Электромагнитное поле. Электромагнитное поле — Гипермаркет знаний

Электромагнитное поле это такой вид материи, которая возникает вокруг движущихся зарядов. Например, вокруг проводника с током. Электромагнитное поле состоит из двух составляющих это электрическое и магнитное поле. Независимо друг от друга они существовать не могут. Одно порождает другое. При изменении электрического поля тут же возникает магнитное. Скорость распространения электромагнитной волны V=C/EM где e и м соответственно магнитная и диэлектрическая проницаемость среды, в которой распространяется волна. Электромагнитная волна в вакууме распространяется со скоростью света, то есть 300 000 км/с. Поскольку диэлектрическая и магнитная проницаемость вакуума считается равными 1. При изменении электрического поля возникает магнитное поле. Так как вызвавшее его электрическое поле не является неизменным (то есть изменяется во времени) то и магнитное поле также будет переменным. Изменяющееся магнитное поле в свою очередь порождает электрическое поле и так далее. Таким образом, для последующего поля (неважно будет оно электрическое или магнитное) источником будет служить предыдущее поле, а не первоначальный источник, то есть проводник с током. Таким образом, даже после отключения тока в проводнике электромагнитное поле будет продолжать существовать и распространятся в пространстве. Электромагнитная волна распространяется в пространстве во все стороны от своего источника. Можно себе представить включению лампочку, лучи света от нее распространяются во все стороны. Электромагнитная волна при распространении переносит энергию в пространстве. Чем сильнее ток в проводнике вызвавший поле, тем больше энергия переносимая волной. Также энергия зависит от частоты излучаемых волн, при увеличении ее в 2,3,4 раза энергия волны увеличится в 4,9,16 раз соответственно. То есть энергия распространения волны пропорциональна квадрату частоты. Наилучшие условия распространения волн создаются, когда длинна проводника, равна длине волны. Силовые линии магнитного и электрического полетим взаимно перпендикулярно. Магнитные силовые линии охватывают проводник с током и всегда замкнуты. Электрические силовые линии идут от одного заряда к другому. Электромагнитная волна это всегда поперечная волна. То есть силовые линии как магнитные, так и электрические лежат в перпендикулярной плоскости к направлению распространения. Напряжённость электромагнитного поля силовая характеристика поля. Также напряженность, векторная величина то есть у нее есть начало и направление. Напряжённость поля направлена по касательной к силовым линиям. Поскольку напряжённость электрического и магнитного поля перпендикулярны между собой, то есть правило, по которому можно определить направление распространения волны. При вращении винта по кратчайшему пути от вектора напряжённости электрического поля к вектору напряжённости магнитного поля поступательное движение винта укажет направление распространения волны.

Магнитное поле и его характеристики. При прохождении электрического тока по проводнику вокруг него образуетсямагнитное поле . Магнитное поле представляет собой один из видов материи. Оно обладает энергией, которая проявляет себя в виде электромагнитных сил, действующих на отдельные движущиеся электрические заряды (электроны и ионы) и на их потоки, т. е. электрический ток. Под влиянием электромагнитных сил движущиеся заряженные частицы отклоняются от своего первоначального пути в направлении, перпендикулярном полю (рис. 34).Магнитное поле образуется только вокруг движущихся электрических зарядов, и его действие распространяется тоже лишь на движущиеся заряды. Магнитное и электрические поля неразрывны и образуют совместно единое электромагнитное поле . Всякое изменение электрического поля приводит к появлению магнитного поля и, наоборот, всякое изменение магнитного поля сопровождается возникновением электрического поля. Электромагнитное поле распространяется со скоростью света, т. е. 300 000 км/с.

Графическое изображение магнитного поля. Графически магнитное поле изображают магнитными силовыми линиями, которые проводят так, чтобы направление силовой линии в каждой точке поля совпадало с направлением сил поля; магнитные силовые линии всегда являются непрерывными и замкнутыми. Направление магнитного поля в каждой точке может быть определено при помощи магнитной стрелки. Северный полюс стрелки всегда устанавливается в направлении действия сил поля. Конец постоянного магнита, из которого выходят силовые линии (рис. 35, а), принято считать северным полюсом, а противоположный конец, в который входят силовые линии,- южным полюсом (силовые линии, проходящие внутри магнита, не показаны). Распределение силовых линий между полюсами плоского магнита можно обнаружить при помощи стальных опилок, насыпанных на лист бумаги, положенный на полюсы (рис. 35, б). Для магнитного поля в воздушном зазоре между двумя параллельно расположенными разноименными полюсами постоянного магнита характерно равномерное распределение силовых магнитных линий (рис. 36)

Подробности Категория: Электричество и магнетизм Опубликовано 05.06.2015 20:46 Просмотров: 11962

Переменные электрическое и магнитное поля при определённых условиях могут порождать друг друга. Они образуют электромагнитное поле, которое вовсе не является их совокупностью. Это единое целое, в котором эти два поля не могут существовать друг без друга.

Из истории

Опыт датского учёного Ханса Кристиана Эрстеда, проведенный в 1821 г., показал, что электрический ток порождает магнитное поле . В свою очередь, изменяющееся магнитное поле способно порождать электрический ток . Это доказал английский физик Майкл Фарадей , открывший в 1831 г. явление электромагнитной индукции. Он же является автором термина «электромагнитное поле».

В те времена в физике была принята концепция дальнодействия Ньютона . Считалось, что все тела действуют друг на друга через пустоту с бесконечно большой скоростью (практически мгновенно) и на любом расстоянии. Предполагалось, что и электрические заряды взаимодействуют подобным образом. Фарадей же считал, что пустоты в природе не существует, а взаимодействие происходит с конечной скоростью через некую материальную среду. Этой средой для электрических зарядов является электромагнитное поле . И оно распространяется со скоростью, равной скорости света .

Теория Максвелла

Объединив результаты предыдущих исследований, английский физик Джеймс Клерк Максвелл в 1864 г. создал теорию электромагнитного поля . Согласно ей, изменяющееся магнитное поле порождает изменяющееся электрическое поле, а переменное электрическое поле порождает переменное магнитное поле. Конечно, вначале одно из полей создаётся источником зарядов или токов. Но в дальнейшем эти поля уже могут существовать независимо от таких источников, вызывая появление друг друга. То есть, электрическое и магнитное поля являются составляющими единого электромагнитного поля . И всякое изменение одного из них вызывает появление другого. Эта гипотеза составляет основу теории Максвелла. Электрическое поле, порождаемое магнитным полем, является вихревым. Его силовые линии замкнуты.

Эта теория феноменологическая. Это означает, что она создана на основе предположений и наблюдений, и не рассматривает причину, вызывающую возникновение электрических и магнитных полей.

Свойства электромагнитного поля

Электромагнитное поле - это совокупность электрического и магнитного полей, поэтому в каждой точке своего пространства оно описывается двумя основными величинами: напряжённостью электрического поля Е и индукцией магнитного поля В .

Так как электромагнитное поле представляет собой процесс превращения электрического поля в магнитное, а затем магнитного в электрическое, то его состояние постоянно меняется. Распространяясь в пространстве и времени, оно образует электромагнитные волны. В зависимости от частоты и длины эти волны разделяют на радиоволны, терагерцовое излучение, инфракрасное излучение, видимый свет, ультрафиолетовое излучение, рентгеновское и гамма-излучение .

Векторы напряжённости и индукции электромагнитного поля взаимно перпендикулярны, а плоскость в которой они лежат, перпендикулярна направлению распространения волны.

В теории дальнодействия скорость распространения электромагнитных волн считалась бесконечной большой. Однако Максвелл доказал, что это не так. В веществе электромагнитные волны распространяются с конечной скоростью, которая зависит от диэлектрической и магнитной проницаемости вещества. Поэтому Теорию Максвелла называют теорией близкодействия.

Экспериментально теорию Максвелла подтвердил в 1888 г. немецкий физик Генрих Рудольф Герц. Он доказал, что электромагнитные волны существуют. Более того, он измерил скорость распространения электромагнитных волн в вакууме, которая оказалась равной скорости света.

В интегральной форме этот закон выглядит так:

Закон Гаусса для магнитного поля

Поток магнитной индукции через замкнутую поверхность равен нулю .

Физический смысл этого закона в том, что в природе не существует магнитных зарядов. Полюса магнита разделить невозможно. Силовые линии магнитного поля замкнуты.

Закон индукции Фарадея

Изменение магнитной индукции вызывает появление вихревого электрического поля.

,

Теорема о циркуляции магнитного поля

В этой теореме описаны источники магнитного пόля , а также сами поля, создаваемые ими.

Электрический ток и изменение электрической индукции порождают вихревое магнитное поле .

,

,

Е – напряжённость электрического поля;

Н – напряжённость магнитного поля;

В – магнитная индукция. Это векторная величина, показывающая, с какой силой магнитное поле действует на заряд величиной q, движущийся со скоростью v;

D – электрическая индукция, или электрическое смещение. Представляет собой векторную величину, равную сумме вектора напряжённости и вектора поляризации. Поляризация вызывается смещением электрических зарядов под действием внешнего электрического поля относительно их положения, когда такое поле отсутствует.

Δ – оператор Набла. Действие этого оператора на конкретное поле называют ротором этого поля.

Δ х Е = rot E

ρ - плотность стороннего электрического заряда;

j - плотность тока - величина, показывающая силу тока, протекающего через единицу площади;

с – скорость света в вакууме.

Изучением электромагнитного поля занимается наука, называемая электродинамикой . Она рассматривает его взаимодействие с телами, имеющими электрический заряд. Такое взаимодействие называется электромагнитным . Классическая электродинамика описывает только непрерывные свойства электромагнитного поля с помощью уравнений Максвелла. Современная квантовая электродинамика считает, что электромагнитное поле обладает также и дискретными (прерывными) свойствами. И такое электромагнитное взаимодействие происходит с помощью неделимых частиц-квантов, не имеющих массы и заряда. Квант электромагнитного поля называют фотоном .

Электромагнитное поле вокруг нас

Электромагнитное поле образуется вокруг любого проводника с переменным током. Источниками электромагнитных полей являются линии электропередач, электродвигатели, трансформаторы, городской электрический транспорт, железнодорожный транспорт, электрическая и электронная бытовая техника – телевизоры, компьютеры, холодильники, утюги, пылесосы, радиотелефоны, мобильные телефоны, электробритвы - словом, всё, что связано с потреблением или передачей электроэнергии. Мощные источники электромагнитных полей – телевизионные передатчики, антенны станций сотовой телефонной связи, радиолокационные станции, СВЧ-печи и др. А так как таких устройств вокруг нас довольно много, то электромагнитные поля окружают нас повсюду. Эти поля воздействуют на окружающую среду и человека. Нельзя сказать, что это влияние всегда негативное. Электрические и магнитные поля существовали вокруг человека давно, но мощность их излучения ещё несколько десятилетий назад был в сотни раз ниже нынешнего.

До определённого уровня электромагнитное излучение может быть безопасным для человека. Так, в медицине с помощью электромагнитного излучения низкой интенсивности заживляют ткани, устраняют воспалительные процессы, оказывают обезболивающее действие. Аппараты УВЧ снимают спазмы гладкой мускулатуры кишечника и желудка, улучшают обменные процессы в клетках организма, снижая тонус капилляров, понижают артериальное давление.

Но сильные электромагнитные поля вызывают сбои в работе сердечно-сосудистой, имунной, эндокринной и нервной систем человека, могут вызывать бессонницу, головные боли, стрессы. Опасность в том, что их воздействие практически незаметно для человека, а нарушения возникают постепенно.

Каким образом защититься от окружающего нас электромагнитного излучения? Полностью это сделать невозможно, поэтому нужно постараться свести к минимуму его воздействие. Прежде всего нужно расположить бытовые приборы таким образом, чтобы они находились подальше от тех мест, где мы находимся чаще всего. Например, не нужно садиться слишком близко к телевизору. Ведь чем дальше расстояние от источника электромагнитного поля, тем слабее оно становится. Очень часто мы оставляем прибор, включенным в розетку. Но электромагнитное поле исчезает, лишь когда прибор отключается от электрической сети.

Влияют на здоровье человека и естественные электромагнитные поля – космическое излучение, магнитное поле Земли.

Электромагнитное поле это такой вид материи, которая возникает вокруг движущихся зарядов. Например, вокруг проводника с током. Электромагнитное поле состоит из двух составляющих это электрическое и магнитное поле. Независимо друг от друга они существовать не могут. Одно порождает другое. При изменении электрического поля тут же возникает магнитное.

Скорость распространения электромагнитной волны V=C/EM

Где e и м соответственно магнитная и диэлектрическая проницаемость среды, в которой распространяется волна.
Электромагнитная волна в вакууме распространяется со скоростью света, то есть 300 000 км/с. Поскольку диэлектрическая и магнитная проницаемость вакуума считается равными 1.

При изменении электрического поля возникает магнитное поле. Так как вызвавшее его электрическое поле не является неизменным (то есть изменяется во времени) то и магнитное поле также будет переменным.

Изменяющееся магнитное поле в свою очередь порождает электрическое поле и так далее. Таким образом, для последующего поля (неважно будет оно электрическое или магнитное) источником будет служить предыдущее поле, а не первоначальный источник, то есть проводник с током.

Таким образом, даже после отключения тока в проводнике электромагнитное поле будет продолжать существовать и распространятся в пространстве.

Электромагнитная волна распространяется в пространстве во все стороны от своего источника. Можно себе представить включению лампочку, лучи света от нее распространяются во все стороны.

Электромагнитная волна при распространении переносит энергию в пространстве. Чем сильнее ток в проводнике вызвавший поле, тем больше энергия переносимая волной. Также энергия зависит от частоты излучаемых волн, при увеличении ее в 2,3,4 раза энергия волны увеличится в 4,9,16 раз соответственно. То есть энергия распространения волны пропорциональна квадрату частоты.

Наилучшие условия распространения волн создаются, когда длинна проводника, равна длине волны.

Силовые линии магнитного и электрического полетим взаимно перпендикулярно. Магнитные силовые линии охватывают проводник с током и всегда замкнуты.
Электрические силовые линии идут от одного заряда к другому.

Электромагнитная волна это всегда поперечная волна. То есть силовые линии как магнитные, так и электрические лежат в перпендикулярной плоскости к направлению распространения.

Напряжённость электромагнитного поля силовая характеристика поля. Также напряженность, векторная величина то есть у нее есть начало и направление.
Напряжённость поля направлена по касательной к силовым линиям.

Поскольку напряжённость электрического и магнитного поля перпендикулярны между собой, то есть правило, по которому можно определить направление распространения волны. При вращении винта по кратчайшему пути от вектора напряжённости электрического поля к вектору напряжённости магнитного поля поступательное движение винта укажет направление распространения волны.

В 1860-1865 гг. один из величайших физиков XIX века Джеймс Клерк Максвелл создал теорию электромагнитного поля. Согласно Максвеллу явление электромагнитной индукции объясняется следующим образом. Если в некоторой точке пространства изменяется во времени магнитное поле, то там образуется и электрическое поле. Если же в поле находится замкнутый проводник, то электрическое поле вызывает в нем индукционный ток. Из теории Максвелла следует, что возможен и обратный процесс. Если в некоторой области пространства меняется во времени электрическое поле, то здесь же образуется и магнитное поле.

Таким образом, любое изменение со временем магнитного поля приводит к возникновению изменяющегося электрического поля, а всякое изменение со временем электрического поля порождает изменяющееся магнитное поле. Эти порождающие друг друга переменные электрические и магнитные поля образуют единое электромагнитное поле.

Свойства электромагнитных волн

Важнейшим результатом, который вытекает из сформулированной Максвеллом теории электромагнитного поля, стало предсказание возможности существования электромагнитных волн. Электромагнитная волна - распространение электромагнитных полей в пространстве и во времени.

Электромагнитные волны, в отличие от упругих (звуковых) волн , могут распространяться в вакууме или любом другом веществе.

Электромагнитные волны в вакууме распространяются со скоростью c=299 792 км/с , то есть со скоростью света.

В веществе скорость электромагнитной волны меньше, чем в вакууме. Соотношение между длиной волны , её скоростью, периодом и частотой колебаний, полученные для механических волн выполняются и для электромагнитных волн:

Колебания вектора напряженности E и вектора магнитной индукции B происходят во взаимно перпендикулярных плоскостях и перпендикулярно направлению распространения волны (вектору скорости).

Электромагнитная волна переносит энергию.

Диапазон электромагнитных волн

Вокруг нас сложный мир электромагнитных волн различных частот: излучения мониторов компьютеров, сотовых телефонов, микроволновых печей, телевизоров и др. В настоящее время все электромагнитные волны разделены по длинам волн на шесть основных диапазонов.

Радиоволны - это электромагнитные волны (с длиной волны от 10000 м до 0,005 м), служащие для передачи сигналов (информации) на расстояние без проводов. В радиосвязи радиоволны создаются высокочастотными токами, текущими в антенне.

Электромагнитные излучения с длиной волны, от 0,005 м до 1 мкм, т.е. лежащие между диапазоном радиоволн и диапазоном видимого света, называются инфракрасным излучением . Инфракрасное излучение испускают любые нагретые тела. Источником инфракрасного излучения служат печи, батареи, электрические лампы накаливания. С помощью специальных приборов инфракрасное излучение можно преобразовать в видимый свет и получать изображения нагретых предметов в полной темноте.

К видимому свету относят излучения с длиной волны примерно 770 нм до 380 нм, от красного до фиолетового цвета. Значение этого участка спектра электромагнитных излучений в жизни человека исключительно велико, так как почти все сведения об окружающем мире человек получает с помощью зрения.

Невидимое глазом электромагнитное излучение с длиной волны меньше, чем у фиолетового цвета, называют ультрафиолетовым излучением. Оно способно убивать болезнетворные бактерии.

Рентгеновское излучение невидимо глазом. Оно проходит без существенного поглощения через значительные слои вещества, непрозрачного для видимого света, что используют для диагностики заболеваний внутренних органов.

Гамма-излучением называют электромагнитное излучение, испускаемое возбужденными ядрами и возникающее при взаимодействии элементарных частиц.

Принцип радиосвязи

Колебательный контур используют как источник электромагнитных волн. Для эффективного излучения контур "открывают", т.е. создают условия для того, чтобы поле "уходило" в пространство. Это устройство называется открытым колебательным контуром - антенной .

Радиосвязью называется передача информации с помощью электромагнитных волн, частоты которых находятся в диапазоне от до Гц.

Радар (радиолокатор)

Устройство, которое передает ультракороткие волны и тут же их принимает. Излучение осуществляется короткими импульсами. Импульсы отражаются от предметов, позволяя после приема и обработки сигнала установить дальность до предмета.

Радар скорости работает по аналогичному принципу. Подумайте, как радар определяет скорость движущейся машины.

Шмелев В.Е., Сбитнев С.А.

"ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ"

"ТЕОРИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ"

Глава 1. Основные понятия теории электромагнитного поля

§ 1.1. Определение электромагнитного поля и его физических величин.
Математический аппарат теории электромагнитного поля

Электромагнитным полем (ЭМП) называется вид материи, оказывающий на заряженные частицы силовое воздействие и определяемый во всех точках двумя парами векторных величин, которые характеризуют две его стороны - электрическое и магнитное поля.

Электрическое поле - это составляющая ЭМП, которая характеризуется воздействием на электрически заряженную частицу с силой, пропорциональной заряду частицы и не зависящей от ее скорости.

Магнитное поле - это составляющая ЭМП, которая характеризуется воздействием на движущуюся частицу с силой, пропорциональной заряду частицы и ее скорости.

Изучаемые в курсе теоретических основ электротехники основные свойства и методы расчета ЭМП предполагают качественное и количественное исследование ЭМП, встречающихся в электротехнических, радиоэлектронных и биомедицинских устройствах. Для этого наиболее пригодны уравнения электродинамики в интегральной и дифференциальной формах.

Математический аппарат теории электромагнитного поля (ТЭМП) базируется на теории скалярного поля, векторном и тензорном анализе, а также дифференциальном и интегральном исчислении.

Контрольные вопросы

1. Что такое электромагнитное поле?

2. Что называют электрическим и магнитным полем?

3. На чём базируется математический аппарат теории электромагнитного поля?

§ 1.2. Физические величины, характеризующие ЭМП

Вектором напряженности электрического поля в точке Q называется вектор силы, действующей на электрически заряженную неподвижную частицу, помещенную в точку Q , если эта частица имеет единичный положительный заряд.

В соответствии с этим определением электрическая сила, действующая на точечный заряд q равна:

где E измеряется в В/м.

Магнитное поле характеризуется вектором магнитной индукции . Магнитная индукция в некоторой точке наблюдения Q - это векторная величина, модуль которой равен магнитной силе, действующей на заряженную частицу, находящуюся в точке Q , имеющую единичный заряд и движущуюся с единичной скоростью, причем векторы силы, скорости, магнитной индукции, а также заряд частицы удовлетворяют условию

.

Магнитная сила, действующая на криволинейный проводник с током может быть определена по формуле

.

На прямолинейный проводник, если он находится в однородном поле, действует следующая магнитная сила

.

Во всех последних формулах B - магнитная индукция, которая измеряется в теслах (Тл).

1 Тл - это такая магнитная индукция, при которой на прямолинейный проводник с током 1А действует магнитная сила, равная 1Н, если линии магнитной индукции направлены перпендикулярно проводнику с током, и если длина проводника равна 1м.

Кроме напряженности электрического поля и магнитной индукции в теории электромагнитного поля рассматриваются следующие векторные величины:

1) электрическая индукция D (электрическое смещение), которая измеряется в Кл/м 2 ,

Векторы ЭМП являются функциями пространства и времени:

где Q - точка наблюдения, t - момент времени.

Если точка наблюдения Q находится в вакууме, то между соответствующими парами векторных величин имеют место следующие соотношения

где - абсолютная диэлектрическая проницаемость вакуума (основная электрическая постоянная), =8,85419*10 -12 ;

Абсолютная магнитная проницаемость вакуума (основная магнитная постоянная); = 4π*10 -7 .

Контрольные вопросы

1. Что такое напряжённость электрического поля?

2. Что называют магнитной индукцией?

3. Чему равна магнитная сила, действующая на движущуюся заряженную частицу?

4. Чему равна магнитная сила, действующая на проводник с током?

5. Какими векторными величинами характеризуется электрическое поле?

6. Какими векторными величинами характеризуется магнитное поле?

§ 1.3. Источники электромагнитного поля

Источниками ЭМП являются электрические заряды, электрические диполи, движущиеся электрические заряды, электрические токи, магнитные диполи.

Понятия электрического заряда и электрического тока даны в курсе физики. Электрические токи бывают трех типов:

1. Токи проводимости.

2. Токи смещения.

3. Токи переноса.

Ток проводимости - скорость прохождения подвижных зарядов электропроводящего тела через некоторую поверхность.

Ток смещения - скорость изменения потока вектора электрического смещения через некоторую поверхность.

.

Ток переноса характеризуется следующим выражением

где v - скорость переноса тел через поверхность S ; n - вектор единичной нормали к поверхности; - линейная плотность заряда тел, пролетающих через поверхность, в направлении нормали; ρ - объемная плотность электрического заряда; ρv - плотность тока переноса.

Электрическим диполем называется пара точечных зарядов +q и - q , находящихся на расстоянии l друг от друга (рис. 1).

Точечный электрический диполь характеризуется вектором электрического дипольного момента:

Магнитным диполем называется плоский контур с электрическим током I. Магнитный диполь характеризуется вектором магнитного дипольного момента

где S - вектор площади плоской поверхности, натянутой на контур с током. Вектор S направлен перпендикулярно этой плоской поверхности, причем, если смотреть из конца вектора S , то движение по контуру в направлении, совпадающим с направлением тока, будет происходить против часовой стрелки. Это означает, что направление вектора дипольного магнитного момента связано с направлением тока по правилу правого винта.

Атомы и молекулы вещества представляют собой электрические и магнитные диполи, поэтому каждую точку вещественного типа в ЭМП можно характеризовать объемной плотностью электрического и магнитного дипольного момента:

P - электрическая поляризованность вещества:

M - намагниченность вещества:

Электрическая поляризованность вещества - это векторная величина, равная объемной плотности электрического дипольного момента в некоторой точке вещественного тела.

Намагниченность вещества - это векторная величина, равная объемной плотности магнитного дипольного момента в некоторой точке вещественного тела.

Электрическое смещение - это векторная величина, которая для любой точки наблюдения вне зависимости от того, находится ли она в вакууме или в веществе, определяется из соотношения:

(для вакуума или вещества),

(только для вакуума).

Напряженность магнитного поля - векторная величина, которая для любой точки наблюдения вне зависимости от того находится ли она в вакууме или в веществе определяется из соотношения:

,

где напряженность магнитного поля измеряется в А/м.

Кроме поляризованности и намагниченности существуют другие объемно-распределенные источники ЭМП:

- объемная плотность электрического заряда ; ,

где объемная плотность электрического заряда измеряется в Кл/м 3 ;

- вектор плотности электрического тока , нормальная составляющая которого равна

В более общем случае ток, протекающий через незамкнутую поверхность S , равен потоку вектора плотности тока через эту поверхность:

где вектор плотности электрического тока измеряется в А/м 2 .

Контрольные вопросы

1. Что является источниками электромагнитного поля?

2. Что такое ток проводимости?

3. Что такое ток смещения?

4. Что такое ток переноса?

5. Что такое электрический диполь и электрический дипольный момент?

6. Что такое магнитный диполь и магнитный дипольный момент?

7. Что называют электрической поляризованностью и намагниченностью вещества?

8. Что называется электрическим смещением?

9. Что называется напряжённостью магнитного поля?

10. Что такое объёмная плотность электрического заряда и плотность тока?

Пример применения MATLAB

Задача .

Дано : Контур с электрическим током I в пространстве представляет собой периметр треугольника, декартовы координаты вершин которого заданы: x 1 , x 2 , x 3 , y 1 , y 2 , y 3 , z 1 , z 2 , z 3 . Здесь нижние индексы - номера вершин. Вершины пронумерованы в направлении протекания электрического тока.

Требуется составить функцию MATLAB, вычисляющую вектор дипольного магнитного момента контура. При составлении m-файла можно предполагать, что пространственные координаты измеряются в метрах, а ток - в амперах. Допускается произвольная организация входных и выходных параметров.

Решение

% m_dip_moment - вычисление магнитного дипольного момента треугольного контура с током в пространстве

% pm = m_dip_moment(tok,nodes)

% ВХОДНЫЕ ПАРАМЕТРЫ

% tok - ток в контуре;

% nodes - квадратная матрица вида ." , в каждой строке которой записаны координаты соответствующей вершины.

% ВЫХОДНОЙ ПАРАМЕТР

% pm - матрица-строка декартовых компонентов вектора магнитного дипольного момента.

function pm = m_dip_moment(tok,nodes);

pm=tok*)]) det()]) det()])]/2;

% В последнем операторе вектор площади треугольника умножается на ток

>> nodes=10*rand(3)

9.5013 4.8598 4.5647

2.3114 8.913 0.18504

6.0684 7.621 8.2141

>> pm=m_dip_moment(1,nodes)

13.442 20.637 -2.9692

В данном случае получилось P M = (13.442*1 x + 20.637*1 y - 2.9692*1 z ) А*м 2 , если ток в контуре равен 1 А.

§ 1.4. Пространственные дифференциальные операторы в теории электромагнитного поля

Градиентом скалярного поля Φ(Q ) = Φ(x, y, z ) называется векторное поле, определяемое формулой:

,

где V 1 - область, содержащая точку Q ; S 1 - замкнутая поверхность, ограничивающая область V 1 , Q 1 - точка, принадлежащая поверхности S 1 ; δ - наибольшее расстояние от точки Q до точек на поверхности S 1 (max| Q Q 1 |).

Дивергенцией векторного поля F (Q )=F (x, y, z ) называется скалярное поле, определяемое по формуле:

Ротором (вихрем) векторного поля F (Q )=F (x, y, z ) называется векторное поле, определяемое по формуле:

rot F =

Оператор набла - это векторный дифференциальный оператор, который в декартовых координатах определяется формулой:

Представим grad, div и rot через оператор набла:

Запишем эти операторы в декартовых координатах:

; ;

Оператор Лапласа в декартовых координатах определяется формулой:

Дифференциальные операторы второго порядка:

Интегральные теоремы

Теорема о градиенте ;

Теорема о дивергенции

Теорема о роторе

В теории ЭМП применяется также ещё одна из интегральных теорем:

.

Контрольные вопросы

1. Что называется градиентом скалярного поля?

2. Что называется дивергенцией векторного поля?

3. Что называется ротором векторного поля?

4. Что такое оператор набла и как через него выражаются дифференциальные операторы первого порядка?

5. Какие интегральные теоремы справедливы для скалярных и векторных полей?

Пример применения MATLAB

Задача .

Дано : В объёме тетраэдра скалярное и векторное поля изменяются по линейному закону. Координаты вершин тетраэдра заданы матрицей вида [x 1 , y 1 , z 1 ; x 2 , y 2 , z 2 ; x 3 , y 3 , z 3 ; x 4 , y 4 , z 4 ]. Значения скалярного поля в вершинах заданы матрицей [Ф 1 ; Ф 2 ; Ф 3 ; Ф 4 ]. Декартовы компоненты векторного поля в вершинах заданы матрицей [F 1 x , F 1y , F 1z ; F 2x , F 2y , F 2z ; F 3x , F 3y , F 3z ; F 4x , F 4y , F 4z ].

Определить в объёме тетраэдра градиент скалярного поля, а также дивергенцию и ротор векторного поля. Составить для этого функцию MATLAB.

Решение . Ниже приведён текст m-функции.

% grad_div_rot - Вычисление градиента, дивергенции и ротора... в объёме тетраэдра

% =grad_div_rot(nodes,scalar,vector)

% ВХОДНЫЕ ПАРАМЕТРЫ

% nodes - матрица координат вершин тетраэдра:

% строкам соответствуют вершины, столбцам - координаты;

% scalar - столбцовая матрица значений скалярного поля в вершинах;

% vector - матрица компонентов векторного поля в вершинах:

% ВЫХОДНЫЕ ПАРАМЕТРЫ

% grad - матрица-строка декартовых компонентов градиента скалярного поля;

% div - значение дивергенции векторного поля в объёме тетраэдра;

% rot - матрица-строка декартовых компонентов ротора векторного поля.

% При вычислениях предполагается, что в объёме тетраэдра

% векторное и скалярное поля изменяются в пространстве по линейному закону.

function =grad_div_rot(nodes,scalar,vector);

a=inv(); % Матрица коэффициентов линейной интерполяции

grad=(a(2:end,:)*scalar)."; % Компоненты градиента скалярного поля

div=*vector(:); % Дивергенция векторного поля

rot=sum(cross(a(2:end,:),vector."),2).";

Пример запуска разработанной m-функции:

>> nodes=10*rand(4,3)

3.5287 2.0277 1.9881

8.1317 1.9872 0.15274

0.098613 6.0379 7.4679

1.3889 2.7219 4.451

>> scalar=rand(4,1)

>> vector=rand(4,3)

0.52515 0.01964 0.50281

0.20265 0.68128 0.70947

0.67214 0.37948 0.42889

0.83812 0.8318 0.30462

>> =grad_div_rot(nodes,scalar,vector)

0.16983 -0.03922 -0.17125

0.91808 0.20057 0.78844

Если предположить, что пространственные координаты измеряются в метрах, а векторное и скалярное поля - безразмерные, то в данном примере получилось:

grad Ф = (-0.16983*1 x - 0.03922*1 y - 0.17125*1 z ) м -1 ;

div F = -1.0112 м -1 ;

rot F = (-0.91808*1 x + 0.20057*1 y + 0.78844*1 z ) м -1 .

§ 1.5. Основные законы теории электромагнитного поля

Уравнения ЭМП в интегральной форме

Закон полного тока:

или

Циркуляция вектора напряженности магнитного поля вдоль контура l равна полному электрическому току, протекающему через поверхность S , натянутую на контур l , если направление тока образуют с направлением обхода контура правовинтовую систему.

Закон электромагнитной индукции:

,

где E c - напряженность стороннего электрического поля.

ЭДС электромагнитной индукции e и в контуре l равна скорости изменения магнитного потока через поверхность S , натянутую на контур l , причем направление скорости изменения магнитного потока образует с направлением e и левовинтовую систему.

Теорема Гаусса в интегральной форме:

Поток вектора электрического смещения через замкнутую поверхность S равен сумме свободных электрических зарядов в объёме, ограниченном поверхностью S .

Закон непрерывности линий магнитной индукции:

Магнитный поток через любую замкнутую поверхность равен нулю.

Непосредственное применение уравнений в интегральной форме позволяет производить расчет простейших электромагнитных полей. Для расчета электромагнитных полей более сложной формы применяют уравнения в дифференциальной форме. Эти уравнения называются уравнениями Максвелла.

Уравнения Максвелла для неподвижных сред

Эти уравнения непосредственно следуют из соответствующих уравнений в интегральной форме и из математических определений пространственных дифференциальных операторов.

Закон полного тока в дифференциальной форме:

,

Плотность полного электрического тока,

Плотность стороннего электрического тока,

Плотность тока проводимости,

Плотность тока смещения: ,

Плотность тока переноса: .

Это означает, что электрический ток является вихревым источником векторного поля напряженности магнитного поля.

Закон электромагнитной индукции в дифференциальной форме:

Это означает, что переменное магнитное поле является вихревым источником для пространственного распределения вектора напряженности электрического поля.

Уравнение непрерывности линий магнитной индукции:

Это означает, что поле вектора магнитной индукции не имеет истоков, т.е. в природе не существует магнитных зарядов (магнитных монополей).

Теорема Гаусса в дифференциальной форме:

Это означает, что истоками векторного поля электрического смещения являются электрические заряды.

Для обеспечения единственности решения задачи анализа ЭМП необходимо дополнить уравнения Максвелла уравнениями материальной связи между векторами E и D , а также B и H .

Соотношения между векторами поля и электрофизическими свойствами среды

Известно, что

(1)

Все диэлектрики поляризуются под действием электрического поля. Все магнетики намагничиваются под действием магнитного поля. Статические диэлектрические свойства вещества могут быть полностью описаны функциональной зависимостью вектора поляризованности P от вектора напряженности электрического поля E (P =P (E )). Статические магнитные свойства вещества могут быть полностью описаны функциональной зависимостью вектора намагниченности M от вектора напряженности магнитного поля H (M =M (H )). В общем случае такие зависимости носят неоднозначный (гистерезисный) характер. Это означает, что вектор поляризованности или намагниченности в точке Q определяется не только значением вектора E или H в этой точке, но и предысторией изменения вектора E или H в этой точке. Экспериментально исследовать и моделировать эти зависимости чрезвычайно сложно. Поэтому на практике часто предполагают, что векторы P и E , а также M и H коллинеарны, и электрофизические свойства вещества описывают скалярными гистерезисными функциями (|P |=|P |(|E |), |M |=|M |(|H |). Если гистерезисными характеристиками вышеназванных функций можно пренебречь, то электрофизические свойства описывают однозначными функциями P =P (E ), M =M (H ).

Во многих случаях эти функции приближенно можно считать линейными, т.е.

Тогда с учетом соотношения (1) можно записать следующее

,

(4)

Соответственно относительная диэлектрическая и магнитная проницаемости вещества:

Абсолютная диэлектрическая проницаемость вещества:

Абсолютная магнитная проницаемость вещества:

Соотношения (2), (3), (4) характеризуют диэлектрические и магнитные свойства вещества. Электропроводящие свойства вещества могут быть описаны законом Ома в дифференциальной форме

где - удельная электрическая проводимость вещества, измеряемая в См/м.

В более общем случае зависимость между плотностью тока проводимости и вектором напряженности электрического поля носит нелинейный векторно-гистерезисный характер.

Энергия электромагнитного поля

Объемная плотность энергии электрического поля равна

,

где W э измеряется в Дж/м 3 .

Объемная плотность энергии магнитного поля равна

,

где W м измеряется в Дж/м 3 .

Объемная плотность энергии электромагнитного поля равна

В случае линейных электрических и магнитных свойств вещества объемная плотность энергии ЭМП равна

Это выражение справедливо для мгновенных значений удельной энергии и векторов ЭМП.

Удельная мощность тепловых потерь от токов проводимости

Удельная мощность сторонних источников

Контрольные вопросы

1. Как формулируется закон полного тока в интегральной форме?

2. Как формулируется закон электромагнитной индукции в интегральной форме?

3. Как формулируется теорема Гаусса и закон непрерывности магнитного потока в интегральной форме?

4. Как формулируется закон полного тока в дифференциальной форме?

5. Как формулируется закон электромагнитной индукции в дифференциальной форме?

6. Как формулируется теорема Гаусса и закон непрерывности линий магнитной индукции в интегральной форме?

7. Какими соотношениями описываются электрофизические свойства вещества?

8. Как выражается энергия электромагнитного поля через векторные величины, его определяющие?

9. Как определяется удельная мощность тепловых потерь и удельная мощность сторонних источников?

Примеры применения MATLAB

Задача 1 .

Дано : Внутри объёма тетраэдра магнитная индукция и намагниченность вещества изменяются по линейному закону. Координаты вершин тетраэдра заданы, значения векторов магнитной индукции и намагниченности вещества в вершинах также заданы.

Вычислить плотность электрического тока в объёме тетраэдра, используя m-функцию, составленную при решении задачи в предыдущем параграфе. Вычисление выполнить в командном окне MATLAB, предполагая, что пространственные координаты измеряются в миллиметрах, магнитная индукция - в теслах, напряжённость магнитного поля и намагниченность - в кА/м.

Решение .

Зададим исходные данные в формате, совместимом с m-функцией grad_div_rot:

>> nodes=5*rand(4,3)

0.94827 2.7084 4.3001

0.96716 0.75436 4.2683

3.4111 3.4895 2.9678

1.5138 1.8919 2.4828

>> B=rand(4,3)*2.6-1.3

1.0394 0.41659 0.088605

0.83624 -0.41088 0.59049

0.37677 -0.54671 -0.49585

0.82673 -0.4129 0.88009

>> mu0=4e-4*pi % абcолютная магнитная проницаемоcть вакуума, мкГн/мм

>> M=rand(4,3)*1800-900

122.53 -99.216 822.32

233.26 350.22 40.663

364.93 218.36 684.26

83.828 530.68 -588.68

>> =grad_div_rot(nodes,ones(4,1),B/mu0-M)

0 -3.0358e-017 0

914.2 527.76 -340.67

В данном примере вектор полной плотности тока в рассматриваемом объёме получился равным (-914.2*1 x + 527.76*1 y - 340.67*1 z ) А/мм 2 . Чтобы определить модуль плотности тока, выполним следующий оператор:

>> cur_d=sqrt(cur_dens*cur_dens.")

Вычисленное значение плотности тока не может быть получено в сильно намагниченных средах в реальных технических устройствах. Данный пример - чисто учебный. А теперь проверим корректность задания распределения магнитной индукции в объёме тетраэдра. Для этого выполним следующий оператор:

>> =grad_div_rot(nodes,ones(4,1),B)

0 -3.0358e-017 0

0.38115 0.37114 -0.55567

Здесь мы получили значение div B = -0.34415 Тл/мм, чего не может быть в соответствии с законом непрерывности линий магнитной индукции в дифференциальной форме. Из этого следует, что распределение магнитной индукции в объёме тетраэдра задано некорректно.

Задача 2 .

Пусть тетраэдр, координаты вершин которого заданы, находится в воздухе (единицы измерения - метры). Пусть заданы значения вектора напряжённости электрического поля в его вершинах (единицы измерения - кВ/м).

Требуется вычислить объёмную плотность электрического заряда внутри тетраэдра.

Решение можно выполнить аналогично:

>> nodes=3*rand(4,3)

2.9392 2.2119 0.59741

0.81434 0.40956 0.89617

0.75699 0.03527 1.9843

2.6272 2.6817 0.85323

>> eps0=8.854e-3 % абсолютная диэлектрическая проницаемость вакуума, нФ/м

>> E=20*rand(4,3)

9.3845 8.4699 4.519

1.2956 10.31 11.596

19.767 6.679 15.207

11.656 8.6581 10.596

>> =grad_div_rot(nodes,ones(4,1),E*eps0)

0.076467 0.21709 -0.015323

В данном примере объёмная плотность заряда получилась равной 0.10685 мкКл/м 3 .

§ 1.6. Граничные условия для векторов ЭМП.
Закон сохранения заряда. Теорема Умова-Пойнтинга

или

Здесь обозначено: H 1 - вектор напряжённости магнитного поля на поверхности раздела сред в среде №1; H 2 - то же в среде №2; H 1t - тангенциальная (касательная) составляющая вектора напряжённости магнитного поля на поверхности раздела сред в среде №1; H 2t - то же в среде №2; E 1 вектор полной напряжённости электрического поля на поверхности раздела сред в среде №1; E 2 - то же в среде №2; E 1 c - сторонняя составляющая вектора напряжённости электрического поля на поверхности раздела сред в среде №1; E 2с - то же в среде №2; E 1t - тангенциальная составляющая вектора напряжённости электрического поля на поверхности раздела сред в среде №1; E 2t - то же в среде №2; E 1сt - тангенциальная сторонняя составляющая вектора напряжённости электрического поля на поверхности раздела сред в среде №1; E 2t - то же в среде №2; B 1 - вектор магнитной индукции на поверхности раздела сред в среде №1; B 2 - то же в среде №2; B 1n - нормальная составляющая вектора магнитной индукции на поверхности раздела сред в среде №1; B 2n - то же в среде №2; D 1 - вектор электрического смещения на поверхности раздела сред в среде №1; D 2 - то же в среде №2; D 1n - нормальная составляющая вектора электрического смещения на поверхности раздела сред в среде №1; D 2n - то же в среде №2; σ - поверхностная плотность электрического заряда на границе раздела сред, измеряемая в Кл/м 2 .

Закон сохранения заряда

Если отсутствуют сторонние источники тока, то

а в общем случае , т. е. вектор плотности полного тока не имеет истоков, т. е. линии полного тока всегда замкнуты

Теорема Умова-Пойнтинга

Объёмная плотность мощности, потребляемой материальной точкой в ЭМП, равна

В соответствии с тождеством (1)

Это и есть уравнение баланса мощностей для объема V . В общем случае в соответствии с равенством (3) электромагнитная мощность, генерируемая источниками внутри объема V , идет на тепловые потери, на накопление энергии ЭМП и на излучение в окружающее пространство через замкнутую поверхность, ограничивающую этот объем.

Подынтегральное выражение в интеграле (2) называется вектором Пойнтинга:

,

где П измеряется в Вт/м 2 .

Этот вектор равен плотности потока электромагнитной мощности в некоторой точке наблюдения. Равенство (3) - есть математическое выражение теоремы Умова-Пойнтинга.

Электромагнитная мощность, излучаемая областью V в окружающее пространство равна потоку вектора Пойнтинга через замкнутую поверхность S , ограничивающую область V .

Контрольные вопросы

1. Какими выражениями описываются граничные условия для векторов электромагнитного поля на поверхностях раздела сред?

2. Как формулируется закон сохранения заряда в дифференциальной форме?

3. Как формулируется закон сохранения заряда в интегральной форме?

4. Какими выражениями описываются граничные условия для плотности тока на поверхностях раздела сред?

5. Чему равна объемная плотность мощности, потребляемой материальной точкой в электромагнитном поле?

6. Как записывается уравнение баланса электромагнитной мощности для некоторого объёма?

7. Что такое вектор Пойнтинга?

8. Как формулируется теорема Умова-Пойнтинга?

Пример применения MATLAB

Задача .

Дано : Имеется треугольная поверхность в пространстве. Координаты вершин заданы. Значения векторов напряжённости электрического и магнитного поля в вершинах также заданы. Сторонняя составляющая напряжённости электрического поля равна нулю.

Требуется вычислить электромагнитную мощность, проходящую через эту треугольную поверхность. Составить функцию MATLAB, выполняющую это вычисление. При вычислениях считать, что вектор положительной нормали направлен так, что если смотреть из его конца, то движение в порядке возрастания номеров вершин будет происходить против часовой стрелки.

Решение . Ниже приведён текст m-функции.

% em_power_tri - вычисление электромагнитной мощности, проходящей через

% треугольную поверхность в пространстве

% P=em_power_tri(nodes,E,H)

% ВХОДНЫЕ ПАРАМЕТРЫ

% nodes - квадратная матрица вида ." ,

% в каждой строке которой записаны координаты соответствующей вершины.

% E - матрица компонентов вектора напряжённости электрического поля в вершинах:

% строкам соответствуют вершины, столбцам - декартовы компоненты.

% H - матрица компонентов вектора напряжённости магнитного поля в вершинах.

% ВЫХОДНОЙ ПАРАМЕТР

% P - электромагнитная мощность, проходящая через треугольник

% При вычислениях предполагается, что на треугольнике

% векторы напряжённости поля изменяются в пространстве по линейному закону.

function P=em_power_tri(nodes,E,H);

% Вычисляем вектор двойной площади треугольника

S=)]) det()]) det()])];

P=sum(cross(E,(ones(3,3)+eye(3))*H,2))*S."/24;

Пример запуска разработанной m-функции:

>> nodes=2*rand(3,3)

0.90151 0.5462 0.4647

1.4318 0.50954 1.6097

1.7857 1.7312 1.8168

>> E=2*rand(3,3)

0.46379 0.15677 1.6877

0.47863 1.2816 0.3478

0.099509 0.38177 0.34159

>> H=2*rand(3,3)

1.9886 0.62843 1.1831

0.87958 0.73016 0.23949

0.6801 0.78648 0.076258

>> P=em_power_tri(nodes,E,H)

Если предположить, что пространственные координаты измеряются в метрах, вектор напряжённости электрического поля - в вольтах на метр, вектор напряжённости магнитного поля - в амперах на метр, то в данном примере электромагнитная мощность, проходящая через треугольник, получилась равной 0.18221 Вт.