ഫംഗ്ഷൻ ഗ്രാഫുകളുടെ പഠനം. ഡിഫറൻഷ്യൽ കാൽക്കുലസ് രീതികൾ ഉപയോഗിച്ച് ഒരു ഫംഗ്ഷൻ പഠിക്കുന്നു

ഡിഫറൻഷ്യൽ കാൽക്കുലസിന്റെ ഏറ്റവും പ്രധാനപ്പെട്ട ജോലികളിലൊന്നാണ് വികസനം സാധാരണ ഉദാഹരണങ്ങൾപ്രവർത്തന സ്വഭാവത്തെക്കുറിച്ചുള്ള പഠനങ്ങൾ.

ഫംഗ്‌ഷൻ y=f(x) ഇടവേളയിൽ തുടർച്ചയായി ആണെങ്കിൽ, അതിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് പോസിറ്റീവ് അല്ലെങ്കിൽ ഇടവേളയിൽ (a,b) 0 ന് തുല്യമാണെങ്കിൽ, y=f(x) (f"(x)0) വർദ്ധിക്കുന്നു. y=f (x) എന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ സെഗ്‌മെന്റിൽ തുടർച്ചയാണെങ്കിൽ, അതിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് നെഗറ്റീവ് അല്ലെങ്കിൽ ഇടവേളയിൽ (a,b) 0 ന് തുല്യമാണെങ്കിൽ, y=f(x) (f"(x)0 ആയി കുറയുന്നു. )

ഫംഗ്‌ഷൻ കുറയുകയോ കൂടുകയോ ചെയ്യാത്ത ഇടവേളകളെ ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഏകതാനതയുടെ ഇടവേളകൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ആദ്യത്തെ ഡെറിവേറ്റീവിന്റെ അടയാളം മാറുന്ന നിർവചനത്തിന്റെ ഡൊമെയ്‌നിലെ പോയിന്റുകളിൽ മാത്രമേ ഒരു ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഏകതാനത മാറാൻ കഴിയൂ. ഒരു ഫംഗ്‌ഷന്റെ ആദ്യ ഡെറിവേറ്റീവ് അപ്രത്യക്ഷമാകുന്ന അല്ലെങ്കിൽ ഒരു വിച്ഛേദിക്കുന്ന പോയിന്റുകളെ ക്രിട്ടിക്കൽ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

സിദ്ധാന്തം 1 (ഒരു തീവ്രതയുടെ നിലനിൽപ്പിന് പര്യാപ്തമായ ആദ്യ വ്യവസ്ഥ).

x 0 എന്ന ബിന്ദുവിൽ y=f(x) ഫംഗ്‌ഷൻ നിർവചിക്കട്ടെ, കൂടാതെ ഒരു അയൽപക്കം δ>0 ഉണ്ടായിരിക്കട്ടെ, അതായത്, പ്രവർത്തനം ഇടവേളയിൽ തുടർച്ചയായും ഇടവേളയിൽ (x 0 -δ,x 0)u(x 0 -δ,x 0)u( x 0 , x 0 +δ) , കൂടാതെ അതിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് ഈ ഓരോ ഇടവേളകളിലും ഒരു സ്ഥിരമായ അടയാളം നിലനിർത്തുന്നു. x 0 -δ,x 0), (x 0 , x 0 +δ) എന്നിവയിൽ ഡെറിവേറ്റീവിന്റെ അടയാളങ്ങൾ വ്യത്യസ്‌തമാണെങ്കിൽ, x 0 ഒരു എക്‌സ്‌ട്രീം പോയിന്റാണ്, അവ പൊരുത്തപ്പെടുന്നെങ്കിൽ, x 0 ഒരു എക്‌സ്ട്രീം പോയിന്റല്ല . കൂടാതെ, x0 എന്ന പോയിന്റിലൂടെ കടന്നുപോകുമ്പോൾ, ഡെറിവേറ്റീവ് ചിഹ്നം പ്ലസ് മുതൽ മൈനസിലേക്ക് മാറ്റുന്നുവെങ്കിൽ (x 0 f"(x)>0 ന്റെ ഇടതുവശത്ത് തൃപ്തമായാൽ, x 0 ആണ് പരമാവധി പോയിന്റ്; ഡെറിവേറ്റീവ് മാറുകയാണെങ്കിൽ മൈനസ് മുതൽ പ്ലസ് വരെ (x 0 എക്സിക്യൂട്ട് ചെയ്ത f"(x) ന്റെ വലതുവശത്ത്<0, то х 0 - точка минимума.

ഫംഗ്‌ഷന്റെ പരമാവധി, കുറഞ്ഞ പോയിന്റുകളെ എക്‌സ്‌ട്രീം പോയിന്റുകൾ എന്നും ഫംഗ്‌ഷന്റെ പരമാവധി, മിനിമം പോയിന്റുകളെ അതിന്റെ അങ്ങേയറ്റത്തെ മൂല്യങ്ങൾ എന്നും വിളിക്കുന്നു.

സിദ്ധാന്തം 2 (ഒരു പ്രാദേശിക എക്സ്ട്രീമിന്റെ ആവശ്യമായ അടയാളം).

y=f(x) എന്ന ഫംഗ്‌ഷന് നിലവിലെ x=x 0-ൽ ഒരു എക്സ്ട്രീം ഉണ്ടെങ്കിൽ, ഒന്നുകിൽ f'(x 0)=0 അല്ലെങ്കിൽ f'(x 0) നിലവിലില്ല.
ഡിഫറൻഷ്യബിൾ ഫംഗ്‌ഷന്റെ എക്‌സ്ട്രീം പോയിന്റുകളിൽ, അതിന്റെ ഗ്രാഫിലേക്കുള്ള ടാൻജെന്റ് ഓക്‌സ് അക്ഷത്തിന് സമാന്തരമാണ്.

ഒരു എക്സ്ട്രീമിനായുള്ള ഒരു ഫംഗ്ഷൻ പഠിക്കുന്നതിനുള്ള അൽഗോരിതം:

1) ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുക.
2) നിർണായക പോയിന്റുകൾ കണ്ടെത്തുക, അതായത്. ഫംഗ്ഷൻ തുടർച്ചയുള്ളതും ഡെറിവേറ്റീവ് പൂജ്യമോ അല്ലാത്തതോ ആയ പോയിന്റുകൾ.
3) ഓരോ പോയിന്റിന്റെയും അയൽപക്കം പരിഗണിക്കുക, ഈ പോയിന്റിന്റെ ഇടത്തോട്ടും വലത്തോട്ടും ഡെറിവേറ്റീവിന്റെ അടയാളം പരിശോധിക്കുക.
4) അങ്ങേയറ്റത്തെ പോയിന്റുകളുടെ കോർഡിനേറ്റുകൾ നിർണ്ണയിക്കുക; ഇതിനായി, നിർണായക പോയിന്റുകളുടെ മൂല്യങ്ങൾ ഈ ഫംഗ്ഷനിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക. തീവ്രതയ്ക്ക് മതിയായ വ്യവസ്ഥകൾ ഉപയോഗിച്ച്, ഉചിതമായ നിഗമനങ്ങളിൽ എത്തിച്ചേരുക.

ഉദാഹരണം 18. ഒരു എക്സ്ട്രീമിനായി y=x 3 -9x 2 +24x ഫംഗ്ഷൻ പരിശോധിക്കുക

പരിഹാരം.
1) y"=3x 2 -18x+24=3(x-2)(x-4).
2) ഡെറിവേറ്റീവിനെ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാക്കുമ്പോൾ, നമ്മൾ x 1 =2, x 2 =4 കണ്ടെത്തുന്നു. IN ഈ സാഹചര്യത്തിൽഡെറിവേറ്റീവ് എല്ലായിടത്തും നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നു; ഇതിനർത്ഥം കണ്ടെത്തിയ രണ്ട് പോയിന്റുകൾ ഒഴികെ, മറ്റ് നിർണായക പോയിന്റുകളൊന്നുമില്ല.
3) y"=3(x-2)(x-4) എന്ന ഡെറിവേറ്റീവിന്റെ ചിഹ്നം ചിത്രം 1-ൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നതുപോലെ ഇടവേളയെ ആശ്രയിച്ച് മാറുന്നു. x=2 എന്ന പോയിന്റിലൂടെ കടന്നുപോകുമ്പോൾ, ഡെറിവേറ്റീവ് ചിഹ്നം പ്ലസ് മുതൽ മൈനസിലേക്ക് മാറുന്നു, കൂടാതെ x=4 എന്ന പോയിന്റിലൂടെ കടന്നുപോകുമ്പോൾ - മൈനസിൽ നിന്ന് പ്ലസ് വരെ.
4) പോയിന്റ് x=2-ൽ ഫംഗ്‌ഷന് പരമാവധി y max =20, പോയിന്റ് x=4 - കുറഞ്ഞത് y മിനിറ്റ് =16.

സിദ്ധാന്തം 3. (ഒരു തീവ്രതയുടെ നിലനിൽപ്പിന് മതിയായ രണ്ടാമത്തെ വ്യവസ്ഥ).

f"(x 0) എന്നും x 0 എന്ന ബിന്ദുവിൽ f""(x 0) ഉണ്ടെന്നും അനുവദിക്കുക. അപ്പോൾ f""(x 0)>0 ആണെങ്കിൽ, x 0 ആണ് ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ പോയിന്റ്, എങ്കിൽ f""(x) 0)<0, то х 0 – точка максимума функции y=f(x).

ഒരു സെഗ്‌മെന്റിൽ, y=f(x) ഫംഗ്‌ഷന് ഏറ്റവും ചെറിയ (y ഏറ്റവും കുറഞ്ഞത്) അല്ലെങ്കിൽ ഏറ്റവും വലിയ (y ഏറ്റവും ഉയർന്ന) മൂല്യത്തിൽ എത്താൻ കഴിയും, ഒന്നുകിൽ ഇടവേളയിൽ (a;b) കിടക്കുന്ന ഫംഗ്‌ഷന്റെ നിർണായക പോയിന്റുകളിൽ അല്ലെങ്കിൽ സെഗ്മെന്റിന്റെ അറ്റങ്ങൾ.

സെഗ്‌മെന്റിൽ y=f(x) എന്ന തുടർച്ചയായ ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഏറ്റവും വലുതും ചെറുതുമായ മൂല്യങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള അൽഗോരിതം:

1) f"(x) കണ്ടെത്തുക.
2) f"(x)=0 അല്ലെങ്കിൽ f"(x) നിലവിലില്ലാത്ത പോയിന്റുകൾ കണ്ടെത്തി അവയിൽ നിന്ന് സെഗ്‌മെന്റിനുള്ളിൽ കിടക്കുന്നവ തിരഞ്ഞെടുക്കുക.
3) ഘട്ടം 2-ൽ ലഭിച്ച പോയിന്റുകളിലും സെഗ്‌മെന്റിന്റെ അറ്റത്തും y=f(x) ഫംഗ്‌ഷന്റെ മൂല്യം കണക്കാക്കുക, അവയിൽ നിന്ന് ഏറ്റവും വലുതും ചെറുതും തിരഞ്ഞെടുക്കുക: അവ യഥാക്രമം ഏറ്റവും വലുത് (y) ഇടവേളയിലെ ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഏറ്റവും വലുതും ചെറുതും (y ഏറ്റവും കുറഞ്ഞത്) മൂല്യങ്ങളും.

ഉദാഹരണം 19. സെഗ്‌മെന്റിൽ y=x 3 -3x 2 -45+225 എന്ന തുടർച്ചയായ ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഏറ്റവും വലിയ മൂല്യം കണ്ടെത്തുക.

1) നമുക്ക് സെഗ്മെന്റിൽ y"=3x 2 -6x-45 ഉണ്ട്
2) എല്ലാ x-നും y" എന്ന ഡെറിവേറ്റീവ് നിലവിലുണ്ട്. നമുക്ക് y"=0 എന്ന പോയിന്റുകൾ കണ്ടെത്താം; നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു:
3x 2 -6x-45=0
x 2 -2x-15=0
x 1 =-3; x 2 =5
3) x=0 y=225, x=5 y=50, x=6 y=63 പോയിന്റുകളിൽ ഫംഗ്‌ഷന്റെ മൂല്യം കണക്കാക്കുക
സെഗ്‌മെന്റിൽ x=5 എന്ന പോയിന്റ് മാത്രമേ അടങ്ങിയിട്ടുള്ളൂ. ഫംഗ്‌ഷന്റെ കണ്ടെത്തിയ മൂല്യങ്ങളിൽ ഏറ്റവും വലുത് 225 ആണ്, ഏറ്റവും ചെറിയത് 50 ആണ്. അതിനാൽ, y max = 225, y മിനിറ്റ് = 50.

കോൺവെക്സിറ്റിയെക്കുറിച്ചുള്ള ഒരു ഫംഗ്ഷനെക്കുറിച്ചുള്ള പഠനം

ചിത്രം രണ്ട് ഫംഗ്ഷനുകളുടെ ഗ്രാഫുകൾ കാണിക്കുന്നു. അവയിൽ ആദ്യത്തേത് മുകളിലേക്ക് കുത്തനെയുള്ളതാണ്, രണ്ടാമത്തേത് താഴേക്ക് കുത്തനെയുള്ളതാണ്.

y=f(x) എന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ ഒരു ഇടവേളയിൽ തുടർച്ചയായും (a;b) ഇടവേളയിൽ വേർതിരിക്കാവുന്നതുമാണ്, axb-ന്, അതിന്റെ ഗ്രാഫ്, axb-നേക്കാൾ ഉയർന്നതല്ലെങ്കിൽ (താഴ്ന്നതല്ല) ഈ ഇടവേളയിൽ കോൺവെക്സ് മുകളിലേക്ക് (താഴേക്ക്) എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഏത് പോയിന്റിലും വരച്ച ടാൻജെന്റ് M 0 (x 0 ;f(x 0)), ഇവിടെ axb.

സിദ്ധാന്തം 4. y=f(x) എന്ന ഫംഗ്‌ഷന് സെഗ്‌മെന്റിന്റെ ഏതെങ്കിലും ഇന്റീരിയർ പോയിന്റിൽ x എന്ന രണ്ടാമത്തെ ഡെറിവേറ്റീവ് ഉണ്ടായിരിക്കുകയും ഈ സെഗ്‌മെന്റിന്റെ അറ്റത്ത് തുടർച്ചയായിരിക്കുകയും ചെയ്യട്ടെ. അസമത്വം f""(x)0 ഇടവേളയിൽ (a;b) പിടിക്കുകയാണെങ്കിൽ, ഫംഗ്ഷൻ ഇടവേളയിൽ താഴോട്ട് കുത്തനെയുള്ളതാണ്; അസമത്വം f""(x)0 ഇടവേളയിൽ (a;b) പിടിക്കുകയാണെങ്കിൽ, ഫംഗ്ഷൻ മുകളിലേയ്ക്ക് കുത്തനെയുള്ളതാണ്.

സിദ്ധാന്തം 5. y=f(x) എന്ന ഫംഗ്‌ഷന് ഇടവേളയിൽ (a;b) രണ്ടാമത്തെ ഡെറിവേറ്റീവ് ഉണ്ടെങ്കിൽ അത് x 0 എന്ന പോയിന്റിലൂടെ കടന്നുപോകുമ്പോൾ ചിഹ്നം മാറുകയാണെങ്കിൽ, M(x 0 ;f(x 0)) ആണ് ഒരു ഇൻഫ്ലക്ഷൻ പോയിന്റ്.

ഇൻഫ്ലക്ഷൻ പോയിന്റുകൾ കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള നിയമം:

1) f""(x) നിലവിലില്ലാത്തതോ അപ്രത്യക്ഷമാകുന്നതോ ആയ പോയിന്റുകൾ കണ്ടെത്തുക.
2) ആദ്യ ഘട്ടത്തിൽ കാണുന്ന ഓരോ പോയിന്റിന്റെയും ഇടത്തും വലത്തിലുമുള്ള f""(x) ചിഹ്നം പരിശോധിക്കുക.
3) സിദ്ധാന്തം 4 അടിസ്ഥാനമാക്കി, ഒരു നിഗമനത്തിലെത്തുക.

ഉദാഹരണം 20. y=3x 4 -8x 3 +6x 2 +12 എന്ന ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഗ്രാഫിന്റെ എക്‌സ്ട്രീം പോയിന്റുകളും ഇൻഫ്‌ളക്ഷൻ പോയിന്റുകളും കണ്ടെത്തുക.

നമുക്ക് f"(x)=12x 3 -24x 2 +12x=12x(x-1) 2. വ്യക്തമായും, f"(x)=0 എപ്പോൾ x 1 =0, x 2 =1. x=0 എന്ന പോയിന്റിലൂടെ കടന്നുപോകുമ്പോൾ, ഡെറിവേറ്റീവ് ചിഹ്നത്തെ മൈനസിൽ നിന്ന് പ്ലസിലേക്ക് മാറ്റുന്നു, എന്നാൽ x=1 എന്ന പോയിന്റിലൂടെ കടന്നുപോകുമ്പോൾ അത് ചിഹ്നം മാറില്ല. ഇതിനർത്ഥം x=0 ആണ് ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ പോയിന്റ് (y മിനിറ്റ് =12), കൂടാതെ പോയിന്റ് x=1-ൽ എക്സ്ട്രീം ഇല്ല. അടുത്തതായി, ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു . രണ്ടാമത്തെ ഡെറിവേറ്റീവ് x 1 =1, x 2 =1/3 എന്ന പോയിന്റുകളിൽ അപ്രത്യക്ഷമാകുന്നു. രണ്ടാമത്തെ ഡെറിവേറ്റീവിന്റെ അടയാളങ്ങൾ ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ മാറുന്നു: കിരണത്തിൽ (-∞;) നമുക്ക് f""(x)>0 ഉണ്ട്, ഇടവേളയിൽ (;1) നമുക്ക് f""(x) ഉണ്ട്.<0, на луче (1;+∞) имеем f""(x)>0. അതിനാൽ, x= എന്നത് ഫംഗ്‌ഷൻ ഗ്രാഫിന്റെ ഇൻഫ്‌ളക്ഷൻ പോയിന്റാണ് (കോൺവെക്‌സിറ്റിയിൽ നിന്ന് താഴേക്കുള്ള കോൺവെക്‌സിറ്റി മുകളിലേയ്‌ക്കുള്ള പരിവർത്തനം) കൂടാതെ x=1 എന്നത് ഇൻഫ്‌ളക്ഷൻ പോയിന്റുമാണ് (കൺവെക്‌സിറ്റിയിൽ നിന്ന് മുകളിലേക്ക് കോൺവെക്‌സിറ്റി താഴേക്കുള്ള പരിവർത്തനം). x= എങ്കിൽ y=; എങ്കിൽ, x=1, y=13.

ഒരു ഗ്രാഫിന്റെ അസിംപ്റ്റോട്ട് കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള അൽഗോരിതം

I. y=f(x) x → a ആണെങ്കിൽ, x=a ഒരു ലംബമായ അസിംപ്റ്റോട്ടാണ്.
II. y=f(x) x → ∞ അല്ലെങ്കിൽ x → -∞ ആണെങ്കിൽ, y=A ഒരു തിരശ്ചീന അസിംപ്റ്റോട്ടാണ്.
III. ചരിഞ്ഞ അസിംപ്റ്റോട്ട് കണ്ടെത്താൻ, ഞങ്ങൾ ഇനിപ്പറയുന്ന അൽഗോരിതം ഉപയോഗിക്കുന്നു:
1) കണക്കാക്കുക. പരിധി നിലവിലുണ്ടെങ്കിൽ b ന് തുല്യമാണെങ്കിൽ, y=b ഒരു തിരശ്ചീന അസിംപ്റ്റോറ്റാണ്; എങ്കിൽ, രണ്ടാം ഘട്ടത്തിലേക്ക് പോകുക.
2) കണക്കാക്കുക. ഈ പരിധി നിലവിലില്ലെങ്കിൽ, ലക്ഷണമില്ല; അത് നിലവിലുണ്ടെങ്കിൽ k ന് തുല്യമാണെങ്കിൽ, മൂന്നാം ഘട്ടത്തിലേക്ക് പോകുക.
3) കണക്കാക്കുക. ഈ പരിധി നിലവിലില്ലെങ്കിൽ, ലക്ഷണമില്ല; അത് നിലവിലുണ്ടെങ്കിൽ b ന് തുല്യമാണെങ്കിൽ, നാലാമത്തെ ഘട്ടത്തിലേക്ക് പോകുക.
4) ചരിഞ്ഞ അസിംപ്റ്റോട്ടിന്റെ സമവാക്യം എഴുതുക y=kx+b.

ഉദാഹരണം 21: ഒരു ഫംഗ്ഷന്റെ അസിംപ്റ്റോട്ട് കണ്ടെത്തുക

1)
2)
3)
4) ചരിഞ്ഞ അസിംപ്റ്റോട്ടിന്റെ സമവാക്യത്തിന് രൂപമുണ്ട്

ഒരു ഫംഗ്ഷൻ പഠിക്കുന്നതിനും അതിന്റെ ഗ്രാഫ് നിർമ്മിക്കുന്നതിനുമുള്ള സ്കീം

I. ഫംഗ്‌ഷന്റെ നിർവചനത്തിന്റെ ഡൊമെയ്‌ൻ കണ്ടെത്തുക.
II. കോർഡിനേറ്റ് അക്ഷങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് ഫംഗ്ഷന്റെ ഗ്രാഫിന്റെ വിഭജന പോയിന്റുകൾ കണ്ടെത്തുക.
III. അസിംപ്റ്റോട്ടുകൾ കണ്ടെത്തുക.
IV. സാധ്യമായ എക്സ്ട്രീം പോയിന്റുകൾ കണ്ടെത്തുക.
വി. നിർണായക പോയിന്റുകൾ കണ്ടെത്തുക.
VI. ഓക്സിലറി ഫിഗർ ഉപയോഗിച്ച്, ഒന്നും രണ്ടും ഡെറിവേറ്റീവുകളുടെ അടയാളം പര്യവേക്ഷണം ചെയ്യുക. വർദ്ധിച്ചുവരുന്നതും കുറയുന്നതുമായ പ്രവർത്തനത്തിന്റെ മേഖലകൾ നിർണ്ണയിക്കുക, ഗ്രാഫിന്റെ കോൺവെക്‌സിറ്റിയുടെ ദിശ, തീവ്രതയുടെ പോയിന്റുകൾ, ഇൻഫ്ലക്ഷൻ പോയിന്റുകൾ എന്നിവ കണ്ടെത്തുക.
VII. 1-6 ഖണ്ഡികകളിൽ നടത്തിയ ഗവേഷണം കണക്കിലെടുത്ത് ഒരു ഗ്രാഫ് നിർമ്മിക്കുക.

ഉദാഹരണം 22: മുകളിലുള്ള ഡയഗ്രം അനുസരിച്ച് ഫംഗ്ഷന്റെ ഒരു ഗ്രാഫ് നിർമ്മിക്കുക

പരിഹാരം.
I. ഒരു ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഡൊമെയ്‌ൻ x=1 ഒഴികെയുള്ള എല്ലാ യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളുടെയും ഗണമാണ്.
II. x 2 +1=0 എന്ന സമവാക്യത്തിന് യഥാർത്ഥ വേരുകളില്ലാത്തതിനാൽ, ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഗ്രാഫിന് ഓക്‌സ് അച്ചുതണ്ടുമായി വിഭജനത്തിന്റെ പോയിന്റുകളില്ല, പക്ഷേ Oy അക്ഷത്തെ ബിന്ദുവിൽ (0;-1) വിഭജിക്കുന്നു.
III. അസിംപ്റ്റോട്ടുകളുടെ അസ്തിത്വത്തെക്കുറിച്ചുള്ള ചോദ്യം നമുക്ക് വ്യക്തമാക്കാം. x=1 എന്ന ഡിസ്‌കണ്ടിന്യുറ്റി പോയിന്റിന് സമീപമുള്ള ഫംഗ്‌ഷന്റെ സ്വഭാവം നമുക്ക് പഠിക്കാം. y → ∞ x → -∞, y → +∞ x → 1+ ആയതിനാൽ, x=1 എന്ന നേർരേഖ ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഗ്രാഫിന്റെ ലംബമായ അസിംപ്റ്റോറ്റാണ്.
x → +∞(x → -∞) ആണെങ്കിൽ y → +∞(y → -∞); അതിനാൽ, ഗ്രാഫിന് ഒരു തിരശ്ചീന അസിംപ്റ്റോട്ടില്ല. കൂടാതെ, പരിധികളുടെ അസ്തിത്വത്തിൽ നിന്ന്

x 2 -2x-1=0 എന്ന സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നതിലൂടെ നമുക്ക് രണ്ട് എക്സ്ട്രീം പോയിന്റുകൾ ലഭിക്കും:
x 1 =1-√2, x 2 =1+√2

വി. നിർണായക പോയിന്റുകൾ കണ്ടെത്താൻ, ഞങ്ങൾ രണ്ടാമത്തെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണക്കാക്കുന്നു:

f""(x) അപ്രത്യക്ഷമാകാത്തതിനാൽ, നിർണായക പോയിന്റുകളൊന്നുമില്ല.
VI. ഒന്നും രണ്ടും ഡെറിവേറ്റീവുകളുടെ അടയാളം നമുക്ക് പരിശോധിക്കാം. പരിഗണിക്കേണ്ട സാധ്യമായ എക്സ്ട്രീം പോയിന്റുകൾ: x 1 =1-√2, x 2 =1+√2, ഫംഗ്‌ഷന്റെ അസ്തിത്വത്തിന്റെ ഡൊമെയ്‌നെ ഇടവേളകളായി വിഭജിക്കുക (-∞;1-√2),(1-√2;1 +√2) കൂടാതെ (1+√2;+∞).

ഈ ഓരോ ഇടവേളകളിലും, ഡെറിവേറ്റീവ് അതിന്റെ അടയാളം നിലനിർത്തുന്നു: ആദ്യത്തേതിൽ - പ്ലസ്, രണ്ടാമത്തേതിൽ - മൈനസ്, മൂന്നാമത്തേത് - പ്ലസ്. ആദ്യ ഡെറിവേറ്റീവിന്റെ അടയാളങ്ങളുടെ ക്രമം ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ എഴുതപ്പെടും: +,-,+.
ഫംഗ്‌ഷൻ (-∞;1-√2)-ൽ കൂടുകയും (1-√2;1+√2)-ൽ കുറയുകയും (1+√2;+∞)-ൽ വീണ്ടും വർദ്ധിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു. എക്സ്ട്രീം പോയിന്റുകൾ: പരമാവധി x=1-√2, ഒപ്പം f(1-√2)=2-2√2 കുറഞ്ഞത് x=1+√2, f(1+√2)=2+2√2. (-∞;1)-ൽ ഗ്രാഫ് മുകളിലേക്ക് കുത്തനെയുള്ളതാണ്, (1;+∞)-ൽ അത് താഴോട്ട് കുത്തനെയുള്ളതാണ്.
VII നമുക്ക് ലഭിച്ച മൂല്യങ്ങളുടെ ഒരു പട്ടിക ഉണ്ടാക്കാം

VIII ലഭിച്ച ഡാറ്റയെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, ഞങ്ങൾ ഫംഗ്ഷന്റെ ഗ്രാഫിന്റെ ഒരു സ്കെച്ച് നിർമ്മിക്കുന്നു

ഒരു ഫംഗ്ഷനെക്കുറിച്ചുള്ള പഠനം വ്യക്തമായ ഒരു സ്കീം അനുസരിച്ചാണ് നടത്തുന്നത്, കൂടാതെ നിർവചനത്തിന്റെയും മൂല്യങ്ങളുടെയും ഡൊമെയ്ൻ, ഫംഗ്ഷന്റെ തുടർച്ച, അസിംപ്റ്റോട്ട്, എക്സ്ട്രീം പോയിന്റുകൾ, പാരിറ്റി, ആനുകാലികത മുതലായവ പോലുള്ള അടിസ്ഥാന ഗണിതശാസ്ത്ര ആശയങ്ങളെക്കുറിച്ച് വിദ്യാർത്ഥിക്ക് ശക്തമായ അറിവ് ആവശ്യമാണ്. . വിദ്യാർത്ഥിക്ക് പ്രവർത്തനങ്ങളെ സ്വതന്ത്രമായി വേർതിരിക്കാനും സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കാനും കഴിയണം, അത് ചിലപ്പോൾ വളരെ സങ്കീർണ്ണമായേക്കാം.

അതായത്, ഈ ടാസ്‌ക് അറിവിന്റെ ഒരു പ്രധാന പാളി പരിശോധിക്കുന്നു, ശരിയായ പരിഹാരം ലഭിക്കുന്നതിന് തടസ്സമായി മാറുന്ന ഏതൊരു വിടവും. പ്രത്യേകിച്ച് പലപ്പോഴും, ഫംഗ്ഷനുകളുടെ ഗ്രാഫുകൾ നിർമ്മിക്കുന്നതിൽ ബുദ്ധിമുട്ടുകൾ ഉണ്ടാകുന്നു. ഈ തെറ്റ് ടീച്ചർക്ക് ഉടനടി ശ്രദ്ധയിൽ പെടുകയും മറ്റെല്ലാം ശരിയായി ചെയ്താലും നിങ്ങളുടെ ഗ്രേഡിനെ വളരെയധികം നശിപ്പിക്കുകയും ചെയ്യും. ഇവിടെ നിങ്ങൾക്ക് കണ്ടെത്താം ഓൺലൈൻ പ്രവർത്തന ഗവേഷണ പ്രശ്നങ്ങൾ: പഠന ഉദാഹരണങ്ങൾ, ഡൗൺലോഡ് പരിഹാരങ്ങൾ, ഓർഡർ അസൈൻമെന്റുകൾ.

ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ പര്യവേക്ഷണം ചെയ്‌ത് ഒരു ഗ്രാഫ് പ്ലോട്ട് ചെയ്യുക: ഓൺലൈനിൽ ഉദാഹരണങ്ങളും പരിഹാരങ്ങളും

ഞങ്ങൾ നിങ്ങൾക്കായി ധാരാളം റെഡിമെയ്ഡ് ഫംഗ്‌ഷൻ പഠനങ്ങൾ തയ്യാറാക്കിയിട്ടുണ്ട്, അവ സൊല്യൂഷൻ ബുക്കിൽ പണമടച്ചതും ഫംഗ്‌ഷൻ പഠനങ്ങളുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ എന്ന വിഭാഗത്തിൽ സൗജന്യവുമാണ്. ഈ പരിഹരിച്ച ടാസ്ക്കുകളെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, സമാന ജോലികൾ ചെയ്യുന്നതിനുള്ള രീതിശാസ്ത്രത്തെക്കുറിച്ച് നിങ്ങൾക്ക് വിശദമായി പരിചയപ്പെടാനും സമാനതകളാൽ നിങ്ങളുടെ ഗവേഷണം നടത്താനും കഴിയും.

ഏറ്റവും സാധാരണമായ തരത്തിലുള്ള ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ സമ്പൂർണ്ണ ഗവേഷണത്തിന്റെയും പ്ലോട്ടിംഗിന്റെയും റെഡിമെയ്ഡ് ഉദാഹരണങ്ങൾ ഞങ്ങൾ വാഗ്ദാനം ചെയ്യുന്നു: പോളിനോമിയലുകൾ, ഫ്രാക്ഷണൽ-റേഷണൽ, അറേഷണൽ, എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ, ലോഗരിഥമിക്, ത്രികോണമിതി ഫംഗ്‌ഷനുകൾ. പരിഹരിക്കപ്പെട്ട ഓരോ പ്രശ്‌നവും ഹൈലൈറ്റ് ചെയ്‌ത പ്രധാന പോയിന്റുകൾ, അസിംപ്റ്റോട്ടുകൾ, മാക്‌സിമ, മിനിമ എന്നിവയുള്ള ഒരു റെഡിമെയ്ഡ് ഗ്രാഫിനൊപ്പം ഉണ്ട്; പ്രവർത്തനം പഠിക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു അൽഗോരിതം ഉപയോഗിച്ചാണ് പരിഹാരം നടത്തുന്നത്.

ഏത് സാഹചര്യത്തിലും, ഏറ്റവും ജനപ്രിയമായ ഫംഗ്‌ഷനുകൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്നതിനാൽ പരിഹരിച്ച ഉദാഹരണങ്ങൾ നിങ്ങൾക്ക് വലിയ സഹായകമാകും. ഇതിനകം പരിഹരിച്ച നൂറുകണക്കിന് പ്രശ്‌നങ്ങൾ ഞങ്ങൾ നിങ്ങൾക്ക് വാഗ്ദാനം ചെയ്യുന്നു, പക്ഷേ, നിങ്ങൾക്കറിയാവുന്നതുപോലെ, ലോകത്ത് അനന്തമായ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രവർത്തനങ്ങൾ ഉണ്ട്, കൂടാതെ പാവപ്പെട്ട വിദ്യാർത്ഥികൾക്കായി കൂടുതൽ കൂടുതൽ തന്ത്രപരമായ ജോലികൾ കണ്ടുപിടിക്കുന്നതിൽ അധ്യാപകർ മികച്ച വിദഗ്ധരാണ്. അതിനാൽ, പ്രിയ വിദ്യാർത്ഥികളേ, യോഗ്യതയുള്ള സഹായം നിങ്ങളെ ഉപദ്രവിക്കില്ല.

ഇഷ്‌ടാനുസൃത പ്രവർത്തന ഗവേഷണ പ്രശ്‌നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നു

ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഞങ്ങളുടെ പങ്കാളികൾ നിങ്ങൾക്ക് മറ്റൊരു സേവനം വാഗ്ദാനം ചെയ്യും - പൂർണ്ണ പ്രവർത്തന ഗവേഷണം ഓൺലൈനിൽഓർഡർ ചെയ്യാൻ. അത്തരം പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു അൽഗോരിതത്തിന്റെ എല്ലാ ആവശ്യകതകളും പാലിച്ചുകൊണ്ട് നിങ്ങൾക്കായി ചുമതല പൂർത്തിയാക്കും, അത് നിങ്ങളുടെ അധ്യാപകനെ വളരെയധികം സന്തോഷിപ്പിക്കും.

ഞങ്ങൾ നിങ്ങൾക്കായി ഫംഗ്‌ഷനെക്കുറിച്ചുള്ള ഒരു പൂർണ്ണമായ പഠനം നടത്തും: ഞങ്ങൾ നിർവചനത്തിന്റെ ഡൊമെയ്‌നും മൂല്യങ്ങളുടെ ഡൊമെയ്‌നും കണ്ടെത്തും, തുടർച്ചയും വിച്ഛേദവും പരിശോധിക്കും, തുല്യത സ്ഥാപിക്കും, ആനുകാലികതയ്‌ക്കായി നിങ്ങളുടെ പ്രവർത്തനം പരിശോധിക്കുക, കോർഡിനേറ്റ് അക്ഷങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് വിഭജന പോയിന്റുകൾ കണ്ടെത്തുക. . കൂടാതെ, തീർച്ചയായും, ഡിഫറൻഷ്യൽ കാൽക്കുലസ് ഉപയോഗിച്ച്: ഞങ്ങൾ അസിംപ്റ്റോട്ടുകൾ കണ്ടെത്തും, എക്സ്ട്രീമ, ഇൻഫ്ലക്ഷൻ പോയിന്റുകൾ കണക്കാക്കുകയും ഗ്രാഫ് തന്നെ നിർമ്മിക്കുകയും ചെയ്യും.

നമുക്ക് \(y= \frac(x^3)(1-x) \) ഫംഗ്ഷൻ പഠിച്ച് അതിന്റെ ഗ്രാഫ് നിർമ്മിക്കാം.

1. നിർവചനത്തിന്റെ വ്യാപ്തി.
ഒരു യുക്തിസഹമായ പ്രവർത്തനത്തിന്റെ (ഫ്രാക്ഷൻ) നിർവചനത്തിന്റെ ഡൊമെയ്ൻ ഇതായിരിക്കും: ഡിനോമിനേറ്റർ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമല്ല, അതായത്. \(1 -x \ne 0 => x \ne 1\). ഡൊമെയ്ൻ $$D_f= (-\infty; 1) \cup (1;+\infty)$$

2. ഫംഗ്ഷൻ ബ്രേക്ക് പോയിന്റുകളും അവയുടെ വർഗ്ഗീകരണവും.
പ്രവർത്തനത്തിന് ഒരു ബ്രേക്ക് പോയിന്റ് x = 1 ഉണ്ട്
നമുക്ക് x= 1 എന്ന പോയിന്റ് പരിശോധിക്കാം. നിർത്തലാക്കുന്ന പോയിന്റിന്റെ വലത്തോട്ടും ഇടത്തോട്ടും, വലത്തോട്ട് $$ \lim_(x \to 1+0) (\frac(x^3)(1) ഫംഗ്‌ഷന്റെ പരിധി കണ്ടെത്താം. -x)) = -\infty $$, പോയിന്റിന്റെ ഇടതുവശത്ത് $$ \lim_(x \to 1-0)(\frac(x^3)(1-x)) = +\infty $$ ഇത് കാരണം രണ്ടാമത്തെ തരത്തിലുള്ള ഒരു നിർത്തലാക്കൽ പോയിന്റാണ് ഏകപക്ഷീയമായ പരിധികൾ \(\infty\) ന് തുല്യമാണ്.

നേർരേഖ \(x = 1\) ഒരു ലംബമായ ലക്ഷണമാണ്.

3. ഫംഗ്ഷൻ പാരിറ്റി.
ഞങ്ങൾ പാരിറ്റി പരിശോധിക്കുന്നു \(f(-x) = \frac((-x)^3)(1+x) \) ഫംഗ്‌ഷൻ ഇരട്ടിയോ വിചിത്രമോ അല്ല.

4. ഫംഗ്ഷന്റെ പൂജ്യങ്ങൾ (ഓക്സ് അച്ചുതണ്ടുമായി വിഭജിക്കുന്ന പോയിന്റുകൾ). ഒരു ഫംഗ്ഷന്റെ സ്ഥിരമായ ചിഹ്നത്തിന്റെ ഇടവേളകൾ.
ഫംഗ്ഷൻ പൂജ്യങ്ങൾ (കാള അച്ചുതണ്ടുമായുള്ള വിഭജന പോയിന്റ്): ഞങ്ങൾ \(y=0\) തുല്യമാക്കുന്നു, നമുക്ക് \(\frac(x^3)(1-x) = 0 => x=0 \) ലഭിക്കും. \((0;0)\) കോർഡിനേറ്റുകളുള്ള ഓക്സ് അക്ഷവുമായി വക്രത്തിന് ഒരു കവല പോയിന്റുണ്ട്.

ഒരു ഫംഗ്ഷന്റെ സ്ഥിരമായ ചിഹ്നത്തിന്റെ ഇടവേളകൾ.
പരിഗണിക്കുന്ന ഇടവേളകളിൽ \((-\infty; 1) \cup (1;+\infty)\) വക്രത്തിന് ഓക്സ് അക്ഷവുമായി ഒരു പോയിന്റ് കവലയുണ്ട്, അതിനാൽ ഞങ്ങൾ മൂന്ന് ഇടവേളകളിൽ നിർവചനത്തിന്റെ ഡൊമെയ്‌ൻ പരിഗണിക്കും.

നിർവചനത്തിന്റെ ഡൊമെയ്‌നിന്റെ ഇടവേളകളിൽ ഫംഗ്‌ഷന്റെ അടയാളം നമുക്ക് നിർണ്ണയിക്കാം:
ഇടവേള \(-\infty; 0) \) ഏത് പോയിന്റിലും ഫംഗ്‌ഷന്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്തുക \(f(-4) = \frac(x^3)(1-x)< 0 \), на этом интервале функция отрицательная \(f(x) < 0 \), т.е. находится ниже оси Ox
ഇടവേള \((0; 1) \) ഏത് പോയിന്റിലും ഫംഗ്‌ഷന്റെ മൂല്യം ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു \(f(0.5) = \frac(x^3)(1-x) > 0 \), ഈ ഇടവേളയിൽ ഫംഗ്‌ഷൻ ആണ് പോസിറ്റീവ് \(f(x ) > 0 \), അതായത്. ഓക്സ് അക്ഷത്തിന് മുകളിലാണ് സ്ഥിതി ചെയ്യുന്നത്.
ഇടവേള \((1;+\infty) \) ഏത് പോയിന്റിലും ഫംഗ്‌ഷന്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്തുക \(f(4) = \frac(x^3)(1-x)< 0 \), на этом интервале функция отрицательная \(f(x) < 0 \), т.е. находится ниже оси Ox

5. Oy അക്ഷത്തോടുകൂടിയ ഇന്റർസെക്ഷൻ പോയിന്റുകൾ: ഞങ്ങൾ \(x=0\) തുല്യമാക്കുന്നു, നമുക്ക് \(f(0) = \frac(x^3)(1-x) = 0\) ലഭിക്കും. Oy അക്ഷം \((0; 0)\) കൊണ്ടുള്ള വിഭജന പോയിന്റിന്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ

6. ഏകതാനതയുടെ ഇടവേളകൾ. ഒരു ഫംഗ്‌ഷന്റെ തീവ്രത.
നമുക്ക് നിർണായക (സ്റ്റേഷണറി) പോയിന്റുകൾ കണ്ടെത്താം, ഇതിനായി നമ്മൾ ആദ്യത്തെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തി അതിനെ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാക്കുന്നു $$ y" = (\frac(x^3)(1-x))" = \frac(3x^2(1 -x) + x^3)( (1-x)^2) = \frac(x^2(3-2x))( (1-x)^2) $$ 0 $$ \frac(x ^2(3 -2x))( (1-x)^2) = 0 => x_1 = 0 \quad x_2= \frac(3)(2)$$ ഈ ഘട്ടത്തിൽ നമുക്ക് ഫംഗ്‌ഷന്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്താം \( f(0) = 0\) കൂടാതെ \(f(\frac(3)(2)) = -6.75\). കോർഡിനേറ്റുകൾ \((0;0)\) കൂടാതെ \((1.5;-6.75)\) എന്നിവയോടൊപ്പം ഞങ്ങൾക്ക് രണ്ട് നിർണായക പോയിന്റുകൾ ലഭിച്ചു

ഏകതാനതയുടെ ഇടവേളകൾ.
പ്രവർത്തനത്തിന് രണ്ട് നിർണായക പോയിന്റുകളുണ്ട് (സാധ്യമായ എക്സ്ട്രീം പോയിന്റുകൾ), അതിനാൽ ഞങ്ങൾ നാല് ഇടവേളകളിൽ ഏകതാനത പരിഗണിക്കും:
ഇടവേള \(-\infty; 0) \) ഇടവേളയിലെ ഏത് ഘട്ടത്തിലും ആദ്യ ഡെറിവേറ്റീവിന്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്തുക \(f(-4) = \frac(x^2(3-2x))( (1-x )^2) >
ഇടവേള \((0;1)\) ഇടവേളയിലെ ഏത് ഘട്ടത്തിലും ആദ്യ ഡെറിവേറ്റീവിന്റെ മൂല്യം ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു \(f(0.5) = \frac(x^2(3-2x))( (1-x)^ 2) > 0\) , ഈ ഇടവേളയിൽ പ്രവർത്തനം വർദ്ധിക്കുന്നു.
ഇടവേള \((1;1.5)\) ഇടവേളയിലെ ഏത് ഘട്ടത്തിലും ആദ്യ ഡെറിവേറ്റീവിന്റെ മൂല്യം ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു \(f(1.2) = \frac(x^2(3-2x))( (1-x)^ 2) > 0\) , ഈ ഇടവേളയിൽ പ്രവർത്തനം വർദ്ധിക്കുന്നു.
ഇടവേള \((1.5; +\infty)\) ഇടവേളയിലെ ഏത് ഘട്ടത്തിലും ആദ്യ ഡെറിവേറ്റീവിന്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്തുക \(f(4) = \frac(x^2(3-2x))( (1-x) ^2)< 0\), на этом интервале функция убывает.

ഒരു ഫംഗ്‌ഷന്റെ തീവ്രത.

ഫംഗ്ഷൻ പഠിക്കുമ്പോൾ, നിർവചനത്തിന്റെ ഡൊമെയ്‌നിന്റെ ഇടവേളയിൽ ഞങ്ങൾക്ക് രണ്ട് നിർണായക (സ്റ്റേഷനറി) പോയിന്റുകൾ ലഭിച്ചു. അവ അതിരുകടന്നതാണോ എന്ന് നമുക്ക് നിർണ്ണയിക്കാം. നിർണായക പോയിന്റുകളിലൂടെ കടന്നുപോകുമ്പോൾ ഡെറിവേറ്റീവിന്റെ ചിഹ്നത്തിലെ മാറ്റം നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം:

\(x = 0\) ഡെറിവേറ്റീവ് മാറ്റങ്ങളുടെ ചിഹ്നം \(\quad +\quad 0 \quad + \quad\) - പോയിന്റ് ഒരു എക്സ്ട്രീം അല്ല.
\(x = 1.5\) ഡെറിവേറ്റീവ് മാറ്റങ്ങളുടെ ചിഹ്നം \(\quad +\quad 0 \quad - \quad\) - പോയിന്റ് പരമാവധി പോയിന്റാണ്.

7. കുതിച്ചുചാട്ടത്തിന്റെയും കുതിച്ചുചാട്ടത്തിന്റെയും ഇടവേളകൾ. ഇൻഫ്ലക്ഷൻ പോയിന്റുകൾ.

കോൺവെക്‌സിറ്റിയുടെയും കോൺകാവിറ്റിയുടെയും ഇടവേളകൾ കണ്ടെത്താൻ, ഞങ്ങൾ ഫംഗ്‌ഷന്റെ രണ്ടാമത്തെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തി അതിനെ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാക്കുന്നു $$y"" = (\frac(x^2(3-2x))( (1-x)^2) )"= \frac(2x (x^2-3x+3))((1-x)^3) $$ പൂജ്യത്തിന് തുല്യം $$ \frac(2x(x^2-3x+3))((1 -x)^3)= 0 => 2x(x^2-3x+3) =0 => x=0$$ ഫംഗ്‌ഷനിൽ ഒന്ന് ഉണ്ട് നിര്ണ്ണായക ബിന്ദുകോർഡിനേറ്റുകൾ ഉള്ള രണ്ടാമത്തെ തരത്തിലുള്ള \((0;0)\).
നിർവചനത്തിന്റെ ഡൊമെയ്‌നിന്റെ ഇടവേളകളിൽ നമുക്ക് കോൺവെക്‌സിറ്റി നിർവചിക്കാം, രണ്ടാമത്തെ തരത്തിലുള്ള ഒരു നിർണായക പോയിന്റ് (സാധ്യമായ ഇൻഫ്‌ളക്ഷൻ പോയിന്റ്) കണക്കിലെടുക്കുന്നു.

ഇടവേള \(-\infty; 0)\) ഏത് പോയിന്റിലും രണ്ടാമത്തെ ഡെറിവേറ്റീവിന്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്തുക \(f""(-4) = \frac(2x(x^2-3x+3))((1- x)^ 3)< 0 \), на этом интервале вторая производная функции отрицательная \(f""(x) < 0 \) - функция выпуклая вверх (вогнутая).
ഇടവേള \((0; 1)\) ഏത് പോയിന്റിലും രണ്ടാമത്തെ ഡെറിവേറ്റീവിന്റെ മൂല്യം ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു \(f""(0.5) = \frac(2x(x^2-3x+3))((1-x) ^3) > 0 \), ഈ ഇടവേളയിൽ ഫംഗ്‌ഷന്റെ രണ്ടാമത്തെ ഡെറിവേറ്റീവ് പോസിറ്റീവ് \(f""(x) > 0 \) ഫംഗ്‌ഷൻ കുത്തനെ താഴേക്ക് (കോൺവെക്സ്) ആണ്.
ഇടവേള \((1; \infty)\) ഏത് പോയിന്റിലും രണ്ടാമത്തെ ഡെറിവേറ്റീവിന്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്തുക \(f""(4) = \frac(2x(x^2-3x+3))((1-x) ^3)< 0 \), на этом интервале вторая производная функции отрицательная \(f""(x) < 0 \) - функция выпуклая вверх (вогнутая).

ഇൻഫ്ലക്ഷൻ പോയിന്റുകൾ.

രണ്ടാമത്തെ തരത്തിലുള്ള ഒരു നിർണായക പോയിന്റിലൂടെ കടന്നുപോകുമ്പോൾ രണ്ടാമത്തെ ഡെറിവേറ്റീവിന്റെ ചിഹ്നത്തിലെ മാറ്റം നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം:
\(x =0\) എന്ന പോയിന്റിൽ, \(\quad - \quad 0 \quad + \quad\) ഉള്ള രണ്ടാമത്തെ ഡെറിവേറ്റീവ് മാറ്റങ്ങളുടെ ചിഹ്നം, ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഗ്രാഫ് കോൺവെക്‌സിറ്റി മാറ്റുന്നു, അതായത്. \((0;0)\) കോർഡിനേറ്റുകളുള്ള ഇൻഫ്ലക്ഷൻ പോയിന്റാണിത്.

8. അസിംപ്റ്റോട്ടുകൾ.

ലംബമായ അസിംപ്റ്റോട്ട്. ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഗ്രാഫിന് ഒരു ലംബമായ അസിംപ്റ്റോട്ട് ഉണ്ട് \(x =1\) (ഖണ്ഡിക 2 കാണുക).
ചരിഞ്ഞ ലക്ഷണം.
\(x \to \infty\) എന്നതിലെ \(y= \frac(x^3)(1-x) \) ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഗ്രാഫിന് ഒരു ചരിഞ്ഞ അസിംപ്റ്റോട്ട് \(y = kx+b\) ലഭിക്കുന്നതിന് , അത് ആവശ്യവും മതിയായതുമാണ്, അതിനാൽ $$\lim_(x \to +\infty)=\frac(f(x))(x) =k $$ ഞങ്ങൾ അത് കണ്ടെത്തുന്നു $$ \lim_(x \to \infty) (\frac( x^3)(x(1-x))) = \infty => k= \infty $$, രണ്ടാമത്തെ പരിധി $$ \lim_(x \to +\infty)( f(x) - kx) = b$ $, കാരണം \(k = \infty\) - ചരിഞ്ഞ ലക്ഷണമില്ല.

തിരശ്ചീനമായ ലക്ഷണം:ഒരു തിരശ്ചീന അസിംപ്റ്റോട്ട് നിലനിൽക്കണമെങ്കിൽ, $$\lim_(x \to \infty)f(x) = b$$ ഒരു പരിധി ഉണ്ടായിരിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ് $$ \lim_(x \to +\infty )(\frac( x^3)(1-x))= -\infty$$$$ \lim_(x \to -\infty)(\frac(x^3)(1-x))= -\ infty$$
തിരശ്ചീനമായ ലക്ഷണമില്ല.

9. ഫംഗ്ഷൻ ഗ്രാഫ്.

ഫംഗ്‌ഷനുകൾ പഠിക്കുമ്പോഴും അവയുടെ ഗ്രാഫുകൾ നിർമ്മിക്കുമ്പോഴും റഫറൻസ് പോയിന്റുകൾ സ്വഭാവ പോയിന്റുകളാണ് - വിച്ഛേദിക്കുന്ന പോയിന്റുകൾ, തീവ്രത, ഇൻഫ്ലക്ഷൻ, കോർഡിനേറ്റ് അക്ഷങ്ങളുമായുള്ള വിഭജനം. ഡിഫറൻഷ്യൽ കാൽക്കുലസ് ഉപയോഗിച്ച് നിങ്ങൾക്ക് സ്ഥാപിക്കാൻ കഴിയും സവിശേഷതകൾഫംഗ്ഷനുകളിലെ മാറ്റങ്ങൾ: വർദ്ധനവും കുറവും, പരമാവധി, മിനിമം, ഗ്രാഫിന്റെ കോൺവെക്സിറ്റിയുടെയും കോൺകാവിറ്റിയുടെയും ദിശ, അസിംപ്റ്റോട്ടുകളുടെ സാന്നിധ്യം.

അസിംപ്റ്റോട്ടുകളും എക്‌സ്ട്രീം പോയിന്റുകളും കണ്ടെത്തിയതിന് ശേഷം ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഗ്രാഫിന്റെ ഒരു സ്‌കെച്ച് വരയ്‌ക്കാം (കൂടാതെ വേണം), പഠനം പുരോഗമിക്കുമ്പോൾ ഫംഗ്‌ഷന്റെ പഠനത്തിന്റെ സംഗ്രഹ പട്ടിക പൂരിപ്പിക്കുന്നത് സൗകര്യപ്രദമാണ്.

ഇനിപ്പറയുന്ന ഫംഗ്ഷൻ പഠന പദ്ധതി സാധാരണയായി ഉപയോഗിക്കുന്നു.

1.നിർവചനത്തിന്റെ ഡൊമെയ്‌ൻ, തുടർച്ചയുടെ ഇടവേളകൾ, ഫംഗ്‌ഷന്റെ ബ്രേക്ക്‌പോയിന്റുകൾ എന്നിവ കണ്ടെത്തുക.

2.തുല്യതയോ വിചിത്രതയോ (ഗ്രാഫിന്റെ അക്ഷീയ അല്ലെങ്കിൽ കേന്ദ്ര സമമിതി) ഫംഗ്‌ഷൻ പരിശോധിക്കുക.

3.അസിംപ്റ്റോട്ടുകൾ (ലംബമോ തിരശ്ചീനമോ ചരിഞ്ഞതോ) കണ്ടെത്തുക.

4.പ്രവർത്തനത്തിന്റെ വർദ്ധനവിന്റെയും കുറവിന്റെയും ഇടവേളകൾ, അതിന്റെ എക്‌സ്ട്രീം പോയിന്റുകൾ കണ്ടെത്തി പഠിക്കുക.

5.വക്രതയുടെ കോൺവെക്സിറ്റിയുടെയും കോൺകാവിറ്റിയുടെയും ഇടവേളകൾ, അതിന്റെ ഇൻഫ്ലക്ഷൻ പോയിന്റുകൾ കണ്ടെത്തുക.

6.കോർഡിനേറ്റ് അക്ഷങ്ങൾ നിലവിലുണ്ടെങ്കിൽ, വക്രത്തിന്റെ വിഭജന പോയിന്റുകൾ കണ്ടെത്തുക.

7.പഠനത്തിന്റെ ഒരു സംഗ്രഹ പട്ടിക സമാഹരിക്കുക.

8.മുകളിൽ വിവരിച്ച പോയിന്റുകൾ അനുസരിച്ച് നടത്തിയ പ്രവർത്തനത്തിന്റെ പഠനം കണക്കിലെടുത്ത് ഒരു ഗ്രാഫ് നിർമ്മിക്കുന്നു.

ഉദാഹരണം.പ്രവർത്തനം പര്യവേക്ഷണം ചെയ്യുക

അതിന്റെ ഗ്രാഫ് നിർമ്മിക്കുകയും ചെയ്യുക.

7. ഫംഗ്ഷൻ പഠിക്കുന്നതിനായി നമുക്ക് ഒരു സംഗ്രഹ പട്ടിക കംപൈൽ ചെയ്യാം, അവിടെ ഞങ്ങൾ എല്ലാ സ്വഭാവ പോയിന്റുകളും അവയ്ക്കിടയിലുള്ള ഇടവേളകളും നൽകും. ഫംഗ്ഷന്റെ പാരിറ്റി കണക്കിലെടുത്ത്, ഞങ്ങൾക്ക് ഇനിപ്പറയുന്ന പട്ടിക ലഭിക്കും: