Ketaksamaan logaritma - Pasar raya besar pengetahuan. Semua tentang ketaksamaan logaritma

Di antara kepelbagaian keseluruhan ketaksamaan logaritma, ketaksamaan dengan asas pembolehubah dikaji secara berasingan. Mereka diselesaikan mengikut formula khas, yang atas sebab tertentu jarang diajar di sekolah:

log k (x ) f (x ) ∨ log k (x ) g (x ) ⇒ (f (x ) − g (x )) (k (x ) − 1) ∨ 0

Daripada gagak "∨", anda boleh meletakkan sebarang tanda ketidaksamaan: lebih atau kurang. Perkara utama ialah dalam kedua-dua ketidaksamaan tanda-tanda adalah sama.

Jadi kita menyingkirkan logaritma dan mengurangkan masalah kepada ketidaksamaan rasional. Yang terakhir adalah lebih mudah untuk diselesaikan, tetapi apabila membuang logaritma, akar tambahan mungkin muncul. Untuk memotongnya, sudah cukup untuk mencari julat nilai yang boleh diterima. Jika anda terlupa ODZ logaritma, saya amat mengesyorkan untuk mengulanginya - lihat "Apakah itu logaritma".

Segala-galanya yang berkaitan dengan julat nilai yang boleh diterima mesti ditulis dan diselesaikan secara berasingan:

f(x) > 0; g(x) > 0; k(x) > 0; k(x) ≠ 1.

Empat ketidaksamaan ini membentuk satu sistem dan mesti dipenuhi serentak. Apabila julat nilai yang boleh diterima ditemui, ia kekal untuk menyeberanginya dengan penyelesaian ketidaksamaan rasional - dan jawapannya sudah sedia.

Tugasan. Selesaikan ketaksamaan:

Pertama, mari kita tulis ODZ logaritma:

Dua ketaksamaan pertama dilakukan secara automatik, dan yang terakhir perlu ditulis. Oleh kerana kuasa dua nombor adalah sifar jika dan hanya jika nombor itu sendiri adalah sifar, kita mempunyai:

x 2 + 1 ≠ 1;
x2 ≠ 0;
x ≠ 0.

Ternyata ODZ bagi logaritma ialah semua nombor kecuali sifar: x ∈ (−∞ 0)∪(0; +∞). Sekarang kita menyelesaikan ketidaksamaan utama:

Kami melakukan peralihan daripada ketaksamaan logaritma kepada yang rasional. Dalam ketidaksamaan asal terdapat tanda "kurang daripada", jadi ketidaksamaan yang terhasil juga harus dengan tanda "kurang daripada". Kami ada:

(10 − (x 2 + 1)) (x 2 + 1 − 1)< 0;
(9 − x2) x2< 0;
(3 − x) (3 + x) x 2< 0.

Sifar bagi ungkapan ini: x = 3; x = -3; x = 0. Selain itu, x = 0 ialah punca kepelbagaian kedua, yang bermaksud bahawa apabila melaluinya, tanda fungsi tidak berubah. Kami ada:

Kami mendapat x ∈ (−∞ −3)∪(3; +∞). Set ini terkandung sepenuhnya dalam ODZ logaritma, yang bermaksud bahawa ini adalah jawapannya.

Transformasi ketaksamaan logaritma

Selalunya ketidaksamaan asal berbeza daripada yang di atas. Ini mudah diperbaiki mengikut peraturan standard untuk bekerja dengan logaritma - lihat "Sifat asas logaritma". Iaitu:

1. Sebarang nombor boleh diwakili sebagai logaritma dengan asas yang diberikan;
2. Jumlah dan perbezaan logaritma dengan asas yang sama boleh digantikan dengan logaritma tunggal.

Secara berasingan, saya ingin mengingatkan anda tentang julat nilai yang boleh diterima. Oleh kerana mungkin terdapat beberapa logaritma dalam ketaksamaan asal, ia diperlukan untuk mencari DPV setiap satu daripadanya. Oleh itu, skim umum penyelesaian ketaksamaan logaritma adalah seperti berikut:

1. Cari ODZ bagi setiap logaritma yang termasuk dalam ketaksamaan;
2. Kurangkan ketaksamaan kepada piawai menggunakan formula untuk menambah dan menolak logaritma;
3. Selesaikan ketaksamaan yang terhasil mengikut skema di atas.

Tugasan. Selesaikan ketaksamaan:

Cari domain definisi (ODZ) bagi logaritma pertama:

Kami menyelesaikan dengan kaedah selang. Mencari sifar pembilang:

3x − 2 = 0;
x = 2/3.

Kemudian - sifar penyebut:

x − 1 = 0;
x = 1.

Kami menandakan sifar dan tanda pada anak panah koordinat:

Kami mendapat x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞). Logaritma kedua ODZ akan sama. Kalau tak percaya boleh check. Sekarang kita mengubah logaritma kedua supaya asasnya adalah dua:

Seperti yang anda boleh lihat, tiga kali ganda di pangkalan dan sebelum logaritma telah mengecut. Dapatkan dua logaritma dengan asas yang sama. Mari kita satukan:

log 2 (x − 1) 2< 2;
log 2 (x − 1) 2< log 2 2 2 .

Kami telah memperoleh ketaksamaan logaritma piawai. Kami menyingkirkan logaritma dengan formula. Oleh kerana terdapat tanda kurang daripada dalam ketaksamaan asal, ungkapan rasional yang terhasil juga mestilah kurang daripada sifar. Kami ada:

(f (x) - g (x)) (k (x) - 1)< 0;
((x − 1) 2 − 2 2)(2 − 1)< 0;
x 2 − 2x + 1 − 4< 0;
x 2 - 2x - 3< 0;
(x − 3)(x + 1)< 0;
x ∈ (−1; 3).

Kami mendapat dua set:

1. ODZ: x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞);
2. Calon jawapan: x ∈ (−1; 3).

Ia kekal untuk menyeberangi set ini - kami mendapat jawapan sebenar:

Kami berminat dengan persilangan set, jadi kami memilih selang yang berlorek pada kedua-dua anak panah. Kami mendapat x ∈ (−1; 2/3)∪(1; 3) - semua mata tertusuk.

Ketaksamaan dipanggil logaritma jika ia mengandungi fungsi logaritma.

Kaedah untuk menyelesaikan ketaksamaan logaritma tidak berbeza kecuali untuk dua perkara.

Pertama, apabila beralih daripada ketaksamaan logaritma kepada ketaksamaan fungsi sublogaritma, ia mengikuti ikuti tanda ketidaksamaan yang terhasil. Ia mematuhi peraturan berikut.

Jika asas fungsi logaritma lebih besar daripada $1$, maka apabila beralih daripada ketaksamaan logaritma kepada ketaksamaan fungsi sublogaritma, tanda ketaksamaan dikekalkan, dan jika kurang daripada $1$, maka ia diterbalikkan.

Kedua, penyelesaian sebarang ketaksamaan adalah selang, dan, oleh itu, pada akhir penyelesaian ketaksamaan fungsi sublogaritma, adalah perlu untuk menyusun sistem dua ketaksamaan: ketidaksamaan pertama sistem ini akan menjadi ketaksamaan fungsi sublogaritma, dan yang kedua ialah selang domain takrifan fungsi logaritma yang termasuk dalam ketaksamaan logaritma.

berlatih.

Mari kita selesaikan ketaksamaan:

1. $\log_(2)((x+3)) \geq 3.$

$D(y): \x+3>0.$

$x \in (-3;+\infty)$

Asas logaritma ialah $2>1$, jadi tanda tidak berubah. Dengan menggunakan definisi logaritma, kita dapat:

$x+3 \geq 2^(3),$

$x \in )