घर › मिश्रित › लघुगणक परिभाषा क्या हैं. लघुगणक - गुण, सूत्र, ग्राफ

लघुगणक परिभाषा क्या हैं. लघुगणक - गुण, सूत्र, ग्राफ

बुनियादी गुण.

लॉगैक्स + लॉगे = लॉग(x y);
logax - logay = log(x: y)।

वही आधार

लॉग6 4 + लॉग6 9.

अब कार्य को थोड़ा जटिल बनाते हैं।

लघुगणक हल करने के उदाहरण

यदि लघुगणक के आधार या तर्क में कोई डिग्री हो तो क्या होगा? फिर इस डिग्री के घातांक को निम्नलिखित नियमों के अनुसार लघुगणक के चिह्न से बाहर निकाला जा सकता है:

निःसंदेह, यदि ODZ लघुगणक देखा जाए तो ये सभी नियम समझ में आते हैं: a > 0, a ≠ 1, x >

काम। अभिव्यक्ति का मान ज्ञात कीजिए:

एक नई नींव में परिवर्तन

मान लीजिए लघुगणक लघुगणक दिया गया है। फिर किसी भी संख्या c के लिए जैसे कि c > 0 और c ≠ 1, समानता सत्य है:

काम। अभिव्यक्ति का मान ज्ञात कीजिए:

यह सभी देखें:

लघुगणक के मूल गुण

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

प्रतिपादक 2.718281828 है... प्रतिपादक को याद रखने के लिए, आप नियम का अध्ययन कर सकते हैं: प्रतिपादक 2.7 है और लियो टॉल्स्टॉय के जन्म के वर्ष का दोगुना है।

लघुगणक के मूल गुण

इस नियम को जानने से आपको प्रतिपादक का सटीक मान और लियो टॉल्स्टॉय की जन्म तिथि दोनों पता चल जाएगी।

लघुगणक के उदाहरण

भावों का लघुगणक लीजिए

उदाहरण 1
ए)। x=10ac^2 (a>0, c>0).

गुण 3,5 से हम गणना करते हैं

4. कहाँ .

उदाहरण 2 यदि x ज्ञात करें

उदाहरण 3. मान लीजिए लघुगणक का मान दिया गया है

यदि लॉग(x) की गणना करें

लघुगणक के मूल गुण

लघुगणक, किसी भी संख्या की तरह, हर संभव तरीके से जोड़ा, घटाया और परिवर्तित किया जा सकता है। लेकिन चूंकि लघुगणक बिल्कुल सामान्य संख्याएं नहीं हैं, इसलिए यहां नियम हैं, जिन्हें कहा जाता है बुनियादी गुण.

आपको इन नियमों को अवश्य जानना चाहिए - इनके बिना कोई भी गंभीर लघुगणकीय समस्या हल नहीं की जा सकती। इसके अलावा, उनमें से बहुत कम हैं - सब कुछ एक दिन में सीखा जा सकता है। तो चलो शुरू हो जाओ।

लघुगणक का जोड़ और घटाव

समान आधार वाले दो लघुगणक पर विचार करें: लॉगैक्स और लॉगे। फिर उन्हें जोड़ा और घटाया जा सकता है, और:

लॉगैक्स + लॉगे = लॉग(x y);
logax - logay = log(x: y)।

तो, लघुगणक का योग उत्पाद के लघुगणक के बराबर है, और अंतर भागफल का लघुगणक है। कृपया ध्यान दें: यहां मुख्य बात यह है - वही आधार. यदि आधार भिन्न हैं तो ये नियम काम नहीं करते!

ये सूत्र लघुगणकीय अभिव्यक्ति की गणना करने में मदद करेंगे, भले ही इसके अलग-अलग हिस्सों पर विचार न किया गया हो (पाठ "लघुगणक क्या है" देखें)। उदाहरणों पर एक नज़र डालें और देखें:

चूँकि लघुगणक के आधार समान हैं, हम योग सूत्र का उपयोग करते हैं:
लॉग6 4 + लॉग6 9 = लॉग6 (4 9) = लॉग6 36 = 2।

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: log2 48 − log2 3.

आधार समान हैं, हम अंतर सूत्र का उपयोग करते हैं:
लॉग2 48 - लॉग2 3 = लॉग2 (48:3) = लॉग2 16 = 4।

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: log3 135 − log3 5.

फिर, आधार वही हैं, इसलिए हमारे पास है:
लॉग3 135 - लॉग3 5 = लॉग3 (135:5) = लॉग3 27 = 3।

जैसा कि आप देख सकते हैं, मूल अभिव्यक्तियाँ "खराब" लघुगणक से बनी हैं, जिन पर अलग से विचार नहीं किया गया है। लेकिन परिवर्तनों के बाद बिल्कुल सामान्य संख्याएँ सामने आती हैं। कई परीक्षण इसी तथ्य पर आधारित होते हैं. हाँ, नियंत्रण - पूरी गंभीरता के साथ समान अभिव्यक्तियाँ (कभी-कभी - वस्तुतः बिना किसी बदलाव के) परीक्षा में पेश की जाती हैं।

लघुगणक से घातांक को हटाना

यह देखना आसान है कि अंतिम नियम उनके पहले दो नियमों का पालन करता है। लेकिन फिर भी इसे याद रखना बेहतर है - कुछ मामलों में यह गणनाओं की मात्रा को काफी कम कर देगा।

निःसंदेह, यदि ODZ लघुगणक देखा जाए तो ये सभी नियम समझ में आते हैं: a > 0, a ≠ 1, x > 0. और एक और बात: सभी सूत्रों को न केवल बाएं से दाएं, बल्कि इसके विपरीत भी लागू करना सीखें, यानी। आप लघुगणक के चिह्न से पहले की संख्याओं को लघुगणक में ही दर्ज कर सकते हैं। इसकी सबसे अधिक आवश्यकता होती है।

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: log7 496।

आइए पहले सूत्र के अनुसार तर्क में डिग्री से छुटकारा पाएं:
लॉग7 496 = 6 लॉग7 49 = 6 2 = 12

काम। अभिव्यक्ति का मान ज्ञात कीजिए:

ध्यान दें कि हर एक लघुगणक है जिसका आधार और तर्क सटीक घात हैं: 16 = 24; 49 = 72. हमारे पास है:

मुझे लगता है कि अंतिम उदाहरण को स्पष्टीकरण की आवश्यकता है। लघुगणक कहाँ चले गए? अंतिम क्षण तक, हम केवल हर के साथ काम करते हैं।

लघुगणक के सूत्र. लघुगणक समाधान के उदाहरण हैं.

उन्होंने वहां खड़े लघुगणक के आधार और तर्क को डिग्री के रूप में प्रस्तुत किया और संकेतक निकाले - उन्हें एक "तीन मंजिला" अंश मिला।

अब आइए मुख्य अंश पर नजर डालें। अंश और हर की संख्या समान है: log2 7. चूंकि log2 7 ≠ 0, हम भिन्न को कम कर सकते हैं - 2/4 हर में रहेगा। अंकगणित के नियमों के अनुसार, चार को अंश में स्थानांतरित किया जा सकता है, जो किया गया था। परिणाम उत्तर है: 2.

एक नई नींव में परिवर्तन

लघुगणक जोड़ने और घटाने के नियमों के बारे में बोलते हुए, मैंने विशेष रूप से जोर दिया कि वे केवल समान आधारों के साथ काम करते हैं। यदि आधार भिन्न हों तो क्या होगा? क्या होगा यदि वे एक ही संख्या की सटीक घातें नहीं हैं?

नए आधार पर संक्रमण के सूत्र बचाव में आते हैं। हम उन्हें एक प्रमेय के रूप में तैयार करते हैं:

विशेष रूप से, यदि हम c = x रखते हैं, तो हमें मिलता है:

दूसरे सूत्र से यह निष्कर्ष निकलता है कि आधार और लघुगणक के तर्क को आपस में बदलना संभव है, लेकिन इस मामले में पूरी अभिव्यक्ति "उलट" है, अर्थात। लघुगणक हर में है.

ये सूत्र सामान्य संख्यात्मक अभिव्यक्तियों में बहुत कम पाए जाते हैं। लघुगणकीय समीकरणों और असमानताओं को हल करते समय ही यह मूल्यांकन करना संभव है कि वे कितने सुविधाजनक हैं।

हालाँकि, ऐसे कार्य हैं जिन्हें नई नींव पर जाने के अलावा बिल्कुल भी हल नहीं किया जा सकता है। आइए इनमें से कुछ पर विचार करें:

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: log5 16 log2 25.

ध्यान दें कि दोनों लघुगणक के तर्क सटीक घातांक हैं। आइए संकेतक निकालें: लॉग5 16 = लॉग5 24 = 4लॉग5 2; लॉग2 25 = लॉग2 52 = 2लॉग2 5;

अब दूसरे लघुगणक को पलटें:

चूँकि गुणनखंडों के क्रमपरिवर्तन से गुणनफल नहीं बदलता है, इसलिए हमने शांति से चार और दो को गुणा किया, और फिर लघुगणक निकाला।

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: log9 100 lg 3.

प्रथम लघुगणक का आधार और तर्क सटीक घात हैं। आइए इसे लिखें और संकेतकों से छुटकारा पाएं:

आइए अब एक नए आधार पर जाकर दशमलव लघुगणक से छुटकारा पाएं:

बुनियादी लघुगणकीय पहचान

अक्सर हल करने की प्रक्रिया में किसी संख्या को किसी दिए गए आधार पर लघुगणक के रूप में प्रस्तुत करना आवश्यक होता है। इस मामले में, सूत्र हमारी मदद करेंगे:

पहले मामले में, संख्या n तर्क में प्रतिपादक बन जाती है। संख्या n बिल्कुल कुछ भी हो सकती है, क्योंकि यह केवल लघुगणक का मान है।

दूसरा सूत्र वास्तव में एक संक्षिप्त परिभाषा है। इसे इस प्रकार कहा जाता है:

वास्तव में, यदि संख्या b को इस हद तक बढ़ा दिया जाए कि इस डिग्री में संख्या b, संख्या a दे तो क्या होगा? यह सही है: यह वही संख्या है। इस पैराग्राफ को दोबारा ध्यान से पढ़ें - कई लोग इस पर "लटके" रहते हैं।

नए आधार रूपांतरण फ़ार्मुलों की तरह, मूल लघुगणकीय पहचान कभी-कभी एकमात्र संभावित समाधान होती है।

काम। अभिव्यक्ति का मान ज्ञात कीजिए:

ध्यान दें कि लॉग 25 64 = लॉग 5 8 - बस आधार से वर्ग और लघुगणक का तर्क हटा दिया गया है। समान आधार से घातों को गुणा करने के नियमों को देखते हुए, हमें यह मिलता है:

यदि किसी को इसकी जानकारी नहीं है, तो यह एकीकृत राज्य परीक्षा का एक वास्तविक कार्य था 🙂

लघुगणकीय इकाई और लघुगणकीय शून्य

अंत में, मैं दो पहचान दूंगा जिन्हें गुण कहना मुश्किल है - बल्कि, ये लघुगणक की परिभाषा के परिणाम हैं। वे लगातार समस्याओं में पाए जाते हैं और आश्चर्यजनक रूप से, "उन्नत" छात्रों के लिए भी समस्याएं पैदा करते हैं।

लोगा = 1 है. एक बार और हमेशा के लिए याद रखें: किसी भी आधार का लघुगणक उस आधार से स्वयं एक के बराबर होता है।
लॉगा 1 = 0 है. आधार कुछ भी हो सकता है, लेकिन यदि तर्क एक है, तो लघुगणक शून्य है! क्योंकि a0 = 1 परिभाषा का प्रत्यक्ष परिणाम है।

बस इतनी ही संपत्ति है. उन्हें अभ्यास में लाने का अभ्यास अवश्य करें! पाठ की शुरुआत में चीट शीट डाउनलोड करें, उसका प्रिंट आउट लें और समस्याओं का समाधान करें।

यह सभी देखें:

आधार a से संख्या b का लघुगणक अभिव्यक्ति को दर्शाता है। लघुगणक की गणना करने का अर्थ है ऐसी घात x() ज्ञात करना जिस पर समानता सत्य हो

लघुगणक के मूल गुण

उपरोक्त गुणों को जानना आवश्यक है, क्योंकि इनके आधार पर लगभग सभी समस्याओं और उदाहरणों को लघुगणक के आधार पर हल किया जाता है। शेष विदेशी गुण इन सूत्रों के साथ गणितीय हेरफेर द्वारा प्राप्त किए जा सकते हैं

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

गणना करते समय लघुगणक (3.4) के योग और अंतर के सूत्र अक्सर सामने आते हैं। बाकी कुछ हद तक जटिल हैं, लेकिन कई कार्यों में जटिल अभिव्यक्तियों को सरल बनाने और उनके मूल्यों की गणना करने के लिए वे अपरिहार्य हैं।

लघुगणक के सामान्य मामले

कुछ सामान्य लघुगणक वे हैं जिनमें आधार सम दस, घातीय या ड्यूस है।
आधार दस लघुगणक को आमतौर पर आधार दस लघुगणक कहा जाता है और इसे केवल lg(x) द्वारा दर्शाया जाता है।

रिकार्ड से पता चलता है कि रिकार्ड में मूल बातें लिखी नहीं हैं। उदाहरण के लिए

प्राकृतिक लघुगणक वह लघुगणक है जिसका आधार घातांक है (जिसे ln(x) दर्शाया गया है)।

प्रतिपादक 2.718281828 है... प्रतिपादक को याद रखने के लिए, आप नियम का अध्ययन कर सकते हैं: प्रतिपादक 2.7 है और लियो टॉल्स्टॉय के जन्म के वर्ष का दोगुना है। इस नियम को जानने से आपको प्रतिपादक का सटीक मान और लियो टॉल्स्टॉय की जन्म तिथि दोनों पता चल जाएगी।

और दूसरा महत्वपूर्ण आधार दो लघुगणक है

फ़ंक्शन के लघुगणक का व्युत्पन्न चर द्वारा विभाजित एक के बराबर है

अभिन्न या प्रतिअवकलन लघुगणक निर्भरता द्वारा निर्धारित होता है

उपरोक्त सामग्री आपके लिए लघुगणक और लघुगणक से संबंधित विभिन्न प्रकार की समस्याओं को हल करने के लिए पर्याप्त है। सामग्री को आत्मसात करने के लिए, मैं स्कूली पाठ्यक्रम और विश्वविद्यालयों से केवल कुछ सामान्य उदाहरण दूंगा।

लघुगणक के उदाहरण

भावों का लघुगणक लीजिए

उदाहरण 1
ए)। x=10ac^2 (a>0, c>0).

गुण 3,5 से हम गणना करते हैं

2.
लघुगणक के अंतर गुण से, हमारे पास है

3.
गुण 3.5 का उपयोग करके हम पाते हैं

4. कहाँ .

नियमों की एक श्रृंखला का उपयोग करके एक जटिल प्रतीत होने वाली अभिव्यक्ति को सरल बनाया जाता है

लघुगणक मान ढूँढना

उदाहरण 2 यदि x ज्ञात करें

समाधान। गणना के लिए, हम गुण 5 और 13 को अंतिम पद तक लागू करते हैं

रिकार्ड में स्थानापन्न करें और शोक मनायें

चूँकि आधार बराबर हैं, हम व्यंजकों को बराबर करते हैं

लघुगणक. प्रथम स्तर।

मान लीजिए लघुगणक का मान दिया गया है

यदि लॉग(x) की गणना करें

समाधान: पदों के योग के माध्यम से लघुगणक लिखने के लिए चर का लघुगणक लें

यह लघुगणक और उनके गुणों से परिचित होने की शुरुआत मात्र है। गणनाओं का अभ्यास करें, अपने व्यावहारिक कौशल को समृद्ध करें - लघुगणकीय समीकरणों को हल करने के लिए आपको जल्द ही अर्जित ज्ञान की आवश्यकता होगी। ऐसे समीकरणों को हल करने की बुनियादी विधियों का अध्ययन करने के बाद, हम एक और समान रूप से महत्वपूर्ण विषय - लघुगणक असमानताओं के लिए आपके ज्ञान का विस्तार करेंगे ...

लघुगणक के मूल गुण

लघुगणक का जोड़ और घटाव

लॉगैक्स + लॉगे = लॉग(x y);
logax - logay = log(x: y)।

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: log6 4 + log6 9।

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: log2 48 − log2 3.

आधार समान हैं, हम अंतर सूत्र का उपयोग करते हैं:
लॉग2 48 - लॉग2 3 = लॉग2 (48:3) = लॉग2 16 = 4।

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: log3 135 − log3 5.

फिर, आधार वही हैं, इसलिए हमारे पास है:
लॉग3 135 - लॉग3 5 = लॉग3 (135:5) = लॉग3 27 = 3।

लघुगणक से घातांक को हटाना

अब कार्य को थोड़ा जटिल बनाते हैं। यदि लघुगणक के आधार या तर्क में कोई डिग्री हो तो क्या होगा? फिर इस डिग्री के घातांक को निम्नलिखित नियमों के अनुसार लघुगणक के चिह्न से बाहर निकाला जा सकता है:

लघुगणक कैसे हल करें

इसकी सबसे अधिक आवश्यकता होती है।

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: log7 496।

आइए पहले सूत्र के अनुसार तर्क में डिग्री से छुटकारा पाएं:
लॉग7 496 = 6 लॉग7 49 = 6 2 = 12

काम। अभिव्यक्ति का मान ज्ञात कीजिए:

मुझे लगता है कि अंतिम उदाहरण को स्पष्टीकरण की आवश्यकता है। लघुगणक कहाँ चले गए? अंतिम क्षण तक, हम केवल हर के साथ काम करते हैं। उन्होंने वहां खड़े लघुगणक के आधार और तर्क को डिग्री के रूप में प्रस्तुत किया और संकेतक निकाले - उन्हें एक "तीन मंजिला" अंश मिला।

एक नई नींव में परिवर्तन

विशेष रूप से, यदि हम c = x रखते हैं, तो हमें मिलता है:

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: log5 16 log2 25.

अब दूसरे लघुगणक को पलटें:

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: log9 100 lg 3.

आइए अब एक नए आधार पर जाकर दशमलव लघुगणक से छुटकारा पाएं:

बुनियादी लघुगणकीय पहचान

दूसरा सूत्र वास्तव में एक संक्षिप्त परिभाषा है। इसे इस प्रकार कहा जाता है:

काम। अभिव्यक्ति का मान ज्ञात कीजिए:

लघुगणकीय इकाई और लघुगणकीय शून्य

लोगा = 1 है. एक बार और हमेशा के लिए याद रखें: किसी भी आधार का लघुगणक उस आधार से स्वयं एक के बराबर होता है।
लॉगा 1 = 0 है. आधार कुछ भी हो सकता है, लेकिन यदि तर्क एक है, तो लघुगणक शून्य है! क्योंकि a0 = 1 परिभाषा का प्रत्यक्ष परिणाम है।

लोगारित्म सकारात्मक संख्याएन से आधार(बी> 0, बी 1 ) प्रतिपादक कहलाता हैएक्स , जिसे आपको बढ़ाने की आवश्यकता हैबी एन प्राप्त करने के लिए .

लघुगणक संकेतन:

यह प्रविष्टि निम्नलिखित के बराबर है:बी एक्स = एन .

उदाहरण: लॉग 3 81 = 4, चूँकि 3 4 = 81;

लॉग 1/3 27 = – 3, चूँकि (1/3) - 3 = 3 3 = 27।

लघुगणक की उपरोक्त परिभाषा को एक पहचान के रूप में लिखा जा सकता है:

लघुगणक के मूल गुण।

1) लकड़ी का लट्ठा बी= 1 , क्योंकि बी 1 = बी.

बी

2) लॉग 1 = 0 , क्योंकि बी 0 = 1 .

बी

3) उत्पाद का लघुगणक कारकों के लघुगणक के योग के बराबर है:

लकड़ी का लट्ठा( अब) = लॉग ए+लॉग बी।

4) भागफल का लघुगणक लाभांश और भाजक के लघुगणक के बीच के अंतर के बराबर है:

लकड़ी का लट्ठा( ए/बी) = लॉग ए-लकड़ी का लट्ठा बी।

5) डिग्री का लघुगणक घातांक के गुणनफल और उसके आधार के लघुगणक के बराबर होता है:

लकड़ी का लट्ठा (बी क ) = कलकड़ी का लट्ठा बी।

इस संपत्ति का परिणाम निम्नलिखित है:लॉग रूट मूल संख्या के लघुगणक को मूल की शक्ति से विभाजित करने के बराबर होता है:

6) यदि लघुगणक का आधार एक डिग्री है, तो मान घातांक का व्युत्क्रम लॉग के चिन्ह से निकाला जा सकता हैकविता:

अंतिम दो संपत्तियों को एक में जोड़ा जा सकता है:

7) संक्रमण मापांक सूत्र (अर्थात.इ . एक आधार से संक्रमणदूसरे आधार पर लघुगणक):

किसी विशेष मामले में, जब एन = एअपने पास:

दशमलव लघुगणक बुलाया आधार लघुगणक 10. यह निर्दिष्ट हैएलजी, यानी लॉग 10 एन = एलजी एन. संख्याओं के लघुगणक 10, 100, 1000, ...पी क्रमशः 1, 2, 3,… हैंवे। बहुत सारे सकारात्मक हैं

इकाइयाँ, लघुगणक संख्या में एक के बाद कितने शून्य होते हैं। संख्याओं के लघुगणक 0.1, 0.01, 0.001, ...पी अवनी क्रमशः -1, –2, -3, ..., यानी उतने ही ऋणात्मक हैं जितने एक से पहले लघुगणक संख्या में शून्य हैं ( गिनती और शून्य पूर्णांक). लघुगणक अन्य संख्याओं का एक भिन्नात्मक भाग होता है जिसे कहा जाता है अपूर्णांश. पूरालघुगणक का भाग कहलाता है विशेषता. प्रैक्टिकल के लिएदशमलव लघुगणक सर्वाधिक सुविधाजनक होते हैं।

प्राकृतिक बुलाया आधार लघुगणक इ. यह दर्शाया गया हैएलएन, यानी लकड़ी का लट्ठा इएन = एल.एन एन. संख्या इतर्कहीन है,अनुमानित मान 2.718281828 है।यह वह सीमा है जिसकी ओर संख्या बढ़ती है(1 + 1 / एन) एन असीमित वृद्धि के साथएन(सेमी। पहली अद्भुत सीमा ).
यह अजीब लग सकता है, कार्यों के विश्लेषण से संबंधित विभिन्न परिचालनों को निष्पादित करते समय प्राकृतिक लघुगणक बहुत सुविधाजनक साबित हुए।आधार लघुगणक की गणनाइकिसी भी अन्य आधार की तुलना में बहुत तेज़।

संख्या b से आधार a का लघुगणक वह घातांक है जिससे संख्या b प्राप्त करने के लिए आपको संख्या a को बढ़ाने की आवश्यकता होती है।

तो अगर ।

लघुगणक अत्यंत है महत्वपूर्ण गणितीय मात्रा, चूंकि लॉगरिदमिक कैलकुलस न केवल घातीय समीकरणों को हल करने की अनुमति देता है, बल्कि घातांक के साथ काम करने, घातीय और लघुगणक कार्यों को अलग करने, उन्हें एकीकृत करने और गणना करने के लिए उन्हें अधिक स्वीकार्य रूप में लाने की भी अनुमति देता है।

के साथ संपर्क में

लघुगणक के सभी गुण सीधे घातीय कार्यों के गुणों से संबंधित हैं। उदाहरण के लिए, तथ्य यह है कि मतलब कि:

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि विशिष्ट समस्याओं को हल करते समय, लघुगणक के गुण शक्तियों के साथ काम करने के नियमों की तुलना में अधिक महत्वपूर्ण और उपयोगी हो सकते हैं।

यहाँ कुछ पहचान हैं:

यहाँ मुख्य बीजगणितीय अभिव्यक्तियाँ हैं:

;

ध्यान!केवल x>0, x≠1, y>0 के लिए मौजूद हो सकता है।

आइए इस प्रश्न को समझने का प्रयास करें कि प्राकृतिक लघुगणक क्या हैं। गणित में अलग रुचि दो प्रकार का प्रतिनिधित्व करते हैं- पहले के आधार पर संख्या "10" है, और इसे "दशमलव लघुगणक" कहा जाता है। दूसरे को प्राकृतिक कहा जाता है। प्राकृतिक लघुगणक का आधार संख्या e है। यह उनके बारे में है कि हम इस लेख में विस्तार से बात करेंगे।

पदनाम:

एलजी एक्स - दशमलव;
एलएन एक्स - प्राकृतिक।

पहचान का उपयोग करके, हम देख सकते हैं कि ln e = 1, साथ ही lg 10=1 भी।

प्राकृतिक लॉग ग्राफ़

हम बिंदुओं द्वारा मानक शास्त्रीय तरीके से प्राकृतिक लघुगणक का एक ग्राफ बनाते हैं। यदि आप चाहें, तो आप फ़ंक्शन की जांच करके जांच सकते हैं कि हम किसी फ़ंक्शन का निर्माण सही ढंग से कर रहे हैं या नहीं। हालाँकि, लघुगणक की सही गणना करने का तरीका जानने के लिए इसे "मैन्युअल रूप से" बनाना सीखना समझ में आता है।

फ़ंक्शन: y = लॉग x. आइए उन बिंदुओं की एक तालिका लिखें जिनसे ग्राफ़ गुज़रेगा:

आइए हम बताएं कि हमने तर्क x के ऐसे मान क्यों चुने। यह सब पहचान के बारे में है: प्राकृतिक लघुगणक के लिए, यह पहचान इस तरह दिखेगी:

सुविधा के लिए, हम पाँच संदर्भ बिंदु ले सकते हैं:

;

इस प्रकार, प्राकृतिक लघुगणक की गणना करना काफी सरल कार्य है, इसके अलावा, यह शक्तियों के साथ संचालन की गणना को सरल बनाता है, उन्हें बदल देता है सामान्य गुणन.

बिंदुओं के आधार पर एक ग्राफ़ बनाने पर, हमें एक अनुमानित ग्राफ़ मिलता है:

प्राकृतिक लघुगणक का डोमेन (अर्थात, X तर्क के सभी मान्य मान) शून्य से बड़ी सभी संख्याएँ हैं।

ध्यान!प्राकृतिक लघुगणक के डोमेन में केवल सकारात्मक संख्याएँ शामिल हैं! दायरे में x=0 शामिल नहीं है. लघुगणक के अस्तित्व की शर्तों के आधार पर यह असंभव है।

मानों की श्रेणी (अर्थात् फ़ंक्शन y = ln x के सभी मान्य मान) अंतराल में सभी संख्याएँ हैं।

प्राकृतिक लॉग सीमा

ग्राफ़ का अध्ययन करने पर प्रश्न उठता है - y होने पर फ़ंक्शन कैसा व्यवहार करता है<0.

जाहिर है, फ़ंक्शन का ग्राफ़ y-अक्ष को पार करता है, लेकिन ऐसा करने में सक्षम नहीं होगा, क्योंकि x का प्राकृतिक लघुगणक<0 не существует.

प्राकृतिक सीमा लकड़ी का लट्ठाइस प्रकार लिखा जा सकता है:

लघुगणक का आधार बदलने का सूत्र

प्राकृतिक लघुगणक से निपटना मनमाना आधार वाले लघुगणक से निपटने की तुलना में बहुत आसान है। इसीलिए हम यह सीखने का प्रयास करेंगे कि किसी भी लघुगणक को प्राकृतिक लघुगणक में कैसे कम किया जाए, या प्राकृतिक लघुगणक के माध्यम से इसे एक मनमाना आधार में कैसे व्यक्त किया जाए।

आइए लघुगणकीय पहचान से शुरू करें:

फिर किसी भी संख्या या चर y को इस प्रकार दर्शाया जा सकता है:

जहाँ x कोई संख्या है (लघुगणक के गुणों के अनुसार धनात्मक)।

इस अभिव्यक्ति को दोनों तरफ लघुगणकीय किया जा सकता है। आइए इसे एक मनमाना आधार z के साथ करें:

आइए संपत्ति का उपयोग करें (केवल "साथ" के बजाय हमारे पास एक अभिव्यक्ति है):

यहाँ से हमें सार्वभौमिक सूत्र मिलता है:

विशेष रूप से, यदि z=e, तो:

हम दो प्राकृतिक लघुगणक के अनुपात के माध्यम से लघुगणक को एक मनमाना आधार पर प्रस्तुत करने में कामयाब रहे।

हम समस्याओं का समाधान करते हैं

प्राकृतिक लघुगणक में बेहतर ढंग से नेविगेट करने के लिए, कई समस्याओं के उदाहरणों पर विचार करें।

कार्य 1. समीकरण ln x = 3 को हल करना आवश्यक है।

समाधान:लघुगणक की परिभाषा का उपयोग करते हुए: यदि , तो , हमें मिलता है:

कार्य 2. समीकरण (5 + 3 * ln (x - 3)) = 3 को हल करें।

समाधान: लघुगणक की परिभाषा का उपयोग करते हुए: यदि, तो, हम पाते हैं:

एक बार फिर, हम लघुगणक की परिभाषा लागू करते हैं:

इस प्रकार:

आप उत्तर की गणना लगभग कर सकते हैं, या आप इसे इस रूप में छोड़ सकते हैं।

कार्य 3.प्रश्न हल करें।

समाधान:आइए एक प्रतिस्थापन करें: t = ln x। तब समीकरण निम्नलिखित रूप लेगा:

हमारे पास एक द्विघात समीकरण है. आइए इसका विभेदक खोजें:

सांख्यिकी और संभाव्यता सिद्धांत में, लघुगणकीय मात्राएँ बहुत सामान्य हैं। यह आश्चर्य की बात नहीं है, क्योंकि संख्या ई - अक्सर घातीय मूल्यों की वृद्धि दर को दर्शाती है।

कंप्यूटर विज्ञान, प्रोग्रामिंग और कंप्यूटर सिद्धांत में, लॉगरिदम काफी सामान्य हैं, उदाहरण के लिए, मेमोरी में एन बिट्स को स्टोर करने के लिए।

फ्रैक्टल और आयामों के सिद्धांतों में, लघुगणक का लगातार उपयोग किया जाता है, क्योंकि फ्रैक्टल के आयाम केवल उनकी सहायता से निर्धारित किए जाते हैं।

यांत्रिकी और भौतिकी मेंऐसा कोई अनुभाग नहीं है जहां लघुगणक का उपयोग नहीं किया गया हो। बैरोमीटर का वितरण, सांख्यिकीय थर्मोडायनामिक्स के सभी सिद्धांत, त्सोल्कोव्स्की समीकरण इत्यादि ऐसी प्रक्रियाएं हैं जिन्हें केवल लघुगणक का उपयोग करके गणितीय रूप से वर्णित किया जा सकता है।

रसायन विज्ञान में, लघुगणक का उपयोग नर्नस्ट समीकरणों, रेडॉक्स प्रक्रियाओं के विवरण में किया जाता है।

आश्चर्यजनक रूप से, संगीत में भी, एक सप्तक के भागों की संख्या जानने के लिए, लघुगणक का उपयोग किया जाता है।

प्राकृतिक लघुगणक फलन y=ln x इसके गुण

प्राकृतिक लघुगणक की मुख्य संपत्ति का प्रमाण

एक धनात्मक संख्या b का आधार a (a>0, a 1 के बराबर नहीं है) का लघुगणक एक संख्या c है जैसे कि a c = b: log a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)

ध्यान दें कि गैर-धनात्मक संख्या का लघुगणक परिभाषित नहीं है। साथ ही, लघुगणक का आधार एक धनात्मक संख्या होना चाहिए, 1 के बराबर नहीं। उदाहरण के लिए, यदि हम -2 का वर्ग करते हैं, तो हमें संख्या 4 मिलती है, लेकिन इसका मतलब यह नहीं है कि 4 का आधार -2 लघुगणक 2 है।

बुनियादी लघुगणकीय पहचान

ए लॉग ए बी = बी (ए > 0, ए ≠ 1) (2)

यह महत्वपूर्ण है कि इस सूत्र के दाएं और बाएं भागों की परिभाषा के क्षेत्र अलग-अलग हैं। बाईं ओर को केवल b>0, a>0 और a ≠ 1 के लिए परिभाषित किया गया है। दाईं ओर को किसी भी b के लिए परिभाषित किया गया है, और यह बिल्कुल भी a पर निर्भर नहीं करता है। इस प्रकार, समीकरणों और असमानताओं को हल करने में बुनियादी लघुगणक "पहचान" के अनुप्रयोग से डीपीवी में बदलाव हो सकता है।

लघुगणक की परिभाषा के दो स्पष्ट परिणाम

लॉग ए ए = 1 (ए > 0, ए ≠ 1) (3)
लॉग ए 1 = 0 (ए > 0, ए ≠ 1) (4)

दरअसल, जब संख्या a को पहली घात तक बढ़ाया जाता है, तो हमें वही संख्या मिलती है, और जब इसे शून्य घात तक बढ़ाया जाता है, तो हमें एक मिलता है।

उत्पाद का लघुगणक और भागफल का लघुगणक

लॉग ए (बी सी) = लॉग ए बी + लॉग ए सी (ए > 0, ए ≠ 1, बी > 0, सी > 0) (5)

लॉग ए बी सी = लॉग ए बी - लॉग ए सी (ए > 0, ए ≠ 1, बी > 0, सी > 0) (6)

मैं स्कूली बच्चों को लघुगणकीय समीकरणों और असमानताओं को हल करते समय इन सूत्रों के बिना सोचे-समझे उपयोग के खिलाफ चेतावनी देना चाहता हूं। जब उनका उपयोग "बाएं से दाएं" किया जाता है, तो ODZ संकीर्ण हो जाता है, और जब लघुगणक के योग या अंतर से उत्पाद या भागफल के लघुगणक की ओर बढ़ते हैं, तो ODZ फैलता है।

दरअसल, अभिव्यक्ति लॉग ए (एफ (एक्स) जी (एक्स)) को दो मामलों में परिभाषित किया गया है: जब दोनों फ़ंक्शन सख्ती से सकारात्मक होते हैं या जब एफ (एक्स) और जी (एक्स) दोनों शून्य से कम होते हैं।

इस अभिव्यक्ति को योग लॉग ए एफ (एक्स) + लॉग ए जी (एक्स) में परिवर्तित करते हुए, हम खुद को केवल उस स्थिति तक सीमित रखने के लिए मजबूर होते हैं जब एफ (एक्स)> 0 और जी (एक्स)> 0। स्वीकार्य मूल्यों की सीमा में कमी आ रही है, और यह स्पष्ट रूप से अस्वीकार्य है, क्योंकि इससे समाधानों का नुकसान हो सकता है। सूत्र (6) के लिए भी ऐसी ही समस्या मौजूद है।

डिग्री को लघुगणक के चिन्ह से निकाला जा सकता है

लॉग ए बी पी = पी लॉग ए बी (ए > 0, ए ≠ 1, बी > 0) (7)

और मैं फिर से सटीकता की मांग करना चाहूँगा। निम्नलिखित उदाहरण पर विचार करें:

लॉग ए (एफ (एक्स) 2 = 2 लॉग ए एफ (एक्स)

समानता का बायाँ भाग स्पष्ट रूप से शून्य को छोड़कर f(x) के सभी मानों के लिए परिभाषित है। दाहिना भाग केवल f(x)>0 के लिए है! लघुगणक से शक्ति निकालते हुए, हम फिर से ODZ को संकीर्ण करते हैं। विपरीत प्रक्रिया से स्वीकार्य मूल्यों की सीमा का विस्तार होता है। ये सभी टिप्पणियाँ न केवल 2 की शक्ति पर लागू होती हैं, बल्कि किसी भी सम शक्ति पर भी लागू होती हैं।

नये आधार पर जाने का फार्मूला

लॉग ए बी = लॉग सी बी लॉग सी ए (ए > 0, ए ≠ 1, बी > 0, सी > 0, सी ≠ 1) (8)

वह दुर्लभ मामला जब रूपांतरण के दौरान ODZ नहीं बदलता है। यदि आपने आधार सी को बुद्धिमानी से चुना है (सकारात्मक और 1 के बराबर नहीं), तो नए आधार पर जाने का फॉर्मूला पूरी तरह से सुरक्षित है।

यदि हम संख्या b को नए आधार c के रूप में चुनते हैं, तो हमें सूत्र (8) का एक महत्वपूर्ण विशेष मामला प्राप्त होता है:

लॉग ए बी = 1 लॉग बी ए (ए > 0, ए ≠ 1, बी > 0, बी ≠ 1) (9)

लघुगणक के साथ कुछ सरल उदाहरण

उदाहरण 1 गणना करें: lg2 + lg50।
समाधान। lg2 + lg50 = lg100 = 2. हमने लघुगणक के योग (5) और दशमलव लघुगणक की परिभाषा के लिए सूत्र का उपयोग किया।

उदाहरण 2 गणना करें: lg125/lg5।
समाधान। एलजी125/एलजी5 = लॉग 5 125 = 3। हमने नए आधार संक्रमण सूत्र (8) का उपयोग किया।

लघुगणक से संबंधित सूत्रों की तालिका

ए लॉग ए बी = बी (ए > 0, ए ≠ 1)

लॉग a a = 1 (a > 0, a ≠ 1)

लॉग ए 1 = 0 (ए > 0, ए ≠ 1)

लॉग ए (बी सी) = लॉग ए बी + लॉग ए सी (ए > 0, ए ≠ 1, बी > 0, सी > 0)

लॉग ए बी सी = लॉग ए बी - लॉग ए सी (ए > 0, ए ≠ 1, बी > 0, सी > 0)

लॉग ए बी पी = पी लॉग ए बी (ए > 0, ए ≠ 1, बी > 0)

लॉग ए बी = लॉग सी बी लॉग सी ए (ए > 0, ए ≠ 1, बी > 0, सी > 0, सी ≠ 1)

लॉग ए बी = 1 लॉग बी ए (ए > 0, ए ≠ 1, बी > 0, बी ≠ 1)

इसकी परिभाषा से व्युत्पन्न. और इसलिए संख्या का लघुगणक बीवजह से एउस घातांक के रूप में परिभाषित किया गया है जिस पर किसी संख्या को बढ़ाया जाना चाहिए एनंबर पाने के लिए बी(लघुगणक केवल सकारात्मक संख्याओं के लिए मौजूद है)।

इस सूत्रीकरण से यह निष्कर्ष निकलता है कि गणना x=लॉग ए बी, समीकरण को हल करने के बराबर है कुल्हाड़ी=बी.उदाहरण के लिए, लॉग 2 8 = 3क्योंकि 8 = 2 3 . लघुगणक का निरूपण इसे उचित ठहराना संभव बनाता है यदि बी=ए सी, फिर संख्या का लघुगणक बीवजह से एके बराबर होती है साथ. यह भी स्पष्ट है कि लघुगणक का विषय किसी संख्या की घात के विषय से निकटता से संबंधित है।

लघुगणक के साथ, किसी भी संख्या की तरह, आप प्रदर्शन कर सकते हैं जोड़, घटाव की क्रियाएँऔर हर संभव तरीके से परिवर्तन करें। लेकिन इस तथ्य को ध्यान में रखते हुए कि लघुगणक बिल्कुल सामान्य संख्याएँ नहीं हैं, उनके अपने विशेष नियम यहाँ लागू होते हैं, जिन्हें कहा जाता है बुनियादी गुण.