namai › Įvairūs › Kas yra logaritmų apibrėžimas. Logaritmas – savybės, formulės, grafikas

Kas yra logaritmų apibrėžimas. Logaritmas – savybės, formulės, grafikas

pagrindinės savybės.

logax + logay = log(x y);
logax − logay = log(x: y).

tuo pačiu pagrindu

log6 4 + log6 9.

Dabar šiek tiek apsunkinkime užduotį.

Logaritmų sprendimo pavyzdžiai

Ką daryti, jei logaritmo bazėje arba argumente yra laipsnis? Tada šio laipsnio rodiklis gali būti paimtas iš logaritmo ženklo pagal šias taisykles:

Žinoma, visos šios taisyklės turi prasmę, jei laikomasi ODZ logaritmo: a > 0, a ≠ 1, x >

Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę:

Perėjimas prie naujo pagrindo

Pateikiame logaritmo logaksą. Tada bet kurio skaičiaus c, kurio c > 0 ir c ≠ 1, lygybė yra teisinga:

Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę:

Taip pat žiūrėkite:

Pagrindinės logaritmo savybės

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Rodiklis yra 2,718281828…. Norėdami prisiminti eksponentą, galite išstudijuoti taisyklę: eksponentas yra 2,7 ir du kartus už Levo Tolstojaus gimimo metus.

Pagrindinės logaritmų savybės

Žinodami šią taisyklę, žinosite ir tikslią eksponento vertę, ir Levo Tolstojaus gimimo datą.

Logaritmų pavyzdžiai

Paimkite išraiškų logaritmą

1 pavyzdys
A). x=10ac^2 (a>0, c>0).

Pagal savybes 3,5 apskaičiuojame

4. Kur .

2 pavyzdys Raskite x if

3 pavyzdys. Pateikiame logaritmų reikšmę

Apskaičiuokite log(x), jei

Pagrindinės logaritmų savybės

Logaritmus, kaip ir bet kurį skaičių, galima sudėti, atimti ir konvertuoti visais įmanomais būdais. Bet kadangi logaritmai nėra visiškai įprasti skaičiai, čia yra taisyklės, kurios vadinamos pagrindinės savybės.

Privalote žinoti šias taisykles – be jų negalima išspręsti jokios rimtos logaritminės problemos. Be to, jų labai mažai – visko galima išmokti per vieną dieną. Taigi pradėkime.

Logaritmų sudėjimas ir atėmimas

Apsvarstykite du logaritmus su ta pačia baze: logax ir logay. Tada juos galima pridėti ir atimti, ir:

logax + logay = log(x y);
logax − logay = log(x: y).

Taigi, logaritmų suma yra lygi sandaugos logaritmui, o skirtumas yra koeficiento logaritmui. Atkreipkite dėmesį: pagrindinis dalykas čia yra tuo pačiu pagrindu. Jei bazės skiriasi, šios taisyklės neveikia!

Šios formulės padės apskaičiuoti logaritminę išraišką net tada, kai neatsižvelgiama į atskiras jos dalis (žr. pamoką „Kas yra logaritmas“). Pažvelkite į pavyzdžius ir pamatykite:

Kadangi logaritmų pagrindai yra vienodi, naudojame sumos formulę:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę: log2 48 − log2 3.

Pagrindai yra vienodi, mes naudojame skirtumo formulę:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę: log3 135 − log3 5.

Vėlgi, bazės yra tos pačios, todėl turime:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Kaip matote, originalios išraiškos sudarytos iš „blogų“ logaritmų, kurie nėra nagrinėjami atskirai. Tačiau po transformacijų pasirodo visai normalūs skaičiai. Daugelis testų yra pagrįsti šiuo faktu. Taip, kontrolė – egzamine siūlomi panašūs išsireiškimai visiškai rimtai (kartais – praktiškai be pakeitimų).

Rodiklio pašalinimas iš logaritmo

Nesunku pastebėti, kad paskutinė taisyklė seka pirmąsias dvi. Bet vis tiek geriau tai atsiminti – kai kuriais atvejais tai gerokai sumažins skaičiavimų kiekį.

Žinoma, visos šios taisyklės turi prasmę, jei laikomasi ODZ logaritmo: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Ir dar vienas dalykas: išmokite taikyti visas formules ne tik iš kairės į dešinę, bet ir atvirkščiai, t.y. prieš logaritmo ženklą esančius skaičius galite įvesti į patį logaritmą. Tai yra tai, ko dažniausiai reikia.

Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę: log7 496.

Atsikratykime argumento laipsnio pagal pirmąją formulę:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę:

Atkreipkite dėmesį, kad vardiklis yra logaritmas, kurio bazė ir argumentas yra tikslios galios: 16 = 24; 49 = 72. Turime:

Manau, kad paskutinį pavyzdį reikia paaiškinti. Kur dingo logaritmai? Iki pat paskutinės akimirkos dirbame tik su vardikliu.

Logaritmų formulės. Logaritmai yra sprendimų pavyzdžiai.

Jie pateikė ten stovinčio logaritmo bazę ir argumentą laipsnių pavidalu ir išėmė rodiklius - gavo „trijų aukštų“ trupmeną.

Dabar pažvelkime į pagrindinę dalį. Skaitiklis ir vardiklis turi tą patį skaičių: log2 7. Kadangi log2 7 ≠ 0, tai trupmeną galime sumažinti – vardiklyje liks 2/4. Pagal aritmetikos taisykles keturis galima perkelti į skaitiklį, kas buvo padaryta. Rezultatas yra atsakymas: 2.

Perėjimas prie naujo pagrindo

Kalbėdamas apie logaritmų sudėjimo ir atėmimo taisykles, konkrečiai pabrėžiau, kad jos veikia tik su tais pačiais pagrindais. Ką daryti, jei pagrindai skiriasi? O jei jie nėra tikslūs to paties skaičiaus laipsniai?

Į pagalbą ateina perėjimo į naują bazę formulės. Suformuluojame juos teoremos forma:

Pateikiame logaritmo logaksą. Tada bet kurio skaičiaus c, kurio c > 0 ir c ≠ 1, lygybė yra teisinga:

Konkrečiai, jei įdėsime c = x, gausime:

Iš antrosios formulės išplaukia, kad galima sukeisti logaritmo bazę ir argumentą, tačiau tokiu atveju „apverčiama“ visa išraiška, t.y. logaritmas yra vardiklyje.

Šios formulės retai randamos įprastose skaitinėse išraiškose. Įvertinti, kiek jos patogios, galima tik sprendžiant logaritmines lygtis ir nelygybes.

Tačiau yra užduočių, kurių niekaip nepavyks išspręsti, nebent pereinant prie naujo pagrindo. Panagrinėkime keletą iš šių:

Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę: log5 16 log2 25.

Atkreipkite dėmesį, kad abiejų logaritmų argumentai yra tikslūs eksponentai. Išimkime rodiklius: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Dabar apverskime antrąjį logaritmą:

Kadangi sandauga nesikeičia nuo faktorių permutacijos, ramiai padauginome keturis ir du, o tada išsiaiškinome logaritmus.

Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę: log9 100 lg 3.

Pirmojo logaritmo pagrindas ir argumentas yra tikslios galios. Užsirašykime ir atsikratykime rodiklių:

Dabar atsikratykime dešimtainio logaritmo, pereidami prie naujos bazės:

Pagrindinė logaritminė tapatybė

Dažnai sprendžiant skaičių reikia pateikti kaip logaritmą tam tikrai bazei. Šiuo atveju mums padės formulės:

Pirmuoju atveju skaičius n tampa veiksniu argumente. Skaičius n gali būti visiškai bet koks, nes tai tik logaritmo reikšmė.

Antroji formulė iš tikrųjų yra perfrazuotas apibrėžimas. Jis vadinamas taip:

Iš tiesų, kas atsitiks, jei skaičius b bus padidintas iki tokio laipsnio, kad šio laipsnio skaičius b suteiktų skaičių a? Teisingai: tai tas pats skaičius a. Dar kartą atidžiai perskaitykite šią pastraipą - daugelis žmonių ant jos „kabo“.

Kaip ir naujosios bazinės konvertavimo formulės, pagrindinė logaritminė tapatybė kartais yra vienintelis galimas sprendimas.

Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę:

Atkreipkite dėmesį, kad log25 64 = log5 8 – tiesiog paėmė kvadratą iš pagrindo ir logaritmo argumento. Atsižvelgiant į galių dauginimo iš tos pačios bazės taisykles, gauname:

Jei kas nors nežino, tai buvo tikra užduotis iš Vieningo valstybinio egzamino 🙂

Logaritminis vienetas ir logaritminis nulis

Baigdamas pateiksiu dvi tapatybes, kurias sunku pavadinti savybėmis - tai greičiau logaritmo apibrėžimo pasekmės. Jie nuolat susiduria su problemomis ir, stebėtinai, sukelia problemų net „pažengusiems“ studentams.

logaa = 1 yra. Atsiminkite kartą ir visiems laikams: logaritmas bet kokiam pagrindui a nuo pačios šios bazės yra lygus vienetui.
loga 1 = 0 yra. Bazė a gali būti bet kokia, bet jei argumentas yra vienas, logaritmas lygus nuliui! Kadangi a0 = 1 yra tiesioginė apibrėžimo pasekmė.

Tai visos savybės. Būtinai praktikuokite juos pritaikydami praktiškai! Pamokos pradžioje atsisiųskite cheat lapą, atsispausdinkite ir išspręskite problemas.

Taip pat žiūrėkite:

Skaičiaus b logaritmas iki pagrindo a reiškia išraišką. Apskaičiuoti logaritmą reiškia rasti tokią galią x (), kuriai esant lygybė yra teisinga

Pagrindinės logaritmo savybės

Aukščiau pateiktos savybės turi būti žinomos, nes jų pagrindu beveik visos problemos ir pavyzdžiai išsprendžiami remiantis logaritmais. Likusios egzotiškos savybės gali būti išvestos matematiškai manipuliuojant šiomis formulėmis

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Skaičiuojant logaritmų sumos ir skirtumo formules (3.4) tenka susidurti gana dažnai. Likusieji yra šiek tiek sudėtingi, tačiau atliekant daugybę užduočių jie yra būtini norint supaprastinti sudėtingas išraiškas ir apskaičiuoti jų reikšmes.

Dažni logaritmų atvejai

Kai kurie įprasti logaritmai yra tie, kurių bazė yra net dešimt, eksponentinė arba dviženklė.
Dešimties bazinis logaritmas paprastai vadinamas baziniu dešimties logaritmu ir tiesiog žymimas lg(x).

Iš protokolo matyti, kad pagrindai protokole nėra surašyti. Pavyzdžiui

Natūralusis logaritmas yra logaritmas, kurio pagrindas yra eksponentas (žymimas ln(x)).

Rodiklis yra 2,718281828…. Norėdami prisiminti eksponentą, galite išstudijuoti taisyklę: eksponentas yra 2,7 ir du kartus už Levo Tolstojaus gimimo metus. Žinodami šią taisyklę, žinosite ir tikslią eksponento vertę, ir Levo Tolstojaus gimimo datą.

Ir dar vienas svarbus bazinis dviejų logaritmas yra

Funkcijos logaritmo išvestinė lygi vienetui, padalytam iš kintamojo

Integralinis arba antiderivinis logaritmas nustatomas pagal priklausomybę

Aukščiau pateiktos medžiagos pakanka, kad galėtumėte išspręsti daugybę problemų, susijusių su logaritmais ir logaritmais. Siekdamas įsisavinti medžiagą, pateiksiu tik kelis įprastus pavyzdžius iš mokyklos programos ir universitetų.

Logaritmų pavyzdžiai

Paimkite išraiškų logaritmą

1 pavyzdys
A). x=10ac^2 (a>0, c>0).

Pagal savybes 3,5 apskaičiuojame

2.
Pagal logaritmų skirtumų savybę turime

3.
Naudodami savybes 3.5 randame

4. Kur .

Iš pažiūros sudėtinga išraiška, naudojanti daugybę taisyklių, supaprastinama iki formos

Logaritmo verčių radimas

2 pavyzdys Raskite x if

Sprendimas. Skaičiavimui taikome 5 ir 13 savybes iki paskutinio termino

Pakeisti įraše ir apraudoti

Kadangi bazės yra lygios, išraiškas sulyginame

Logaritmai. Pirmas lygis.

Pateikiame logaritmų reikšmę

Apskaičiuokite log(x), jei

Sprendimas: Paimkite kintamojo logaritmą, kad užrašytumėte logaritmą per terminų sumą

Tai tik pažinties su logaritmais ir jų savybėmis pradžia. Praktikuokite skaičiavimus, praturtinkite savo praktinius įgūdžius – greitai jums prireiks įgytų žinių sprendžiant logaritmines lygtis. Išstudijavę pagrindinius tokių lygčių sprendimo būdus, mes išplėsime jūsų žinias kitai ne mažiau svarbiai temai - logaritminėms nelygybėms ...

Pagrindinės logaritmų savybės

Privalote žinoti šias taisykles – be jų negalima išspręsti jokios rimtos logaritminės problemos. Be to, jų labai mažai – visko galima išmokti per vieną dieną. Taigi pradėkime.

Logaritmų sudėjimas ir atėmimas

Apsvarstykite du logaritmus su ta pačia baze: logax ir logay. Tada juos galima pridėti ir atimti, ir:

logax + logay = log(x y);
logax − logay = log(x: y).

Šios formulės padės apskaičiuoti logaritminę išraišką net tada, kai neatsižvelgiama į atskiras jos dalis (žr. pamoką „Kas yra logaritmas“). Pažvelkite į pavyzdžius ir pamatykite:

Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę: log6 4 + log6 9.

Kadangi logaritmų pagrindai yra vienodi, naudojame sumos formulę:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę: log2 48 − log2 3.

Pagrindai yra vienodi, mes naudojame skirtumo formulę:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę: log3 135 − log3 5.

Vėlgi, bazės yra tos pačios, todėl turime:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Rodiklio pašalinimas iš logaritmo

Dabar šiek tiek apsunkinkime užduotį. Ką daryti, jei logaritmo bazėje arba argumente yra laipsnis? Tada šio laipsnio rodiklis gali būti paimtas iš logaritmo ženklo pagal šias taisykles:

Nesunku pastebėti, kad paskutinė taisyklė seka pirmąsias dvi. Bet vis tiek geriau tai atsiminti – kai kuriais atvejais tai gerokai sumažins skaičiavimų kiekį.

Kaip išspręsti logaritmus

Tai yra tai, ko dažniausiai reikia.

Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę: log7 496.

Atsikratykime argumento laipsnio pagal pirmąją formulę:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę:

Atkreipkite dėmesį, kad vardiklis yra logaritmas, kurio bazė ir argumentas yra tikslios galios: 16 = 24; 49 = 72. Turime:

Manau, kad paskutinį pavyzdį reikia paaiškinti. Kur dingo logaritmai? Iki pat paskutinės akimirkos dirbame tik su vardikliu. Jie pateikė ten stovinčio logaritmo bazę ir argumentą laipsnių pavidalu ir išėmė rodiklius - gavo „trijų aukštų“ trupmeną.

Perėjimas prie naujo pagrindo

Į pagalbą ateina perėjimo į naują bazę formulės. Suformuluojame juos teoremos forma:

Pateikiame logaritmo logaksą. Tada bet kurio skaičiaus c, kurio c > 0 ir c ≠ 1, lygybė yra teisinga:

Konkrečiai, jei įdėsime c = x, gausime:

Iš antrosios formulės išplaukia, kad galima sukeisti logaritmo bazę ir argumentą, tačiau tokiu atveju „apverčiama“ visa išraiška, t.y. logaritmas yra vardiklyje.

Šios formulės retai randamos įprastose skaitinėse išraiškose. Įvertinti, kiek jos patogios, galima tik sprendžiant logaritmines lygtis ir nelygybes.

Tačiau yra užduočių, kurių niekaip nepavyks išspręsti, nebent pereinant prie naujo pagrindo. Panagrinėkime keletą iš šių:

Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę: log5 16 log2 25.

Atkreipkite dėmesį, kad abiejų logaritmų argumentai yra tikslūs eksponentai. Išimkime rodiklius: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Dabar apverskime antrąjį logaritmą:

Kadangi sandauga nesikeičia nuo faktorių permutacijos, ramiai padauginome keturis ir du, o tada išsiaiškinome logaritmus.

Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę: log9 100 lg 3.

Pirmojo logaritmo pagrindas ir argumentas yra tikslios galios. Užsirašykime ir atsikratykime rodiklių:

Dabar atsikratykime dešimtainio logaritmo, pereidami prie naujos bazės:

Pagrindinė logaritminė tapatybė

Dažnai sprendžiant skaičių reikia pateikti kaip logaritmą tam tikrai bazei. Šiuo atveju mums padės formulės:

Pirmuoju atveju skaičius n tampa veiksniu argumente. Skaičius n gali būti visiškai bet koks, nes tai tik logaritmo reikšmė.

Antroji formulė iš tikrųjų yra perfrazuotas apibrėžimas. Jis vadinamas taip:

Kaip ir naujosios bazinės konvertavimo formulės, pagrindinė logaritminė tapatybė kartais yra vienintelis galimas sprendimas.

Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę:

Atkreipkite dėmesį, kad log25 64 = log5 8 – tiesiog paėmė kvadratą iš pagrindo ir logaritmo argumento. Atsižvelgiant į galių dauginimo iš tos pačios bazės taisykles, gauname:

Jei kas nors nežino, tai buvo tikra užduotis iš Vieningo valstybinio egzamino 🙂

Logaritminis vienetas ir logaritminis nulis

logaa = 1 yra. Atsiminkite kartą ir visiems laikams: logaritmas bet kokiam pagrindui a nuo pačios šios bazės yra lygus vienetui.
loga 1 = 0 yra. Bazė a gali būti bet kokia, bet jei argumentas yra vienas, logaritmas lygus nuliui! Kadangi a0 = 1 yra tiesioginė apibrėžimo pasekmė.

Tai visos savybės. Būtinai praktikuokite juos pritaikydami praktiškai! Pamokos pradžioje atsisiųskite cheat lapą, atsispausdinkite ir išspręskite problemas.

logaritmas teigiamas skaičius N į bazę(b> 0, b 1 ) vadinamas eksponentu x , į kurią reikia pakelti b gauti N .

Logaritmo žymėjimas:

Šis įrašas atitinka šį:b x = N .

PAVYZDŽIAI: 3 žurnalas 81 \u003d 4, nes 3 4 \u003d 81;

Prisijungti 1/3 27 = – 3 , nes (1/3) - 3 = 3 3 = 27 .

Aukščiau pateiktas logaritmo apibrėžimas gali būti parašytas kaip tapatybė:

Pagrindinės logaritmų savybės.

1) žurnalas b= 1 , nes b 1 = b.

2) žurnalas 1 = 0 , nes b 0 = 1 .

3) Produkto logaritmas yra lygus faktorių logaritmų sumai:

log( ab) = žurnalas a+logas b.

4) Dalinio logaritmas yra lygus skirtumui tarp dividendo ir daliklio logaritmų:

log( a/b) = žurnalas a– žurnalas b.

5) Laipsnio logaritmas lygus eksponento sandaugai ir jo bazės logaritmui:

žurnalas (b k ) = kžurnalas b.

Šios nuosavybės pasekmės yra šios:rąsto šaknis lygus šaknies skaičiaus logaritmui, padalytam iš šaknies laipsnio:

6) Jei logaritmo pagrindas yra laipsnis, tada reikšmė laipsnio atvirkštinį skaičių galima ištraukti iš žurnalo ženklo rimas:

Paskutinės dvi savybės gali būti sujungtos į vieną:

7) Perėjimo modulio formulė (ty. e . perėjimas iš vienos bazėslogaritmas į kitą bazę):

Konkrečiu atveju, kai N = a mes turime:

Dešimtainis logaritmas paskambino bazinis logaritmas 10. Jis yra nurodytas lg , t.y. žurnalas 10 N = lg N. Skaičių 10, 100, 1000, ... p yra atitinkamai 1, 2, 3, …,tie. turi tiek daug teigiamo

vienetų, kiek nulių yra logaritmo skaičiuje po vieneto. Skaičių logaritmai 0,1, 0,01, 0,001, ... p avny atitinkamai –1, –2, –3, …, t.y. turėti tiek neigiamų, kiek nulių yra logaritmo skaičiuje prieš vieną ( skaičiavimas ir nulis sveikųjų skaičių). Logaritmai kiti skaičiai turi trupmeninę dalį mantisa. Visaslogaritmo dalis vadinama charakteristika. Dėl praktiškosdešimtainiai logaritmai yra patogiausi.

natūralusis logaritmas paskambino bazinis logaritmas e. Jis žymimas ln , t.y. žurnalas eN = ln N. Skaičius eyra neracionalu,apytikslė vertė yra 2,718281828. Tai yra riba, prie kurios linkęs skaičius(1 + 1 / n) n su neribotu padidėjimun(cm. pirmoji nuostabi riba ).
Kad ir kaip būtų keista, natūralūs logaritmai pasirodė labai patogūs atliekant įvairias su funkcijų analize susijusias operacijas.Bazinių logaritmų skaičiavimasedaug greičiau nei bet koks kitas pagrindas.

Skaičiaus b logaritmas iki pagrindo a yra eksponentas, iki kurio reikia pakelti skaičių a, kad gautumėte skaičių b.

Jei tada .

Logaritmas yra labai didelis svarbus matematinis dydis, nes logaritminis skaičiavimas leidžia ne tik spręsti eksponenlines lygtis, bet ir operuoti su eksponentais, diferencijuoti eksponentinę ir logaritminę funkcijas, jas integruoti ir pervesti į priimtinesnę skaičiuoti formą.

Susisiekus su

Visos logaritmų savybės yra tiesiogiai susijusios su eksponentinių funkcijų savybėmis. Pavyzdžiui, tai, kad reiškia kad:

Pažymėtina, kad sprendžiant konkrečias problemas logaritmų savybės gali būti svarbesnės ir naudingesnės nei darbo su galiomis taisyklės.

Štai keletas tapatybių:

Čia yra pagrindinės algebrinės išraiškos:

;

Dėmesio! gali egzistuoti tik esant x>0, x≠1, y>0.

Pabandykime suprasti klausimą, kas yra natūralūs logaritmai. Atskiras domėjimasis matematika atstovauja du tipus- pirmasis turi skaičių „10“ prie pagrindo ir vadinamas „dešimtainiu logaritmu“. Antrasis vadinamas natūraliu. Natūralaus logaritmo pagrindas yra skaičius e. Šiame straipsnyje mes išsamiai kalbėsime apie jį.

Pavadinimai:

lg x - dešimtainis;
ln x - natūralus.

Naudodami tapatybę matome, kad ln e = 1, taip pat kad lg 10 = 1.

natūralaus žurnalo grafikas

Natūralaus logaritmo grafiką sudarome standartiniu klasikiniu taškais. Jei norite, galite patikrinti, ar mes teisingai sukuriame funkciją, išnagrinėję funkciją. Tačiau prasminga išmokti jį sukurti „rankiniu būdu“, kad žinotumėte, kaip teisingai apskaičiuoti logaritmą.

Funkcija: y = log x. Parašykime taškų, per kuriuos eis grafikas, lentelę:

Paaiškinkime, kodėl pasirinkome tokias argumento x reikšmes. Viskas priklauso nuo tapatybės: Natūralaus logaritmo atveju ši tapatybė atrodys taip:

Patogumui galime paimti penkis atskaitos taškus:

;

Taigi natūralių logaritmų skaičiavimas yra gana paprasta užduotis, be to, supaprastina operacijų su laipsniais skaičiavimą, paverčiant juos į normalus dauginimas.

Sukūrę grafiką taškais, gauname apytikslį grafiką:

Natūralaus logaritmo sritis (ty visos galiojančios X argumento reikšmės) yra visi skaičiai, didesni už nulį.

Dėmesio! Natūralaus logaritmo sritis apima tik teigiamus skaičius! Apimtis neapima x=0. Tai neįmanoma remiantis logaritmo egzistavimo sąlygomis.

Reikšmių diapazonas (ty visos galiojančios funkcijos y = ln x reikšmės) yra visi skaičiai intervale .

natūralaus žurnalo limitas

Studijuojant grafiką kyla klausimas – kaip elgiasi funkcija, kai y<0.

Akivaizdu, kad funkcijos grafikas linkęs kirsti y ašį, bet negalės to padaryti, nes x natūralusis logaritmas<0 не существует.

Natūrali riba žurnalas galima parašyti taip:

Logaritmo pagrindo keitimo formulė

Susitvarkyti su natūraliu logaritmu yra daug lengviau nei su logaritmu, kurio pagrindas yra savavališkas. Štai kodėl mes stengsimės išmokti bet kurį logaritmą sumažinti iki natūraliojo arba išreikšti jį savavališkai natūraliais logaritmais.

Pradėkime nuo logaritminės tapatybės:

Tada bet koks skaičius arba kintamasis y gali būti pavaizduotas kaip:

kur x yra bet koks skaičius (teigiamas pagal logaritmo savybes).

Ši išraiška gali būti logaritmizuota iš abiejų pusių. Padarykime tai su savavališka baze z:

Panaudokime savybę (tik vietoj "su" turime posakį):

Iš čia gauname universalią formulę:

Visų pirma, jei z = e, tada:

Mums pavyko pavaizduoti logaritmą į savavališką bazę per dviejų natūralių logaritmų santykį.

Mes sprendžiame problemas

Norėdami geriau naršyti natūraliuose logaritmuose, apsvarstykite kelių problemų pavyzdžius.

1 užduotis. Būtina išspręsti lygtį ln x = 3.

Sprendimas: Naudodami logaritmo apibrėžimą: jei , tada , gauname:

2 užduotis. Išspręskite lygtį (5 + 3 * ln (x - 3)) = 3.

Sprendimas: Naudodami logaritmo apibrėžimą: jei , tada , gauname:

Dar kartą taikome logaritmo apibrėžimą:

Taigi:

Galite apytiksliai apskaičiuoti atsakymą arba palikti jį šioje formoje.

3 užduotis. Išspręskite lygtį.

Sprendimas: Pakeiskime: t = ln x. Tada lygtis bus tokia:

Turime kvadratinę lygtį. Raskime jo diskriminatorių:

Statistikoje ir tikimybių teorijoje logaritminiai dydžiai yra labai dažni. Tai nenuostabu, nes skaičius e – dažnai atspindi eksponentinių reikšmių augimo tempą.

Informatikos moksle, programavime ir kompiuterių teorijoje logaritmai yra gana dažni, pavyzdžiui, norint atmintyje saugoti N bitų.

Fraktalų ir matmenų teorijose logaritmai naudojami nuolat, nes tik jų pagalba nustatomi fraktalų matmenys.

Mechanikoje ir fizikoje nėra skyriaus, kuriame nebūtų naudojami logaritmai. Barometrinis skirstinys, visi statistinės termodinamikos principai, Ciolkovskio lygtis ir panašiai yra procesai, kuriuos galima aprašyti tik matematiškai naudojant logaritmus.

Chemijoje logaritmas naudojamas Nernsto lygtyse, redokso procesų aprašymuose.

Nuostabu, kad net muzikoje, norint sužinoti oktavos dalių skaičių, naudojami logaritmai.

Natūralusis logaritmas Funkcija y=ln x jos savybės

Natūralaus logaritmo pagrindinės savybės įrodymas

Teigiamo skaičiaus b logaritmas bazei a (a>0, a nelygus 1) yra skaičius c, kad a c = b: log a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)

Atkreipkite dėmesį, kad neteigiamojo skaičiaus logaritmas nėra apibrėžtas. Taip pat logaritmo pagrindas turi būti teigiamas skaičius, nelygus 1. Pavyzdžiui, jei kvadratu -2, gauname skaičių 4, bet tai nereiškia, kad 4 bazės -2 logaritmas yra 2.

Pagrindinė logaritminė tapatybė

a log a b = b (a > 0, a ≠ 1) (2)

Svarbu, kad šios formulės dešiniosios ir kairiosios dalių apibrėžimo sritys būtų skirtingos. Kairioji pusė apibrėžiama tik b>0, a>0 ir a ≠ 1. Dešinė pusė apibrėžiama bet kuriam b ir visiškai nepriklauso nuo a. Taigi pagrindinio logaritminio „tapatumo“ taikymas sprendžiant lygtis ir nelygybes gali lemti DPV pasikeitimą.

Dvi akivaizdžios logaritmo apibrėžimo pasekmės

log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) (3)
log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) (4)

Išties, keldami skaičių a iki pirmo laipsnio, gauname tą patį skaičių, o pakeldami iki nulinio laipsnio – vienetą.

Produkto logaritmas ir koeficiento logaritmas

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (5)

Log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (6)

Norėčiau perspėti moksleivius dėl neapgalvoto šių formulių naudojimo sprendžiant logaritmines lygtis ir nelygybes. Kai jie naudojami „iš kairės į dešinę“, ODZ susiaurėja, o nuo logaritmų sumos arba skirtumo pereinant prie sandaugos ar koeficiento logaritmo, ODZ plečiasi.

Iš tiesų, išraiška log a (f (x) g (x)) apibrėžiama dviem atvejais: kai abi funkcijos yra griežtai teigiamos arba kai f (x) ir g (x) yra mažesnės už nulį.

Pavertę šią išraišką į sumą log a f (x) + log a g (x) , esame priversti apsiriboti tik tuo atveju, kai f(x)>0 ir g(x)>0. Leidžiamų verčių diapazonas susiaurėja, o tai kategoriškai nepriimtina, nes gali būti prarasti sprendimai. Panaši problema yra su (6) formule.

Laipsnį galima paimti iš logaritmo ženklo

log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) (7)

Ir vėl norėčiau paraginti tikslumo. Apsvarstykite šį pavyzdį:

Log a (f (x) 2 = 2 log a f (x)

Kairioji lygybės pusė akivaizdžiai apibrėžta visoms f(x) reikšmėms, išskyrus nulį. Dešinė pusė skirta tik f(x)>0! Išimdami galią iš logaritmo, vėl susiauriname ODZ. Taikant atvirkštinę procedūrą, leistinų verčių diapazonas išplečiamas. Visos šios pastabos galioja ne tik 2 galiai, bet ir bet kuriai lyginei galiai.

Persikėlimo į naują bazę formulė

log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) (8)

Tas retas atvejis, kai konvertuojant ODZ nepasikeičia. Jei bazę c pasirinkote išmintingai (teigiama ir nelygu 1), perkėlimo į naują bazę formulė yra visiškai saugi.

Jei pasirinksime skaičių b kaip naują bazę c, gausime svarbų konkretų (8) formulės atvejį:

Log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) (9)

Keletas paprastų logaritmų pavyzdžių

1 pavyzdys Apskaičiuokite: lg2 + lg50.
Sprendimas. lg2 + lg50 = lg100 = 2. Naudojome logaritmų sumos formulę (5) ir dešimtainio logaritmo apibrėžimą.

2 pavyzdys Apskaičiuokite: lg125/lg5.
Sprendimas. lg125/lg5 = log 5 125 = 3. Naudojome naują bazinio perėjimo formulę (8).

Su logaritmais susijusių formulių lentelė

a log a b = b (a > 0, a ≠ 1)

log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1)

log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1)

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)

log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1)

log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1)

kilęs iš jo apibrėžimo. Ir taip skaičiaus logaritmas b dėl priežasties A apibrėžiamas kaip eksponentas, iki kurio skaičius turi būti padidintas a norėdami gauti numerį b(logaritmas egzistuoja tik teigiamiems skaičiams).

Iš šios formuluotės matyti, kad skaičiavimas x=log a b, yra lygiavertis lygties sprendimui kirvis=b. Pavyzdžiui, log 2 8 = 3 nes 8 = 2 3 . Logaritmo formuluotė leidžia pagrįsti, kad jeigu b=a c, tada skaičiaus logaritmas b dėl priežasties a lygus Su. Taip pat aišku, kad logaritmo tema yra glaudžiai susijusi su skaičiaus galios tema.

Naudodami logaritmus, kaip ir bet kokius skaičius, galite atlikti sudėjimo, atimties operacijos ir transformuotis visais įmanomais būdais. Tačiau atsižvelgiant į tai, kad logaritmai nėra visiškai įprasti skaičiai, čia galioja savo specialios taisyklės, kurios vadinamos pagrindinės savybės.