एक त्रिभुजाकार पिरामिड जिसके किनारे बराबर होते हैं। सही पिरामिड के मुख्य गुण

यहां पिरामिड और संबंधित सूत्रों और अवधारणाओं के बारे में मूलभूत जानकारी एकत्र की गई है। इन सभी को परीक्षा की तैयारी के लिए गणित के एक ट्यूटर से पढ़ाया जाता है।

एक समतल, एक बहुभुज पर विचार करें इसमें स्थित है और एक बिंदु S इसमें स्थित नहीं है। S को बहुभुज के सभी शीर्षों से जोड़ें। परिणामी पॉलीहेड्रॉन को पिरामिड कहा जाता है। खंडों को पार्श्व किनारे कहा जाता है। बहुभुज को आधार कहा जाता है, और बिंदु S को पिरामिड का शीर्ष कहा जाता है। संख्या n के आधार पर, पिरामिड को त्रिकोणीय (n = 3), चतुष्कोणीय (n = 4), पंचकोणीय (n = 5) और इसी तरह कहा जाता है। त्रिकोणीय पिरामिड का वैकल्पिक नाम - चतुर्पाश्वीय. एक पिरामिड की ऊँचाई उसके शीर्ष से आधार तल तक खींचा गया लम्ब है।

एक पिरामिड को सही कहा जाता है अगर नियमित बहुभुज, और पिरामिड की ऊंचाई का आधार (लंबवत का आधार) इसका केंद्र है।

शिक्षक की टिप्पणी:
"नियमित पिरामिड" और "नियमित टेट्राहेड्रोन" की अवधारणा को भ्रमित न करें। सही पिरामिड पर पार्श्व पसलियाँआवश्यक रूप से आधार के किनारों के बराबर नहीं हैं, लेकिन एक नियमित टेट्राहेड्रॉन में किनारों के सभी 6 किनारे बराबर होते हैं। यह उसकी परिभाषा है। यह सिद्ध करना आसान है कि समानता का अर्थ है कि बहुभुज का केंद्र P है ऊँचाई के आधार के साथ, इसलिए एक नियमित टेट्राहेड्रॉन एक नियमित पिरामिड है।

एक अंतःत्रिज्या क्या है?
एक पिरामिड का एपोटेम उसके साइड फेस की ऊंचाई है। यदि पिरामिड नियमित है, तो इसके सभी अपोथेम्स बराबर हैं। उलटा सच नहीं है।

गणित ट्यूटर अपनी शब्दावली के बारे में: पिरामिड के साथ काम 80% दो प्रकार के त्रिकोणों के माध्यम से बनाया गया है:
1) अंतःत्रिज्या SK और ऊंचाई SP से युक्त
2) पार्श्व किनारे एसए और इसके प्रक्षेपण पीए से युक्त

इन त्रिभुजों के संदर्भों को सरल बनाने के लिए, गणित के शिक्षक के लिए उनमें से पहले का नाम देना अधिक सुविधाजनक होता है अपोथेमिक, और दूसरा तटीय. दुर्भाग्य से, आपको यह शब्दावली किसी भी पाठ्यपुस्तक में नहीं मिलेगी, और शिक्षक को इसका एकतरफा परिचय कराना होगा।

पिरामिड मात्रा सूत्र:
1) , जहां पिरामिड के आधार का क्षेत्रफल है, और पिरामिड की ऊंचाई है
2), खुदा हुआ क्षेत्र की त्रिज्या कहां है, और पिरामिड का कुल सतह क्षेत्र है।
3) , जहां एमएन किन्हीं दो क्रॉसिंग किनारों की दूरी है, और चार शेष किनारों के मध्यबिंदुओं द्वारा गठित समांतर चतुर्भुज का क्षेत्र है।

पिरामिड ऊंचाई आधार संपत्ति:

बिंदु P (आंकड़ा देखें) पिरामिड के आधार पर उत्कीर्ण वृत्त के केंद्र के साथ मेल खाता है यदि निम्न में से कोई एक शर्त पूरी होती है:
1) सभी अंतःकरण समान होते हैं
2) सभी पार्श्व फलक समान रूप से आधार की ओर झुके हुए हैं
3) सभी अपोथेम्स पिरामिड की ऊंचाई के लिए समान रूप से झुके हुए हैं
4) पिरामिड की ऊंचाई सभी पार्श्व फलकों पर समान रूप से झुकी हुई है

गणित शिक्षक की टिप्पणी: ध्यान दें कि सभी बिंदु एक सामान्य संपत्ति से एकजुट होते हैं: एक तरह से या किसी अन्य, पक्ष चेहरे हर जगह भाग लेते हैं (एपोटेम्स उनके तत्व हैं)। इसलिए, ट्यूटर कम सटीक, लेकिन याद रखने के लिए अधिक सुविधाजनक सूत्रीकरण की पेशकश कर सकता है: बिंदु P खुदा हुआ सर्कल के केंद्र के साथ मेल खाता है, पिरामिड का आधार, अगर इसके पार्श्व चेहरों के बारे में कोई समान जानकारी है। इसे सिद्ध करने के लिए, यह दर्शाना पर्याप्त है कि सभी अपोथेमिकल त्रिभुज समान हैं।

बिंदु P पिरामिड के आधार के निकट परिबद्ध वृत्त के केंद्र के साथ मेल खाता है, यदि तीन स्थितियों में से एक सत्य है:
1) सभी भुजाएँ बराबर होती हैं
2) सभी पार्श्व पसलियाँ आधार की ओर समान रूप से झुकी होती हैं
3) सभी पार्श्व पसलियाँ समान रूप से ऊँचाई की ओर झुकी होती हैं

• एपोटेम- एक नियमित पिरामिड के पार्श्व चेहरे की ऊंचाई, जो इसके शीर्ष से खींची जाती है (इसके अलावा, अंतःत्रिज्या लंब की लंबाई है, जो एक नियमित बहुभुज के मध्य से इसके 1 पक्षों तक कम हो जाती है);
• पार्श्व चेहरे (एएसबी, बीएससी, सीएसडी, डीएसए) - त्रिकोण जो शीर्ष पर अभिसरण करते हैं;
• पार्श्व पसलियाँ ( जैसा , बी एस , सी , डी.एस. ) - पार्श्व चेहरों के सामान्य पक्ष;
• पिरामिड के ऊपर (वि. स) - एक बिंदु जो पार्श्व किनारों को जोड़ता है और जो आधार के तल में स्थित नहीं है;
• ऊंचाई ( इसलिए ) - लंब का एक खंड, जो पिरामिड के शीर्ष के माध्यम से उसके आधार के तल तक खींचा जाता है (इस तरह के खंड के सिरे पिरामिड के शीर्ष और लंब के आधार होंगे);
• एक पिरामिड का विकर्ण खंड- पिरामिड का खंड, जो शीर्ष और आधार के विकर्ण से होकर गुजरता है;
• आधार (ए बी सी डी) एक बहुभुज है जिससे पिरामिड का शीर्ष संबंधित नहीं है।

पिरामिड गुण।

1. जब सभी पार्श्व किनारों का आकार समान हो, तब:

• पिरामिड के आधार के पास एक वृत्त का वर्णन करना आसान है, जबकि पिरामिड के शीर्ष को इस वृत्त के केंद्र में प्रक्षेपित किया जाएगा;
• साइड पसलियां बेस प्लेन के साथ समान कोण बनाती हैं;
• इसके अलावा, इसका विलोम भी सत्य है, अर्थात जब पार्श्व किनारे आधार तल के साथ समान कोण बनाते हैं, या जब पिरामिड के आधार के पास एक वृत्त का वर्णन किया जा सकता है और पिरामिड के शीर्ष को इस वृत्त के केंद्र में प्रक्षेपित किया जाएगा, तो पिरामिड के सभी पार्श्व किनारों में समान आकार।

2. जब पार्श्व फलकों में समान मान के आधार के तल के झुकाव का कोण हो, तब:

• पिरामिड के आधार के पास, एक वृत्त का वर्णन करना आसान है, जबकि पिरामिड के शीर्ष को इस वृत्त के केंद्र में प्रक्षेपित किया जाएगा;
• पार्श्व फलकों की ऊँचाई हैं समान लंबाई;
• साइड सतह का क्षेत्रफल आधार की परिधि और साइड फेस की ऊंचाई का उत्पाद है।

3. पिरामिड के पास एक गोले का वर्णन किया जा सकता है यदि पिरामिड का आधार एक बहुभुज है जिसके चारों ओर एक वृत्त का वर्णन किया जा सकता है (एक आवश्यक और पर्याप्त स्थिति)। गोले का केंद्र उन विमानों के चौराहे का बिंदु होगा जो पिरामिड के किनारों के मध्य बिंदुओं से होकर गुजरते हैं। इस प्रमेय से हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि किसी भी त्रिभुज के चारों ओर और किसी भी नियमित पिरामिड के चारों ओर एक गोले का वर्णन किया जा सकता है।

4. एक पिरामिड में एक गोले को अंकित किया जा सकता है यदि पिरामिड के आंतरिक डायहेड्रल कोणों के द्विभाजक विमान 1 बिंदु (एक आवश्यक और पर्याप्त स्थिति) पर प्रतिच्छेद करते हैं। यह बिंदु गोले का केंद्र बन जाएगा।

सबसे सरल पिरामिड।

पिरामिड के आधार के कोनों की संख्या के अनुसार, उन्हें त्रिकोणीय, चतुष्कोणीय और इसी तरह विभाजित किया जाता है।

पिरामिड होगा त्रिकोणीय, चौकोर, और इसी तरह आगे भी, जब पिरामिड का आधार एक त्रिभुज, एक चतुर्भुज, और इसी तरह आगे भी होता है। एक त्रिकोणीय पिरामिड एक चतुष्फलक है - एक चतुष्फलक। चतुष्कोणीय - पेंटाहेड्रॉन और इसी तरह।

वीडियो पाठ 2: पिरामिड चुनौती। पिरामिड वॉल्यूम

वीडियो पाठ 3: पिरामिड चुनौती। सही पिरामिड

भाषण: पिरामिड, इसका आधार, पार्श्व किनारे, ऊँचाई, पार्श्व सतह; त्रिकोणीय पिरामिड; सही पिरामिड

पिरामिड- यह एक त्रि-आयामी पिंड है जिसके आधार पर एक बहुभुज है, और इसके सभी फलकों में त्रिभुज हैं।

पिरामिड का एक विशेष मामला एक शंकु है, जिसके आधार पर एक वृत्त स्थित है।

पिरामिड के मुख्य तत्वों पर विचार करें:

एपोटेमएक ऐसा खंड है जो पिरामिड के शीर्ष को साइड फेस के निचले किनारे के मध्य से जोड़ता है। दूसरे शब्दों में, यह पिरामिड के मुख की ऊंचाई है।

चित्र में आप त्रिभुज ADS, ABS, BCS, CDS देख सकते हैं। यदि आप नामों को करीब से देखते हैं, तो आप देख सकते हैं कि प्रत्येक त्रिभुज के नाम में एक सामान्य अक्षर है - S. अर्थात, इसका अर्थ है कि सभी भुजाएँ (त्रिकोण) एक बिंदु पर अभिसरण करती हैं, जिसे पिरामिड का शीर्ष कहा जाता है।

खंड ओएस, जो शीर्ष को आधार के विकर्णों के चौराहे के बिंदु से जोड़ता है (त्रिकोण के मामले में, ऊंचाइयों के चौराहे के बिंदु पर), कहा जाता है पिरामिड ऊंचाई.

एक विकर्ण खंड एक विमान है जो पिरामिड के शीर्ष के साथ-साथ आधार के विकर्णों में से एक से गुजरता है।

चूंकि पिरामिड की पार्श्व सतह में त्रिकोण होते हैं, पार्श्व सतह के कुल क्षेत्रफल को खोजने के लिए, प्रत्येक चेहरे के क्षेत्रों को ढूंढना और उन्हें जोड़ना आवश्यक है। फलकों की संख्या और आकृति आधार पर स्थित बहुभुज की भुजाओं के आकार और आकार पर निर्भर करती है।

पिरामिड में एकमात्र समतल जिसमें शीर्ष नहीं होता है, कहलाता है आधारपिरामिड।

आकृति में, हम देखते हैं कि आधार एक समांतर चतुर्भुज है, हालाँकि, कोई भी मनमाना बहुभुज हो सकता है।

गुण:

पिरामिड के पहले मामले पर विचार करें, जिसमें इसकी लंबाई समान है:

• ऐसे पिरामिड के आधार के चारों ओर एक वृत्त का वर्णन किया जा सकता है। यदि आप ऐसे पिरामिड के शीर्ष को प्रक्षेपित करते हैं, तो इसका प्रक्षेपण वृत्त के केंद्र में स्थित होगा।
• पिरामिड के आधार पर कोण प्रत्येक फलक के लिए समान होते हैं।
• इसी समय, इस तथ्य के लिए एक पर्याप्त शर्त है कि पिरामिड के आधार के चारों ओर एक चक्र का वर्णन किया जा सकता है, और यह भी कि सभी किनारे अलग-अलग लंबाई के हैं, आधार और चेहरे के प्रत्येक किनारे के बीच समान कोण माना जा सकता है .

यदि आप एक पिरामिड देखते हैं जिसमें भुजाओं और आधार के बीच के कोण बराबर होते हैं, तो निम्न गुण सत्य होते हैं:

• आप पिरामिड के आधार के चारों ओर एक वृत्त का वर्णन करने में सक्षम होंगे, जिसका शीर्ष बिल्कुल केंद्र की ओर प्रक्षेपित है।
• यदि आप ऊंचाई के प्रत्येक पक्ष के चेहरे को आधार पर खींचते हैं, तो वे समान लंबाई के होंगे।
• ऐसे पिरामिड के पार्श्व सतह क्षेत्र को खोजने के लिए, आधार की परिधि को खोजने के लिए पर्याप्त है और इसे ऊंचाई की आधी लंबाई से गुणा करें।
• एसबीपी \u003d 0.5 पी ओसी एच।
• पिरामिड के प्रकार।
• पिरामिड के आधार पर कौन सा बहुभुज स्थित है, इसके आधार पर वे त्रिकोणीय, चतुष्कोणीय आदि हो सकते हैं। यदि एक नियमित बहुभुज (समान भुजाओं वाला) पिरामिड के आधार पर स्थित है, तो ऐसे पिरामिड को नियमित कहा जाएगा।

नियमित त्रिकोणीय पिरामिड

हम महान मिस्र के पिरामिडों से अच्छी तरह वाकिफ हैं, हर कोई कल्पना कर सकता है कि वे कैसे दिखते हैं। यह प्रतिनिधित्व हमें इस तरह की विशेषताओं को समझने में मदद करेगा ज्यामितीय आकृतिएक पिरामिड की तरह।

एक पिरामिड एक पॉलीहेड्रॉन है जिसमें एक समतल बहुभुज होता है - पिरामिड का आधार, एक बिंदु जो आधार के तल में नहीं होता है - पिरामिड का शीर्ष और आधार के बिंदुओं के साथ शीर्ष को जोड़ने वाले सभी खंड। पिरामिड के शीर्ष को आधार के शीर्ष से जोड़ने वाले खंडों को पार्श्व किनारे कहा जाता है। अंजीर पर। 1 पिरामिड SABCD दिखाता है। चतुर्भुज ABCD पिरामिड का आधार है, बिंदु S पिरामिड का शीर्ष है, खंड SA, SB, SC और SD पिरामिड के किनारे हैं।

पिरामिड की ऊंचाई पिरामिड के शीर्ष से आधार के तल तक गिरा हुआ लंब है। अंजीर पर। 1 SO पिरामिड की ऊंचाई है।

एक पिरामिड को n-गोनल कहा जाता है यदि इसका आधार n-गॉन हो। चित्र 1 एक चतुष्कोणीय पिरामिड दिखाता है। त्रिकोणीय पिरामिड को चतुष्फलक कहा जाता है।

एक पिरामिड को नियमित कहा जाता है यदि इसका आधार एक नियमित बहुभुज है और ऊंचाई का आधार इस बहुभुज के केंद्र के साथ मेल खाता है। एक नियमित पिरामिड के पार्श्व किनारे समान होते हैं, और इसलिए, पार्श्व फलक समद्विबाहु त्रिभुज होते हैं। एक नियमित पिरामिड में, पिरामिड के ऊपर से खींचे गए साइड फेस की ऊंचाई को एपोटेम कहा जाता है।

पिरामिड में कई गुण होते हैं।

एक पिरामिड के सभी विकर्ण उसके फलकों से संबंधित होते हैं।

यदि सभी भुजाएँ समान हैं, तो:

• पिरामिड के आधार के पास, एक वृत्त का वर्णन किया जा सकता है, और पिरामिड के शीर्ष को इसके केंद्र में प्रक्षेपित किया जाता है;
• पार्श्व किनारे आधार तल के साथ समान कोण बनाते हैं, और, इसके विपरीत, यदि पार्श्व किनारे आधार तल के साथ समान कोण बनाते हैं, या यदि पिरामिड के आधार के पास एक वृत्त का वर्णन किया जा सकता है, और पिरामिड के शीर्ष को प्रक्षेपित किया जाता है इसका केंद्र, तो पिरामिड के सभी किनारे बराबर होते हैं।

यदि साइड फेस एक कोण पर बेस प्लेन से झुके हुए हैं, तो:

• पिरामिड के आधार पर एक वृत्त अंकित किया जा सकता है, और पिरामिड के शीर्ष को इसके केंद्र में प्रक्षेपित किया जाता है;
• पार्श्व फलकों की ऊँचाई बराबर होती है;
• पार्श्व सतह का क्षेत्रफल आधार की परिधि के आधे उत्पाद और पार्श्व चेहरे की ऊंचाई के बराबर है।

पिरामिड का आयतन, सतह क्षेत्रफल ज्ञात करने के सूत्रों पर विचार करें।

पिरामिड के आयतन की गणना निम्न सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है:

जहाँ S आधार का क्षेत्रफल है और h ऊँचाई है।

पिरामिड का कुल सतह क्षेत्र ज्ञात करने के लिए, सूत्र का उपयोग करें:

एस पी \u003d एस बी + एस ओ,

जहां S p कुल सतह क्षेत्र है, S b पार्श्व सतह क्षेत्र है, S o आधार क्षेत्र है।

एक छोटा पिरामिड पिरामिड के आधार और उसके आधार के समानांतर एक काटने वाले विमान के बीच संलग्न एक पॉलीहेड्रॉन है। काटे गए पिरामिड के चेहरे, समानांतर विमानों में पड़े हुए, काटे गए पिरामिड के आधार कहलाते हैं, शेष चेहरों को पार्श्व चेहरे कहा जाता है। एक काटे गए पिरामिड के आधार समान बहुभुज होते हैं, पार्श्व फलक समलंब होते हैं। एक नियमित पिरामिड से प्राप्त एक छोटा हुआ पिरामिड एक नियमित छोटा पिरामिड कहलाता है। एक नियमित रूप से काटे गए ट्रेपेज़ॉइड के साइड फेस समान समद्विबाहु ट्रेपेज़ॉइड होते हैं, उनकी ऊँचाई को एपोटेम्स कहा जाता है।

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