समभुज चौकोनात कोरलेल्या वर्तुळाची त्रिज्या. समभुज त्रिकोण

जर एखादे वर्तुळ कोनात स्थित असेल आणि त्याच्या बाजूंना स्पर्श करत असेल तर त्याला या कोनात कोरलेले म्हणतात. अशा कोरलेल्या वर्तुळाच्या मध्यभागी स्थित आहे या कोनाचा दुभाजक.

जर ते बहिर्वक्र बहुभुजाच्या आत असेल आणि त्याच्या सर्व बाजूंना स्पर्श करत असेल तर त्याला उत्तल बहुभुजात कोरलेले म्हणतात.

त्रिकोणामध्ये कोरलेले वर्तुळ

त्रिकोणामध्ये कोरलेले वर्तुळ या आकृतीच्या प्रत्येक बाजूस फक्त एका बिंदूला स्पर्श करते. एका त्रिकोणात फक्त एक वर्तुळ कोरले जाऊ शकते.

अशा वर्तुळाची त्रिज्या त्रिकोणाच्या खालील पॅरामीटर्सवर अवलंबून असेल:

1. त्रिकोणाच्या बाजूंची लांबी.
2. त्याचे क्षेत्रफळ.
3. त्याचा परिघ.
4. त्रिकोणाच्या कोनांचे मोजमाप.

त्रिकोणामध्ये कोरलेल्या वर्तुळाच्या त्रिज्या मोजण्यासाठी, वर सूचीबद्ध केलेले सर्व पॅरामीटर्स जाणून घेणे नेहमीच आवश्यक नसते, कारण ते त्रिकोणमितीय कार्यांद्वारे एकमेकांशी संबंधित असतात.

अर्ध-परिमिती वापरून गणना

1. जर भौमितिक आकृतीच्या सर्व बाजूंच्या लांबी माहित असतील (आम्ही त्यांना a, b आणि c अक्षरांनी दर्शवतो), तर त्रिज्या वर्गमूळ घेऊन मोजावी लागेल.
2. गणना सुरू करताना, प्रारंभिक डेटामध्ये आणखी एक व्हेरिएबल जोडणे आवश्यक आहे - अर्ध-परिमिती (पी). सर्व लांबी जोडून आणि परिणामी बेरीज 2 ने भागून त्याची गणना केली जाऊ शकते. p = (a+b+c)/2. अशा प्रकारे, त्रिज्या शोधण्याचे सूत्र लक्षणीयरीत्या सरलीकृत केले जाऊ शकते.
3. सर्वसाधारणपणे, सूत्रामध्ये मूलगामी चिन्हाचा समावेश असावा ज्याखाली अपूर्णांक ठेवला आहे; या अपूर्णांकाचा भाजक अर्ध-परिमिती p चे मूल्य असेल.
4. या अपूर्णांकाचा अंश हा फरकांचा गुणाकार असेल (p-a)*(p-b)*(p-c)
5. अशा प्रकारे, सूत्राचे पूर्ण स्वरूप खालीलप्रमाणे सादर केले जाईल: r = √(p-a)*(p-b)*(p-c)/p).

त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ लक्षात घेऊन गणना

आम्हाला माहित असल्यास त्रिकोणाचे क्षेत्रफळआणि त्‍याच्‍या सर्व बाजूंची लांबी, यामुळे मुळे काढण्‍याचा अवलंब न करता आम्‍हाला स्वारस्य असलेल्‍या वर्तुळाची त्रिज्या शोधता येईल.

1. प्रथम आपल्याला क्षेत्राचा आकार दुप्पट करणे आवश्यक आहे.
2. परिणाम सर्व बाजूंच्या लांबीच्या बेरजेने विभाजित केला जातो. मग सूत्र असे दिसेल: r = 2*S/(a+b+c).
3. जर तुम्ही अर्ध-परिमितीचे मूल्य वापरत असाल, तर तुम्हाला एक अतिशय सोपा सूत्र मिळू शकेल: r = S/p.

त्रिकोणमितीय कार्ये वापरून गणना

जर समस्या विधानात एका बाजूची लांबी, विरुद्ध कोनाचे मूल्य आणि परिमिती असेल, तर तुम्ही त्रिकोणमितीय कार्य - स्पर्शिका वापरू शकता. या प्रकरणात, गणना सूत्र असे दिसेल:

r = (P /2- a)* tg (α/2), जेथे r इच्छित त्रिज्या आहे, P परिमिती आहे, a ही एका बाजूची लांबी आहे, α हे विरुद्ध बाजूचे मूल्य आहे आणि कोन

r = a*√3/6 सूत्र वापरून वर्तुळाची त्रिज्या जी नियमित त्रिकोणामध्ये कोरली जावी लागेल.

काटकोन त्रिकोणात कोरलेले वर्तुळ

तुम्ही काटकोन त्रिकोणात बसू शकता फक्त एक मंडळ. अशा वर्तुळाचे केंद्र एकाच वेळी सर्व दुभाजकांचे छेदनबिंदू म्हणून काम करते. या भौमितिक आकृतीमध्ये काही विशिष्ट वैशिष्ट्ये आहेत जी कोरलेल्या वर्तुळाच्या त्रिज्याची गणना करताना विचारात घेणे आवश्यक आहे.

1. प्रथम आपल्याला दिलेल्या पॅरामीटर्ससह काटकोन त्रिकोण तयार करणे आवश्यक आहे. तुम्ही अशी आकृती एका बाजूचा आकार आणि दोन कोनांची मूल्ये किंवा दोन बाजू आणि या बाजूंमधील कोन याद्वारे तयार करू शकता. हे सर्व पॅरामीटर्स टास्क अटींमध्ये निर्दिष्ट करणे आवश्यक आहे. त्रिकोण ABC म्हणून दर्शविला जातो, C हा काटकोनाचा शिरोबिंदू आहे. पाय व्हेरिएबल्सद्वारे नियुक्त केले जातात, एआणि b, आणि कर्ण एक चल आहे सह.
2. शास्त्रीय सूत्र तयार करण्यासाठी आणि वर्तुळाची त्रिज्या काढण्यासाठी, समस्या विधानात वर्णन केलेल्या आकृतीच्या सर्व बाजूंची परिमाणे शोधणे आणि त्यांच्यापासून अर्ध-परिमितीची गणना करणे आवश्यक आहे. जर परिस्थिती दोन पायांचे आकार देत असेल, तर तुम्ही पायथागोरियन प्रमेयावर आधारित कर्णाच्या आकाराची गणना करण्यासाठी त्यांचा वापर करू शकता.
3. जर स्थिती एक पाय आणि एक कोन आकार देते, तर हा कोन समीप आहे की विरुद्ध आहे हे समजून घेणे आवश्यक आहे. पहिल्या प्रकरणात, सायन प्रमेय वापरून कर्ण आढळतो: c=a/sinСАВ, दुसऱ्या प्रकरणात कोसाइन प्रमेय लागू केला जातो c=a/cosCBA.
4. जेव्हा सर्व गणना पूर्ण केली जाते आणि सर्व बाजूंची मूल्ये ज्ञात असतात, तेव्हा वर वर्णन केलेल्या सूत्राचा वापर करून अर्ध-परिमिती आढळते.
5. अर्ध-परिमितीचा आकार जाणून घेतल्यास, आपण त्रिज्या शोधू शकता. सूत्र एक अपूर्णांक आहे. त्याचा अंश हा अर्ध-परिमिती आणि प्रत्येक बाजूमधील फरकांचे गुणाकार आहे आणि भाजक अर्ध-परिमितीचे मूल्य आहे.

हे लक्षात घ्यावे की या सूत्राचा अंश क्षेत्र निर्देशक आहे. या प्रकरणात, त्रिज्या शोधण्याचे सूत्र बरेच सोपे आहे - अर्ध-परिमितीने क्षेत्र विभाजित करणे पुरेसे आहे.

भौमितिक आकृतीचे क्षेत्रफळ जरी दोन्ही बाजू ज्ञात असल्या तरी निश्चित करणे शक्य आहे. कर्ण शोधण्यासाठी या पायांच्या वर्गांची बेरीज वापरली जाते, नंतर अर्ध-परिमिती मोजली जाते. आपण पायांच्या मूल्यांचा एकमेकांद्वारे गुणाकार करून आणि परिणाम 2 ने विभाजित करून क्षेत्राची गणना करू शकता.

दोन्ही पाय आणि कर्ण यांची लांबी दिल्यास, त्रिज्या अगदी सोप्या सूत्राचा वापर करून निर्धारित केली जाऊ शकते: यासाठी, पायांची लांबी एकत्र जोडली जाते आणि कर्णाची लांबी परिणामी वजा केली जाते. संख्या परिणाम अर्ध्यामध्ये विभागला जाणे आवश्यक आहे.

व्हिडिओ

त्रिकोणामध्ये कोरलेल्या वर्तुळाची त्रिज्या कशी शोधायची हे या व्हिडिओमध्ये शिकाल.

त्रिकोणामध्ये कोरलेले वर्तुळ

त्रिकोणामध्ये कोरलेल्या वर्तुळाचे अस्तित्व

व्याख्या आठवूया कोन दुभाजक .

व्याख्या १ .कोन दुभाजक एका कोनाला दोन समान भागांमध्ये विभाजित करणारा किरण म्हणतात.

प्रमेय 1 (कोनाच्या दुभाजकाचा मूळ गुणधर्म) . कोन दुभाजकाचा प्रत्येक बिंदू कोनाच्या बाजूंपासून समान अंतरावर आहे (चित्र 1).

तांदूळ. १

पुरावा डी , कोनाच्या दुभाजकावर पडलेलाबीएसी , आणि DE आणि डीएफ कोपऱ्याच्या बाजूने (चित्र 1).काटकोन त्रिकोण ADF आणि ADE समान , कारण त्यांच्याकडे समान तीव्र कोन आहेतDAF आणि DAE , आणि कर्ण इ.स - सामान्य. त्यामुळे,

DF = DE,

Q.E.D.

प्रमेय 2 (प्रमेय 1 चे संभाषण) . जर काही असेल तर ते कोनाच्या दुभाजकावर आहे (चित्र 2).

तांदूळ. 2

पुरावा . एक अनियंत्रित मुद्दा विचारात घ्याडी , कोनाच्या आत पडलेलाबीएसी आणि कोनाच्या बाजूंपासून समान अंतरावर स्थित आहे. चला मुद्द्यावरुन सोडूयाडी लंब DE आणि डीएफ कोपऱ्याच्या बाजूने (चित्र 2).काटकोन त्रिकोण ADF आणि ADE समान , कारण त्यांचे पाय समान आहेतडीएफ आणि DE , आणि कर्ण इ.स - सामान्य. त्यामुळे,

Q.E.D.

व्याख्या २ . वर्तुळ म्हणतात एका कोनात कोरलेले वर्तुळ , या कोनाच्या बाजू असल्यास.

प्रमेय 3 . जर वर्तुळ कोनात कोरलेले असेल, तर कोनाच्या शिरोबिंदूपासून कोनाच्या बाजू असलेल्या वर्तुळाच्या संपर्काच्या बिंदूंपर्यंतचे अंतर समान असते.

पुरावा . मुद्दा द्या डी - एका कोनात कोरलेले वर्तुळाचे केंद्रबीएसी , आणि गुण इ आणि एफ - कोनाच्या बाजूंसह वर्तुळाच्या संपर्काचे बिंदू (चित्र 3).

अंजीर.3

a , b , c - त्रिकोणाच्या बाजू,
 एस - चौरस,

आर – अंकित वर्तुळाची त्रिज्या,
 p - अर्ध-परिमिती

.

सूत्र आउटपुट पहा

a – समद्विभुज त्रिकोणाची पार्श्व बाजू , 
 b - पाया, आर – अंकित वर्तुळ त्रिज्या

a आर – अंकित वर्तुळ त्रिज्या

सूत्र आउटपुट पहा

,

कुठे

,

नंतर, समद्विभुज त्रिकोणाच्या बाबतीत, केव्हा

आम्हाला मिळते

जे आवश्यक होते.

प्रमेय 7 . समानतेसाठी

कुठे a - समभुज त्रिकोणाची बाजू,आर – अंकित वर्तुळाची त्रिज्या (चित्र 8).

तांदूळ. 8

पुरावा .

,

नंतर, समभुज त्रिकोणाच्या बाबतीत, केव्हा

b = a,

आम्हाला मिळते

जे आवश्यक होते.

टिप्पणी . एक व्यायाम म्हणून, मी थेट समभुज त्रिकोणामध्ये कोरलेल्या वर्तुळाच्या त्रिज्यासाठी सूत्र काढण्याची शिफारस करतो, म्हणजे. अनियंत्रित त्रिकोण किंवा समद्विभुज त्रिकोणामध्ये कोरलेल्या वर्तुळांच्या त्रिज्यासाठी सामान्य सूत्रे न वापरता.

प्रमेय 8 . काटकोन त्रिकोणासाठी, खालील समानता आहे:

कुठे a , b - काटकोन त्रिकोणाचे पाय, c – कर्ण , आर – अंकित वर्तुळाची त्रिज्या.

पुरावा . आकृती 9 विचारात घ्या.

तांदूळ. ९

चतुर्भुज असल्यानेCDOF आहे , ज्याच्या समीप बाजू आहेतकरा आणि ऑफ समान आहेत, तर हा आयत आहे . त्यामुळे,

CB = CF = r,

प्रमेय 3 नुसार, खालील समानता सत्य आहेत:

म्हणून, देखील खात्यात घेऊन, आम्ही प्राप्त

जे आवश्यक होते.

"त्रिकोणात कोरलेले वर्तुळ" या विषयावरील समस्यांची निवड.

1.

समद्विभुज त्रिकोणामध्ये कोरलेले वर्तुळ संपर्काच्या बिंदूवरील पार्श्व बाजूंपैकी एका बाजूस दोन भागांमध्ये विभाजित करते, ज्याची लांबी 5 आणि 3 आहे, पायाच्या विरुद्ध असलेल्या शिरोबिंदूपासून मोजली जाते. त्रिकोणाची परिमिती शोधा.

2.

3

ABC AC=4, BC=3 त्रिकोणामध्ये, कोन C 90º आहे. अंकित वर्तुळाची त्रिज्या शोधा.

4.

समद्विभुज काटकोन त्रिकोणाचे पाय 2+ आहेत. या त्रिकोणामध्ये कोरलेल्या वर्तुळाची त्रिज्या शोधा.

5.

समद्विभुज काटकोन त्रिकोणामध्ये कोरलेल्या वर्तुळाची त्रिज्या 2 आहे. या त्रिकोणाचे कर्ण c शोधा. कृपया तुमच्या उत्तरात c(-1) सूचित करा.

आम्ही युनिफाइड स्टेट परीक्षेतील अनेक समस्या उपायांसह सादर करतो.

समद्विभुज काटकोन त्रिकोणात कोरलेल्या वर्तुळाची त्रिज्या बरोबर असते. या त्रिकोणाचे कर्ण शोधा. कृपया तुमच्या उत्तरात सूचित करा.

त्रिकोण आयताकृती आणि समद्विभुज आहे. याचा अर्थ त्याचे पाय समान आहेत. प्रत्येक पाय समान असू द्या. मग कर्ण समान आहे.

आम्ही त्रिकोण ABC चे क्षेत्रफळ दोन प्रकारे लिहितो:

या अभिव्यक्तींचे बरोबरी केल्यास, आम्हाला ते मिळते. कारण द, आम्हाला ते मिळते. मग.

आम्ही प्रतिसादात लिहू.

उत्तर:.

कार्य २.

1. विनामूल्य, 10cm आणि 6cm (AB आणि BC) च्या दोन बाजू आहेत. परिक्रमा केलेल्या आणि अंकित वर्तुळांची त्रिज्या शोधा
टिप्पणी देऊन समस्या स्वतंत्रपणे सोडवली जाते.

उपाय:

IN.

१) शोधा:
२) सिद्ध करा:आणि CK शोधा
३) शोधा: परिक्रमा केलेल्या आणि अंकित वर्तुळांची त्रिज्या

उपाय:

कार्य 6.

आर चौकोनात कोरलेल्या वर्तुळाची त्रिज्या आहे. या वर्गाभोवती परिक्रमा केलेल्या वर्तुळाची त्रिज्या शोधा.दिले :

शोधणे: OS =?
उपाय: या प्रकरणात, पायथागोरियन प्रमेय किंवा R साठी सूत्र वापरून समस्येचे निराकरण केले जाऊ शकते. दुसरी केस अधिक सोपी असेल, कारण R चे सूत्र प्रमेयातून घेतले आहे.

कार्य 7.

समद्विभुज काटकोन त्रिकोणात कोरलेल्या वर्तुळाची त्रिज्या 2 आहे. कर्ण शोधासह हा त्रिकोण. कृपया तुमच्या उत्तरात सूचित करा.

एस - त्रिकोण क्षेत्र

आपल्याला त्रिकोणाच्या बाजू किंवा त्याचे क्षेत्रफळ माहित नाही. पाय x म्हणून दर्शवू, तर कर्ण समान असेल:

आणि त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ 0.5x असेल 2 .

म्हणजे

अशा प्रकारे, कर्ण समान असेल:

तुमच्या उत्तरात तुम्हाला लिहावे लागेल:

उत्तर: ४

कार्य 8.

त्रिकोणामध्ये ABC AC = 4, BC = 3, कोन सी 90 0 च्या बरोबरीचे. अंकित वर्तुळाची त्रिज्या शोधा.

त्रिकोणात कोरलेल्या वर्तुळाच्या त्रिज्यासाठी सूत्र वापरू:

जेथे a, b, c या त्रिकोणाच्या बाजू आहेत

एस - त्रिकोण क्षेत्र

दोन बाजू ज्ञात आहेत (हे पाय आहेत), आपण तिसरी (कर्ण) मोजू शकतो आणि क्षेत्रफळ देखील काढू शकतो.

पायथागोरियन प्रमेयानुसार:

चला क्षेत्र शोधूया:

अशा प्रकारे:

उत्तर: १

कार्य ९.

समद्विभुज त्रिकोणाच्या बाजू 5 आणि पाया 6 आहे. अंकित वर्तुळाची त्रिज्या शोधा.

त्रिकोणात कोरलेल्या वर्तुळाच्या त्रिज्यासाठी सूत्र वापरू:

जेथे a, b, c या त्रिकोणाच्या बाजू आहेत

एस - त्रिकोण क्षेत्र

सर्व बाजू ज्ञात आहेत, चला क्षेत्रफळ काढूया. हेरॉनचे सूत्र वापरून आपण ते शोधू शकतो:

मग

समभुज चौकोन हा समांतरभुज चौकोन असतो ज्याच्या सर्व बाजू समान असतात. म्हणून, त्याला समांतरभुज चौकोनाचे सर्व गुणधर्म वारशाने मिळतात. म्हणजे:

• समभुज चौकोनाचे कर्ण परस्पर लंब असतात.
• समभुज चौकोनाचे कर्ण हे त्याच्या आतील कोनांचे दुभाजक असतात.

जर आणि फक्त विरुद्ध बाजूंच्या बेरीज समान असतील तरच वर्तुळ चतुर्भुजात कोरले जाऊ शकते.
म्हणून, कोणत्याही समभुज चौकोनात वर्तुळ कोरले जाऊ शकते. कोरलेल्या वर्तुळाचे केंद्र समभुज चौकोनाच्या कर्णांच्या छेदनबिंदूच्या केंद्राशी जुळते.
समभुज चौकोनात कोरलेल्या वर्तुळाची त्रिज्या अनेक प्रकारे व्यक्त केली जाऊ शकते

1 मार्ग. उंचीवरून समभुज चौकोनात कोरलेल्या वर्तुळाची त्रिज्या

समभुज चौकोनाची उंची कोरलेल्या वर्तुळाच्या व्यासाइतकी असते. हे आयताच्या गुणधर्मावरून येते, जे कोरलेल्या वर्तुळाच्या व्यास आणि समभुज चौकोनाच्या उंचीने बनते - आयताच्या विरुद्ध बाजू समान असतात.

म्हणून, उंचीच्या दृष्टीने समभुज चौकोनात कोरलेल्या वर्तुळाच्या त्रिज्याचे सूत्र:

पद्धत 2. कर्णांमधून समभुज चौकोनात कोरलेल्या वर्तुळाची त्रिज्या

समभुज चौकोनाचे क्षेत्रफळ कोरलेल्या वर्तुळाच्या त्रिज्यानुसार व्यक्त केले जाऊ शकते
, कुठे आर- समभुज चौकोनाची परिमिती. परिमिती ही चौकोनाच्या सर्व बाजूंची बेरीज आहे हे जाणून, आपल्याकडे आहे पी = 4×aमग
परंतु समभुज चौकोनाचे क्षेत्रफळ देखील त्याच्या कर्णांच्या अर्ध्या गुणाप्रमाणे असते
क्षेत्र सूत्रांच्या उजव्या बाजूचे समीकरण केल्यास, आपल्याकडे खालील समानता आहे
परिणामी, आम्हाला एक सूत्र प्राप्त होते जे आम्हाला कर्णांमधून समभुज चौकोनात कोरलेल्या वर्तुळाच्या त्रिज्याची गणना करण्यास अनुमती देते.

कर्ण ज्ञात असल्यास समभुज चौकोनात कोरलेल्या वर्तुळाच्या त्रिज्या मोजण्याचे उदाहरण
कर्णांची लांबी 30 सेमी आणि 40 सेमी आहे हे माहीत असल्यास समभुज चौकोनात कोरलेल्या वर्तुळाची त्रिज्या शोधा.
द्या अ ब क ड- समभुज चौकोन, मग एसी.आणि बी.डीत्याचे कर्ण. एसी = 30 सें.मी ,बीडी=40 सेमी
मुद्दा द्या बद्दल- समभुज चौकोनात कोरलेल्या मध्यभागी आहे अ ब क डवर्तुळ, नंतर ते त्याच्या कर्णांच्या छेदनबिंदूचे बिंदू देखील असेल, त्यांना अर्ध्यामध्ये विभाजित करेल.


समभुज चौकोनाचे कर्ण काटकोनात एकमेकांना छेदत असल्याने त्रिकोण AOBआयताकृती मग, पायथागोरियन प्रमेयाने
, पूर्वी प्राप्त केलेली मूल्ये सूत्रामध्ये बदला

एबी= 25 सेमी
समभुज चौकोनात परिक्रमा केलेल्या वर्तुळाच्या त्रिज्यासाठी पूर्वी व्युत्पन्न केलेले सूत्र लागू केल्याने आपल्याला मिळते

3 मार्ग. m आणि n या भागांमधून समभुज चौकोनात कोरलेल्या वर्तुळाची त्रिज्या

डॉट एफ- समभुज चौकोनाच्या बाजूने वर्तुळाच्या संपर्काचा बिंदू, जो त्यास विभागांमध्ये विभागतो ए.एफ.आणि बी.एफ.. द्या AF =m, BF=n.
डॉट ओ- समभुज चौकोनाच्या कर्णांच्या छेदनबिंदूचे केंद्र आणि त्यात कोरलेले वर्तुळाचे केंद्र.
त्रिकोण AOB- आयताकृती, कारण समभुज चौकोनाचे कर्ण काटकोनात छेदतात.
, कारण वर्तुळाच्या स्पर्शिका बिंदूकडे काढलेली त्रिज्या आहे. त्यामुळे ऑफ- त्रिकोणाची उंची AOBकर्ण करण्यासाठी. मग ए.एफ.आणि BFकर्ण वर पाय प्रक्षेपण.
काटकोन त्रिकोणातील उंची, कर्णापर्यंत कमी केली जाते, हे पाय ते कर्णाच्या अंदाजांमधील सरासरी प्रमाण असते.

एका समभुज चौकोनातील कोरलेल्या वर्तुळाच्या त्रिज्याचे सूत्र हे या विभागांच्या गुणाकाराच्या वर्गमूळाच्या बरोबरीचे असते ज्यामध्ये वर्तुळाच्या स्पर्शिकेचा बिंदू समभुज चौकोनाच्या बाजूस विभागतो.

त्रिकोणामध्ये कोरलेल्या वर्तुळाचा विचार करा (चित्र 302). लक्षात ठेवा की त्याचे केंद्र O त्रिकोणाच्या आतील कोनांच्या दुभाजकांच्या छेदनबिंदूवर स्थित आहे. OA, OB, OC त्रिकोण ABC च्या शिरोबिंदूंशी O जोडणारे खंड त्रिकोणाचे तीन त्रिकोणांमध्ये विभाजन करतील:

AOV, VOS, SOA. या प्रत्येक त्रिकोणाची उंची त्रिज्याएवढी आहे आणि म्हणून त्यांचे क्षेत्रफळ म्हणून व्यक्त केले जातील

संपूर्ण त्रिकोण S चे क्षेत्रफळ या तीन क्षेत्रांच्या बेरजेइतके आहे:

त्रिकोणाचा अर्ध-परिमिती कुठे आहे. येथून

कोरलेल्या वर्तुळाची त्रिज्या त्रिकोणाच्या क्षेत्रफळाच्या त्याच्या अर्ध-परिमितीच्या गुणोत्तराइतकी असते.

त्रिकोणाच्या परिक्रमासाठी सूत्र प्राप्त करण्यासाठी, आम्ही खालील प्रस्ताव सिद्ध करतो.

प्रमेय a: कोणत्याही त्रिकोणामध्ये, बाजू विरुद्ध कोनाच्या साइनने गुणाकार केलेल्या परिमित वर्तुळाच्या व्यासाइतकी असते.

पुरावा. एक अनियंत्रित त्रिकोण ABC आणि त्याभोवती परिक्रमा केलेले वर्तुळ विचारात घ्या, ज्याची त्रिज्या R (चित्र 303) द्वारे दर्शविली जाईल. A हा त्रिकोणाचा तीव्र कोन असू द्या. चला वर्तुळाची त्रिज्या OB, OS काढू आणि त्रिकोणाच्या मध्यभागी O पासून बाजू BC पर्यंत लंब ओके टाकू. लक्षात घ्या की त्रिकोणाचा कोन a हा चाप BC च्या अर्ध्याने मोजला जातो, ज्यासाठी BOC हा मध्य कोन आहे. यावरून हे स्पष्ट होते. म्हणून, काटकोन त्रिकोण RNS मधून आपल्याला , किंवा , जे सिद्ध करण्यासाठी आवश्यक आहे.

दिलेले अंजीर. 303 आणि तर्क त्रिकोणाच्या तीव्र कोनाच्या केसचा संदर्भ देतात; उजव्या आणि अस्पष्ट कोनांच्या प्रकरणांसाठी पुरावा पार पाडणे सोपे होईल (वाचक हे स्वतःच करेल), परंतु आपण साइन्सचे प्रमेय (218.3) वापरू शकता. कारण ते कुठून असावे

साइन प्रमेय देखील लिहिलेला आहे. फॉर्म

आणि नोटेशन फॉर्मशी तुलना (218.3) देते

परिक्रमा केलेल्या वर्तुळाची त्रिज्या त्रिकोणाच्या तिन्ही बाजूंच्या गुणोत्तर आणि त्याच्या चौपट क्षेत्रफळाच्या गुणोत्तराएवढी असते.

कार्य. समद्विभुज त्रिकोणाच्या बाजू शोधा जर त्याच्या वर्तुळाला आणि परिमंडलाची अनुक्रमे त्रिज्या असेल तर

उपाय. त्रिकोणाच्या कोरलेल्या आणि परिक्रमा केलेल्या वर्तुळांची त्रिज्या व्यक्त करणारी सूत्रे लिहू:

बाजू आणि पाया असलेल्या समद्विभुज त्रिकोणासाठी, क्षेत्र सूत्राद्वारे व्यक्त केले जाते

किंवा, शून्य नसलेल्या घटकाने अपूर्णांक कमी करणे, आपल्याकडे आहे

ज्याच्या संदर्भात द्विघात समीकरण होते

त्याचे दोन उपाय आहेत:

किंवा R साठी कोणत्याही समीकरणामध्ये त्याच्या अभिव्यक्तीऐवजी बदलल्यास, आम्हाला शेवटी आमच्या समस्येची दोन उत्तरे सापडतील:

व्यायाम

1. काटकोनाच्या शिरोबिंदूपासून काढलेल्या काटकोन त्रिकोणाची उंची, कर्ण भागाकार गुणोत्तर प्रत्येक पाय आणि कर्णाचे गुणोत्तर शोधा.

2. वर्तुळाभोवती परिक्रमा केलेल्या समद्विभुज समलंबाचा पाया a आणि b च्या बरोबरीचा असतो. वर्तुळाची त्रिज्या शोधा.

3. दोन मंडळे बाहेरून स्पर्श करतात. त्यांची सामान्य स्पर्शिका ३०° च्या कोनात केंद्रांच्या रेषेकडे झुकलेली असते. स्पर्शिका बिंदूंमधील स्पर्शिका विभागाची लांबी 108 सेमी आहे. वर्तुळांची त्रिज्या शोधा.

4. काटकोन त्रिकोणाचे पाय a आणि b सारखे असतात. त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ शोधा ज्याच्या बाजू काटकोनाच्या शिरोबिंदूपासून काढलेल्या त्रिकोणाची उंची आणि मध्यभागी आहेत आणि कर्णाच्या छेदनबिंदूच्या बिंदूंमधील कर्णाचा विभाग शोधा.

5. त्रिकोणाच्या बाजू 13, 14, 15 आहेत. त्या प्रत्येकाचा प्रक्षेपण इतर दोन वर शोधा.

6. त्रिकोणाची बाजू आणि उंची ज्ञात आहे. बाजू b आणि c शोधा.

7. त्रिकोणाच्या दोन बाजू आणि मध्यक ओळखले जाते. त्रिकोणाची तिसरी बाजू शोधा.

8. त्रिकोणाच्या दोन बाजू आणि त्यांच्यामध्ये एक कोन दिलेला आहे: कोरलेल्या आणि परिक्रमा केलेल्या वर्तुळांची त्रिज्या शोधा.

9. a, b, c त्रिकोणाच्या बाजू ज्ञात आहेत. त्रिकोणाच्या बाजूंनी कोरलेल्या वर्तुळाच्या संपर्काच्या बिंदूंनी ते कोणते विभाग आहेत?