Σπίτι › Φως και γυαλί › Παράγωγος του γινομένου των συναρτήσεων σε ένα δεδομένο σημείο. Να βρείτε την παράγωγο: αλγόριθμος και παραδείγματα λύσεων

Παράγωγος του γινομένου των συναρτήσεων σε ένα δεδομένο σημείο. Να βρείτε την παράγωγο: αλγόριθμος και παραδείγματα λύσεων

Σε αυτό το μάθημα, συνεχίζουμε να μελετάμε τις παραγώγους των συναρτήσεων και να προχωρήσουμε σε ένα πιο προχωρημένο θέμα, δηλαδή τις παράγωγους προϊόντων και πηλίκων. Εάν παρακολουθήσατε το προηγούμενο μάθημα, πιθανότατα συνειδητοποιήσατε ότι εξετάσαμε μόνο τις απλούστερες κατασκευές, δηλαδή την παράγωγο μιας συνάρτησης ισχύος, το άθροισμα και τη διαφορά. Ειδικότερα, μάθαμε ότι η παράγωγος ενός αθροίσματος είναι ίση με το άθροισμά τους και η παράγωγος μιας διαφοράς είναι ίση, αντίστοιχα, με τη διαφορά τους. Δυστυχώς, στην περίπτωση των παραγώγων πηλίκου και προϊόντος, οι τύποι θα είναι πολύ πιο περίπλοκοι. Θα ξεκινήσουμε με τον τύπο για την παράγωγο ενός γινομένου συναρτήσεων.

Παράγωγοι τριγωνομετρικών συναρτήσεων

Ξεκινώντας, επιτρέψτε μου να κάνω μια μικρή λυρική παρέκβαση. Το γεγονός είναι ότι εκτός από την τυπική συνάρτηση ισχύος - $y=((x)^(n))$, σε αυτό το μάθημα θα συναντήσουμε και άλλες συναρτήσεις, δηλαδή, $y=\sin x$, καθώς και $ y=\ cos x$ και άλλη τριγωνομετρία - $y=tgx$ και, φυσικά, $y=ctgx$.

Αν όλοι γνωρίζουμε πολύ καλά την παράγωγο μιας συνάρτησης ισχύος, δηλαδή $\left(((x)^(n)) \right)=n\cdot ((x)^(n-1))$, τότε όσο για τριγωνομετρικές συναρτήσεις , πρέπει να αναφέρονται χωριστά. Ας το γράψουμε:

\[\begin(align)& ((\left(\sinx \right))^(\prime ))=\cosx \\& ((\left(\cos x \right))^(\prime ))= -\sin x \\& ((\left(tgx \right))^(\prime ))=\frac(1)(((\cos )^(2))x) \\& ((\left( ctgx \right))^(\prime ))=\frac(1)(((\cos )^(2))x) \\\end(align)\]

Αλλά ξέρετε πολύ καλά αυτούς τους τύπους, ας προχωρήσουμε.

Τι είναι το παράγωγο ενός προϊόντος;

Πρώτον, το πιο σημαντικό πράγμα: εάν μια συνάρτηση είναι το γινόμενο δύο άλλων συναρτήσεων, για παράδειγμα, $f\cdot g$, τότε η παράγωγος αυτής της κατασκευής θα είναι ίση με την ακόλουθη έκφραση:

Όπως μπορείτε να δείτε, αυτός ο τύπος είναι σημαντικά διαφορετικός και πιο περίπλοκος από τους τύπους που εξετάσαμε νωρίτερα. Για παράδειγμα, η παράγωγος ενός αθροίσματος υπολογίζεται με στοιχειώδη τρόπο - $((\left(f+g \right))^(\prime ))=(f)"+(g)"$, ή η παράγωγος του μια διαφορά, η οποία υπολογίζεται επίσης με στοιχειώδη τρόπο - $(( \left(f-g \right))^(\prime ))=(f)"-(g)"$.

Ας προσπαθήσουμε να εφαρμόσουμε τον πρώτο τύπο για να υπολογίσουμε τις παραγώγους των δύο συναρτήσεων που μας δίνονται στο πρόβλημα. Ας ξεκινήσουμε με το πρώτο παράδειγμα:

Προφανώς, η ακόλουθη κατασκευή λειτουργεί ως γινόμενο, ή πιο συγκεκριμένα, ως πολλαπλασιαστής: $((x)^(3))$, μπορούμε να το θεωρήσουμε ως $f$ και $\left(x-5 \right) $ μπορούμε να θεωρήσουμε ως $g$. Τότε το προϊόν τους θα είναι ακριβώς το γινόμενο δύο συναρτήσεων. Εμείς αποφασίζουμε:

\[\begin(align)& ((\left(((x)^(3))\cdot \left(x-5 \right) \right))^(\prime ))=((\left(( (x)^(3)) \δεξιά))^(\prime ))\cdot \left(x-5 \right)+((x)^(3))\cdot ((\left(x-5 \ δεξιά))^(\prime ))= \\& =3((x)^(2))\cdot \left(x-5 \right)+((x)^(3))\cdot 1 \\ \end(στοίχιση)\].

Τώρα ας ρίξουμε μια πιο προσεκτική ματιά σε κάθε έναν από τους όρους μας. Βλέπουμε ότι τόσο ο πρώτος όσο και ο δεύτερος όρος περιέχουν τον βαθμό $x$: στην πρώτη περίπτωση είναι $((x)^(2))$, και στη δεύτερη είναι $((x)^(3)) $. Ας βγάλουμε τον μικρότερο βαθμό από αγκύλες, αφήνοντας μέσα σε αγκύλες:

\[\begin(align)& 3((x)^(2))\cdot \left(x-5 \right)+((x)^(3))\cdot 1=((x)^(2 ))\left(3\cdot 1\left(x-5 \right)+x \right)= \\& =((x)^(2))\left(3x-15+x \right)=( (x)^(2))(4x-15)\\\end(στοίχιση)\]

Αυτό ήταν, βρήκαμε την απάντηση.

Ας επιστρέψουμε στα προβλήματά μας και ας προσπαθήσουμε να λύσουμε:

Λοιπόν, ας ξαναγράψουμε:

Και πάλι, σημειώνουμε ότι μιλάμε για το γινόμενο δύο συναρτήσεων: $x$, που μπορεί να συμβολιστεί με $f$, και $\left(\sqrt(x)-1 \right)$, που μπορεί συμβολίζεται με $g$.

Έτσι, έχουμε πάλι μπροστά μας το γινόμενο δύο συναρτήσεων. Για να βρούμε την παράγωγο της συνάρτησης $f\left(x \right)$ θα χρησιμοποιήσουμε ξανά τον τύπο μας. Παίρνουμε:

\[\begin(align)& (f)"=\left(x \right)"\cdot \left(\sqrt(x)-1 \right)+x\cdot ((\left(\sqrt(x) -1 \δεξιά))^(\prime ))=1\cdot \left(\sqrt(x)-1 \right)+x\frac(1)(3\sqrt(x))= \\& =\ sqrt(x)-1+\sqrt(x)\cdot \frac(1)(3)=\frac(4)(3)\sqrt(x)-1 \\\end(στοίχιση)\]

Η απάντηση βρέθηκε.

Γιατί παράγωγα παραγόντων;

Μόλις χρησιμοποιήσαμε αρκετά πολύ σημαντικά μαθηματικά γεγονότα, τα οποία από μόνα τους δεν σχετίζονται με παράγωγα, αλλά εν αγνοία τους, όλη η περαιτέρω μελέτη αυτού του θέματος απλά δεν έχει νόημα.

Πρώτον, λύνοντας το πρώτο πρόβλημα και έχοντας ήδη απαλλαγεί από όλα τα σημάδια των παραγώγων, για κάποιο λόγο αρχίσαμε να συνυπολογίζουμε αυτήν την έκφραση.

Δεύτερον, κατά την επίλυση του παρακάτω προβλήματος, περάσαμε πολλές φορές από τη ρίζα στη δύναμη με ορθολογικό εκθέτη και πίσω, ενώ χρησιμοποιούσαμε τον τύπο 8-9ου βαθμού, που θα άξιζε να επαναληφθεί ξεχωριστά.

Σχετικά με την παραγοντοποίηση - γιατί χρειάζονται όλες αυτές οι πρόσθετες προσπάθειες και μετασχηματισμοί; Στην πραγματικότητα, εάν το πρόβλημα λέει απλώς "βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης", τότε αυτά τα πρόσθετα βήματα δεν απαιτούνται. Ωστόσο, σε πραγματικά προβλήματα που σας περιμένουν σε κάθε είδους εξετάσεις και τεστ, η απλή εύρεση του παραγώγου συχνά δεν αρκεί. Το γεγονός είναι ότι η παράγωγος είναι μόνο ένα εργαλείο με το οποίο μπορείτε να μάθετε, για παράδειγμα, την αύξηση ή τη μείωση μιας συνάρτησης, και γι 'αυτό πρέπει να λύσετε την εξίσωση και να την παραμετροποιήσετε. Και εδώ είναι που αυτή η τεχνική θα είναι πολύ κατάλληλη. Και γενικά, είναι πολύ πιο βολικό και ευχάριστο να δουλεύεις με μια συνάρτηση που θα παραγοντοποιηθεί στο μέλλον, εάν απαιτούνται μετασχηματισμοί. Επομένως, κανόνας Νο. 1: εάν το παράγωγο μπορεί να παραγοντοποιηθεί, αυτό πρέπει να κάνετε. Και αμέσως ο κανόνας Νο. 2 (ουσιαστικά, πρόκειται για υλικό 8ης-9ης τάξης): αν το πρόβλημα περιέχει ρίζα n-ο βαθμό, και η ρίζα είναι σαφώς μεγαλύτερη από δύο, τότε αυτή η ρίζα μπορεί να αντικατασταθεί από έναν συνηθισμένο βαθμό με έναν ορθολογικό εκθέτη και ένα κλάσμα θα εμφανιστεί στον εκθέτη, όπου n― αυτός ακριβώς ο βαθμός ― θα είναι στον παρονομαστή αυτού του κλάσματος.

Φυσικά, αν υπάρχει κάποιος βαθμός κάτω από τη ρίζα (στην περίπτωσή μας αυτός είναι ο βαθμός κ), τότε δεν πάει πουθενά, αλλά απλώς καταλήγει στον αριθμητή αυτού του βαθμού.

Τώρα που τα καταλάβατε όλα αυτά, ας επιστρέψουμε στις παράγωγες του προϊόντος και ας υπολογίσουμε μερικές ακόμη εξισώσεις.

Αλλά πριν προχωρήσουμε απευθείας στους υπολογισμούς, θα ήθελα να σας υπενθυμίσω τα ακόλουθα μοτίβα:

\[\begin(align)& ((\left(\sin x \right))^(\prime ))=\cos x \\& ((\left(\cos x \right))^(\prime ) )=-\sin x \\& \left(tgx \right)"=\frac(1)(((\cos )^(2))x) \\& ((\left(ctgx \right))^ (\prime ))=-\frac(1)(((\sin )^(2))x) \\\end(align)\]

Ας εξετάσουμε το πρώτο παράδειγμα:

Έχουμε πάλι ένα γινόμενο δύο συναρτήσεων: η πρώτη είναι $f$, η δεύτερη είναι $g$. Επιτρέψτε μου να σας υπενθυμίσω τον τύπο:

\[((\αριστερά(f\cdot g \right))^(\prime ))=(f)"\cdot g+f\cdot (g)"\]

Ας αποφασίσουμε:

\[\begin(align)& (y)"=((\left(((x)^(4)) \right))^(\prime ))\cdot \sin x+((x)^(4) )\cdot ((\left(\sin x \right))^(\prime ))= \\& =3((x)^(3))\cdot \sin x+((x)^(4)) \cdot \cos x=((x)^(3))\αριστερά(3\sin x+x\cdot \cos x \δεξιά) \\\end(στοίχιση)\]

Ας προχωρήσουμε στη δεύτερη συνάρτηση:

Και πάλι, το $\left(3x-2 \right)$ είναι συνάρτηση του $f$, το $\cos x$ είναι μια συνάρτηση του $g$. Συνολικά, η παράγωγος του γινομένου δύο συναρτήσεων θα είναι ίση με:

\[\begin(align)& (y)"=((\left(3x-2 \right))^(\prime ))\cdot \cos x+\left(3x-2 \right)\cdot ((\ αριστερά(\cos x \right))^(\prime ))= \\& =3\cdot \cos x+\left(3x-2 \right)\cdot \left(-\sin x \right)=3\ cos x-\αριστερά(3x-2 \δεξιά)\cdot \sin x \\\end(στοίχιση)\]

\[(y)"=((\left(((x)^(2))\cdot \cos x \right))^(\prime ))+((\left(4x\sin x \right)) ^(\prime ))\]

Ας το γράψουμε ξεχωριστά:

\[\begin(align)& ((\left(((x)^(2))\cdot \cos x \right))^(\prime ))=\left(((x)^(2)) \right)"\cos x+((x)^(2))\cdot ((\left(\cos x \right))^(\prime ))= \\& =2x\cdot \cos x+((x )^(2))\cdot \left(-\sin x \right)=2x\cdot \cos x-((x)^(2))\cdot \sin x \\\end (στοίχιση)\]

Δεν παραγοντοποιούμε αυτήν την έκφραση, γιατί αυτή δεν είναι ακόμα η τελική απάντηση. Τώρα πρέπει να λύσουμε το δεύτερο μέρος. Ας το γράψουμε:

\[\begin(align)& ((\left(4x\cdot \sin x \right))^(\prime ))=((\left(4x \right))^(\prime ))\cdot \sin x+4x\cdot ((\αριστερά(\sin x \δεξιά))^(\prime ))= \\& =4\cdot \sin x+4x\cdot \cos x \\\end(στοίχιση)\]

Τώρα ας επιστρέψουμε στην αρχική μας εργασία και ας τα βάλουμε όλα μαζί σε μια ενιαία δομή:

\[\begin(align)& (y)"=2x\cdot \cos x-((x)^(2))\cdot \sin x+4\sin x+4x\cos x=6x\cdot \cos x= \\& =6x\cdot \cos x-((x)^(2))\cdot \sin x+4\sin x \\\end (στοίχιση)\]

Αυτό ήταν, αυτή είναι η τελική απάντηση.

Ας προχωρήσουμε στο τελευταίο παράδειγμα - θα είναι το πιο περίπλοκο και ογκώδες από πλευράς υπολογισμών. Λοιπόν, ένα παράδειγμα:

\[(y)"=((\left(((x)^(2))\cdot tgx \right))^(\prime ))-((\left(2xctgx \right))^(\prime ) )\]

Μετράμε κάθε μέρος ξεχωριστά:

\[\begin(align)& ((\left(((x)^(2))\cdot tgx \right))^(\prime ))=((\left((x)^(2)) \δεξιά))^(\prime ))\cdot tgx+((x)^(2))\cdot ((\left(tgx \right))^(\prime ))= \\& =2x\cdot tgx+( (x)^(2))\cdot \frac(1)(((\cos )^(2))x) \\\end(στοίχιση)\]

\[\begin(align)& ((\left(2x\cdot ctgx \right))^(\prime ))=((\left(2x \right))^(\prime ))\cdot ctgx+2x\ cdot ((\left(ctgx \right))^(\prime ))= \\& =2\cdot ctgx+2x\left(-\frac(1)((\sin )^(2))x) \right)=2\cdot ctgx-\frac(2x)(((\sin )^(2))x) \\\end(align)\]

Επιστρέφοντας στην αρχική συνάρτηση, ας υπολογίσουμε την παράγωγό της ως σύνολο:

\[\begin(align)& (y)"=2x\cdot tgx+\frac((x)^(2)))(((\cos )^(2))x)-\left(2ctgx-\ frac(2x)(((\sin )^(2))x) \right)= \\& =2x\cdot tgx+\frac(((x)^(2)))(((\cos )^( 2))x)-2ctgx+\frac(2x)(((\sin )^(2))x) \\\end(στοίχιση)\]

Αυτό, στην πραγματικότητα, είναι το μόνο που ήθελα να σας πω για τα παράγωγα έργα. Όπως μπορείτε να δείτε, το κύριο πρόβλημα με τον τύπο δεν είναι στην απομνημόνευσή του, αλλά στο γεγονός ότι περιλαμβάνει έναν αρκετά μεγάλο αριθμό υπολογισμών. Αλλά αυτό είναι εντάξει, γιατί τώρα προχωράμε στην παράγωγο πηλίκου, όπου θα πρέπει να δουλέψουμε πολύ σκληρά.

Ποια είναι η παράγωγος ενός πηλίκου;

Άρα, ο τύπος για την παράγωγο του πηλίκου. Αυτή είναι ίσως η πιο σύνθετη φόρμουλα στο σχολικό μάθημα για τα παράγωγα. Ας υποθέσουμε ότι έχουμε μια συνάρτηση της μορφής $\frac(f)(g)$, όπου οι $f$ και $g$ είναι επίσης συναρτήσεις από τις οποίες μπορούμε επίσης να αφαιρέσουμε τον πρώτο. Στη συνέχεια θα υπολογιστεί σύμφωνα με τον ακόλουθο τύπο:

Ο αριθμητής μας θυμίζει κάπως τον τύπο για την παράγωγο ενός προϊόντος, αλλά υπάρχει ένα σύμβολο μείον μεταξύ των όρων και το τετράγωνο του αρχικού παρονομαστή έχει επίσης προστεθεί στον παρονομαστή. Ας δούμε πώς λειτουργεί αυτό στην πράξη:

Ας προσπαθήσουμε να λύσουμε:

\[(f)"=((\left(\frac(((x)^(2))-1)(x+2) \right))^(\prime ))=\frac(((\αριστερά (((x)^(2))-1 \right))^(\prime ))\cdot \left(x+2 \right)-\left(((x)^(2))-1 \right )\cdot ((\αριστερά(x+2 \δεξιά))^(\prime )))((\αριστερά(x+2 \δεξιά))^(2)))\]

Προτείνω να γράψετε κάθε μέρος ξεχωριστά και να σημειώσετε:

\[\begin(align)& ((\left(((x)^(2))-1 \right))^(\prime ))=((\left((x)^(2)) \ δεξιά))^(\prime ))-(1)"=2x \\& ((\αριστερά(x+2 \δεξιά))^(\prime ))=(x)"+(2)"=1 \ \\end(στοίχιση)\]

Ας ξαναγράψουμε την έκφρασή μας:

\[\begin(align)& (f)"=\frac(2x\cdot \left(x+2 \right)-\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 1) (((\αριστερά(x+2 \δεξιά))^(2)))= \\& =\frac(2((x)^(2))+4x-((x)^(2))+ 1)(((\αριστερά(x+2 \δεξιά))^(2))=\frac(((x)^(2))+4x+1)(((\αριστερά(x+2 \δεξιά ))^(2))) \\\end(στοίχιση)\]

Βρήκαμε την απάντηση. Ας προχωρήσουμε στη δεύτερη συνάρτηση:

Κρίνοντας από το γεγονός ότι ο αριθμητής του είναι απλώς ένας, οι υπολογισμοί εδώ θα είναι λίγο πιο απλοί. Ας γράψουμε λοιπόν:

\[(y)"=((\left(\frac(1)(((x)^(2))+4) \right))^(\prime ))=\frac((1)"\cdot \left(((x)^(2))+4 \right)-1\cdot ((\left(((x)^(2))+4 \right))^(\prime )))(( (\αριστερά(((x)^(2))+4 \δεξιά))^(2)))\]

Ας υπολογίσουμε κάθε μέρος του παραδείγματος ξεχωριστά:

\[\begin(align)& (1)"=0 \\& ((\left(((x)^(2))+4 \right))^(\prime ))=((\left(( (x)^(2)) \δεξιά))^(\prime ))+(4)"=2x \\\end(align)\]

Ας ξαναγράψουμε την έκφρασή μας:

\[(y)"=\frac(0\cdot \left(((x)^(2))+4 \right)-1\cdot 2x)(((\left(((x)^(2) )+4 \δεξιά))^(2)))=-\frac(2x)((\αριστερά(((x)^(2))+4 \δεξιά))^(2)))\]

Βρήκαμε την απάντηση. Όπως ήταν αναμενόμενο, το ποσό του υπολογισμού αποδείχθηκε σημαντικά μικρότερο από ό,τι για την πρώτη συνάρτηση.

Ποια είναι η διαφορά μεταξύ των ονομασιών;

Οι προσεκτικοί μαθητές πιθανότατα έχουν ήδη μια ερώτηση: γιατί σε ορισμένες περιπτώσεις συμβολίζουμε τη συνάρτηση ως $f\left(x \right)$ και σε άλλες περιπτώσεις γράφουμε απλώς $y$; Στην πραγματικότητα, από την άποψη των μαθηματικών, δεν υπάρχει καμία απολύτως διαφορά - έχετε το δικαίωμα να χρησιμοποιήσετε τόσο τον πρώτο προσδιορισμό όσο και τον δεύτερο, και δεν θα υπάρχουν κυρώσεις σε εξετάσεις ή τεστ. Για όσους εξακολουθούν να ενδιαφέρονται, θα εξηγήσω γιατί οι συγγραφείς σχολικών βιβλίων και προβλημάτων σε ορισμένες περιπτώσεις γράφουν $f\left(x \right)$ και σε άλλες (πολύ συχνότερα) - απλά $y$. Το γεγονός είναι ότι γράφοντας μια συνάρτηση με τη μορφή \, υπονοούμε σιωπηρά σε όσους διαβάζουν τους υπολογισμούς μας ότι μιλάμε συγκεκριμένα για την αλγεβρική ερμηνεία της συναρτησιακής εξάρτησης. Δηλαδή, υπάρχει μια συγκεκριμένη μεταβλητή $x$, θεωρούμε την εξάρτηση από αυτή τη μεταβλητή και τη συμβολίζουμε $f\left(x \right)$. Ταυτόχρονα, έχοντας δει έναν τέτοιο προσδιορισμό, αυτός που διαβάζει τους υπολογισμούς σας, για παράδειγμα, ο επιθεωρητής, θα περιμένει υποσυνείδητα ότι στο μέλλον τον περιμένουν μόνο αλγεβρικοί μετασχηματισμοί - χωρίς γραφήματα και χωρίς γεωμετρία.

Από την άλλη, χρησιμοποιώντας συμβολισμούς της μορφής \, δηλ. δηλώνοντας μια μεταβλητή με ένα μόνο γράμμα, ξεκαθαρίζουμε αμέσως ότι στο μέλλον μας ενδιαφέρει η γεωμετρική ερμηνεία της συνάρτησης, δηλαδή μας ενδιαφέρει, πρώτα όλα, στο γράφημα του. Αντίστοιχα, όταν βρίσκεται αντιμέτωπος με μια καταγραφή της φόρμας, ο αναγνώστης έχει το δικαίωμα να αναμένει γραφικούς υπολογισμούς, δηλαδή γραφήματα, κατασκευές κ.λπ., αλλά, σε καμία περίπτωση, αναλυτικούς μετασχηματισμούς.

Θα ήθελα επίσης να επιστήσω την προσοχή σας σε ένα χαρακτηριστικό του σχεδιασμού των εργασιών που εξετάζουμε σήμερα. Πολλοί μαθητές πιστεύουν ότι δίνω πολύ λεπτομερείς υπολογισμούς και πολλοί από αυτούς θα μπορούσαν να παραβλεφθούν ή απλά να λυθούν στο μυαλό τους. Ωστόσο, είναι ακριβώς ένα τόσο λεπτομερές αρχείο που θα σας επιτρέψει να απαλλαγείτε από επιθετικά λάθη και να αυξήσετε σημαντικά το ποσοστό των σωστά λυμένων προβλημάτων, για παράδειγμα, στην περίπτωση της αυτο-προετοιμασίας για τεστ ή εξετάσεις. Επομένως, εάν δεν είστε ακόμα σίγουροι για τις ικανότητές σας, εάν μόλις αρχίζετε να μελετάτε αυτό το θέμα, μην βιαστείτε - περιγράψτε κάθε βήμα λεπτομερώς, γράψτε κάθε παράγοντα, κάθε εγκεφαλικό επεισόδιο και πολύ σύντομα θα μάθετε να λύνετε καλύτερα τέτοια παραδείγματα από πολλούς δασκάλους. Ελπίζω ότι αυτό είναι ξεκάθαρο. Ας μετρήσουμε μερικά ακόμη παραδείγματα.

Αρκετές ενδιαφέρουσες εργασίες

Αυτή τη φορά, όπως βλέπουμε, υπάρχει τριγωνομετρία στις παραγώγους που υπολογίζονται. Επιτρέψτε μου λοιπόν να σας υπενθυμίσω τα εξής:

\[\begin(align)& (sinx())"=\cos x \\& ((\left(\cos x \right))^(\prime ))=-\sin x \\\end(align )\]

Φυσικά, δεν μπορούμε να κάνουμε χωρίς την παράγωγο του πηλίκου, δηλαδή:

\[((\left(\frac(f)(g) \right))^(\prime ))=\frac((f)"\cdot g-f\cdot (g)")(((g)^( 2)))\]

Ας εξετάσουμε την πρώτη συνάρτηση:

\[\begin(align)& (f)"=((\left(\frac(\sin x)(x) \right))^(\prime ))=\frac(((\left(\sin x) \δεξιά))^(\prime ))\cdot x-\sin x\cdot \left(((x)") \right))(((x)^(2)))= \\& =\frac (x\cdot \cos x-1\cdot \sin x)(((x)^(2))=\frac(x\cos x-\sin x)(((x)^(2))) \\\end(στοίχιση)\]

Βρήκαμε λοιπόν μια λύση σε αυτή την έκφραση.

Ας περάσουμε στο δεύτερο παράδειγμα:

Προφανώς, η παράγωγός της θα είναι πιο σύνθετη, έστω και μόνο επειδή η τριγωνομετρία υπάρχει και στον αριθμητή και στον παρονομαστή αυτής της συνάρτησης. Εμείς αποφασίζουμε:

\[(y)"=((\left(\frac(x\sin x)(\cos x) \right))^(\prime ))=\frac(((\left(x\sin x \right) ))^(\prime ))\cdot \cos x-x\sin x\cdot ((\left(\cos x \right))^(\prime )))((\left(\cos x \right)) ^(2)))\]

Σημειώστε ότι έχουμε ένα παράγωγο του προϊόντος. Στην περίπτωση αυτή θα ισούται με:

\[\begin(align)& ((\left(x\cdot \sin x \right))^(\prime ))=(x)"\cdot \sin x+x((\left(\sin x \ δεξιά))^(\prime ))= \\& =\sin x+x\cos x \\\end(align)\]

Ας επιστρέψουμε στους υπολογισμούς μας. Καταγράφουμε:

\[\begin(align)& (y)"=\frac(\left(\sin x+x\cos x \right)\cos x-x\cdot \sin x\cdot \left(-\sin x \right) )(((\cos )^(2))x)= \\& =\frac(\sin x\cdot \cos x+x((\cos )^(2))x+x((\sin ) ^(2))x)(((\cos )^(2))x)= \\& =\frac(\sin x\cdot \cos x+x\left((\sin )^(2) )x+((\cos )^(2))x \δεξιά))((\cos )^(2))x)=\frac(\sin x\cdot \cos x+x)(((\cos )^(2))x) \\\end(στοίχιση)\]

Αυτό είναι όλο! Κάναμε τα μαθηματικά.

Πώς να μειώσετε την παράγωγο ενός πηλίκου σε έναν απλό τύπο για την παράγωγο ενός προϊόντος;

Και εδώ θα ήθελα να κάνω μια πολύ σημαντική παρατήρηση σχετικά με τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις. Το γεγονός είναι ότι η αρχική μας κατασκευή περιέχει μια έκφραση της μορφής $\frac(\sin x)(\cos x)$, η οποία μπορεί εύκολα να αντικατασταθεί απλά από $tgx$. Έτσι, ανάγουμε την παράγωγο ενός πηλίκου σε έναν απλούστερο τύπο για την παράγωγο ενός προϊόντος. Ας υπολογίσουμε ξανά αυτό το παράδειγμα και ας συγκρίνουμε τα αποτελέσματα.

Τώρα λοιπόν πρέπει να λάβουμε υπόψη τα εξής:

\[\frac(\sin x)(\cos x)=tgx\]

Ας ξαναγράψουμε την αρχική μας συνάρτηση $y=\frac(x\sin x)(\cos x)$ λαμβάνοντας υπόψη αυτό το γεγονός. Παίρνουμε:

Ας μετρήσουμε:

\[\begin(align)& (y)"=((\left(x\cdot tgx \right))^(\prime ))(x)"\cdot tgx+x((\left(tgx \right) )^(\prime ))=tgx+x\frac(1)(((\cos )^(2))x)= \\& =\frac(\sin x)(\cos x)+\frac( x)(((\cos )^(2))x)=\frac(\sin x\cdot \cos x+x)(((\cos )^(2))x) \\\end(στοίχιση) \]

Τώρα, αν συγκρίνουμε το αποτέλεσμα που προέκυψε με αυτό που λάβαμε νωρίτερα κατά τον υπολογισμό με διαφορετικό τρόπο, τότε θα πειστούμε ότι έχουμε λάβει την ίδια έκφραση. Έτσι, όποια κατεύθυνση κι αν ακολουθήσουμε κατά τον υπολογισμό της παραγώγου, αν όλα υπολογιστούν σωστά, τότε η απάντηση θα είναι η ίδια.

Σημαντικές αποχρώσεις κατά την επίλυση προβλημάτων

Εν κατακλείδι, θα ήθελα να σας πω μια ακόμη λεπτότητα που σχετίζεται με τον υπολογισμό της παραγώγου ενός πηλίκου. Αυτό που θα σας πω τώρα δεν ήταν στο αρχικό σενάριο του μαθήματος βίντεο. Ωστόσο, μια-δυο ώρες πριν από τα γυρίσματα, μελετούσα με έναν από τους μαθητές μου και απλώς συζητούσαμε το θέμα των παραγώγων πηλίκων. Και, όπως αποδείχθηκε, πολλοί μαθητές δεν καταλαβαίνουν αυτό το σημείο. Λοιπόν, ας υποθέσουμε ότι πρέπει να υπολογίσουμε το stroke αφαίρεσης της ακόλουθης συνάρτησης:

Κατ 'αρχήν, με την πρώτη ματιά δεν υπάρχει τίποτα υπερφυσικό σε αυτό. Ωστόσο, στη διαδικασία υπολογισμού μπορούμε να κάνουμε πολλά ανόητα και προσβλητικά λάθη, τα οποία θα ήθελα να συζητήσουμε τώρα.

Έτσι, υπολογίζουμε αυτήν την παράγωγο. Πρώτα απ 'όλα, σημειώνουμε ότι έχουμε τον όρο $3((x)^(2))$, επομένως είναι σκόπιμο να υπενθυμίσουμε τον ακόλουθο τύπο:

\[((\left(((x)^(n)) \right))^(\prime ))=n\cdot ((x)^(n-1))\]

Επιπλέον, έχουμε τον όρο $\frac(48)(x)$ - θα τον αντιμετωπίσουμε μέσω της παραγώγου του πηλίκου, δηλαδή:

\[((\left(\frac(f)(g) \right))^(\prime ))=\frac((f)"\cdot g-f\cdot (g)")(((g)^( 2)))\]

Λοιπόν, ας αποφασίσουμε:

\[(y)"=((\left(\frac(48)(x) \right))^(\prime ))+((\left(3((x)^(2)) \δεξιά)) ^(\prime ))+10(0)"\]

Δεν υπάρχουν προβλήματα με τον πρώτο όρο, βλ.

\[((\left(3((x)^(2)) \right))^(\prime ))=3\cdot ((\left(((x)^(2)) \right))^ (\prime ))=3k.2x=6x\]

Αλλά με τον πρώτο όρο, $\frac(48)(x)$, πρέπει να εργαστείτε ξεχωριστά. Το γεγονός είναι ότι πολλοί μαθητές συγχέουν την κατάσταση όταν πρέπει να βρουν το $((\left(\frac(x)(48) \right))^(\prime ))$ και όταν πρέπει να βρουν το $((\left (\frac (48)(x) \δεξιά))^(\prime ))$. Δηλαδή, μπερδεύονται όταν η σταθερά είναι στον παρονομαστή και όταν η σταθερά είναι στον αριθμητή, αντίστοιχα, όταν η μεταβλητή είναι στον αριθμητή ή στον παρονομαστή.

Ας ξεκινήσουμε με την πρώτη επιλογή:

\[((\left(\frac(x)(48) \right))^(\prime ))=((\left(\frac(1)(48)\cdot x \right))^(\prime ))=\frac(1)(48)\cdot (x)"=\frac(1)(48)\cdot 1=\frac(1)(48)\]

Από την άλλη, αν προσπαθήσουμε να κάνουμε το ίδιο με το δεύτερο κλάσμα, θα έχουμε το εξής:

\[\begin(align)& ((\left(\frac(48)(x) \right))^(\prime ))=((\left(48\cdot \frac(1)(x) \right ))^(\prime ))=48\cdot ((\left(\frac(1)(x) \right))^(\prime ))= \\& =48\cdot \frac((1)" \cdot x-1\cdot (x)")(((x)^(2)))=48\cdot \frac(-1)(((x)^(2)))=-\frac(48 )(((x)^(2))) \\\end(στοίχιση)\]

Ωστόσο, το ίδιο παράδειγμα θα μπορούσε να υπολογιστεί διαφορετικά: στο στάδιο που περάσαμε στην παράγωγο του πηλίκου, μπορούμε να θεωρήσουμε το $\frac(1)(x)$ ως δύναμη με αρνητικό εκθέτη, δηλ. παίρνουμε το εξής :

\[\begin(align)& 48\cdot ((\left(\frac(1)(x) \right))^(\prime ))=48\cdot ((\left(((x)^(- 1)) \δεξιά))^(\prime ))=48\cdot \left(-1 \right)\cdot ((x)^(-2))= \\& =-48\cdot \frac(1 )(((x)^(2))=-\frac(48)(((x)^(2))) \\\end(στοίχιση)\]

Και έτσι, και έτσι λάβαμε την ίδια απάντηση.

Έτσι, πειστήκαμε και πάλι για δύο σημαντικά δεδομένα. Πρώτον, η ίδια παράγωγος μπορεί να υπολογιστεί με εντελώς διαφορετικούς τρόπους. Για παράδειγμα, το $((\left(\frac(48)(x) \right))^(\prime ))$ μπορεί να θεωρηθεί τόσο ως παράγωγος ενός πηλίκου όσο και ως παράγωγος μιας συνάρτησης ισχύος. Επιπλέον, εάν όλοι οι υπολογισμοί εκτελούνται σωστά, τότε η απάντηση θα είναι πάντα η ίδια. Δεύτερον, κατά τον υπολογισμό των παραγώγων που περιέχουν και μια μεταβλητή και μια σταθερά, είναι θεμελιωδώς σημαντικό πού βρίσκεται η μεταβλητή - στον αριθμητή ή στον παρονομαστή. Στην πρώτη περίπτωση, όταν η μεταβλητή είναι στον αριθμητή, παίρνουμε μια απλή γραμμική συνάρτηση που μπορεί εύκολα να υπολογιστεί. Και αν η μεταβλητή είναι στον παρονομαστή, τότε παίρνουμε μια πιο σύνθετη έκφραση με τους συνοδευτικούς υπολογισμούς που δόθηκαν προηγουμένως.

Σε αυτό το σημείο, το μάθημα μπορεί να θεωρηθεί ολοκληρωμένο, οπότε αν δεν καταλαβαίνετε τίποτα για τα παράγωγα ενός πηλίκου ή ενός προϊόντος και γενικά, εάν έχετε ερωτήσεις σχετικά με αυτό το θέμα, μη διστάσετε - μεταβείτε στον ιστότοπό μου , γράψε, τηλεφώνησε και σίγουρα θα προσπαθήσω να σε βοηθήσω.

Τα ίδια τα παράγωγα δεν είναι ένα σύνθετο θέμα, αλλά είναι πολύ εκτεταμένο και αυτό που μελετάμε τώρα θα χρησιμοποιηθεί στο μέλλον κατά την επίλυση πιο περίπλοκων προβλημάτων. Γι' αυτό είναι προτιμότερο να εντοπίζονται αμέσως τώρα όλες οι παρεξηγήσεις που σχετίζονται με τον υπολογισμό των παραγώγων ενός πηλίκου ή ενός προϊόντος. Όχι όταν είναι μια τεράστια χιονόμπαλα παρεξήγησης, αλλά όταν είναι ένα μικρό μπαλάκι του τένις που είναι εύκολο να το αντιμετωπίσεις.

Αν ακολουθήσετε τον ορισμό, τότε η παράγωγος μιας συνάρτησης σε ένα σημείο είναι το όριο του λόγου της αύξησης της συνάρτησης Δ yστο όρισμα προσαύξηση Δ Χ:

Όλα δείχνουν να είναι ξεκάθαρα. Αλλά δοκιμάστε να χρησιμοποιήσετε αυτόν τον τύπο για να υπολογίσετε, ας πούμε, την παράγωγο της συνάρτησης φά(Χ) = Χ 2 + (2Χ+ 3) · μι Χαμαρτία Χ. Εάν κάνετε τα πάντα εξ ορισμού, τότε μετά από μερικές σελίδες υπολογισμών απλά θα κοιμηθείτε. Επομένως, υπάρχουν απλούστεροι και πιο αποτελεσματικοί τρόποι.

Αρχικά, σημειώνουμε ότι από όλη την ποικιλία των συναρτήσεων μπορούμε να διακρίνουμε τις λεγόμενες στοιχειώδεις συναρτήσεις. Πρόκειται για σχετικά απλές εκφράσεις, τα παράγωγα των οποίων έχουν από καιρό υπολογιστεί και καταγραφεί σε πίνακα. Τέτοιες συναρτήσεις είναι αρκετά εύκολο να θυμάστε - μαζί με τα παράγωγά τους.

Παράγωγοι στοιχειωδών συναρτήσεων

Οι στοιχειώδεις συναρτήσεις είναι όλες αυτές που παρατίθενται παρακάτω. Οι παράγωγοι αυτών των συναρτήσεων πρέπει να είναι γνωστές από καρδιάς. Επιπλέον, δεν είναι καθόλου δύσκολο να τα απομνημονεύσετε - γι 'αυτό είναι στοιχειώδη.

Άρα, παράγωγοι στοιχειωδών συναρτήσεων:

Ονομα	Λειτουργία	Παράγωγο
Συνεχής	φά(Χ) = ντο, ντο ∈ R	0 (ναι, μηδέν!)
Ισχύς με λογικό εκθέτη	φά(Χ) = Χ n	n · Χ n − 1
Κόλπος	φά(Χ) = αμαρτία Χ	cos Χ
Συνημίτονο	φά(Χ) = κοσ Χ	−αμαρτία Χ(μείον ημίτονο)
Εφαπτομένη γραμμή	φά(Χ) = tg Χ	1/συν 2 Χ
Συνεφαπτομένη	φά(Χ) = ctg Χ	− 1/αμαρτία 2 Χ
Φυσικός λογάριθμος	φά(Χ) = κούτσουρο Χ	1/Χ
Αυθαίρετος λογάριθμος	φά(Χ) = κούτσουρο ένα Χ	1/(Χ ln ένα)
Εκθετικη συναρτηση	φά(Χ) = μι Χ	μι Χ(τίποτα δεν άλλαξε)

Εάν μια στοιχειώδης συνάρτηση πολλαπλασιαστεί με μια αυθαίρετη σταθερά, τότε η παράγωγος της νέας συνάρτησης υπολογίζεται επίσης εύκολα:

(ντο · φά)’ = ντο · φά ’.

Γενικά, οι σταθερές μπορούν να αφαιρεθούν από το πρόσημο της παραγώγου. Για παράδειγμα:

(2Χ 3)' = 2 · ( Χ 3)' = 2 3 Χ 2 = 6Χ 2 .

Προφανώς, οι στοιχειώδεις συναρτήσεις μπορούν να προστεθούν μεταξύ τους, να πολλαπλασιαστούν, να διαιρεθούν - και πολλά άλλα. Έτσι θα εμφανιστούν νέες λειτουργίες, όχι πλέον ιδιαίτερα στοιχειώδεις, αλλά και διαφοροποιημένες σύμφωνα με ορισμένους κανόνες. Αυτοί οι κανόνες συζητούνται παρακάτω.

Παράγωγο αθροίσματος και διαφοράς

Αφήστε τις συναρτήσεις να δοθούν φά(Χ) Και σολ(Χ), τα παράγωγα του οποίου είναι γνωστά σε εμάς. Για παράδειγμα, μπορείτε να πάρετε τις στοιχειώδεις συναρτήσεις που συζητήθηκαν παραπάνω. Στη συνέχεια, μπορείτε να βρείτε την παράγωγο του αθροίσματος και της διαφοράς αυτών των συναρτήσεων:

(φά + σολ)’ = φά ’ + σολ ’
(φά − σολ)’ = φά ’ − σολ ’

Άρα, η παράγωγος του αθροίσματος (διαφορά) δύο συναρτήσεων είναι ίση με το άθροισμα (διαφορά) των παραγώγων. Μπορεί να υπάρχουν περισσότεροι όροι. Για παράδειγμα, ( φά + σολ + η)’ = φά ’ + σολ ’ + η ’.

Αυστηρά μιλώντας, δεν υπάρχει η έννοια της «αφαίρεσης» στην άλγεβρα. Υπάρχει η έννοια του «αρνητικού στοιχείου». Επομένως η διαφορά φά − σολμπορεί να ξαναγραφτεί ως άθροισμα φά+ (−1) σολ, και τότε μένει μόνο ένας τύπος - η παράγωγος του αθροίσματος.

φά(Χ) = Χ 2 + αμαρτία x; σολ(Χ) = Χ 4 + 2Χ 2 − 3.

Λειτουργία φά(Χ) είναι το άθροισμα δύο στοιχειωδών συναρτήσεων, επομένως:

φά ’(Χ) = (Χ 2 + αμαρτία Χ)’ = (Χ 2)’ + (αμαρτ Χ)’ = 2Χ+ cos x;

Σκεφτόμαστε παρόμοια για τη συνάρτηση σολ(Χ). Μόνο που υπάρχουν ήδη τρεις όροι (από την άποψη της άλγεβρας):

σολ ’(Χ) = (Χ 4 + 2Χ 2 − 3)’ = (Χ 4 + 2Χ 2 + (−3))’ = (Χ 4)’ + (2Χ 2)’ + (−3)’ = 4Χ 3 + 4Χ + 0 = 4Χ · ( Χ 2 + 1).

Απάντηση:
φά ’(Χ) = 2Χ+ cos x;
σολ ’(Χ) = 4Χ · ( Χ 2 + 1).

Παράγωγο του προϊόντος

Τα μαθηματικά είναι μια λογική επιστήμη, τόσοι πολλοί άνθρωποι πιστεύουν ότι αν η παράγωγος ενός αθροίσματος είναι ίση με το άθροισμα των παραγώγων, τότε η παράγωγος του προϊόντος απεργία">ίσο με το γινόμενο των παραγώγων. Αλλά βιδώστε! Η παράγωγος ενός προϊόντος υπολογίζεται χρησιμοποιώντας έναν εντελώς διαφορετικό τύπο. Δηλαδή:

(φά · σολ) ’ = φά ’ · σολ + φά · σολ ’

Η φόρμουλα είναι απλή, αλλά συχνά ξεχνιέται. Και όχι μόνο μαθητές, αλλά και φοιτητές. Το αποτέλεσμα είναι λανθασμένα λυμένα προβλήματα.

Εργο. Βρείτε παραγώγους συναρτήσεων: φά(Χ) = Χ 3 cos x; σολ(Χ) = (Χ 2 + 7Χ− 7) · μι Χ .

Λειτουργία φά(Χ) είναι το γινόμενο δύο βασικών συναρτήσεων, οπότε όλα είναι απλά:

φά ’(Χ) = (Χ 3 συν Χ)’ = (Χ 3)» συν Χ + Χ 3 (συν Χ)’ = 3Χ 2 συν Χ + Χ 3 (− αμαρτία Χ) = Χ 2 (3κοσ Χ − Χαμαρτία Χ)

Λειτουργία σολ(Χ) ο πρώτος πολλαπλασιαστής είναι λίγο πιο περίπλοκος, αλλά το γενικό σχήμα δεν αλλάζει. Προφανώς, ο πρώτος παράγοντας της συνάρτησης σολ(Χ) είναι πολυώνυμο και η παράγωγός του είναι η παράγωγος του αθροίσματος. Εχουμε:

σολ ’(Χ) = ((Χ 2 + 7Χ− 7) · μι Χ)’ = (Χ 2 + 7Χ− 7)» · μι Χ + (Χ 2 + 7Χ− 7) · ( μι Χ)’ = (2Χ+ 7) · μι Χ + (Χ 2 + 7Χ− 7) · μι Χ = μι Χ· (2 Χ + 7 + Χ 2 + 7Χ −7) = (Χ 2 + 9Χ) · μι Χ = Χ(Χ+ 9) · μι Χ .

Απάντηση:
φά ’(Χ) = Χ 2 (3κοσ Χ − Χαμαρτία Χ);
σολ ’(Χ) = Χ(Χ+ 9) · μι Χ .

Σημειώστε ότι στο τελευταίο βήμα η παράγωγος παραγοντοποιείται. Τυπικά, αυτό δεν χρειάζεται να γίνει, αλλά τα περισσότερα παράγωγα δεν υπολογίζονται από μόνα τους, αλλά για να εξεταστεί η συνάρτηση. Αυτό σημαίνει ότι περαιτέρω η παράγωγος θα εξισωθεί με το μηδέν, θα καθοριστούν τα πρόσημά της κ.ο.κ. Για μια τέτοια περίπτωση, είναι προτιμότερο να έχει παραγοντοποιηθεί μια έκφραση.

Εάν υπάρχουν δύο λειτουργίες φά(Χ) Και σολ(Χ), και σολ(Χ) ≠ 0 στο σύνολο που μας ενδιαφέρει, μπορούμε να ορίσουμε μια νέα συνάρτηση η(Χ) = φά(Χ)/σολ(Χ). Για μια τέτοια συνάρτηση μπορείτε επίσης να βρείτε την παράγωγο:

Όχι αδύναμο, ε; Από πού προήλθε το μείον; Γιατί σολ 2; Και κάπως έτσι! Αυτή είναι μια από τις πιο σύνθετες φόρμουλες - δεν μπορείτε να το καταλάβετε χωρίς ένα μπουκάλι. Επομένως, είναι καλύτερο να το μελετήσετε με συγκεκριμένα παραδείγματα.

Εργο. Βρείτε παραγώγους συναρτήσεων:

Ο αριθμητής και ο παρονομαστής κάθε κλάσματος περιέχουν στοιχειώδεις συναρτήσεις, οπότε το μόνο που χρειαζόμαστε είναι ο τύπος για την παράγωγο του πηλίκου:

Σύμφωνα με την παράδοση, ας παραγοντοποιήσουμε τον αριθμητή - αυτό θα απλοποιήσει πολύ την απάντηση:

Μια σύνθετη συνάρτηση δεν είναι απαραίτητα ένας τύπος μήκους μισού χιλιομέτρου. Για παράδειγμα, αρκεί να πάρετε τη συνάρτηση φά(Χ) = αμαρτία Χκαι αντικαταστήστε τη μεταβλητή Χ, ας πούμε, επάνω Χ 2 + ln Χ. Θα βγει φά(Χ) = αμαρτία ( Χ 2 + ln Χ) - αυτή είναι μια σύνθετη συνάρτηση. Έχει επίσης ένα παράγωγο, αλλά δεν θα είναι δυνατό να το βρείτε χρησιμοποιώντας τους κανόνες που συζητήθηκαν παραπάνω.

Τι πρέπει να κάνω? Σε τέτοιες περιπτώσεις, η αντικατάσταση μιας μεταβλητής και ενός τύπου για την παράγωγο μιας σύνθετης συνάρτησης βοηθά:

φά ’(Χ) = φά ’(t) · t', Αν Χαντικαθίσταται από t(Χ).

Κατά κανόνα, η κατάσταση με την κατανόηση αυτού του τύπου είναι ακόμη πιο θλιβερή από ό, τι με την παράγωγο του πηλίκου. Επομένως, είναι επίσης καλύτερο να το εξηγήσετε χρησιμοποιώντας συγκεκριμένα παραδείγματα, με λεπτομερή περιγραφή κάθε βήματος.

Εργο. Βρείτε παραγώγους συναρτήσεων: φά(Χ) = μι 2Χ + 3 ; σολ(Χ) = αμαρτία ( Χ 2 + ln Χ)

Σημειώστε ότι εάν στη συνάρτηση φά(Χ) αντί της έκφρασης 2 Χ+ 3 θα είναι εύκολο Χ, τότε παίρνουμε μια στοιχειώδη συνάρτηση φά(Χ) = μι Χ. Επομένως, κάνουμε μια αντικατάσταση: ας 2 Χ + 3 = t, φά(Χ) = φά(t) = μι t. Αναζητούμε την παράγωγο μιας μιγαδικής συνάρτησης χρησιμοποιώντας τον τύπο:

φά ’(Χ) = φά ’(t) · t ’ = (μι t)’ · t ’ = μι t · t ’

Και τώρα - προσοχή! Εκτελούμε την αντίστροφη αντικατάσταση: t = 2Χ+ 3. Παίρνουμε:

φά ’(Χ) = μι t · t ’ = μι 2Χ+ 3 (2 Χ + 3)’ = μι 2Χ+ 3 2 = 2 μι 2Χ + 3

Τώρα ας δούμε τη συνάρτηση σολ(Χ). Προφανώς πρέπει να αντικατασταθεί Χ 2 + ln Χ = t. Εχουμε:

σολ ’(Χ) = σολ ’(t) · t’ = (αμαρτ t)’ · t’ = κοσ t · t ’

Αντίστροφη αντικατάσταση: t = Χ 2 + ln Χ. Επειτα:

σολ ’(Χ) = cos ( Χ 2 + ln Χ) · ( Χ 2 + ln Χ)’ = κοσ ( Χ 2 + ln Χ) · (2 Χ + 1/Χ).

Αυτό είναι όλο! Όπως φαίνεται από την τελευταία έκφραση, το όλο πρόβλημα έχει περιοριστεί στον υπολογισμό του αθροίσματος της παραγώγου.

Απάντηση:
φά ’(Χ) = 2 · μι 2Χ + 3 ;
σολ ’(Χ) = (2Χ + 1/Χ) cos ( Χ 2 + ln Χ).

Πολύ συχνά στα μαθήματά μου, αντί για τον όρο «παράγωγο», χρησιμοποιώ τη λέξη «πρώτος». Για παράδειγμα, η διαδρομή του αθροίσματος είναι ίση με το άθροισμα των διαδρομών. Είναι πιο ξεκάθαρο αυτό; Λοιπόν αυτό είναι καλό.

Έτσι, ο υπολογισμός της παραγώγου καταλήγει στην απαλλαγή από αυτές τις ίδιες πινελιές σύμφωνα με τους κανόνες που συζητήθηκαν παραπάνω. Ως τελευταίο παράδειγμα, ας επιστρέψουμε στην παράγωγη ισχύ με έναν ορθολογικό εκθέτη:

(Χ n)’ = n · Χ n − 1

Λίγοι το γνωρίζουν αυτό στον ρόλο nμπορεί κάλλιστα να είναι κλασματικός αριθμός. Για παράδειγμα, η ρίζα είναι Χ 0,5. Τι γίνεται αν υπάρχει κάτι φανταχτερό κάτω από τη ρίζα; Και πάλι, το αποτέλεσμα θα είναι μια πολύπλοκη συνάρτηση - τους αρέσει να δίνουν τέτοιες κατασκευές σε δοκιμές και εξετάσεις.

Εργο. Βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης:

Αρχικά, ας ξαναγράψουμε τη ρίζα ως δύναμη με λογικό εκθέτη:

φά(Χ) = (Χ 2 + 8Χ − 7) 0,5 .

Τώρα κάνουμε μια αντικατάσταση: αφήστε Χ 2 + 8Χ − 7 = t. Βρίσκουμε την παράγωγο χρησιμοποιώντας τον τύπο:

φά ’(Χ) = φά ’(t) · t ’ = (t 0,5)' · t’ = 0,5 · t−0,5 · t ’.

Ας κάνουμε την αντίστροφη αντικατάσταση: t = Χ 2 + 8Χ− 7. Έχουμε:

φά ’(Χ) = 0,5 · ( Χ 2 + 8Χ− 7) −0,5 · ( Χ 2 + 8Χ− 7)’ = 0,5 · (2 Χ+ 8) ( Χ 2 + 8Χ − 7) −0,5 .

Τέλος, πίσω στις ρίζες:

Η διατήρηση του απορρήτου σας είναι σημαντική για εμάς. Για το λόγο αυτό, έχουμε αναπτύξει μια Πολιτική Απορρήτου που περιγράφει τον τρόπο με τον οποίο χρησιμοποιούμε και αποθηκεύουμε τις πληροφορίες σας. Διαβάστε τις πρακτικές απορρήτου μας και ενημερώστε μας εάν έχετε ερωτήσεις.

Συλλογή και χρήση προσωπικών πληροφοριών

Οι προσωπικές πληροφορίες αναφέρονται σε δεδομένα που μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την αναγνώριση ή επικοινωνία με ένα συγκεκριμένο άτομο.

Ενδέχεται να σας ζητηθεί να δώσετε τα προσωπικά σας στοιχεία ανά πάσα στιγμή όταν επικοινωνήσετε μαζί μας.

Ακολουθούν ορισμένα παραδείγματα των τύπων προσωπικών πληροφοριών που ενδέχεται να συλλέγουμε και πώς μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε αυτές τις πληροφορίες.

Ποιες προσωπικές πληροφορίες συλλέγουμε:

Όταν υποβάλλετε μια αίτηση στον ιστότοπο, ενδέχεται να συλλέξουμε διάφορες πληροφορίες, όπως το όνομά σας, τον αριθμό τηλεφώνου, τη διεύθυνση email σας κ.λπ.

Πώς χρησιμοποιούμε τα προσωπικά σας στοιχεία:

Οι προσωπικές πληροφορίες που συλλέγουμε μας επιτρέπουν να επικοινωνήσουμε μαζί σας με μοναδικές προσφορές, προσφορές και άλλες εκδηλώσεις και επερχόμενες εκδηλώσεις.
Από καιρό σε καιρό, ενδέχεται να χρησιμοποιήσουμε τα προσωπικά σας στοιχεία για να στείλουμε σημαντικές ειδοποιήσεις και επικοινωνίες.
Ενδέχεται επίσης να χρησιμοποιήσουμε προσωπικές πληροφορίες για εσωτερικούς σκοπούς, όπως διεξαγωγή ελέγχων, ανάλυση δεδομένων και διάφορες έρευνες, προκειμένου να βελτιώσουμε τις υπηρεσίες που παρέχουμε και να σας παρέχουμε συστάσεις σχετικά με τις υπηρεσίες μας.
Εάν συμμετέχετε σε κλήρωση, διαγωνισμό ή παρόμοια προσφορά, ενδέχεται να χρησιμοποιήσουμε τις πληροφορίες που παρέχετε για τη διαχείριση τέτοιων προγραμμάτων.

Αποκάλυψη πληροφοριών σε τρίτους

Δεν αποκαλύπτουμε τις πληροφορίες που λαμβάνουμε από εσάς σε τρίτους.

Εξαιρέσεις:

Εάν είναι απαραίτητο - σύμφωνα με το νόμο, τη δικαστική διαδικασία, σε νομικές διαδικασίες και/ή βάσει δημόσιων αιτημάτων ή αιτημάτων από κυβερνητικές αρχές στην επικράτεια της Ρωσικής Ομοσπονδίας - να αποκαλύψετε τα προσωπικά σας στοιχεία. Ενδέχεται επίσης να αποκαλύψουμε πληροφορίες σχετικά με εσάς εάν κρίνουμε ότι αυτή η αποκάλυψη είναι απαραίτητη ή κατάλληλη για λόγους ασφάλειας, επιβολής του νόμου ή άλλους σκοπούς δημόσιας σημασίας.
Σε περίπτωση αναδιοργάνωσης, συγχώνευσης ή πώλησης, ενδέχεται να μεταφέρουμε τις προσωπικές πληροφορίες που συλλέγουμε στον αντίστοιχο τρίτο διάδοχο.

Προστασία προσωπικών πληροφοριών

Λαμβάνουμε προφυλάξεις - συμπεριλαμβανομένων διοικητικών, τεχνικών και φυσικών - για την προστασία των προσωπικών σας δεδομένων από απώλεια, κλοπή και κακή χρήση, καθώς και από μη εξουσιοδοτημένη πρόσβαση, αποκάλυψη, τροποποίηση και καταστροφή.

Σεβασμός του απορρήτου σας σε εταιρικό επίπεδο

Για να διασφαλίσουμε ότι τα προσωπικά σας στοιχεία είναι ασφαλή, κοινοποιούμε τα πρότυπα απορρήτου και ασφάλειας στους υπαλλήλους μας και εφαρμόζουμε αυστηρά τις πρακτικές απορρήτου.

Η επίλυση φυσικών προβλημάτων ή παραδειγμάτων στα μαθηματικά είναι εντελώς αδύνατη χωρίς γνώση της παραγώγου και των μεθόδων υπολογισμού της. Η παράγωγος είναι μια από τις πιο σημαντικές έννοιες στη μαθηματική ανάλυση. Αποφασίσαμε να αφιερώσουμε το σημερινό άρθρο σε αυτό το θεμελιώδες θέμα. Τι είναι η παράγωγος, ποια η φυσική και γεωμετρική της σημασία, πώς υπολογίζεται η παράγωγος μιας συνάρτησης; Όλες αυτές οι ερωτήσεις μπορούν να συνδυαστούν σε μία: πώς να κατανοήσουμε την παράγωγο;

Γεωμετρική και φυσική σημασία της παραγώγου

Ας υπάρχει μια συνάρτηση f(x) , καθορίζεται σε ένα ορισμένο διάστημα (α, β) . Τα σημεία x και x0 ανήκουν σε αυτό το διάστημα. Όταν το x αλλάζει, αλλάζει και η ίδια η συνάρτηση. Αλλαγή του επιχειρήματος - η διαφορά στις τιμές του x-x0 . Αυτή η διαφορά γράφεται ως δέλτα χ και ονομάζεται προσαύξηση ορίσματος. Μια αλλαγή ή αύξηση μιας συνάρτησης είναι η διαφορά μεταξύ των τιμών μιας συνάρτησης σε δύο σημεία. Ορισμός παραγώγου:

Η παράγωγος μιας συνάρτησης σε ένα σημείο είναι το όριο του λόγου της αύξησης της συνάρτησης σε ένα δεδομένο σημείο προς την αύξηση του ορίσματος όταν το τελευταίο τείνει στο μηδέν.

Διαφορετικά μπορεί να γραφτεί ως εξής:

Τι νόημα έχει να βρεις ένα τέτοιο όριο; Και να τι είναι:

η παράγωγος μιας συνάρτησης σε ένα σημείο είναι ίση με την εφαπτομένη της γωνίας μεταξύ του άξονα OX και της εφαπτομένης στη γραφική παράσταση της συνάρτησης σε ένα δεδομένο σημείο.

Φυσική σημασία του παραγώγου: η παράγωγος της διαδρομής ως προς το χρόνο είναι ίση με την ταχύτητα της ευθύγραμμης κίνησης.

Πράγματι, από τα σχολικά χρόνια όλοι γνωρίζουν ότι η ταχύτητα είναι μια ιδιαίτερη διαδρομή x=f(t) και του χρόνου t . Μέση ταχύτητα για μια συγκεκριμένη χρονική περίοδο:

Για να μάθετε την ταχύτητα κίνησης σε μια χρονική στιγμή t0 πρέπει να υπολογίσετε το όριο:

Κανόνας πρώτος: ορίστε μια σταθερά

Η σταθερά μπορεί να αφαιρεθεί από το παράγωγο πρόσημο. Επιπλέον, αυτό πρέπει να γίνει. Όταν λύνετε παραδείγματα στα μαθηματικά, πάρτε το ως κανόνα - Εάν μπορείτε να απλοποιήσετε μια έκφραση, φροντίστε να την απλοποιήσετε .

Παράδειγμα. Ας υπολογίσουμε την παράγωγο:

Κανόνας δεύτερος: παράγωγος του αθροίσματος των συναρτήσεων

Η παράγωγος του αθροίσματος δύο συναρτήσεων είναι ίση με το άθροισμα των παραγώγων αυτών των συναρτήσεων. Το ίδιο ισχύει και για την παράγωγο της διαφοράς των συναρτήσεων.

Δεν θα δώσουμε μια απόδειξη αυτού του θεωρήματος, αλλά θα εξετάσουμε μάλλον ένα πρακτικό παράδειγμα.

Βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης:

Κανόνας τρίτος: παράγωγος του γινομένου των συναρτήσεων

Η παράγωγος του γινομένου δύο διαφοροποιήσιμων συναρτήσεων υπολογίζεται με τον τύπο:

Παράδειγμα: βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης:

Λύση:

Είναι σημαντικό να μιλήσουμε για τον υπολογισμό των παραγώγων μιγαδικών συναρτήσεων εδώ. Η παράγωγος μιας μιγαδικής συνάρτησης είναι ίση με το γινόμενο της παραγώγου αυτής της συνάρτησης ως προς το ενδιάμεσο όρισμα και την παράγωγο του ενδιάμεσου ορίσματος ως προς την ανεξάρτητη μεταβλητή.

Στο παραπάνω παράδειγμα συναντάμε την έκφραση:

Σε αυτήν την περίπτωση, το ενδιάμεσο όρισμα είναι 8x στην πέμπτη δύναμη. Για να υπολογίσουμε την παράγωγο μιας τέτοιας έκφρασης, υπολογίζουμε πρώτα την παράγωγο της εξωτερικής συνάρτησης σε σχέση με το ενδιάμεσο όρισμα και στη συνέχεια πολλαπλασιάζουμε με την παράγωγο του ίδιου του ενδιάμεσου ορίσματος σε σχέση με την ανεξάρτητη μεταβλητή.

Κανόνας τέταρτος: παράγωγος του πηλίκου δύο συναρτήσεων

Τύπος για τον προσδιορισμό της παραγώγου του πηλίκου δύο συναρτήσεων:

Προσπαθήσαμε να μιλήσουμε για παράγωγα για ομοιώματα από την αρχή. Αυτό το θέμα δεν είναι τόσο απλό όσο φαίνεται, γι' αυτό προειδοποιήστε: υπάρχουν συχνά παγίδες στα παραδείγματα, επομένως να είστε προσεκτικοί κατά τον υπολογισμό των παραγώγων.

Για οποιεσδήποτε ερωτήσεις σχετικά με αυτό και άλλα θέματα, μπορείτε να επικοινωνήσετε με την υπηρεσία σπουδαστών. Σε σύντομο χρονικό διάστημα, θα σας βοηθήσουμε να λύσετε το πιο δύσκολο τεστ και να κατανοήσετε τις εργασίες, ακόμα κι αν δεν έχετε κάνει ποτέ στο παρελθόν υπολογισμούς παραγώγων.

Έστω οι συναρτήσεις u ορίζονται σε μια συγκεκριμένη γειτονιά ενός σημείου και έχουν παραγώγους στο σημείο. Τότε το προϊόν τους έχει ένα παράγωγο στο σημείο, το οποίο καθορίζεται από τον τύπο:
(1) .

Απόδειξη

Ας εισάγουμε τον ακόλουθο συμβολισμό:
;
.
Εδώ και είναι συναρτήσεις των μεταβλητών και . Αλλά για ευκολία σημειώσεων, θα παραλείψουμε τους χαρακτηρισμούς των επιχειρημάτων τους.

Στη συνέχεια το παρατηρούμε
;
.
Κατά συνθήκη, οι συναρτήσεις και έχουν παραγώγους στο σημείο, που είναι τα ακόλουθα όρια:
;
.
Από την ύπαρξη παραγώγων προκύπτει ότι οι συναρτήσεις και είναι συνεχείς στο σημείο. Να γιατί
;
.

Θεωρήστε τη συνάρτηση y της μεταβλητής x, η οποία είναι το γινόμενο των συναρτήσεων και:
.
Ας εξετάσουμε την αύξηση αυτής της συνάρτησης στο σημείο:

.
Τώρα βρίσκουμε την παράγωγο:

.

Ετσι,
.
Ο κανόνας έχει αποδειχθεί.

Αντί για μεταβλητή, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε οποιαδήποτε άλλη μεταβλητή. Ας το συμβολίσουμε ως x. Τότε αν υπάρχουν παράγωγοι και , τότε η παράγωγος του γινομένου δύο συναρτήσεων προσδιορίζεται από τον τύπο:
.
Ή σε μια πιο σύντομη έκδοση
(1) .

Συνέπεια

Έστω συναρτήσεις της ανεξάρτητης μεταβλητής x. Επειτα
;
;
και τα λοιπά. ...

Ας αποδείξουμε τον πρώτο τύπο. Αρχικά, εφαρμόζουμε τον τύπο παραγώγου προϊόντος (1) για τις συναρτήσεις και , και στη συνέχεια για τις συναρτήσεις και :

.

Άλλοι παρόμοιοι τύποι αποδεικνύονται με παρόμοιο τρόπο.