, тобто чи є функція f:
а) парної чи непарної;
б) періодичної.
3. Обчислити координати точок перетину графіка з осями координат.
4. Знайти проміжки знаковості функції f.
5. З'ясувати, яких проміжках функція f зростає, але в яких убуває.
6. Знайти точки екстремуму (максимум або мінімум) та обчислити значення f у цих точках.
7. Дослідити поведінку функції f в околиці характерних точок, що не входять до області визначення.
8. Побудувати графік функції.
Ця схема має зразковий характер.
Враховуючи все сказане, досліджуємо функцію: f(x) = 3x5-5х3+2 і побудуємо її графік.
Проведемо дослідження за вказаною схемою:
D(f") = IR, тому що f(x) - багаточлен.
Функція f не є ні парною, ні непарною, оскільки
f(-x)= 3(-x) 5 -5(-x) 3 +2 = -3x 5 +5х 3 +2= -(3x 5 -5х 3 -2) f(x)
Знайдемо координати точок перетину графіка з осями координат:
а) з віссю 0Х, для цього розв'яжемо рівняння: 3x 5 -5х 3 +2 = 0.
Методом підбору можна знайти один із коренів (x = 1). Інше коріння може бути знайдено лише приблизно. Тому для цієї функції решта точок перетину графіка з віссю абсцис і проміжки знакостійності знаходити не будемо.
б) із віссю 0У: f(0)=2
Точка А (0; 2) – точка перетину графіка функції з віссю 0У.
Зазначили, що проміжки знаковості не знаходитимемо.
Знайдемо проміжки зростання та зменшення функції
а) f "(x) = 15x4 -15х2 = 15х2 (х2-1)
D(f") = IR, тому критичних точок яких f"(x) не існує, немає.
б) f "(x) = 0, якщо х 2 (х 2 -1) = 0<=>x = -1 V x = 0 V x = 1.
в) Отримаємо три критичні точки, вони розбивають координатну пряму на чотири проміжки. Визначимо знак похідної цих проміжках:
Рис.3 (знаки f")
IV. Закріплення нової теми Вирішення задач.
Вчитель: - Дослідіть функцію та побудуйте її графік: f(x) = x 4 -2х 2 -3.
Учень: - 1) D(f) = R.
2) f(-x)=(-x) 4 -2(-x) 2 -3 = x 4 -2х 2 -3; f(-x)= f(x),
отже, функція f є парною. Дослідження її можна проводити на проміжку функція зростає від - до -4 тому на цьому проміжку рівняння f (x) = 0 коренів не має.
б) На проміжку [-1; 2] рівняння так само не має коріння, тому що на цьому проміжку функція зменшується від -4 до -31.
в) На проміжку і зменшується на [-∞;-1].
Крапки екстремуму: x min = -1
Екстремуми функції: y min = y (-1) = 1-2 = -1
Розділ III. Вивчення функцій.
3.1. Загальна схема дослідження функций.
Досліджуючи функцію, потрібно знати загальну схему дослідження:
1) D(y) – область визначення (область зміни змінної х)
2) E(y) – область значення х (область зміни змінної у)
3) Вид функції: парна, непарна, періодична чи функція загального виду.
4) Точки перетину графіка функції з осями Охі Оу (по можливості).
5) Проміжки знакостійності:
а) функція набуває позитивного значення: f(x)>0
б) негативне значення: f(x)<0.
6) Проміжки монотонності функції:
а) зростання;
б) спадання;
в) сталості (f=const).
7) Точки екстремуму (точки мінімуму та максимуму)
8) Екстремуми функції (значення функції в точках мінімуму та максимуму)
9) Додаткові точки.
Вони можуть бути взяті для того, щоб точніше побудувати графік функції.
Слід зауважити, що екстремуми функції f не завжди збігаються з найбільшим та найменшим значенням функції.
3.2. Ознака зростання та зменшення функцій.
Якщо будувати графік функції за будь-якими довільно вибраними його точками, з'єднуючи їх плавною лінією, то навіть при дуже великій кількості випадково обраних точок може виявитися, що побудований таким чином графік буде сильно відрізнятися від графіка заданої функції.
Якщо щодо функції використовувати похідну і знайти звані «опорні» точки, тобто. точки розриву, точки максимуму та мінімуму, проміжки монотонності функції, то навіть за невеликої кількості таких «опорних» точок ми отримаємо правильне уявлення про графік функції.
Перш ніж звернутися до прикладів, наведу необхідні визначення та теореми.
Визначення монотонності функції на інтервалі
Функція y=f(x) називається зростаючою на інтервалі, якщо для будь-яких точок х 1 і х 2 цього інтервалу з умови х 1<х 2
следует, что f(x 1)
Достатня ознака монотонності функції в інтервалі. Теорема: якщо функція має позитивну (негативну) похідну в кожній точці інтервалу, то функція зростає (зменшується) на цьому інтервалі.
Ця теорема у шкільних підручниках приймається без підтвердження.
Геометричне тлумачення теореми дуже просте, якщо згадати, що f '(x)=tgα, α – це кутовий коефіцієнт, що стосується графіку функції в заданій точці х. Якщо, наприклад, f '(x)>0 у всіх точках деякого інтервалу, то дотична до графіка з віссю абсцис утворюють гострі кути, а значить, зі зростанням x зростає f(x). Якщо ж f '(x)<0, то касательная с осью абсцисс образуют тупой угол, а значит, с ростом х функция f(x) убывает. Поскольку эти рассуждения основаны лишь на наглядных геометрических представлениях, они не являются доказательством теоремы.
3.3. Критичні точки функції, максимуми та мінімуми.
Визначення точок екстремуму функції . Нехай х 0 – внутрішня точка області визначення функції f(x). Тоді, якщо існує така δ – околиця ] x 0 - δ, x 0 + δ [ точки х 0 , що для всіх х з цієї околиці виконується нерівність f(x)≤f(x 0) (нерівність f(x)≥f (x 0)), точка х 0 називається точкою максимуму (точкою мінімуму) цієї функції.
Точки максимуму мінімуму є внутрішніми точками області визначення функції.
Необхідна ознака існування екстремуму диференційованої функції .
Теорема Ферма.
Якщо х 0 є точка екстремуму функції f(x) і цій точці похідна існує, вона дорівнює нулю: f '(x 0)=0.
Ця теорема не є достатньою умовою існування екстремуму функції, що диференціюється: якщо в деякій точці х 0 похідна звертається в нуль, то з цього ще не випливає, що в точці х 0 функція має екстремум.
Визначення критичних точок функції . Внутрішні точки області визначення функції, у яких її похідна дорівнює нулю чи немає, називають критичними точками функції.
Достатні умови існування екстремуму .
Теорема 1. Якщо функція f(x) безперервна в точці х 0 , f '(x)>0 на інтервалі та f '(x)<0 на интервале , то х 0 является точкой максимума функции f(x).
Теорема 2. Якщо функція f(x) безперервна в точці х 0 f '(x)<0 на интервале и f ‘(x)>0 на інтервалі х 0 є точкою мінімуму функції f(x).
Для пошуку екстремальних точок функції необхідно визначити її критичні точки і кожної з них перевірити виконання достатніх умов екстремуму.
3.4. Найбільші та найменші значення функції.
Правила пошуку максимального і меншого значень функцій у проміжку. Для пошуку максимального і меншого значень функції, диференційованої у певному проміжку, необхідно визначити всі критичні точки, що лежать усередині проміжку, обчислити значення функції у цих точках і кінцях проміжку і з усіх отриманих в такий спосіб значень функції вибрати найбільше і найменше.
Розділ IV. Приклади застосування похідної для дослідження функції.
Приклад 11. Дослідити функцію y=x3+6x2+9x та побудувати графік.
2) Визначимо вид функції:
y(-x)=(-x) 3 +6(-x) 2 +9(-x)=-x+6x 2 -9x функція загального вигляду.
x=0 чи x 2 +6x+9=0
D=0, рівняння має один корінь.
(0; 0) і (-3; 0) - точки перетину з віссю х.
y’=(x 3 +6x 2 +9x)’=3x 2 +12x+9
y'=0, тобто. 3x 2 +12x+9=0 скоротимо на 3
D>0, рівняння має 2 корені.
x 1,2 =(-b±√D)/2a, x 1 =(-4+2)/2 , x 2 =(-4-2)/2
0 
-4
x=-4, y'=3*16-48+9=9>0
x=-2, y'=12-24+9=-3<0
x=0, y'=0+0+9=9>0
7) Знайдемо x min та x max:
8) Знайдемо екстремуми функції:
y min = y(-1)=-1+6-9=-4
y max =y(-3)=-27+54-27=0
9) Побудуємо графік функції:
10) Додаткові точки:
y(-4)=-64+96-36=-4
приклад 12. Дослідити функцію y=x 2 /(x-2) та побудувати графік
y=x 2 /(x-2)=x+2+4/(x-2)
Знайдемо асимптоти функції:
x≠ 2, x=2 – вертикальна асимптота
y=x+2 – похила асимптота, т.к.
Знайдемо область визначення.
2) Визначимо вид функції.
y(-x)=(-x) 2 /(-x-2)=x 2 /(-x-2), функція загального виду.
3)Знайдемо точки перетину з осями.
Oy: x = 0, y = 0 (0; 0) - точка перетину з віссю y.
x=0 або x=2 (2;0) – точка перетину з віссю х
4) Знайдемо похідну функції:
y'=(2x(x-2)-x 2)/(x-2) 2 =(2x 2 -4x-x 2)/(x-2) 2 =(x(x-4))//x -2) 2 =(x 2 -4x)/(x-2) 2
5) Визначимо критичні точки:
x 2 -4x=0 x(x-4)=0
y'=0, (x 2 -4x)/(x-2) 2 =0<=> <=>
(x-2) 2 ≠ 0 x≠ 2
x 2 -4x=0, а (x-2) 2 ≠ 0, тобто. х≠ 2
6) Позначимо критичні точки на координатній прямій та визначимо знак функції.
0 8
x=-1, y'=(1+4)/9=5/9>0
x=1, y'=(1-4)/1=-3<0
x=3, y'=(9-12)/1=-3<0
x=5, y'=(25-20)/9=5/9>0
7) Знайдемо точки мінімуму та максимуму функції:
8) Знайдемо екстремуми функції:
y min = y (4) = 16/2 = 8
9) Побудуємо графік функції:
10) Додаткові точки:
y(-3)=9/-5=-1,8 y(3)=9/1=9
y(1)=1/-1=-1 y(6)=36/4=9
приклад 13. Дослідити функцію y=(6(x-1))/(x 2 +3) та побудувати графік. 1) Знайдемо область визначення функції:
2) Визначимо вид функції:
y(-x)=(6(-x-1))/(x 2 +3)=-(6(x+1))/(x 2 -3) – функція загального виду.
3) Знайдемо точки перетину з осями:
O y: x=0, y=(6(0-1))/(0+3)=-2, (0;-2) – точка перетину з віссю y.
(6(x-1))/(x 2 +3)=0
O x: y = 0,<=>
4) Знайдемо похідну функції:
y'=(6(x-1)/(x 2 +3))'=6(x 2 +3-2x 2 +2x)/(x 2 +2) 2 =-6(x+1)(x -3) / (x 2 +3) 2
5) Визначимо критичні точки:
y'=0, тобто. -6(x+1)(x-3)/(x 2 +3) 2 =0
y'=0, якщо х 1 =-1 або х 2 =3, значить х=-1 і х=3, критичні точки.
6) Позначимо критичні точки на координатній прямій та визначимо знак функції:
-3 2
x=-2, y'=-6(-2+1)(-2-3)/(4+3) 2 =-30/49<0
x=0, y'=-6(0+1)(0-3)/(0+3) 2 =2>0
x=4, y'=-6(4+1)(4-3)/(16+3) 2 =-30/361<0
7) Знайдемо точки мінімуму та максимуму:
8) Знайдемо екстремуми функції:
y min = y(-1)=(6(-1-1))/(1+3)=-12/4=-3
y max =y(3)=(6(3-1))/(9+3)=12/12=1
9) Побудуємо графік функції:
10) Додаткові точки:
y(-3)=(6(-3-1))/(9+3)=-24/12=-2
y(6)=(6(6-1))/(36+3)=30/39=10/13≈ 0,77
приклад 14. Дослідити функцію y=xlnx та побудувати її графік:
1) Знайдемо область визначення функції:
D(y)=R + (тільки позитивні значення)
2) Визначимо вид функції:
y(-x)=-xlnx - загального вигляду.
3) Знайдемо точки перетину з осями:
O y , але х≠ 0, означає точок перетину з віссю y немає.
O x: y=0, тобто xlnx=0
x=0 або lnx=0
(1;0) – точка перетину з віссю х
4) Знайдемо похідну функції:
y'=x' ln x + x(ln x)'=ln x +1
5) Визначимо критичні точки:
y'=0, тобто lnx +1=0
y'=0 , якщо x=1/e, значить x=1/e– критична точка.
6) Позначимо критичні точки на координатній прямій та визначимо знак функції:
1/e 
x=1/(2e); y'=log(2e) -1 +1=1-ln(2e)=1-ln e=-ln 2<0
x = 2e; y'=ln(2e)+1=ln 2+ln e+1=ln 2+2>0
7) 1/e – точка мінімуму функції.
8) Знайдемо екстремуми функції:
y min =y(1/e)=1/e ln e -1 =-1/e (≈ -0,4).
9) Побудуємо графік функції:
Висновок.
Над цією темою працювало багато вчених і філософів. Багато років тому відбулися ці терміни: функція, графік, дослідження функції і досі вони збереглися, набуваючи нових рис та ознак.
Я вибрала цю тему, тому що мені було дуже цікаво пройти цей шлях дослідження функції. Мені здається, що багатьом було б цікаво більше дізнатися про функції, про її властивості та перетворення. Зробивши цей реферат, я систематизувала свої навички і поповнила свій запас знань про цю тему.
Я хочу порадити всім глибше вивчити цю тему.
Список літератури.
1. Башмаков, М.І. Алгебра і початок аналізу. - М.: Просвітництво, 1992.
2. Глейзер, Г.І. Історія математики в школе.- М.: Просвітництво, 1983.
3. Гусєв, В.А. Математика: Довідкові матеріали. - М.: Просвітництво, 1888.
4. Дорофєєв, Г.В. Посібник з математики для вступників до ВНЗ. - М.: Наука, 1974.
5. Зорін, В.В. Посібник з математики для вступників до ВНЗ. - М.: Вища школа, 1980.
6. Колмогоров А.М. Алгебра і початку аналізу. - М.: Просвітництво, 1993.
