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최소작용의 원리. 구성 및 위상 공간의 Hamilton-Ostrogradsky 변이 원리 평면파 공식

해밀턴 - OSTROGRADSKY 원리

고정 동작 원리 - 일반 적분 고전 역학의 변이 원리, U가 설치한

이상적인 고정 연결로 제한되고 M. V. Ostrogradsky에 의해 비고정 연결로 일반화된 홀로노믹 시스템에 대한 해밀턴. G.-O에 따르면

시스템의 초기 및 최종 위치와 이동 시간이 실제 이동과 동일한 유사한 운동학적으로 가능한 이동과 비교하여 고정 값을 갖습니다. 여기 티-운동, 유-잠재력, L-T-U시스템의 라그랑주 함수. 어떤 경우에는 참값이 기능적 정지점에만 해당하는 것이 아닙니다. 에스,그러나 또한 가장 중요하지도 않습니다. 그러므로 G.-O. 명. 자주 불린다 최소작용의 원리. 잠재적이지 않은 활동력의 경우 Fv작용의 정상성에 대한 조건 d 에스= 0은 조건으로 대체됩니다.

문학.: 해밀턴 W., 영국 과학진흥협회 제4차 회의 보고서, L., 1835, p. 513-18; Оstrоgradskу M., "Mem. de 1" Acad. des Sci. de St-Petershourg", 1850, t. 8, no. 3, p. 33-48.

V. V. Rumyantsev.

수학 백과사전. - M.: 소련 백과사전. I. M. 비노그라도프. 1977-1985.

다른 사전에 "HAMILTON - OSTROGRAD PRINCIPLE"이 무엇인지 확인하십시오.

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또는 역학 및 수리 물리학에서 해밀턴의 원리는 운동의 미분 방정식을 얻는 데 사용됩니다. 이 원칙은 어떤 힘이 적용되든 상관없이 모든 물질 시스템에 적용됩니다. 먼저 우리는 그것을 다음과 같이 표현하겠습니다. 백과사전 F.A. 브록하우스와 I.A. 에브론

양자 가정. 물리적인 우연의 일치를 요구하는 역학. 고전적인 결과와 함께 큰 양자수의 제한된 경우에 결과가 발생합니다. 이론. S. p.에서는 양자라는 사실이 밝혀졌습니다. 그 효과는 미세 물체를 고려할 때만 중요합니다. 물리적 백과사전

해밀턴의 변이 원리- Hamiltono variacinis principas statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. 해밀턴 변형 원리 vok. Hamiltonsches Variationsprinzip, n rus. 해밀턴의 변이 원리, m pranc. 기본 변형 d'Hamilton, m … Fizikos terminų žodynas

큰 양자수의 제한된 경우(양자수 참조)의 물리적 결과가 고전 이론의 결과와 일치해야 하는 양자 역학(양자 역학 참조)의 가정입니다. S. p.에서는 다음과 같은 사실이 드러납니다. ... 위대한 소련 백과사전

- (파동 역학), 미세 입자(원소, 원자, 분자, 원자핵) 및 그 시스템(예: 결정)의 설명 방법 및 운동 법칙을 확립하는 이론이며, 입자를 특징짓는 양과 시스템, 물리적 크기.... ... 물리적 백과사전

이 용어에는 다른 의미도 있습니다. 동작(물리학)을 참조하세요. 동작 차원 L2MT−1 물리학에서의 동작은 스칼라 물리량입니다. Wikipedia

서적

경제 시스템의 이동 원리. 논문, Kusner Yuri Semenovich, Tsarev Igor Gennadievich. 경제 시스템의 기본 운동 방정식은 분석 형식으로 제시되며 그 운동을 제어하기 위한 적절한 방법을 찾는 문제가 해결됩니다. 수학적 장치가 사용되었습니다 ...

모든 통합 및 일부 미분 원리의 기초가 되는 아이디어는 기계 시스템의 실제 움직임이 특정 물리량에 한계를 부여한다는 입장입니다. 이 입장을 수학적 공식화하려면 이전과 마찬가지로 실제 움직임과 함께 일련의 가능한 움직임을 고려하여 잘 정의된 요구 사항에 종속시키는 것이 필요합니다.

통합 원리의 공식화는 구성 공간에서 수행됩니다. 자유도가 있는 시스템의 경우 일반화된 좌표는
, 특정 시점의 시스템 구성을 정의합니다. , 해당에서 데카르트 좌표로 처리됩니다. - 구성 공간인 차원 공간. 시간이 지남에 따라 기계 시스템의 상태는 변하고 이 시스템을 나타내는 지점은 특정 곡선을 나타냅니다. 시스템의 움직임을 이 곡선을 따라 표현점의 움직임으로 간주하는 것이 편리합니다. 시간 이 고려사항은 매개변수이며 궤적의 각 지점은 하나 이상의 값에 해당합니다. .

매 순간 구성 궤적에서 시스템의 위치에 관심이 있는 경우 , 다른 축을 추가해야 합니다
. 그런 다음 우리가 고려하고 있는 시스템의 움직임에 대한 "다차원 그래프"를 얻게 됩니다. 다차원 그래프를 특정 평면에 투영하는 방법을 연구할 수도 있습니다. (그림 2.7). 이미지에 에이, 비순간의 대표점을 투영한 것입니다. 그리고 따라서 실선은 실제를 나타내고 점선은 상상할 수 있는 움직임 중 하나를 나타냅니다.

적분 원리는 시스템의 실제 움직임이 유한한(무한대가 아님!) 기간 동안 어떻게 발생하는지에 대한 설명입니다.
. 그 시점까지 시스템은 어떤 상태였나요? , 우리는 관심이 없습니다. 그러나 시간의 시작과 마지막 순간이 고정되어 있는 한, 기계 시스템은 그 순간에 상상할 수 있는 모든 움직임을 가지고 있다고 믿어집니다. 한 지점을 통과한다 ㅏ, 지금 이 순간 - 안에; 이 점은 실제 동작에서 시스템의 초기 및 최종 위치에 해당합니다.

기계 시스템의 운동에 대한 위치의 가장 일반적인 공식은 소위 최소 작용 원리(Hamilton-Ostrogradsky 원리라고도 함)에 포함되어 있습니다.

에서 시간 간격으로 기계 시스템의 실제 움직임~ 전에액션 함수라고 불리는 적분 그리고 평등하다

, (60.7)

어디
-- 주어진 기계 시스템의 라그랑지안에는 극한(최소)이 있습니다. 변하기 쉬운 그것은 변하지 않습니다.

즉, 실제 움직임 중에는 동작의 변화가 0이 되어야 합니다.

(61.7)

모든 구성 궤적이 때때로 제공되는 경우 그리고 실제 움직임의 시작점과 끝점을 통과합니다.

D'Alembert의 미분 원리와 달리 이 원리는 유한한 기간에 걸쳐 시스템 전체의 움직임에 대한 설명을 포함한다는 점에서 필수적입니다.
. 실제로 Lagrange 방정식은 이로부터 도출되므로 최소 작용 원리로부터 기계 시스템의 전체 동역학을 얻을 수 있다고 말할 수 있습니다.

기능을 보자
, 실제 움직임을 설명합니다.
- 그 기능 최소값이 있습니다. 일련의 기능을 고려해 봅시다
어디
- 기능의 변형
에 비해 작은 것으로 추정된다.
에서 전체 시간 간격 동안 ~ 전에 . 게다가 모든 것
관계를 만족시키다(62.7). 소위 첫 번째 변형을 계산해 봅시다. , 라그랑주 함수는 일반화된 좌표에 따라 달라질 수 있다는 점을 염두에 두세요. , 일반화된 속도
, 그리고 시간 :

왜냐하면
, 의 두 번째 용어
부품별로 통합하여 얻을 수 있습니다.

조건(62.7)으로 인해 금액은

사라지고 나머지 적분은 임의의 값에 대해 0과 같습니다.
피적분함수의 합의 각 항이 사라질 때만. 따라서 우리는 2종 라그랑주 방정식을 얻습니다.

. (63.7)

함수의 극값 문제를 해결하면 함수가 극값에 도달하는 지점을 찾는 유한 방정식 시스템이 얻어지는 것을 기억하는 것이 유용합니다. 이 경우, 우리는 2차 미분 방정식 시스템에 의해 제공되는 극한 문제에 대한 해법인 함수를 다루고 있습니다. 이러한 방정식으로부터 함수에 의해 정의된 구성 공간에서 선이 발견됩니다.
, 기능이 최소에 도달합니다. 이 선을 극단이라고 합니다.

특정 기계 모델을 구성하는 작업은 운동 방정식을 컴파일하는 것이므로 실제로 시스템의 동역학은 문제를 해결하는 것이 이 함수이기 때문에 라그랑지안이라는 하나의 함수에 의해 결정된다는 것을 알 수 있습니다. 따라서 시스템의 라그랑지안은 흥미로운 물리적 대상이며 역학 문제와 관련하여 이에 대한 연구가 필요합니다. 특히, 최소 작용의 원리로부터 기능이 다음과 같다는 것이 분명합니다. 좌표와 시간의 임의 함수의 총 미분을 더할 때까지만 정의됩니다. 이는 다음과 같이 이해되어야 합니다. 운동 방정식으로 정의된 시스템은 두 개 이상의 라그랑주 함수에 해당합니다. . 과연 존재하자
~와 연관되다 비율

(64.7)

하지만 그때부터
,

따라서 다음 함수를 사용하여 얻은 라그랑주 방정식은 그리고
, 같은. (64.7) 형식의 라그랑주 함수 정의의 모호성은 운동 방정식에 영향을 미치지 않으며 각
클래스 (64.7)에서 시스템의 역학을 고유하게 구성하는 문제를 해결합니다.

라그랑주 방정식 시스템의 중요한 속성은 공분산입니다. 이는 라그랑주 방정식이 일반화된 좌표의 점 변환 하에서 형태를 유지함을 의미합니다. 4

즉, 일반화된 좌표를 사용하는 경우 라그랑주 방정식의 형식은 다음과 같습니다.

일반화된 좌표를 사용할 때처럼 :

라그랑주 방정식이 변환 시 공변적임을 직접 증명해 보겠습니다(65.7). 빌드하자
:

및 파생상품

1. 재료 점의 운동학. 물질점은 수학적 점과 기하학적으로 동일하지만 질량을 갖는 물리적 객체입니다. 운동학(Kinematics)은 운동의 원인을 고려하지 않고 물체의 운동 유형을 연구하는 물리학의 한 분야입니다. 공간 내 점의 위치는 반경 벡터로 특징지어집니다. 점의 반경 벡터는 시작이 좌표계의 원점과 일치하고 끝이 해당 점과 일치하는 벡터입니다. 아르 자형 = 나엑스+ 제이와이 + 케이지. 속도는 단위 시간당 신체가 이동한 거리입니다. V(t) = d 아르 자형/dt. V(티) = 나 dx/dt + 제이 dy/dt + 케이 dz/dt. 가속도는 속도의 변화율입니다. ㅏ=d V/dt = d 2 아르 자형/dt2 = 나 d 2 x/dt 2 + 제이 d 2 y/dt 2 + 케이 d 2 z/dt 2 . ㅏ = ㅏ τ + ㅏ n= τ dv/dt + N v 2 /R.

디 아르 자형 = V dt; 디 V = ㅏ dt, 그러므로 V = V 0 + ㅏ티; 아르 자형 = 아르 자형 2 – 아르 자형 1 = V 0t+ ㅏ~ 2 /2.

2. 중요한 점의 역학. 뉴턴의 법칙. 역학의 주요 개념은 질량과 힘의 개념입니다. 힘은 운동의 원인입니다. 힘의 영향으로 신체는 속도를 얻습니다. 힘은 벡터량이다. 질량은 신체의 관성을 나타내는 척도입니다. 질량과 속도의 곱을 운동량이라고 합니다. 피=m V. 물질점의 각운동량은 벡터이다 엘 = 아르 자형 * 피. 물질점에 작용하는 힘의 순간을 벡터라고 합니다. 중 = 아르 자형 * 에프. 각운동량에 대한 표현을 미분하면 다음과 같은 결과를 얻습니다. 엘/dt=d 아르 자형/dt* 피 + 아르 자형*디 피/dt. d를 고려하면 아르 자형/dt= V그리고 V평행한 피, 우리는 d를 얻습니다 엘/dt= 중.뉴턴의 법칙.뉴턴의 제1법칙은 다른 힘이 작용하거나 그 작용이 보상되지 않는 한 물체는 정지 상태 또는 균일한 선형 운동 상태를 유지한다고 명시합니다. 뉴턴의 제2법칙은 시간에 따른 운동량의 변화는 일정한 양이며 유효 힘 d와 같다고 말합니다. 피/ dt = d / dt (m V) = m·d V/dt= 에프.이것은 미분 형식으로 작성된 뉴턴의 제2법칙입니다. 뉴턴의 세 번째 법칙은 두 물체의 상호 작용에서 각 물체는 동일한 값을 가지지만 방향은 반대인 힘으로 서로 작용한다는 것입니다. 에프 1 = - 에프 2 .

3. 중요한 포인트 시스템의 역학. 보존법. 중요 포인트 시스템은 유한한 수의 포인트를 모아 놓은 것입니다. 시스템의 각 지점은 내부(다른 지점의) 힘과 외부 힘의 영향을 받습니다. m을 질량, r i를 반경 벡터로 설정합니다. x i, y i, z i – 코드. i 번째 지점. 물질 포인트 시스템의 충격량은 시스템을 구성하는 물질 포인트의 충격량의 합입니다. 피= Σ (i=1,n) 피나는 = [ 피 1 + 피 2 +…+ 피 N]. 물질점 시스템의 각운동량은 물질점 시스템을 구성하는 각운동량의 합입니다. 엘 = Σ [ 엘나는 ] = Σ [ 아르 자형나* 피나]. 재료 점 시스템에 작용하는 힘은 시스템 점 사이의 상호 작용력을 포함하여 시스템 점에 작용하는 모든 힘의 합으로 정의됩니다. 에프 = Σ [ 에프나는 ], 여기서 에프나 = 에프나는 ’ + Σ(j ≠ i) 에프 ji는 시스템의 재료점에 작용하는 힘이며 지수 i로 지정됩니다. 외부의 힘으로 이루어져 있어요 에프 i ’ 및 내력 Σ(i ≠ j) [ 에프 ji ], 시스템의 다른 지점과의 상호 작용의 결과로 해당 지점에 작용합니다. 그러면: F = Σ (i=1,n) [ 에프 i ’] + Σ (i=1,n) Σ(j ≠ i) [ 에프지]. 뉴턴의 제3법칙에 따르면 Σ (i=1,n) Σ(j ≠ i) [ 에프 ji ] = 0이므로 에프 = Σ [ 에프나']. 물질점 시스템에 작용하는 힘의 순간은 시스템의 점에 적용되는 힘의 순간의 합입니다 중= Σ (i) [ 중나는 ] = Σ (i) [ 아르 자형나* 에프나는 ] = Σ (i) [ 아르 자형나* 에프나']. 재료 점 시스템의 경우 운동 방정식의 형식은 d입니다. 피/ dt = Σ = Σ [ 에프나].

물질 점 시스템의 질량 중심은 반경 벡터를 갖는 가상의 점입니다. 아르 자형= 1/m Σ . 그의 움직임의 속도 V=d 아르 자형/dt. 그러면 운동 방정식 m d V/dt= 에프. 재료점 시스템의 모멘트 방정식 d 엘/dt= 중. 보존법.고립된 시스템은 외부 힘의 영향을 받지 않는 시스템입니다. 그 안에 에프= 0이므로 d 피/dt = 0. 그런 다음 피= const. 고립계에서 외력이 작용하는 순간 중= 0. 따라서 d 엘/dt = 0, 즉 엘= const. 두 위치 사이를 이동할 때 물질 점의 운동 에너지 변화는 힘이 한 일과 같습니다. m 0 v 2 2 /2 – m 0 v 1 2 /2 = ∫(1,2) 에프디 엘또는 m 0 v 2 /2 + E p = const.

4. 중앙 대칭 필드에서의 움직임. 케플러의 법칙. 신체의 위치 에너지가 특정 고정 지점까지의 거리 r에만 의존하는 경우 필드를 중심이라고 합니다. 힘 에프= - ∂U(r)/ ∂ 아르 자형= - dU/dr 아르 자형/r은 입자에 작용하며 절대값은 r에만 의존하며 반경 벡터를 따라 각 지점으로 향합니다. 중앙 필드에서 이동할 때 필드 중심에 대한 시스템의 모멘트가 보존됩니다. 한 입자에 대해 순간 중 = [아르 자형*아르 자형]. 벡터 M과 r이 서로 수직이기 때문에 M의 불변성은 입자가 움직일 때 입자의 반경 벡터가 항상 한 평면, 즉 M에 수직인 평면에 유지된다는 것을 의미합니다. 따라서 중앙 필드에서 입자의 궤적은 전적으로 비행기 한 대. 극좌표 r, ψ를 도입한 후 L = m/2 (r 2 (∙) + r 2 ψ 2 (∙)) - U(r) 형식으로 라그랑주 함수를 작성합니다. 이 함수에는 ψ 좌표가 명시적으로 포함되어 있지 않습니다. 그러한 좌표의 경우 해당 일반화된 충격량 p i는 운동의 적분입니다. 이 경우 일반화된 충격량 p ψ = mr 2 ψ(∙)는 순간 M z = M과 일치하므로 M = mr 2 ψ(∙) (1)입니다. 중심장에 있는 한 입자의 평면 운동에 대해 이 법칙은 간단한 기하학적 해석을 허용합니다. 1/2 r r d ψ라는 표현은 두 개의 무한히 가까운 반경 벡터와 궤적의 호 요소로 형성된 섹터의 영역을 나타냅니다. 이를 df로 표시하여 입자의 모멘트를 M = 2mf 형식으로 씁니다. 여기서 f의 미분을 부채꼴 속도라고 합니다. 따라서 운동량 보존은 부문별 속도의 일정성을 의미합니다. 즉, 동일한 시간 동안 이동 지점의 반경 벡터는 동일한 면적을 나타냅니다( 케플러의 제2법칙). (1)에서 M을 통해 Φ(∙)를 표현하고 이를 에너지 표현에 대입하면 다음을 얻습니다. E = m/2 (r 2 (∙) + r 2 Φ 2 (∙)) + U(r) = mr 2 (∙ )/2 + M 2 /2mr 2 + U(r). 따라서 r(∙) = √(2/m (E – U(r)) - M 2 /m 2 r 2) 또는 변수를 분리하고 적분하면: t = ∫dr/√(2/m (E – U( r)) - M 2 /m 2 r 2) + const. 다음으로, dψ = M 2 /mr 2 dt 형식으로 (1)을 쓰고, 여기에 dt를 대입하고 적분하면 다음과 같은 결과를 얻습니다: ψ = ∫dr (M/r 2)/√(2/m (E – U(r) ) - M 2 /r 2) + const. 케플러의 제1법칙.각 행성은 태양을 초점 중 하나에 두고 타원 형태로 회전합니다. 케플러의 제3법칙.행성의 항성 회전 주기의 제곱은 해당 궤도의 장반경 T 1 2 /T 2 2 = a 1 3 /a 2 3 과 관련이 있습니다.

5. 재료 점 시스템의 라그랑주 함수 및 라그랑주 방정식. 운동의 적분. 중요한 포인트의 폐쇄 시스템을 고려해 보겠습니다. 이에 대한 라그랑주 함수는 L = Σ(a) – U(r 1 , r 2 , …) 형식을 가지며, 여기서 T = Σ (a)는 운동 에너지이고 U는 입자 상호 작용의 위치 에너지입니다. 그런 다음 운동 방정식 d/dt (∂L/∂v a) = ∂L/∂r a 는 m a dv a /dt = - ∂U/∂r a 형식을 취합니다. 이러한 운동 방정식을 뉴턴 방정식이라고 합니다. 벡터 에프 a = - ∂U/∂r a를 힘이라고 합니다. 움직임을 설명하기 위해 점의 데카르트 좌표가 사용되지 않고 임의의 일반화된 좌표 q i가 사용되는 경우 라그랑지 함수를 얻으려면 해당 변환을 수행해야 합니다. x a = f(q 1, q 2, .., q s) , x a (∙) = Σ(k ) [∂f a /∂q k (∙)] 등 이러한 표현식을 함수 L= 1 / 2 Σ(a) – U에 대입하면 다음 형식의 원하는 라그랑주 함수를 얻을 수 있습니다. L = 1/2 Σ(i,k) – U(q). 운동의 적분.초기 조건에만 의존하여 이동 중에 일정한 값을 유지하는 일반화된 좌표 기능이 있습니다. 그것들은 운동의 적분이라고 불립니다. 시간의 동질성으로 인해 dL/ dt = Σ(i) [∂L/∂q i q i (∙)] + Σ(i) [∂L/∂q i (∙) q i (∙∙)]. 라그랑주 방정식에 따라 ∂L/∂q i를 d/dt(∂L/∂q i (∙))로 대체하면 dL/dt = Σ(i) 또는 d/dt(Σ(i) - L) = 0을 얻습니다. .이로부터 우리는 에너지라고 불리는 양 E = Σ(i) – L이 변하지 않는다는 것을 알 수 있습니다. 운동의 적분. 극소 전달 ε을 갖는 공간의 동질성으로 인해 시스템의 모든 점이 ε = δr만큼 변위될 때 라그랑주 함수의 변화는 δL = ε Σ(a) [∂L/∂r a ]와 같아야 합니다. 0으로, 즉 Σ(a) [∂L/∂r a ] = 0. 라그랑주 방정식을 사용하여 Σ(a) = d/dt (Σ(a)[ ∂L/∂v a ]) = 0을 얻습니다. 그러면 양은 아르 자형= Σ(a)[ ∂L/∂v a ], 즉 운동량은 변하지 않습니다. 즉, 운동의 적분. 공간의 등방성으로 인해 각도 δψ를 통한 무한한 회전으로 인해 라그랑주 함수의 변화는 δL = Σ(a) [∂L/∂r a δ 아르 자형 a + ∂L/∂v a δ V a ]는 0과 같아야 합니다. 교체 ∂L/∂ 수행 V a = 피 a와 ∂L/∂ 아르 자형 a = 피 a (∙) δψ의 임의성으로 인해 d/dt Σ(a) [를 얻습니다. 아르 자형ㅏ 피 a ] = 0. 값 M = Σ(a) [ 아르 자형ㅏ 피각운동량이라고 불리는 a ]는 일정하게 유지됩니다. 운동의 적분.

6. 절대적으로 강체의 역학. 관성 텐서. 오일러 방정식. 강체는 거리가 일정하게 유지되는 재료 점 시스템입니다. 강체의 운동을 완전히 설명하려면 해당 점 중 하나의 운동 외에도 고정점인 이 점 주위의 신체 운동을 알아야 합니다. 몸체를 점 O에 고정시키자. O를 기준으로 점 m i의 반경 벡터를 나타냅니다. 아르 자형나, 승는 물체의 순간 각속도이고, 다음은 각운동량이다. 엘= Σ [ 아르 자형나 * 나 V나는 ] = Σ = 승Σ – Σ. 이 벡터 동일성은 좌표축 L x = w x Σ - Σ에 대한 세 개의 투영 형태로 작성될 수 있습니다. L y = w y Σ - Σ ; Lz = wz Σ - Σ . 고려해 보면 ( 승 아르 자형 i) = x i w x + y i w y + z i w z 우리는 L x = J xx w x + J xy w y + J xz w z 를 얻습니다. L y = J yx w x + J yy w y + J yz w z ; L x = J zx w x + J zy w y + J zz w z, 여기서 J xx = Σ, J xy = Σ, 나머지도 유사합니다. J xx , J yy , J zz 양을 축 관성 모멘트라고 하며, J xy = J yx , J xz = J zx , J yz = J zy – 원심 관성 모멘트입니다. J ij 수량의 집합을 관성 텐서라고 합니다. J ii의 요소를 대각선이라고 합니다. 대각선이 아닌 모든 요소가 0이면 좌표축과 일치하는 몸체의 축이 관성의 주축이고 J ii의 양을 주 관성 모멘트라고 말합니다. 이러한 텐서는 대각선 형태로 축소됩니다.

오일러 방정식. 몸의 질량 중심의 운동 방정식은 m d 형식을 갖습니다. V 0 /dt = m d/dt ( 승 * 아르 자형 0) = 에프, 어디 아르 자형 0 – 부착 지점에서 그려지는 몸체 질량 중심의 반경 벡터입니다. 주 관성축을 따라 몸체와 관련된 좌표계의 축을 지정하는 것이 편리합니다. 이 경우 각운동량은 L 1 = J 1 w 1, L 2 = J 2 w 2, L 3 = J 3 w 3의 간단한 형태를 취하고, w i는 움직이는 좌표축에 대한 각속도의 투영입니다. 몸으로. 일반식 d 사용 ㅏ/dt = ∂ ㅏ/∂t + 승* ㅏ, 모멘트 방정식은 다음과 같이 나타낼 수 있습니다 ∂ 엘/∂t + 승 * 엘 = 중. L x = J x w x , L y = J y w y , L z = J z w z 를 고려하여 이동 좌표계 축의 투영에서 이 방정식을 다시 작성합니다. J x dw x /dt + (J z - J y )w y w z = M x , J y dw y /dt + (J x – J z)w z w x = M y , J z dw z /dt + (J y – J x)w x w y = M z . 이러한 방정식을 오일러 방정식이라고 합니다.

7. 비관성 참조 시스템을 기준으로 한 모션입니다. NISO는 고양이의 시스템입니다. 몸은 휴식에 비해 가속도로 움직입니다. 조정 시스템 여기서는 공간과 시간의 균질성과 등방성의 개념이 충족되지 않습니다. NISO의 기간과 범위는 다양합니다. 또한 뉴턴의 제3원리 내용과 보존원칙도 상실된다. 모든 이유는 좌표계 cat에만 관련된 관성력 때문입니다. 신체의 움직임에 영향을 미칩니다. 저것. 가속도는 외부 힘이나 관성력을 사용하여 변경할 수 있습니다. F=∑Fi=ma(ISO), F=F(ext.)+Fi=ma′(NISO), 여기서 Fi는 관성력이고 a는 가속도입니다. ISO의 신체, a′-가속. NISO의 같은 몸. NISO에서는 뉴턴의 제1법칙이 만족되지 않습니다! Fi=-m(a′-a), 즉 관성력은 뉴턴의 제3법칙을 따르지 않습니다. 그들은 수명이 짧습니다. ISO에서 NISO로 이동하면 관성력이 사라집니다. 관성 힘은 항상 눈꺼풀 쪽으로 향하게 됩니다. 외부 세력. 관성력은 벡터 방식으로 추가할 수 있습니다. ISO에서: v=const, v<

dx/dt=Ux=dx′/dt+dv(t)/dt′=U′x+v(t) dUx/dt=d/dt′(U′x+v(t))=dU′x/ dt′+dv(t)/dt′=a x ' + a 0 = a x . NISO는 절대, 상대 및 이동 속도의 개념을 도입합니다. u 0은 절대 속도이고 0은 상대 가속도입니다. 쉬고 있는 조정 시스템

유 x 0 = v + 유 x 0 '; a x 0 = a' + a x ; u x ’ a x - 상대 속도 및 가속도. 움직임 조정 시스템 (상대적인) ; v, a'-속도 그리고 가속. ~'를 가리킨다. 즉, 휴대용 속도 및 가속도

8. 해밀턴의 변이 원리. (최소 작용의 원리).

일반화된 좌표, 속도, 시간 기능이 있습니다. 2S 차원 공간을 고려하면 시스템의 위치 S = ∫(t 1 , t 2) L(g, g( ), t)dt, L은 라그랑주 함수입니다. S-액션. 작업의 기능은 cat에서 itnegral S=∫ Ldt=0이라고 합니다. 실제 운동 궤적을 따라 취하면 시스템은 최소값을 갖게 됩니다. S=Smin, δS=0. 저것들. 1에서 2까지의 시스템은 동작이 최소화되는 궤적을 따라 이동합니다. 즉 해밀턴의 최소 동작 원리입니다. L = T – U는 시스템의 운동 에너지와 위치 에너지의 차이입니다. 해밀턴에 따르면 실제 궤적은 최소 동작에 해당합니다. 궤적을 찾아보자. 실제 궤적은 최소 궤적입니다. S 기능성. 분부터 찾아봅시다. δS = 0 첫 번째 변형. δS = ∫(t 1 ,t 2)(Σ[∂L/∂g i δg i ] + Σ[∂L/∂g i ( ) δg i ( )])dt; ∫(t 1 ,t 2) ∂L/∂g i ( ) δg i ( ) dt = ∫(t 1 ,t 2) ∂L/∂g i ( ) dδg i = ∂L/∂g i ( )δg i (t 1 ,t 2) - ∫(t 1 ,t 2) δg i d/dt (∂L/∂g i ( )) dt;

;

δg 난 서로 의존하지 않아
=0
실제 궤적에서는 다음 방정식이 충족되어야 합니다.
- 라그랑주 방정식(i= 1,…S에 대해).

9. 하나 이상의 자유도를 갖는 시스템의 진동. 자유진동과 강제진동 . 가장 간단한 경우는 시스템의 자유도가 1인 경우입니다. 안정적인 평형은 고양이의 시스템 위치에 해당합니다. 그 잠재력 엔. U(q)에는 최소값이 있습니다. 이 위치에서 벗어나면 시스템을 다시 되돌리려는 경향이 있는 힘(dU/dq)이 발생합니다. q 0 - 일반화된 좌표. U(q) - U(q0)를 거듭제곱하여 U(q) - U(q0) ≒ k/2 (q - q 0) 2를 얻습니다. 여기서 k = U''(q 0)는 양의 계수입니다. U(q 0) = 0, x = q - q 0 - 평형 값과의 좌표 편차, U(x) = kx 2 /2 – 위치 에너지를 나타냅니다. 1/2a(q) q' 2 =1/2a(q)x' 2 - q = q0 및 a(q0) = m에서의 운동 에너지 우리는 1차원 진동을 수행하는 시스템에 대한 라그랑주 함수를 얻습니다: L = mx 2 (∙) /2 – kx 2 /2. 이 함수에 해당하는 운동 방정식은 다음과 같습니다: mx(∙∙) + kx = 0 또는 x(∙∙) + w 2 x = 0, 여기서 w = √(k/m)은 순환 진동 주파수입니다. 이 방정식의 해는 x = a cos(wt + α)입니다. 여기서 a는 진동의 진폭이고, wt + α는 진동의 위상입니다. 저것. 진동하는 시스템의 에너지는 E = mx 2 (∙)/2 + kx 2 /2입니다. 강제 진동.이 경우 시스템은 자체 위치 에너지 ½ kx 2와 함께 외부 장의 작용과 관련된 위치 에너지 U e (x, m)도 갖습니다. 따라서 이러한 시스템의 라그랑주 함수는 다음과 같습니다. L = mx 2 (∙)/2 + kx 2 /2 + x F(t), 여기서 F(t)는 외부 힘입니다.

해당 모션 수준은 mx(∙∙) + kx = F(t) 또는 x(∙∙) + w 2 x = F(t)/m입니다. F(t)가 특정 주파수 γ를 갖는 단순 시간 주기 함수인 경우: F(t) = f cos(γt + β) 운동 방정식의 해는 다음과 같습니다. X = a cos(wt + α) + f cos(γt + β)/(m(w 2 – γ 2)) a 및 α는 초기 조건으로부터 결정됩니다. 저것. 구동력의 영향을 받아 시스템은 시스템의 고유 주파수 w와 구동력의 주파수 γ를 사용하여 두 가지 진동의 조합을 나타내는 움직임을 만듭니다. 자유도가 다양한 시스템의 진동 . 유력한. 엔. 시스템 U(q i)는 q i =q i 0 에서 최소값을 갖습니다. 작은 변위 x i = q i - q i 0을 도입하고 U를 2차까지 확장하여 잠재력을 얻습니다. 에너지: U = 1/2 Σ(i,k) , k ik =k ki . 키넷. 엔. 이러한 시스템의 경우 1/2 Σ(i,k)가 되며, 여기서 m ik =m ki 입니다. 이러한 시스템의 라그랑주 방정식은 다음과 같습니다. L = 1/2 Σ(i,k) . 그러면 dL = Σ(i,k) 입니다. x k = A k exp(-iwt) 형식으로 x k (t)를 찾습니다. A k는 상수입니다. 이를 라그랑주 방정식에 대입하면 선형 균질 방정식 시스템을 얻을 수 있습니다. Σ(k) [(-w 2 m ik +k ik)A k ] = 0 - 특성 방정식, s개의 서로 다른 근을 가짐 w 2 α (α=1,2,….,s) w α - 다음의 고유 진동수 시스템. 시스템의 특정 해는 x k = Δ kα C α exp(-iw α t) 형식을 갖습니다. 일반 해는 모든 부분 해의 합입니다. x k = Σ(α) [Δ kα Q α ], 여기서 Q = Re (C α exp(-iw α t)).

10. 해밀턴의 표준 방정식. 역학 문제를 연구할 때 일반화된 좌표와 임펄스를 사용하여 설명하면 많은 이점이 제공되며, 한 세트의 독립 변수에서 다른 세트로의 전환은 르장드르 변환을 통해 수행할 수 있습니다. 이 경우에는 다음과 같습니다. 좌표와 속도의 함수로서 라그랑주 함수의 전체 미분은 다음과 같습니다: dL = Σ(i) [∂L/∂q i ] + Σ(i) [[∂L/∂q i (∙)]. 이 식은 dL = Σ(i) + Σ(i) 로 쓸 수 있습니다. d(Σ(i) – L) = - Σ(i) + Σ(i) 형식으로 다시 작성해 보겠습니다. 미분 기호 아래의 양은 좌표와 운동량으로 표현된 시스템의 에너지를 나타내며 이를 해밀턴 함수라고 합니다. H(p,q,t) = Σ(i) – L. 미분에서. 등식 dH = - Σ(i) + Σ(i) 다음 방정식을 따릅니다. q i (∙) = ∂H/∂p i, pi (∙) = - ∂H/∂q i – 이는 해밀턴 방정식입니다. 단순성과 대칭성으로 인해라고도 불립니다. 정식. 포아송 괄호.일반화된 좌표, 임펄스 및 시간의 함수 F의 시간 도함수는 dF/dt = ∂F/∂t + Σ(i) [∂F/∂q i dq i /dt] + Σ(i) [∂F/ ∂p i dp i /dt]. 해밀턴 방정식을 사용하면 이 방정식을 다음 형식으로 다시 작성할 수 있습니다: dF/dt = ∂F/∂t + , 여기서 = Σ(i) [∂F/∂q i ∂H/∂p i - ∂H/∂q i ∂F /∂ p i ] - 호출됨 포아송 브래킷. 분명히 해밀턴 방정식은 푸아송 괄호를 사용하여 작성할 수 있습니다.

11. 해밀턴-야코비 방정식 . 최소 작용 원리에 따라 S = ∫(t 1 ,t 2)Ldt가 됩니다. 동작(S)을 실제 궤적을 따른 움직임을 특징짓는 양으로 생각해 보겠습니다. 하나의 궤적에서 그에 가까운 다른 궤적으로(1 자유도에서) 이동할 때 동작을 변경하기 위한 라그랑주 방정식을 기반으로 다음을 얻습니다. δS = pδq 또는 임의의 자유도에 대해: δS = Σ(i) . 좌표에 대한 동작의 부분 도함수는 해당 충격량과 동일합니다: ∂S/∂q i = pi (1). 정의에 따르면 dS/dt = L인 반면, S를 좌표와 시간의 함수로 간주하고 공식 (1)을 사용하면 다음과 같습니다. dS/dt = ∂S/∂t + Σ(i) [∂S/ ∂q i q i (∙)] = ∂S/∂t + Σ(i) . 두 표현식을 비교하면 ∂S/∂t = L - Σ(i) 또는 ∂S/∂t = - H(p,q,t) (2)를 얻습니다. 식 (1), (2)는 dS = Σ(i) – Hdt로 함께 쓸 수 있습니다. 그리고 동작(S) 자체는 S = ∫(Σ(i) – Hdt)가 됩니다. H가 t – S(q,t)=S 0 (q) - Et와 독립인 경우, 여기서 S 0 (q) = Σ(i) [∫p i dq i ]는 단축된 동작이고 Et는 H( p,q) . 함수 S(q,t)는 특정 미분을 충족합니다. 관계식 (2)의 펄스 P를 도함수 ∂S/∂q로 대체하여 얻은 방정식: ∂S/∂t + H(∂S/∂q 1 ,…, ∂S/∂q s ;q 1 ,… ,q s ,t) = 0 은 1차 편미분 방정식이라고 합니다. 해밀턴-야코비 방정식. 따라서 외부 장 U(x,y,z,t)에 있는 한 입자의 경우 다음 형식을 갖습니다. ∂S/∂t + 1/(2m)((∂S/∂x) 2 + (∂S/∂ y) 2 + (∂S/∂z) 2) + U(x,y,z,t) = 0.

12. 고체의 변형 및 응력. 영률, 전단. 푸아송비 . 변형은 외부 힘의 영향으로 신체의 모양과 부피가 변화하는 것입니다. 외력의 영향으로 신체의 모양이 변합니다. 자연의 모든 변형을 3으로 줄일 수 있습니다. 중주요 변형: 1) 장력, 압축; 2) 교대; 3) 비틀림. 균질한 변형과 불균일한 변형이 있습니다. 모든 부품이 동일하게 변형되면 균일하게 변형되었습니다.신체의 모든 부분이 불균등하게 변형된 경우 이질적으로 변형되었습니다. Hooke의 법칙은 탄성 변형 영역에서만 만족됩니다.  = E'. F/S = E Δl/l 0 ; F 제어 = ESΔl/l 0 = kx; k = ES/10 ; F 제어 = ESx/l 0 . Hooke의 법칙은 와  사이의 관계를 정의합니다. k는 탄성 계수이며 기하학적 치수, 재질, 본체 구성 요소에 따라 달라집니다. E-Young의 계수. 영률은 몸체의 크기가 두 배로 커지기 위해 단위 단면적의 몸체에 가해져야 하는 힘과 같습니다. 또 다른 유형의 변형은 표면이 접선 방향으로 적용될 때 관찰되는 전단 변형입니다. 이는 전단 변형 표면과 평행하며 접선 힘의 작용 하에서 관찰됩니다. 즉, 힘은 접선 방향으로 적용됩니다. Ψ~F t /S(시프트 각도). Ψ = nF·t /S; n은 이동 계수입니다. Ft = nS. (E>N, E~4N).

E와 N 사이의 정량적 관계는 포아송 비(Poisson's ratio)를 통해 지정됩니다. N = E/(2(1+μ)), 여기서 는 포아송 비입니다. μ = |Δd/d 0 |/|Δl/l 0 |. 포아송 비는 인장 또는 압축 중에 가로 치수의 변화를 결정합니다.  0.5.

13. 액체와 기체의 역학. 모든 액체 및 기체에 대한 통합 매개변수는 밀도 ρ, 압력 P=F n /S입니다. 액체와 기체에서는 영률이 발생하지만 전단 계수 |σ|=|P|는 발생하지 않으며 σ는 응력입니다. 액체(가스)가 움직이지 않는다면 우리는 유체정역학(공기정역학)을 다루고 있습니다. 특성 법칙: 파스칼의 법칙: 기체와 액체에서 생성된 과도한 압력은 모든 방향으로 동일하게 전달됩니다. 아르키메데스의 원리는 액체와 기체 모두에 유효합니다. 아르키메데스의 힘은 항상 중력에 반하여 작용합니다. 아르키메데스 힘이 발생하는 이유는 몸에 부피 V가 있기 때문입니다.아르키메데스의 원리:액체나 기체 속에 있는 물체는 항상 그 액체나 기체의 무게만큼의 힘이 작용합니다. 몸의 일부를 담그고 수직으로 위쪽을 향하게합니다. F A > F GRAVITY이면 물체는 뜨고, 반대로이면 가라앉습니다. 액체(기체)가 흐른다면 제트 연속 방정식이 이 방정식에 추가됩니다. 액체 속의 입자의 궤적을 호출합니다. 현재 라인. 현재 행에 의해 제한되는 공간의 일부를 호출합니다. 현재 튜브. 전류 튜브의 액체는 정지하거나 비정상적으로 흐를 수 있습니다. 전류라고 합니다 공전 튜브의 특정 부분을 통해 단위당 전류가 있는 경우. 시간이 지나면 같은 양의 액체(기체)가 흐르고, 그렇지 않으면 흐름이 불안정해집니다. 다음과 같은 형식의 전류 튜브를 생각해 보겠습니다. 유체 흐름이 정적인 경우. 그런 다음 m 1 =m 2 =…=m n 단위 시간당, 유체가 비압축성인 경우 ρ 1 V 1 =ρ 2 V 2 =… =ρ n V n , ρ 1 Δx 1 = ρ 2 Δx 2 =… = ρ n Δx n, ρ 1 υ 1 ΔtS 1 =ρ 2 υ 2 ΔtS 2 =…= ρ n υ n ΔtS n, 유체는 비압축성이므로 ρ는 일정합니다 υ 1 S 1 =υ 2 S 2 =…= υ n Sn , υS=const; υ=const/S – 제트 연속성 방정식. ρ d V/dt = ρ g– 대학원 P – eq. 오일러 - 2차. 액체와 기체에 대한 뉴턴. 법이 보존됨 액체와 기체의 에너지. 레벨 베르누이. ID. 이름 점성마찰력을 무시할 수 있는 비압축성 유체. 마찰력에 대항하는 작업을 수행하는 데 운동 에너지가 낭비되지 않습니다. Ρυ 2 /2+ρgh + P = const – eq. 베르누이, ρυ 2 /2 – 동압, ρgh – 수압 조절기. 압력, P – 분자압. Mυ 2 /2 = E K ; mυ 2 /2V= E K /V= ρυ 2 /2. 점성 마찰력 F A = - etaυΔS/ΔZ  6 π r eta υ – 스토크스 힘. Η - 계수 점도, Δυ/ΔZ – 등급 υ, r – 본체 치수. 이것은 점성 마찰력에 대한 뉴턴의 공식입니다. 액체에 마찰력이 있으면 id. 액체가 점성이 있게 됩니다. ρ v 1 2 /2 + ρgh 1 + P 1 = ρ v 2 2 /2 + ρgh 2 + P 2 ; (P 1 – P 2) = ρ(υ 2 2 – υ 1 2)/2. ΔP = 0이면 υ 2 2 – υ 1 2 = 0이고 유체 흐름이 없습니다. P가 더 큰 곳에는 속도가 있습니다. 전류가 적습니다. 단면적 S가 증가하면 P는 증가하고 υ는 감소합니다. 현재 튜브가 수평으로 놓이지 않으면 υ 2 2 -υ 1 2 =2g (h 1 -h 2)입니다. υ = sqrt(2g (h 1 -h 2)) – Torricelli의 공식.

확장된 구성 및 위상 공간에서 기계 시스템의 동작을 설명하는 궤적은 놀라운 특성을 가지고 있습니다. 이는 일부 변형 문제의 극단이며 고정 값을 동작 기능에 전달합니다.

확장된 구성 공간에서 변이 문제의 공식화를 고려해 보겠습니다. 아르 자형"*",그 점은 집합(q, (). 곡선 y = ((q, 티): q 전자 RT e, 5q(/0)= 8q(/,) = 0). 변형 8q(/)는 세그먼트 = 0의 끝에서 사라지는 클래스 C1의 임의 함수입니다.

기능의 첫 번째 변형 사이정의에 따라 y = y 0일 때 이는 다음과 같습니다.

부품별로 통합한 후 다음과 같은 형태를 취합니다.

표현 (2.3)의 추가 내재적 용어가 사라집니다.

왜냐하면 bq k (t 0) = bq k (t y) = 0, 에게 - 1.....l, 표현은 정사각형

적분 기호 아래 괄호 안은 0과 같습니다. 0은 라그랑주 방정식(2.1)을 만족하는 실수 궤적이기 때문입니다. 따라서 변동 55(y 0) = 0입니다.

반대의 진술도 참입니다. 변형 65(y*) = 0(여기서 y*가 원형 교차로 궤적 클래스에 속함)인 경우 y* = y 0은 실제 궤적입니다. 이 진술의 타당성은 첫 번째 변형(2.3)의 표현과 변형 미적분의 주요 보조정리에서 비롯됩니다. 이 경우 첫 번째 변형의 같음부터 0까지

변형 6에서 - 1까지의 독립성, ..., 제2종 라그랑주 방정식의 타당성

l, 그것은 사실이다.

언제 q k = q k *(티), k= 1.....엘. 이는 y*가 기계 시스템의 실제 궤적임을 의미합니다.

3.1. 비보존적 시스템의 경우 실제 궤적에서 고정 값이 달성된 함수를 나타내는 것이 불가능합니다. 그러나 이 경우 다음 명령문은 동일합니다.

여기서 q(/)는 실제 궤적입니다. 위 진술 중 첫 번째는 비보수적 시스템에 대한 Hamilton-Ostrogradsky 변이 원리의 내용을 구성합니다.

3.2. 차이 - / 0이 충분히 작은 경우 동작 함수의 고정 값이 최소임을 알 수 있습니다. 이 상황은 논의 중인 원리의 또 다른 이름인 해밀턴-오스트로그라드 최소 작용 원리와 관련이 있습니다.

위에서 고려한 변분 문제는 확장된 위상 공간에서 공식화될 수 있으며, 이는 해밀턴 정식 방정식의 적분성 문제를 고려할 때 중요한 것으로 밝혀졌습니다. Г = ((р + 6р. q + 8q, 나): p, q, 6p. 6qe R",테[r 0, /,]. 5q(/ 0)= 8q(/|) = 0) 곡선을 확장된 위상 공간에 두고 8p = 8q = 0에서 곡선 Г 0을 정규 해밀턴 방정식 시스템에 대한 해로 설정합니다.

모든 시간 함수는 클래스 C 1에 속합니다. 따라서 실제 궤적 G0이 속하는 원형 교차로 궤적군(G)이 정의되었습니다(그림 46). 라그랑주 함수와 해밀턴 함수 사이의 연결을 고려한 함수적 동작은 다음과 같은 형식을 취합니다.

여기서는 문자 p + 8p, q + 8q 대신 문자 p, q가 간결하게 사용되었습니다. 실제 궤적에서 기능적 S[Г]의 변화를 계산하면 다음을 얻습니다.

경계 조건을 고려하여 부분별로 통합하면

p(/), q(f)가 정규 해밀턴 방정식(2.4)을 만족하면 변형 85|Г 0 1 = 0이 됩니다. 반대로, 변이의 독립 조건으로부터 8p(r), 6q(/) 방정식(2.4)은 변이 미적분의 주요 정리에 따라 따릅니다.

따라서 시스템의 위상 공간에서 최소 작용 원리의 타당성이 입증되었습니다. 즉, 원형 교차로 궤적의 공간에 주어진 기능적 작용 5[Г](Г|.는 실제 궤적에서 고정된 값을 취합니다. 즉, 85[Г 0 1 = 0.

쌀. 46

3.3. 범함수(2.5)를 구성할 때 라그랑주 함수와 해밀턴 함수와 르장드르 변환 p * = V^? 사이의 연결을 사용했습니다. 그 후, 변수 p와 q는 독립적인 것으로 간주되었고 역 르장드르 변환은 작용 함수의 정상성으로부터 얻어졌습니다. q = V p H그리고 동적 방정식 p = -U 나는 N입니다.
3.4. 조건을 도입하여 로터리 궤적의 클래스를 좁힐 수 있습니다. 티): p, q, Sp, 6q 전자 Rn, 5q(/,)= 6p(/,) = 0, /" = 0, 1) 끝이 고정된 원형 교차로 궤적 공간에서 기능적 동작 5[Г*|의 고정 값이 다음과 같은지 쉽게 확인할 수 있습니다. 또한 기계 시스템의 실제 운동에 대해서도 달성됩니다. 이 진술은 푸앵카레 형식의 최소 작용 원리를 구성합니다.

이 원리를 처음 배웠을 때 나는 일종의 신비주의적인 느낌을 받았습니다. 자연은 시스템의 가능한 모든 이동 경로를 신비롭게 살펴보고 가장 좋은 경로를 선택하는 것 같습니다.

오늘 저는 물리학의 가장 놀라운 원리 중 하나인 최소 작용의 원리에 대해 조금 이야기하고 싶습니다.

배경

갈릴레오 시대 이후로 어떤 힘에도 영향을 받지 않는 물체는 직선, 즉 최단 경로를 따라 움직이는 것으로 알려져 있습니다. 광선도 직선으로 이동합니다.

반사되면 빛은 가능한 가장 짧은 방법으로 한 지점에서 다른 지점으로 이동하는 방식으로 이동합니다. 그림에서 가장 짧은 경로는 입사각과 반사각이 같은 녹색 경로입니다. 예를 들어 빨간색과 같은 다른 경로는 더 길어집니다.

이는 단순히 거울 반대쪽에 있는 광선의 경로를 반사함으로써 쉽게 증명할 수 있습니다. 그림에서는 점선으로 표시되어 있습니다.

녹색 경로 ACB가 직선 ACB'로 바뀌는 것을 볼 수 있습니다. 그리고 빨간색 경로는 녹색 경로보다 긴 파선 ADB'로 변합니다.

1662년에 피에르 페르마(Pierre Fermat)는 유리와 같은 밀도가 높은 물질에서는 빛의 속도가 공기 중에서보다 느리다고 제안했습니다. 그 전에는 올바른 굴절 법칙을 얻으려면 물질 속의 빛의 속도가 공기 중에서의 빛의 속도보다 커야 한다는 데카르트의 버전이 일반적으로 받아들여졌습니다. 페르마에게는 빛이 희박한 매질에서보다 밀도가 높은 매질에서 더 빨리 움직일 수 있다는 가정이 부자연스러워 보였습니다. 따라서 그는 모든 것이 정반대라고 가정하고 놀라운 것을 증명했습니다. 이 가정을 통해 빛은 최소 시간 내에 목적지에 도달하는 방식으로 굴절됩니다.

이번에도 녹색은 광선이 실제로 이동하는 경로를 보여줍니다. 빨간색으로 표시된 경로는 가장 짧지만 가장 빠르지는 않습니다. 왜냐하면 빛이 유리를 통과하는 경로가 더 길고 그곳에서는 속도가 느리기 때문입니다. 가장 빠른 경로는 광선의 실제 경로입니다.

이 모든 사실은 자연이 합리적인 방식으로 행동하고 빛과 신체가 가장 최적의 방식으로 움직이며 가능한 한 적은 노력을 기울인다는 것을 암시했습니다. 그러나 이것이 어떤 종류의 노력인지, 어떻게 계산하는지 미스터리로 남아 있습니다.

1744년에 Maupertuis는 "작용"이라는 개념을 도입하고 입자의 실제 궤적이 입자의 작용이 최소화된다는 점에서 다른 것과 다르다는 원리를 공식화했습니다. 그러나 Maupertuis 자신은 이 조치의 의미에 대해 명확한 정의를 내릴 수 없었습니다. 최소 작용 원리에 대한 엄격한 수학적 공식은 이미 다른 수학자인 오일러(Euler), 라그랑주(Lagrange)에 의해 개발되었으며 마침내 윌리엄 해밀턴(William Hamilton)에 의해 제시되었습니다.

수학적 언어에서는 최소 작용의 원리가 매우 간략하게 공식화되지만 모든 독자가 사용된 표기법의 의미를 이해할 수는 없습니다. 나는 이 원리를 좀 더 명확하고 간단한 용어로 설명하고 싶습니다.

자유체

따라서 당신이 한 지점에서 차에 앉아 있고 그 순간에 간단한 작업이 주어졌다고 상상해 보십시오. 그 순간에 당신은 그 지점까지 차를 운전해야 합니다.

자동차 연료는 비싸므로 가능한 한 적게 사용하고 싶을 것입니다. 귀하의 자동차는 최신 슈퍼 기술을 사용하여 제작되었으며 원하는 만큼 빠르게 가속하거나 제동할 수 있습니다. 그러나 속도가 빠를수록 더 많은 연료를 소비하도록 설계되었습니다. 또한 연료 소비는 속도의 제곱에 비례합니다. 두 배 빠른 속도로 운전하면 같은 시간 동안 4배 더 많은 연료를 소비하게 됩니다. 속도 외에도 연료 소비는 물론 차량 중량의 영향을 받습니다. 차가 무거울수록 더 많은 연료를 소비합니다. 매 순간 우리 자동차의 연료 소비량은 동일합니다. 자동차의 운동에너지와 정확히 같습니다.

그렇다면 약속된 시간에 정확히 목적지에 도착하고 연료를 최대한 적게 사용하려면 어떻게 운전해야 할까요? 직선으로 가야한다는 것은 분명합니다. 이동 거리가 증가하더라도 연료 소비는 줄어들지 않습니다. 그런 다음 다른 전술을 선택할 수 있습니다. 예를 들어, 미리 해당 지점에 빠르게 도착하고 시간이 올 때까지 앉아서 기다릴 수 있습니다. 주행 속도에 따라 매 순간의 연료 소비량이 높아지지만 주행 시간도 단축됩니다. 아마도 전체 연료 소비는 그리 크지 않을 것입니다. 또는 같은 속도로 균등하게 운전하여 서두르지 않고 정확히 그 순간에 도착할 수 있습니다. 또는 부분적으로 빠르게 운전하고 부분적으로는 더 천천히 운전하십시오. 가장 좋은 방법은 무엇입니까?

가장 최적이고 경제적인 운전 방법은 정해진 시간에 정확히 목적지에 도착할 수 있도록 일정한 속도로 운전하는 것입니다. 다른 옵션을 선택하면 더 많은 연료가 소모됩니다. 여러 가지 예를 통해 직접 확인할 수 있습니다. 그 이유는 속도의 제곱에 비례하여 연료 소비가 증가하기 때문입니다. 따라서 속도가 증가할수록 주행시간이 감소하는 것보다 연료소비가 더 빨리 증가하게 되어 전체적인 연료소비도 증가하게 된다.

그래서 우리는 자동차가 매 순간의 운동에너지에 비례하여 연료를 소비한다면, 정해진 시간에 정확히 한 지점에서 다른 지점으로 이동하는 가장 경제적인 방법은 균일하고 직선으로 운전하는 것임을 알아냈습니다. 신체에 작용하는 힘이 없을 때 신체가 움직이는 방식. 다른 운전 방법을 사용하면 전체 연료 소비량이 높아집니다.

중력 분야에서는

이제 우리 차를 조금 개선해 봅시다. 제트 엔진을 부착해 어느 방향으로든 자유롭게 날 수 있도록 합시다. 일반적으로 디자인은 동일하게 유지되었으므로 연료 소비량은 다시 자동차의 운동 에너지에 엄격하게 비례했습니다. 이제 한 지점에서 한 지점에서 비행하여 특정 지점에 도착하는 작업이 주어진다면 가장 경제적 인 방법은 이전과 마찬가지로 끝내기 위해 균일하고 직선으로 비행하는 것입니다. 정확히 약속된 시간에 한 지점에 올라갔다. 이는 다시 3차원 공간에서 신체의 자유로운 움직임에 해당합니다.

그런데 최신 차종에는 특이한 장치가 탑재됐다. 이 장치는 말 그대로 무(無)에서 연료를 생산할 수 있습니다. 그러나 자동차의 높이가 높을수록 장치는 주어진 시간에 더 많은 연료를 생산하도록 설계되었습니다. 연료 생산량은 자동차가 현재 위치한 고도에 정비례합니다. 또한 자동차가 무거울수록 장치가 더 강력하게 설치되고 더 많은 연료가 생산되며 생산량은 자동차 무게에 정비례합니다. 이 장치는 연료 생산량이 (자유 낙하 가속도는 어디에서) 정확히 동일하도록 밝혀졌습니다. 자동차의 잠재적 에너지.

각 순간의 연료 소비량은 운동 에너지에서 자동차의 위치 에너지를 뺀 것과 같습니다(설치된 장치가 연료를 생산하고 소비하지 않기 때문에 위치 에너지를 뺀 값). 이제 가능한 한 효율적으로 지점 사이에서 자동차를 이동하는 작업이 더욱 어려워졌습니다. 이 경우 직선 등속 운동은 가장 효과적이지 않은 것으로 나타났습니다. 약간의 고도를 확보하고 잠시 거기에 머물면서 더 많은 연료를 소모한 다음 지점까지 하강하는 것이 더 최적인 것으로 나타났습니다. 올바른 비행 궤적을 사용하면 상승으로 인한 총 연료 생산량이 경로 길이를 늘리고 속도를 높이는 데 드는 추가 연료 비용을 충당할 수 있습니다. 주의 깊게 계산해 보면 자동차의 가장 경제적인 방법은 지구의 중력장에서 돌이 날아가는 것과 똑같은 궤적과 속도로 포물선을 그리며 날아가는 것입니다.

여기서 명확히 할 가치가 있습니다. 물론, 다양한 방법으로 한 지점에서 돌을 던져서 그 지점에 맞힐 수 있습니다. 하지만 그 순간 그 지점에서 이륙하여 그 순간에 정확히 그 지점에 도달하도록 던져야합니다. 우리 차에 가장 경제적 인 것은 바로 이러한 움직임입니다.

라그랑주 함수와 최소 작용 원리

이제 우리는 이 비유를 실제 육체에 적용할 수 있습니다. 신체의 연료 소비율과 유사한 것을 라그랑주 함수 또는 라그랑지안(라그랑주를 기념하여)이라고 하며 문자로 표시됩니다. 라그랑지안은 주어진 시간에 신체가 소비하는 "연료"의 양을 보여줍니다. 전위장에서 움직이는 물체의 경우 라그랑지안은 운동 에너지에서 위치 에너지를 뺀 것과 같습니다.

전체 이동 기간 동안 소비되는 총 연료량과 유사합니다. 전체 이동 시간 동안 누적된 라그랑지 값을 "동작"이라고 합니다.

최소 작용의 원리는 동작(움직임 궤적에 따라 다름)이 최소화되는 방식으로 신체가 움직이는 것입니다. 동시에 초기 조건과 최종 조건이 지정되어 있다는 점을 잊어서는 안 됩니다. 시간의 순간과 시간의 순간에 몸이 있는 곳.

이 경우 신체가 반드시 균일한 중력장에서 움직일 필요는 없습니다. 우리는 이를 자동차에서 고려했습니다. 완전히 다른 상황을 고려할 수 있습니다. 신체는 탄성 밴드 위에서 진동하거나 진자 위에서 흔들리거나 태양 주위를 날아갈 수 있습니다. 이 모든 경우 신체는 "총 연료 소비"를 최소화하는 방식으로 움직입니다. 행동.

시스템이 여러 개의 몸체로 구성된 경우 해당 시스템의 라그랑지안은 모든 몸체의 총 운동 에너지에서 모든 몸체의 총 위치 에너지를 뺀 것과 같습니다. 그리고 다시 말하면, 모든 몸체가 함께 움직이므로 그러한 움직임 동안 전체 시스템의 영향이 최소화됩니다.

그렇게 간단하지 않다

사실 나는 몸이 항상 행동을 최소화하는 방식으로 움직인다고 말하면서 약간 속였습니다. 이는 많은 경우에 사실이지만, 조치가 분명히 미미하지 않은 상황을 생각해 볼 수 있습니다.

예를 들어, 공을 가져다가 빈 공간에 놓아보자. 그것으로부터 어느 정도 떨어진 곳에 탄성 벽을 배치할 것입니다. 일정 시간이 지난 후 공이 같은 위치에 있기를 원한다고 가정해 보겠습니다. 이러한 주어진 조건에서 공은 두 가지 다른 방식으로 움직일 수 있습니다. 첫째, 단순히 제자리에 머물 수 있습니다. 둘째, 벽쪽으로 밀어 넣을 수 있습니다. 공은 벽에 부딪혔다가 튕겨져 돌아옵니다. 정확한 시간에 돌아올 수 있는 속도로 밀 수 있다는 것은 분명합니다.