അസമത്വത്തിൽ ഒരു മോഡുലസ് എങ്ങനെ നീക്കംചെയ്യാം. മോഡുലസ് ഉള്ള സമവാക്യങ്ങൾ

ഓൺലൈൻ അസമത്വങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നു

അസമത്വങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിന് മുമ്പ്, സമവാക്യങ്ങൾ എങ്ങനെ പരിഹരിക്കപ്പെടുന്നു എന്നതിനെക്കുറിച്ച് നിങ്ങൾക്ക് നല്ല ധാരണ ഉണ്ടായിരിക്കണം.

അസമത്വം കർശനമായതാണോ () അല്ലെങ്കിൽ കർശനമല്ലാത്തതാണോ (≤, ≥) എന്നത് പ്രശ്നമല്ല, അസമത്വ ചിഹ്നത്തെ തുല്യത (=) ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റി സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക എന്നതാണ് ആദ്യപടി.

ഒരു അസമത്വം പരിഹരിക്കുക എന്നതിന്റെ അർത്ഥമെന്താണെന്ന് നമുക്ക് വിശദീകരിക്കാം?

സമവാക്യങ്ങൾ പഠിച്ച ശേഷം, വിദ്യാർത്ഥിയുടെ തലയിൽ ഇനിപ്പറയുന്ന ചിത്രം ലഭിക്കുന്നു: സമവാക്യത്തിന്റെ ഇരുവശങ്ങളും ഒരേ മൂല്യങ്ങൾ എടുക്കുന്ന തരത്തിൽ വേരിയബിളിന്റെ മൂല്യങ്ങൾ കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്. മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, സമത്വം നിലനിൽക്കുന്ന എല്ലാ പോയിന്റുകളും കണ്ടെത്തുക. എല്ലാം ശരിയാണ്!

അസമത്വങ്ങളെക്കുറിച്ച് സംസാരിക്കുമ്പോൾ, അസമത്വം നിലനിൽക്കുന്ന ഇടവേളകൾ (സെഗ്‌മെന്റുകൾ) കണ്ടെത്തുക എന്നാണ് ഞങ്ങൾ അർത്ഥമാക്കുന്നത്. അസമത്വത്തിൽ രണ്ട് വേരിയബിളുകൾ ഉണ്ടെങ്കിൽ, പരിഹാരം ഇനി ഇടവേളകളായിരിക്കില്ല, പക്ഷേ വിമാനത്തിലെ ചില പ്രദേശങ്ങൾ. മൂന്ന് വേരിയബിളുകളിലെ അസമത്വത്തിനുള്ള പരിഹാരം എന്തായിരിക്കുമെന്ന് സ്വയം ഊഹിക്കുക?

അസമത്വങ്ങൾ എങ്ങനെ പരിഹരിക്കാം?

അസമത്വങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു സാർവത്രിക മാർഗം ഇടവേളകളുടെ രീതിയായി കണക്കാക്കപ്പെടുന്നു (ഇടവേളകളുടെ രീതി എന്നും അറിയപ്പെടുന്നു), തന്നിരിക്കുന്ന അസമത്വം തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്ന അതിരുകൾക്കുള്ളിലെ എല്ലാ ഇടവേളകളും നിർണ്ണയിക്കുന്നതിൽ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു.

അസമത്വത്തിന്റെ തരത്തിലേക്ക് പോകാതെ, ഈ സാഹചര്യത്തിൽ ഇത് പോയിന്റല്ല, നിങ്ങൾ അനുബന്ധ സമവാക്യം പരിഹരിക്കുകയും അതിന്റെ വേരുകൾ നിർണ്ണയിക്കുകയും വേണം, തുടർന്ന് സംഖ്യാ അക്ഷത്തിൽ ഈ പരിഹാരങ്ങളുടെ പദവിയും.

അസമത്വത്തിനുള്ള പരിഹാരം എങ്ങനെ ശരിയായി എഴുതാം?

അസമത്വത്തിനുള്ള പരിഹാര ഇടവേളകൾ നിങ്ങൾ നിർണ്ണയിച്ചുകഴിഞ്ഞാൽ, നിങ്ങൾ പരിഹാരം തന്നെ ശരിയായി എഴുതേണ്ടതുണ്ട്. ഒരു പ്രധാന ന്യൂനൻസ് ഉണ്ട് - ഇടവേളകളുടെ അതിരുകൾ പരിഹാരത്തിൽ ഉൾപ്പെടുത്തിയിട്ടുണ്ടോ?

ഇവിടെ എല്ലാം ലളിതമാണ്. സമവാക്യത്തിന്റെ പരിഹാരം ODZ-നെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുകയും അസമത്വം കർശനമല്ലെങ്കിൽ, അസമത്വത്തിനുള്ള പരിഹാരത്തിൽ ഇടവേളയുടെ അതിർത്തി ഉൾപ്പെടുത്തിയിട്ടുണ്ട്. അല്ലെങ്കിൽ, ഇല്ല.

ഓരോ ഇടവേളയും കണക്കിലെടുക്കുമ്പോൾ, അസമത്വത്തിനുള്ള പരിഹാരം ഇടവേള തന്നെ അല്ലെങ്കിൽ പകുതി ഇടവേള (അതിന്റെ ഒരു അതിരുകൾ അസമത്വത്തെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുമ്പോൾ), അല്ലെങ്കിൽ ഒരു സെഗ്മെന്റ് - അതിന്റെ അതിരുകൾക്കൊപ്പം ഇടവേള.

പ്രധാനപ്പെട്ട പോയിന്റ്

ഇടവേളകൾക്കും അർദ്ധ ഇടവേളകൾക്കും സെഗ്‌മെന്റുകൾക്കും മാത്രമേ അസമത്വം പരിഹരിക്കാൻ കഴിയൂ എന്ന് കരുതരുത്. ഇല്ല, പരിഹാരത്തിൽ വ്യക്തിഗത പോയിന്റുകളും ഉൾപ്പെട്ടേക്കാം.

ഉദാഹരണത്തിന്, അസമത്വത്തിന് |x|≤0 ന് ഒരു പരിഹാരമേ ഉള്ളൂ - ഇത് പോയിന്റ് 0 ആണ്.

ഒപ്പം അസമത്വവും |x|

നിങ്ങൾക്ക് ഒരു അസമത്വ കാൽക്കുലേറ്റർ ആവശ്യമായി വരുന്നത് എന്തുകൊണ്ട്?

അസമത്വ കാൽക്കുലേറ്റർ ശരിയായ അന്തിമ ഉത്തരം നൽകുന്നു. മിക്ക കേസുകളിലും, ഒരു സംഖ്യയുടെ അച്ചുതണ്ടിന്റെയോ തലത്തിന്റെയോ ഒരു ചിത്രീകരണം നൽകിയിരിക്കുന്നു. ഇടവേളകളുടെ അതിരുകൾ പരിഹാരത്തിൽ ഉൾപ്പെടുത്തിയിട്ടുണ്ടോ ഇല്ലയോ എന്നത് ദൃശ്യമാണ് - പോയിന്റുകൾ ഷേഡുള്ളതോ പഞ്ചർ ചെയ്തതോ ആയി പ്രദർശിപ്പിക്കും.

ഓൺലൈൻ അസമത്വ കാൽക്കുലേറ്ററിന് നന്ദി, നിങ്ങൾ സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകൾ ശരിയായി കണ്ടെത്തിയോ, അവയെ നമ്പർ അക്ഷത്തിൽ അടയാളപ്പെടുത്തി, ഇടവേളകളിൽ (അതിർത്തികളിലും) അസമത്വത്തിന്റെ നിവൃത്തി പരിശോധിച്ചോ എന്ന് നിങ്ങൾക്ക് പരിശോധിക്കാൻ കഴിയും.

നിങ്ങളുടെ ഉത്തരം കാൽക്കുലേറ്ററിന്റെ ഉത്തരത്തിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമാണെങ്കിൽ, നിങ്ങൾ തീർച്ചയായും നിങ്ങളുടെ പരിഹാരം രണ്ടുതവണ പരിശോധിച്ച് തെറ്റ് തിരിച്ചറിയേണ്ടതുണ്ട്.

ഒരു വ്യക്തി എത്രത്തോളം മനസ്സിലാക്കുന്നുവോ അത്രയധികം മനസ്സിലാക്കാനുള്ള അവന്റെ ആഗ്രഹം ശക്തമാകുന്നു

തോമസ് അക്വിനാസ്

ഒരു മോഡുലസ് അടങ്ങിയ ഏതെങ്കിലും സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ ഇടവേള രീതി നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു. ഈ രീതിയുടെ സാരാംശം നമ്പർ അക്ഷത്തെ പല വിഭാഗങ്ങളായി (ഇടവേളകൾ) വിഭജിക്കുക എന്നതാണ്, കൂടാതെ മൊഡ്യൂളുകളിലെ എക്സ്പ്രഷനുകളുടെ പൂജ്യങ്ങളാൽ അക്ഷം വിഭജിക്കേണ്ടതുണ്ട്. തുടർന്ന്, തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ഓരോ വിഭാഗത്തിലും, ഓരോ സബ്മോഡുലാർ എക്സ്പ്രഷനും ഒന്നുകിൽ പോസിറ്റീവ് അല്ലെങ്കിൽ നെഗറ്റീവ് ആണ്. അതിനാൽ, ഓരോ മൊഡ്യൂളുകളും മൈനസ് ചിഹ്നത്തിലോ പ്ലസ് ചിഹ്നത്തിലോ തുറക്കാം. ഈ ഘട്ടങ്ങൾക്ക് ശേഷം, പരിഗണനയിലുള്ള ഇടവേളയിൽ ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ഓരോ ലളിതമായ സമവാക്യങ്ങളും പരിഹരിച്ച് ലഭിച്ച ഉത്തരങ്ങൾ സംയോജിപ്പിക്കുക മാത്രമാണ് അവശേഷിക്കുന്നത്.

ഒരു പ്രത്യേക ഉദാഹരണം ഉപയോഗിച്ച് ഈ രീതി നോക്കാം.

|x + 1| + |2x – 4| – |x + 3| = 2x - 6.

1) മൊഡ്യൂളുകളിലെ എക്സ്പ്രഷനുകളുടെ പൂജ്യങ്ങൾ കണ്ടെത്താം. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, അവയെ പൂജ്യത്തിലേക്ക് തുല്യമാക്കുകയും ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുകയും വേണം.

x + 1 = 0 2x – 4 = 0 x + 3 = 0

x = -1 2x = 4 x = -3

2) തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന പോയിന്റുകൾ കോർഡിനേറ്റ് ലൈനിൽ ആവശ്യമായ ക്രമത്തിൽ സ്ഥാപിക്കുക. അവർ മുഴുവൻ അച്ചുതണ്ടും നാല് ഭാഗങ്ങളായി വിഭജിക്കും.

3) തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ഓരോ വിഭാഗത്തിലും മൊഡ്യൂളുകളിലെ എക്സ്പ്രഷനുകളുടെ അടയാളങ്ങൾ നമുക്ക് നിർണ്ണയിക്കാം. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ഞങ്ങൾക്ക് താൽപ്പര്യമുള്ള ഇടവേളകളിൽ നിന്ന് ഏതെങ്കിലും സംഖ്യകൾ ഞങ്ങൾ അവയിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു. കണക്കുകൂട്ടലിന്റെ ഫലം ഒരു പോസിറ്റീവ് സംഖ്യയാണെങ്കിൽ, ഞങ്ങൾ പട്ടികയിൽ “+” ഇടുന്നു, നമ്പർ നെഗറ്റീവ് ആണെങ്കിൽ ഞങ്ങൾ “–” ഇടുന്നു. ഇത് ഇതുപോലെ ചിത്രീകരിക്കാം:

4) ഇപ്പോൾ ഞങ്ങൾ ഓരോ നാല് ഇടവേളകളിലും സമവാക്യം പരിഹരിക്കും, പട്ടികയിൽ സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്ന അടയാളങ്ങളുള്ള മൊഡ്യൂളുകൾ വെളിപ്പെടുത്തുന്നു. അതിനാൽ, നമുക്ക് ആദ്യ ഇടവേള നോക്കാം:

I ഇടവേള (-∞; -3). അതിൽ, എല്ലാ മൊഡ്യൂളുകളും ഒരു "-" ചിഹ്നം ഉപയോഗിച്ച് തുറക്കുന്നു. നമുക്ക് ഇനിപ്പറയുന്ന സമവാക്യം ലഭിക്കും:

-(x + 1) – (2x – 4) – (-(x + 3)) = 2x – 6. നമുക്ക് സമാനമായ പദങ്ങൾ അവതരിപ്പിക്കാം, തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സമവാക്യത്തിൽ ആദ്യം പരാൻതീസിസ് തുറക്കുക:

X – 1 – 2x + 4 + x + 3 = 2x – 6

ലഭിച്ച ഉത്തരം പരിഗണിക്കപ്പെടുന്ന ഇടവേളയിൽ ഉൾപ്പെടുത്തിയിട്ടില്ല, അതിനാൽ അവസാന ഉത്തരത്തിൽ അത് എഴുതേണ്ടതില്ല.

II ഇടവേള [-3; -1). പട്ടികയിലെ ഈ ഇടവേളയിൽ "-", "-", "+" അടയാളങ്ങളുണ്ട്. യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിന്റെ മൊഡ്യൂളുകൾ ഞങ്ങൾ തുറക്കുന്നത് ഇങ്ങനെയാണ്:

-(x + 1) – (2x – 4) – (x + 3) = 2x – 6. ബ്രാക്കറ്റുകൾ തുറന്ന് നമുക്ക് ലളിതമാക്കാം:

X – 1 – 2x + 4 – x – 3 = 2x – 6. ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സമവാക്യത്തിൽ നമുക്ക് സമാനമായവ അവതരിപ്പിക്കാം:

x = 6/5. തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സംഖ്യ പരിഗണനയിലുള്ള ഇടവേളയിൽ ഉൾപ്പെടുന്നില്ല, അതിനാൽ ഇത് യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിന്റെ റൂട്ടല്ല.

III ഇടവേള [-1; 2). ചിത്രത്തിലെ മൂന്നാമത്തെ നിരയിൽ ദൃശ്യമാകുന്ന അടയാളങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിന്റെ മൊഡ്യൂളുകൾ ഞങ്ങൾ വികസിപ്പിക്കുന്നു. നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

(x + 1) – (2x – 4) – (x + 3) = 2x – 6. നമുക്ക് പരാൻതീസിസുകൾ ഒഴിവാക്കി, വേരിയബിൾ x അടങ്ങിയ പദങ്ങൾ സമവാക്യത്തിന്റെ ഇടതുവശത്തേക്കും x ലേക്ക് അടങ്ങാത്തവയും നീക്കാം അവകാശം. ഉണ്ടായിരിക്കും:

x + 1 – 2x + 4 – x – 3 = 2x – 6

പരിഗണനയിലുള്ള ഇടവേളയിൽ നമ്പർ 2 ഉൾപ്പെടുത്തിയിട്ടില്ല.

IV ഇടവേള

ലളിതമായി പറഞ്ഞാൽ, ഒരു മോഡുലസ് എന്നത് "മൈനസ് ഇല്ലാത്ത സംഖ്യ" ആണ്. ഈ ദ്വിത്വത്തിലാണ് (ചില സ്ഥലങ്ങളിൽ നിങ്ങൾ യഥാർത്ഥ നമ്പറുമായി ഒന്നും ചെയ്യേണ്ടതില്ല, എന്നാൽ മറ്റുള്ളവയിൽ നിങ്ങൾ ഒരുതരം മൈനസ് നീക്കംചെയ്യേണ്ടതുണ്ട്) അവിടെയാണ് വിദ്യാർത്ഥികൾക്ക് മുഴുവൻ ബുദ്ധിമുട്ടും ഉള്ളത്.

ഒരു ജ്യാമിതീയ നിർവചനവും ഉണ്ട്. അറിയാനും ഇത് ഉപയോഗപ്രദമാണ്, പക്ഷേ ബീജഗണിതത്തേക്കാൾ ജ്യാമിതീയ സമീപനം കൂടുതൽ സൗകര്യപ്രദമായ സങ്കീർണ്ണവും ചില പ്രത്യേകവുമായ സന്ദർഭങ്ങളിൽ മാത്രമേ ഞങ്ങൾ അതിലേക്ക് തിരിയുകയുള്ളൂ (സ്‌പോയിലർ: ഇന്നല്ല).

നിർവ്വചനം. നമ്പർ ലൈനിൽ പോയിന്റ് $a$ അടയാളപ്പെടുത്തട്ടെ. തുടർന്ന് മൊഡ്യൂൾ $\ഇടത്| x-a \right|$ എന്നത് ഈ വരിയിലെ പോയിന്റ് $x$-ൽ നിന്ന് $a$ വരെയുള്ള ദൂരമാണ്.

നിങ്ങൾ ഒരു ചിത്രം വരച്ചാൽ, നിങ്ങൾക്ക് ഇതുപോലൊന്ന് ലഭിക്കും:

ഗ്രാഫിക്കൽ മൊഡ്യൂൾ നിർവചനം

ഒരു തരത്തിൽ അല്ലെങ്കിൽ മറ്റൊന്ന്, ഒരു മൊഡ്യൂളിന്റെ നിർവചനത്തിൽ നിന്ന് അതിന്റെ പ്രധാന സ്വത്ത് ഉടനടി പിന്തുടരുന്നു: ഒരു സംഖ്യയുടെ മോഡുലസ് എല്ലായ്പ്പോഴും ഒരു നോൺ-നെഗറ്റീവ് അളവാണ്. ഈ വസ്‌തുത ഇന്നത്തെ നമ്മുടെ മുഴുവൻ വിവരണത്തിലൂടെയും കടന്നുപോകുന്ന ഒരു ചുവന്ന ത്രെഡായിരിക്കും.

അസമത്വങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നു. ഇടവേള രീതി

ഇനി അസമത്വങ്ങൾ നോക്കാം. അവയിൽ ധാരാളം ഉണ്ട്, എന്നാൽ അവയിൽ ഏറ്റവും ലളിതമായവയെങ്കിലും പരിഹരിക്കാൻ കഴിയുക എന്നതാണ് ഞങ്ങളുടെ ചുമതല. ലീനിയർ അസമത്വങ്ങളിലേക്കും അതുപോലെ ഇടവേള രീതിയിലേക്കും കുറയ്ക്കുന്നവ.

ഈ വിഷയത്തിൽ എനിക്ക് രണ്ട് വലിയ പാഠങ്ങളുണ്ട് (വഴിയിൽ, വളരെ, വളരെ ഉപയോഗപ്രദമാണ് - അവ പഠിക്കാൻ ഞാൻ ശുപാർശ ചെയ്യുന്നു):

1. അസമത്വങ്ങൾക്കുള്ള ഇടവേള രീതി (പ്രത്യേകിച്ച് വീഡിയോ കാണുക);
2. ഫ്രാക്ഷണൽ യുക്തിസഹമായ അസമത്വങ്ങൾ വളരെ വിപുലമായ ഒരു പാഠമാണ്, എന്നാൽ അതിനുശേഷം നിങ്ങൾക്ക് ചോദ്യങ്ങളൊന്നും ഉണ്ടാകില്ല.

നിങ്ങൾക്ക് ഇതെല്ലാം അറിയാമെങ്കിൽ, "നമുക്ക് അസമത്വത്തിൽ നിന്ന് സമവാക്യത്തിലേക്ക് നീങ്ങാം" എന്ന വാചകം നിങ്ങൾക്ക് മതിലിന് നേരെ അടിക്കാനുള്ള അവ്യക്തമായ ആഗ്രഹം ഉണ്ടാക്കുന്നില്ലെങ്കിൽ, നിങ്ങൾ തയ്യാറാണ്: പാഠത്തിന്റെ പ്രധാന വിഷയത്തിലേക്ക് നരകത്തിലേക്ക് സ്വാഗതം. :)

1. "മോഡുലസ് പ്രവർത്തനത്തേക്കാൾ കുറവാണ്" എന്ന ഫോമിന്റെ അസമത്വങ്ങൾ

മൊഡ്യൂളുകളുടെ ഏറ്റവും സാധാരണമായ പ്രശ്നങ്ങളിലൊന്നാണിത്. ഫോമിന്റെ അസമത്വം പരിഹരിക്കാൻ ഇത് ആവശ്യമാണ്:

\[\ഇടത്| f\right| \ltg\]

$f$, $g$ എന്നീ ഫംഗ്‌ഷനുകൾ എന്തും ആകാം, എന്നാൽ സാധാരണയായി അവ ബഹുപദങ്ങളാണ്. അത്തരം അസമത്വങ്ങളുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ:

\[\ആരംഭിക്കുക(വിന്യസിക്കുക) & \ഇടത്| 2x+3 \വലത്| \lt x+7; \\ & \ഇടത്| ((x)^(2))+2x-3 \right|+3\ഇടത്(x+1 \right) \lt 0; \\ & \ഇടത്| ((x)^(2))-2\ഇടത്| x \right|-3 \right| \lt 2. \\\ end(align)\]

ഇനിപ്പറയുന്ന സ്കീം അനുസരിച്ച് അവയെല്ലാം അക്ഷരാർത്ഥത്തിൽ ഒരു വരിയിൽ പരിഹരിക്കാൻ കഴിയും:

\[\ഇടത്| f\right| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g\quad \left(\Rightarrow \left\( \begin(align) & f \lt g, \\ & f \gt -g \\\ end(align) \വലത്.\വലത്)\]

നമ്മൾ മൊഡ്യൂളിൽ നിന്ന് മുക്തി നേടുന്നത് കാണാൻ എളുപ്പമാണ്, പക്ഷേ പ്രത്യുപകാരമായി നമുക്ക് ഇരട്ട അസമത്വം ലഭിക്കുന്നു (അല്ലെങ്കിൽ, ഇത് ഒരേ കാര്യം, രണ്ട് അസമത്വങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം). എന്നാൽ ഈ പരിവർത്തനം സാധ്യമായ എല്ലാ പ്രശ്നങ്ങളും കണക്കിലെടുക്കുന്നു: മോഡുലസിന് കീഴിലുള്ള സംഖ്യ പോസിറ്റീവ് ആണെങ്കിൽ, രീതി പ്രവർത്തിക്കുന്നു; നെഗറ്റീവ് ആണെങ്കിൽ, അത് ഇപ്പോഴും പ്രവർത്തിക്കുന്നു; $f$ അല്ലെങ്കിൽ $g$ എന്നതിന് പകരം ഏറ്റവും അപര്യാപ്തമായ ഫംഗ്‌ഷൻ ഉണ്ടെങ്കിലും, ഈ രീതി തുടർന്നും പ്രവർത്തിക്കും.

സ്വാഭാവികമായും, ചോദ്യം ഉയർന്നുവരുന്നു: ഇത് ലളിതമായിരിക്കില്ലേ? നിർഭാഗ്യവശാൽ, അത് സാധ്യമല്ല. മൊഡ്യൂളിന്റെ മുഴുവൻ പോയിന്റും ഇതാണ്.

എന്നിരുന്നാലും, തത്ത്വചിന്ത കൊണ്ട് മതി. നമുക്ക് കുറച്ച് പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കാം:

ടാസ്ക്. അസമത്വം പരിഹരിക്കുക:

\[\ഇടത്| 2x+3 \വലത്| \lt x+7\]

പരിഹാരം. അതിനാൽ, "മോഡുലസ് കുറവാണ്" എന്ന ഫോമിന്റെ ഒരു ക്ലാസിക് അസമത്വം നമ്മുടെ മുമ്പിലുണ്ട് - രൂപാന്തരപ്പെടുത്താൻ ഒന്നുമില്ല. ഞങ്ങൾ അൽഗോരിതം അനുസരിച്ച് പ്രവർത്തിക്കുന്നു:

\[\ആരംഭിക്കുക(വിന്യസിക്കുക) & \ഇടത്| f\right| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g; \\ & \ഇടത്| 2x+3 \വലത്| \lt x+7\Rightarrow -\left(x+7 \right) \lt 2x+3 \lt x+7 \\\ end(align)\]

"മൈനസ്" എന്നതിന് മുമ്പുള്ള പരാൻതീസിസുകൾ തുറക്കാൻ തിരക്കുകൂട്ടരുത്: നിങ്ങളുടെ തിടുക്കം കാരണം നിങ്ങൾക്ക് കുറ്റകരമായ തെറ്റ് സംഭവിക്കാൻ സാധ്യതയുണ്ട്.

\[-x-7 \lt 2x+3 \lt x+7\]

\[\ഇടത്\( \begin(align) & -x-7 \lt 2x+3 \\ & 2x+3 \lt x+7 \\ \end(align) \right.\]

\[\ഇടത്\( \begin(align) & -3x \lt 10 \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \right.\]

\[\ഇടത്\( \begin(align) & x \gt -\frac(10)(3) \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \right.\]

പ്രശ്നം രണ്ട് പ്രാഥമിക അസമത്വങ്ങളിലേക്ക് ചുരുങ്ങി. സമാന്തര നമ്പർ ലൈനുകളിൽ അവയുടെ പരിഹാരങ്ങൾ നമുക്ക് ശ്രദ്ധിക്കാം:

പലരുടെയും കവല

ഈ സെറ്റുകളുടെ കവല ഉത്തരം ആയിരിക്കും.

ഉത്തരം: $x\in \ഇടത്(-\frac(10)(3);4 \വലത്)$

ടാസ്ക്. അസമത്വം പരിഹരിക്കുക:

\[\ഇടത്| ((x)^(2))+2x-3 \right|+3\ഇടത്(x+1 \വലത്) \lt 0\]

പരിഹാരം. ഈ ടാസ്ക് കുറച്ചുകൂടി ബുദ്ധിമുട്ടാണ്. ആദ്യം, രണ്ടാമത്തെ പദം വലത്തേക്ക് നീക്കിക്കൊണ്ട് നമുക്ക് മൊഡ്യൂളിനെ ഒറ്റപ്പെടുത്താം:

\[\ഇടത്| ((x)^(2))+2x-3 \right| \lt -3\ഇടത്(x+1 \വലത്)\]

വ്യക്തമായും, “മൊഡ്യൂൾ ചെറുതാണ്” എന്ന ഫോമിന്റെ അസമത്വം ഞങ്ങൾക്ക് വീണ്ടും ഉണ്ട്, അതിനാൽ ഇതിനകം അറിയപ്പെടുന്ന അൽഗോരിതം ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ മൊഡ്യൂളിൽ നിന്ന് മുക്തി നേടുന്നു:

\[-\ഇടത്(-3\ഇടത്(x+1 \വലത്) \വലത്) \lt ((x)^(2)+2x-3 \lt -3\ഇടത്(x+1 \വലത്)\]

ഇപ്പോൾ ശ്രദ്ധിക്കുക: ഈ പരാൻതീസിസുകളെല്ലാം ഉപയോഗിച്ച് ഞാൻ ഒരു വികൃതക്കാരനാണെന്ന് ആരെങ്കിലും പറയും. എന്നാൽ ഞങ്ങളുടെ പ്രധാന ലക്ഷ്യം ഒന്നുകൂടി ഓർമ്മിപ്പിക്കട്ടെ അസമത്വം ശരിയായി പരിഹരിച്ച് ഉത്തരം നേടുക. പിന്നീട്, ഈ പാഠത്തിൽ വിവരിച്ചിരിക്കുന്ന എല്ലാ കാര്യങ്ങളും നിങ്ങൾ നന്നായി പഠിച്ചുകഴിഞ്ഞാൽ, നിങ്ങൾക്കത് സ്വയം വികൃതമാക്കാം: പരാൻതീസിസ് തുറക്കുക, മൈനസുകൾ ചേർക്കുക മുതലായവ.

ആരംഭിക്കുന്നതിന്, ഇടതുവശത്തുള്ള ഇരട്ട മൈനസ് ഞങ്ങൾ ഒഴിവാക്കും:

\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right)=\left(-1 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(x+1 \right) =3\ഇടത്(x+1 \വലത്)\]

ഇപ്പോൾ നമുക്ക് ഇരട്ട അസമത്വത്തിലെ എല്ലാ ബ്രാക്കറ്റുകളും തുറക്കാം:

നമുക്ക് ഇരട്ട അസമത്വത്തിലേക്ക് പോകാം. ഇത്തവണ കണക്കുകൂട്ടലുകൾ കൂടുതൽ ഗുരുതരമായിരിക്കും:

\[\ഇടത്\( \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -3x-3 \\ & 3x+3 \lt ((x)^(2))+2x -3 \\ \അവസാനം (വിന്യസിക്കുക) \വലത്.\]

\[\ഇടത്\( \begin(align) & ((x)^(2))+5x \lt 0 \\ & ((x)^(2))-x-6 \gt 0 \\ \end( വിന്യസിക്കുക)\വലത്.\]

രണ്ട് അസമത്വങ്ങളും ക്വാഡ്രാറ്റിക് ആണ്, അവ ഇടവേള രീതി ഉപയോഗിച്ച് പരിഹരിക്കാൻ കഴിയും (അതുകൊണ്ടാണ് ഞാൻ പറയുന്നത്: ഇത് എന്താണെന്ന് നിങ്ങൾക്ക് അറിയില്ലെങ്കിൽ, മൊഡ്യൂളുകൾ എടുക്കാതിരിക്കുന്നതാണ് നല്ലത്). ആദ്യ അസമത്വത്തിലെ സമവാക്യത്തിലേക്ക് നമുക്ക് പോകാം:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+5x=0; \\ & x\ഇടത്(x+5 \വലത്)=0; \\ & (((x)_(1))=0;((x)_(2))=-5. \\\അവസാനം(വിന്യസിക്കുക)\]

നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, ഔട്ട്പുട്ട് ഒരു അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യമാണ്, അത് ഒരു പ്രാഥമിക രീതിയിൽ പരിഹരിക്കാൻ കഴിയും. ഇനി നമുക്ക് സിസ്റ്റത്തിന്റെ രണ്ടാമത്തെ അസമത്വം നോക്കാം. അവിടെ നിങ്ങൾ വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തം പ്രയോഗിക്കേണ്ടതുണ്ട്:

\[\begin(align) & ((x)^(2))-x-6=0; \\ & \ഇടത്(x-3 \വലത്)\ഇടത്(x+2 \വലത്)=0; \\& (((x)_(1))=3;((x)_(2))=-2. \\\അവസാനം(വിന്യസിക്കുക)\]

തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സംഖ്യകളെ ഞങ്ങൾ രണ്ട് സമാന്തര വരകളിൽ അടയാളപ്പെടുത്തുന്നു (ആദ്യത്തെ അസമത്വത്തിന് പ്രത്യേകം, രണ്ടാമത്തേതിന് വേർതിരിക്കുക):

വീണ്ടും, ഞങ്ങൾ അസമത്വങ്ങളുടെ ഒരു സംവിധാനം പരിഹരിക്കുന്നതിനാൽ, ഷേഡുള്ള സെറ്റുകളുടെ കവലയിൽ ഞങ്ങൾക്ക് താൽപ്പര്യമുണ്ട്: $x\in \left(-5;-2 \right)$. ഇതാണ് ഉത്തരം.

ഉത്തരം: $x\in \ഇടത്(-5;-2 \വലത്)$

ഈ ഉദാഹരണങ്ങൾക്ക് ശേഷം, പരിഹാര പദ്ധതി വളരെ വ്യക്തമാണെന്ന് ഞാൻ കരുതുന്നു:

1. അസമത്വത്തിന്റെ എതിർവശത്തേക്ക് മറ്റെല്ലാ നിബന്ധനകളും നീക്കി മൊഡ്യൂളിനെ ഒറ്റപ്പെടുത്തുക. അങ്ങനെ $\left| എന്ന ഫോമിന്റെ അസമത്വം നമുക്ക് ലഭിക്കും f\right| \ltg$.
2. മുകളിൽ വിവരിച്ച സ്കീം അനുസരിച്ച് മൊഡ്യൂൾ ഒഴിവാക്കിക്കൊണ്ട് ഈ അസമത്വം പരിഹരിക്കുക. ചില ഘട്ടങ്ങളിൽ, ഇരട്ട അസമത്വത്തിൽ നിന്ന് രണ്ട് സ്വതന്ത്ര പദപ്രയോഗങ്ങളുടെ ഒരു സംവിധാനത്തിലേക്ക് നീങ്ങേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്, അവയിൽ ഓരോന്നും ഇതിനകം പ്രത്യേകം പരിഹരിക്കാൻ കഴിയും.
3. അവസാനമായി, ഈ രണ്ട് സ്വതന്ത്ര പദപ്രയോഗങ്ങളുടെ പരിഹാരങ്ങൾ വിഭജിക്കുക മാത്രമാണ് അവശേഷിക്കുന്നത് - അത്രയേയുള്ളൂ, ഞങ്ങൾക്ക് അന്തിമ ഉത്തരം ലഭിക്കും.

ഇനിപ്പറയുന്ന തരത്തിലുള്ള അസമത്വങ്ങൾക്ക് സമാനമായ ഒരു അൽഗോരിതം നിലവിലുണ്ട്, മോഡുലസ് ഫംഗ്ഷനേക്കാൾ വലുതായിരിക്കുമ്പോൾ. എന്നിരുന്നാലും, രണ്ട് ഗുരുതരമായ "പക്ഷേ" ഉണ്ട്. ഈ "പക്ഷെ" നമ്മൾ ഇപ്പോൾ സംസാരിക്കും.

2. "മോഡുലസ് പ്രവർത്തനത്തേക്കാൾ വലുതാണ്" എന്ന ഫോമിന്റെ അസമത്വങ്ങൾ

അവ ഇതുപോലെ കാണപ്പെടുന്നു:

\[\ഇടത്| f\right| \gtg\]

മുമ്പത്തേതിന് സമാനമാണോ? തോന്നുന്നു. എന്നിട്ടും അത്തരം പ്രശ്നങ്ങൾ തികച്ചും വ്യത്യസ്തമായ രീതിയിൽ പരിഹരിക്കപ്പെടുന്നു. ഔപചാരികമായി, സ്കീം ഇപ്രകാരമാണ്:

\[\ഇടത്| f\right| \gt g\Rightarrow \left[ \begin(align) & f \gt g, \\ & f \lt -g \\\ end(align) \right.\]

മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, ഞങ്ങൾ രണ്ട് കേസുകൾ പരിഗണിക്കുന്നു:

1. ആദ്യം, ഞങ്ങൾ മൊഡ്യൂളിനെ അവഗണിക്കുകയും സാധാരണ അസമത്വം പരിഹരിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു;
2. പിന്നെ, സാരാംശത്തിൽ, ഞങ്ങൾ മൈനസ് ചിഹ്നം ഉപയോഗിച്ച് മൊഡ്യൂൾ വികസിപ്പിക്കുന്നു, തുടർന്ന് എനിക്ക് ചിഹ്നം ഉള്ളപ്പോൾ അസമത്വത്തിന്റെ ഇരുവശങ്ങളും -1 കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക.

ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഓപ്ഷനുകൾ ഒരു ചതുര ബ്രാക്കറ്റുമായി സംയോജിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു, അതായത്. രണ്ട് ആവശ്യങ്ങളുടെ സംയോജനമാണ് നമ്മുടെ മുന്നിലുള്ളത്.

ദയവായി വീണ്ടും ശ്രദ്ധിക്കുക: ഇത് ഒരു സംവിധാനമല്ല, മറിച്ച് ഒരു സമ്പൂർണ്ണതയാണ് ഉത്തരത്തിൽ ഗണങ്ങൾ വിഭജിക്കുന്നതിനുപകരം സംയോജിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു. മുമ്പത്തെ പോയിന്റിൽ നിന്നുള്ള അടിസ്ഥാനപരമായ വ്യത്യാസമാണിത്!

പൊതുവേ, പല വിദ്യാർത്ഥികളും യൂണിയനുകളും കവലകളുമായി പൂർണ്ണമായും ആശയക്കുഴപ്പത്തിലാണ്, അതിനാൽ നമുക്ക് ഈ പ്രശ്നം ഒരിക്കൽ കൂടി പരിഹരിക്കാം:

• "∪" എന്നത് ഒരു യൂണിയൻ ചിഹ്നമാണ്. വാസ്തവത്തിൽ, ഇതൊരു സ്റ്റൈലൈസ്ഡ് അക്ഷരമാണ് "യു", അത് ഇംഗ്ലീഷ് ഭാഷയിൽ നിന്ന് ഞങ്ങൾക്ക് വന്നു, "യൂണിയൻ" എന്നതിന്റെ ചുരുക്കെഴുത്താണ്, അതായത്. "അസോസിയേഷനുകൾ".
• "∩" എന്നത് കവല ചിഹ്നമാണ്. ഈ വിഡ്ഢിത്തം ഒരിടത്തുനിന്നും വന്നതല്ല, മറിച്ച് "∪" എന്നതിന്റെ ഒരു കൗണ്ടർ പോയിന്റായി പ്രത്യക്ഷപ്പെട്ടു.

ഓർമ്മിക്കുന്നത് കൂടുതൽ എളുപ്പമാക്കുന്നതിന്, കണ്ണട ഉണ്ടാക്കാൻ ഈ അടയാളങ്ങളിലേക്ക് കാലുകൾ വരയ്ക്കുക (മയക്കുമരുന്ന് ആസക്തിയും മദ്യപാനവും പ്രോത്സാഹിപ്പിക്കുന്നുവെന്ന് ഇപ്പോൾ എന്നെ കുറ്റപ്പെടുത്തരുത്: നിങ്ങൾ ഈ പാഠം ഗൗരവമായി പഠിക്കുകയാണെങ്കിൽ, നിങ്ങൾ ഇതിനകം മയക്കുമരുന്നിന് അടിമയാണ്):

സെറ്റുകളുടെ കവലയും യൂണിയനും തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം

റഷ്യൻ ഭാഷയിലേക്ക് വിവർത്തനം ചെയ്താൽ, ഇത് ഇനിപ്പറയുന്നവയാണ് അർത്ഥമാക്കുന്നത്: യൂണിയൻ (സമ്പൂർണത) രണ്ട് സെറ്റുകളിൽ നിന്നുമുള്ള ഘടകങ്ങൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്നു, അതിനാൽ അവ ഓരോന്നിലും കുറവല്ല; എന്നാൽ കവലയിൽ (സിസ്റ്റം) ആദ്യ സെറ്റിലും രണ്ടാമത്തേതിലും ഒരേസമയം ഉള്ള ഘടകങ്ങൾ മാത്രമേ ഉൾപ്പെടുന്നുള്ളൂ. അതിനാൽ, സെറ്റുകളുടെ കവല ഒരിക്കലും സോഴ്സ് സെറ്റുകളേക്കാൾ വലുതായിരിക്കില്ല.

അപ്പോൾ അത് കൂടുതൽ വ്യക്തമായി? അത് ഗംഭീരമാണ്. നമുക്ക് പരിശീലനത്തിലേക്ക് പോകാം.

ടാസ്ക്. അസമത്വം പരിഹരിക്കുക:

\[\ഇടത്| 3x+1 \വലത്| \gt 5-4x\]

പരിഹാരം. ഞങ്ങൾ സ്കീം അനുസരിച്ച് തുടരുന്നു:

\[\ഇടത്| 3x+1 \വലത്| \gt 5-4x\Rightarrow \left[ \begin(align) & 3x+1 \gt 5-4x \\ & 3x+1 \lt -\left (5-4x \right) \\\ end(align) \ ശരിയാണ്.\]

ജനസംഖ്യയിലെ ഓരോ അസമത്വവും ഞങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നു:

\[\ഇടത്[ \begin(align) & 3x+4x \gt 5-1 \\ & 3x-4x \lt -5-1 \\ \end(align) \right.\]

\[\ഇടത്[ \begin(align) & 7x \gt 4 \\ & -x \lt -6 \\ \end(align) \right.\]

\[\ഇടത്[ \begin(align) & x \gt 4/7\ \\ & x \gt 6 \\ \end(align) \right.\]

തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ഓരോ സെറ്റും ഞങ്ങൾ നമ്പർ ലൈനിൽ അടയാളപ്പെടുത്തുന്നു, തുടർന്ന് അവയെ സംയോജിപ്പിക്കുക:

സെറ്റുകളുടെ യൂണിയൻ

ഉത്തരം $x\in \ഇടത് (\frac(4)(7);+\infty \right)$ ആയിരിക്കും എന്നത് വളരെ വ്യക്തമാണ്.

ഉത്തരം: $x\in \ഇടത്(\frac(4)(7);+\infty \right)$

ടാസ്ക്. അസമത്വം പരിഹരിക്കുക:

\[\ഇടത്| ((x)^(2))+2x-3 \right| \gt x\]

പരിഹാരം. നന്നായി? ഒന്നുമില്ല - എല്ലാം ഒന്നുതന്നെ. ഞങ്ങൾ ഒരു അസമത്വത്തിൽ നിന്ന് ഒരു മോഡുലസ് ഉപയോഗിച്ച് രണ്ട് അസമത്വങ്ങളുടെ ഒരു കൂട്ടത്തിലേക്ക് നീങ്ങുന്നു:

\[\ഇടത്| ((x)^(2))+2x-3 \right| \gt x\Rightarrow \ഇടത്[ \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x \\ & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x \\\അവസാനം (വിന്യസിക്കുക) \വലത്.\]

എല്ലാ അസമത്വങ്ങളും ഞങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നു. നിർഭാഗ്യവശാൽ, അവിടെയുള്ള വേരുകൾ വളരെ നല്ലതായിരിക്കില്ല:

\[\ആരംഭിക്കുക(അലൈൻ ചെയ്യുക) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x; \\ & (((x)^(2))+x-3 \gt 0; \\&D=1+12=13; \\ & x=\frac(-1\pm \sqrt(13))(2). \\\അവസാനം(വിന്യസിക്കുക)\]

രണ്ടാമത്തെ അസമത്വവും അൽപ്പം വന്യമാണ്:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x; \\ & (((x)^(2))+3x-3 \lt 0; \\&D=9+12=21; \\ & x=\frac(-3\pm \sqrt(21))(2). \\\അവസാനം(വിന്യസിക്കുക)\]

ഇപ്പോൾ നിങ്ങൾ ഈ സംഖ്യകളെ രണ്ട് അക്ഷങ്ങളിൽ അടയാളപ്പെടുത്തേണ്ടതുണ്ട് - ഓരോ അസമത്വത്തിനും ഒരു അക്ഷം. എന്നിരുന്നാലും, നിങ്ങൾ പോയിന്റുകൾ ശരിയായ ക്രമത്തിൽ അടയാളപ്പെടുത്തേണ്ടതുണ്ട്: വലിയ സംഖ്യ, കൂടുതൽ പോയിന്റ് വലതുവശത്തേക്ക് നീങ്ങുന്നു.

ഇവിടെ ഒരു സജ്ജീകരണം ഞങ്ങളെ കാത്തിരിക്കുന്നു. $\frac(-3-\sqrt(21))(2) \lt \frac(-1-\sqrt(13))(2)$ (ആദ്യത്തേതിന്റെ ന്യൂമറേറ്ററിലെ നിബന്ധനകൾ) ഉപയോഗിച്ച് എല്ലാം വ്യക്തമാണെങ്കിൽ അംശം രണ്ടാമത്തേതിന്റെ ന്യൂമറേറ്ററിലെ പദങ്ങളേക്കാൾ കുറവാണ്, അതിനാൽ $\frac(-3-\sqrt(13))(2) \lt \frac(-1+\sqrt) അക്കങ്ങൾക്കൊപ്പം തുകയും കുറവാണ്. (21))(2)$ ബുദ്ധിമുട്ടുകൾ ഉണ്ടാകില്ല (പോസിറ്റീവ് നമ്പർ വ്യക്തമായും കൂടുതൽ നെഗറ്റീവ്), തുടർന്ന് അവസാന ദമ്പതികളുമായി എല്ലാം അത്ര വ്യക്തമല്ല. ഏതാണ് വലുത്: $\frac(-3+\sqrt(21))(2)$ അല്ലെങ്കിൽ $\frac(-1+\sqrt(13))(2)$? നമ്പർ ലൈനുകളിൽ പോയിന്റുകളുടെ സ്ഥാനം, വാസ്തവത്തിൽ, ഉത്തരം ഈ ചോദ്യത്തിനുള്ള ഉത്തരത്തെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കും.

അതിനാൽ നമുക്ക് താരതമ്യം ചെയ്യാം:

\[\begin(matrix) \frac(-1+\sqrt(13))(2)\vee \frac(-3+\sqrt(21))(2) \\ -1+\sqrt(13)\ vee -3+\sqrt(21) \\ 2+\sqrt(13)\vee \sqrt(21) \\\ end(matrix)\]

ഞങ്ങൾ റൂട്ട് വേർതിരിച്ചു, അസമത്വത്തിന്റെ ഇരുവശത്തും നോൺ-നെഗറ്റീവ് സംഖ്യകൾ ലഭിച്ചു, അതിനാൽ രണ്ട് വശങ്ങളും വർഗ്ഗീകരിക്കാൻ ഞങ്ങൾക്ക് അവകാശമുണ്ട്:

\[\ആരംഭിക്കുക(മാട്രിക്സ്) ((\ഇടത്(2+\sqrt(13) \വലത്))^(2))\vee ((\ഇടത്(\sqrt(21) \വലത്))^(2)) \ \ 4+4\sqrt(13)+13\vee 21 \\ 4\sqrt(13)\vee 3 \\\ end(matrix)\]

$4\sqrt(13) \gt 3$, അതിനാൽ $\frac(-1+\sqrt(13))(2) \gt \frac(-3+\sqrt(21)) ( 2)$, അക്ഷങ്ങളിലെ അവസാന പോയിന്റുകൾ ഇതുപോലെ സ്ഥാപിക്കും:

വൃത്തികെട്ട വേരുകളുടെ ഒരു കേസ്

ഞങ്ങൾ ഒരു സെറ്റ് പരിഹരിക്കുകയാണെന്ന് ഞാൻ നിങ്ങളെ ഓർമ്മിപ്പിക്കട്ടെ, അതിനാൽ ഉത്തരം ഒരു യൂണിയൻ ആയിരിക്കും, ഷേഡുള്ള സെറ്റുകളുടെ കവലയല്ല.

ഉത്തരം: $x\in \ഇടത്(-\infty ;\frac(-3+\sqrt(21))(2) \right)\bigcup \left(\frac(-1+\sqrt(13))(2 );+\infty \right)$

നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, ലളിതവും വളരെ കഠിനവുമായ പ്രശ്നങ്ങൾക്ക് ഞങ്ങളുടെ സ്കീം മികച്ച രീതിയിൽ പ്രവർത്തിക്കുന്നു. ഈ സമീപനത്തിലെ ഒരേയൊരു "ദുർബലമായ പോയിന്റ്" നിങ്ങൾ യുക്തിരഹിതമായ സംഖ്യകളെ ശരിയായി താരതമ്യം ചെയ്യേണ്ടതുണ്ട് (എന്നെ വിശ്വസിക്കൂ: ഇവ വേരുകൾ മാത്രമല്ല). എന്നാൽ ഒരു പ്രത്യേക (വളരെ ഗൗരവമുള്ള) പാഠം താരതമ്യ പ്രശ്നങ്ങൾക്കായി നീക്കിവയ്ക്കും. ഞങ്ങൾ മുന്നോട്ട് പോകുകയും ചെയ്യുന്നു.

3. നെഗറ്റീവ് അല്ലാത്ത "വാലുകൾ" ഉള്ള അസമത്വങ്ങൾ

ഇപ്പോൾ നമ്മൾ ഏറ്റവും രസകരമായ ഭാഗത്തേക്ക് പോകുന്നു. ഫോമിന്റെ അസമത്വങ്ങൾ ഇവയാണ്:

\[\ഇടത്| f\right| \gt\ഇടത്| g\വലത്|\]

പൊതുവായി പറഞ്ഞാൽ, നമ്മൾ ഇപ്പോൾ സംസാരിക്കുന്ന അൽഗോരിതം മൊഡ്യൂളിന് മാത്രം ശരിയാണ്. ഇടതും വലതും ഗ്യാരണ്ടീഡ് നോൺ-നെഗറ്റീവ് എക്സ്പ്രഷനുകൾ ഉള്ള എല്ലാ അസമത്വങ്ങളിലും ഇത് പ്രവർത്തിക്കുന്നു:

ഈ ജോലികളുമായി എന്തുചെയ്യണം? ഓർക്കുക:

നോൺ-നെഗറ്റീവ് "വാലുകൾ" ഉള്ള അസമത്വങ്ങളിൽ, ഇരുവശവും ഏതെങ്കിലും സ്വാഭാവിക ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്താം. അധിക നിയന്ത്രണങ്ങൾ ഉണ്ടാകില്ല.

ഒന്നാമതായി, സ്ക്വയറിംഗിൽ ഞങ്ങൾക്ക് താൽപ്പര്യമുണ്ടാകും - ഇത് മൊഡ്യൂളുകളും വേരുകളും കത്തിക്കുന്നു:

\[\begin(align) & ((\ഇടത്(\ഇടത്| f \right| \right))^(2))=((f)^(2)); \\ & ((\ഇടത്(\sqrt(f) \right))^(2))=f. \\\അവസാനം(വിന്യസിക്കുക)\]

ഒരു ചതുരത്തിന്റെ റൂട്ട് എടുക്കുന്നതുമായി ഇത് ആശയക്കുഴപ്പത്തിലാക്കരുത്:

\[\sqrt(((f)^(2)))=\ഇടത്| f \right|\ne f\]

ഒരു വിദ്യാർത്ഥി ഒരു മൊഡ്യൂൾ ഇൻസ്റ്റാൾ ചെയ്യാൻ മറന്നപ്പോൾ എണ്ണമറ്റ തെറ്റുകൾ സംഭവിച്ചു! എന്നാൽ ഇത് തികച്ചും വ്യത്യസ്തമായ ഒരു കഥയാണ് (ഇവ യുക്തിരഹിതമായ സമവാക്യങ്ങളാണ്), അതിനാൽ ഞങ്ങൾ ഇപ്പോൾ ഇതിലേക്ക് പോകുന്നില്ല. നമുക്ക് കുറച്ച് പ്രശ്നങ്ങൾ നന്നായി പരിഹരിക്കാം:

ടാസ്ക്. അസമത്വം പരിഹരിക്കുക:

\[\ഇടത്| x+2 \right|\ge \left| 1-2x \വലത്|\]

പരിഹാരം. നമുക്ക് രണ്ട് കാര്യങ്ങൾ പെട്ടെന്ന് ശ്രദ്ധിക്കാം:

1. ഇത് കർശനമായ അസമത്വമല്ല. നമ്പർ ലൈനിലെ പോയിന്റുകൾ പഞ്ചറാകും.
2. അസമത്വത്തിന്റെ ഇരുവശങ്ങളും വ്യക്തമായും നെഗറ്റീവ് അല്ല (ഇത് മൊഡ്യൂളിന്റെ ഒരു സ്വത്താണ്: $\left| f\left(x \right) \right|\ge 0$).

അതിനാൽ, മോഡുലസിൽ നിന്ന് മുക്തി നേടാനും സാധാരണ ഇടവേള രീതി ഉപയോഗിച്ച് പ്രശ്നം പരിഹരിക്കാനും അസമത്വത്തിന്റെ ഇരുവശങ്ങളും സമചതുരമാക്കാം:

\[\ആരംഭിക്കുക(അലൈൻ ചെയ്യുക) & ((\ഇടത്(\ഇടത്| x+2 \വലത്| \വലത്))^(2))\ge ((\ഇടത്(\ഇടത്| 1-2x \വലത്| \വലത്) )^(2)); \\ & ((\ഇടത്(x+2 \വലത്))^(2))\ge ((\ഇടത്(2x-1 \വലത്))^(2)). \\\അവസാനം(വിന്യസിക്കുക)\]

അവസാന ഘട്ടത്തിൽ, ഞാൻ കുറച്ച് ചതിച്ചു: മൊഡ്യൂളിന്റെ തുല്യത പ്രയോജനപ്പെടുത്തി ഞാൻ നിബന്ധനകളുടെ ക്രമം മാറ്റി (വാസ്തവത്തിൽ, ഞാൻ $1-2x$ എന്ന പദപ്രയോഗത്തെ −1 കൊണ്ട് ഗുണിച്ചു).

\[\ആരംഭിക്കുക(വിന്യസിക്കുക) & ((\ഇടത്(2x-1 \വലത്))^(2))-((\ഇടത്(x+2 \വലത്))^(2))\le 0; \\ & \ഇടത്(\ഇടത്(2x-1 \വലത്)-\ഇടത്(x+2 \വലത്) \വലത്)\cdot \ഇടത്(\ഇടത്(2x-1 \വലത്)+\ഇടത്(x+2 \ വലത്)\വലത്)\le 0; \\ & \left(2x-1-x-2 \right)\cdot \left(2x-1+x+2 \right)\le 0; \\ & \left(x-3 \right)\cdot \left(3x+1 \right)\le 0. \\\ end(align)\]

ഇടവേള രീതി ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നു. നമുക്ക് അസമത്വത്തിൽ നിന്ന് സമവാക്യത്തിലേക്ക് പോകാം:

\[\ആരംഭിക്കുക(വിന്യസിക്കുക) & \ഇടത്(x-3 \വലത്)\ഇടത്(3x+1 \വലത്)=0; \\ & ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-\frac(1)(3). \\\അവസാനം(വിന്യസിക്കുക)\]

ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തിയ വേരുകൾ നമ്പർ ലൈനിൽ അടയാളപ്പെടുത്തുന്നു. ഒരിക്കൽ കൂടി: യഥാർത്ഥ അസമത്വം കർശനമല്ലാത്തതിനാൽ എല്ലാ പോയിന്റുകളും ഷേഡുള്ളതാണ്!

മോഡുലസ് ചിഹ്നത്തിൽ നിന്ന് മുക്തി നേടുന്നു

പ്രത്യേകിച്ച് ധാർഷ്ട്യമുള്ളവർക്കായി ഞാൻ നിങ്ങളെ ഓർമ്മിപ്പിക്കട്ടെ: സമവാക്യത്തിലേക്ക് നീങ്ങുന്നതിന് മുമ്പ് എഴുതിയ അവസാന അസമത്വത്തിൽ നിന്ന് ഞങ്ങൾ അടയാളങ്ങൾ എടുക്കുന്നു. അതേ അസമത്വത്തിൽ ആവശ്യമായ മേഖലകളിൽ ഞങ്ങൾ പെയിന്റ് ചെയ്യുന്നു. ഞങ്ങളുടെ കാര്യത്തിൽ ഇത് $\left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)\le 0$ ആണ്.

ശരി ഇപ്പോൾ എല്ലാം കഴിഞ്ഞു. പ്രശ്നം പരിഹരിച്ചു.

ഉത്തരം: $x\in \ഇടത്[ -\frac(1)(3);3 \വലത്]$.

ടാസ്ക്. അസമത്വം പരിഹരിക്കുക:

\[\ഇടത്| ((x)^(2))+x+1 \right|\le \left| ((x)^(2))+3x+4 \വലത്|\]

പരിഹാരം. ഞങ്ങൾ എല്ലാം ഒരേപോലെ ചെയ്യുന്നു. ഞാൻ അഭിപ്രായം പറയുന്നില്ല - പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ക്രമം നോക്കുക.

സമചതുരമാക്കുക:

\[\ആരംഭിക്കുക(അലൈൻ ചെയ്യുക) & ((\ഇടത്(\ഇടത്|((x)^(2)))+x+1 \വലത്| \വലത്))^(2))\le ((\ഇടത്(\ഇടത്) | ((x)^(2))+3x+4 \right| \right))^(2)); \\ & ((\ഇടത്(((x)^(2))+x+1 \വലത്))^(2))\le (\left(((x)^(2))+3x+4 \വലത്))^(2)); \\ & ((\ഇടത്(((x)^(2))+x+1 \വലത്))^(2))-(\ഇടത്(((x)^(2))+3x+4 \ വലത്))^(2))\le 0; \\ & \ഇടത്(((x)^(2))+x+1-(((x)^(2))-3x-4 \right)\times \\ & \times \left(((x) ^(2))+x+1+((x)^(2))+3x+4 \വലത്)\le 0; \\ & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)\le 0. \\\ end(align)\]

ഇടവേള രീതി:

\[\ആരംഭിക്കുക(വിന്യസിക്കുക) & \ഇടത്(-2x-3 \വലത്)\ഇടത്(2((x)^(2))+4x+5 \വലത്)=0 \\ & -2x-3=0\ വലത്താരോ x=-1.5; \\ & 2((x)^(2))+4x+5=0\Rightarrow D=16-40 \lt 0\Rightarrow \varnothing . \\\അവസാനം(വിന്യസിക്കുക)\]

നമ്പർ ലൈനിൽ ഒരു റൂട്ട് മാത്രമേയുള്ളൂ:

ഉത്തരം ഒരു മുഴുവൻ ഇടവേളയാണ്

ഉത്തരം: $x\in \ഇടത്[ -1.5;+\infty \right)$.

അവസാന ജോലിയെക്കുറിച്ചുള്ള ഒരു ചെറിയ കുറിപ്പ്. എന്റെ വിദ്യാർത്ഥികളിൽ ഒരാൾ കൃത്യമായി സൂചിപ്പിച്ചതുപോലെ, ഈ അസമത്വത്തിലെ രണ്ട് സബ്മോഡുലാർ എക്സ്പ്രഷനുകളും വ്യക്തമായും പോസിറ്റീവ് ആണ്, അതിനാൽ ആരോഗ്യത്തിന് ഹാനികരമാകാതെ മോഡുലസ് അടയാളം ഒഴിവാക്കാവുന്നതാണ്.

എന്നാൽ ഇത് തികച്ചും വ്യത്യസ്തമായ ചിന്തയും വ്യത്യസ്തമായ സമീപനവുമാണ് - ഇതിനെ സോപാധികമായി അനന്തരഫലങ്ങളുടെ രീതി എന്ന് വിളിക്കാം. അതിനെക്കുറിച്ച് - ഒരു പ്രത്യേക പാഠത്തിൽ. ഇപ്പോൾ നമുക്ക് ഇന്നത്തെ പാഠത്തിന്റെ അവസാന ഭാഗത്തേക്ക് പോകാം, എല്ലായ്പ്പോഴും പ്രവർത്തിക്കുന്ന ഒരു സാർവത്രിക അൽഗോരിതം നോക്കാം. മുമ്പത്തെ എല്ലാ സമീപനങ്ങളും ശക്തിയില്ലാത്തപ്പോൾ പോലും. :)

4. ഓപ്ഷനുകളുടെ എണ്ണൽ രീതി

ഈ സാങ്കേതികതകളെല്ലാം സഹായിച്ചില്ലെങ്കിൽ എന്തുചെയ്യും? അസമത്വം നോൺ-നെഗറ്റീവ് വാലുകളായി കുറയ്ക്കാൻ കഴിയുന്നില്ലെങ്കിൽ, മൊഡ്യൂളിനെ ഒറ്റപ്പെടുത്തുന്നത് അസാധ്യമാണെങ്കിൽ, പൊതുവായി വേദന, സങ്കടം, വിഷാദം എന്നിവ ഉണ്ടെങ്കിൽ?

അപ്പോൾ എല്ലാ ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെയും "ഹെവി ആർട്ടിലറി" രംഗത്തെത്തുന്നു-ബ്രൂട്ട് ഫോഴ്സ് രീതി. മോഡുലസുമായുള്ള അസമത്വവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് ഇത് ഇതുപോലെ കാണപ്പെടുന്നു:

1. എല്ലാ സബ്മോഡുലാർ എക്സ്പ്രഷനുകളും എഴുതി പൂജ്യത്തിന് തുല്യമായി സജ്ജമാക്കുക;
2. തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിച്ച് ഒരു നമ്പർ ലൈനിൽ കണ്ടെത്തിയ വേരുകൾ അടയാളപ്പെടുത്തുക;
3. നേർരേഖ പല ഭാഗങ്ങളായി വിഭജിക്കപ്പെടും, അതിനുള്ളിൽ ഓരോ മൊഡ്യൂളിനും ഒരു നിശ്ചിത ചിഹ്നമുണ്ട്, അതിനാൽ അത് അദ്വിതീയമായി വെളിപ്പെടുത്തുന്നു;
4. അത്തരം ഓരോ വിഭാഗത്തിലെയും അസമത്വം പരിഹരിക്കുക (ഘട്ടം 2-ൽ ലഭിച്ച വേരുകൾ-അതിർത്തികൾ നിങ്ങൾക്ക് പ്രത്യേകം പരിഗണിക്കാം - വിശ്വാസ്യതയ്ക്കായി). ഫലങ്ങൾ സംയോജിപ്പിക്കുക - ഇതായിരിക്കും ഉത്തരം. :)

അപ്പോൾ എങ്ങനെ? ദുർബലമാണോ? എളുപ്പത്തിൽ! വളരെക്കാലം മാത്രം. പ്രായോഗികമായി നോക്കാം:

ടാസ്ക്. അസമത്വം പരിഹരിക്കുക:

\[\ഇടത്| x+2 \വലത്| \lt \ഇടത്| x-1 \right|+x-\frac(3)(2)\]

പരിഹാരം. $\left| പോലെയുള്ള അസമത്വങ്ങളിലേക്ക് ഈ വിഡ്ഢി ചുരുങ്ങുന്നില്ല f\right| \lt g$, $\ഇടത്| f\right| \gt g$ അല്ലെങ്കിൽ $\ഇടത്| f\right| \lt \ഇടത്| g \right|$, അതിനാൽ ഞങ്ങൾ മുന്നോട്ട് പ്രവർത്തിക്കുന്നു.

ഞങ്ങൾ സബ്മോഡുലാർ എക്സ്പ്രഷനുകൾ എഴുതുകയും അവയെ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാക്കുകയും വേരുകൾ കണ്ടെത്തുകയും ചെയ്യുന്നു:

\[\begin(align) & x+2=0\Rightarrow x=-2; \\ & x-1=0\Rightarrow x=1. \\\അവസാനം(വിന്യസിക്കുക)\]

മൊത്തത്തിൽ, സംഖ്യാ രേഖയെ മൂന്ന് ഭാഗങ്ങളായി വിഭജിക്കുന്ന രണ്ട് വേരുകളുണ്ട്, അതിനുള്ളിൽ ഓരോ മൊഡ്യൂളും അദ്വിതീയമായി വെളിപ്പെടുത്തുന്നു:

സബ്‌മോഡുലാർ ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ പൂജ്യങ്ങളാൽ നമ്പർ ലൈൻ വിഭജിക്കുന്നു

ഓരോ വിഭാഗവും പ്രത്യേകം നോക്കാം.

1. $x \lt -2$ അനുവദിക്കുക. അപ്പോൾ രണ്ട് സബ്മോഡുലാർ എക്സ്പ്രഷനുകളും നെഗറ്റീവ് ആണ്, കൂടാതെ യഥാർത്ഥ അസമത്വം ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ മാറ്റിയെഴുതും:

\[\ആരംഭിക്കുക(വിന്യസിക്കുക) & -\ഇടത്(x+2 \വലത്) \lt -\left(x-1 \right)+x-1.5 \\ & -x-2 \lt -x+1+ x- 1.5 \\ & x \gt 1.5 \\\ end(align)\]

ഞങ്ങൾക്ക് വളരെ ലളിതമായ ഒരു പരിമിതി ലഭിച്ചു. $x \lt -2$ എന്ന പ്രാരംഭ അനുമാനത്തിൽ നമുക്ക് ഇതിനെ വിഭജിക്കാം:

\[\ഇടത്\( \begin(align) & x \lt -2 \\ & x \gt 1.5 \\\ end(align) \right.\rightarrow x\in \varnoth \]

വ്യക്തമായും, $x$ എന്ന വേരിയബിൾ ഒരേസമയം −2-ൽ കുറവും 1.5-ൽ കൂടുതലും ആയിരിക്കരുത്. ഈ മേഖലയിൽ പരിഹാരങ്ങളൊന്നുമില്ല.

1.1 നമുക്ക് ബോർഡർലൈൻ കേസ് പ്രത്യേകം പരിഗണിക്കാം: $x=-2$. നമുക്ക് ഈ സംഖ്യയെ യഥാർത്ഥ അസമത്വത്തിലേക്ക് മാറ്റി പരിശോധിക്കാം: ഇത് ശരിയാണോ?

\[\begin(align) & ((\ഇടത്. \ഇടത്| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1.5 \right|)_(x=-2) ) \ \ & 0 \lt \left| -3\വലത്|-2-1.5; \\ & 0 \lt 3-3.5; \\ & 0 \lt -0.5\Rightarrow \varnothing . \\\അവസാനം(വിന്യസിക്കുക)\]

കണക്കുകൂട്ടലുകളുടെ ശൃംഖല നമ്മെ തെറ്റായ അസമത്വത്തിലേക്ക് നയിച്ചുവെന്നത് വ്യക്തമാണ്. അതിനാൽ, യഥാർത്ഥ അസമത്വവും തെറ്റാണ്, കൂടാതെ $x=-2$ ഉത്തരത്തിൽ ഉൾപ്പെടുത്തിയിട്ടില്ല.

2. ഇപ്പോൾ $-2 \lt x \lt 1$ അനുവദിക്കുക. ഇടത് മൊഡ്യൂൾ ഇതിനകം ഒരു "പ്ലസ്" ഉപയോഗിച്ച് തുറക്കും, എന്നാൽ ശരിയായത് ഇപ്പോഴും "മൈനസ്" ഉപയോഗിച്ച് തുറക്കും. നമുക്ക് ഉണ്ട്:

\[\ആരംഭിക്കുക(വിന്യസിക്കുക) & x+2 \lt -\left(x-1 \right)+x-1.5 \\ & x+2 \lt -x+1+x-1.5 \\& x \lt - 2.5 \\\ അവസാനം (വിന്യസിക്കുക)\]

വീണ്ടും ഞങ്ങൾ യഥാർത്ഥ ആവശ്യകതയുമായി വിഭജിക്കുന്നു:

\[\left\( \begin(align) & x \lt -2.5 \\ & -2 \lt x \lt 1 \\\ end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnoth \]

വീണ്ടും, പരിഹാരങ്ങളുടെ കൂട്ടം ശൂന്യമാണ്, കാരണം −2.5-ൽ കുറവും −2-നേക്കാൾ വലുതുമായ സംഖ്യകളൊന്നുമില്ല.

2.1 വീണ്ടും ഒരു പ്രത്യേക കേസ്: $x=1$. യഥാർത്ഥ അസമത്വത്തിലേക്ക് ഞങ്ങൾ പകരം വയ്ക്കുന്നു:

\[\begin(align) & ((\ഇടത്. \ഇടത്| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1.5 \right|)_(x=1)) \\ & \ഇടത്| 3\വലത്| \lt \ഇടത്| 0\വലത്|+1-1.5; \\ & 3 \lt -0.5; \\ & 3 \lt -0.5\Rightarrow \varnothing . \\\അവസാനം(വിന്യസിക്കുക)\]

മുമ്പത്തെ "പ്രത്യേക കേസ്" പോലെ, $x=1$ എന്ന സംഖ്യ ഉത്തരത്തിൽ വ്യക്തമായി ഉൾപ്പെടുത്തിയിട്ടില്ല.

3. വരിയുടെ അവസാന ഭാഗം: $x \gt 1$. ഇവിടെ എല്ലാ മൊഡ്യൂളുകളും ഒരു പ്ലസ് ചിഹ്നം ഉപയോഗിച്ച് തുറക്കുന്നു:

\[\begin(align) & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x \gt 4.5 \\ \ end(align)\ ]

വീണ്ടും ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തിയ സെറ്റിനെ യഥാർത്ഥ നിയന്ത്രണവുമായി വിഭജിക്കുന്നു:

\[\ഇടത്\( \begin(align) & x \gt 4.5 \\ & x \gt 1 \\\ end(align) \right.\rightarrow x\in \left(4.5;+\infty \right)\ ]

ഒടുവിൽ! അതിനുള്ള ഒരു ഇടവേള ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തി.

ഉത്തരം: $x\in \ഇടത്(4,5;+\infty \right)$

അവസാനമായി, യഥാർത്ഥ പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ മണ്ടത്തരങ്ങളിൽ നിന്ന് നിങ്ങളെ രക്ഷിച്ചേക്കാവുന്ന ഒരു പരാമർശം:

മൊഡ്യൂളികളുമായുള്ള അസമത്വങ്ങൾക്കുള്ള പരിഹാരങ്ങൾ സാധാരണയായി നമ്പർ ലൈനിലെ തുടർച്ചയായ സെറ്റുകളെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു - ഇടവേളകളും സെഗ്‌മെന്റുകളും. ഒറ്റപ്പെട്ട പോയിന്റുകൾ വളരെ കുറവാണ്. അതിലും കുറവ് പലപ്പോഴും, പരിഹാരത്തിന്റെ അതിർത്തി (സെഗ്‌മെന്റിന്റെ അവസാനം) പരിഗണനയിലുള്ള ശ്രേണിയുടെ അതിർത്തിയുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു.

തൽഫലമായി, ഉത്തരത്തിൽ അതിരുകൾ (അതേ "പ്രത്യേക കേസുകൾ") ഉൾപ്പെടുത്തിയിട്ടില്ലെങ്കിൽ, ഈ അതിരുകളുടെ ഇടത്തും വലത്തും ഉള്ള പ്രദേശങ്ങൾ മിക്കവാറും ഉത്തരത്തിൽ ഉൾപ്പെടില്ല. തിരിച്ചും: അതിർത്തി ഉത്തരത്തിലേക്ക് പ്രവേശിച്ചു, അതിനർത്ഥം ചുറ്റുമുള്ള ചില പ്രദേശങ്ങളും ഉത്തരങ്ങളായിരിക്കും എന്നാണ്.

നിങ്ങളുടെ പരിഹാരങ്ങൾ അവലോകനം ചെയ്യുമ്പോൾ ഇത് മനസ്സിൽ വയ്ക്കുക.

അസമത്വ പരിഹാരംമോഡിൽ ഓൺലൈൻ പരിഹാരംഏതാണ്ട് ഏതെങ്കിലും തന്നിരിക്കുന്ന അസമത്വം ഓൺലൈൻ. ഗണിതശാസ്ത്രം ഓൺലൈൻ അസമത്വങ്ങൾഗണിതശാസ്ത്രം പരിഹരിക്കാൻ. വേഗം കണ്ടെത്തുക അസമത്വ പരിഹാരംമോഡിൽ ഓൺലൈൻ. www.site എന്ന വെബ്സൈറ്റ് നിങ്ങളെ കണ്ടെത്താൻ അനുവദിക്കുന്നു പരിഹാരംഏതാണ്ട് ഏതെങ്കിലും തന്നിരിക്കുന്നു ബീജഗണിതം, ത്രികോണമിതിഅഥവാ അതിരുകടന്ന അസമത്വം ഓൺലൈനിൽ. ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ ഏതെങ്കിലും ശാഖ വിവിധ ഘട്ടങ്ങളിൽ പഠിക്കുമ്പോൾ നിങ്ങൾ തീരുമാനിക്കേണ്ടതുണ്ട് ഓൺലൈൻ അസമത്വങ്ങൾ. ഉടനടി ഉത്തരം ലഭിക്കുന്നതിനും ഏറ്റവും പ്രധാനമായി കൃത്യമായ ഉത്തരം ലഭിക്കുന്നതിനും, ഇത് ചെയ്യാൻ നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്ന ഒരു ഉറവിടം നിങ്ങൾക്ക് ആവശ്യമാണ്. www.site എന്ന സൈറ്റിന് നന്ദി ഓൺലൈനിൽ അസമത്വം പരിഹരിക്കുകകുറച്ച് മിനിറ്റ് എടുക്കും. ഗണിതശാസ്ത്രം പരിഹരിക്കുമ്പോൾ www.site-ന്റെ പ്രധാന നേട്ടം ഓൺലൈൻ അസമത്വങ്ങൾ- നൽകിയിരിക്കുന്ന പ്രതികരണത്തിന്റെ വേഗതയും കൃത്യതയും ഇതാണ്. സൈറ്റിന് എന്തെങ്കിലും പരിഹരിക്കാൻ കഴിയും ബീജഗണിത അസമത്വങ്ങൾ ഓൺലൈനിൽ, ത്രികോണമിതി അസമത്വങ്ങൾ ഓൺലൈനിൽ, അതിരുകടന്ന അസമത്വങ്ങൾ ഓൺലൈനിൽ, ഒപ്പം അസമത്വങ്ങൾമോഡിൽ അജ്ഞാത പാരാമീറ്ററുകൾക്കൊപ്പം ഓൺലൈൻ. അസമത്വങ്ങൾശക്തമായ ഒരു ഗണിത ഉപകരണമായി സേവിക്കുന്നു പരിഹാരങ്ങൾപ്രായോഗിക പ്രശ്നങ്ങൾ. സഹായത്തോടെ ഗണിതശാസ്ത്രപരമായ അസമത്വങ്ങൾഒറ്റനോട്ടത്തിൽ ആശയക്കുഴപ്പവും സങ്കീർണ്ണവുമാണെന്ന് തോന്നുന്ന വസ്തുതകളും ബന്ധങ്ങളും പ്രകടിപ്പിക്കാൻ സാധിക്കും. അജ്ഞാത അളവുകൾ അസമത്വങ്ങൾലെ പ്രശ്നം രൂപപ്പെടുത്തുന്നതിലൂടെ കണ്ടെത്താനാകും ഗണിതശാസ്ത്രംരൂപത്തിൽ ഭാഷ അസമത്വങ്ങൾഒപ്പം തീരുമാനിക്കുകമോഡിൽ ടാസ്ക് ലഭിച്ചു ഓൺലൈൻ www.site എന്ന വെബ്സൈറ്റിൽ. ഏതെങ്കിലും ബീജഗണിത അസമത്വം, ത്രികോണമിതി അസമത്വംഅഥവാ അസമത്വങ്ങൾഅടങ്ങുന്ന അതീന്ദ്രിയമായനിങ്ങൾക്ക് എളുപ്പത്തിൽ കഴിയുന്ന സവിശേഷതകൾ തീരുമാനിക്കുകഓൺലൈനിൽ കൃത്യമായ ഉത്തരം നേടുക. പ്രകൃതി ശാസ്ത്രം പഠിക്കുമ്പോൾ, നിങ്ങൾ അനിവാര്യമായും ആവശ്യം നേരിടുന്നു അസമത്വങ്ങൾക്കുള്ള പരിഹാരങ്ങൾ. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഉത്തരം കൃത്യമായിരിക്കണം കൂടാതെ മോഡിൽ ഉടനടി ലഭിക്കുകയും വേണം ഓൺലൈൻ. അതുകൊണ്ട് വേണ്ടി ഗണിതശാസ്ത്ര അസമത്വങ്ങൾ ഓൺലൈനിൽ പരിഹരിക്കുക www.site എന്ന സൈറ്റ് ഞങ്ങൾ ശുപാർശ ചെയ്യുന്നു, അത് നിങ്ങളുടെ ഒഴിച്ചുകൂടാനാവാത്ത കാൽക്കുലേറ്ററായി മാറും ബീജഗണിത അസമത്വങ്ങൾ ഓൺലൈനിൽ പരിഹരിക്കുന്നു, ത്രികോണമിതി അസമത്വങ്ങൾ ഓൺലൈനിൽ, ഒപ്പം അതിരുകടന്ന അസമത്വങ്ങൾ ഓൺലൈനിൽഅഥവാ അസമത്വങ്ങൾഅജ്ഞാത പാരാമീറ്ററുകൾക്കൊപ്പം. വിവിധ കാര്യങ്ങൾക്ക് ഓൺലൈൻ പരിഹാരങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള പ്രായോഗിക പ്രശ്നങ്ങൾക്ക് ഗണിതശാസ്ത്രപരമായ അസമത്വങ്ങൾറിസോഴ്സ് www.. പരിഹരിക്കുന്നു ഓൺലൈൻ അസമത്വങ്ങൾസ്വയം, സ്വീകരിച്ച ഉത്തരം ഉപയോഗിച്ച് പരിശോധിക്കുന്നത് ഉപയോഗപ്രദമാണ് അസമത്വങ്ങളുടെ ഓൺലൈൻ പരിഹാരം www.site എന്ന വെബ്സൈറ്റിൽ. നിങ്ങൾ അസമത്വം ശരിയായി എഴുതുകയും തൽക്ഷണം നേടുകയും വേണം ഓൺലൈൻ പരിഹാരം, അതിനുശേഷം ബാക്കിയുള്ളത് അസമത്വത്തിനുള്ള നിങ്ങളുടെ പരിഹാരവുമായി ഉത്തരം താരതമ്യം ചെയ്യുക എന്നതാണ്. ഉത്തരം പരിശോധിക്കുന്നത് ഒരു മിനിറ്റിൽ കൂടുതൽ എടുക്കില്ല, അത് മതി ഓൺലൈനിൽ അസമത്വം പരിഹരിക്കുകഉത്തരങ്ങൾ താരതമ്യം ചെയ്യുക. തെറ്റുകൾ ഒഴിവാക്കാൻ ഇത് നിങ്ങളെ സഹായിക്കും തീരുമാനംകൂടാതെ കൃത്യസമയത്ത് ഉത്തരം ശരിയാക്കുക ഓൺലൈൻ അസമത്വങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നുഒന്നുകിൽ ബീജഗണിതം, ത്രികോണമിതി, അതീന്ദ്രിയമായഅഥവാ അസമത്വംഅജ്ഞാത പാരാമീറ്ററുകൾക്കൊപ്പം.