വീട് › എഞ്ചിൻ › എക്സുകളുമായുള്ള സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നു. ഓൺലൈൻ യുക്തിരഹിത സമവാക്യങ്ങളുടെ കാൽക്കുലേറ്റർ

എക്സുകളുമായുള്ള സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നു. ഓൺലൈൻ യുക്തിരഹിത സമവാക്യങ്ങളുടെ കാൽക്കുലേറ്റർ

ഗണിതശാസ്ത്രം പരിഹരിക്കാൻ. വേഗം കണ്ടെത്തുക ഒരു ഗണിത സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നുമോഡിൽ ഓൺലൈൻ. വെബ്സൈറ്റ് www.site അനുവദിക്കുന്നു സമവാക്യം പരിഹരിക്കുകഏതാണ്ട് ഏതെങ്കിലും തന്നിരിക്കുന്നു ബീജഗണിതം, ത്രികോണമിതിഅഥവാ അതീന്ദ്രിയ സമവാക്യം ഓൺലൈനിൽ. ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ ഏതെങ്കിലും ശാഖ വിവിധ ഘട്ടങ്ങളിൽ പഠിക്കുമ്പോൾ നിങ്ങൾ തീരുമാനിക്കേണ്ടതുണ്ട് സമവാക്യങ്ങൾ ഓൺലൈനിൽ. ഉടനടി ഉത്തരം ലഭിക്കുന്നതിനും ഏറ്റവും പ്രധാനമായി കൃത്യമായ ഉത്തരം ലഭിക്കുന്നതിനും, ഇത് ചെയ്യാൻ നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്ന ഒരു ഉറവിടം നിങ്ങൾക്ക് ആവശ്യമാണ്. www.site എന്ന സൈറ്റിന് നന്ദി സമവാക്യങ്ങൾ ഓൺലൈനിൽ പരിഹരിക്കുകകുറച്ച് മിനിറ്റ് എടുക്കും. ഗണിതശാസ്ത്രം പരിഹരിക്കുമ്പോൾ www.site-ന്റെ പ്രധാന നേട്ടം സമവാക്യങ്ങൾ ഓൺലൈനിൽ- നൽകിയിരിക്കുന്ന പ്രതികരണത്തിന്റെ വേഗതയും കൃത്യതയും ഇതാണ്. സൈറ്റിന് എന്തെങ്കിലും പരിഹരിക്കാൻ കഴിയും ബീജഗണിത സമവാക്യങ്ങൾ ഓൺലൈനിൽ, ത്രികോണമിതി സമവാക്യങ്ങൾ ഓൺലൈനിൽ, അതീന്ദ്രിയ സമവാക്യങ്ങൾ ഓൺലൈനിൽ, ഒപ്പം സമവാക്യങ്ങൾമോഡിൽ അജ്ഞാത പാരാമീറ്ററുകൾക്കൊപ്പം ഓൺലൈൻ. സമവാക്യങ്ങൾശക്തമായ ഒരു ഗണിത ഉപകരണമായി സേവിക്കുന്നു പരിഹാരങ്ങൾപ്രായോഗിക പ്രശ്നങ്ങൾ. സഹായത്തോടെ ഗണിത സമവാക്യങ്ങൾഒറ്റനോട്ടത്തിൽ ആശയക്കുഴപ്പവും സങ്കീർണ്ണവുമാണെന്ന് തോന്നുന്ന വസ്തുതകളും ബന്ധങ്ങളും പ്രകടിപ്പിക്കാൻ സാധിക്കും. അജ്ഞാത അളവുകൾ സമവാക്യങ്ങൾലെ പ്രശ്നം രൂപപ്പെടുത്തുന്നതിലൂടെ കണ്ടെത്താനാകും ഗണിതശാസ്ത്രംരൂപത്തിൽ ഭാഷ സമവാക്യങ്ങൾഒപ്പം തീരുമാനിക്കുകമോഡിൽ ടാസ്ക് ലഭിച്ചു ഓൺലൈൻ www.site എന്ന വെബ്സൈറ്റിൽ. ഏതെങ്കിലും ബീജഗണിത സമവാക്യം, ത്രികോണമിതി സമവാക്യംഅഥവാ സമവാക്യങ്ങൾഅടങ്ങുന്ന അതീന്ദ്രിയമായനിങ്ങൾക്ക് എളുപ്പത്തിൽ കഴിയുന്ന സവിശേഷതകൾ തീരുമാനിക്കുകഓൺലൈനിൽ കൃത്യമായ ഉത്തരം നേടുക. പ്രകൃതി ശാസ്ത്രം പഠിക്കുമ്പോൾ, നിങ്ങൾ അനിവാര്യമായും ആവശ്യം നേരിടുന്നു സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നു. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഉത്തരം കൃത്യമായിരിക്കണം കൂടാതെ മോഡിൽ ഉടനടി ലഭിക്കുകയും വേണം ഓൺലൈൻ. അതുകൊണ്ട് വേണ്ടി ഗണിത സമവാക്യങ്ങൾ ഓൺലൈനിൽ പരിഹരിക്കുന്നു www.site എന്ന സൈറ്റ് ഞങ്ങൾ ശുപാർശ ചെയ്യുന്നു, അത് നിങ്ങളുടെ ഒഴിച്ചുകൂടാനാവാത്ത കാൽക്കുലേറ്ററായി മാറും ബീജഗണിത സമവാക്യങ്ങൾ ഓൺലൈനിൽ പരിഹരിക്കുക, ത്രികോണമിതി സമവാക്യങ്ങൾ ഓൺലൈനിൽ, ഒപ്പം അതീന്ദ്രിയ സമവാക്യങ്ങൾ ഓൺലൈനിൽഅഥവാ സമവാക്യങ്ങൾഅജ്ഞാത പാരാമീറ്ററുകൾക്കൊപ്പം. വിവിധ വേരുകൾ കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള പ്രായോഗിക പ്രശ്നങ്ങൾക്ക് ഗണിത സമവാക്യങ്ങൾറിസോഴ്സ് www.. പരിഹരിക്കുന്നു സമവാക്യങ്ങൾ ഓൺലൈനിൽസ്വയം, സ്വീകരിച്ച ഉത്തരം ഉപയോഗിച്ച് പരിശോധിക്കുന്നത് ഉപയോഗപ്രദമാണ് ഓൺലൈൻ സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നു www.site എന്ന വെബ്സൈറ്റിൽ. നിങ്ങൾ സമവാക്യം ശരിയായി എഴുതുകയും തൽക്ഷണം നേടുകയും വേണം ഓൺലൈൻ പരിഹാരം, അതിന് ശേഷം സമവാക്യത്തിലേക്കുള്ള നിങ്ങളുടെ പരിഹാരവുമായി ഉത്തരം താരതമ്യം ചെയ്യുക മാത്രമാണ് ശേഷിക്കുന്നത്. ഉത്തരം പരിശോധിക്കുന്നത് ഒരു മിനിറ്റിൽ കൂടുതൽ എടുക്കില്ല, അത് മതി സമവാക്യം ഓൺലൈനിൽ പരിഹരിക്കുകഉത്തരങ്ങൾ താരതമ്യം ചെയ്യുക. തെറ്റുകൾ ഒഴിവാക്കാൻ ഇത് നിങ്ങളെ സഹായിക്കും തീരുമാനംകൂടാതെ കൃത്യസമയത്ത് ഉത്തരം ശരിയാക്കുക സമവാക്യങ്ങൾ ഓൺലൈനിൽ പരിഹരിക്കുന്നുഒന്നുകിൽ ബീജഗണിതം, ത്രികോണമിതി, അതീന്ദ്രിയമായഅഥവാ സമവാക്യംഅജ്ഞാത പാരാമീറ്ററുകൾക്കൊപ്പം.

സേവനത്തിന്റെ ഉദ്ദേശ്യം. ഒരു മാട്രിക്സ് രീതി ഉപയോഗിച്ച് ലീനിയർ സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനാണ് മാട്രിക്സ് കാൽക്കുലേറ്റർ രൂപകൽപ്പന ചെയ്തിരിക്കുന്നത് (സമാന പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഉദാഹരണം കാണുക).

നിർദ്ദേശങ്ങൾ. ഓൺലൈനിൽ പരിഹരിക്കുന്നതിന്, നിങ്ങൾ സമവാക്യത്തിന്റെ തരം തിരഞ്ഞെടുത്ത് അനുബന്ധ മെട്രിക്സുകളുടെ അളവ് സജ്ജമാക്കേണ്ടതുണ്ട്. ഇവിടെ A, B, C എന്നിവ നിർദ്ദിഷ്ട മെട്രിക്സുകളാണ്, X ആണ് ആവശ്യമുള്ള മാട്രിക്സ്. (1), (2), (3) എന്നിവയുടെ മാട്രിക്സ് സമവാക്യങ്ങൾ വിപരീത മാട്രിക്സ് A -1 വഴി പരിഹരിക്കുന്നു. A·X - B = C എന്ന പദപ്രയോഗം നൽകിയിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ, ആദ്യം C + B എന്ന മാട്രിക്സ് ചേർത്ത് A·X = D എന്ന പദപ്രയോഗത്തിന് പരിഹാരം കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്, ഇവിടെ D = C + B. A*X = B 2 എന്ന പദപ്രയോഗം നൽകിയിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ, മാട്രിക്സ് B ആദ്യം വർഗ്ഗീകരിക്കണം.

മെട്രിക്സുകളിലെ അടിസ്ഥാന പ്രവർത്തനങ്ങളെക്കുറിച്ച് സ്വയം പരിചയപ്പെടുത്താനും ശുപാർശ ചെയ്യുന്നു.

ഉദാഹരണം നമ്പർ 1. വ്യായാമം ചെയ്യുക. മാട്രിക്സ് സമവാക്യത്തിനുള്ള പരിഹാരം കണ്ടെത്തുക
പരിഹാരം. നമുക്ക് സൂചിപ്പിക്കാം:
അപ്പോൾ മാട്രിക്സ് സമവാക്യം രൂപത്തിൽ എഴുതപ്പെടും: A·X·B = C.
മാട്രിക്സ് എയുടെ ഡിറ്റർമിനന്റ് detA=-1 ന് തുല്യമാണ്
A ഒരു ഏകവചനമല്ലാത്ത മാട്രിക്സ് ആയതിനാൽ, ഒരു വിപരീത മാട്രിക്സ് A -1 ഉണ്ട്. ഇടതുവശത്തുള്ള സമവാക്യത്തിന്റെ ഇരുവശങ്ങളെയും A -1 കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക: ഈ സമവാക്യത്തിന്റെ രണ്ട് വശങ്ങളും ഇടതുവശത്ത് A -1 കൊണ്ടും വലതുവശത്ത് B -1 കൊണ്ടും ഗുണിക്കുക: A -1 ·A·X·B·B -1 = A -1 ·C·B -1 . A A -1 = B B -1 = E, E X = X E = X എന്നതിനാൽ, X = A -1 C B -1

വിപരീത മാട്രിക്സ് A -1:
നമുക്ക് വിപരീത മാട്രിക്സ് B -1 കണ്ടെത്താം.
ട്രാൻസ്പോസ്ഡ് മാട്രിക്സ് ബി ടി:
വിപരീത മാട്രിക്സ് B -1:
ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ മാട്രിക്സ് X തിരയുന്നു: X = A -1 ·C·B -1

ഉത്തരം:

ഉദാഹരണം നമ്പർ 2. വ്യായാമം ചെയ്യുക.മാട്രിക്സ് സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക
പരിഹാരം. നമുക്ക് സൂചിപ്പിക്കാം:
അപ്പോൾ മാട്രിക്സ് സമവാക്യം രൂപത്തിൽ എഴുതപ്പെടും: A·X = B.
മാട്രിക്സ് എയുടെ ഡിറ്റർമിനന്റ് detA=0 ആണ്
എ ഒരു ഏകവചന മാട്രിക്സ് ആയതിനാൽ (നിർണ്ണയം 0 ആണ്), അതിനാൽ സമവാക്യത്തിന് പരിഹാരമില്ല.

ഉദാഹരണം നമ്പർ 3. വ്യായാമം ചെയ്യുക. മാട്രിക്സ് സമവാക്യത്തിനുള്ള പരിഹാരം കണ്ടെത്തുക
പരിഹാരം. നമുക്ക് സൂചിപ്പിക്കാം:
അപ്പോൾ മാട്രിക്സ് സമവാക്യം രൂപത്തിൽ എഴുതപ്പെടും: X A = B.
മാട്രിക്സ് എയുടെ ഡിറ്റർമിനന്റ് detA=-60 ആണ്
A ഒരു ഏകവചനമല്ലാത്ത മാട്രിക്സ് ആയതിനാൽ, ഒരു വിപരീത മാട്രിക്സ് A -1 ഉണ്ട്. വലതുവശത്തുള്ള സമവാക്യത്തിന്റെ ഇരുവശങ്ങളെയും A -1 കൊണ്ട് ഗുണിക്കാം: X A A -1 = B A -1, അവിടെ നിന്ന് X = B A -1 എന്ന് കണ്ടെത്താം.
നമുക്ക് വിപരീത മാട്രിക്സ് A -1 കണ്ടെത്താം.
ട്രാൻസ്പോസ്ഡ് മാട്രിക്സ് എ ടി:
വിപരീത മാട്രിക്സ് A -1:
ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ മാട്രിക്സ് X തിരയുന്നു: X = B A -1

ഉത്തരം: >

ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ എട്ടാം ക്ലാസ്സിൽ പഠിക്കുന്നു, അതിനാൽ ഇവിടെ സങ്കീർണ്ണമായ ഒന്നും തന്നെയില്ല. അവ പരിഹരിക്കാനുള്ള കഴിവ് തികച്ചും ആവശ്യമാണ്.

ax 2 + bx + c = 0 എന്ന രൂപത്തിന്റെ സമവാക്യമാണ് ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം, ഇവിടെ ഗുണകങ്ങൾ a, b, c എന്നിവ ഏകപക്ഷീയ സംഖ്യകളും a ≠ 0 ഉം ആണ്.

നിർദ്ദിഷ്ട പരിഹാര രീതികൾ പഠിക്കുന്നതിനുമുമ്പ്, എല്ലാ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങളെയും മൂന്ന് ക്ലാസുകളായി തിരിക്കാം:

വേരുകളില്ല;
കൃത്യമായി ഒരു റൂട്ട് ഉണ്ടായിരിക്കുക;
അവയ്ക്ക് രണ്ട് വ്യത്യസ്ത വേരുകളുണ്ട്.

ഇത് ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങളും രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളും തമ്മിലുള്ള ഒരു പ്രധാന വ്യത്യാസമാണ്, അവിടെ റൂട്ട് എല്ലായ്പ്പോഴും നിലനിൽക്കുന്നതും അതുല്യവുമാണ്. ഒരു സമവാക്യത്തിന് എത്ര വേരുകൾ ഉണ്ടെന്ന് എങ്ങനെ നിർണ്ണയിക്കും? ഇതിന് ഒരു അത്ഭുതകരമായ കാര്യമുണ്ട് - വിവേചനം.

വിവേചനം

കോടാലി 2 + bx + c = 0 എന്ന ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം നൽകട്ടെ, അപ്പോൾ വിവേചനം D = b 2 - 4ac എന്ന സംഖ്യയാണ്.

ഈ സൂത്രവാക്യം നിങ്ങൾ ഹൃദയത്തിൽ അറിയേണ്ടതുണ്ട്. അത് എവിടെ നിന്ന് വരുന്നു എന്നത് ഇപ്പോൾ പ്രധാനമല്ല. മറ്റൊരു കാര്യം പ്രധാനമാണ്: ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന് എത്ര വേരുകളുണ്ടെന്ന് വിവേചനത്തിന്റെ അടയാളം ഉപയോഗിച്ച് നിങ്ങൾക്ക് നിർണ്ണയിക്കാനാകും. അതായത്:

എങ്കിൽ ഡി< 0, корней нет;
D = 0 ആണെങ്കിൽ, കൃത്യമായി ഒരു റൂട്ട് ഉണ്ട്;
D > 0 ആണെങ്കിൽ, രണ്ട് വേരുകൾ ഉണ്ടാകും.

ദയവായി ശ്രദ്ധിക്കുക: വിവേചനം വേരുകളുടെ എണ്ണം സൂചിപ്പിക്കുന്നു, ചില കാരണങ്ങളാൽ പലരും വിശ്വസിക്കുന്നതിനാൽ അവയുടെ എല്ലാ അടയാളങ്ങളുമല്ല. ഉദാഹരണങ്ങൾ നോക്കൂ, നിങ്ങൾക്ക് എല്ലാം സ്വയം മനസ്സിലാകും:

ടാസ്ക്. ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾക്ക് എത്ര വേരുകൾ ഉണ്ട്:

x 2 - 8x + 12 = 0;

5x 2 + 3x + 7 = 0;

x 2 - 6x + 9 = 0.

ആദ്യ സമവാക്യത്തിനുള്ള ഗുണകങ്ങൾ എഴുതുകയും വിവേചനം കണ്ടെത്തുകയും ചെയ്യാം:
a = 1, b = -8, c = 12;
D = (-8) 2 - 4 1 12 = 64 - 48 = 16

അതിനാൽ വിവേചനം പോസിറ്റീവ് ആണ്, അതിനാൽ സമവാക്യത്തിന് രണ്ട് വ്യത്യസ്ത വേരുകളുണ്ട്. ഞങ്ങൾ രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യം സമാനമായ രീതിയിൽ വിശകലനം ചെയ്യുന്നു:
a = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 - 4 5 7 = 9 - 140 = -131.

വിവേചനം നെഗറ്റീവ് ആണ്, വേരുകൾ ഇല്ല. അവശേഷിക്കുന്ന അവസാന സമവാക്യം ഇതാണ്:
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (-6) 2 - 4 1 9 = 36 - 36 = 0.

വിവേചനം പൂജ്യമാണ് - റൂട്ട് ഒന്നായിരിക്കും.

ഓരോ സമവാക്യത്തിനും ഗുണകങ്ങൾ എഴുതിയിട്ടുണ്ടെന്ന കാര്യം ശ്രദ്ധിക്കുക. അതെ, ഇത് ദൈർഘ്യമേറിയതാണ്, അതെ, ഇത് മടുപ്പുളവാക്കുന്നതാണ്, പക്ഷേ നിങ്ങൾ അസന്തുലിതാവസ്ഥ കലർത്തി മണ്ടത്തരങ്ങൾ വരുത്തുകയില്ല. നിങ്ങൾക്കായി തിരഞ്ഞെടുക്കുക: വേഗത അല്ലെങ്കിൽ ഗുണനിലവാരം.

വഴിയിൽ, നിങ്ങൾ അത് മനസ്സിലാക്കിയാൽ, കുറച്ച് സമയത്തിന് ശേഷം നിങ്ങൾ എല്ലാ ഗുണകങ്ങളും എഴുതേണ്ടതില്ല. നിങ്ങളുടെ തലയിൽ അത്തരം പ്രവർത്തനങ്ങൾ നടത്തും. മിക്ക ആളുകളും 50-70 സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിച്ചതിന് ശേഷം എവിടെയെങ്കിലും ഇത് ചെയ്യാൻ തുടങ്ങുന്നു - പൊതുവേ, അത്രയല്ല.

ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകൾ

ഇനി നമുക്ക് പരിഹാരത്തിലേക്ക് തന്നെ പോകാം. വിവേചനം D > 0 ആണെങ്കിൽ, സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് വേരുകൾ കണ്ടെത്താം:

ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകൾക്കായുള്ള അടിസ്ഥാന സൂത്രവാക്യം

D = 0 ആയിരിക്കുമ്പോൾ, നിങ്ങൾക്ക് ഈ ഫോർമുലകളിൽ ഏതെങ്കിലും ഉപയോഗിക്കാം - നിങ്ങൾക്ക് അതേ നമ്പർ ലഭിക്കും, അത് ഉത്തരം ആയിരിക്കും. അവസാനമായി, ഡി എങ്കിൽ< 0, корней нет — ничего считать не надо.

x 2 - 2x - 3 = 0;

15 - 2x - x 2 = 0;

x 2 + 12x + 36 = 0.

ആദ്യ സമവാക്യം:
x 2 - 2x - 3 = 0 ⇒ a = 1; b = -2; c = -3;
D = (-2) 2 - 4 1 (-3) = 16.

D > 0 ⇒ സമവാക്യത്തിന് രണ്ട് വേരുകളുണ്ട്. നമുക്ക് അവരെ കണ്ടെത്താം:

രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യം:
15 - 2x - x 2 = 0 ⇒ a = -1; b = -2; c = 15;
D = (-2) 2 - 4 · (-1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ സമവാക്യത്തിന് വീണ്ടും രണ്ട് വേരുകളുണ്ട്. നമുക്ക് അവരെ കണ്ടെത്താം

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \അവസാനം(വിന്യസിക്കുക)\]

അവസാനമായി, മൂന്നാമത്തെ സമവാക്യം:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 - 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ സമവാക്യത്തിന് ഒരു റൂട്ട് ഉണ്ട്. ഏത് ഫോർമുലയും ഉപയോഗിക്കാം. ഉദാഹരണത്തിന്, ആദ്യത്തേത്:

ഉദാഹരണങ്ങളിൽ നിന്ന് നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, എല്ലാം വളരെ ലളിതമാണ്. നിങ്ങൾക്ക് ഫോർമുലകൾ അറിയുകയും എണ്ണാൻ കഴിയുകയും ചെയ്താൽ, പ്രശ്നങ്ങളൊന്നും ഉണ്ടാകില്ല. മിക്കപ്പോഴും, ഫോർമുലയിലേക്ക് നെഗറ്റീവ് ഗുണകങ്ങൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുമ്പോൾ പിശകുകൾ സംഭവിക്കുന്നു. ഇവിടെയും, മുകളിൽ വിവരിച്ച സാങ്കേതികത സഹായിക്കും: സൂത്രവാക്യം അക്ഷരാർത്ഥത്തിൽ നോക്കുക, ഓരോ ഘട്ടവും എഴുതുക - വളരെ വേഗം നിങ്ങൾ പിശകുകൾ ഒഴിവാക്കും.

അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ

ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം നിർവചനത്തിൽ നൽകിയിരിക്കുന്നതിൽ നിന്ന് അല്പം വ്യത്യസ്തമാണ്. ഉദാഹരണത്തിന്:

x 2 + 9x = 0;
x 2 - 16 = 0.

ഈ സമവാക്യങ്ങളിൽ പദങ്ങളിലൊന്ന് നഷ്‌ടമായിരിക്കുന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുന്നത് എളുപ്പമാണ്. അത്തരം ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ സാധാരണ സമവാക്യങ്ങളേക്കാൾ പരിഹരിക്കാൻ എളുപ്പമാണ്: അവയ്ക്ക് വിവേചനം കണക്കാക്കേണ്ട ആവശ്യമില്ല. അതിനാൽ, നമുക്ക് ഒരു പുതിയ ആശയം അവതരിപ്പിക്കാം:

b = 0 അല്ലെങ്കിൽ c = 0 ആണെങ്കിൽ ax 2 + bx + c = 0 എന്ന സമവാക്യത്തെ അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം എന്ന് വിളിക്കുന്നു, അതായത്. വേരിയബിളിന്റെ ഗുണകം x അല്ലെങ്കിൽ സ്വതന്ത്ര മൂലകം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്.

തീർച്ചയായും, ഈ രണ്ട് ഗുണകങ്ങളും പൂജ്യത്തിന് തുല്യമായിരിക്കുമ്പോൾ വളരെ ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള ഒരു കേസ് സാധ്യമാണ്: b = c = 0. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, സമവാക്യം കോടാലി 2 = 0 എന്ന രൂപമെടുക്കുന്നു. വ്യക്തമായും, അത്തരമൊരു സമവാക്യത്തിന് ഒരൊറ്റ റൂട്ട് ഉണ്ട്: x = 0.

ബാക്കിയുള്ള കേസുകൾ നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം. b = 0 എന്ന് അനുവദിക്കുക, അപ്പോൾ നമുക്ക് ax 2 + c = 0 എന്ന ഫോമിന്റെ അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം ലഭിക്കും. നമുക്ക് അതിനെ അൽപ്പം രൂപാന്തരപ്പെടുത്താം:

ഗണിത സ്‌ക്വയർ റൂട്ട് നെഗറ്റീവ് അല്ലാത്ത ഒരു സംഖ്യയിൽ മാത്രമേ ഉള്ളൂ എന്നതിനാൽ, അവസാന സമത്വം (-c /a) ≥ 0 ന് മാത്രമേ അർത്ഥമുള്ളൂ. നിഗമനം:

ax 2 + c = 0 രൂപത്തിന്റെ അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൽ അസമത്വം (-c /a) ≥ 0 തൃപ്തിപ്പെട്ടാൽ, രണ്ട് വേരുകൾ ഉണ്ടാകും. ഫോർമുല മുകളിൽ നൽകിയിരിക്കുന്നു;
എങ്കിൽ (-c /a)< 0, корней нет.

നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, ഒരു വിവേചനം ആവശ്യമില്ല - അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങളിൽ സങ്കീർണ്ണമായ കണക്കുകൂട്ടലുകൾ ഒന്നുമില്ല. വാസ്തവത്തിൽ, അസമത്വം (−c /a) ≥ 0 ഓർക്കാൻ പോലും ആവശ്യമില്ല. മൂല്യം x 2 പ്രകടിപ്പിക്കുകയും തുല്യ ചിഹ്നത്തിന്റെ മറുവശത്ത് എന്താണെന്ന് കാണുകയും ചെയ്താൽ മതി. ഒരു പോസിറ്റീവ് നമ്പർ ഉണ്ടെങ്കിൽ, രണ്ട് വേരുകൾ ഉണ്ടാകും. ഇത് നെഗറ്റീവ് ആണെങ്കിൽ, വേരുകളൊന്നും ഉണ്ടാകില്ല.

ഇപ്പോൾ നമുക്ക് ax 2 + bx = 0 എന്ന ഫോമിന്റെ സമവാക്യങ്ങൾ നോക്കാം, അതിൽ സ്വതന്ത്ര ഘടകം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്. ഇവിടെ എല്ലാം ലളിതമാണ്: എപ്പോഴും രണ്ട് വേരുകൾ ഉണ്ടാകും. ബഹുപദം കണക്കാക്കിയാൽ മതി:

ബ്രാക്കറ്റുകളിൽ നിന്ന് പൊതുവായ ഘടകം എടുക്കൽ

ഘടകങ്ങളിലൊന്നെങ്കിലും പൂജ്യമാകുമ്പോൾ ഉൽപ്പന്നം പൂജ്യമാണ്. ഇവിടെ നിന്നാണ് വേരുകൾ വരുന്നത്. ഉപസംഹാരമായി, ഈ സമവാക്യങ്ങളിൽ ചിലത് നോക്കാം: