पिरामिड इसके आधार पार्श्व पसलियों की ऊंचाई. पिरामिड

• एपोटेम- एक नियमित पिरामिड के पार्श्व चेहरे की ऊंचाई, जो इसके शीर्ष से खींची जाती है (इसके अलावा, एपोथेम लंब की लंबाई है, जो एक नियमित बहुभुज के मध्य से इसकी 1 भुजाओं तक कम होती है);
• पार्श्व चेहरे (एएसबी, बीएससी, सीएसडी, डीएसए) - त्रिकोण जो शीर्ष पर एकत्रित होते हैं;
• पार्श्व पसलियाँ ( जैसा , बी एस , सी , डी.एस. ) - पार्श्व चेहरों के सामान्य पक्ष;
• पिरामिड के शीर्ष (वी. एस) - एक बिंदु जो पार्श्व किनारों को जोड़ता है और जो आधार के तल में स्थित नहीं है;
• ऊंचाई ( इसलिए ) - लंब का एक खंड, जो पिरामिड के शीर्ष से होकर उसके आधार के तल तक खींचा जाता है (ऐसे खंड के सिरे पिरामिड के शीर्ष और लंब के आधार होंगे);
• पिरामिड का विकर्ण खंड- पिरामिड का वह भाग, जो आधार के शीर्ष और विकर्ण से होकर गुजरता है;
• आधार (ए बी सी डी) एक बहुभुज है जिससे पिरामिड का शीर्ष संबंधित नहीं है।

पिरामिड गुण.

1. जब सभी पार्श्व किनारे समान आकार के हों, तो:

• पिरामिड के आधार के पास एक वृत्त का वर्णन करना आसान है, जबकि पिरामिड के शीर्ष को इस वृत्त के केंद्र में प्रक्षेपित किया जाएगा;
• पार्श्व पसलियां आधार तल के साथ समान कोण बनाती हैं;
• इसके अलावा, इसका विपरीत भी सत्य है, अर्थात जब पार्श्व किनारे आधार तल के साथ समान कोण बनाते हैं, या जब पिरामिड के आधार के निकट एक वृत्त का वर्णन किया जा सकता है और पिरामिड के शीर्ष को इस वृत्त के केंद्र में प्रक्षेपित किया जाएगा, तो पिरामिड के सभी पार्श्व किनारों में समान आकार।

2. जब पार्श्व फलकों का आधार के तल पर झुकाव का कोण समान मान का हो, तो:

• पिरामिड के आधार के पास, एक वृत्त का वर्णन करना आसान है, जबकि पिरामिड के शीर्ष को इस वृत्त के केंद्र में प्रक्षेपित किया जाएगा;
• पार्श्व फलकों की ऊँचाइयाँ हैं समान लंबाई;
• पार्श्व सतह का क्षेत्रफल आधार की परिधि और पार्श्व फलक की ऊंचाई के गुणनफल का आधा है।

3. यदि पिरामिड का आधार एक बहुभुज है जिसके चारों ओर एक वृत्त का वर्णन किया जा सकता है (एक आवश्यक और पर्याप्त स्थिति) तो पिरामिड के पास एक गोले का वर्णन किया जा सकता है। गोले का केंद्र उन समतलों का प्रतिच्छेदन बिंदु होगा जो पिरामिड के लंबवत किनारों के मध्य बिंदुओं से होकर गुजरते हैं। इस प्रमेय से हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि, किसी भी त्रिकोणीय के बारे में, और किसी के बारे में सही पिरामिडक्षेत्र का वर्णन किया जा सकता है।

4. यदि पिरामिड के आंतरिक डायहेड्रल कोणों के द्विभाजक विमान पहले बिंदु (एक आवश्यक और पर्याप्त शर्त) पर प्रतिच्छेद करते हैं तो एक गोले को पिरामिड में अंकित किया जा सकता है। यह बिंदु गोले का केंद्र बन जाएगा.

सबसे सरल पिरामिड.

पिरामिड के आधार के कोनों की संख्या के अनुसार उन्हें त्रिकोणीय, चतुष्कोणीय आदि में विभाजित किया गया है।

पिरामिड होगा त्रिकोणीय, चौकोर, और इसी तरह, जब पिरामिड का आधार एक त्रिकोण, एक चतुर्भुज, और इसी तरह होता है। एक त्रिकोणीय पिरामिड एक चतुष्फलक है - एक चतुष्फलक। चतुर्भुज - पंचफलक इत्यादि।

यहां पिरामिडों और संबंधित सूत्रों और अवधारणाओं के बारे में बुनियादी जानकारी एकत्र की गई है। परीक्षा की तैयारी के लिए इन सभी का अध्ययन गणित के एक शिक्षक के साथ किया जाता है।

एक समतल, एक बहुभुज पर विचार करें इसमें पड़ा हुआ है और एक बिंदु S इसमें नहीं पड़ा हुआ है। S को बहुभुज के सभी शीर्षों से जोड़ें। परिणामी बहुफलक को पिरामिड कहा जाता है। खंडों को पार्श्व किनारे कहा जाता है। बहुभुज को आधार कहा जाता है, और बिंदु S को पिरामिड का शीर्ष कहा जाता है। संख्या n के आधार पर, पिरामिड को त्रिकोणीय (n=3), चतुष्कोणीय (n=4), पंचकोणीय (n=5) इत्यादि कहा जाता है। त्रिकोणीय पिरामिड का वैकल्पिक नाम - चतुर्पाश्वीय. पिरामिड की ऊँचाई उसके शीर्ष से आधार तल तक खींची गई लम्ब है।

पिरामिड को सही कहा जाता है यदि नियमित बहुभुज, और पिरामिड की ऊंचाई का आधार (लंबवत का आधार) इसका केंद्र है।

शिक्षक की टिप्पणी:
"नियमित पिरामिड" और "नियमित टेट्राहेड्रोन" की अवधारणा को भ्रमित न करें। एक नियमित पिरामिड में, पार्श्व किनारे आवश्यक रूप से आधार के किनारों के बराबर नहीं होते हैं, लेकिन एक नियमित टेट्राहेड्रोन में, किनारों के सभी 6 किनारे बराबर होते हैं। यही उसकी परिभाषा है. यह सिद्ध करना आसान है कि समानता का अर्थ है कि बहुभुज का केंद्र P ऊंचाई के आधार के साथ, इसलिए एक नियमित टेट्राहेड्रोन एक नियमित पिरामिड है।

एपोटेम क्या है?
पिरामिड का एपोथेम उसके पार्श्व फलक की ऊँचाई है। यदि पिरामिड नियमित है, तो उसके सभी उपशीर्षक समान हैं। इसका विपरीत सत्य नहीं है.

गणित शिक्षक अपनी शब्दावली के बारे में: पिरामिडों के साथ काम करना 80% दो प्रकार के त्रिकोणों के माध्यम से निर्मित होता है:
1) एपोथेम एसके और ऊंचाई एसपी युक्त
2) पार्श्व किनारे SA और उसके प्रक्षेपण PA से युक्त

इन त्रिभुजों के संदर्भ को सरल बनाने के लिए, गणित शिक्षक के लिए उनमें से पहले का नाम देना अधिक सुविधाजनक है एपोथेमिक, और दूसरा तटीय. दुर्भाग्य से, आपको यह शब्दावली किसी भी पाठ्यपुस्तक में नहीं मिलेगी, और शिक्षक को इसे एकतरफा पेश करना होगा।

पिरामिड आयतन सूत्र:
1) , पिरामिड के आधार का क्षेत्रफल कहां है, और पिरामिड की ऊंचाई कहां है
2) , खुदे हुए गोले की त्रिज्या कहां है, और पिरामिड का कुल सतह क्षेत्र है।
3) , जहां एमएन किन्हीं दो क्रॉसिंग किनारों की दूरी है, और शेष चार किनारों के मध्य बिंदुओं द्वारा गठित समांतर चतुर्भुज का क्षेत्र है।

पिरामिड ऊंचाई आधार संपत्ति:

बिंदु P (चित्र देखें) पिरामिड के आधार पर अंकित वृत्त के केंद्र के साथ मेल खाता है यदि निम्नलिखित में से कोई एक शर्त पूरी होती है:
1) सभी एपोथेम समान हैं
2) सभी पार्श्व फलक आधार की ओर समान रूप से झुके हुए हैं
3) सभी एपोथेम पिरामिड की ऊंचाई पर समान रूप से झुके हुए हैं
4) पिरामिड की ऊंचाई सभी पार्श्व सतहों पर समान रूप से झुकी हुई है

गणित शिक्षक की टिप्पणी: ध्यान दें कि सभी बिंदु एक सामान्य संपत्ति द्वारा एकजुट होते हैं: एक तरह से या किसी अन्य, पार्श्व चेहरे हर जगह भाग लेते हैं (एपोटेम्स उनके तत्व हैं)। इसलिए, शिक्षक याद रखने के लिए कम सटीक, लेकिन अधिक सुविधाजनक सूत्रीकरण की पेशकश कर सकता है: बिंदु पी अंकित सर्कल के केंद्र, पिरामिड के आधार के साथ मेल खाता है, अगर इसके पार्श्व चेहरों के बारे में कोई समान जानकारी है। इसे सिद्ध करने के लिए, यह दिखाना पर्याप्त है कि सभी अपोथेमिकल त्रिभुज समान हैं।

यदि तीन स्थितियों में से एक सत्य है, तो बिंदु P पिरामिड के आधार के निकट परिबद्ध वृत्त के केंद्र के साथ मेल खाता है:
1) सभी पार्श्व किनारे बराबर हैं
2) सभी पार्श्व पसलियाँ आधार की ओर समान रूप से झुकी हुई हैं
3) सभी तरफ की पसलियां ऊंचाई पर समान रूप से झुकी हुई हैं

वीडियो पाठ 2: पिरामिड चुनौती. पिरामिड आयतन

वीडियो पाठ 3: पिरामिड चुनौती. सही पिरामिड

भाषण: पिरामिड, इसका आधार, पार्श्व किनारे, ऊंचाई, पार्श्व सतह; त्रिकोणीय पिरामिड; सही पिरामिड

पिरामिड- यह एक त्रि-आयामी पिंड है जिसके आधार पर एक बहुभुज है, और इसके सभी फलक त्रिभुज से बने हैं।

पिरामिड का एक विशेष मामला एक शंकु है, जिसके आधार पर एक वृत्त स्थित है।

पिरामिड के मुख्य तत्वों पर विचार करें:

एपोथेमएक खंड है जो पिरामिड के शीर्ष को साइड फेस के निचले किनारे के मध्य से जोड़ता है। दूसरे शब्दों में, यह पिरामिड के मुख की ऊंचाई है।

चित्र में आप त्रिभुज ADS, ABS, BCS, CDS देख सकते हैं। यदि आप नामों को ध्यान से देखें, तो आप देख सकते हैं कि प्रत्येक त्रिभुज के नाम में एक सामान्य अक्षर है - S. यानी, इसका मतलब है कि सभी भुजाओं वाले फलक (त्रिकोण) एक बिंदु पर मिलते हैं, जिसे पिरामिड का शीर्ष कहा जाता है।

खंड ओएस, जो शीर्ष को आधार के विकर्णों के प्रतिच्छेदन बिंदु से जोड़ता है (त्रिकोण के मामले में, ऊंचाइयों के प्रतिच्छेदन बिंदु पर), कहा जाता है पिरामिड की ऊंचाई.

विकर्ण खंड एक समतल है जो पिरामिड के शीर्ष से होकर गुजरता है, साथ ही आधार के विकर्णों में से एक है।

चूँकि पिरामिड की पार्श्व सतह में त्रिभुज होते हैं, पार्श्व सतह का कुल क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, प्रत्येक फलक का क्षेत्रफल ज्ञात करना और उन्हें जोड़ना आवश्यक है। फलकों की संख्या और आकार आधार पर स्थित बहुभुज की भुजाओं के आकार और आकार पर निर्भर करता है।

पिरामिड में एकमात्र तल जिसमें शीर्ष नहीं होता, कहलाता है आधारपिरामिड.

चित्र में, हम देखते हैं कि आधार एक समांतर चतुर्भुज है, हालाँकि, कोई भी मनमाना बहुभुज हो सकता है।

गुण:

पिरामिड के पहले मामले पर विचार करें, जिसमें इसके किनारे समान लंबाई के हैं:

• ऐसे पिरामिड के आधार के चारों ओर एक वृत्त का वर्णन किया जा सकता है। यदि आप ऐसे पिरामिड के शीर्ष को प्रक्षेपित करते हैं, तो इसका प्रक्षेपण वृत्त के केंद्र में स्थित होगा।
• पिरामिड के आधार पर बने कोण प्रत्येक फलक के लिए समान हैं।
• साथ ही, इस तथ्य के लिए पर्याप्त शर्त कि पिरामिड के आधार के चारों ओर एक सर्कल का वर्णन किया जा सकता है, और यह भी कि सभी किनारे अलग-अलग लंबाई के हैं, आधार और चेहरे के प्रत्येक किनारे के बीच समान कोण माना जा सकता है .

यदि आपको कोई ऐसा पिरामिड मिलता है जिसके पार्श्व फलकों और आधार के बीच के कोण बराबर हैं, तो निम्नलिखित गुण सत्य हैं:

• आप पिरामिड के आधार के चारों ओर एक वृत्त का वर्णन करने में सक्षम होंगे, जिसका शीर्ष बिल्कुल केंद्र की ओर निकला हुआ है।
• यदि आप प्रत्येक तरफ ऊंचाई के चेहरे को आधार तक खींचते हैं, तो वे समान लंबाई के होंगे।
• ऐसे पिरामिड का पार्श्व सतह क्षेत्र ज्ञात करने के लिए, आधार की परिधि ज्ञात करना और इसे ऊँचाई की आधी लंबाई से गुणा करना पर्याप्त है।
• एसबीपी = 0.5पी ओसी एच।
• पिरामिड के प्रकार.
• पिरामिड के आधार पर कौन सा बहुभुज स्थित है, इसके आधार पर वे त्रिकोणीय, चतुष्कोणीय आदि हो सकते हैं। यदि एक नियमित बहुभुज (समान भुजाओं वाला) पिरामिड के आधार पर स्थित है, तो ऐसे पिरामिड को नियमित कहा जाएगा।

नियमित त्रिकोणीय पिरामिड

पिरामिड संकल्पना

परिभाषा 1

ज्यामितीय आकृति, एक बहुभुज द्वारा निर्मित और एक बिंदु जो इस बहुभुज वाले विमान में स्थित नहीं है, बहुभुज के सभी शीर्षों से जुड़ा हुआ है, पिरामिड कहलाता है (चित्र 1)।

जिस बहुभुज से पिरामिड बना है उसे पिरामिड का आधार कहा जाता है, बिंदु से जुड़ने पर प्राप्त त्रिभुज पिरामिड के पार्श्व फलक होते हैं, त्रिभुजों की भुजाएँ पिरामिड की भुजाएँ होती हैं, और सभी के लिए उभयनिष्ठ बिंदु होता है त्रिभुज पिरामिड का शीर्ष है।

पिरामिड के प्रकार

पिरामिड के आधार पर कोनों की संख्या के आधार पर, इसे त्रिकोणीय, चतुर्भुज, इत्यादि कहा जा सकता है (चित्र 2)।

चित्र 2।

पिरामिड का एक अन्य प्रकार नियमित पिरामिड है।

आइए हम एक नियमित पिरामिड की संपत्ति का परिचय दें और साबित करें।

प्रमेय 1

एक नियमित पिरामिड के सभी पार्श्व फलक समद्विबाहु त्रिभुज होते हैं जो एक दूसरे के बराबर होते हैं।

सबूत।

एक नियमित $n-$गोनल पिरामिड पर विचार करें जिसके शीर्ष $S$ की ऊंचाई $h=SO$ है। आइए आधार के चारों ओर एक वृत्त का वर्णन करें (चित्र 4)।

चित्र 4

त्रिभुज $SOA$ पर विचार करें। पाइथागोरस प्रमेय से, हम पाते हैं

जाहिर है, किसी भी किनारे को इस तरह से परिभाषित किया जाएगा। इसलिए, सभी पार्श्व किनारे एक दूसरे के बराबर हैं, अर्थात सभी पार्श्व फलक समद्विबाहु त्रिभुज हैं। आइए हम साबित करें कि वे एक दूसरे के बराबर हैं। चूँकि आधार एक नियमित बहुभुज है, इसलिए सभी पार्श्व फलकों के आधार एक दूसरे के बराबर हैं। परिणामस्वरूप, त्रिभुजों की समानता के चिह्न III के अनुसार सभी पार्श्व फलक समान होते हैं।

प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

अब हम नियमित पिरामिड की अवधारणा से संबंधित निम्नलिखित परिभाषा प्रस्तुत करते हैं।

परिभाषा 3

एक नियमित पिरामिड का एपोथेम उसके पार्श्व फलक की ऊंचाई है।

जाहिर है, प्रमेय 1 के अनुसार, सभी एपोथेम बराबर हैं।

प्रमेय 2

एक नियमित पिरामिड के पार्श्व सतह क्षेत्र को आधार और एपोथेम के अर्ध-परिधि के उत्पाद के रूप में परिभाषित किया गया है।

सबूत।

आइए हम $n-$कोयला पिरामिड के आधार के किनारे को $a$ के रूप में और एपोटेम को $d$ के रूप में निरूपित करें। अत: पार्श्व फलक का क्षेत्रफल बराबर है

चूँकि, प्रमेय 1 के अनुसार, सभी भुजाएँ समान हैं

प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

पिरामिड का एक अन्य प्रकार छोटा पिरामिड है।

परिभाषा 4

यदि एक साधारण पिरामिड के माध्यम से उसके आधार के समानांतर एक विमान खींचा जाता है, तो इस विमान और आधार के विमान के बीच बनी आकृति को काटे गए पिरामिड कहा जाता है (चित्र 5)।

चित्र 5. कटा हुआ पिरामिड

काटे गए पिरामिड के पार्श्व फलक समलम्बाकार हैं।

प्रमेय 3

एक नियमित रूप से काटे गए पिरामिड की पार्श्व सतह के क्षेत्रफल को आधारों और एपोथेम के अर्धपरिधि के योग के उत्पाद के रूप में परिभाषित किया गया है।

सबूत।

आइए $n-$कोयला पिरामिड के आधारों की भुजाओं को क्रमशः $a\ और\ b$ से और एपोटेम को $d$ से निरूपित करें। अत: पार्श्व फलक का क्षेत्रफल बराबर है

चूँकि सभी भुजाएँ समान हैं

प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

कार्य उदाहरण

उदाहरण 1

एक काटे गए त्रिकोणीय पिरामिड की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल ज्ञात करें यदि यह आधार भुजा 4 और एपोथेम 5 वाले एक नियमित पिरामिड से पार्श्व फलकों की मध्य रेखा से गुजरने वाले समतल द्वारा काटकर प्राप्त किया गया है।

समाधान।

मध्य रेखा प्रमेय के अनुसार, हम पाते हैं कि काटे गए पिरामिड का ऊपरी आधार $4\cdot \frac(1)(2)=2$ के बराबर है, और एपोटेम $5\cdot \frac(1)( के बराबर है 2)=2.5$.

फिर, प्रमेय 3 से, हम प्राप्त करते हैं