So entfernen Sie einen Modul in einer Ungleichung. Gleichungen mit Modul

Ungleichheiten online lösen

Bevor Sie Ungleichungen lösen, müssen Sie gut verstehen, wie Gleichungen gelöst werden.

Es spielt keine Rolle, ob die Ungleichung streng () oder nicht streng (≤, ≥) ist. Der erste Schritt besteht darin, die Gleichung zu lösen, indem das Ungleichheitszeichen durch Gleichheit (=) ersetzt wird.

Lassen Sie uns erklären, was es bedeutet, eine Ungleichung zu lösen?

Nach dem Studium der Gleichungen entsteht im Kopf des Schülers folgendes Bild: Er muss Werte der Variablen finden, sodass beide Seiten der Gleichung die gleichen Werte annehmen. Mit anderen Worten: Finden Sie alle Punkte, an denen Gleichheit gilt. Alles ist richtig!

Wenn wir von Ungleichungen sprechen, meinen wir das Finden von Intervallen (Segmenten), in denen die Ungleichung gilt. Wenn die Ungleichung zwei Variablen enthält, sind nicht mehr Intervalle die Lösung, sondern einige Flächen auf der Ebene. Raten Sie selbst, was die Lösung für eine Ungleichheit in drei Variablen sein wird?

Wie löst man Ungleichheiten?

Als universelle Methode zur Lösung von Ungleichungen gilt die Intervallmethode (auch Intervallmethode genannt), die darin besteht, alle Intervalle zu bestimmen, innerhalb deren Grenzen eine bestimmte Ungleichung erfüllt ist.

Ohne auf die Art der Ungleichung einzugehen, kommt es in diesem Fall nicht darauf an, Sie müssen die entsprechende Gleichung lösen und ihre Wurzeln bestimmen, gefolgt von der Bezeichnung dieser Lösungen auf der Zahlenachse.

Wie schreibt man die Lösung einer Ungleichung richtig?

Nachdem Sie die Lösungsintervalle für die Ungleichung bestimmt haben, müssen Sie die Lösung selbst korrekt aufschreiben. Es gibt eine wichtige Nuance: Sind die Grenzen der Intervalle in der Lösung enthalten?

Hier ist alles einfach. Wenn die Lösung der Gleichung die ODZ erfüllt und die Ungleichung nicht streng ist, wird der Rand des Intervalls in die Lösung der Ungleichung einbezogen. Ansonsten nein.

Betrachtet man jedes Intervall, kann die Lösung der Ungleichung das Intervall selbst oder ein halbes Intervall (wenn einer seiner Grenzen die Ungleichung erfüllt) oder ein Segment – ​​das Intervall zusammen mit seinen Grenzen – sein.

Wichtiger Punkt

Denken Sie nicht, dass nur Intervalle, Halbintervalle und Segmente die Ungleichung lösen können. Nein, die Lösung kann auch einzelne Punkte umfassen.

Zum Beispiel hat die Ungleichung |x|≤0 nur eine Lösung – das ist Punkt 0.

Und die Ungleichung |x|

Warum brauchen Sie einen Ungleichheitsrechner?

Der Ungleichungsrechner liefert die richtige Endantwort. In den meisten Fällen wird eine Abbildung einer Zahlenachse oder -ebene bereitgestellt. Es ist sichtbar, ob die Grenzen der Intervalle in die Lösung einbezogen werden oder nicht – die Punkte werden schattiert oder punktiert dargestellt.

Dank des Online-Ungleichungsrechners können Sie überprüfen, ob Sie die Wurzeln der Gleichung richtig gefunden, sie auf der Zahlenachse markiert und die Erfüllung der Ungleichungsbedingung auf den Intervallen (und Grenzen) überprüft haben?

Wenn Ihre Antwort von der des Rechners abweicht, müssen Sie Ihre Lösung unbedingt noch einmal überprüfen und den Fehler identifizieren.

Je mehr ein Mensch versteht, desto stärker ist sein Wunsch zu verstehen

Thomas von Aquin

Mit der Intervallmethode können Sie alle Gleichungen lösen, die einen Modul enthalten. Der Kern dieser Methode besteht darin, die Zahlenachse in mehrere Abschnitte (Intervalle) aufzuteilen, und die Achse muss durch die Nullstellen der Ausdrücke in den Modulen aufgeteilt werden. Dann ist in jedem der resultierenden Abschnitte jeder submodulare Ausdruck entweder positiv oder negativ. Daher kann jedes der Module entweder mit einem Minuszeichen oder mit einem Pluszeichen geöffnet werden. Nach diesen Schritten bleibt nur noch, jede der resultierenden einfachen Gleichungen für das betrachtete Intervall zu lösen und die erhaltenen Antworten zu kombinieren.

Schauen wir uns diese Methode anhand eines konkreten Beispiels an.

|x + 1| + |2x – 4| – |x + 3| = 2x – 6.

1) Suchen wir die Nullstellen der Ausdrücke in den Modulen. Dazu müssen wir sie mit Null gleichsetzen und die resultierenden Gleichungen lösen.

x + 1 = 0 2x – 4 = 0 x + 3 = 0

x = -1 2x = 4 x = -3

2) Platzieren Sie die resultierenden Punkte in der erforderlichen Reihenfolge auf der Koordinatenlinie. Sie werden die gesamte Achse in vier Abschnitte unterteilen.

3) Lassen Sie uns in jedem der resultierenden Abschnitte die Vorzeichen der Ausdrücke in den Modulen bestimmen. Dazu setzen wir beliebige Zahlen aus den für uns interessanten Intervallen ein. Wenn das Ergebnis der Berechnung eine positive Zahl ist, tragen wir „+“ in die Tabelle ein, ist die Zahl negativ, dann tragen wir „–“ ein. Das lässt sich so darstellen:

4) Jetzt lösen wir die Gleichung für jedes der vier Intervalle und ermitteln die Module mit den in der Tabelle angegebenen Vorzeichen. Schauen wir uns also das erste Intervall an:

I-Intervall (-∞; -3). Darauf werden alle Module mit einem „–“-Zeichen geöffnet. Wir erhalten die folgende Gleichung:

-(x + 1) – (2x – 4) – (-(x + 3)) = 2x – 6. Lassen Sie uns ähnliche Begriffe darstellen, indem wir zunächst die Klammern in der resultierenden Gleichung öffnen:

X – 1 – 2x + 4 + x + 3 = 2x – 6

Die erhaltene Antwort ist nicht im betrachteten Intervall enthalten, daher ist es nicht erforderlich, sie in die endgültige Antwort einzutragen.

II-Intervall [-3; -1). In diesem Intervall gibt es in der Tabelle die Zeichen „–“, „–“, „+“. Genau so öffnen wir die Module der Originalgleichung:

-(x + 1) – (2x – 4) – (x + 3) = 2x – 6. Vereinfachen wir, indem wir die Klammern öffnen:

X – 1 – 2x + 4 – x – 3 = 2x – 6. Lassen Sie uns ähnliche in der resultierenden Gleichung darstellen:

x = 6/5. Die resultierende Zahl gehört nicht zum betrachteten Intervall und ist daher nicht die Wurzel der ursprünglichen Gleichung.

III-Intervall [-1; 2). Wir erweitern die Module der ursprünglichen Gleichung mit den Vorzeichen, die in der dritten Spalte der Abbildung erscheinen. Wir bekommen:

(x + 1) – (2x – 4) – (x + 3) = 2x – 6. Lassen Sie uns die Klammern entfernen und die Terme, die die Variable x enthalten, auf die linke Seite der Gleichung verschieben und diejenigen, die x nicht enthalten, auf die linke Seite der Gleichung das Recht. Werde haben:

x + 1 – 2x + 4 – x – 3 = 2x – 6

Die Zahl 2 ist im betrachteten Intervall nicht enthalten.

IV-Intervall

Vereinfacht ausgedrückt ist ein Modul eine „Zahl ohne Minus“. Und in dieser Dualität (an manchen Stellen muss man nichts mit der ursprünglichen Zahl machen, an anderen muss man eine Art Minus entfernen) liegt die ganze Schwierigkeit für Studienanfänger.

Es gibt auch eine geometrische Definition. Es ist auch nützlich, es zu wissen, aber wir werden uns nur in komplexen und einigen Spezialfällen damit befassen, in denen der geometrische Ansatz bequemer ist als der algebraische (Spoiler: nicht heute).

Definition. Der Punkt $a$ sei auf dem Zahlenstrahl markiert. Dann das Modul $\left| x-a \right|$ ist der Abstand vom Punkt $x$ zum Punkt $a$ auf dieser Linie.

Wenn Sie ein Bild zeichnen, erhalten Sie etwa Folgendes:

Grafische Moduldefinition

Auf die eine oder andere Weise folgt aus der Definition eines Moduls seine Schlüsseleigenschaft sofort: Der Modul einer Zahl ist immer eine nicht negative Größe. Diese Tatsache wird sich heute wie ein roter Faden durch unsere gesamte Erzählung ziehen.

Ungleichheiten lösen. Intervallmethode

Schauen wir uns nun die Ungleichungen an. Davon gibt es sehr viele, aber unsere Aufgabe besteht nun darin, zumindest die einfachsten davon lösen zu können. Diejenigen, die sich auf lineare Ungleichungen sowie auf die Intervallmethode reduzieren lassen.

Ich habe zwei große Lektionen zu diesem Thema (übrigens sehr, SEHR nützlich – ich empfehle, sie zu studieren):

1. Intervallmethode für Ungleichungen (siehe insbesondere das Video);
2. Bruchrationale Ungleichungen sind eine sehr umfangreiche Lektion, aber danach werden Sie überhaupt keine Fragen mehr haben.

Wenn Sie das alles wissen, wenn der Satz „Lasst uns von der Ungleichheit zur Gleichung übergehen“ nicht den vagen Wunsch weckt, sich gegen die Wand zu schlagen, dann sind Sie bereit: Willkommen in der Hölle zum Hauptthema der Lektion. :)

1. Ungleichungen der Form „Modul ist kleiner als Funktion“

Dies ist eines der häufigsten Probleme bei Modulen. Es ist erforderlich, eine Ungleichung der Form zu lösen:

\[\left| f\right| \ltg\]

Die Funktionen $f$ und $g$ können alles sein, aber normalerweise sind sie Polynome. Beispiele für solche Ungleichheiten:

\[\begin(align) & \left| 2x+3 \right| \lt x+7; \\ & \left| ((x)^(2))+2x-3 \right|+3\left(x+1 \right) \lt 0; \\ & \left| ((x)^(2))-2\left| x \right|-3 \right| \lt 2. \\\end(align)\]

Alle können nach folgendem Schema buchstäblich in einer Zeile gelöst werden:

\[\left| f\right| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g\quad \left(\Rightarrow \left\( \begin(align) & f \lt g, \\ & f \gt -g \\\end(align) \richtig richtig)\]

Es ist leicht zu erkennen, dass wir das Modul loswerden, dafür aber eine doppelte Ungleichung erhalten (oder, was dasselbe ist, ein System aus zwei Ungleichungen). Aber dieser Übergang berücksichtigt absolut alle möglichen Probleme: Wenn die Zahl unter dem Modul positiv ist, funktioniert die Methode; wenn negativ, funktioniert es immer noch; und selbst mit der ungeeignetsten Funktion anstelle von $f$ oder $g$ funktioniert die Methode immer noch.

Da stellt sich natürlich die Frage: Könnte es nicht einfacher sein? Leider ist das nicht möglich. Das ist der springende Punkt des Moduls.

Aber genug mit dem Philosophieren. Lassen Sie uns ein paar Probleme lösen:

Aufgabe. Lösen Sie die Ungleichung:

\[\left| 2x+3 \right| \lt x+7\]

Lösung. Wir haben also eine klassische Ungleichung der Form „Der Modul ist kleiner“ vor uns – es gibt sogar nichts zu transformieren. Wir arbeiten nach dem Algorithmus:

\[\begin(align) & \left| f\right| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g; \\ & \left| 2x+3 \right| \lt x+7\Rightarrow -\left(x+7 \right) \lt 2x+3 \lt x+7 \\\end(align)\]

Beeilen Sie sich nicht, die Klammern mit vorangestelltem „Minus“ zu öffnen: Es ist durchaus möglich, dass Sie aufgrund Ihrer Eile einen beleidigenden Fehler machen.

\[-x-7 \lt 2x+3 \lt x+7\]

\[\left\( \begin(align) & -x-7 \lt 2x+3 \\ & 2x+3 \lt x+7 \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & -3x \lt 10 \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & x \gt -\frac(10)(3) \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \right.\]

Das Problem wurde auf zwei elementare Ungleichungen reduziert. Beachten wir ihre Lösungen auf parallelen Zahlengeraden:

Schnittpunkt von vielen

Der Schnittpunkt dieser Mengen wird die Antwort sein.

Antwort: $x\in \left(-\frac(10)(3);4 \right)$

Aufgabe. Lösen Sie die Ungleichung:

\[\left| ((x)^(2))+2x-3 \right|+3\left(x+1 \right) \lt 0\]

Lösung. Diese Aufgabe ist etwas schwieriger. Isolieren wir zunächst das Modul, indem wir den zweiten Term nach rechts verschieben:

\[\left| ((x)^(2))+2x-3 \right| \lt -3\left(x+1 \right)\]

Offensichtlich haben wir wieder eine Ungleichung der Form „das Modul ist kleiner“, also entfernen wir das Modul mit dem bereits bekannten Algorithmus:

\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right) \lt ((x)^(2))+2x-3 \lt -3\left(x+1 \right)\]

Jetzt aufgepasst: Jemand wird sagen, dass ich mit all diesen Klammern ein bisschen pervers bin. Aber ich möchte Sie noch einmal daran erinnern, dass unser Hauptziel ist Lösen Sie die Ungleichung richtig und erhalten Sie die Antwort. Wenn Sie später alles, was in dieser Lektion beschrieben wird, perfekt beherrschen, können Sie es nach Belieben selbst verdrehen: Klammern öffnen, Minuspunkte hinzufügen usw.

Zunächst entfernen wir einfach das doppelte Minus auf der linken Seite:

\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right)=\left(-1 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(x+1 \right) =3\left(x+1 \right)\]

Öffnen wir nun alle Klammern in der doppelten Ungleichung:

Kommen wir zur doppelten Ungleichung. Diesmal werden die Berechnungen ernster sein:

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -3x-3 \\ & 3x+3 \lt ((x)^(2))+2x -3 \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+5x \lt 0 \\ & ((x)^(2))-x-6 \gt 0 \\ \end( rechts ausrichten.\]

Beide Ungleichungen sind quadratisch und können mit der Intervallmethode gelöst werden (deswegen sage ich: Wer das nicht kennt, nimmt sich besser noch nicht mit Modulen an). Kommen wir zur Gleichung in der ersten Ungleichung:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+5x=0; \\ & x\left(x+5 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=0;((x)_(2))=-5. \\\end(align)\]

Wie Sie sehen, ist das Ergebnis eine unvollständige quadratische Gleichung, die auf elementare Weise gelöst werden kann. Schauen wir uns nun die zweite Ungleichung des Systems an. Dort müssen Sie den Satz von Vieta anwenden:

\[\begin(align) & ((x)^(2))-x-6=0; \\ & \left(x-3 \right)\left(x+2 \right)=0; \\& ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-2. \\\end(align)\]

Wir markieren die resultierenden Zahlen auf zwei parallelen Linien (getrennt für die erste Ungleichung und getrennt für die zweite):

Da wir ein System von Ungleichungen lösen, sind wir wiederum am Schnittpunkt der schattierten Mengen interessiert: $x\in \left(-5;-2 \right)$. Das ist die Antwort.

Antwort: $x\in \left(-5;-2 \right)$

Ich denke, dass das Lösungsschema nach diesen Beispielen äußerst klar ist:

1. Isolieren Sie das Modul, indem Sie alle anderen Terme auf die entgegengesetzte Seite der Ungleichung verschieben. Somit erhalten wir eine Ungleichung der Form $\left| f\right| \ltg$.
2. Lösen Sie diese Ungleichung, indem Sie das Modul gemäß dem oben beschriebenen Schema entfernen. Irgendwann wird es notwendig sein, von der doppelten Ungleichung zu einem System zweier unabhängiger Ausdrücke überzugehen, von denen jeder bereits separat gelöst werden kann.
3. Schließlich müssen wir nur noch die Lösungen dieser beiden unabhängigen Ausdrücke schneiden – und schon erhalten wir die endgültige Antwort.

Ein ähnlicher Algorithmus existiert für Ungleichungen des folgenden Typs, wenn der Modul größer als die Funktion ist. Allerdings gibt es ein paar gravierende „Aber“. Wir werden jetzt über diese „Aber“ sprechen.

2. Ungleichungen der Form „Modul ist größer als Funktion“

Sie sehen so aus:

\[\left| f\right| \gtg\]

Ähnlich wie beim Vorgänger? Es scheint. Und doch werden solche Probleme auf ganz andere Weise gelöst. Formal sieht das Schema wie folgt aus:

\[\left| f\right| \gt g\Rightarrow \left[ \begin(align) & f \gt g, \\ & f \lt -g \\\end(align) \right.\]

Mit anderen Worten, wir betrachten zwei Fälle:

1. Zuerst ignorieren wir einfach das Modul und lösen die übliche Ungleichung;
2. Dann erweitern wir im Wesentlichen den Modul mit dem Minuszeichen und multiplizieren dann beide Seiten der Ungleichung mit −1, während ich das Vorzeichen habe.

In diesem Fall werden die Optionen mit einer eckigen Klammer zusammengefasst, d. h. Wir haben eine Kombination aus zwei Anforderungen vor uns.

Bitte beachten Sie noch einmal: Es handelt sich hierbei nicht um ein System, sondern um eine Gesamtheit In der Antwort werden die Mengen kombiniert, anstatt sich zu überschneiden. Dies ist ein grundlegender Unterschied zum vorherigen Punkt!

Im Allgemeinen sind viele Studenten mit Gewerkschaften und Kreuzungen völlig verwechselt, also lasst uns dieses Problem ein für alle Mal klären:

• „∪“ ist ein Vereinigungszeichen. Tatsächlich handelt es sich hierbei um einen stilisierten Buchstaben „U“, der aus der englischen Sprache zu uns kam und eine Abkürzung für „Union“ ist, also „Union“. „Verbände“.
• „∩“ ist das Schnittpunktzeichen. Dieser Mist kam nicht von irgendwoher, sondern erschien einfach als Kontrapunkt zu „∪“.

Um es noch einfacher zu merken, ziehen Sie einfach die Beine zu diesen Zeichen, um eine Brille herzustellen (beschuldigen Sie mich jetzt nicht, Drogenabhängigkeit und Alkoholismus zu fördern: Wenn Sie diese Lektion ernsthaft studieren, dann sind Sie bereits drogenabhängig):

Unterschied zwischen Schnittmenge und Vereinigung von Mengen

Ins Russische übersetzt bedeutet dies Folgendes: Die Vereinigung (Gesamtheit) umfasst Elemente aus beiden Mengen, ist also in keiner Weise kleiner als jede von ihnen; aber der Schnittpunkt (das System) umfasst nur diejenigen Elemente, die gleichzeitig sowohl in der ersten als auch in der zweiten Menge vorhanden sind. Daher ist der Schnittpunkt der Mengen niemals größer als die Quellmengen.

Also wurde es klarer? Das ist großartig. Kommen wir zum Üben.

Aufgabe. Lösen Sie die Ungleichung:

\[\left| 3x+1 \right| \gt 5-4x\]

Lösung. Wir gehen nach dem Schema vor:

\[\left| 3x+1 \right| \gt 5-4x\Rightarrow \left[ \begin(align) & 3x+1 \gt 5-4x \\ & 3x+1 \lt -\left(5-4x \right) \\\end(align) \ Rechts.\]

Wir lösen jede Ungleichheit in der Grundgesamtheit:

\[\left[ \begin(align) & 3x+4x \gt 5-1 \\ & 3x-4x \lt -5-1 \\ \end(align) \right.\]

\[\left[ \begin(align) & 7x \gt 4 \\ & -x \lt -6 \\ \end(align) \right.\]

\[\left[ \begin(align) & x \gt 4/7\ \\ & x \gt 6 \\ \end(align) \right.\]

Wir markieren jede resultierende Menge auf dem Zahlenstrahl und kombinieren sie dann:

Vereinigung von Mengen

Es ist ziemlich offensichtlich, dass die Antwort $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$ sein wird

Antwort: $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

Aufgabe. Lösen Sie die Ungleichung:

\[\left| ((x)^(2))+2x-3 \right| \gt x\]

Lösung. Und was? Nichts – alles ist gleich. Wir gehen von einer Ungleichung mit einem Modul zu einer Menge von zwei Ungleichungen über:

\[\left| ((x)^(2))+2x-3 \right| \gt x\Rightarrow \left[ \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x \\ & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x \\\end(align) \right.\]

Wir lösen jede Ungleichheit. Leider werden die Wurzeln dort nicht sehr gut sein:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x; \\ & ((x)^(2))+x-3 \gt 0; \\&D=1+12=13; \\ & x=\frac(-1\pm \sqrt(13))(2). \\\end(align)\]

Die zweite Ungleichung ist auch etwas wild:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x; \\ & ((x)^(2))+3x-3 \lt 0; \\&D=9+12=21; \\ & x=\frac(-3\pm \sqrt(21))(2). \\\end(align)\]

Jetzt müssen Sie diese Zahlen auf zwei Achsen markieren – einer Achse für jede Ungleichung. Allerdings müssen Sie die Punkte in der richtigen Reihenfolge markieren: Je größer die Zahl, desto weiter bewegt sich der Punkt nach rechts.

Und hier erwartet uns ein Setup. Wenn mit den Zahlen $\frac(-3-\sqrt(21))(2) \lt \frac(-1-\sqrt(13))(2)$ (den Termen im Zähler des ersten) alles klar ist Bruch sind kleiner als die Terme im Zähler der Sekunde, also ist auch die Summe kleiner), mit den Zahlen $\frac(-3-\sqrt(13))(2) \lt \frac(-1+\sqrt (21))(2)$ wird es auch keine Schwierigkeiten geben (positive Zahl offensichtlich negativer), dann ist beim letzten Paar nicht alles so klar. Was ist größer: $\frac(-3+\sqrt(21))(2)$ oder $\frac(-1+\sqrt(13))(2)$? Die Platzierung der Punkte auf den Zahlengeraden und tatsächlich die Antwort hängen von der Antwort auf diese Frage ab.

Vergleichen wir also:

\[\begin(matrix) \frac(-1+\sqrt(13))(2)\vee \frac(-3+\sqrt(21))(2) \\ -1+\sqrt(13)\ vee -3+\sqrt(21) \\ 2+\sqrt(13)\vee \sqrt(21) \\\end(matrix)\]

Wir haben die Wurzel isoliert und auf beiden Seiten der Ungleichung nichtnegative Zahlen erhalten, sodass wir das Recht haben, beide Seiten zu quadrieren:

\[\begin(matrix) ((\left(2+\sqrt(13) \right))^(2))\vee ((\left(\sqrt(21) \right))^(2)) \ \ 4+4\sqrt(13)+13\vee 21 \\ 4\sqrt(13)\vee 3 \\\end(matrix)\]

Ich denke, es ist ein Kinderspiel, dass $4\sqrt(13) \gt 3$, also $\frac(-1+\sqrt(13))(2) \gt \frac(-3+\sqrt(21)) ( 2)$, die Endpunkte auf den Achsen werden wie folgt platziert:

Ein Fall von hässlichen Wurzeln

Ich möchte Sie daran erinnern, dass wir eine Menge lösen, sodass die Antwort eine Vereinigung und kein Schnittpunkt schattierter Mengen sein wird.

Antwort: $x\in \left(-\infty ;\frac(-3+\sqrt(21))(2) \right)\bigcup \left(\frac(-1+\sqrt(13))(2 );+\infty \right)$

Wie Sie sehen, eignet sich unser Schema sowohl für einfache als auch für sehr schwierige Probleme hervorragend. Der einzige „Schwachpunkt“ dieses Ansatzes besteht darin, dass Sie irrationale Zahlen richtig vergleichen müssen (und glauben Sie mir: Das sind nicht nur Wurzeln). Aber eine separate (und sehr ernste) Lektion wird den Vergleichsfragen gewidmet sein. Und wir machen weiter.

3. Ungleichungen mit nichtnegativen „Zahlen“

Jetzt kommen wir zum interessantesten Teil. Dies sind Ungleichungen der Form:

\[\left| f\right| \gt\left| g\richtig|\]

Im Allgemeinen ist der Algorithmus, über den wir jetzt sprechen werden, nur für das Modul korrekt. Es funktioniert bei allen Ungleichungen, bei denen es links und rechts garantiert nichtnegative Ausdrücke gibt:

Was tun mit diesen Aufgaben? Denk dran:

Bei Ungleichungen mit nichtnegativen „Zahlen“ können beide Seiten auf jede natürliche Potenz angehoben werden. Es wird keine weiteren Einschränkungen geben.

Zunächst interessiert uns die Quadrierung – sie brennt Module und Wurzeln:

\[\begin(align) & ((\left(\left| f \right| \right))^(2))=((f)^(2)); \\ & ((\left(\sqrt(f) \right))^(2))=f. \\\end(align)\]

Verwechseln Sie dies nur nicht mit dem Ziehen der Quadratwurzel:

\[\sqrt(((f)^(2)))=\left| f \right|\ne f\]

Es wurden unzählige Fehler gemacht, wenn ein Student vergaß, ein Modul zu installieren! Aber das ist eine ganz andere Geschichte (das sind sozusagen irrationale Gleichungen), deshalb werden wir jetzt nicht darauf eingehen. Lassen Sie uns ein paar Probleme besser lösen:

Aufgabe. Lösen Sie die Ungleichung:

\[\left| x+2 \right|\ge \left| 1-2x \right|\]

Lösung. Lassen Sie uns sofort zwei Dinge bemerken:

1. Dies ist keine strikte Ungleichung. Punkte auf dem Zahlenstrahl werden punktiert.
2. Beide Seiten der Ungleichung sind offensichtlich nicht negativ (dies ist eine Eigenschaft des Moduls: $\left| f\left(x \right) \right|\ge 0$).

Daher können wir beide Seiten der Ungleichung quadrieren, um den Modul loszuwerden und das Problem mit der üblichen Intervallmethode zu lösen:

\[\begin(align) & ((\left(\left| x+2 \right| \right))^(2))\ge ((\left(\left| 1-2x \right| \right) )^(2)); \\ & ((\left(x+2 \right))^(2))\ge ((\left(2x-1 \right))^(2)). \\\end(align)\]

Beim letzten Schritt habe ich ein wenig geschummelt: Ich habe die Reihenfolge der Terme geändert und dabei die Gleichmäßigkeit des Moduls ausgenutzt (tatsächlich habe ich den Ausdruck $1-2x$ mit −1 multipliziert).

\[\begin(align) & ((\left(2x-1 \right))^(2))-((\left(x+2 \right))^(2))\le 0; \\ & \left(\left(2x-1 \right)-\left(x+2 \right) \right)\cdot \left(\left(2x-1 \right)+\left(x+2 \ right)\right)\le 0; \\ & \left(2x-1-x-2 \right)\cdot \left(2x-1+x+2 \right)\le 0; \\ & \left(x-3 \right)\cdot \left(3x+1 \right)\le 0. \\\end(align)\]

Wir lösen mit der Intervallmethode. Kommen wir von der Ungleichung zur Gleichung:

\[\begin(align) & \left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-\frac(1)(3). \\\end(align)\]

Wir markieren die gefundenen Wurzeln auf dem Zahlenstrahl. Noch einmal: Alle Punkte sind schattiert, weil die ursprüngliche Ungleichung nicht streng ist!

Das Modulzeichen loswerden

Für besonders Hartnäckige möchte ich Sie daran erinnern: Wir nehmen die Vorzeichen der letzten Ungleichung, die wir aufgeschrieben haben, bevor wir mit der Gleichung fortfahren. Und wir übermalen die benötigten Flächen in der gleichen Ungleichung. In unserem Fall ist es $\left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)\le 0$.

OK, jetzt ist alles vorbei. Das Problem ist behoben.

Antwort: $x\in \left[ -\frac(1)(3);3 \right]$.

Aufgabe. Lösen Sie die Ungleichung:

\[\left| ((x)^(2))+x+1 \right|\le \left| ((x)^(2))+3x+4 \right|\]

Lösung. Wir machen alles gleich. Ich werde nichts kommentieren – schauen Sie sich einfach die Abfolge der Aktionen an.

Quadrieren Sie es:

\[\begin(align) & ((\left(\left| ((x)^(2))+x+1 \right| \right))^(2))\le ((\left(\left | ((x)^(2))+3x+4 \right| \right))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \right))^(2))\le ((\left(((x)^(2))+3x+4 \right))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \right))^(2))-((\left(((x)^(2))+3x+4 \ rechts))^(2))\le 0; \\ & \left(((x)^(2))+x+1-((x)^(2))-3x-4 \right)\times \\ & \times \left(((x) ^(2))+x+1+((x)^(2))+3x+4 \right)\le 0; \\ & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)\le 0. \\\end(align)\]

Intervallmethode:

\[\begin(align) & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)=0 \\ & -2x-3=0\ Rechtspfeil x=-1,5; \\ & 2((x)^(2))+4x+5=0\Rightarrow D=16-40 \lt 0\Rightarrow \varnothing . \\\end(align)\]

Auf der Zahlengeraden gibt es nur eine Wurzel:

Die Antwort ist ein ganzes Intervall

Antwort: $x\in \left[ -1,5;+\infty \right)$.

Eine kleine Anmerkung zur letzten Aufgabe. Wie einer meiner Studenten treffend feststellte, sind beide submodularen Ausdrücke in dieser Ungleichung offensichtlich positiv, sodass das Modulzeichen ohne Gesundheitsschäden weggelassen werden kann.

Aber das ist eine ganz andere Denkebene und ein anderer Ansatz – man kann sie bedingt als Methode der Konsequenzen bezeichnen. Darüber - in einer separaten Lektion. Kommen wir nun zum letzten Teil der heutigen Lektion und schauen uns einen universellen Algorithmus an, der immer funktioniert. Auch wenn alle bisherigen Ansätze machtlos waren. :)

4. Methode zur Aufzählung von Optionen

Was ist, wenn all diese Techniken nicht helfen? Wenn die Ungleichung nicht auf nichtnegative Enden reduziert werden kann, wenn es unmöglich ist, das Modul zu isolieren, wenn im Allgemeinen Schmerz, Traurigkeit, Melancholie vorhanden sind?

Dann kommt die „schwere Artillerie“ aller Mathematik auf den Plan – die Brute-Force-Methode. In Bezug auf Ungleichungen mit Modul sieht es so aus:

1. Schreiben Sie alle submodularen Ausdrücke aus und setzen Sie sie gleich Null;
2. Lösen Sie die resultierenden Gleichungen und markieren Sie die Wurzeln, die auf einer Zahlengeraden gefunden wurden.
3. Die Gerade wird in mehrere Abschnitte unterteilt, innerhalb derer jedes Modul ein festes Vorzeichen hat und somit eindeutig erkennbar ist;
4. Lösen Sie die Ungleichung für jeden dieser Abschnitte (aus Gründen der Zuverlässigkeit können Sie die in Schritt 2 erhaltenen Wurzel-Grenzen separat betrachten). Kombinieren Sie die Ergebnisse – das wird die Antwort sein. :)

Und wie? Schwach? Leicht! Nur für eine lange Zeit. Schauen wir uns das in der Praxis an:

Aufgabe. Lösen Sie die Ungleichung:

\[\left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-\frac(3)(2)\]

Lösung. Dieser Mist läuft nicht auf Ungleichungen wie $\left| hinaus f\right| \lt g$, $\left| f\right| \gt g$ oder $\left| f\right| \lt \left| g \right|$, also handeln wir voraus.

Wir schreiben submodulare Ausdrücke auf, setzen sie mit Null gleich und finden die Wurzeln:

\[\begin(align) & x+2=0\Rightarrow x=-2; \\ & x-1=0\Rightarrow x=1. \\\end(align)\]

Insgesamt haben wir zwei Wurzeln, die den Zahlenstrahl in drei Abschnitte unterteilen, innerhalb derer sich jedes Modul eindeutig offenbart:

Partitionierung des Zahlenstrahls durch Nullen submodularer Funktionen

Schauen wir uns jeden Abschnitt einzeln an.

1. Sei $x \lt -2$. Dann sind beide submodularen Ausdrücke negativ und die ursprüngliche Ungleichung wird wie folgt umgeschrieben:

\[\begin(align) & -\left(x+2 \right) \lt -\left(x-1 \right)+x-1.5 \\ & -x-2 \lt -x+1+ x- 1.5 \\ & x \gt 1.5 \\\end(align)\]

Wir haben eine ziemlich einfache Einschränkung. Lassen Sie es uns mit der ursprünglichen Annahme vergleichen, dass $x \lt -2$:

\[\left\( \begin(align) & x \lt -2 \\ & x \gt 1.5 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]

Offensichtlich kann die Variable $x$ nicht gleichzeitig kleiner als −2 und größer als 1,5 sein. In diesem Bereich gibt es keine Lösungen.

1.1. Betrachten wir separat den Grenzfall: $x=-2$. Setzen wir diese Zahl einfach in die ursprüngliche Ungleichung ein und prüfen: Ist sie wahr?

\[\begin(align) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1.5 \right|)_(x=-2) ) \ \ & 0 \lt \left| -3\right|-2-1,5; \\ & 0 \lt 3-3,5; \\ & 0 \lt -0.5\Rightarrow \varnothing . \\\end(align)\]

Es ist offensichtlich, dass die Berechnungskette zu einer falschen Ungleichung geführt hat. Daher ist auch die ursprüngliche Ungleichung falsch und $x=-2$ ist nicht in der Antwort enthalten.

2. Sei nun $-2 \lt x \lt 1$. Das linke Modul wird bereits mit einem „Plus“ geöffnet, das rechte jedoch weiterhin mit einem „Minus“. Wir haben:

\[\begin(align) & x+2 \lt -\left(x-1 \right)+x-1.5 \\ & x+2 \lt -x+1+x-1.5 \\& x \lt - 2.5 \\\end(align)\]

Auch hier kreuzen wir uns mit der ursprünglichen Anforderung:

\[\left\( \begin(align) & x \lt -2.5 \\ & -2 \lt x \lt 1 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]

Und wiederum ist die Lösungsmenge leer, da es keine Zahlen gibt, die sowohl kleiner als −2,5 als auch größer als −2 sind.

2.1. Und wieder ein Sonderfall: $x=1$. Wir setzen in die ursprüngliche Ungleichung ein:

\[\begin(align) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1.5 \right|)_(x=1)) \\ & \left| 3\richtig| \lt \left| 0\right|+1-1,5; \\ & 3 \lt -0,5; \\ & 3 \lt -0.5\Rightarrow \varnothing . \\\end(align)\]

Ähnlich wie beim vorherigen „Sonderfall“ ist die Zahl $x=1$ offensichtlich nicht in der Antwort enthalten.

3. Der letzte Teil der Zeile: $x \gt 1$. Hier werden alle Module mit einem Pluszeichen geöffnet:

\[\begin(align) & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x \gt 4.5 \\ \end(align)\ ]

Und wieder schneiden wir die gefundene Menge mit der ursprünglichen Einschränkung:

\[\left\( \begin(align) & x \gt 4.5 \\ & x \gt 1 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \left(4.5;+\infty \right)\ ]

Na endlich! Wir haben ein Intervall gefunden, das die Antwort sein wird.

Antwort: $x\in \left(4,5;+\infty \right)$

Abschließend noch eine Bemerkung, die Sie möglicherweise vor dummen Fehlern bei der Lösung realer Probleme bewahrt:

Lösungen für Ungleichungen mit Modulen stellen normalerweise kontinuierliche Mengen auf der Zahlengeraden dar – Intervalle und Segmente. Isolierte Punkte kommen deutlich seltener vor. Und noch seltener kommt es vor, dass die Grenze der Lösung (das Ende des Segments) mit der Grenze des betrachteten Bereichs zusammenfällt.

Wenn also Grenzen (die gleichen „Sonderfälle“) nicht in die Antwort einbezogen werden, werden die Bereiche links und rechts dieser Grenzen mit ziemlicher Sicherheit nicht in die Antwort einbezogen. Und umgekehrt: Die Grenze wurde in die Antwort eingegeben, was bedeutet, dass einige Bereiche um sie herum auch Antworten sein werden.

Bedenken Sie dies bei der Überprüfung Ihrer Lösungen.

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