Disuguaglianze frazionarie con modulo al denominatore. Equazioni e disequazioni con modulo

Oggi, amici, non ci sarà moccio né sentimentalismo. Invece, ti manderò, senza fare domande, in battaglia con uno degli avversari più formidabili del corso di algebra dell'ottavo-nono grado.

Sì, hai capito bene: stiamo parlando di disuguaglianze con modulo. Esamineremo quattro tecniche di base con le quali imparerai a risolvere circa il 90% di tali problemi. E il restante 10%? Bene, ne parleremo in una lezione separata. :)

Tuttavia, prima di analizzare qualsiasi tecnica, vorrei ricordarti due fatti che devi già conoscere. Altrimenti rischi di non comprendere affatto il materiale della lezione di oggi.

Quello che devi già sapere

Captain Obviousness sembra suggerire che per risolvere le disuguaglianze con il modulo è necessario sapere due cose:

1. Come si risolvono le disuguaglianze;
2. Cos'è un modulo?

Cominciamo dal secondo punto.

Definizione del modulo

Tutto è semplice qui. Ci sono due definizioni: algebrica e grafica. Per cominciare - algebrico:

Definizione. Il modulo di un numero $x$ è il numero stesso, se non è negativo, oppure il numero opposto, se $x$ originale è ancora negativo.

E' scritto così:

\[\sinistra| x \right|=\left\( \begin(align) & x,\ x\ge 0, \\ & -x,\ x \lt 0. \\\end(align) \right.\]

In termini semplici, un modulo è un “numero senza segno meno”. Ed è in questa dualità (in alcuni punti non devi fare nulla con il numero originale, ma in altri devi rimuovere una sorta di segno meno) che sta tutta la difficoltà per gli studenti principianti.

C'è anche una definizione geometrica. È anche utile saperlo, ma ci rivolgeremo ad esso solo in casi complessi e in alcuni casi particolari, dove l'approccio geometrico è più conveniente di quello algebrico (spoiler: non oggi).

Definizione. Sia segnato il punto $a$ sulla linea numerica. Quindi il modulo $\left| x-a \right|$ è la distanza dal punto $x$ al punto $a$ su questa linea.

Se disegni un'immagine, otterrai qualcosa del genere:

Definizione del modulo grafico

In un modo o nell'altro, dalla definizione di un modulo segue immediatamente la sua proprietà chiave: il modulo di un numero è sempre una quantità non negativa. Questo fatto sarà un filo rosso che attraversa tutta la nostra narrazione oggi.

Risolvere le disuguaglianze. Metodo dell'intervallo

Consideriamo ora le disuguaglianze. Ce ne sono moltissimi, ma il nostro compito ora è riuscire a risolvere almeno il più semplice. Quelli che si riducono alle disuguaglianze lineari, nonché al metodo degli intervalli.

Ho due grandi lezioni su questo argomento (tra l'altro, molto, MOLTO utili - consiglio di studiarle):

1. Metodo degli intervalli per le disuguaglianze (in particolare guarda il video);
2. Le disuguaglianze razionali frazionarie sono una lezione molto ampia, ma dopo non avrai più alcuna domanda.

Se sai tutto questo, se la frase “passiamo dalla disuguaglianza all'equazione” non ti fa venire il vago desiderio di sbatterti contro il muro, allora sei pronto: benvenuto all'inferno nell'argomento principale della lezione. :)

1. Disuguaglianze della forma “Il modulo è inferiore alla funzione”

Questo è uno dei problemi più comuni con i moduli. Occorre risolvere una disuguaglianza della forma:

\[\sinistra| f\giusto| \ltg\]

Le funzioni $f$ e $g$ possono essere qualsiasi cosa, ma solitamente sono polinomi. Esempi di tali disuguaglianze:

\[\begin(align) & \left| 2x+3 \destra| \ltx+7; \\ & \sinistra| ((x)^(2))+2x-3 \right|+3\left(x+1 \right) \lt 0; \\ & \sinistra| ((x)^(2))-2\sinistra| x \destra|-3 \destra| \lt 2. \\\end(allineare)\]

Tutti possono essere risolti letteralmente in una riga secondo il seguente schema:

\[\sinistra| f\giusto| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g\quad \left(\Rightarrow \left\( \begin(align) & f \lt g, \\ & f \gt -g \\\end(align) \giusto giusto)\]

È facile vedere che ci liberiamo del modulo, ma in cambio otteniamo una doppia disuguaglianza (o, che è la stessa cosa, un sistema di due disuguaglianze). Ma questa transizione tiene assolutamente conto di tutti i possibili problemi: se il numero sotto il modulo è positivo, il metodo funziona; se negativo funziona ancora; e anche con la funzione più inadeguata al posto di $f$ o $g$, il metodo funzionerà comunque.

Sorge spontanea la domanda: non potrebbe essere più semplice? Sfortunatamente, non è possibile. Questo è il punto centrale del modulo.

Ma basta filosofare. Risolviamo un paio di problemi:

Compito. Risolvi la disuguaglianza:

\[\sinistra| 2x+3 \destra| \ltx+7\]

Soluzione. Quindi, abbiamo davanti a noi la classica disuguaglianza della forma "il modulo è inferiore" - non c'è nemmeno nulla da trasformare. Lavoriamo secondo l'algoritmo:

\[\begin(align) & \left| f\giusto| \lt g\Freccia destra -g \lt f \lt g; \\ & \sinistra| 2x+3 \destra| \lt x+7\Rightarrow -\left(x+7 \right) \lt 2x+3 \lt x+7 \\\end(align)\]

Non affrettarti ad aprire le parentesi precedute da un “meno”: è del tutto possibile che a causa della fretta commetterai un errore offensivo.

\[-x-7 \lt 2x+3 \lt x+7\]

\[\left\( \begin(align) & -x-7 \lt 2x+3 \\ & 2x+3 \lt x+7 \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & -3x \lt 10 \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & x \gt -\frac(10)(3) \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \right.\]

Il problema si riduceva a due disuguaglianze elementari. Notiamo le loro soluzioni sulle rette parallele:

Intersezione di molti

L'intersezione di questi insiemi sarà la risposta.

Risposta: $x\in \left(-\frac(10)(3);4 \right)$

Compito. Risolvi la disuguaglianza:

\[\sinistra| ((x)^(2))+2x-3 \right|+3\left(x+1 \right) \lt 0\]

Soluzione. Questo compito è un po' più difficile. Per prima cosa isoliamo il modulo spostando il secondo termine a destra:

\[\sinistra| ((x)^(2))+2x-3 \destra| \lt -3\sinistra(x+1 \destra)\]

Ovviamente, abbiamo ancora una volta una disuguaglianza della forma “il modulo è più piccolo”, quindi eliminiamo il modulo utilizzando l'algoritmo già noto:

\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right) \lt ((x)^(2))+2x-3 \lt -3\left(x+1 \right)\]

Ora attenzione: qualcuno dirà che sono un po' pervertito con tutte queste parentesi. Ma lasciate che vi ricordi ancora una volta che il nostro obiettivo principale è Risolvi correttamente la disuguaglianza e ottieni la risposta. Successivamente, quando avrai padroneggiato perfettamente tutto ciò che è descritto in questa lezione, puoi pervertirlo tu stesso come desideri: aprire parentesi, aggiungere meno, ecc.

Per cominciare, elimineremo semplicemente il doppio meno a sinistra:

\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right)=\left(-1 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(x+1 \right) =3\sinistra(x+1 \destra)\]

Ora apriamo tutte le parentesi nella doppia disuguaglianza:

Passiamo alla doppia disuguaglianza. Questa volta i calcoli saranno più seri:

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -3x-3 \\ & 3x+3 \lt ((x)^(2))+2x -3 \\ \end(allineare) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+5x \lt 0 \\ & ((x)^(2))-x-6 \gt 0 \\ \end( allinea)\destra.\]

Entrambe le disuguaglianze sono quadratiche e possono essere risolte utilizzando il metodo degli intervalli (per questo dico: se non sai di cosa si tratta, è meglio non affrontare ancora i moduli). Passiamo all'equazione nella prima disuguaglianza:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+5x=0; \\ & x\sinistra(x+5 \destra)=0; \\ & ((x)_(1))=0;((x)_(2))=-5. \\\fine(allinea)\]

Come puoi vedere, il risultato è un'equazione quadratica incompleta, che può essere risolta in modo elementare. Consideriamo ora la seconda disuguaglianza del sistema. Lì dovrai applicare il teorema di Vieta:

\[\begin(align) & ((x)^(2))-x-6=0; \\ & \sinistra(x-3 \destra)\sinistra(x+2 \destra)=0; \\& ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-2. \\\fine(allinea)\]

Contrassegniamo i numeri risultanti su due linee parallele (separate per la prima disuguaglianza e separate per la seconda):

Ancora una volta, poiché stiamo risolvendo un sistema di disequazioni, siamo interessati all'intersezione degli insiemi ombreggiati: $x\in \left(-5;-2 \right)$. Questa è la risposta.

Risposta: $x\in \left(-5;-2 \right)$

Penso che dopo questi esempi lo schema della soluzione sia estremamente chiaro:

1. Isolare il modulo spostando tutti gli altri termini sul lato opposto della disuguaglianza. Si ottiene così una disuguaglianza della forma $\left| f\giusto| \ltg$.
2. Risolvi questa disuguaglianza eliminando il modulo secondo lo schema sopra descritto. Ad un certo punto sarà necessario passare dalla doppia disuguaglianza a un sistema di due espressioni indipendenti, ciascuna delle quali può già essere risolta separatamente.
3. Infine, non resta che intersecare le soluzioni di queste due espressioni indipendenti - e basta, otterremo la risposta finale.

Un algoritmo simile esiste per le disuguaglianze del tipo seguente, quando il modulo è maggiore della funzione. Tuttavia, ci sono un paio di “ma” seri. Parleremo ora di questi “ma”.

2. Disuguaglianze della forma “Il modulo è maggiore della funzione”

Sembrano così:

\[\sinistra| f\giusto| \gtg\]

Simile al precedente? Sembra. Eppure tali problemi vengono risolti in un modo completamente diverso. Formalmente lo schema è il seguente:

\[\sinistra| f\giusto| \gt g\Rightarrow \left[ \begin(align) & f \gt g, \\ & f \lt -g \\\end(align) \right.\]

In altre parole, consideriamo due casi:

1. Per prima cosa ignoriamo semplicemente il modulo e risolviamo la solita disuguaglianza;
2. Quindi, in sostanza, espandiamo il modulo con il segno meno, quindi moltiplichiamo entrambi i lati della disuguaglianza per −1, finché ho il segno.

In questo caso le opzioni vengono combinate con parentesi quadre, ad es. Abbiamo davanti a noi una combinazione di due esigenze.

Si prega di notare ancora una volta: questo non è un sistema, ma una totalità, quindi nella risposta gli insiemi sono combinati anziché intersecati. Questa è una differenza fondamentale rispetto al punto precedente!

In generale, molti studenti sono completamente confusi con le unioni e gli incroci, quindi risolviamo la questione una volta per tutte:

• "∪" è un segno di unione. In realtà, questa è una lettera stilizzata "U", che ci è arrivata dalla lingua inglese ed è l'abbreviazione di "Unione", ad es. "Associazioni".
• "∩" è il segno dell'intersezione. Questa schifezza non veniva da nessuna parte, ma appariva semplicemente come contrappunto a “∪”.

Per renderlo ancora più facile da ricordare, basta avvicinare le gambe a questi segni per realizzare degli occhiali (ma non accusarmi ora di promuovere la tossicodipendenza e l'alcolismo: se stai studiando seriamente questa lezione, allora sei già un tossicodipendente):

Differenza tra intersezione e unione di insiemi

Tradotto in russo, ciò significa quanto segue: l'unione (totalità) comprende elementi di entrambi gli insiemi, quindi non è in alcun modo inferiore a ciascuno di essi; ma l'intersezione (sistema) comprende solo quegli elementi che sono contemporaneamente sia nel primo che nel secondo insieme. Pertanto, l'intersezione degli insiemi non è mai maggiore degli insiemi di origine.

Quindi è diventato più chiaro? È grandioso. Passiamo alla pratica.

Compito. Risolvi la disuguaglianza:

\[\sinistra| 3x+1 \destra| \gt 5-4x\]

Soluzione. Procediamo secondo lo schema:

\[\sinistra| 3x+1 \destra| \gt 5-4x\Rightarrow \left[ \begin(align) & 3x+1 \gt 5-4x \\ & 3x+1 \lt -\left(5-4x \right) \\\end(align) \ Giusto.\]

Risolviamo ogni disuguaglianza nella popolazione:

\[\left[ \begin(align) & 3x+4x \gt 5-1 \\ & 3x-4x \lt -5-1 \\ \end(align) \right.\]

\[\left[ \begin(align) & 7x \gt 4 \\ & -x \lt -6 \\ \end(align) \right.\]

\[\left[ \begin(align) & x \gt 4/7\ \\ & x \gt 6 \\ \end(align) \right.\]

Contrassegniamo ciascun insieme risultante sulla linea numerica e quindi li combiniamo:

Unione di insiemi

È abbastanza ovvio che la risposta sarà $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

Risposta: $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

Compito. Risolvi la disuguaglianza:

\[\sinistra| ((x)^(2))+2x-3 \destra| \gtx\]

Soluzione. BENE? Niente: tutto è uguale. Passiamo da una disuguaglianza con modulo ad un insieme di due disuguaglianze:

\[\sinistra| ((x)^(2))+2x-3 \destra| \gt x\Rightarrow \left[ \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x \\ & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x \\\end(allineare) \right.\]

Risolviamo ogni disuguaglianza. Sfortunatamente, le radici non saranno molto buone:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x; \\ & ((x)^(2))+x-3 \gt 0; \\&D=1+12=13; \\ & x=\frac(-1\pm \sqrt(13))(2). \\\fine(allinea)\]

Anche la seconda disuguaglianza è un po’ strana:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x; \\ & ((x)^(2))+3x-3 \lt 0; \\&D=9+12=21; \\ & x=\frac(-3\pm \sqrt(21))(2). \\\fine(allinea)\]

Ora devi segnare questi numeri su due assi: un asse per ogni disuguaglianza. Tuttavia, è necessario contrassegnare i punti nell'ordine corretto: maggiore è il numero, più il punto si sposta verso destra.

E qui ci aspetta un setup. Se è tutto chiaro con i numeri $\frac(-3-\sqrt(21))(2) \lt \frac(-1-\sqrt(13))(2)$ (i termini al numeratore del primo frazione sono minori dei termini al numeratore del secondo , quindi anche la somma è minore), con i numeri $\frac(-3-\sqrt(13))(2) \lt \frac(-1+\sqrt Anche (21))(2)$ non ci saranno difficoltà (numero positivo ovviamente più negativo), quindi con l'ultima coppia non è tutto così chiaro. Qual è maggiore: $\frac(-3+\sqrt(21))(2)$ o $\frac(-1+\sqrt(13))(2)$? Il posizionamento dei punti sulle linee numeriche e, di fatto, la risposta dipenderà dalla risposta a questa domanda.

Quindi confrontiamo:

\[\begin(matrix) \frac(-1+\sqrt(13))(2)\vee \frac(-3+\sqrt(21))(2) \\ -1+\sqrt(13)\ vee -3+\sqrt(21) \\ 2+\sqrt(13)\vee \sqrt(21) \\\end(matrice)\]

Abbiamo isolato la radice, ottenuto numeri non negativi su entrambi i lati della disuguaglianza, quindi abbiamo il diritto di elevare al quadrato entrambi i lati:

\[\begin(matrix) ((\left(2+\sqrt(13) \right))^(2))\vee ((\left(\sqrt(21) \right))^(2)) \ \ 4+4\quadrato(13)+13\vee 21 \\ 4\quadrato(13)\vee 3 \\\end(matrice)\]

Penso che sia un gioco da ragazzi che $4\sqrt(13) \gt 3$, quindi $\frac(-1+\sqrt(13))(2) \gt \frac(-3+\sqrt(21)) ( 2)$, i punti finali sugli assi verranno posizionati in questo modo:

Un caso di brutte radici

Permettimi di ricordarti che stiamo risolvendo un insieme, quindi la risposta sarà un'unione, non un'intersezione di insiemi ombreggiati.

Risposta: $x\in \left(-\infty ;\frac(-3+\sqrt(21))(2) \right)\bigcup \left(\frac(-1+\sqrt(13))(2 );+\infty \right)$

Come puoi vedere, il nostro schema funziona alla grande sia per problemi semplici che per quelli molto difficili. L'unico “punto debole” di questo approccio è che è necessario confrontare correttamente i numeri irrazionali (e credetemi: queste non sono solo radici). Ma una lezione a parte (e molto seria) sarà dedicata ai temi del confronto. E andiamo avanti.

3. Disuguaglianze a “code” non negative

Ora arriviamo alla parte più interessante. Queste sono disuguaglianze della forma:

\[\sinistra| f\giusto| \gt\sinistra| g\giusto|\]

In generale, l'algoritmo di cui parleremo ora è corretto solo per il modulo. Funziona in tutte le disuguaglianze in cui sono garantite espressioni non negative a sinistra e a destra:

Cosa fare con questi compiti? Ricorda:

Nelle disuguaglianze con “code” non negative, entrambe le parti possono essere elevate a qualsiasi potenza naturale. Non ci saranno ulteriori restrizioni.

Prima di tutto, saremo interessati alla quadratura: brucia moduli e radici:

\[\begin(align) & ((\left(\left| f \right| \right))^(2))=((f)^(2)); \\ & ((\left(\sqrt(f) \right))^(2))=f. \\\fine(allinea)\]

Basta non confonderlo con l'estrazione della radice di un quadrato:

\[\sqrt(((f)^(2)))=\sinistra| f \destra|\ne f\]

Sono stati commessi innumerevoli errori quando uno studente ha dimenticato di installare un modulo! Ma questa è una storia completamente diversa (queste sono, per così dire, equazioni irrazionali), quindi non ne parleremo ora. Risolviamo meglio un paio di problemi:

Compito. Risolvi la disuguaglianza:

\[\sinistra| x+2 \destra|\ge \sinistra| 1-2x \destra|\]

Soluzione. Notiamo subito due cose:

1. Questa non è una disuguaglianza rigorosa. I punti sulla linea numerica verranno perforati.
2. Entrambi i lati della disuguaglianza sono ovviamente non negativi (questa è una proprietà del modulo: $\left| f\left(x \right) \right|\ge 0$).

Pertanto, possiamo elevare al quadrato entrambi i lati della disuguaglianza per eliminare il modulo e risolvere il problema utilizzando il consueto metodo dell'intervallo:

\[\begin(align) & ((\left(\left| x+2 \right| \right))^(2))\ge ((\left(\left| 1-2x \right| \right) )^(2)); \\ & ((\left(x+2 \right))^(2))\ge ((\left(2x-1 \right))^(2)). \\\fine(allinea)\]

Nell'ultimo passaggio ho barato un po': ho cambiato la sequenza dei termini, sfruttando l'uniformità del modulo (ho infatti moltiplicato l'espressione $1-2x$ per −1).

\[\begin(align) & ((\left(2x-1 \right))^(2))-((\left(x+2 \right))^(2))\le 0; \\ & \left(\left(2x-1 \right)-\left(x+2 \right) \right)\cdot \left(\left(2x-1 \right)+\left(x+2 \ destra)\destra)\le 0; \\ & \left(2x-1-x-2 \right)\cdot \left(2x-1+x+2 \right)\le 0; \\ & \left(x-3 \right)\cdot \left(3x+1 \right)\le 0. \\\end(align)\]

Risolviamo utilizzando il metodo degli intervalli. Passiamo dalla disuguaglianza all'equazione:

\[\begin(align) & \left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-\frac(1)(3). \\\fine(allinea)\]

Contrassegniamo le radici trovate sulla linea numerica. Ancora una volta: tutti i punti sono ombreggiati perché la disuguaglianza originaria non è stretta!

Eliminazione del segno del modulo

Permettimi di ricordartelo per i più testardi: prendiamo i segni dell'ultima disuguaglianza, che è stata scritta prima di passare all'equazione. E dipingiamo sulle aree richieste con la stessa disuguaglianza. Nel nostro caso è $\left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)\le 0$.

OK, è tutto finito adesso. Il problema è risolto.

Risposta: $x\in \left[ -\frac(1)(3);3 \right]$.

Compito. Risolvi la disuguaglianza:

\[\sinistra| ((x)^(2))+x+1 \right|\le \left| ((x)^(2))+3x+4 \destra|\]

Soluzione. Facciamo tutto allo stesso modo. Non commenterò: guarda solo la sequenza delle azioni.

Quadralo:

\[\begin(align) & ((\left(\left| ((x)^(2))+x+1 \right| \right))^(2))\le ((\left(\left | ((x)^(2))+3x+4 \right| \right))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \right))^(2))\le ((\left(((x)^(2))+3x+4 \right))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \right))^(2))-((\left(((x)^(2))+3x+4 \ destra))^(2))\le 0; \\ & \left(((x)^(2))+x+1-((x)^(2))-3x-4 \right)\times \\ & \times \left(((x) ^(2))+x+1+((x)^(2))+3x+4 \right)\le 0; \\ & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)\le 0. \\\end(align)\]

Metodo dell'intervallo:

\[\begin(align) & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)=0 \\ & -2x-3=0\ Freccia destra x=-1,5; \\ & 2((x)^(2))+4x+5=0\Rightarrow D=16-40 \lt 0\Rightarrow \varniente . \\\fine(allinea)\]

C'è solo una radice sulla linea numerica:

La risposta è un intero intervallo

Risposta: $x\in \left[ -1.5;+\infty \right)$.

Una piccola nota sull'ultimo compito. Come ha osservato accuratamente uno dei miei studenti, entrambe le espressioni submodulari in questa disuguaglianza sono ovviamente positive, quindi il segno del modulo può essere omesso senza danni alla salute.

Ma questo è un livello di pensiero completamente diverso e un approccio diverso: può essere condizionatamente chiamato il metodo delle conseguenze. A riguardo - in una lezione separata. Passiamo ora alla parte finale della lezione di oggi e guardiamo un algoritmo universale che funziona sempre. Anche quando tutti gli approcci precedenti erano impotenti. :)

4. Metodo di enumerazione delle opzioni

E se tutte queste tecniche non aiutassero? Se la disuguaglianza non si riduce a code non negative, se è impossibile isolare il modulo, se in generale c’è dolore, tristezza, malinconia?

Poi entra in scena “l’artiglieria pesante” di tutta la matematica: il metodo della forza bruta. In relazione alle disuguaglianze con modulo appare così:

1. Scrivi tutte le espressioni submodulari e impostale uguali a zero;
2. Risolvi le equazioni risultanti e segna le radici trovate su una linea numerica;
3. La retta sarà divisa in più tratti, all'interno dei quali ogni modulo ha un segno fisso e quindi si rivela univocamente;
4. Risolvi la disuguaglianza su ciascuna di queste sezioni (puoi considerare separatamente i confini delle radici ottenuti nel passaggio 2 - per affidabilità). Combina i risultati: questa sarà la risposta. :)

Così come? Debole? Facilmente! Solo per molto tempo. Vediamo in pratica:

Compito. Risolvi la disuguaglianza:

\[\sinistra| x+2 \destra| \lt \sinistra| x-1 \destra|+x-\frac(3)(2)\]

Soluzione. Questa schifezza non si riduce a disuguaglianze come $\left| f\giusto| \ltg$, $\sinistra| f\giusto| \gt g$ o $\sinistra| f\giusto| \lt \sinistra| g \right|$, quindi agiamo in anticipo.

Scriviamo espressioni submodulari, le equiparamo a zero e troviamo le radici:

\[\begin(align) & x+2=0\Rightarrow x=-2; \\ & x-1=0\Freccia destra x=1. \\\fine(allinea)\]

In totale, abbiamo due radici che dividono la linea numerica in tre sezioni, all'interno delle quali ogni modulo si rivela in modo univoco:

Partizionamento della retta numerica per zeri di funzioni submodulari

Diamo un'occhiata a ciascuna sezione separatamente.

1. Sia $x \lt -2$. Allora entrambe le espressioni submodulari sono negative e la disuguaglianza originale verrà riscritta come segue:

\[\begin(align) & -\left(x+2 \right) \lt -\left(x-1 \right)+x-1.5 \\ & -x-2 \lt -x+1+ x- 1.5 \\ & x \gt 1.5 \\\end(allineare)\]

Abbiamo una limitazione abbastanza semplice. Intersechiamolo con l'ipotesi iniziale che $x \lt -2$:

\[\left\( \begin(align) & x \lt -2 \\ & x \gt 1.5 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]

Ovviamente la variabile $x$ non può essere contemporaneamente minore di −2 e maggiore di 1,5. Non ci sono soluzioni in questo settore.

1.1. Consideriamo separatamente il caso limite: $x=-2$. Sostituiamo semplicemente questo numero nella disuguaglianza originale e controlliamo: è vero?

\[\begin(align) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1.5 \right|)_(x=-2) ) \ \ & 0 \lt \sinistra| -3\destra|-2-1.5; \\ & 0 \lt 3-3,5; \\ & 0 \lt -0.5\Rightarrow \varniente . \\\fine(allinea)\]

È ovvio che la catena di calcoli ci ha portato a una disuguaglianza errata. Pertanto, anche la disuguaglianza originale è falsa e $x=-2$ non è inclusa nella risposta.

2. Sia ora $-2 \lt x \lt 1$. Il modulo di sinistra si aprirà già con un "più", ma quello di destra si aprirà comunque con un "meno". Abbiamo:

\[\begin(align) & x+2 \lt -\left(x-1 \right)+x-1.5 \\ & x+2 \lt -x+1+x-1.5 \\& x \lt - 2.5 \\\fine(allineare)\]

Ancora una volta ci intersechiamo con il requisito originale:

\[\left\( \begin(align) & x \lt -2.5 \\ & -2 \lt x \lt 1 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]

E ancora, l’insieme delle soluzioni è vuoto, poiché non ci sono numeri che siano contemporaneamente minori di −2,5 e maggiori di −2.

2.1. E ancora un caso speciale: $x=1$. Sostituiamo nella disuguaglianza originaria:

\[\begin(align) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1.5 \right|)_(x=1)) \\ & \sinistra| 3\destra| \lt \sinistra| 0\destra|+1-1.5; \\ & 3 \lt -0,5; \\ & 3 \lt -0.5\Rightarrow \varniente . \\\fine(allinea)\]

Similmente al “caso speciale” precedente, il numero $x=1$ chiaramente non è incluso nella risposta.

3. L'ultimo pezzo della riga: $x \gt 1$. Qui tutti i moduli vengono aperti con un segno più:

\[\begin(align) & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x \gt 4.5 \\ \end(align)\ ]

E ancora intersechiamo il set trovato con il vincolo originale:

\[\left\( \begin(align) & x \gt 4.5 \\ & x \gt 1 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \left(4.5;+\infty \right)\ ]

Finalmente! Abbiamo trovato un intervallo che sarà la risposta.

Risposta: $x\in \left(4,5;+\infty \right)$

Infine, un'osservazione che potrebbe salvarti da errori stupidi quando risolvi problemi reali:

Le soluzioni alle disuguaglianze con i moduli di solito rappresentano insiemi continui sulla linea numerica: intervalli e segmenti. I punti isolati sono molto meno comuni. E ancora meno spesso accade che il confine della soluzione (la fine del segmento) coincida con il confine dell'intervallo considerato.

Di conseguenza, se i confini (gli stessi “casi speciali”) non sono inclusi nella risposta, allora le aree a sinistra e a destra di questi confini quasi certamente non saranno incluse nella risposta. E viceversa: il confine è entrato nella risposta, il che significa che anche alcune aree circostanti saranno risposte.

Tienilo a mente quando esamini le tue soluzioni.

soluzione della disuguaglianza in modalità in linea soluzione quasi ogni data disuguaglianza in linea. Matematico disuguaglianze online per risolvere la matematica. Trova rapidamente soluzione della disuguaglianza in modalità in linea. Il sito web www.site ti permette di trovare soluzione quasi ogni dato algebrico, trigonometrico O disuguaglianza trascendente online. Quando studi quasi ogni branca della matematica in fasi diverse devi decidere disuguaglianze online. Per ottenere una risposta immediata e, soprattutto, una risposta accurata, hai bisogno di una risorsa che ti consenta di farlo. Grazie al sito www.site risolvere la disuguaglianza online ci vorranno alcuni minuti. Il vantaggio principale di www.site nella risoluzione matematica disuguaglianze online- questa è la velocità e la precisione della risposta fornita. Il sito è in grado di risolvere qualsiasi disuguaglianze algebriche online, disuguaglianze trigonometriche online, disuguaglianze trascendentali online, E disuguaglianze con parametri sconosciuti in modalità in linea. Disuguaglianze fungere da potente apparato matematico soluzioni problemi pratici. Con l'aiuto disuguaglianze matematicheè possibile esprimere fatti e relazioni che a prima vista possono sembrare confusi e complessi. Quantità sconosciute disuguaglianze può essere trovato formulando il problema in matematico linguaggio nella forma disuguaglianze E decidere attività ricevuta in modalità in linea sul sito www.sito. Qualunque disuguaglianza algebrica, disuguaglianza trigonometrica O disuguaglianze contenente trascendentale funzionalità che puoi facilmente decidere online e ottieni la risposta esatta. Quando studi scienze naturali, inevitabilmente incontri la necessità soluzioni alle disuguaglianze. In questo caso, la risposta deve essere precisa e deve essere ottenuta immediatamente nella modalità in linea. Pertanto per risolvere le disuguaglianze matematiche online ti consigliamo il sito www.site, che diventerà il tuo calcolatore indispensabile risolvere disuguaglianze algebriche online, disuguaglianze trigonometriche online, E disuguaglianze trascendentali online O disuguaglianze con parametri sconosciuti. Per problemi pratici relativi alla ricerca di soluzioni online a vari disuguaglianze matematiche risorsa www.. Risoluzione disuguaglianze online te stesso, è utile controllare la risposta ricevuta utilizzando soluzione online delle disuguaglianze sul sito www.sito. Devi scrivere correttamente la disuguaglianza e ottenerla immediatamente soluzione in linea, dopodiché non resta che confrontare la risposta con la tua soluzione alla disuguaglianza. Controllare la risposta non richiederà più di un minuto, è sufficiente risolvere la disuguaglianza online e confrontare le risposte. Questo ti aiuterà a evitare errori decisione e correggere la risposta nel momento in cui risolvere le disuguaglianze online O algebrico, trigonometrico, trascendentale O disuguaglianza con parametri sconosciuti.

Più una persona capisce, più forte è il suo desiderio di capire

Tommaso d'Aquino

Il metodo dell'intervallo consente di risolvere qualsiasi equazione contenente un modulo. L'essenza di questo metodo è dividere l'asse dei numeri in più sezioni (intervalli) e l'asse deve essere diviso per gli zeri delle espressioni nei moduli. Quindi, su ciascuna delle sezioni risultanti, ogni espressione submodulare è positiva o negativa. Pertanto ciascuno dei moduli può essere aperto sia con il segno meno che con il segno più. Dopo questi passaggi non resta che risolvere ciascuna delle semplici equazioni risultanti sull'intervallo in esame e combinare le risposte ottenute.

Diamo un'occhiata a questo metodo utilizzando un esempio specifico.

|x+1| + |2x – 4| – |x + 3| = 2x-6.

1) Troviamo gli zeri delle espressioni nei moduli. Per fare ciò, dobbiamo equipararli a zero e risolvere le equazioni risultanti.

x + 1 = 0 2x – 4 = 0 x + 3 = 0

x = -1 2x = 4 x = -3

2) Posizionare i punti risultanti nell'ordine richiesto sulla linea delle coordinate. Divideranno l'intero asse in quattro sezioni.

3) Determiniamo su ciascuna delle sezioni risultanti i segni delle espressioni nei moduli. Per fare ciò, sostituiamo al loro interno qualsiasi numero degli intervalli che ci interessano. Se il risultato del calcolo è un numero positivo, inseriamo "+" nella tabella e se il numero è negativo, inseriamo "-". Questo può essere rappresentato in questo modo:

4) Ora risolveremo l'equazione su ciascuno dei quattro intervalli, rivelando i moduli con i segni che sono indicati nella tabella. Quindi, diamo un'occhiata al primo intervallo:

I intervallo (-∞; -3). Su di esso, tutti i moduli sono aperti con un segno “–”. Otteniamo la seguente equazione:

-(x + 1) – (2x – 4) – (-(x + 3)) = 2x – 6. Presentiamo termini simili, aprendo prima le parentesi nell'equazione risultante:

X – 1 – 2x + 4 + x + 3 = 2x – 6

La risposta ricevuta non è compresa nell'intervallo considerato, quindi non è necessario scriverla nella risposta finale.

II intervallo [-3; -1). A questo intervallo nella tabella ci sono i segni “–”, “–”, “+”. Questo è esattamente il modo in cui apriamo i moduli dell'equazione originale:

-(x + 1) – (2x – 4) – (x + 3) = 2x – 6. Semplifichiamo aprendo le parentesi:

X – 1 – 2x + 4 – x – 3 = 2x – 6. Presentiamo quelli simili nell'equazione risultante:

x = 6/5. Il numero risultante non appartiene all'intervallo in esame, quindi non è la radice dell'equazione originale.

III intervallo [-1; 2). Espandiamo i moduli dell'equazione originale con i segni che compaiono nella terza colonna della figura. Noi abbiamo:

(x + 1) – (2x – 4) – (x + 3) = 2x – 6. Eliminiamo le parentesi e spostiamo i termini contenenti la variabile x a sinistra dell'equazione, e quelli che non contengono x a la destra. Avrà:

x + 1 – 2x + 4 – x – 3 = 2x – 6

Il numero 2 non è compreso nell'intervallo in esame.

intervallo IV)