Korijen. Detaljna teorija s primjerima

Pojam kvadratnog korijena nenegativnog broja

Promotrimo jednadžbu x2 = 4. Riješimo je grafički. Da biste to učinili, u jednom sustavu koordinate konstruirajte parabolu y = x2 i ravnu liniju y = 4 (slika 74). Sjeku se u dvije točke A (- 2; 4) i B (2; 4). Apscise točaka A i B su korijeni jednadžbe x2 = 4. Dakle, x1 = - 2, x2 = 2.

Raspravljajući na isti način, nalazimo korijene jednadžbe x2 = 9 (vidi sl. 74): x1 = - 3, x2 = 3.

A sada pokušajmo riješiti jednadžbu x2 = 5; geometrijska ilustracija prikazana je na sl. 75. Jasno je da ova jednadžba ima dva korijena x1 i x2, a ti su brojevi, kao i u prethodna dva slučaja, jednaki po apsolutnoj vrijednosti i suprotnog predznaka (x1 - - x2) - Ali za razliku od prethodnih slučajeva, gdje je korijeni jednadžbe pronađeni su bez poteškoća (a mogli su se pronaći i bez korištenja grafova), to nije slučaj s jednadžbom x2 \u003d 5: prema crtežu ne možemo naznačiti vrijednosti korijena , možemo utvrditi samo taj korijen nalazi se malo lijevo od točke - 2, a drugi - malo desno od točke 2.

Ali ovdje nas čeka neugodno iznenađenje. Ispostavilo se da takav ne postoji razlomci DIV_ADBLOCK32">

Pretpostavimo da postoji takav nesvodivi razlomak za koji vrijedi jednakost https://pandia.ru/text/78/258/images/image007_16.jpg" alt=".jpg" width="55" height="36">!}, tj. m2 = 5n2. Posljednja jednakost znači da prirodni broj m2 je djeljiv s 5 bez ostatka (u kvocijentu dobijemo n2).

Prema tome, broj m2 završava ili brojem 5 ili brojem 0. Ali tada i prirodni broj m završava ili brojem 5 ili brojem 0, tj. broj m je djeljiv s 5 bez ostatka. Drugim riječima, ako se broj m podijeli s 5, tada će se u kvocijentu dobiti neki prirodni broj k. To znači da je m = 5k.

A sada pogledajte:

Zamijenite 5k za m u prvoj jednadžbi:

(5k)2 = 5n2, tj. 25k2 = 5n2 ili n2 = 5k2.

Posljednja jednakost znači da broj. 5n2 je djeljiv s 5 bez ostatka. Raspravljajući kao gore, dolazimo do zaključka da je i broj n djeljiv s 5 bez ostatak.

Dakle, m je djeljiv s 5, n je djeljiv s 5, pa se razlomak može smanjiti (za 5). Ali pretpostavili smo da je razlomak nesvodiv. Što je bilo? Zašto smo, ispravno razmišljajući, došli do apsurda ili, kako matematičari često kažu, dobili smo kontradikciju "! Da, jer je izvorna premisa bila netočna, kao da postoji takav nesvodljivi razlomak, za koji jednakost ).

Ako kao rezultat ispravnog razmišljanja dođemo do proturječja s uvjetom, tada zaključujemo: naša pretpostavka je netočna, što znači da je istinito ono što je trebalo dokazati.

Dakle, imajući samo racionalni brojevi(i još ne znamo druge brojeve), nećemo moći riješiti jednadžbu x2 \u003d 5.

Nakon što su se prvi put susreli s takvom situacijom, matematičari su shvatili da moraju smisliti način kako to opisati matematičkim jezikom. Uveli su u razmatranje novi simbol koji su nazvali kvadratni korijen, a uz pomoć tog simbola korijene jednadžbe x2 = 5 zapisali su na sljedeći način: ). Sada za bilo koju jednadžbu oblika x2 \u003d a, gdje a\u003e O, možete pronaći korijene - oni su brojevihttps://pandia.ru/text/78/258/images/image012_6.jpg" alt=".jpg" width="32" height="31">!} ne cjelina ili djelić.
To znači da to nije racionalan broj, to je broj nove prirode, o takvim ćemo brojevima posebno govoriti kasnije, u 5. poglavlju.
Za sada samo imajte na umu da je novi broj između 2 i 3, budući da je 22 = 4, što je manje od 5; Z2 \u003d 9, što je više od 5. Možete pojasniti:

Još jednom napominjemo da se u tablici pojavljuju samo pozitivni brojevi, budući da je to navedeno u definiciji kvadratnog korijena. I iako je, na primjer, \u003d 25 ispravna jednakost, prijeđite s nje na zapis koristeći kvadratni korijen (tj. zapišite to. .jpg" alt=".jpg" width="42" height="30">!} je pozitivan broj, dakle https://pandia.ru/text/78/258/images/image025_3.jpg" alt=".jpg" width="35" height="28">!}. Jasno je da je veći od 4, ali manji od 5, budući da je 42 = 16 (što je manje od 17) i 52 = 25 (što je više od 17).
Međutim, približna vrijednost broja može se pronaći pomoću kalkulator, koji sadrži operaciju kvadratnog korijena; ova vrijednost je 4,123.

Broj, kao i broj koji smo razmatrali gore, nije racionalan.
e) Ne može se izračunati jer kvadratni korijen negativnog broja ne postoji; unos je besmislen. Predloženi zadatak nije točan.
e) https://pandia.ru/text/78/258/images/image029_1.jpg" alt="Zadatak" width="80" height="33 id=">!}, budući da je 75 > 0 i 752 = 5625.

U najjednostavnijim slučajevima vrijednost kvadratnog korijena izračunava se odmah:

https://pandia.ru/text/78/258/images/image031_2.jpg" alt="Zadatak" width="65" height="42 id=">!}
Riješenje.
Prva razina. Nije teško pogoditi da će odgovor biti 50 s "repom". Zaista, 502 = 2500 i 602 = 3600, dok je 2809 između 2500 i 3600.

Promotrimo jednadžbu x 2 = 4. Riješimo je grafički. Da bismo to učinili, u jednom koordinatnom sustavu konstruiramo parabolu y \u003d x 2 i ravnu liniju y \u003d 4 (slika 74). Sjeku se u dvije točke A (- 2; 4) i B (2; 4). Apscise točaka A i B su korijeni jednadžbe x 2 \u003d 4. Dakle, x 1 \u003d - 2, x 2 \u003d 2.

Raspravljajući na isti način, nalazimo korijene jednadžbe x 2 \u003d 9 (vidi sliku 74): x 1 \u003d - 3, x 2 \u003d 3.

A sada pokušajmo riješiti jednadžbu x 2 \u003d 5; geometrijska ilustracija prikazana je na sl. 75. Jasno je da ova jednadžba ima dva korijena x 1 i x 2, a ti su brojevi, kao i u prethodna dva slučaja, jednaki po apsolutnoj vrijednosti i suprotnog predznaka (x 1 - - x 2) - Ali za razliku od prethodnog slučajevi , gdje su korijeni jednadžbe pronađeni bez poteškoća (a mogli su se pronaći i bez korištenja grafova), to nije slučaj s jednadžbom x 2 \u003d 5: prema crtežu ne možemo naznačiti vrijednosti Što se tiče korijena, možemo samo utvrditi da se jedan korijen nalazi malo ulijevo - 2, a drugi - malo udesno.

točke 2.

Koji je to broj (točka) koji se nalazi desno od točke 2 i daje 5 na kvadrat? Jasno je da ovo nije 3, jer je Z 2 \u003d 9, tj. Ispada više nego što je potrebno (9\u003e 5).

To znači da se broj koji nas zanima nalazi između brojeva 2 i 3. Ali između brojeva 2 i 3 nalazi se beskonačan skup racionalnih brojeva, npr. itd. Možda među njima postoji takav dio koji ? Tada nećemo imati problema s jednadžbom x 2 - 5, možemo to napisati

Ali ovdje nas čeka neugodno iznenađenje. Ispada da ne postoji takav razlomak za koji vrijedi jednakost
Dokaz navedene tvrdnje prilično je težak. Ipak, dajemo ga jer je lijep i poučan, vrlo ga je korisno pokušati razumjeti.

Pretpostavimo da postoji takav nesvodivi razlomak , za koji vrijedi jednakost. Tada je m 2 = 5n 2 . Posljednja jednakost znači da je prirodni broj m 2 djeljiv s 5 bez ostatka (konkretno će ispasti n2).

Prema tome, broj m 2 završava ili s brojem 5 ili s brojem 0. Ali tada i prirodni broj m završava ili s brojem 5 ili s brojem 0, tj. broj m je djeljiv s 5 bez ostatka. Drugim riječima, ako se broj m podijeli s 5, tada će se u kvocijentu dobiti neki prirodni broj k. To znači,
da je m = 5k.
A sada pogledajte:
m 2 \u003d 5n 2;
Zamijenite 5k za m u prvoj jednadžbi:

(5k) 2 = 5n 2 , tj. 25k 2 = 5n 2 ili n 2 = 5k 2 .
Posljednja jednakost znači da broj. 5n 2 je djeljiv s 5 bez ostatka. Raspravljajući kao gore, dolazimo do zaključka da je i broj n djeljiv s 5 bez ostatka.
Dakle, m je djeljiv s 5, n je djeljiv s 5, pa se razlomak može smanjiti (za 5). Ali pretpostavili smo da je razlomak nesvodiv. Što je bilo? Zašto smo, ispravno razmišljajući, došli do apsurda ili, kako matematičari često kažu, dobili smo kontradikciju "! Da, jer je izvorna premisa bila netočna, kao da postoji takav nesvodljivi razlomak, za koji jednakost
Iz ovoga zaključujemo: ne postoji takav razlomak.
Metoda dokazivanja koju smo upravo primijenili naziva se u matematici metodom dokazivanja kontradikcijom. Njegova suština je sljedeća. Određenu tvrdnju trebamo dokazati, a pretpostavljamo da ona ne vrijedi (matematičari kažu: "pretpostavimo suprotno" - ne u smislu "neugodno", nego u smislu "suprotno od onoga što se traži").
Ako kao rezultat ispravnog razmišljanja dođemo do proturječja s uvjetom, tada zaključujemo: naša pretpostavka je netočna, što znači da je istinito ono što je trebalo dokazati.

Dakle, imajući samo racionalne brojeve (a još ne znamo druge brojeve), nećemo moći riješiti jednadžbu x 2 \u003d 5.
Nakon što su se prvi put susreli s takvom situacijom, matematičari su shvatili da moraju smisliti način kako to opisati matematičkim jezikom. Uveli su novi simbol u razmatranje, koji su nazvali kvadratni korijen, a koristeći ovaj simbol, korijeni jednadžbe x 2 \u003d 5 zapisani su na sljedeći način:

glasi: "kvadratni korijen od 5") Sada za bilo koju jednadžbu oblika x 2 \u003d a, gdje je a\u003e O, možete pronaći korijene - oni su brojevi , (Slika 76).

Opet naglašavamo da broj nije cijeli broj niti razlomak.
To znači da to nije racionalan broj, to je broj nove prirode, o takvim ćemo brojevima posebno govoriti kasnije, u 5. poglavlju.
Za sada samo imajte na umu da je novi broj između 2 i 3, budući da je 2 2 = 4, što je manje od 5; Z 2 \u003d 9, a ovo je više od 5. Možete pojasniti:

Doista, 2,2 2 = 4,84< 5, а 2,3 2 = 5,29 >5. Još uvijek možete
navedite:

doista, 2,23 2 = 4,9729< 5, а 2,24 2 = 5,0176 > 5.
U praksi se obično smatra da je broj jednak 2,23 ili da je jednak 2,24, samo što se ne radi o običnoj jednakosti, već o približnoj jednakosti, za što se koristi simbol .
Tako,

Raspravljajući o rješenju jednadžbe x 2 = a, suočili smo se s prilično tipičnim stanjem stvari za matematiku. Upadajući u nestandardnu, nenormalnu (kako kozmonauti vole reći) situaciju i ne nalazeći izlaz iz nje poznatim sredstvima, matematičari smišljaju novi termin i novu oznaku (novi simbol) za matematičku model s kojim se prvi put susreću; drugim riječima, uvode novi koncept i zatim proučavaju njegova svojstva
koncepti. Tako novi pojam i njegova oznaka postaju vlasništvo matematičkog jezika. Mi smo postupili na isti način: uveli smo pojam "kvadratni korijen broja a", uveli simbol za njegovo označavanje, a malo kasnije ćemo proučiti svojstva novog koncepta. Za sada znamo samo jedno: ako je a > 0,
tada je pozitivan broj koji zadovoljava jednadžbu x 2 = a. Drugim riječima, ako je takav pozitivan broj, kada se kvadrira, dobije se broj a.
Budući da jednadžba x 2 \u003d 0 ima korijen x \u003d 0, složili smo se pretpostaviti da
Sada smo spremni dati rigoroznu definiciju.
Definicija. Kvadratni korijen nenegativnog broja a je nenegativan broj čiji je kvadrat a.

Ovaj broj je označen, broj i istovremeno se naziva korijenski broj.
Dakle, ako je a nenegativan broj, tada:

Ako a< О, то уравнение х 2 = а не имеет корней, говорить в этом случае о квадратном корне из числа а не имеет смысла.
Dakle, izraz ima smisla samo kada je a > 0.
To kažu - isti matematički model (isti odnos između nenegativnih brojeva
(a i b), ali je samo drugi opisan jednostavnijim jezikom od prvog (koristi jednostavnije znakove).

Operacija izvlačenja kvadratnog korijena nenegativnog broja naziva se vađenjem kvadratnog korijena. Ova operacija je obrnuta od kvadriranja. Usporedi:

Još jednom napominjemo da se u tablici pojavljuju samo pozitivni brojevi, budući da je to navedeno u definiciji kvadratnog korijena. I iako je, na primjer, (- 5) 2 \u003d 25 ispravna jednakost, prijeđite s nje na zapis koristeći kvadratni korijen (tj. zapišite to.)
Zabranjeno je. A-priorat, . je pozitivan broj, dakle .
Često kažu ne "kvadratni korijen", već "aritmetički kvadratni korijen". Izostavljamo termin "aritmetika" radi kratkoće.

D) Za razliku od prethodnih primjera, ne možemo odrediti točnu vrijednost broja . Jasno je samo da je veći od 4, ali manji od 5, jer

4 2 = 16 (to je manje od 17) i 5 2 = 25 (to je više od 17).
Međutim, približna vrijednost broja može se pronaći pomoću mikrokalkulatora, koji sadrži operaciju vađenja kvadratnog korijena; ova vrijednost je 4,123.
Tako,
Broj, kao i broj koji smo razmatrali gore, nije racionalan.
e) Ne može se izračunati jer kvadratni korijen negativnog broja ne postoji; unos je besmislen. Predloženi zadatak nije točan.
e), budući da je 31 > 0 i 31 2 = 961. U takvim slučajevima morate koristiti tablicu kvadrata prirodnih brojeva ili mikrokalkulator.
g) budući da je 75 > 0 i 75 2 = 5625.
U najjednostavnijim slučajevima, vrijednost kvadratnog korijena izračunava se odmah: itd. U složenijim slučajevima, morate koristiti tablicu kvadrata brojeva ili izvršiti izračune pomoću mikrokalkulatora. Ali što ako pri ruci nema proračunske tablice ili kalkulatora? Odgovorimo na ovo pitanje rješavanjem sljedećeg primjera.

Primjer 2 Izračunati
Riješenje.
Prva razina. Nije teško pogoditi da će odgovor biti 50 s "repom". Doista, 50 2 = 2500, a 60 2 = 3600, dok se broj 2809 nalazi između brojeva 2500 i 3600.

Druga faza. Pronađimo "rep", tj. zadnja znamenka željenog broja. Do sada znamo da ako se izvadi korijen, onda odgovor može biti 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58 ili 59. Potrebno je provjeriti samo dva broja: 53 i 57, jer samo oni , kada se kvadrira, dat će rezultat četveroznamenkasti broj koji završava s 9, istu znamenku kao 2809.
Imamo 532 = 2809 - to je ono što nam treba (imali smo sreće, odmah smo pogodili "bikovsko oko"). Dakle = 53.
Odgovor:

53
Primjer 3 Katete pravokutnog trokuta su 1 cm i 2 cm.Kolika je hipotenuza trokuta? (sl.77)

Riješenje.

Poslužimo se Pitagorinim poučkom poznatim iz geometrije: zbroj kvadrata duljina kateta pravokutnog trokuta jednak je kvadratu duljine njegove hipotenuze, tj. a 2 + b 2 \u003d c 2, gdje je a, b su katete, c je hipotenuza pravokutnog trokuta.

Sredstva,

Ovaj primjer pokazuje da uvođenje kvadratnog korijena nije hir matematičara, već objektivna nužnost: u stvarnom životu postoje situacije čiji matematički modeli sadrže operaciju vađenja kvadratnog korijena. Možda je najvažnija od ovih situacija
rješavanje kvadratnih jednadžbi. Do sada, kada smo se susreli s kvadratnim jednadžbama ax 2 + bx + c \u003d 0, faktorizirali smo lijevu stranu (što nije uvijek uspjelo) ili koristili grafičke metode (što također nije baš pouzdano, iako je lijepo). Zapravo, pronaći
korijeni x 1 i x 2 kvadratne jednadžbe ax 2 + bx + c \u003d 0 u matematici se koriste formule

sadržavajući, očito, znak kvadratnog korijena. Ove formule se u praksi primjenjuju na sljedeći način. Neka je, na primjer, potrebno riješiti jednadžbu 2x 2 + bx - 7 \u003d 0. Ovdje a = 2, b \u003d 5, c \u003d - 7. Prema tome,
b2 - 4ac \u003d 5 2 - 4. 2. (- 7) = 81. Zatim nalazimo . Sredstva,

Gore smo primijetili da to nije racionalan broj.
Matematičari takve brojeve nazivaju iracionalnim. Bilo koji broj oblika je iracionalan ako se ne vadi kvadratni korijen. Na primjer, itd. su iracionalni brojevi. U 5. poglavlju više ćemo govoriti o racionalnim i iracionalnim brojevima. Racionalni i iracionalni brojevi zajedno čine skup realnih brojeva, tj. skup svih onih brojeva s kojima operiramo u stvarnom životu (u stvari,
nost). Na primjer, - sve su to realni brojevi.
Kao što smo gore definirali koncept kvadratnog korijena, također možemo definirati koncept kubnog korijena: kubni korijen nenegativnog broja a je nenegativan broj čiji je kub jednak a. Drugim riječima, jednakost znači da je b 3 = a.

Sve ćemo to proučavati u kolegiju algebre 11. razreda.

U ovom ćemo članku predstaviti pojam korijena broja. Djelovat ćemo sekvencijalno: počet ćemo s kvadratnim korijenom, od njega ćemo prijeći na opis kubnog korijena, nakon toga ćemo generalizirati pojam korijena definiranjem korijena n-tog stupnja. Ujedno ćemo uvesti definicije, notaciju, dati primjere korijena te dati potrebna objašnjenja i komentare.

Kvadratni korijen, aritmetički kvadratni korijen

Da bismo razumjeli definiciju korijena broja, a posebno kvadratnog korijena, moramo imati . Na ovom mjestu često ćemo se susresti s drugom potencijom broja – kvadratom broja.

Počnimo s definicije kvadratnog korijena.

Definicija

Kvadratni korijen iz a je broj čiji je kvadrat a .

Kako bi doveli primjeri kvadratnih korijena, uzmemo nekoliko brojeva, na primjer, 5 , −0.3 , 0.3 , 0 , i kvadriramo ih, dobivamo brojeve 25 , 0.09 , 0.09 i 0 redom (5 2 = 5 5 = 25 , (−0,3) 2 =(−0,3) (−0,3)=0,09, (0,3) 2 =0,3 0,3=0,09 i 0 2 =0 0=0 ). Zatim prema gornjoj definiciji, 5 je kvadratni korijen iz 25, −0,3 i 0,3 su kvadratni korijeni iz 0,09, a 0 je kvadratni korijen iz nule.

Treba napomenuti da ni za jedan broj a ne postoji čiji je kvadrat jednak a. Naime, ni za jedan negativan broj a ne postoji realan broj b čiji je kvadrat jednak a. Doista, jednakost a=b 2 je nemoguća za bilo koji negativan a , budući da je b 2 nenegativan broj za bilo koji b . Tako, na skupu realnih brojeva nema kvadratnog korijena negativnog broja. Drugim riječima, na skupu realnih brojeva kvadratni korijen negativnog broja nije definiran i nema nikakvo značenje.

To dovodi do logičnog pitanja: "Postoji li kvadratni korijen iz a za bilo koje nenegativno a"? Odgovor je da. Obrazloženje za ovu činjenicu može se smatrati konstruktivnom metodom koja se koristi za pronalaženje vrijednosti kvadratnog korijena.

Tada se postavlja sljedeće logično pitanje: "Koji je broj svih kvadratnih korijena zadanog nenegativnog broja a - jedan, dva, tri ili čak više"? Evo odgovora na njega: ako je a nula, tada je jedini kvadratni korijen iz nule nula; ako je a neki pozitivan broj, tada je broj kvadratnih korijena iz broja a jednak dva, a korijeni su . Potkrijepimo ovo.

Počnimo sa slučajem a=0 . Pokažimo prvo da je nula doista kvadratni korijen iz nule. To proizlazi iz očite jednakosti 0 2 =0·0=0 i definicije kvadratnog korijena.

Sada dokažimo da je 0 jedini kvadratni korijen iz nule. Upotrijebimo suprotnu metodu. Pretpostavimo da postoji neki broj b različit od nule koji je kvadratni korijen iz nule. Tada mora biti zadovoljen uvjet b 2 =0, što je nemoguće, jer je za svako b različito od nule vrijednost izraza b 2 pozitivna. Došli smo do kontradikcije. Ovo dokazuje da je 0 jedini kvadratni korijen iz nule.

Prijeđimo na slučajeve u kojima je a pozitivan broj. Gore smo rekli da uvijek postoji kvadratni korijen bilo kojeg nenegativnog broja, neka je b kvadratni korijen od a. Recimo da postoji broj c , koji je također kvadratni korijen iz a . Tada po definiciji kvadratnog korijena vrijede jednakosti b 2 =a i c 2 =a iz kojih slijedi da je b 2 −c 2 =a−a=0, ali budući da je b 2 −c 2 =( b−c) ( b+c) , tada (b−c) (b+c)=0 . Rezultirajuća jednakost na snazi svojstva radnji s realnim brojevima moguće samo kada je b−c=0 ili b+c=0 . Dakle, brojevi b i c su jednaki ili suprotni.

Ako pretpostavimo da postoji broj d, koji je još jedan kvadratni korijen iz broja a, tada se sličnim zaključivanjem kao što je već navedeno dokazuje da je d jednak broju b ili broju c. Dakle, broj kvadratnih korijena pozitivnog broja je dva, a kvadratni korijeni su suprotni brojevi.

Radi lakšeg rada s kvadratnim korijenima, negativni korijen je "odvojen" od pozitivnog. U tu svrhu uvodi definicija aritmetičkog kvadratnog korijena.

Definicija

Aritmetički kvadratni korijen nenegativnog broja a je nenegativan broj čiji je kvadrat a .

Za aritmetički kvadratni korijen broja a prihvaća se oznaka. Znak se naziva znak aritmetičkog kvadratnog korijena. Naziva se i znakom radikala. Stoga se djelomično može čuti i "korijen" i "radikal", što znači isti objekt.

Naziva se broj ispod znaka aritmetičkog kvadratnog korijena korijenski broj, a izraz pod znakom korijena - radikalni izraz, dok se izraz "radikalni broj" često zamjenjuje s "radikalni izraz". Na primjer, u zapisu je broj 151 radikalni broj, a u zapisu je izraz a radikalni izraz.

Prilikom čitanja riječ "aritmetika" često se izostavlja, na primjer, unos se čita kao "kvadratni korijen iz sedam zarez dvadeset devet stotinki." Riječ "aritmetika" izgovara se samo kada se želi naglasiti da je riječ o pozitivnom kvadratnom korijenu broja.

U svjetlu uvedenog zapisa, iz definicije aritmetičkog kvadratnog korijena proizlazi da za svaki nenegativan broj a .

Kvadratni korijeni pozitivnog broja a zapisani su pomoću znaka aritmetičkog kvadratnog korijena kao i . Na primjer, kvadratni korijen iz 13 je i . Aritmetički kvadratni korijen iz nule je nula, to jest, . Za negativne brojeve a, unosima nećemo pridavati značenje dok ne proučimo kompleksni brojevi. Na primjer, izrazi i su besmisleni.

Na temelju definicije kvadratnog korijena dokazuju se svojstva kvadratnih korijena koja se često koriste u praksi.

Za kraj ovog pododjeljka, primijetit ćemo da su kvadratni korijeni broja rješenja oblika x 2 =a s obzirom na varijablu x.

kockasti korijen od

Definicija kubnog korijena broja a dana je na sličan način kao definicija kvadratnog korijena. Samo što se temelji na konceptu kocke broja, a ne kvadrata.

Definicija

Kubni korijen od a naziva se broj čiji je kub jednak a.

Donesimo primjeri kubnih korijena. Da biste to učinili, uzmite nekoliko brojeva, na primjer, 7 , 0 , −2/3 , i sastavite ih na kocku: 7 3 =7 7 7=343 , 0 3 =0 0 0=0 , . Zatim, na temelju definicije kubnog korijena, možemo reći da je broj 7 kubni korijen od 343, 0 je kubni korijen od nule, a −2/3 je kubni korijen od −8/27.

Može se pokazati da kubni korijen broja a, za razliku od kvadratnog korijena, uvijek postoji, i to ne samo za nenegativan a, već i za svaki realni broj a. Da biste to učinili, možete koristiti istu metodu koju smo spomenuli kada smo proučavali kvadratni korijen.

Štoviše, postoji samo jedan kubni korijen zadanog broja a. Dokažimo posljednju tvrdnju. Da biste to učinili, razmotrite tri slučaja odvojeno: a je pozitivan broj, a=0 i a je negativan broj.

Lako je pokazati da za pozitivno a, kubni korijen od a ne može biti ni negativan ni nula. Doista, neka je b kubni korijen od a , tada po definiciji možemo napisati jednakost b 3 =a . Jasno je da ova jednakost ne može biti istinita za negativno b i za b=0, budući da će u tim slučajevima b 3 =b·b·b biti negativan broj odnosno nula. Dakle, kubni korijen pozitivnog broja a je pozitivan broj.

Pretpostavimo sada da osim broja b postoji još jedan kubni korijen iz broja a, označimo ga c. Tada je c 3 =a. Prema tome, b 3 −c 3 =a−a=0 , ali b 3 −c 3 =(b−c) (b 2 +b c+c 2)(ovo je skraćena formula množenja razlika kocki), odakle (b−c) (b 2 +b c+c 2)=0 . Rezultirajuća jednakost je moguća samo kada je b−c=0 ili b 2 +b c+c 2 =0 . Iz prve jednakosti imamo b=c, a druga jednakost nema rješenja, jer je njena lijeva strana pozitivan broj za bilo koje pozitivne brojeve b i c kao zbroj triju pozitivnih članova b 2 , b c i c 2 . Time je dokazana jedinstvenost kubnog korijena pozitivnog broja a.

Za a=0, jedini kubni korijen od a je nula. Doista, ako pretpostavimo da postoji broj b , koji je kubni korijen iz nule različit od nule, tada mora vrijediti jednakost b 3 =0, što je moguće samo kada je b=0 .

Za negativno a može se raspravljati slično kao u slučaju pozitivnog a. Prvo ćemo pokazati da kubni korijen negativnog broja ne može biti jednak ni pozitivnom broju ni nuli. Drugo, pretpostavljamo da postoji drugi kubni korijen negativnog broja i pokazujemo da će se on nužno podudarati s prvim.

Dakle, uvijek postoji kubni korijen bilo kojeg realnog broja a, i to samo jedan.

Dajmo definicija aritmetičkog kubnog korijena.

Definicija

Aritmetički kubni korijen nenegativnog broja a naziva se nenegativan broj čiji je kub jednak a.

Aritmetički kubni korijen nenegativnog broja a označava se kao , predznak se naziva predznak aritmetičkog kubnog korijena, a broj 3 u ovoj oznaci naziva se indikator korijena. Broj pod znakom korijena je korijenski broj, izraz pod znakom korijena je radikalni izraz.

Iako je aritmetički kubni korijen definiran samo za nenegativne brojeve a, također je zgodno koristiti unose u kojima su negativni brojevi pod znakom aritmetičkog kubnog korijena. Shvatit ćemo ih na sljedeći način: , gdje je a pozitivan broj. Na primjer, .

O svojstvima kubnih korijena govorit ćemo u općem članku svojstva korijena.

Izračunavanje vrijednosti kubnog korijena naziva se vađenje kubnog korijena, o ovoj se radnji raspravlja u članku vađenje korijena: metode, primjeri, rješenja.

Da zaključimo ovaj pododjeljak, kažemo da je kubni korijen od a rješenje oblika x 3 =a.

N-ti korijen, aritmetički korijen od n

Generaliziramo pojam korijena iz broja – uvodimo određivanje n-tog korijena za n.

Definicija

n-ti korijen od a je broj čija je n-ta potencija jednaka a.

Iz ove definicije jasno je da je korijen prvog stupnja iz broja a sam broj a, budući da smo pri proučavanju stupnja s prirodnim indikatorom uzeli a 1 = a.

Gore smo razmotrili posebne slučajeve korijena n-tog stupnja za n=2 i n=3 - kvadratni korijen i kubni korijen. Odnosno, kvadratni korijen je korijen drugog stupnja, a kubni korijen je korijen trećeg stupnja. Za proučavanje korijena n-tog stupnja za n=4, 5, 6, ..., zgodno ih je podijeliti u dvije skupine: prva skupina - korijeni parnih stupnjeva (to jest, za n=4, 6 , 8, ...), druga skupina - korijeni neparnih potencija (to jest, za n=5, 7, 9, ... ). To je zbog činjenice da su korijeni parnih stupnjeva slični kvadratnom korijenu, a korijeni neparnih stupnjeva slični su kubičnom korijenu. Pozabavimo se njima redom.

Počnimo s korijenima čije su potencije parni brojevi 4, 6, 8, ... Kao što smo već rekli, slični su kvadratnom korijenu broja a. To jest, korijen bilo kojeg parnog stupnja iz broja a postoji samo za nenegativno a. Štoviše, ako je a=0, tada je korijen od a jedinstven i jednak nuli, a ako je a>0, tada postoje dva korijena parnog stupnja iz broja a, a oni su suprotni brojevi.

Opravdajmo posljednju tvrdnju. Neka je b korijen parnog stupnja (označavamo ga kao 2·m, gdje je m neki prirodni broj) iz a. Pretpostavimo da postoji broj c - još jedan korijen od 2 m od a . Tada je b 2 m −c 2 m =a−a=0 . Ali znamo za oblik b 2 m − c 2 m = (b − c) (b + c) (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2), zatim (b−c) (b+c) (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2)=0. Iz ove jednakosti slijedi b−c=0 , ili b+c=0 , odn b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2 =0. Prve dvije jednakosti znače da su brojevi b i c jednaki ili b i c suprotni. A posljednja jednakost vrijedi samo za b=c=0 , budući da njena lijeva strana sadrži izraz koji je nenegativan za bilo koje b i c kao zbroj nenegativnih brojeva.

Što se tiče korijena n-tog stupnja za neparan n, oni su slični kubnom korijenu. To jest, korijen bilo kojeg neparnog stupnja iz broja a postoji za svaki realni broj a, a za dati broj a on je jedinstven.

Jedinstvenost korijena neparnog stupnja 2·m+1 iz broja a dokazuje se analogijom s dokazom jedinstvenosti kubnog korijena iz a . Samo ovdje umjesto jednakosti a 3 −b 3 =(a−b) (a 2 +a b+c 2) jednakost oblika b 2 m+1 −c 2 m+1 = (b−c) (b 2 m +b 2 m−1 c+b 2 m−2 c 2 +… +c 2 m). Izraz u zadnjoj zagradi može se prepisati kao b 2 m +c 2 m +b c (b 2 m−2 +c 2 m−2 + b c (b 2 m−4 +c 2 m−4 +b c (…+(b 2 +c 2 +b c)))). Na primjer, za m=2 imamo b 5 −c 5 =(b−c) (b 4 +b 3 c+b 2 c 2 +b c 3 +c 4)= (b−c) (b 4 +c 4 +b c (b 2 +c 2 +b c)). Kada su a i b oba pozitivna ili oba negativna, njihov umnožak je pozitivan broj, tada je izraz b 2 +c 2 +b·c , koji je u zagradama najvišeg stupnja ugniježđenja, pozitivan kao zbroj pozitivnih brojevima. Sada, prelazeći sukcesivno na izraze u zagradama prethodnih stupnjeva ugniježđenja, uvjeravamo se da su i oni pozitivni kao zbrojevi pozitivnih brojeva. Kao rezultat toga, dobivamo da je jednakost b 2 m+1 −c 2 m+1 = (b−c) (b 2 m +b 2 m−1 c+b 2 m−2 c 2 +… +c 2 m)=0 moguće samo kada je b−c=0 , odnosno kada je broj b jednak broju c .

Vrijeme je da se pozabavimo zapisom korijena n-tog stupnja. Za ovo se daje određivanje aritmetičkog korijena n-tog stupnja.

Definicija

Aritmetički korijen n-tog stupnja nenegativnog broja a naziva se nenegativan broj čija je n-ta potencija jednaka a.

Opet sam pogledao u tanjur... I, idemo!

Počnimo s jednim jednostavnim:

Pričekaj minutu. ovo, što znači da to možemo napisati ovako:

kužiš Evo sljedećeg za vas:

Korijeni dobivenih brojeva nisu točno izvučeni? Ne brinite, evo nekoliko primjera:

Ali što ako nema dva množitelja, nego više? Isto! Formula množenja korijena radi s bilo kojim brojem faktora:

Sada potpuno neovisni:

odgovori: Dobro napravljeno! Slažem se, sve je vrlo jednostavno, glavna stvar je znati tablicu množenja!

Podjela korijena

Shvatili smo množenje korijena, a sada prijeđimo na svojstvo dijeljenja.

Dopustite mi da vas podsjetim da formula općenito izgleda ovako:

A to znači da korijen kvocijenta jednak je kvocijentu korijena.

Pa, pogledajmo primjere:

To je sva znanost. Evo primjera:

Nije sve tako glatko kao u prvom primjeru, ali kao što vidite, nema ništa komplicirano.

Što ako izraz izgleda ovako:

Samo trebate primijeniti formulu obrnuto:

Evo primjera:

Također možete vidjeti ovaj izraz:

Sve je isto, samo ovdje morate zapamtiti kako prevesti razlomke (ako se ne sjećate, pogledajte temu i vratite se!). Sjetio se? Sada odlučujemo!

Siguran sam da ste se nosili sa svime, sa svime, sada pokušajmo ukorijeniti diplomu.

Potenciranje

Što se događa ako se kvadratni korijen kvadrira? Jednostavno je, zapamtite značenje kvadratnog korijena broja - ovo je broj čiji je kvadratni korijen jednak.

Dakle, ako kvadriramo broj čiji je kvadratni korijen jednak, što ćemo onda dobiti?

Pa naravno, !

Pogledajmo primjere:

Sve je jednostavno, zar ne? A ako je korijen u drugom stupnju? U redu je!

Držite se iste logike i zapamtite svojstva i moguće akcije s ovlastima.

Pročitaj teoriju na temu "" i sve će ti biti krajnje jasno.

Na primjer, evo izraza:

U ovom primjeru stupanj je paran, ali što ako je neparan? Opet, primijenite svojstva snage i faktorizirajte sve:

S ovim se čini da je sve jasno, ali kako izvući korijen iz broja u stupnju? Evo, na primjer, ovo:

Prilično jednostavno, zar ne? Što ako je stupanj veći od dva? Slijedimo istu logiku koristeći svojstva stupnjeva:

Pa, je li sve jasno? Zatim sami riješite svoje primjere:

A evo i odgovora:

Uvod pod znakom korijena

Što samo nismo naučili raditi s korijenima! Ostaje samo vježbati unos broja ispod znaka korijena!

Vrlo je jednostavno!

Recimo da imamo broj

Što možemo učiniti s tim? Pa, naravno, sakrijte trostruku ispod korijena, a zapamtite da je trostruka kvadratni korijen od!

Zašto nam to treba? Da, samo da proširimo naše mogućnosti prilikom rješavanja primjera:

Kako vam se sviđa ovo svojstvo korijena? Čini život mnogo lakšim? Za mene je to točno! Samo moramo imati na umu da možemo unositi samo pozitivne brojeve ispod znaka kvadratnog korijena.

Isprobajte ovaj primjer sami:
Jeste li uspjeli? Da vidimo što biste trebali dobiti:

Dobro napravljeno! Uspjeli ste unijeti broj ispod korijenskog znaka! Prijeđimo na nešto jednako važno - razmotrite kako usporediti brojeve koji sadrže kvadratni korijen!

Usporedba korijena

Zašto bismo trebali naučiti uspoređivati ​​brojeve koji sadrže kvadratni korijen?

Jako jednostavno. Često u velikim i dugim izrazima koje susrećemo na ispitu dobijemo iracionalan odgovor (sjećate li se što je to? O tome smo već danas pričali!)

Dobivene odgovore trebamo smjestiti na koordinatnu crtu, na primjer, kako bismo odredili koji je interval prikladan za rješavanje jednadžbe. I tu nastaje začkoljica: na ispitu nema kalkulatora, a kako bez njega zamisliti koji je broj veći, a koji manji? To je to!

Na primjer, odredite što je veće: ili?

Nećete reći odmah. Pa, upotrijebimo raščlanjeno svojstvo dodavanja broja ispod znaka korijena?

Zatim naprijed:

Pa, očito, što je veći broj pod znakom korijena, to je veći i sam korijen!

Oni. ako znači .

Iz ovoga čvrsto zaključujemo da I nitko nas neće uvjeriti u suprotno!

Vađenje korijena iz velikih brojeva

Prije toga smo uveli faktor pod znakom korijena, ali kako ga izvaditi? Samo trebate faktorizirati i izdvojiti što je izvučeno!

Moglo se ići drugim putem i rastaviti na druge faktore:

Nije loše, zar ne? Bilo koji od ovih pristupa je ispravan, odlučite kako se osjećate ugodno.

Faktoring je vrlo koristan pri rješavanju takvih nestandardnih zadataka kao što je ovaj:

Mi se ne plašimo, mi djelujemo! Svaki faktor pod korijenom rastavljamo na zasebne faktore:

A sada pokušajte sami (bez kalkulatora! Neće biti na ispitu):

Je li ovo kraj? Ne stajemo na pola puta!

To je sve, nije sve tako strašno, zar ne?

Dogodilo se? Bravo, u pravu si!

Sada isprobajte ovaj primjer:

A primjer je tvrd orah, pa ne možete odmah shvatiti kako mu pristupiti. Ali mi smo, naravno, u zubima.

Pa, počnimo s faktoringom, može? Odmah napominjemo da broj možete podijeliti na (prisjetite se znakova djeljivosti):

A sada pokušajte sami (opet, bez kalkulatora!):

Pa, je li uspjelo? Bravo, u pravu si!

Sumirati

1. Kvadratni korijen (aritmetički kvadratni korijen) nenegativnog broja je nenegativan broj čiji je kvadrat jednak.
   .
2. Ako samo izvadimo kvadratni korijen nečega, uvijek ćemo dobiti jedan nenegativan rezultat.
3. Svojstva aritmetičkog korijena:
4. Kada se uspoređuju kvadratni korijeni, mora se zapamtiti da što je veći broj ispod znaka korijena, to je veći i sam korijen.

Kako vam se sviđa kvadratni korijen? Sve jasno?

Pokušali smo vam bez vode objasniti sve što trebate znati na ispitu o kvadratnom korijenu.

Ti si na redu. Pišite nam je li vam ova tema teška ili ne.

Jeste li naučili nešto novo ili je već sve bilo tako jasno.

Pišite u komentarima i sretno na ispitima!

Površina čestice kvadrata je 81 dm². Pronađite njegovu stranu. Pretpostavimo da je duljina stranice kvadrata x decimetara. Tada je površina parcele x² kvadratnih decimetara. Budući da je prema uvjetu ova površina 81 dm², onda x² = 81. Duljina stranice kvadrata je pozitivan broj. Pozitivan broj čiji je kvadrat 81 je broj 9. Prilikom rješavanja zadatka trebalo je pronaći broj x čiji je kvadrat 81, odnosno riješiti jednadžbu x² = 81. Ova jednadžba ima dva korijena: x 1 = 9 i x 2 \u003d - 9, budući da je 9² \u003d 81 i (- 9)² \u003d 81. Oba broja 9 i - 9 zovu se kvadratni korijeni broja 81.

Imajte na umu da je jedan od kvadratnih korijena x= 9 je pozitivan broj. Zove se aritmetički kvadratni korijen iz 81 i označava se s √81, pa je √81 = 9.

Aritmetički kvadratni korijen broja A je nenegativan broj čiji je kvadrat jednak A.

Na primjer, brojevi 6 i -6 kvadratni su korijeni iz 36. Broj 6 je aritmetički kvadratni korijen iz 36, budući da je 6 nenegativan broj i 6² = 36. Broj -6 nije aritmetički korijen.

Aritmetički kvadratni korijen broja A označava se na sljedeći način: √ A.

Znak se naziva znak aritmetičkog kvadratnog korijena; A naziva se korijenski izraz. Izraz √ Ačitati ovako: aritmetički kvadratni korijen broja A. Na primjer, √36 = 6, √0 = 0, √0,49 = 0,7. U slučajevima kada je jasno da je riječ o aritmetičkom korijenu, kratko se kaže: "kvadratni korijen iz A«.

Čin pronalaženja kvadratnog korijena broja naziva se vađenjem kvadratnog korijena. Ova radnja je obrnuta od kvadriranja.

Svaki broj se može kvadrirati, ali ne može svaki broj biti kvadratni korijen. Na primjer, nemoguće je izvući kvadratni korijen broja - 4. Ako je takav korijen postojao, označite ga slovom x, dobili bismo pogrešnu jednakost x² \u003d - 4, budući da je s lijeve strane nenegativan broj, a s desne negativan broj.

Izraz √ A ima smisla samo kada a ≥ 0. Definicija kvadratnog korijena može se ukratko napisati kao: √ a ≥ 0, (√A)² = A. Jednakost (√ A)² = A vrijedi za a ≥ 0. Dakle, kako bismo bili sigurni da je kvadratni korijen nenegativnog broja A jednaki b, tj. taj √ A =b, morate provjeriti jesu li ispunjena sljedeća dva uvjeta: b ≥ 0, b² = A.

Kvadratni korijen razlomka

Izračunajmo. Primijetimo da je √25 = 5, √36 = 6 i provjerimo vrijedi li jednakost.

Jer i , tada je jednakost istinita. Tako, .

Teorema: Ako A≥ 0 i b> 0, odnosno korijen razlomka jednak je korijenu brojnika podijeljenom s korijenom nazivnika. Potrebno je dokazati da: i .

Od √ A≥0 i √ b> 0, tada .

Po svojstvu dizanja razlomka na potenciju i određivanja kvadratnog korijena teorem je dokazan. Pogledajmo nekoliko primjera.

Izračunajte , prema dokazanom teoremu .

Drugi primjer: Dokažite to , Ako A ≤ 0, b < 0. .

Drugi primjer: Izračunaj.

.

Transformacija kvadratnog korijena

Vađenje množitelja ispod znaka korijena. Neka se da izraz. Ako A≥ 0 i b≥ 0, tada po teoremu o korijenu umnoška možemo napisati:

Takva se transformacija naziva faktoring predznaka korijena. Razmotrite primjer;

Izračunajte na x= 2. Izravna supstitucija x= 2 u radikalnom izrazu dovodi do kompliciranih izračuna. Ovi se izračuni mogu pojednostaviti ako prvo uklonimo faktore ispod predznaka korijena: . Sada zamjenjujući x = 2, dobivamo:.

Dakle, kada se faktor izvadi ispod predznaka korijena, radikalni izraz se predstavlja kao umnožak u kojem su jedan ili više faktora kvadrati nenegativnih brojeva. Zatim se primjenjuje teorem o korijenskom produktu i uzima se korijen svakog faktora. Razmotrimo primjer: Pojednostavite izraz A = √8 + √18 - 4√2 tako da izbacite faktore ispod znaka korijena u prva dva člana, dobit ćemo:. Naglašavamo da ravnopravnost vrijedi samo kada A≥ 0 i b≥ 0. ako A < 0, то .