ഫംഗ്‌ഷന്റെ എക്‌സ്ട്രീം പോയിന്റ് f x. ഒരു ഫംഗ്‌ഷന്റെ തീവ്രത എന്താണ്: കൂടിയതും കുറഞ്ഞതുമായ നിർണായക പോയിന്റുകൾ

ഈ അസമത്വങ്ങളെ Δ ആയി പരിധിയിലേക്ക് കടക്കുന്നു x→ 0 കൂടാതെ ഡെറിവേറ്റീവ് എന്നത് കണക്കിലെടുക്കുന്നു എഫ് "(x 0) നിലവിലുണ്ട്, അതിനാൽ ഇടതുവശത്തെ പരിധി എങ്ങനെ Δ എന്നതിനെ ആശ്രയിക്കുന്നില്ല x→ 0, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്: Δ എന്നതിന് x → 0 – 0 f" (x 0) ≥ 0 ഉം Δ-ലും x → 0 + 0 f" (x 0) ≤ 0. മുതൽ f" (x 0) ഒരു സംഖ്യയെ നിർവചിക്കുന്നു, ഈ രണ്ട് അസമത്വങ്ങളും പൊരുത്തപ്പെടുന്നെങ്കിൽ മാത്രം f" (x 0) = 0.

ഡെറിവേറ്റീവ് അപ്രത്യക്ഷമാകുന്ന ആർഗ്യുമെന്റിന്റെ മൂല്യങ്ങളിൽ മാത്രമേ പരമാവധി, കുറഞ്ഞ പോയിന്റുകൾ ഉണ്ടാകൂ എന്ന് തെളിയിക്കപ്പെട്ട സിദ്ധാന്തം പറയുന്നു.

ഒരു ഫംഗ്‌ഷന് ഒരു നിശ്ചിത സെഗ്‌മെന്റിന്റെ എല്ലാ പോയിന്റുകളിലും ഒരു ഡെറിവേറ്റീവ് ഉള്ളപ്പോൾ ഞങ്ങൾ കേസ് പരിഗണിച്ചു. ഡെറിവേറ്റീവ് നിലവിലില്ലെങ്കിൽ എന്ത് സംഭവിക്കും? ഉദാഹരണങ്ങൾ പരിഗണിക്കുക.

വൈ =|x |.

ഫംഗ്‌ഷന് ഒരു പോയിന്റിൽ ഒരു ഡെറിവേറ്റീവ് ഇല്ല x=0 (ഈ ഘട്ടത്തിൽ, ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഗ്രാഫിന് ഒരു നിശ്ചിത ടാൻജെന്റ് ഇല്ല), എന്നാൽ ഈ ഘട്ടത്തിൽ ഫംഗ്‌ഷന് ഒരു മിനിമം ഉണ്ട്, കാരണം വൈ(0)=0, കൂടാതെ എല്ലാവർക്കും x ≠ 0വൈ > 0.

അതിനാൽ, നൽകിയിരിക്കുന്ന ഉദാഹരണങ്ങളിൽ നിന്നും രൂപപ്പെടുത്തിയ സിദ്ധാന്തത്തിൽ നിന്നും രണ്ട് സന്ദർഭങ്ങളിൽ മാത്രമേ ഫംഗ്‌ഷന് ഒരു തീവ്രത ഉണ്ടാകൂ എന്ന് വ്യക്തമാണ്: 1) ഡെറിവേറ്റീവ് നിലനിൽക്കുന്നതും പൂജ്യത്തിന് തുല്യവുമായ പോയിന്റുകളിൽ; 2) ഡെറിവേറ്റീവ് നിലവിലില്ലാത്ത സ്ഥലത്ത്.

എന്നിരുന്നാലും, ചില ഘട്ടങ്ങളിൽ എങ്കിൽ x 0 അത് ഞങ്ങൾക്കറിയാം f"(x 0 ) =0, അപ്പോൾ ഈ പോയിന്റിൽ നിന്ന് ഇത് നിഗമനം ചെയ്യാൻ കഴിയില്ല x 0 ഫങ്ഷന് ഒരു എക്സ്ട്രീം ഉണ്ട്.

ഉദാഹരണത്തിന്.

എന്നാൽ പോയിന്റ് x=0 ഒരു എക്സ്ട്രീം പോയിന്റല്ല, കാരണം ഈ പോയിന്റിന്റെ ഇടതുവശത്ത് ഫംഗ്ഷൻ മൂല്യങ്ങൾ അക്ഷത്തിന് താഴെയാണ് സ്ഥിതി ചെയ്യുന്നത് കാള, മുകളിൽ വലതുവശത്ത്.

ഒരു ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഡൊമെയ്‌നിൽ നിന്നുള്ള ഒരു ആർഗ്യുമെന്റിന്റെ മൂല്യങ്ങൾ, അതിനായി ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് അപ്രത്യക്ഷമാകുകയോ നിലവിലില്ലാതിരിക്കുകയോ ചെയ്യുന്നു നിർണായക പോയിന്റുകൾ .

ഒരു ഫംഗ്‌ഷന്റെ എക്‌സ്‌ട്രീം പോയിന്റുകൾ നിർണ്ണായക പോയിന്റുകളിൽ ഉണ്ടെന്നും എന്നിരുന്നാലും, എല്ലാ നിർണായക പോയിന്റുകളും ഒരു എക്‌സ്‌ട്രീം പോയിന്റല്ലെന്നും മേൽപ്പറഞ്ഞതിൽ നിന്ന് ഇത് പിന്തുടരുന്നു. അതിനാൽ, ഫംഗ്‌ഷന്റെ എക്‌സ്‌ട്രീം കണ്ടെത്തുന്നതിന്, നിങ്ങൾ ഫംഗ്‌ഷന്റെ എല്ലാ നിർണായക പോയിന്റുകളും കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്, തുടർന്ന് ഈ പോയിന്റുകൾ ഓരോന്നും പരമാവധി, മിനിമം എന്നിവയ്ക്കായി പ്രത്യേകം പരിശോധിക്കുക. ഇതിനായി, ഇനിപ്പറയുന്ന സിദ്ധാന്തം പ്രവർത്തിക്കുന്നു.

സിദ്ധാന്തം 2. (ഒരു തീവ്രതയുടെ നിലനിൽപ്പിന് മതിയായ വ്യവസ്ഥ.) നിർണായക പോയിന്റ് അടങ്ങുന്ന ചില ഇടവേളകളിൽ പ്രവർത്തനം തുടർച്ചയായിരിക്കട്ടെ. x 0 , ഈ ഇടവേളയിലെ എല്ലാ പോയിന്റുകളിലും (ഒരുപക്ഷേ, പോയിന്റ് ഒഴികെ) വ്യത്യാസപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു x 0). ഈ പോയിന്റിലൂടെ ഇടത്തുനിന്ന് വലത്തോട്ട് പോകുമ്പോൾ, ഡെറിവേറ്റീവ് ചിഹ്നം പ്ലസ് മുതൽ മൈനസിലേക്ക് മാറ്റുകയാണെങ്കിൽ, പോയിന്റിൽ x = x 0 ഫംഗ്‌ഷന് പരമാവധി ഉണ്ട്. എങ്കിൽ, കടന്നുപോകുമ്പോൾ x 0 ഇടത്തുനിന്ന് വലത്തോട്ട്, ഡെറിവേറ്റീവ് സൈൻ മൈനസിൽ നിന്ന് പ്ലസിലേക്ക് മാറ്റുന്നു, തുടർന്ന് ഫംഗ്‌ഷന് ഈ ഘട്ടത്തിൽ മിനിമം ഉണ്ട്.

അങ്ങനെ, എങ്കിൽ

f"(x)>0 at x <x 0 ഒപ്പം f"(x)< 0-ന് x > x 0, പിന്നെ x 0 - പരമാവധി പോയിന്റ്;

തെളിവ്. കടന്നുപോകുമ്പോൾ നമുക്ക് ആദ്യം ഊഹിക്കാം x 0, ഡെറിവേറ്റീവ് മാറ്റങ്ങളുടെ ചിഹ്നം പ്ലസ് മുതൽ മൈനസ് വരെ, അതായത്. എല്ലാവർക്കും xപോയിന്റിനോട് അടുത്ത് x 0 f "(x)> 0 വേണ്ടി x< x 0 , f"(x)< 0 വേണ്ടി x > x 0 . വ്യത്യാസത്തിൽ നമുക്ക് ലഗ്രാഞ്ച് സിദ്ധാന്തം പ്രയോഗിക്കാം f(x) - f(x 0 ) = f "(c)(x- x 0), എവിടെ സിഇടയിൽ കിടക്കുന്നു xഒപ്പം x 0 .

അനുവദിക്കുക x< x 0 . പിന്നെ സി< x 0 ഒപ്പം f "(സി)> 0. അതുകൊണ്ടാണ് f "(c)(x-x 0)< 0, അതിനാൽ,

f(x) - f(x 0 )< 0, അതായത്. f(x)< f(x 0 ).

അനുവദിക്കുക x > x 0 . പിന്നെ c>x 0 ഒപ്പം f"(c)< 0. അർത്ഥമാക്കുന്നത് f "(c)(x-x 0)< 0. അതുകൊണ്ടാണ് f(x) - f(x 0 ) <0,т.е.f(x) < f(x 0 ) .

അങ്ങനെ, എല്ലാ മൂല്യങ്ങൾക്കും xവേണ്ടത്ര അടുത്ത് x 0 f(x) < f(x 0 ) . ഈ പോയിന്റിൽ എന്നാണ് x 0 ഫംഗ്‌ഷന് പരമാവധി ഉണ്ട്.

മിനിമം സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ രണ്ടാം ഭാഗവും സമാനമായി തെളിയിക്കപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു.

ചിത്രത്തിൽ ഈ സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ അർത്ഥം നമുക്ക് ചിത്രീകരിക്കാം. അനുവദിക്കുക f"(x 1 ) =0 കൂടാതെ ഏതിനും x,വേണ്ടത്ര അടുത്ത് x 1, അസമത്വങ്ങൾ

f"(x)< 0-ന് x< x 1 , f "(x)> 0-ന് x > x 1 .

തുടർന്ന് പോയിന്റിന്റെ ഇടതുവശത്തേക്ക് x 1 ഫംഗ്ഷൻ വലതുവശത്ത് വർദ്ധിക്കുകയും കുറയുകയും ചെയ്യുന്നു, അതിനാൽ, എപ്പോൾ x = x 1 ഫംഗ്‌ഷൻ കൂടുന്നതിൽ നിന്ന് കുറയുന്നതിലേക്ക് പോകുന്നു, അതായത്, ഇതിന് പരമാവധി ഉണ്ട്.

അതുപോലെ, ഒരാൾക്ക് പോയിന്റുകൾ പരിഗണിക്കാം x 2 ഒപ്പം x 3 .

ആസൂത്രിതമായി, മുകളിൽ പറഞ്ഞവയെല്ലാം ചിത്രത്തിൽ ചിത്രീകരിക്കാം:

ഒരു എക്സ്ട്രീം ഫംഗ്ഷൻ y=f(x) പഠിക്കുന്നതിനുള്ള നിയമം

ഒരു ഫംഗ്ഷന്റെ വ്യാപ്തി കണ്ടെത്തുക f(x).

ഒരു ഫംഗ്‌ഷന്റെ ആദ്യ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുക f"(x) .

ഇതിനായി നിർണായക പോയിന്റുകൾ നിർണ്ണയിക്കുക:

സമവാക്യത്തിന്റെ യഥാർത്ഥ വേരുകൾ കണ്ടെത്തുക f"(x) =0;

എല്ലാ മൂല്യങ്ങളും കണ്ടെത്തുക xഅതിന്റെ കീഴിൽ ഡെറിവേറ്റീവ് f"(x)നിലവിലില്ല.

നിർണായക പോയിന്റിന്റെ ഇടത്തോട്ടും വലത്തോട്ടും ഡെറിവേറ്റീവിന്റെ അടയാളം നിർണ്ണയിക്കുക. രണ്ട് നിർണായക പോയിന്റുകൾക്കിടയിൽ ഡെറിവേറ്റീവിന്റെ ചിഹ്നം സ്ഥിരമായി തുടരുന്നതിനാൽ, നിർണ്ണായക പോയിന്റിന്റെ ഏതെങ്കിലും ഒരു പോയിന്റിൽ ഇടത്തോട്ടും ഒരു പോയിന്റിൽ വലത്തോട്ടും ഡെറിവേറ്റീവിന്റെ അടയാളം നിർണ്ണയിക്കാൻ ഇത് മതിയാകും.

എക്സ്ട്രീം പോയിന്റുകളിൽ ഫംഗ്ഷന്റെ മൂല്യം കണക്കാക്കുക.

ഒരു ഫംഗ്ഷന്റെ തീവ്രത എങ്ങനെ കണ്ടെത്താമെന്ന് പഠിക്കുന്നതിനുമുമ്പ്, ഒരു എക്സ്ട്രീം എന്താണെന്ന് മനസ്സിലാക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. ഒരു സംഖ്യാരേഖയുടെയോ ഗ്രാഫിന്റെയോ ഒരു നിശ്ചിത ഗണത്തിൽ ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ ഉപയോഗിക്കുന്ന ഒരു ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഏറ്റവും ചെറുതോ വലുതോ ആയ മൂല്യമാണ് ഇത് എന്നതാണ് എക്‌സ്‌ട്രീമിന്റെ ഏറ്റവും പൊതുവായ നിർവചനം. മിനിമം സ്ഥിതി ചെയ്യുന്ന സ്ഥലത്ത്, ഏറ്റവും കുറഞ്ഞതിന്റെ തീവ്രത പ്രത്യക്ഷപ്പെടുന്നു, പരമാവധി എവിടെയാണ്, മാക്സിമം എന്ന തീവ്രത ദൃശ്യമാകുന്നു. ഗണിതശാസ്ത്ര വിശകലനം പോലുള്ള ഒരു വിഷയത്തിൽ, ഒരു ഫംഗ്ഷന്റെ പ്രാദേശിക തീവ്രത വേർതിരിച്ചിരിക്കുന്നു. ഇപ്പോൾ നമുക്ക് എങ്ങനെയാണ് എക്സ്ട്രീം കണ്ടെത്തുന്നത് എന്ന് നോക്കാം.

ഗണിതശാസ്ത്രത്തിലെ തീവ്രതകൾ ഒരു ഫംഗ്ഷന്റെ ഏറ്റവും പ്രധാനപ്പെട്ട സ്വഭാവസവിശേഷതകളിൽ ഒന്നാണ്, അവ അതിന്റെ ഏറ്റവും വലുതും ചെറുതുമായ മൂല്യം കാണിക്കുന്നു. പ്രധാനമായും കണ്ടെത്തിയ ഫംഗ്ഷനുകളുടെ നിർണായക പോയിന്റുകളിലാണ് എക്സ്ട്രീമ കാണപ്പെടുന്നത്. ഫംഗ്ഷൻ അതിന്റെ ദിശയെ സമൂലമായി മാറ്റുന്നത് അങ്ങേയറ്റത്തെ പോയിന്റിലാണെന്നത് ശ്രദ്ധിക്കേണ്ടതാണ്. എക്സ്ട്രീം പോയിന്റിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് ഞങ്ങൾ കണക്കാക്കുകയാണെങ്കിൽ, നിർവചനം അനുസരിച്ച്, അത് പൂജ്യത്തിന് തുല്യമായിരിക്കണം അല്ലെങ്കിൽ അത് പൂർണ്ണമായും ഇല്ലാതാകും. അതിനാൽ, ഒരു ഫംഗ്ഷന്റെ എക്സ്ട്രീം എങ്ങനെ കണ്ടെത്താമെന്ന് മനസിലാക്കാൻ, നിങ്ങൾ രണ്ട് തുടർച്ചയായ ജോലികൾ ചെയ്യേണ്ടതുണ്ട്:

• ചുമതല നിർണ്ണയിക്കേണ്ട ഫംഗ്ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുക;
• സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകൾ കണ്ടെത്തുക.

തീവ്രത കണ്ടെത്തുന്നതിന്റെ ക്രമം

1. നൽകിയിരിക്കുന്ന ഫംഗ്ഷൻ f(x) എഴുതുക. അതിന്റെ ഫസ്റ്റ്-ഓർഡർ ഡെറിവേറ്റീവ് f "(x) കണ്ടെത്തുക. ഫലമായുണ്ടാകുന്ന പദപ്രയോഗം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാക്കുക.
2. ഇപ്പോൾ നിങ്ങൾ മാറിയ സമവാക്യം പരിഹരിക്കേണ്ടതുണ്ട്. തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന പരിഹാരങ്ങൾ സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകളായിരിക്കും, അതുപോലെ തന്നെ നിർവചിക്കപ്പെട്ട പ്രവർത്തനത്തിന്റെ നിർണായക പോയിന്റുകളും.
3. ഏത് നിർണ്ണായക പോയിന്റുകളാണ് (പരമാവധി അല്ലെങ്കിൽ കുറഞ്ഞത്) കണ്ടെത്തിയ വേരുകൾ എന്ന് ഞങ്ങൾ ഇപ്പോൾ നിർണ്ണയിക്കുന്നു. ഒരു ഫംഗ്‌ഷന്റെ എക്‌സ്‌ട്രീം പോയിന്റുകൾ എങ്ങനെ കണ്ടെത്താമെന്ന് ഞങ്ങൾ പഠിച്ചതിന് ശേഷമുള്ള അടുത്ത ഘട്ടം, ആവശ്യമുള്ള ഫംഗ്‌ഷന്റെ (x) രണ്ടാമത്തെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുക എന്നതാണ്. കണ്ടെത്തിയ നിർണായക പോയിന്റുകളുടെ മൂല്യങ്ങൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. ഒരു പ്രത്യേക അസമത്വത്തിലേക്ക്, തുടർന്ന് എന്താണ് സംഭവിക്കുന്നതെന്ന് കണക്കാക്കുക, ഇത് സംഭവിക്കുകയാണെങ്കിൽ, രണ്ടാമത്തെ ഡെറിവേറ്റീവ് നിർണ്ണായക പോയിന്റിൽ പൂജ്യത്തേക്കാൾ വലുതായി മാറുകയാണെങ്കിൽ, അത് ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ പോയിന്റായിരിക്കും, അല്ലാത്തപക്ഷം അത് പരമാവധി പോയിന്റായിരിക്കും.
4. ഫംഗ്ഷന്റെ ആവശ്യമായ പരമാവധി കുറഞ്ഞ പോയിന്റുകളിൽ പ്രാരംഭ ഫംഗ്ഷന്റെ മൂല്യം കണക്കാക്കാൻ ഇത് ശേഷിക്കുന്നു. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ഞങ്ങൾ ലഭിച്ച മൂല്യങ്ങൾ ഫംഗ്ഷനിലേക്ക് മാറ്റി കണക്കാക്കുന്നു. എന്നിരുന്നാലും, നിർണായക പോയിന്റ് പരമാവധി ആയി മാറുകയാണെങ്കിൽ, അത്യന്തം പരമാവധി ആയിരിക്കും, അത് മിനിമം ആണെങ്കിൽ, അത് സാമ്യമനുസരിച്ച് മിനിമം ആയിരിക്കുമെന്നത് ശ്രദ്ധിക്കേണ്ടതാണ്.

ഒരു എക്സ്ട്രീം കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള അൽഗോരിതം

നേടിയ അറിവ് സംഗ്രഹിക്കുന്നതിന്, എക്സ്ട്രീം പോയിന്റുകൾ കണ്ടെത്തുന്നതിന് ഞങ്ങൾ ഒരു ഹ്രസ്വ അൽഗോരിതം ഉണ്ടാക്കും.

1. നൽകിയിരിക്കുന്ന ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഡൊമെയ്‌നും അതിന്റെ ഇടവേളകളും ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു, അത് ഏത് ഇടവേളകളിലാണ് പ്രവർത്തനം തുടർച്ചയായി എന്ന് കൃത്യമായി നിർണ്ണയിക്കുന്നത്.
2. f "(x) എന്ന ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു.
3. y = f (x) എന്ന സമവാക്യത്തിന്റെ നിർണായക പോയിന്റുകൾ ഞങ്ങൾ കണക്കാക്കുന്നു.
4. f (x) എന്ന ഫംഗ്‌ഷന്റെ ദിശയിലെ മാറ്റങ്ങൾ ഞങ്ങൾ വിശകലനം ചെയ്യുന്നു, കൂടാതെ ഈ ഫംഗ്‌ഷന്റെ നിർവചനത്തിന്റെ ഡൊമെയ്‌നെ നിർണ്ണായക പോയിന്റുകൾ വേർതിരിക്കുന്ന ഡെറിവേറ്റീവ് f "(x) ചിഹ്നവും.
5. ഗ്രാഫിലെ ഓരോ പോയിന്റും പരമാവധി ആണോ മിനിമം ആണോ എന്ന് ഇപ്പോൾ നമ്മൾ നിർണ്ണയിക്കുന്നു.
6. എക്സ്ട്രീം ആയ പോയിന്റുകളിൽ ഫംഗ്ഷന്റെ മൂല്യങ്ങൾ ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു.
7. ഈ പഠനത്തിന്റെ ഫലം ഞങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നു - ഏകതാനതയുടെ തീവ്രതയും ഇടവേളകളും. അത്രയേയുള്ളൂ. ഏത് ഇടവേളയിലും ഒരു എക്സ്ട്രീം എങ്ങനെ കണ്ടെത്താമെന്ന് ഞങ്ങൾ ഇപ്പോൾ പരിഗണിച്ചു. ഒരു ഫംഗ്ഷന്റെ ഒരു നിശ്ചിത ഇടവേളയിൽ നിങ്ങൾക്ക് ഒരു എക്സ്ട്രീം കണ്ടെത്തണമെങ്കിൽ, ഇത് സമാനമായ രീതിയിലാണ് ചെയ്യുന്നത്, നടത്തുന്ന പഠനത്തിന്റെ അതിരുകൾ മാത്രം കണക്കിലെടുക്കണം.

അതിനാൽ, ഒരു ഫംഗ്‌ഷന്റെ എക്‌സ്‌ട്രീം പോയിന്റുകൾ എങ്ങനെ കണ്ടെത്താമെന്ന് ഞങ്ങൾ പരിഗണിച്ചു. ലളിതമായ കണക്കുകൂട്ടലുകളുടെ സഹായത്തോടെ, ഡെറിവേറ്റീവുകൾ കണ്ടെത്തുന്നതിനെക്കുറിച്ചുള്ള അറിവ് ഉപയോഗിച്ച്, നിങ്ങൾക്ക് ഏതെങ്കിലും തീവ്രത കണ്ടെത്താനും അത് കണക്കാക്കാനും അതുപോലെ ഗ്രാഫിക്കലായി നിശ്ചയിക്കാനും കഴിയും. സ്കൂളിലും ഒരു ഉന്നത വിദ്യാഭ്യാസ സ്ഥാപനത്തിലും ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ ഏറ്റവും പ്രധാനപ്പെട്ട വിഭാഗങ്ങളിലൊന്നാണ് അതിരുകടന്നത് കണ്ടെത്തുന്നത്, അതിനാൽ, അവ എങ്ങനെ ശരിയായി നിർണ്ണയിക്കാമെന്ന് നിങ്ങൾ പഠിക്കുകയാണെങ്കിൽ, പഠനം വളരെ എളുപ്പവും രസകരവുമാകും.

ഈ ലേഖനത്തിൽ നിന്ന്, പ്രവർത്തനപരമായ മൂല്യത്തിന്റെ ഒരു തീവ്രത എന്താണെന്നും പ്രായോഗികമായി അതിന്റെ ഉപയോഗത്തിന്റെ സവിശേഷതകളെക്കുറിച്ചും വായനക്കാരൻ പഠിക്കും. ഉയർന്ന ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ അടിത്തറ മനസ്സിലാക്കുന്നതിന് അത്തരമൊരു ആശയത്തിന്റെ പഠനം വളരെ പ്രധാനമാണ്. കോഴ്സിന്റെ ആഴത്തിലുള്ള പഠനത്തിന് ഈ വിഷയം അടിസ്ഥാനപരമാണ്.

എന്നിവരുമായി ബന്ധപ്പെട്ടു

എന്താണ് അങ്ങേയറ്റം?

സ്കൂൾ കോഴ്സിൽ, "അധികം" എന്ന ആശയത്തിന് നിരവധി നിർവചനങ്ങൾ നൽകിയിരിക്കുന്നു. ഈ വിഷയത്തെക്കുറിച്ച് അറിവില്ലാത്തവർക്ക് ഈ പദത്തെക്കുറിച്ച് ആഴത്തിലുള്ളതും വ്യക്തവുമായ ധാരണ നൽകാനാണ് ഈ ലേഖനം ഉദ്ദേശിക്കുന്നത്. അതിനാൽ, ഒരു പ്രത്യേക സെറ്റിൽ ഫങ്ഷണൽ ഇടവേള എത്രത്തോളം കുറഞ്ഞതോ കൂടിയതോ ആയ മൂല്യം നേടുന്നുവെന്ന് ഈ പദം മനസ്സിലാക്കുന്നു.

എക്‌സ്ട്രീം എന്നത് ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ മൂല്യവും ഒരേ സമയം കൂടിയ മൂല്യവുമാണ്. ഒരു മിനിമം പോയിന്റും പരമാവധി പോയിന്റും ഉണ്ട്, അതായത് ഗ്രാഫിലെ ആർഗ്യുമെന്റിന്റെ അങ്ങേയറ്റത്തെ മൂല്യങ്ങൾ. ഈ ആശയം ഉപയോഗിക്കുന്ന പ്രധാന ശാസ്ത്രങ്ങൾ:

• സ്ഥിതിവിവരക്കണക്കുകൾ;
• യന്ത്ര നിയന്ത്രണം;
• ഇക്കണോമെട്രിക്സ്.

തന്നിരിക്കുന്ന ഫംഗ്‌ഷന്റെ ക്രമം നിർണ്ണയിക്കുന്നതിൽ എക്‌സ്ട്രീം പോയിന്റുകൾ ഒരു പ്രധാന പങ്ക് വഹിക്കുന്നു. ഗ്രാഫിലെ കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റം അതിന്റെ ഏറ്റവും മികച്ച പ്രവർത്തനക്ഷമതയിലെ മാറ്റത്തെ ആശ്രയിച്ച് അങ്ങേയറ്റത്തെ സ്ഥാനത്ത് മാറ്റം കാണിക്കുന്നു.

ഡെറിവേറ്റീവ് ഫംഗ്ഷന്റെ എക്സ്ട്രീമ

"ഡെറിവേറ്റീവ്" പോലെയുള്ള ഒരു കാര്യവുമുണ്ട്. എക്സ്ട്രീം പോയിന്റ് നിർണ്ണയിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. ഏറ്റവും കുറഞ്ഞതോ കൂടിയതോ ആയ പോയിന്റുകൾ ഏറ്റവും വലുതും ചെറുതുമായ മൂല്യങ്ങളുമായി ആശയക്കുഴപ്പത്തിലാക്കാതിരിക്കേണ്ടത് പ്രധാനമാണ്. സമാനമായി തോന്നാമെങ്കിലും ഇവ വ്യത്യസ്ത ആശയങ്ങളാണ്.

പരമാവധി പോയിന്റ് എങ്ങനെ കണ്ടെത്താമെന്ന് നിർണ്ണയിക്കുന്നതിനുള്ള പ്രധാന ഘടകം ഫംഗ്ഷന്റെ മൂല്യമാണ്. ഡെറിവേറ്റീവ് രൂപപ്പെടുന്നത് മൂല്യങ്ങളിൽ നിന്നല്ല, മറിച്ച് ഒരു ക്രമത്തിലോ മറ്റൊന്നിലോ അതിന്റെ അങ്ങേയറ്റത്തെ സ്ഥാനത്ത് നിന്ന് മാത്രം.

ഡെറിവേറ്റീവ് തന്നെ നിർണ്ണയിക്കുന്നത് അങ്ങേയറ്റത്തെ പോയിന്റുകളുടെ ഡാറ്റയെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയാണ്, അല്ലാതെ ഏറ്റവും വലുതോ ചെറുതോ ആയ മൂല്യമല്ല. റഷ്യൻ സ്കൂളുകളിൽ, ഈ രണ്ട് ആശയങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള രേഖ വ്യക്തമായി വരച്ചിട്ടില്ല, ഇത് ഈ വിഷയത്തെ പൊതുവായി മനസ്സിലാക്കുന്നതിനെ ബാധിക്കുന്നു.

നമുക്ക് ഇപ്പോൾ അത്തരമൊരു സംഗതിയെ "മൂർച്ചയുള്ള തീവ്രത" ആയി പരിഗണിക്കാം. ഇന്നുവരെ, ഒരു അക്യൂട്ട് മിനിമം മൂല്യവും ഒരു നിശിത പരമാവധി മൂല്യവും ഉണ്ട്. ഒരു ഫംഗ്ഷന്റെ നിർണായക പോയിന്റുകളുടെ റഷ്യൻ വർഗ്ഗീകരണത്തിന് അനുസൃതമായാണ് നിർവചനം നൽകിയിരിക്കുന്നത്. ഒരു ചാർട്ടിൽ നിർണായക പോയിന്റുകൾ കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള അടിസ്ഥാനം ഒരു എക്സ്ട്രീം പോയിന്റ് എന്ന ആശയമാണ്.

അത്തരമൊരു ആശയം നിർവചിക്കാൻ, ഫെർമാറ്റിന്റെ സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിക്കുന്നു. അങ്ങേയറ്റത്തെ പോയിന്റുകളെക്കുറിച്ചുള്ള പഠനത്തിൽ ഇത് ഏറ്റവും പ്രധാനപ്പെട്ടതാണ് കൂടാതെ ഒരു രൂപത്തിൽ അല്ലെങ്കിൽ മറ്റൊന്നിൽ അവയുടെ നിലനിൽപ്പിനെക്കുറിച്ച് വ്യക്തമായ ആശയം നൽകുന്നു. തീവ്രത ഉറപ്പാക്കാൻ, ചാർട്ടിൽ കുറയ്ക്കുന്നതിനോ വർദ്ധിപ്പിക്കുന്നതിനോ ചില വ്യവസ്ഥകൾ സൃഷ്ടിക്കേണ്ടത് പ്രധാനമാണ്.

"പരമാവധി പോയിന്റ് എങ്ങനെ കണ്ടെത്താം" എന്ന ചോദ്യത്തിന് കൃത്യമായി ഉത്തരം നൽകാൻ, നിങ്ങൾ ഈ വ്യവസ്ഥകൾ പാലിക്കണം:

1. ചാർട്ടിൽ നിർവചനത്തിന്റെ കൃത്യമായ പ്രദേശം കണ്ടെത്തുന്നു.
2. ഒരു ഫംഗ്‌ഷന്റെയും എക്‌സ്‌ട്രീം പോയിന്റിന്റെയും ഡെറിവേറ്റീവിനായി തിരയുക.
3. ആർഗ്യുമെന്റിന്റെ ഡൊമെയ്‌നിനായുള്ള സ്റ്റാൻഡേർഡ് അസമത്വങ്ങൾ പരിഹരിക്കുക.
4. ഒരു ഗ്രാഫിലെ ഒരു ബിന്ദു നിർവചിക്കപ്പെട്ടതും തുടർച്ചയായതും ഏതൊക്കെ പ്രവർത്തനങ്ങളിലാണെന്ന് തെളിയിക്കാൻ കഴിയും.

ശ്രദ്ധ!ഒരു ഫംഗ്‌ഷന്റെ നിർണായക പോയിന്റിനായുള്ള തിരയൽ കുറഞ്ഞത് രണ്ടാമത്തെ ഓർഡറിന്റെ ഒരു ഡെറിവേറ്റീവ് ഉണ്ടെങ്കിൽ മാത്രമേ സാധ്യമാകൂ, അത് ഒരു എക്സ്ട്രീം പോയിന്റിന്റെ സാന്നിധ്യത്തിന്റെ ഉയർന്ന അനുപാതത്താൽ ഉറപ്പാക്കപ്പെടുന്നു.

പ്രവർത്തനത്തിന്റെ തീവ്രതയ്ക്ക് ആവശ്യമായ വ്യവസ്ഥ

ഒരു എക്സ്ട്രീം നിലനിൽക്കണമെങ്കിൽ, ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ പോയിന്റുകളും പരമാവധി പോയിന്റുകളും ഉണ്ടായിരിക്കേണ്ടത് പ്രധാനമാണ്. ഈ നിയമം ഭാഗികമായി മാത്രം നിരീക്ഷിക്കുകയാണെങ്കിൽ, ഒരു എക്സ്ട്രീമിന്റെ നിലനിൽപ്പിനുള്ള വ്യവസ്ഥ ലംഘിക്കപ്പെടുന്നു.

ഏതൊരു സ്ഥാനത്തിലുമുള്ള ഓരോ പ്രവർത്തനവും അതിന്റെ പുതിയ അർത്ഥങ്ങൾ തിരിച്ചറിയുന്നതിനായി വേർതിരിക്കേണ്ടതാണ്. ഒരു പോയിന്റ് അപ്രത്യക്ഷമാകുന്ന സന്ദർഭം ഒരു ഡിഫറൻഷ്യബിൾ പോയിന്റ് കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള പ്രധാന തത്വമല്ലെന്ന് മനസ്സിലാക്കേണ്ടത് പ്രധാനമാണ്.

തീവ്രമായ മൂല്യങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് ഒരു ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള വളരെ പ്രധാനപ്പെട്ട ഒരു വശമാണ് മൂർച്ചയുള്ള എക്സ്ട്രീം, അതുപോലെ ഒരു ഫംഗ്ഷൻ മിനിമം. ഈ ഘടകം നന്നായി മനസ്സിലാക്കുന്നതിന്, ഫങ്ഷണൽ നിർവചിക്കുന്നതിന് പട്ടിക മൂല്യങ്ങൾ റഫർ ചെയ്യേണ്ടത് പ്രധാനമാണ്.

ഒരു ഫംഗ്‌ഷന്റെ എക്‌സ്‌ട്രീം പോയിന്റ് എന്നത് ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഡൊമെയ്‌നിലെ പോയിന്റാണ്, അവിടെ ഫംഗ്‌ഷന്റെ മൂല്യം ഏറ്റവും കുറഞ്ഞതോ കൂടിയതോ ആയ മൂല്യം എടുക്കുന്നു. ഈ പോയിന്റുകളിലെ ഫംഗ്‌ഷൻ മൂല്യങ്ങളെ ഫംഗ്‌ഷന്റെ എക്‌സ്‌ട്രീമ (മിനിമം, പരമാവധി) എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

നിർവ്വചനം. ഡോട്ട് x1 പ്രവർത്തന വ്യാപ്തി എഫ്(x) വിളിച്ചു പ്രവർത്തനത്തിന്റെ പരമാവധി പോയിന്റ് , ഈ ഘട്ടത്തിലെ ഫംഗ്‌ഷന്റെ മൂല്യം, അതിന്റെ വലത്തോട്ടും ഇടത്തോട്ടും സ്ഥിതി ചെയ്യുന്ന, അതിനടുത്തുള്ള പോയിന്റുകളിലെ ഫംഗ്‌ഷന്റെ മൂല്യങ്ങളേക്കാൾ കൂടുതലാണെങ്കിൽ (അതായത്, അസമത്വം എഫ്(x0 ) > എഫ്(x 0 + Δ x) x1 പരമാവധി.

നിർവ്വചനം. ഡോട്ട് x2 പ്രവർത്തന വ്യാപ്തി എഫ്(x) വിളിച്ചു പ്രവർത്തനത്തിന്റെ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ പോയിന്റ്, ഈ ഘട്ടത്തിലെ ഫംഗ്‌ഷന്റെ മൂല്യം, അതിന്റെ വലത്തോട്ടും ഇടത്തോട്ടും സ്ഥിതി ചെയ്യുന്ന, അതിനടുത്തുള്ള പോയിന്റുകളിലെ ഫംഗ്‌ഷന്റെ മൂല്യങ്ങളേക്കാൾ കുറവാണെങ്കിൽ (അതായത്, അസമത്വം എഫ്(x0 ) < എഫ്(x 0 + Δ x) ). ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, പ്രവർത്തനം പോയിന്റിൽ ഉണ്ടെന്ന് പറയപ്പെടുന്നു x2 ഏറ്റവും കുറഞ്ഞത്.

കാര്യം പറയാം x1 - പ്രവർത്തനത്തിന്റെ പരമാവധി പോയിന്റ് എഫ്(x) പിന്നെ വരെയുള്ള ഇടവേളയിൽ x1 പ്രവർത്തനം വർദ്ധിക്കുന്നു, അതിനാൽ ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് പൂജ്യത്തേക്കാൾ വലുതാണ് ( എഫ് "(x) > 0 ), അതിനു ശേഷമുള്ള ഇടവേളയിലും x1 പ്രവർത്തനം കുറയുന്നു, അതിനാൽ ഫംഗ്ഷൻ ഡെറിവേറ്റീവ്പൂജ്യത്തേക്കാൾ കുറവ് ( എഫ് "(x) < 0 ). Тогда в точке x1

പോയിന്റ് ആണെന്നും നമുക്ക് അനുമാനിക്കാം x2 - പ്രവർത്തനത്തിന്റെ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ പോയിന്റ് എഫ്(x) പിന്നെ വരെയുള്ള ഇടവേളയിൽ x2 ഫംഗ്‌ഷൻ കുറയുന്നു, ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് പൂജ്യത്തേക്കാൾ കുറവാണ് ( എഫ് "(x) < 0 ), а в интервале после x2 ഫംഗ്‌ഷൻ വർദ്ധിക്കുകയും ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് പൂജ്യത്തേക്കാൾ വലുതാണ് ( എഫ് "(x) > 0 ). ഈ സാഹചര്യത്തിലും പോയിന്റ് x2 ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് പൂജ്യമാണ് അല്ലെങ്കിൽ നിലവിലില്ല.

ഫെർമാറ്റിന്റെ സിദ്ധാന്തം (ഒരു ഫംഗ്‌ഷന്റെ തീവ്രതയുടെ നിലനിൽപ്പിന് ആവശ്യമായ മാനദണ്ഡം). പോയിന്റ് ആണെങ്കിൽ x0 - ഫംഗ്ഷന്റെ എക്സ്ട്രീം പോയിന്റ് എഫ്(x), അപ്പോൾ ഈ ഘട്ടത്തിൽ ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ് ( എഫ് "(x) = 0 ) അല്ലെങ്കിൽ നിലവിലില്ല.

നിർവ്വചനം. ഒരു ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് പൂജ്യത്തിന് തുല്യമായതോ നിലവിലില്ലാത്തതോ ആയ പോയിന്റുകളെ വിളിക്കുന്നു നിർണായക പോയിന്റുകൾ .

ഉദാഹരണം 1നമുക്ക് ഒരു ഫംഗ്ഷൻ പരിഗണിക്കാം.

പോയിന്റിൽ x= 0 ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്, അതിനാൽ പോയിന്റ് x= 0 ആണ് നിർണായക പോയിന്റ്. എന്നിരുന്നാലും, ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഗ്രാഫിൽ കാണുന്നത് പോലെ, നിർവചനത്തിന്റെ മുഴുവൻ ഡൊമെയ്‌നിലും ഇത് വർദ്ധിക്കുന്നു, അതിനാൽ പോയിന്റ് x= 0 ഈ ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഒരു എക്‌സ്‌ട്രീം പോയിന്റല്ല.

അതിനാൽ, ഒരു പോയിന്റിലെ ഒരു ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ് അല്ലെങ്കിൽ നിലവിലില്ല എന്ന വ്യവസ്ഥകൾ ഒരു എക്‌സ്‌ട്രീമിന് ആവശ്യമായ വ്യവസ്ഥകളാണ്, പക്ഷേ പര്യാപ്തമല്ല, കാരണം ഈ വ്യവസ്ഥകൾ പാലിക്കുന്ന ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ മറ്റ് ഉദാഹരണങ്ങൾ നൽകാം, പക്ഷേ ഫംഗ്‌ഷൻ അനുബന്ധ പോയിന്റിൽ ഒരു എക്സ്ട്രീം ഇല്ല. അതുകൊണ്ടാണ് മതിയായ സൂചനകൾ ഉണ്ടായിരിക്കണം, ഇത് ഒരു പ്രത്യേക നിർണായക ഘട്ടത്തിൽ ഒരു എക്സ്ട്രീം ഉണ്ടോ എന്നും ഏതാണ് - പരമാവധി അല്ലെങ്കിൽ മിനിമം എന്ന് വിലയിരുത്തുന്നത് സാധ്യമാക്കുന്നു.

സിദ്ധാന്തം (ഒരു ഫംഗ്ഷന്റെ ഒരു തീവ്രതയുടെ നിലനിൽപ്പിനുള്ള ആദ്യത്തെ മതിയായ മാനദണ്ഡം).നിര്ണ്ണായക ബിന്ദു x0 എഫ്(x) , ഈ പോയിന്റിലൂടെ കടന്നുപോകുമ്പോൾ ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് ചിഹ്നം മാറുകയാണെങ്കിൽ, ചിഹ്നം "പ്ലസ്" ൽ നിന്ന് "മൈനസ്" ആയി മാറുകയാണെങ്കിൽ, പരമാവധി പോയിന്റ്, "മൈനസ്" ൽ നിന്ന് "പ്ലസ്" ആണെങ്കിൽ, ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ പോയിന്റ് .

പോയിന്റിനടുത്താണെങ്കിൽ x0 , അതിന്റെ ഇടത്തോട്ടും വലത്തോട്ടും, ഡെറിവേറ്റീവ് അതിന്റെ അടയാളം നിലനിർത്തുന്നു, ഇതിനർത്ഥം പോയിന്റിന്റെ ചില അയൽപക്കങ്ങളിൽ പ്രവർത്തനം കുറയുകയോ വർദ്ധിക്കുകയോ ചെയ്യുന്നു എന്നാണ്. x0 . ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, പോയിന്റിൽ x0 അതിരുകളില്ല.

അതിനാൽ, ഫംഗ്ഷന്റെ എക്സ്ട്രീം പോയിന്റുകൾ നിർണ്ണയിക്കാൻ, നിങ്ങൾ ഇനിപ്പറയുന്നവ ചെയ്യേണ്ടതുണ്ട് :

1. ഒരു ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുക.
2. ഡെറിവേറ്റീവിനെ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാക്കുകയും നിർണായക പോയിന്റുകൾ നിർണ്ണയിക്കുകയും ചെയ്യുക.
3. മാനസികമായോ കടലാസിലോ, സംഖ്യാ അക്ഷത്തിൽ നിർണായക പോയിന്റുകൾ അടയാളപ്പെടുത്തുകയും ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ഇടവേളകളിൽ ഫംഗ്ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവിന്റെ അടയാളങ്ങൾ നിർണ്ണയിക്കുകയും ചെയ്യുക. ഡെറിവേറ്റീവിന്റെ ചിഹ്നം "പ്ലസ്" എന്നതിൽ നിന്ന് "മൈനസ്" ആയി മാറുകയാണെങ്കിൽ, ക്രിട്ടിക്കൽ പോയിന്റ് പരമാവധി പോയിന്റാണ്, കൂടാതെ "മൈനസിൽ" നിന്ന് "പ്ലസ്" ആയാൽ, ക്രിട്ടിക്കൽ പോയിന്റ് ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ പോയിന്റാണ്.
4. എക്സ്ട്രീം പോയിന്റുകളിൽ ഫംഗ്ഷന്റെ മൂല്യം കണക്കാക്കുക.

ഉദാഹരണം 2ഒരു ഫംഗ്‌ഷന്റെ തീവ്രത കണ്ടെത്തുക .

പരിഹാരം. ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്താം:

നിർണായക പോയിന്റുകൾ കണ്ടെത്തുന്നതിന് ഡെറിവേറ്റീവിനെ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാക്കുക:

.

"x" ന്റെ ഏതെങ്കിലും മൂല്യങ്ങൾക്കായി ഡിനോമിനേറ്റർ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമല്ലാത്തതിനാൽ, ഞങ്ങൾ ന്യൂമറേറ്ററിനെ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാക്കുന്നു:

ഒരു നിർണായക പോയിന്റ് ലഭിച്ചു x= 3 . ഈ പോയിന്റ് കൊണ്ട് വേർതിരിച്ച ഇടവേളകളിൽ ഡെറിവേറ്റീവിന്റെ അടയാളം ഞങ്ങൾ നിർണ്ണയിക്കുന്നു:

മൈനസ് ഇൻഫിനിറ്റി മുതൽ 3 വരെയുള്ള ശ്രേണിയിൽ - മൈനസ് ചിഹ്നം, അതായത്, പ്രവർത്തനം കുറയുന്നു,

3 മുതൽ പ്ലസ് അനന്തത വരെയുള്ള ശ്രേണിയിൽ - ഒരു പ്ലസ് ചിഹ്നം, അതായത്, പ്രവർത്തനം വർദ്ധിക്കുന്നു.

അതായത്, പോയിന്റ് x= 3 ആണ് ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ പോയിന്റ്.

ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ പോയിന്റിൽ ഫംഗ്‌ഷന്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്തുക:

അങ്ങനെ, ഫംഗ്‌ഷന്റെ എക്‌സ്‌ട്രീം പോയിന്റ് കണ്ടെത്തി: (3; 0) , ഇത് ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ പോയിന്റാണ്.

സിദ്ധാന്തം (ഒരു ഫംഗ്ഷന്റെ ഒരു തീവ്രതയുടെ നിലനിൽപ്പിന് മതിയായ രണ്ടാമത്തെ മാനദണ്ഡം).നിര്ണ്ണായക ബിന്ദു x0 ഫംഗ്‌ഷന്റെ എക്‌സ്ട്രീം പോയിന്റാണ് എഫ്(x), ഈ ഘട്ടത്തിലെ ഫംഗ്‌ഷന്റെ രണ്ടാമത്തെ ഡെറിവേറ്റീവ് പൂജ്യത്തിന് തുല്യമല്ലെങ്കിൽ ( എഫ് ""(x) ≠ 0 ), കൂടാതെ, രണ്ടാമത്തെ ഡെറിവേറ്റീവ് പൂജ്യത്തേക്കാൾ വലുതാണെങ്കിൽ ( എഫ് ""(x) > 0 ), തുടർന്ന് പരമാവധി പോയിന്റ്, രണ്ടാമത്തെ ഡെറിവേറ്റീവ് പൂജ്യത്തേക്കാൾ കുറവാണെങ്കിൽ ( എഫ് ""(x) < 0 ), то точкой минимума.

പരാമർശം 1. ഒരു ഘട്ടത്തിലാണെങ്കിൽ x0 ഒന്നും രണ്ടും ഡെറിവേറ്റീവുകൾ അപ്രത്യക്ഷമാകുന്നു, അപ്പോൾ ഈ ഘട്ടത്തിൽ മതിയായ രണ്ടാമത്തെ ചിഹ്നത്തിന്റെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ ഒരു എക്സ്ട്രീമത്തിന്റെ സാന്നിധ്യം വിലയിരുത്തുക അസാധ്യമാണ്. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഫംഗ്ഷന്റെ അതിരുകടന്ന ആദ്യത്തെ മതിയായ മാനദണ്ഡം നിങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കേണ്ടതുണ്ട്.

പരാമർശം 2. ആദ്യത്തെ ഡെറിവേറ്റീവ് സ്റ്റേഷണറി പോയിന്റിൽ നിലവിലില്ലെങ്കിൽ (അപ്പോൾ രണ്ടാമത്തെ ഡെറിവേറ്റീവും നിലവിലില്ല) ഒരു ഫംഗ്‌ഷന്റെ എക്‌സ്‌ട്രീമിന് മതിയായ രണ്ടാമത്തെ മാനദണ്ഡം ബാധകമല്ല. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഫംഗ്ഷന്റെ തീവ്രതയ്ക്കായി ആദ്യത്തെ മതിയായ മാനദണ്ഡം ഉപയോഗിക്കേണ്ടതും ആവശ്യമാണ്.

പ്രവർത്തനത്തിന്റെ തീവ്രതയുടെ പ്രാദേശിക സ്വഭാവം

മേൽപ്പറഞ്ഞ നിർവചനങ്ങളിൽ നിന്ന്, ഒരു ഫംഗ്‌ഷന്റെ എക്‌സ്‌ട്രീം ഒരു പ്രാദേശിക സ്വഭാവമുള്ളതാണെന്ന് ഇത് പിന്തുടരുന്നു - ഇത് ഏറ്റവും അടുത്ത മൂല്യങ്ങളുമായി താരതമ്യപ്പെടുത്തുമ്പോൾ ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഏറ്റവും വലുതും ചെറുതുമായ മൂല്യമാണ്.

ഒരു വർഷത്തിനുള്ളിൽ നിങ്ങളുടെ വരുമാനം നിങ്ങൾ പരിഗണിക്കുന്നുവെന്ന് കരുതുക. മെയ് മാസത്തിൽ നിങ്ങൾ 45,000 റുബിളും ഏപ്രിലിൽ 42,000 റുബിളും ജൂണിൽ 39,000 റുബിളും നേടിയിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ, ഏറ്റവും അടുത്തുള്ള മൂല്യങ്ങളുമായി താരതമ്യപ്പെടുത്തുമ്പോൾ മെയ് വരുമാനം വരുമാന പ്രവർത്തനത്തിന്റെ പരമാവധി ആണ്. എന്നാൽ ഒക്ടോബറിൽ നിങ്ങൾ 71,000 റുബിളും സെപ്റ്റംബറിൽ 75,000 റുബിളും നവംബറിൽ 74,000 റുബിളും നേടി, അതിനാൽ അടുത്തുള്ള മൂല്യങ്ങളുമായി താരതമ്യപ്പെടുത്തുമ്പോൾ ഒക്ടോബർ വരുമാനം ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ വരുമാന പ്രവർത്തനമാണ്. ഏപ്രിൽ-മെയ്-ജൂൺ മൂല്യങ്ങളിൽ പരമാവധി സെപ്റ്റംബർ-ഒക്ടോബർ-നവംബർ മാസങ്ങളിലെ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ മൂല്യത്തേക്കാൾ കുറവാണെന്ന് നിങ്ങൾക്ക് എളുപ്പത്തിൽ കാണാൻ കഴിയും.

പൊതുവായി പറഞ്ഞാൽ, ഒരു ഫംഗ്‌ഷന് ഒരു ഇടവേളയിൽ നിരവധി എക്‌സ്‌ട്രീമകൾ ഉണ്ടായിരിക്കാം, കൂടാതെ ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഏത് മിനിമം ഏത് പരമാവധിയെക്കാളും വലുതാണെന്ന് ഇത് മാറിയേക്കാം. അതിനാൽ, മുകളിലുള്ള ചിത്രത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്ന പ്രവർത്തനത്തിന്, .

അതായത്, ഫംഗ്ഷന്റെ പരമാവധി കുറഞ്ഞതും യഥാക്രമം, പരിഗണനയിലുള്ള മുഴുവൻ സെഗ്‌മെന്റിലെയും അതിന്റെ പരമാവധി, കുറഞ്ഞ മൂല്യങ്ങളാണെന്ന് ആരും കരുതരുത്. പരമാവധി പോയിന്റിൽ, ആ മൂല്യങ്ങളുമായി താരതമ്യപ്പെടുത്തുമ്പോൾ മാത്രമേ ഫംഗ്ഷന് ഏറ്റവും വലിയ മൂല്യമുള്ളൂ, അത് എല്ലാ പോയിന്റുകളിലും പരമാവധി പോയിന്റിനോട് വളരെ അടുത്താണ്, ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ പോയിന്റിൽ, ആ മൂല്യങ്ങളുമായി താരതമ്യപ്പെടുത്തുമ്പോൾ മാത്രം ഏറ്റവും ചെറിയ മൂല്യം. എല്ലാ പോയിന്റുകളിലും മിനിമം പോയിന്റിന് അടുത്ത് ഉണ്ടെന്ന്.

അതിനാൽ, ഒരു ഫംഗ്‌ഷന്റെ എക്‌സ്‌ട്രീം പോയിന്റുകൾ എന്ന മേൽപ്പറഞ്ഞ ആശയം നമുക്ക് പരിഷ്‌ക്കരിക്കാനും ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ പോയിന്റുകളെ ലോക്കൽ മിനിമം പോയിന്റുകൾ എന്നും പരമാവധി പോയിന്റുകൾ - ലോക്കൽ പരമാവധി പോയിന്റുകൾ എന്നും വിളിക്കാം.

ഞങ്ങൾ ഒരുമിച്ച് ഫംഗ്‌ഷന്റെ തീവ്രത തിരയുകയാണ്

ഉദാഹരണം 3

പരിഹാരം. ഫംഗ്‌ഷൻ നിർവചിക്കപ്പെട്ടതും പൂർണ്ണ സംഖ്യാ രേഖയിൽ തുടർച്ചയായതുമാണ്. അതിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് മുഴുവൻ സംഖ്യാരേഖയിലും നിലവിലുണ്ട്. അതിനാൽ, ഇൻ ഈ കാര്യംഉള്ളവ മാത്രം, അതായത്, , എവിടെ നിന്ന് ഒപ്പം. നിർണായക പോയിന്റുകളും ഫംഗ്‌ഷന്റെ മുഴുവൻ ഡൊമെയ്‌നിനെയും ഏകതാനതയുടെ മൂന്ന് ഇടവേളകളായി വിഭജിക്കുക: . ഞങ്ങൾ അവയിൽ ഓരോന്നിലും ഒരു നിയന്ത്രണ പോയിന്റ് തിരഞ്ഞെടുക്കുകയും ഈ ഘട്ടത്തിൽ ഡെറിവേറ്റീവിന്റെ അടയാളം കണ്ടെത്തുകയും ചെയ്യുന്നു.

ഇടവേളയ്ക്ക്, റഫറൻസ് പോയിന്റ് ഇതായിരിക്കാം: ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു . ഇടവേളയിൽ ഒരു പോയിന്റ് എടുക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് ലഭിക്കും, ഇടവേളയിൽ ഒരു പോയിന്റ് എടുക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് . അതിനാൽ, ഇടവേളകളിലും, ഇടവേളകളിലും. ഒരു എക്‌സ്‌ട്രീമിന്റെ മതിയായ ആദ്യ ചിഹ്നമനുസരിച്ച്, പോയിന്റിൽ തീവ്രത ഇല്ല (ഇടവേളയിൽ ഡെറിവേറ്റീവ് അതിന്റെ അടയാളം നിലനിർത്തുന്നതിനാൽ), കൂടാതെ ഫംഗ്‌ഷന് പോയിന്റിൽ ഒരു മിനിമം ഉണ്ടായിരിക്കും (കടക്കുമ്പോൾ ഡെറിവേറ്റീവ് സൈൻ മൈനസിൽ നിന്ന് പ്ലസ് വരെ മാറുന്നതിനാൽ ഈ പോയിന്റിലൂടെ). ഫംഗ്‌ഷന്റെ അനുബന്ധ മൂല്യങ്ങൾ കണ്ടെത്തുക: , കൂടാതെ . ഇടവേളയിൽ, പ്രവർത്തനം കുറയുന്നു, കാരണം ഈ ഇടവേളയിൽ , ഇടവേളയിൽ അത് വർദ്ധിക്കുന്നു, ഈ ഇടവേളയിൽ.

ഗ്രാഫിന്റെ നിർമ്മാണം വ്യക്തമാക്കുന്നതിന്, കോർഡിനേറ്റ് അക്ഷങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് അതിന്റെ വിഭജന പോയിന്റുകൾ ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു. ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഗ്രാഫിന്റെ വേരുകളും, അതായത്, രണ്ട് പോയിന്റുകളും (0; 0), (4; 0) എന്നിവ കണ്ടെത്തുന്ന ഒരു സമവാക്യം നമുക്ക് ലഭിക്കുമ്പോൾ. ലഭിച്ച എല്ലാ വിവരങ്ങളും ഉപയോഗിച്ച്, ഞങ്ങൾ ഒരു ഗ്രാഫ് നിർമ്മിക്കുന്നു (ഉദാഹരണത്തിന്റെ തുടക്കത്തിൽ കാണുക).

ഉദാഹരണം 4ഫംഗ്ഷന്റെ തീവ്രത കണ്ടെത്തി അതിന്റെ ഗ്രാഫ് നിർമ്മിക്കുക.

ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഡൊമെയ്‌ൻ പോയിന്റ് ഒഴികെയുള്ള മുഴുവൻ സംഖ്യാരേഖയാണ്, അതായത്. .

പഠനം ചുരുക്കാൻ, ഈ ഫംഗ്‌ഷൻ തുല്യമാണ് എന്ന വസ്തുത നമുക്ക് ഉപയോഗിക്കാം . അതിനാൽ, അതിന്റെ ഗ്രാഫ് അച്ചുതണ്ടിന്റെ സമമിതിയാണ് അയ്യോകൂടാതെ പഠനം ഇടവേളയ്ക്ക് മാത്രമേ നടത്താൻ കഴിയൂ.

ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുന്നു പ്രവർത്തനത്തിന്റെ നിർണായക പോയിന്റുകളും:

1) ;

2) ,

എന്നാൽ ഈ ഘട്ടത്തിൽ ഫംഗ്‌ഷന് ഒരു ഇടവേള സംഭവിക്കുന്നു, അതിനാൽ ഇത് ഒരു എക്‌സ്ട്രീം പോയിന്റ് ആകാൻ കഴിയില്ല.

അതിനാൽ, നൽകിയിരിക്കുന്ന ഫംഗ്‌ഷന് രണ്ട് നിർണായക പോയിന്റുകൾ ഉണ്ട്: ഒപ്പം . ഫംഗ്‌ഷന്റെ പാരിറ്റി കണക്കിലെടുത്ത്, എക്‌സ്‌ട്രീമിന്റെ മതിയായ രണ്ടാമത്തെ അടയാളം ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ പോയിന്റ് മാത്രം പരിശോധിക്കുന്നു. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ഞങ്ങൾ രണ്ടാമത്തെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുന്നു അതിന്റെ അടയാളം ഇവിടെ നിർണ്ണയിക്കുക: നമുക്ക് ലഭിക്കും. ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ പോയിന്റ് ആയതിനാൽ, ഒപ്പം .

ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഗ്രാഫിന്റെ കൂടുതൽ പൂർണ്ണമായ ചിത്രം ലഭിക്കുന്നതിന്, നിർവചനത്തിന്റെ ഡൊമെയ്‌നിന്റെ അതിരുകളിൽ അതിന്റെ സ്വഭാവം കണ്ടെത്താം:

(ഇവിടെ ചിഹ്നം ആഗ്രഹത്തെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു xവലതുവശത്ത് പൂജ്യത്തിലേക്ക്, ഒപ്പം xപോസിറ്റീവ് ആയി തുടരുന്നു; അതുപോലെ അഭിലാഷം എന്നാണ് അർത്ഥമാക്കുന്നത് xഇടതുവശത്ത് പൂജ്യത്തിലേക്ക്, ഒപ്പം xനെഗറ്റീവ് ആയി തുടരുന്നു). അങ്ങനെ, എങ്കിൽ, പിന്നെ . അടുത്തതായി, ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു

,

ആ. എങ്കില് .

ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഗ്രാഫിന് അക്ഷങ്ങളുമായി വിഭജിക്കുന്ന പോയിന്റുകളൊന്നുമില്ല. ചിത്രം ഉദാഹരണത്തിന്റെ തുടക്കത്തിലാണ്.

ഞങ്ങൾ ഒരുമിച്ച് ഫംഗ്‌ഷന്റെ അതിരുകൾക്കായി തിരയുന്നത് തുടരുന്നു

ഉദാഹരണം 8ഫംഗ്ഷന്റെ തീവ്രത കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം. ഫംഗ്ഷന്റെ ഡൊമെയ്ൻ കണ്ടെത്തുക. അസമത്വം നിലനിറുത്തേണ്ടതിനാൽ, നമുക്ക് .

ഫംഗ്‌ഷന്റെ ആദ്യ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്താം:

ഫംഗ്ഷന്റെ നിർണായക പോയിന്റുകൾ നമുക്ക് കണ്ടെത്താം.