숫자 및 알파벳 표현식을 변환합니다. 거듭제곱 표현(제곱이 있는 표현)과 그 변환 10글자 표현
표현식, 표현식 변환
거듭제곱 표현( 거듭제곱이 있는 표현)과 그 변형
이 기사에서는 거듭제곱을 사용하여 표현식을 변환하는 방법에 대해 설명합니다. 먼저 괄호를 열고 유사한 용어를 가져오는 등의 거듭제곱 표현을 포함하여 모든 종류의 표현으로 수행되는 변환에 중점을 둘 것입니다. 그런 다음 도수 표현에 내재된 변환(밑수와 지수 사용, 도 속성 사용 등)을 분석합니다.
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힘의 표현이란 무엇입니까?
"전력 표현"이라는 용어는 실제로 학교 수학 교과서에는 나타나지 않지만 문제 모음, 특히 통합 상태 시험 및 통합 상태 시험 준비를 위한 문제 모음에는 자주 나타납니다. 능력 표현을 사용하여 어떤 작업을 수행해야 하는 작업을 분석한 후에는 능력 표현이 해당 항목에 능력을 포함하는 표현으로 이해된다는 것이 분명해집니다. 따라서 다음 정의를 스스로 받아들일 수 있습니다.
정의.
거듭제곱 표현힘이 담긴 표현이다.
주자 힘 표현의 예. 또한 자연 지수가 있는 정도에서 실수 지수가 있는 정도에 대한 견해의 발전이 어떻게 발생하는지에 따라 제시할 것입니다.
알려진 바와 같이, 먼저 이 단계에서 자연 지수를 갖는 숫자의 거듭제곱에 대해 알게 됩니다. 이는 3 2, 7 5 +1, (2+1) 5, (−0.1) 유형의 첫 번째 간단한 거듭제곱 표현입니다. 4, 3 a 2 는 −a+a 2 , x 3−1 , (a 2) 3 등으로 나타납니다.
조금 후에 정수 지수를 갖는 숫자의 거듭제곱이 연구되어 다음과 같이 음의 정수 거듭제곱을 갖는 거듭제곱 표현이 나타납니다. 3 −2, 
, a −2 +2 b −3 +c 2 .
고등학교에서는 학위로 돌아갑니다. 해당 거듭제곱 표현의 출현을 수반하는 유리수 지수를 갖는 정도가 도입됩니다. 
, , 
등등. 마지막으로, 무리수 지수가 있는 도와 이를 포함하는 표현식이 고려됩니다: , .
문제는 나열된 거듭제곱 표현식에만 국한되지 않습니다. 추가로 변수는 지수에 침투하며 예를 들어 다음 표현식이 발생합니다. 2 x 2 +1 또는 
. 그리고 에 익숙해지면 x 2·lgx −5·x lgx와 같이 거듭제곱과 로그가 포함된 표현식이 나타나기 시작합니다.
그래서 우리는 권력 표현이 무엇을 나타내는지에 대한 질문을 다루었습니다. 다음으로 우리는 그것들을 변환하는 방법을 배울 것입니다.
거듭제곱 표현의 주요 변환 유형
거듭제곱 표현을 사용하면 표현의 기본적인 항등 변환을 수행할 수 있습니다. 예를 들어 괄호를 열고, 숫자 표현식을 해당 값으로 바꾸고, 유사한 용어를 추가하는 등의 작업을 할 수 있습니다. 당연히 이 경우 조치를 수행하기 위해 허용되는 절차를 따라야 합니다. 예를 들어 보겠습니다.
예.
거듭제곱 표현식 2 3 ·(4 2 −12) 의 값을 계산합니다.
해결책.
액션 실행 순서에 따라 먼저 괄호 안의 액션을 수행합니다. 먼저 4 2의 거듭제곱을 값 16으로 바꾸고(필요한 경우 참조) 두 번째로 차이 16−12=4를 계산합니다. 우리는 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4.
결과 표현식에서 2 3 거듭제곱을 값 8로 대체한 후 곱 8·4=32를 계산합니다. 이것이 원하는 값입니다.
그래서, 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4=8·4=32.
답변:
2 3 ·(4 2 −12)=32.
예.
거듭제곱으로 표현 단순화 3a 4b −7 −1+2a 4b −7.
해결책.
분명히 이 표현에는 유사한 용어 3·a 4·b −7 및 2·a 4·b −7 이 포함되어 있으며 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.
답변:
3a 4b −7 −1+2a 4b −7 =5a 4b −7 −1.
예.
힘이 있는 표현을 제품으로 표현해보세요.
해결책.
숫자 9를 3 2의 거듭제곱으로 표현한 다음 약식 곱셈 공식(제곱의 차이)을 사용하여 작업에 대처할 수 있습니다. 
답변:
거듭제곱 표현에는 특히 고유한 동일한 변환이 많이 있습니다. 우리는 그것들을 더 자세히 분석할 것입니다.
밑수와 지수로 작업하기
밑수 및/또는 지수가 단순한 숫자나 변수가 아닌 일부 표현식인 학위도 있습니다. 예를 들어, (2+0.3·7) 5−3.7 및 (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) 항목을 제공합니다.
이러한 표현식으로 작업할 때, 밑수 표현식과 지수 표현식을 모두 해당 변수의 ODZ에서 동일하게 동일한 표현식으로 바꿀 수 있습니다. 즉, 우리에게 알려진 규칙에 따라 차수의 밑과 지수를 별도로 변환할 수 있습니다. 이 변환의 결과로 원래 표현식과 동일하게 동일한 표현식이 얻어질 것이 분명합니다.
이러한 변환을 통해 우리는 거듭제곱으로 표현을 단순화하거나 필요한 다른 목표를 달성할 수 있습니다. 예를 들어 위에서 언급한 (2+0.3 7) 5−3.7의 거듭제곱 표현식에서 밑수와 지수의 숫자를 사용하여 연산을 수행하면 4.1 1.3의 거듭제곱으로 이동할 수 있습니다. 그리고 괄호를 열고 비슷한 항을 차수 (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1)의 밑으로 가져오면 더 간단한 형태의 a 2·(x+)의 거듭제곱 표현을 얻습니다. 1) .
학위 속성 사용
힘으로 표현을 변형시키는 주요 도구 중 하나는 반영하는 평등입니다. 주요 내용을 기억해 보겠습니다. 임의의 양수 a와 b 및 임의의 실수 r과 s에 대해 다음과 같은 거듭제곱의 속성이 적용됩니다.
- a r ·a s =a r+s ;
- a r:a s =a r−s ;
- (a·b) r =a r·br ;
- (a:b) r =a r:br ;
- (ar) s =a r·s .
자연, 정수 및 양의 지수의 경우 숫자 a와 b에 대한 제한이 그다지 엄격하지 않을 수 있습니다. 예를 들어, 자연수 m과 n의 경우 a m ·an =a m+n 등식은 양수 a뿐만 아니라 음수 a 및 a=0에도 적용됩니다.
학교에서 능력 표현을 변환할 때 주요 초점은 적절한 속성을 선택하고 올바르게 적용하는 능력입니다. 이 경우 학위의 기준은 일반적으로 양수이므로 학위의 속성을 제한 없이 사용할 수 있습니다. 거듭제곱의 기초에 변수를 포함하는 표현식의 변환에도 동일하게 적용됩니다. 허용되는 변수 값의 범위는 일반적으로 기초가 양수 값만 취하는 것과 같으므로 거듭제곱의 속성을 자유롭게 사용할 수 있습니다. . 일반적으로 이 경우 학위 속성을 사용할 수 있는지 끊임없이 자문해야 합니다. 속성을 부정확하게 사용하면 교육적 가치가 좁아지고 기타 문제가 발생할 수 있기 때문입니다. 이러한 점은 거듭제곱의 속성을 사용한 표현 변환 기사의 예와 함께 자세히 논의됩니다. 여기서는 몇 가지 간단한 예만 고려하도록 하겠습니다.
예.
a 2.5·(a 2) −3:a −5.5라는 표현을 밑이 a인 거듭제곱으로 표현하세요.
해결책.
먼저, 거듭제곱을 거듭제곱하는 속성을 사용하여 두 번째 요소(a 2) −3을 변환합니다. (a 2) −3 =a 2·(−3) =a −6. 원래 거듭제곱 표현은 a 2.5 ·a −6:a −5.5 형식을 취합니다. 분명히, 동일한 기반으로 곱셈과 거듭제곱의 속성을 사용하는 것이 남아 있습니다.
2.5 ·a −6:a −5.5 =
2.5−6:a −5.5 =a −3.5:a −5.5 =
a −3.5−(−5.5) =a 2 .
답변:
2.5 ·(a 2) −3:a −5.5 =a 2.
거듭제곱 표현을 변환할 때 거듭제곱의 속성은 왼쪽에서 오른쪽으로, 오른쪽에서 왼쪽으로 모두 사용됩니다.
예.
거듭제곱 표현의 값을 구합니다.
해결책.
오른쪽에서 왼쪽으로 적용되는 등식(a·b) r =a r·br r을 사용하면 원래 표현에서 형식의 곱으로 더 멀리 이동할 수 있습니다. 그리고 동일한 밑수로 거듭제곱을 곱하면 지수가 합산됩니다. 
.
원래 표현을 다른 방식으로 변형하는 것이 가능했습니다. 
답변:
.
예.
거듭제곱 표현식 a 1.5 −a 0.5 −6이 주어지면 새 변수 t=a 0.5를 도입합니다.
해결책.
a 1.5 차수는 a 0.5 3 으로 표현할 수 있으며, 차수 (a r) s =a r s 에 대한 성질을 오른쪽에서 왼쪽으로 적용하여 (a 0.5) 3 형태로 변환할 수 있습니다. 따라서, 1.5 −a 0.5 −6=(a 0.5) 3 −a 0.5 −6. 이제 새로운 변수 t=a 0.5를 도입하는 것은 쉽습니다. t 3 −t−6을 얻습니다.
답변:
t 3 −t−6 .
거듭제곱을 포함하는 분수 변환하기
거듭제곱 표현식은 거듭제곱이 있는 분수를 포함하거나 나타낼 수 있습니다. 모든 종류의 분수에 내재된 분수의 기본 변환은 그러한 분수에 완전히 적용 가능합니다. 즉, 거듭제곱을 포함하는 분수는 축소되거나, 새로운 분모로 축소되거나, 분자와 분모와 별도로 작업하는 등의 작업을 할 수 있습니다. 이러한 단어를 설명하기 위해 몇 가지 예에 대한 솔루션을 고려하십시오.
예.
거듭제곱 표현 단순화 
.
해결책.
이 거듭제곱 표현은 분수입니다. 분자와 분모를 가지고 작업해 봅시다. 분자에서 괄호를 열고 거듭제곱의 속성을 사용하여 결과 표현식을 단순화하고 분모에 유사한 용어를 표시합니다. 
그리고 분수 앞에 빼기를 넣어 분모의 부호를 변경해 보겠습니다. 
.
답변:
.
거듭제곱을 포함하는 분수를 새 분모로 줄이는 것은 유리 분수를 새 분모로 줄이는 것과 유사하게 수행됩니다. 이 경우 추가 요소도 발견되고 분수의 분자와 분모에 이를 곱합니다. 이 작업을 수행할 때 새로운 분모로 축소하면 ODZ가 좁아질 수 있다는 점을 기억하는 것이 좋습니다. 이러한 일이 발생하지 않도록 하려면 원래 표현식에 대한 ODZ 변수의 변수 값에 대해 추가 요소가 0이 되지 않아야 합니다.
예.
분수를 새로운 분모로 줄입니다: a) 분모 a, b) 
분모에.
해결책.
a) 이 경우 원하는 결과를 얻는 데 어떤 추가 승수가 도움이 되는지 파악하는 것은 매우 쉽습니다. a 0.7 ·a 0.3 =a 0.7+0.3 =a이므로 이는 a 0.3의 승수입니다. 변수 a의 허용 가능한 값 범위(이것은 모든 양의 실수 집합)에서 0.3의 거듭제곱은 사라지지 않으므로 주어진 분자와 분모를 곱할 권리가 있습니다. 이 추가 요소로 분수: 
b) 분모를 자세히 살펴보면 다음을 알 수 있습니다. 
이 표현식을 곱하면 세제곱의 합이 제공됩니다. 즉, . 그리고 이것이 원래 분수를 줄여야 하는 새로운 분모입니다.
이것이 우리가 추가 요소를 찾은 방법입니다. 변수 x와 y의 허용 값 범위에서 표현식은 사라지지 않으므로 분수의 분자와 분모에 곱할 수 있습니다. 
답변:
ㅏ) 
, 비) 
.
또한 거듭제곱을 포함하는 분수를 줄이는 데에는 새로운 것이 없습니다. 분자와 분모는 여러 인수로 표시되고 분자와 분모의 동일한 인수는 감소됩니다.
예.
분수를 줄이세요: a) 
, 비) .
해결책.
a) 첫째, 분자와 분모는 30과 45로 줄어들 수 있으며 이는 15와 같습니다. x 0.5 +1만큼 감소를 수행하는 것도 분명히 가능합니다. 
. 우리가 가지고 있는 것은 다음과 같습니다: 
b) 이 경우 분자와 분모의 동일한 요소가 즉시 표시되지 않습니다. 이를 얻으려면 예비 변환을 수행해야 합니다. 이 경우 제곱의 차이 공식을 사용하여 분모를 인수분해하는 것으로 구성됩니다. 
답변:
ㅏ) 
비) 
.
분수를 새로운 분모로 변환하고 분수를 줄이는 것은 주로 분수를 다루는 데 사용됩니다. 작업은 알려진 규칙에 따라 수행됩니다. 분수를 더하기(빼기)할 때 분수는 공통 분모로 줄어들고 그 후에 분자는 더하기(빼기)되지만 분모는 동일하게 유지됩니다. 결과는 분자가 분자의 곱이고 분모가 분모의 곱인 분수입니다. 분수로 나누는 것은 분수의 역수로 곱하는 것입니다.
예.
다음 단계를 따르세요. 
.
해결책.
먼저 괄호 안의 분수를 뺍니다. 이를 위해 우리는 그것들을 공통 분모로 가져옵니다. 
, 그 후에 분자를 뺍니다. 
이제 분수를 곱합니다. 
분명히 x 1/2의 거듭제곱으로 줄이는 것이 가능하며, 그 후에는 다음과 같습니다. 
.
제곱의 차이 공식을 사용하여 분모의 거듭제곱 표현을 단순화할 수도 있습니다. 
.
답변:
예.
거듭제곱 표현 단순화 
.
해결책.
분명히, 이 분수는 (x 2.7 +1) 2로 줄어들 수 있습니다. 이것은 분수를 제공합니다 
. X의 힘으로 뭔가 다른 일을 해야 한다는 것은 분명합니다. 이를 위해 결과 분수를 제품으로 변환합니다. 이는 동일한 기반으로 권력을 분할하는 속성을 활용할 수 있는 기회를 제공합니다. 
. 그리고 프로세스가 끝나면 마지막 제품에서 분수로 이동합니다.
답변:
.
또한 음의 지수가 있는 인수를 분자에서 분모로 또는 분모에서 분자로 이동하여 지수의 부호를 변경하는 것이 가능하고 많은 경우 바람직하다고 덧붙여 보겠습니다. 이러한 변환은 종종 추가 작업을 단순화합니다. 예를 들어 거듭제곱 표현식은 로 대체될 수 있습니다.
근과 거듭제곱을 사용하여 표현식 변환하기
종종 일부 변환이 필요한 표현식에서는 분수 지수가 있는 근도 거듭제곱과 함께 표시됩니다. 이러한 표현을 원하는 형식으로 변환하려면 대부분의 경우 뿌리 또는 거듭제곱에만 적용하면 충분합니다. 그러나 권력을 가지고 작업하는 것이 더 편리하기 때문에 일반적으로 뿌리에서 권력으로 이동합니다. 그러나 원래 표현식에 대한 변수의 ODZ를 사용하면 모듈을 참조하거나 ODZ를 여러 간격으로 분할할 필요 없이 근을 거듭제곱으로 대체할 수 있는 경우 이러한 전환을 수행하는 것이 좋습니다(이에 대해서는 다음에서 자세히 논의했습니다). 근에서 거듭제곱으로의 기사 전환 유리수 지수가 있는 차수에 대해 알게 된 후, 임의의 실수 지수가 있는 차수에 대해 이야기할 수 있게 되는 무리수 지수가 소개됩니다. 학교에서 공부했습니다. 지수 함수, 이는 분석적으로 거듭제곱으로 주어지며, 그 밑은 숫자이고 지수는 변수입니다. 따라서 우리는 거듭제곱의 밑수와 지수에 숫자가 포함된 거듭제곱 표현식(변수가 있는 표현식)에 직면하게 되며 자연스럽게 그러한 표현식을 변환해야 할 필요성이 발생합니다.
일반적으로 표시된 유형의 표현식 변환은 문제를 해결할 때 수행되어야 한다고 말해야 합니다. 지수 방정식그리고 지수 부등식, 이러한 변환은 매우 간단합니다. 압도적인 다수의 경우, 이는 학위의 속성을 기반으로 하며 대부분 미래에 새로운 변수를 도입하는 것을 목표로 합니다. 방정식을 통해 우리는 이를 증명할 수 있습니다. 5 2 x+1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x−1 =0.
첫째, 지수가 특정 변수(또는 변수가 있는 표현식)와 숫자의 합인 거듭제곱은 곱으로 대체됩니다. 이는 왼쪽 표현식의 첫 번째 및 마지막 항에 적용됩니다.
5 2 x 5 1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x 7 −1 =0,
5 5 2 x −3 5 x 7 x −2 7 2 x =0.
다음으로, 평등의 양쪽은 원래 방정식에 대한 변수 x의 ODZ에서 양수 값만 취하는 표현식 7 2 x로 나뉩니다. (이것은 이 유형의 방정식을 풀기 위한 표준 기술입니다. 지금 그것에 대해 이야기하고 있으므로 거듭제곱을 사용한 표현의 후속 변환에 집중하세요. ): 
이제 거듭제곱을 사용하여 분수를 취소할 수 있습니다. 
.
마지막으로, 동일한 지수를 갖는 거듭제곱의 비율은 관계의 거듭제곱으로 대체되어 다음 방정식이 됩니다. 
, 이는 동일합니다. 
. 변환을 통해 원래 지수 방정식의 해를 이차 방정식의 해로 줄이는 새로운 변수를 도입할 수 있습니다.
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선택과목 프로그램 “숫자와 알파벳 표현의 변환”
설명문
최근에는 CMM을 사용하여 학교 수학 교육의 품질 관리가 수행되었으며, 그 중 대부분은 시험 형식으로 제공됩니다. 이러한 형태의 테스트는 기존 시험지와 다르며 특별한 준비가 필요합니다. 현재까지 발전한 형태의 테스트 기능은 제한된 시간 내에 많은 수의 질문에 답해야 한다는 것입니다. 제기된 질문에 올바르게 대답하는 것뿐만 아니라 충분히 신속하게 답변하는 것도 필요합니다. 따라서 학생들이 원하는 결과를 얻을 수 있는 다양한 기술과 방법을 익히는 것이 중요합니다.
거의 모든 학교 수학 문제를 풀 때는 몇 가지 변형을 거쳐야 합니다. 종종 복잡성은 복잡성 정도와 수행해야 하는 변환의 양에 따라 완전히 결정됩니다. 학생이 문제를 해결하지 못하는 것은 문제 해결 방법을 모르기 때문이 아니라 할당된 시간 내에 오류 없이 필요한 모든 변환과 계산을 수행할 수 없기 때문에 문제를 해결하지 못하는 경우가 많습니다.
수치 표현을 변환하는 예는 그 자체가 아니라 변환 기술을 개발하는 수단으로서 중요합니다. 매 학년마다 수의 개념은 자연수에서 실수수로 확장되며, 고등학교에서는 거듭제곱의 변형, 대수 및 삼각법 표현을 공부합니다. 이 자료에는 많은 공식과 변환 규칙이 포함되어 있으므로 연구하기가 매우 어렵습니다.
수식을 단순화하거나 필요한 작업을 수행하거나 수식의 값을 계산하려면 최단 "경로"를 따라 정답으로 이어지는 변환 경로를 따라 어느 방향으로 "이동"해야 하는지 알아야 합니다. 합리적인 경로의 선택은 주로 표현 변환 방법에 대한 전체 정보량의 보유 여부에 달려 있습니다.
고등학교에서는 수치 표현에 관한 지식과 실무 능력을 체계화하고 심화시킬 필요가 있습니다. 통계에 따르면 대학에 지원할 때 발생하는 오류의 약 30%가 컴퓨터 관련 오류입니다. 따라서 중학교에서 관련 주제를 고려할 때, 고등학교에서 이를 반복할 때 학생들의 컴퓨팅 능력 발달에 더 많은 관심을 기울일 필요가 있습니다.
따라서 전문학교의 11학년 교사들을 돕기 위해 "학교 수학 과정에서 숫자 및 알파벳 표현 변환"이라는 선택 과목을 제공할 수 있습니다.
성적:== 11
선택 과목 유형:
체계화, 일반화 및 심화 과정.
시간:
34 (주당 – 1시간)
교육 분야:
수학
과정의 목표와 목표:
숫자와 연산에 대한 학생들의 지식을 체계화, 일반화 및 확장합니다. - 컴퓨팅 프로세스에 대한 관심 형성 - 학생들의 독립성, 창의적 사고 및 인지적 관심의 발달; - 대학 입학을 위한 새로운 규칙에 학생들을 적응시킵니다.
과정 연구의 조직
선택 과목 "숫자 및 문자 표현 변환"은 고등학교의 기본 수학 교과과정을 확장하고 심화하며 11학년 학습을 위해 고안되었습니다. 제안된 과정은 계산 능력과 사고력을 개발하는 것을 목표로 합니다. 이 과정은 실습에 중점을 두고 고전적인 수업 계획에 따라 구성되어 있습니다. 이는 수학 준비 수준이 높거나 평균인 학생들을 위해 설계되었으며, 대학 입학을 준비하고 진지한 수학 교육을 지속할 수 있도록 돕기 위해 고안되었습니다.
계획된 결과:
숫자 분류에 대한 지식;
빠른 계산 기술과 능력을 향상시킵니다.
다양한 문제를 해결할 때 수학적 도구를 사용할 수 있는 능력
진지한 수학 교육의 지속을 촉진하여 논리적 사고를 개발합니다.
선택과목 내용 “수치와 알파벳 표현의 변형”
정수(4h):숫자 시리즈. 산술의 기본 정리. GCD와 NOC. 분열의 징후. 수학적 귀납법.
유리수(2h):유리수의 정의. 분수의 주요 속성입니다. 약식 곱셈 공식. 주기적 분수의 정의. 소수 주기 분수를 일반 분수로 변환하는 규칙입니다.
불합리한 숫자. 급진파. 학위. 로그(6시간):무리수의 정의. 숫자의 비합리성을 증명합니다. 분모의 불합리성을 제거합니다. 실수. 정도의 속성. n차 산술근의 속성입니다. 로그의 정의. 로그의 속성.
삼각 함수(4h):숫자 원. 기본 각도의 삼각 함수의 수치. 각도의 크기를 도 측정에서 라디안 측정으로 또는 그 반대로 변환합니다. 기본 삼각법 공식. 감소 공식. 역삼각함수. 호 함수에 대한 삼각 연산. 호 함수 간의 기본 관계.
복소수(2h):복소수의 개념. 복소수를 사용한 작업. 복소수의 삼각법 및 지수 형태.
중간 테스트(2시간)
수치식 비교(4h):실수 집합의 수치 부등식. 수치적 불평등의 속성. 불평등을 지지하세요. 수치적 불평등을 증명하는 방법.
리터럴 표현(8h):변수가 있는 표현식을 변환하는 규칙: 다항식; 대수 분수; 비합리적인 표현; 삼각법 및 기타 표현. 신원 및 불평등 증명. 표현 단순화.
교육 및 주제별 계획
이 계획은 34시간 동안 지속됩니다. 논문 주제를 고려하여 설계되었으므로 숫자 표현과 알파벳 표현이라는 두 가지 개별 부분이 고려됩니다. 교사의 재량에 따라 적절한 주제에 대해 숫자 표현과 함께 알파벳 표현을 고려할 수도 있습니다.
| № | 수업 주제 | 시간 |
| 1.1 | 정수 | 2 |
| 1.2 | 수학적 귀납법 | 2 |
| 2.1 | 유리수 | 1 |
| 2.2 | 소수 주기 분수 | 1 |
| 3.1 | 무리수 | 2 |
| 3.2 | 뿌리와 도 | 2 |
| 3.3 | 로그 | 2 |
| 4.1 | 삼각함수 | 2 |
| 4.2 | 역삼각함수 | 2 |
| 5 | 복소수 | 2 |
| "수치 표현" 주제로 테스트 | 2 | |
| 6 | 숫자 표현식 비교 | 4 |
| 7.1 | 부수를 사용하여 표현식 변환 | 2 |
| 7.2 | 거듭제곱 및 대수 표현식 변환 | 2 |
| 7.3 | 삼각함수 표현식 변환 | 2 |
| 기말 고사 | 2 | |
| 총 | 34 |
수학에서 허용되는 표기법을 사용하여 문제의 조건을 작성하면 간단히 표현이라고 불리는 소위 수학적 표현이 나타납니다. 이 기사에서는 다음에 대해 자세히 이야기하겠습니다. 숫자, 알파벳 및 변수 표현식: 각 유형에 대한 정의와 표현의 예를 제시하겠습니다.
페이지 탐색.
숫자 표현 - 그것은 무엇입니까?
수치 표현에 대한 지식은 거의 첫 번째 수학 수업부터 시작됩니다. 그러나 그들은 공식적으로 그들의 이름, 즉 숫자 표현을 조금 나중에 얻습니다. 예를 들어, M.I. Moro 과정을 따르면 2학년 수학 교과서 페이지에서 발생합니다. 거기에서 수치 표현의 개념은 다음과 같습니다: 3+5, 12+1−6, 18−(4+6), 1+1+1+1+1 등. - 이게 다야 숫자 표현식, 표현식에 표시된 작업을 수행하면 다음을 찾을 수 있습니다. 표현값.
수학을 공부하는 이 단계에서 수치 표현은 숫자, 괄호, 덧셈과 뺄셈 기호로 구성된 수학적 의미를 지닌 기록이라는 결론을 내릴 수 있습니다.
잠시 후, 곱셈과 나눗셈에 익숙해지고 나면 수치 표현의 기록에는 “·”와 “:” 기호가 포함되기 시작합니다. 6·4, (2+5)·2, 6:2, (9·3):3 등 몇 가지 예를 들어보겠습니다.
그리고 고등학교에서는 수치 표현의 다양한 녹음이 눈덩이가 산을 굴러 내려가는 것처럼 커집니다. 여기에는 일반 분수와 소수, 대분수와 음수, 거듭제곱, 근, 로그, 사인, 코사인 등이 포함됩니다.
모든 정보를 수치 표현의 정의로 요약해 보겠습니다.
정의.
숫자 표현허용되는 규칙에 따라 컴파일된 숫자, 산술 연산 기호, 분수 선, 근 기호(근수), 로그, 삼각법, 역삼각법 및 기타 함수 표기법, 대괄호 및 기타 특수 수학 기호의 조합입니다. 수학에서.
명시된 정의의 모든 구성 요소를 설명하겠습니다.
숫자 표현에는 자연수부터 실수까지, 심지어는 복잡한 숫자까지 절대적으로 모든 숫자가 포함될 수 있습니다. 즉, 숫자 표현에서 찾을 수 있습니다.
산술 연산의 기호로 모든 것이 명확합니다. 이는 각각 "+", "-", "·" 및 ":" 형식을 갖는 덧셈, 뺄셈, 곱셈 및 나눗셈의 기호입니다. 숫자 표현에는 이러한 기호 중 하나, 일부 또는 전체가 동시에 포함될 수 있으며, 더욱이 여러 번 포함될 수 있습니다. 다음은 이를 사용한 수치 표현의 예입니다: 3+6, 2.2+3.3+4.4+5.5, 41−2·4:2−5+12·3·2:2:3:12−1/12.
괄호에는 괄호가 포함된 수치식과 괄호가 없는 식이 모두 있습니다. 숫자 표현식에 괄호가 있는 경우 기본적으로
때로는 숫자 표현의 괄호에는 특정하고 별도로 표시된 특별한 목적이 있습니다. 예를 들어 숫자의 정수 부분을 나타내는 대괄호를 찾을 수 있으므로 숫자 표현 +2는 숫자 1.75의 정수 부분에 숫자 2가 더해진다는 의미입니다.
수치 표현식의 정의로부터 표현식에 , , log , ln , lg , 표기법 등이 포함될 수 있다는 것도 분명합니다. 다음은 이를 사용한 수치 표현식의 예입니다: tgπ , arcsin1+arccos1−π/2 및 
.
수치식의 나눗셈은 으로 표시할 수 있습니다. 이 경우 분수를 사용한 수치 표현이 이루어집니다. 다음은 그러한 표현식의 예입니다: 1/(1+2) , 5+(2 3+1)/(7−2,2)+3 및 
.
수치 표현에서 찾을 수 있는 특별한 수학 기호와 표기법으로 를 제시합니다. 예를 들어 모듈러스를 사용하여 수치 표현식을 보여 보겠습니다. 
.
리터럴 표현이란 무엇입니까?
문자 표현의 개념은 숫자 표현에 익숙해지면 거의 즉시 제공됩니다. 대략 이렇게 입력됩니다. 어떤 수식에서는 숫자 중 하나를 적지 않고 대신에 원(또는 사각형 등)을 배치하고, 그 원을 특정 숫자로 대체할 수 있다고 합니다. 예를 들어 항목을 살펴보겠습니다. 예를 들어 정사각형 대신 숫자 2를 넣으면 숫자 표현식 3+2가 됩니다. 따라서 원, 사각형 등 대신 편지를 쓰기로 동의했고, 편지가 포함된 표현을 이렇게 불렀습니다. 리터럴 표현. 예제로 돌아가서 이 항목에 정사각형 대신 문자 a를 넣으면 3+a 형식의 리터럴 표현을 얻습니다.
따라서 숫자 표현에서 특정 숫자를 나타내는 문자의 존재를 허용하면 소위 리터럴 표현이 생성됩니다. 이에 상응하는 정의를 제시해 보겠습니다.
정의.
특정 숫자를 나타내는 문자를 포함하는 표현식을 호출합니다. 문자 그대로의 표현.
이 정의에서 리터럴 표현은 문자를 포함할 수 있다는 점에서 숫자 표현과 근본적으로 다르다는 것이 분명합니다. 일반적으로 문자 표현에는 라틴 알파벳 소문자(a, b, c, ...)를 사용하고, 각도를 나타낼 때는 그리스 알파벳 소문자(α, β, γ, ...)를 사용합니다.
따라서 리터럴 표현은 숫자, 문자로 구성될 수 있으며 괄호, 루트 기호, 로그, 삼각법 및 기타 함수 등과 같이 숫자 표현에 나타날 수 있는 모든 수학 기호를 포함할 수 있습니다. 리터럴 표현에는 최소한 하나의 문자가 포함되어 있음을 별도로 강조합니다. 그러나 여러 개의 동일하거나 다른 문자가 포함될 수도 있습니다.
이제 리터럴 표현의 몇 가지 예를 들어 보겠습니다. 예를 들어, a+b는 문자 a와 b를 사용한 리터럴 표현식입니다. 다음은 리터럴 표현 5 x 3 −3 x 2 +x−2.5의 또 다른 예입니다. 다음은 복잡한 리터럴 표현의 예입니다. 
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변수가 있는 표현식
리터럴 표현에서 문자가 하나의 특정 값을 취하지 않지만 다른 값을 취할 수 있는 수량을 나타내는 경우 이 문자를 호출합니다. 변하기 쉬운그리고 그 표현은 변수가 있는 표현식.
정의.
변수를 사용한 표현식문자(전체 또는 일부)가 서로 다른 값을 갖는 수량을 나타내는 리터럴 표현입니다.
예를 들어, x 2 −1 표현식의 문자 x가 0에서 10까지의 간격에서 자연값을 취하면 x는 변수이고 표현식 x 2 −1은 변수 x가 있는 표현식입니다.
표현식에 여러 변수가 있을 수 있다는 점은 주목할 가치가 있습니다. 예를 들어, x와 y를 변수로 간주하면 표현식은 다음과 같습니다. 
는 두 개의 변수 x와 y를 갖는 표현식입니다.
일반적으로 리터럴 표현의 개념에서 변수가 있는 표현으로의 전환은 대수학을 공부하기 시작하는 7학년 때 발생합니다. 지금까지 문자 표현은 몇 가지 특정 작업을 모델링했습니다. 대수학에서는 특정 문제를 언급하지 않고 이 표현이 수많은 문제에 적합하다는 것을 이해하면서 표현을 보다 일반적으로 보기 시작합니다.
이 점의 결론에서 한 가지 점에 더 주목해 보겠습니다. 즉, 문자 표현의 출현만으로는 그 안에 포함된 문자가 변수인지 여부를 알 수 없습니다. 따라서 이러한 문자를 변수로 간주하는 것을 방해하는 것은 없습니다. 이 경우 "리터럴 표현"과 "변수가 있는 표현"이라는 용어의 차이가 사라집니다.
서지.
- 수학. 2개 수업 교과서 일반 교육용 조정이 있는 기관. 전자당 담체. 오후 2시 1부 / [M. I. Moro, M. A. Bantova, G. V. Beltyukova 등] - 3판. - M .: 교육, 2012. - 96 p .: 아픈. -(러시아 학교). - ISBN 978-5-09-028297-0.
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- 대수학:교과서 7학년 일반 교육 기관 / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; 편집자 S. A. Telyakovsky. - 17판. -M .: 교육, 2008. - 240p. : 아픈. - ISBN 978-5-09-019315-3.
- 대수학:교과서 8학년용. 일반 교육 기관 / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; 편집자 S. A. Telyakovsky. - 16판. -M .: 교육, 2008. - 271 p. : 아픈. - ISBN 978-5-09-019243-9.
리터럴 표현식(또는 변수 표현식)은 숫자, 문자 및 수학 기호로 구성된 수학 표현식입니다. 예를 들어, 다음 표현식은 리터럴입니다.
a+b+4
알파벳 표현을 사용하여 법칙, 공식, 방정식 및 함수를 작성할 수 있습니다. 문자 표현을 조작하는 능력은 대수학과 고등 수학에 대한 좋은 지식의 열쇠입니다.
수학의 모든 심각한 문제는 방정식을 푸는 데서 비롯됩니다. 그리고 방정식을 풀기 위해서는 문자 그대로의 표현을 사용할 수 있어야 합니다.
리터럴 표현을 사용하려면 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈, 수학 기본 법칙, 분수, 분수 연산, 비율 등 기본 산술에 정통해야 합니다. 그리고 단지 공부만 하는 것이 아니라 철저하게 이해하십시오.
수업 내용변수
리터럴 표현에 포함된 문자를 이라고 합니다. 변수. 예를 들어, 표현식에서 a+b+ 4개의 변수는 문자입니다. ㅏ그리고 비. 이러한 변수 대신 숫자를 대체하면 리터럴 표현식은 a+b+ 4는 값을 찾을 수 있는 수치식으로 변환됩니다.
변수를 대체하는 숫자를 호출합니다. 변수의 값. 예를 들어 변수의 값을 변경해 보겠습니다. ㅏ그리고 비. 등호는 값을 변경하는 데 사용됩니다.
a = 2, 비 = 3
변수의 값을 변경했습니다 ㅏ그리고 비. 변하기 쉬운 ㅏ값이 할당됨 2 , 변수 비값이 할당됨 3 . 결과적으로 문자 그대로의 표현은 a+b+4정규 숫자 표현식으로 변환됩니다. 2+3+4 그 값을 찾을 수 있습니다:
변수가 곱해지면 함께 쓰여집니다. 예를 들어, 녹음 ab입구와 같은 의미 a×b. 변수를 대체하면 ㅏ그리고 비숫자 2 그리고 3 , 그러면 6을 얻습니다.
숫자의 곱셈을 괄호 안에 표현식으로 함께 쓸 수도 있습니다. 예를 들어, 대신 a×(b + c)적어둘 수 있다 에이(비 + 씨). 곱셈의 분포 법칙을 적용하면 다음을 얻습니다. a(b + c)=ab+ac.
승산
리터럴 표현식에서는 숫자와 변수가 함께 쓰여지는 표기법을 자주 찾을 수 있습니다. 예를 들면 다음과 같습니다. 3a. 이는 실제로 숫자 3에 변수를 곱하는 약어입니다. ㅏ이 항목은 다음과 같습니다. 3×a .
즉, 표현은 3a숫자 3과 변수의 곱입니다. ㅏ. 숫자 3 이 작품에서 그들은 이렇게 부른다 계수. 이 계수는 변수가 몇 배나 증가하는지를 나타냅니다. ㅏ. 이 표현은 "라고 읽을 수 있습니다. ㅏ세 번" 또는 "세 번 ㅏ", 또는 "변수 값을 증가시킵니다. ㅏ세 번"이지만 대부분 "세 번"으로 읽습니다. ㅏ«
예를 들어, 변수가 ㅏ동일 5 , 표현식의 값 3a 15와 같을 것이다.
3 × 5 = 15
간단히 말해서 계수는 문자 앞(변수 앞)에 나타나는 숫자입니다.
예를 들어 여러 글자가 있을 수 있습니다. 5abc. 여기서 계수는 숫자입니다. 5 . 이 계수는 변수의 곱을 보여줍니다. 알파벳 5배 증가합니다. 이 표현은 "라고 읽을 수 있습니다. 알파벳 5배" 혹은 "표현의 가치를 높여라" 알파벳다섯 번" 또는 "다섯 번 알파벳 «.
변수 대신에 알파벳숫자 2, 3, 4를 대입한 다음 표현식의 값을 대입합니다. 5abc평등할 것이다 120
5 × 2 × 3 × 4 = 120
숫자 2, 3, 4가 어떻게 처음 곱해지고 결과 값이 5배 증가했는지 머릿속으로 상상할 수 있습니다.
계수의 부호는 계수에만 적용되며 변수에는 적용되지 않습니다.
표현을 고려해보세요 -6b. 계수 앞의 마이너스 6 , 계수에만 적용됩니다. 6 , 변수에 속하지 않습니다. 비. 이 사실을 이해하면 앞으로 표지판으로 실수를 저지르지 않을 수 있습니다.
표현의 가치를 찾아보자 -6b~에 b = 3.
-6b -6×b. 명확성을 위해 표현식을 작성해 보겠습니다. -6b확장된 형태로 변수의 값을 대체합니다. 비
−6b = −6 × b = −6 × 3 = −18
예시 2.표현식의 값 찾기 -6b~에 b = -5
표현을 적어보자 -6b확장된 형태로
−6b = −6 × b = −6 × (−5) = 30
예시 3.표현식의 값 찾기 −5a+b~에 a = 3그리고 b = 2
−5a+b이것은 약어입니다 −5 × a + b, 명확성을 위해 표현식을 작성합니다. −5×a+b확장된 형태로 변수의 값을 대체 ㅏ그리고 비
−5a + b = −5 × a + b = −5 × 3 + 2 = −15 + 2 = −13
때로는 문자가 계수 없이 쓰여지는 경우가 있습니다. 예를 들어 ㅏ또는 ab. 이 경우 계수는 1입니다.
그러나 전통적으로 단위는 적어 두지 않았으므로 단순히 적습니다. ㅏ또는 ab
문자 앞에 마이너스가 있으면 계수는 숫자입니다. −1 . 예를 들어, 다음 표현은 -a실제로는 다음과 같습니다 -1a. 이것은 마이너스 1과 변수의 곱입니다. ㅏ.결과는 다음과 같습니다.
−1 × a = −1a
여기에는 약간의 문제가 있습니다. 표현에 있어서 -a변수 앞의 빼기 기호 ㅏ실제로는 변수가 아닌 "보이지 않는 단위"를 나타냅니다. ㅏ. 그러므로 문제를 해결할 때는 주의해야 합니다.
예를 들어, 다음 표현식이 주어지면 -a그리고 우리는 그 값을 다음에서 찾으라는 요청을 받습니다. a = 2, 학교에서는 변수 대신 2를 사용했습니다. ㅏ그리고 답변을 받았습니다 −2 , 그것이 어떻게 나왔는지에 너무 집중하지 않고. 실제로는 마이너스 1에 양수 2를 곱한 것입니다.
−a = −1 × a
−1 × a = −1 × 2 = −2
표현이 주어지면 -a그리고 당신은 그 가치를 찾아야합니다 a = -2, 그런 다음 대체합니다. −2 변수 대신 ㅏ
−a = −1 × a
−1 × a = −1 × (−2) = 2
실수를 피하기 위해 처음에는 보이지 않는 단위를 명시적으로 기록할 수 있습니다.
예시 4.표현식의 값 찾기 알파벳~에 a=2 , b=3그리고 c=4
표현 알파벳 1×a×b×c.명확성을 위해 표현식을 작성해 보겠습니다. 알파벳 에, 비그리고 씨
1 × a × b × c = 1 × 2 × 3 × 4 = 24
실시예 5.표현식의 값 찾기 알파벳~에 a=−2 , b=−3그리고 c=−4
표현을 적어보자 알파벳확장된 형태로 변수의 값을 대체 에, 비그리고 씨
1 × a × b × c = 1 × (−2) × (−3) × (−4) = −24
실시예 6.표현식의 값 찾기 − 알파벳~에 a=3, b=5 및 c=7
표현 − 알파벳이것은 약어입니다 −1×a×b×c.명확성을 위해 표현식을 작성해 보겠습니다. − 알파벳확장된 형태로 변수의 값을 대체 에, 비그리고 씨
−abc = −1 × a × b × c = −1 × 3 × 5 × 7 = −105
실시예 7.표현식의 값 찾기 − 알파벳~에 a=−2 , b=−4 및 c=−3
표현을 적어보자 − 알파벳확장된 형태로:
−abc = −1 × a × b × c
변수의 값을 대체하자 ㅏ , 비그리고 씨
−abc = −1 × a × b × c = −1 × (−2) × (−4) × (−3) = 24
계수를 결정하는 방법
때로는 표현식의 계수를 결정해야 하는 문제를 해결해야 할 때도 있습니다. 원칙적으로 이 작업은 매우 간단합니다. 숫자를 올바르게 곱할 수 있으면 충분합니다.
수식의 계수를 결정하려면 이 수식에 포함된 숫자를 별도로 곱하고 문자를 별도로 곱해야 합니다. 결과 수치 인자는 계수가 됩니다.
예시 1. 7m×5a×(−3)×n
표현은 여러 요소로 구성됩니다. 이는 확장된 형태로 표현을 써보면 명확하게 알 수 있습니다. 즉, 작동한다 7m그리고 5a형식으로 작성하세요 7×m그리고 5×a
7 × m × 5 × a × (−3) × n
어떤 순서로든 인수를 곱할 수 있는 곱셈의 결합 법칙을 적용해 보겠습니다. 즉, 숫자와 문자(변수)를 별도로 곱합니다.
−3 × 7 × 5 × m × a × n = −105man
계수는 다음과 같습니다. −105 . 완료 후에는 문자 부분을 알파벳 순서로 정렬하는 것이 좋습니다.
−오전 105시
예시 2.표현식에서 계수를 결정합니다. −a×(−3)×2
−a × (−3) × 2 = −3 × 2 × (−a) = −6 × (−a) = 6a
계수는 6입니다.
예시 3.표현식에서 계수를 결정합니다. 
숫자와 문자를 따로 곱해 봅시다:
계수는 -1입니다. 계수 1을 쓰지 않는 것이 관례이므로 단위는 기록하지 않습니다.
겉보기에 단순해 보이는 이 작업은 우리에게 매우 잔인한 농담이 될 수 있습니다. 계수의 부호가 잘못 설정되는 경우가 종종 있습니다. 마이너스가 누락되었거나 반대로 헛되이 설정되었습니다. 이러한 성가신 실수를 피하려면 좋은 수준에서 공부해야 합니다.
리터럴 표현식의 추가
여러 숫자를 더하면 해당 숫자의 합이 얻어집니다. 더하는 숫자를 가수라고 합니다. 예를 들어 다음과 같은 여러 용어가 있을 수 있습니다.
1 + 2 + 3 + 4 + 5
표현식이 항으로 구성되면 더하기가 빼기보다 쉽기 때문에 평가하기가 훨씬 쉽습니다. 그러나 표현식에는 덧셈뿐만 아니라 뺄셈도 포함될 수 있습니다. 예를 들면 다음과 같습니다.
1 + 2 − 3 + 4 − 5
이 표현식에서 숫자 3과 5는 가수가 아니라 감수입니다. 그러나 뺄셈을 덧셈으로 대체하는 것을 방해하는 것은 없습니다. 그런 다음 다시 용어로 구성된 표현식을 얻습니다.
1 + 2 + (−3) + 4 + (−5)
이제 숫자 −3과 −5에 빼기 기호가 있다는 것은 중요하지 않습니다. 가장 중요한 것은 이 표현식의 모든 숫자가 덧셈 기호로 연결되어 있다는 것입니다. 즉, 표현식은 합계입니다.
두 표현 모두 1 + 2 − 3 + 4 − 5 그리고 1 + 2 + (−3) + 4 + (−5) 같은 값 - 마이너스 1
1 + 2 − 3 + 4 − 5 = −1
1 + 2 + (−3) + 4 + (−5) = −1
따라서 어딘가에서 뺄셈을 덧셈으로 대체하면 표현의 의미가 손상되지 않습니다.
리터럴 표현식에서 뺄셈을 더하기로 바꿀 수도 있습니다. 예를 들어 다음 표현식을 고려해보세요.
7a + 6b − 3c + 2d − 4s
7a + 6b + (−3c) + 2d + (−4s)
모든 변수 값에 대해 에이, 비, 씨, 디그리고 에스표현 7a + 6b − 3c + 2d − 4s 그리고 7a + 6b + (−3c) + 2d + (−4s) 같은 값이 됩니다.
학교 선생님이나 학원 선생님이 덧셈이 아닌 짝수(또는 변수)를 부를 수도 있다는 사실에 대비해야 합니다.
예를 들어 칠판에 차이점을 적는다면 a−b, 그러면 선생님이 그런 말은 안 할 거예요 ㅏ피감산이고, 비- 빼기 가능. 그는 하나의 공통 단어로 두 변수를 모두 호출합니다. 자귀. 그리고 모든 것은 형식의 표현 때문입니다. a−b수학자들은 합이 어떻게 되는지 본다 a+(−b). 이 경우 표현식은 합계가 되고 변수는 ㅏ그리고 (-b)용어가 됩니다.
유사한 용어
유사한 용어- 같은 글자 부분을 가지고 있는 용어입니다. 예를 들어 다음 표현을 생각해 보세요. 7a + 6b + 2a. 구성요소 7a그리고 2a동일한 문자 부분이 있음 - 가변 ㅏ. 그래서 조건은 7a그리고 2a비슷합니다.
일반적으로 표현식을 단순화하거나 방정식을 풀기 위해 유사한 용어가 추가됩니다. 이 작업을 비슷한 용어를 가져와.
유사한 용어를 가져오려면 이러한 용어의 계수를 더하고 결과 결과에 공통 문자 부분을 곱해야 합니다.
예를 들어, 다음 표현에 비슷한 용어를 제시해 보겠습니다. 3a + 4a + 5a. 이 경우 모든 용어는 유사합니다. 계수를 더하고 결과에 공통 문자 부분-변수를 곱해 봅시다 ㅏ
3a + 4a + 5a = (3 + 4 + 5)×a = 12a
이러한 용어는 일반적으로 마음에 떠오르고 결과는 즉시 기록됩니다.
3a + 4a + 5a = 12a
또한 다음과 같이 추론할 수 있습니다.
a 변수가 3개 있었고, a 변수가 4개 더 있었고, a 변수가 5개 더 추가되었습니다. 결과적으로 우리는 12개의 변수를 얻었습니다.
유사한 용어를 가져온 몇 가지 예를 살펴보겠습니다. 이 주제가 매우 중요하다는 점을 고려하여 먼저 모든 세부 사항을 자세히 적어 보겠습니다. 여기에서는 모든 것이 매우 간단하다는 사실에도 불구하고 대부분의 사람들은 많은 실수를 범합니다. 주로 무지가 아니라 부주의 때문입니다.
예시 1. 3에이+ 2에이+ 6에이+ 8ㅏ
이 표현식의 계수를 더하고 결과 결과에 공통 문자 부분을 곱해 보겠습니다.
3에이+ 2에이+ 6에이+ 8에이=(3 + 2 + 6 + 8)× a = 19ㅏ
건설(3 + 2 + 6 + 8) ×꼭 적을 필요는 없으니 바로 답을 적어드리겠습니다.
3 에이+ 2 에이+ 6 에이+ 8 a = 19 ㅏ
예시 2.표현에 비슷한 용어를 사용하세요. 2a+a
두 번째 항 ㅏ계수 없이 작성되었지만 실제로는 앞에 계수가 있습니다. 1 , 기록되지 않았기 때문에 볼 수 없습니다. 따라서 표현식은 다음과 같습니다.
2a + 1a
이제 비슷한 용어를 제시해 보겠습니다. 즉, 계수를 더하고 그 결과에 공통 문자 부분을 곱합니다.
2a + 1a = (2 + 1) × a = 3a
솔루션을 간략하게 작성해 보겠습니다.
2a + a = 3a
2a+a, 다르게 생각할 수 있습니다.
예시 3.표현에 비슷한 용어를 사용하세요. 2a−a
뺄셈을 덧셈으로 바꾸자:
2a + (−a)
두 번째 항 (-a)계수 없이 작성되었지만 실제로는 다음과 같습니다. (-1a).계수 −1 기록되지 않았기 때문에 다시 보이지 않습니다. 따라서 표현식은 다음과 같습니다.
2a + (-1a)
이제 비슷한 용어를 제시해 보겠습니다. 계수를 더하고 결과에 총 문자 부분을 곱해 보겠습니다.
2a + (−1a) = (2 + (−1)) × a = 1a = a
일반적으로 더 짧게 작성됩니다.
2a − a = a
비슷한 용어를 표현에 사용하기 2a−a다르게 생각할 수도 있습니다:
변수 a가 2개 있어서 변수 a를 하나 빼고 결과적으로 변수 a는 하나만 남았습니다.
예시 4.표현에 비슷한 용어를 사용하세요. 6a − 3a + 4a − 8a
6a − 3a + 4a − 8a = 6a + (−3a) + 4a + (−8a)
이제 비슷한 용어를 제시해 보겠습니다. 계수를 더하고 그 결과에 총 글자 부분을 곱해 봅시다
(6 + (−3) + 4 + (−8)) × a = −1a = −a
솔루션을 간략하게 작성해 보겠습니다.
6a − 3a + 4a − 8a = −a
유사한 용어의 여러 다른 그룹을 포함하는 표현이 있습니다. 예를 들어, 3a + 3b + 7a + 2b. 이러한 표현식의 경우 다른 표현식과 동일한 규칙이 적용됩니다. 즉, 계수를 더하고 결과에 공통 문자 부분을 곱하는 것입니다. 그러나 실수를 피하기 위해 다른 줄로 다른 용어 그룹을 강조 표시하는 것이 편리합니다.
예를 들어, 표현식에서 3a + 3b + 7a + 2b변수를 포함하는 용어 ㅏ, 한 줄로 밑줄을 그을 수 있으며 변수를 포함하는 용어는 비, 두 줄로 강조할 수 있습니다.
이제 비슷한 용어를 제시할 수 있습니다. 즉, 계수를 더하고 결과 결과에 전체 문자 부분을 곱합니다. 이는 두 용어 그룹 모두에 대해 수행되어야 합니다. 즉, 변수를 포함하는 용어의 경우 ㅏ변수를 포함하는 용어의 경우 비.
3a + 3b + 7a + 2b = (3+7)×a + (3 + 2)×b = 10a + 5b
다시 한 번 반복합니다. 표현은 간단하며 유사한 용어를 염두에 둘 수 있습니다.
3a + 3b + 7a + 2b = 10a + 5b
실시예 5.표현에 비슷한 용어를 사용하세요. 5a − 6a −7b + b
가능한 경우 뺄셈을 덧셈으로 바꾸겠습니다.
5a − 6a −7b + b = 5a + (−6a) + (−7b) + b
비슷한 용어에 다른 줄로 밑줄을 그어 보겠습니다. 변수가 포함된 용어 ㅏ한 줄에 밑줄을 긋고 변수를 포함하는 용어 비, 두 줄로 밑줄을 긋습니다.
이제 비슷한 용어를 제시할 수 있습니다. 즉, 계수를 더하고 결과 결과에 공통 문자 부분을 곱합니다.
5a + (−6a) + (−7b) + b = (5 + (−6))×a + ((−7) + 1)×b = −a + (−6b)
표현식에 문자 요소가 없는 일반 숫자가 포함되어 있으면 별도로 추가됩니다.
실시예 6.표현에 비슷한 용어를 사용하세요. 4a + 3a − 5 + 2b + 7
가능한 경우 뺄셈을 덧셈으로 바꾸겠습니다.
4a + 3a − 5 + 2b + 7 = 4a + 3a + (−5) + 2b + 7
비슷한 용어를 제시해 보겠습니다. 숫자 −5 그리고 7 문자 요소는 없지만 유사한 용어이므로 추가하기만 하면 됩니다. 그리고 용어 2b이 표현식에서 문자 요소가 있는 유일한 것이기 때문에 변경되지 않은 상태로 유지됩니다. 비,그리고 그것을 추가할 것이 아무것도 없습니다:
4a + 3a + (−5) + 2b + 7 = (4 + 3)×a + 2b + (−5) + 7 = 7a + 2b + 2
솔루션을 간략하게 작성해 보겠습니다.
4a + 3a − 5 + 2b + 7 = 7a + 2b + 2
동일한 문자 부분을 가진 용어가 표현의 동일한 부분에 위치하도록 용어를 정렬할 수 있습니다.
실시예 7.표현에 비슷한 용어를 사용하세요. 5t+2x+3x+5t+x
표현식은 여러 항의 합이므로 이를 통해 어떤 순서로든 평가할 수 있습니다. 따라서 변수를 포함하는 항은 티, 표현식의 시작 부분에 쓸 수 있으며 변수를 포함하는 용어 엑스표현식 끝에:
5t + 5t + 2x + 3x + x
이제 비슷한 용어를 제시할 수 있습니다.
5t + 5t + 2x + 3x + x = (5+5)×t + (2+3+1)×x = 10t + 6x
솔루션을 간략하게 작성해 보겠습니다.
5t + 2x + 3x + 5t + x = 10t + 6x
반대 숫자의 합은 0입니다. 이 규칙은 리터럴 표현에도 적용됩니다. 표현식에 동일한 용어가 포함되어 있지만 반대 기호가 있는 경우 유사한 용어를 줄이는 단계에서 해당 용어를 제거할 수 있습니다. 즉, 합이 0이므로 표현식에서 간단히 제거하면 됩니다.
실시예 8.표현에 비슷한 용어를 사용하세요. 3t – 4t – 3t + 2t
가능한 경우 뺄셈을 덧셈으로 바꾸겠습니다.
3t − 4t − 3t + 2t = 3t + (−4t) + (−3t) + 2t
구성요소 3톤그리고 (−3t)반대입니다. 반대항의 합은 0입니다. 표현식에서 이 0을 제거하면 표현식의 값이 변경되지 않으므로 이를 제거하겠습니다. 해당 용어를 간단히 삭제하여 삭제하겠습니다. 3톤그리고 (−3t)
결과적으로 다음과 같은 표현이 남게 됩니다. (−4t) + 2t. 이 표현식에서 비슷한 용어를 추가하고 최종 답을 얻을 수 있습니다.
(−4t) + 2t = ((−4) + 2)×t = −2t
솔루션을 간략하게 작성해 보겠습니다.
표현식 단순화
"표현을 단순화하라" 아래는 단순화해야 할 표현입니다. 표현식 단순화더 간단하고 짧게 만드는 것을 의미합니다.
사실 우리는 이미 분수를 줄였을 때 표현식을 단순화해 왔습니다. 축소 후 분수는 더 짧아지고 이해하기 쉬워졌습니다.
다음 예를 고려하십시오. 표현을 단순화하세요.
이 작업은 문자 그대로 다음과 같이 이해될 수 있습니다. "이 표현식에 유효한 동작을 적용하되 더 간단하게 만드세요." .
이 경우 분수를 줄일 수 있습니다. 즉, 분수의 분자와 분모를 2로 나눌 수 있습니다.
너는 어떤 다른 일을 할 수 있니? 결과 분수를 계산할 수 있습니다. 그런 다음 소수점 이하 0.5를 얻습니다.
결과적으로 분수는 0.5로 단순화되었습니다.
이러한 문제를 해결할 때 가장 먼저 스스로에게 물어봐야 할 질문은 다음과 같습니다. “무엇을 할 수 있나요?” . 할 수 있는 행동이 있고 할 수 없는 행동이 있기 때문입니다.
기억해야 할 또 다른 중요한 점은 표현을 단순화한 후에 표현의 의미가 바뀌어서는 안 된다는 것입니다. 표현으로 돌아가 보겠습니다. 이 표현은 수행할 수 있는 나눗셈을 나타냅니다. 이 나눗셈을 수행하면 이 표현식의 값이 0.5가 됩니다.
하지만 우리는 표현을 단순화하고 새로운 단순화된 표현을 얻었습니다. 새로운 단순화된 표현식의 값은 여전히 0.5입니다.
하지만 우리는 또한 계산을 통해 표현식을 단순화하려고 노력했습니다. 그 결과, 최종 답변은 0.5로 나왔습니다.
따라서 식을 어떻게 단순화하더라도 결과 식의 값은 여전히 0.5와 같습니다. 이는 단순화가 모든 단계에서 올바르게 수행되었음을 의미합니다. 이것이 바로 표현을 단순화할 때 우리가 노력해야 하는 것입니다. 표현의 의미는 우리의 행동으로 인해 영향을 받아서는 안 됩니다.
리터럴 표현을 단순화해야 하는 경우가 많습니다. 숫자 표현식과 동일한 단순화 규칙이 적용됩니다. 표현식의 값이 변경되지 않는 한 유효한 작업을 수행할 수 있습니다.
몇 가지 예를 살펴보겠습니다.
예시 1.표현식 단순화 5.21초 × 세로 × 2.5
이 표현을 단순화하려면 숫자를 따로 곱하고 문자를 따로 곱하면 됩니다. 이 작업은 계수를 결정하는 방법을 배웠을 때 살펴본 작업과 매우 유사합니다.
5.21s × t × 2.5 = 5.21 × 2.5 × s × t = 13.025 × st = 13.025st
그래서 표현은 5.21초 × 세로 × 2.5단순화 13,025번째.
예시 2.표현식 단순화 −0.4 × (−6.3b) × 2
두 번째 작품 (−6.3b)우리가 이해할 수 있는 형식으로 번역될 수 있습니다. 즉, 다음 형식으로 작성됩니다( −6,3)×b ,그런 다음 숫자를 별도로 곱하고 문자를 별도로 곱하십시오.
− 0,4 × (−6.3b) × 2 = − 0,4 × (−6.3) × b × 2 = 5.04b
그래서 표현은 −0.4 × (−6.3b) × 2 단순화 5.04b
예시 3.표현식 단순화 
숫자가 어디에 있고 문자가 어디에 있는지 명확하게 확인하기 위해 이 표현식을 좀 더 자세히 작성해 보겠습니다.
이제 숫자를 따로 곱하고 문자를 따로 곱해 보겠습니다.
그래서 표현은 단순화 -abc.이 솔루션은 다음과 같이 간략하게 작성할 수 있습니다.
표현식을 단순화할 때 분수는 일반 분수에서처럼 맨 끝 부분이 아니라 풀이 과정 중에 줄어들 수 있습니다. 예를 들어, 해결 과정에서 형식의 표현을 발견하면 분자와 분모를 계산하고 다음과 같은 작업을 수행할 필요가 전혀 없습니다.
분자와 분모 모두에서 인수를 선택하고 이들 인수를 최대공약수로 줄여 분수를 줄일 수 있습니다. 즉, 분자와 분모가 무엇으로 나누어졌는지 자세히 기술하지 않는 용도.
예를 들어, 분자에서 인수는 12이고 분모에서 인수 4는 4로 줄어들 수 있습니다. 우리는 4를 염두에 두고 12와 4를 이 4로 나눈 다음 이 숫자 옆에 답을 적습니다. 먼저 그것들을 지웠고
이제 결과적인 작은 요소를 곱할 수 있습니다. 이 경우 그 중 몇 가지가 있으며 마음 속에 곱할 수 있습니다.
시간이 지남에 따라 특정 문제를 해결할 때 표현이 "뚱뚱해지기" 시작할 수 있으므로 빠른 계산에 익숙해지는 것이 좋습니다. 마음으로 계산할 수 있는 것은 마음 속에서도 계산되어야 합니다. 빨리 줄일 수 있는 것은 빨리 줄여야 합니다.
예시 4.표현식 단순화 
그래서 표현은 단순화
실시예 5.표현식 단순화 
숫자를 따로 곱하고 문자를 따로 곱해 봅시다:
그래서 표현은 단순화 백만.
실시예 6.표현식 단순화 
숫자가 어디에 있고 문자가 어디에 있는지 명확하게 확인하기 위해 이 표현식을 좀 더 자세히 작성해 보겠습니다.
이제 숫자를 따로 곱하고 문자를 따로 곱해 보겠습니다. 계산을 쉽게 하기 위해 소수 −6.4와 대분수를 일반 분수로 변환할 수 있습니다.
그래서 표현은 단순화
이 예제의 솔루션은 훨씬 더 짧게 작성할 수 있습니다. 다음과 같이 보일 것입니다:
실시예 7.표현식 단순화 
숫자를 따로, 문자를 따로 곱해보자. 계산의 용이성을 위해 대분수와 소수 분수 0.1과 0.6을 일반 분수로 변환할 수 있습니다.
그래서 표현은 단순화 ABCD. 세부 사항을 건너뛰면 이 솔루션을 훨씬 더 짧게 작성할 수 있습니다.
분수가 어떻게 감소했는지 확인하십시오. 이전 요소를 축소하여 얻은 새로운 요소도 축소할 수 있습니다.
이제 하지 말아야 할 일에 대해 이야기해 봅시다. 표현식을 단순화할 때 표현식이 곱이 아닌 합인 경우 숫자와 문자를 곱하는 것은 엄격히 금지됩니다.
예를 들어 표현식을 단순화하고 싶다면 5a+4b, 다음과 같이 작성할 수 없습니다.
이는 두 숫자를 더하라는 요청을 받고 더하는 대신 곱한 것과 같습니다.
변수 값을 대체하는 경우 ㅏ그리고 비표현 5a+4b일반적인 숫자 표현으로 변합니다. 변수가 있다고 가정해보자. ㅏ그리고 비다음과 같은 의미를 갖습니다:
a = 2, b = 3
그러면 표현식의 값은 22와 같습니다.
5a + 4b = 5 × 2 + 4 × 3 = 10 + 12 = 22
먼저 곱셈을 수행한 후 결과를 더합니다. 그리고 숫자와 문자를 곱하여 이 표현식을 단순화하려고 하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다.
5a + 4b = 5 × 4 × a × b = 20ab
20ab = 20 × 2 × 3 = 120
표현의 완전히 다른 의미가 밝혀졌습니다. 첫 번째 경우에는 효과가 있었습니다. 22 , 두 번째 경우 120 . 즉 식을 단순화하면 5a+4b잘못 수행되었습니다.
표현식을 단순화한 후에는 해당 값이 동일한 변수 값으로 변경되어서는 안 됩니다. 원래 표현식에 변수 값을 대입하면 하나의 값이 얻어지고, 표현식을 단순화한 후에는 단순화 전과 동일한 값을 얻어야 합니다.
표정으로 5a+4b당신이 할 수 있는 일은 정말 아무것도 없습니다. 그것은 그것을 단순화하지 않습니다.
표현식에 비슷한 용어가 포함된 경우 표현식을 단순화하는 것이 목표라면 해당 용어를 추가할 수 있습니다.
실시예 8.표현식 단순화 0.3a−0.4a+a
0.3a − 0.4a + a = 0.3a + (−0.4a) + a = (0.3 + (−0.4) + 1)×a = 0.9a
또는 더 짧게: 0.3a − 0.4a + 에이 = 0.9a
그래서 표현은 0.3a−0.4a+a단순화 0.9a
실시예 9.표현식 단순화 −7.5a − 2.5b + 4a
이 표현을 단순화하기 위해 비슷한 용어를 추가할 수 있습니다.
−7.5a − 2.5b + 4a = −7.5a + (−2.5b) + 4a = ((−7.5) + 4)×a + (−2.5b) = −3.5a + (−2.5b)
또는 더 짧음 −7.5a − 2.5b + 4a = −3.5a + (−2.5b)
용어 (−2.5b)넣을 것이 없었기 때문에 변경되지 않았습니다.
실시예 10.표현식 단순화 
이 표현을 단순화하기 위해 비슷한 용어를 추가할 수 있습니다.
계수는 계산의 편의를 위한 것이었습니다.
그래서 표현은 단순화
실시예 11.표현식 단순화 
이 표현을 단순화하기 위해 비슷한 용어를 추가할 수 있습니다.
그래서 표현은 로 단순화되었습니다.
이 예에서는 첫 번째 계수와 마지막 계수를 먼저 추가하는 것이 더 적절합니다. 이 경우 간단한 해결책이 있습니다. 다음과 같이 보일 것입니다:
실시예 12.표현식 단순화 
이 표현을 단순화하기 위해 비슷한 용어를 추가할 수 있습니다.
그래서 표현은 단순화 
.
추가할 내용이 없었기 때문에 용어는 변경되지 않았습니다.
이 솔루션은 훨씬 더 짧게 작성할 수 있습니다. 다음과 같이 보일 것입니다:
짧은 솔루션에서는 뺄셈을 덧셈으로 대체하고 분수가 공통 분모로 어떻게 축소되는지 자세히 설명하는 단계를 건너뛰었습니다.
또 다른 차이점은 자세한 솔루션에서 답변이 다음과 같다는 것입니다. , 그러나 짧게는 . 사실 둘은 같은 표현입니다. 차이점은 첫 번째 경우 뺄셈이 덧셈으로 대체된다는 점입니다. 처음에는 해법을 자세히 기록할 때 가능한 한 뺄셈을 덧셈으로 대체했고 이 대체는 답을 위해 보존되었기 때문입니다.
신원. 동일하게 동일한 표현식
표현을 단순화하면 더 간단해지고 짧아집니다. 단순화된 표현식이 올바른지 확인하려면 먼저 단순화해야 했던 이전 표현식에 변수 값을 대입한 다음 단순화된 새 표현식으로 대체하면 충분합니다. 두 표현식의 값이 동일하면 단순화된 표현식이 참입니다.
간단한 예를 살펴보겠습니다. 표현을 단순화해야합니다 2a×7b. 이 표현식을 단순화하기 위해 숫자와 문자를 별도로 곱할 수 있습니다.
2a × 7b = 2 × 7 × a × b = 14ab
표현식을 올바르게 단순화했는지 확인해 보겠습니다. 이렇게 하려면 변수의 값을 대체해 보겠습니다. ㅏ그리고 비먼저 단순화해야 할 첫 번째 표현으로 들어간 다음 단순화된 두 번째 표현으로 들어갑니다.
변수의 값을 보자 ㅏ , 비다음과 같습니다:
a = 4, b = 5
이를 첫 번째 표현식으로 대체해 보겠습니다. 2a×7b
이제 단순화 결과 나온 표현식에 동일한 변수 값을 대입해 보겠습니다. 2a×7b, 즉 표현식에서 오전 14시
14ab = 14 × 4 × 5 = 280
우리는 그럴 때를 본다 a=4그리고 b=5첫 번째 표현식의 값 2a×7b두 번째 표현의 의미 오전 14시동일한
2a × 7b = 2 × 4 × 7 × 5 = 280
14ab = 14 × 4 × 5 = 280
다른 값에 대해서도 마찬가지입니다. 예를 들어 a=1그리고 b=2
2a × 7b = 2 × 1 × 7 × 2 =28
14ab = 14 × 1 × 2 =28
따라서 표현식 변수의 모든 값에 대해 2a×7b그리고 오전 14시같은 값입니다. 그런 표현을 이렇게 부른다. 동일하게 같음.
우리는 표현 사이에 결론을 내립니다. 2a×7b그리고 오전 14시같은 값이기 때문에 등호를 넣을 수 있습니다.
2a × 7b = 14ab
동등은 등호(=)로 연결된 표현식입니다.
그리고 형태의 평등 2a×7b = 14ab~라고 불리는 신원.
항등성은 변수의 모든 값에 대해 참인 동등성입니다.
신원의 다른 예:
a + b = b + a
a(b+c) = ab + ac
a(bc) = (ab)c
그렇습니다. 우리가 연구한 수학의 법칙은 항등식입니다.
진정한 수치적 평등 역시 정체성입니다. 예를 들어:
2 + 2 = 4
3 + 3 = 5 + 1
10 = 7 + 2 + 1
복잡한 문제를 풀 때 계산을 더 쉽게 하기 위해 복잡한 표현식은 이전 표현식과 동일하고 더 간단한 표현식으로 대체됩니다. 이 대체품을 표현식의 동일한 변형아니면 단순히 표현을 변형하다.
예를 들어 표현식을 단순화했습니다. 2a×7b, 그리고 더 간단한 표현을 얻었습니다 오전 14시. 이러한 단순화를 항등변환이라고 부를 수 있습니다.
다음과 같은 작업을 자주 찾을 수 있습니다. "평등이 정체성임을 증명하라" 그런 다음 증명해야 할 평등이 제공됩니다. 일반적으로 이 평등은 평등의 왼쪽과 오른쪽의 두 부분으로 구성됩니다. 우리의 임무는 평등의 한 부분으로 정체성 변환을 수행하고 다른 부분을 얻는 것입니다. 또는 등식의 양쪽에 동일한 변환을 수행하고 등식의 양쪽에 동일한 표현식이 포함되어 있는지 확인하십시오.
예를 들어, 평등하다는 것을 증명해 봅시다. 0.5a × 5b = 2.5ab아이덴티티입니다.
이 등식의 좌변을 단순화해 보겠습니다. 이렇게하려면 숫자와 문자를 별도로 곱하십시오.
0.5 × 5 × a × b = 2.5ab
2.5ab = 2.5ab
작은 항등 변환의 결과로 평등의 왼쪽이 평등의 오른쪽과 동일해졌습니다. 그래서 우리는 평등하다는 것을 증명했습니다. 0.5a × 5b = 2.5ab아이덴티티입니다.
동일한 변환을 통해 우리는 숫자를 더하고, 빼고, 곱하고, 나누고, 분수를 줄이고, 유사한 용어를 추가하고, 일부 표현식을 단순화하는 방법을 배웠습니다.
그러나 이것이 수학에 존재하는 모든 동일한 변환은 아닙니다. 더 많은 동일한 변환이 있습니다. 우리는 앞으로 이것을 여러 번 보게 될 것입니다.
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