Bina graf fungsi menggunakan skema umum kajian. Penerokaan fungsi penuh dan plot

Untuk kajian penuh fungsi dan membina grafnya, adalah disyorkan untuk menggunakan skema berikut:

1) cari skop fungsi;

2) cari titik ketakselanjaran fungsi dan asimtot menegak (jika wujud);

3) menyiasat kelakuan fungsi pada infiniti, cari asimtot mendatar dan serong;

4) menyiasat fungsi untuk kesamarataan (keanehan) dan untuk periodicity (untuk fungsi trigonometri);

5) cari keterlaluan dan selang kemonotonan fungsi;

6) tentukan selang titik cembungan dan infleksi;

7) cari titik persilangan dengan paksi koordinat, jika boleh, dan beberapa titik tambahan yang memperhalusi graf.

Kajian fungsi dijalankan serentak dengan pembinaan grafnya.

Contoh 9 Terokai fungsi dan bina graf.

1. Domain definisi: ;

2. Fungsi putus pada titik
,
;

Kami menyiasat fungsi untuk kehadiran asimtot menegak.

;
,
─ asimtot menegak.

;
,
─ asimtot menegak.

3. Kami menyiasat fungsi untuk kehadiran asimtot serong dan mendatar.

Lurus
─ asimtot serong, jika
,
.

,
.

Lurus
─ asimtot mendatar.

4. Fungsinya genap kerana
. Pariti fungsi menunjukkan simetri graf berkenaan dengan paksi-y.

5. Cari selang monotonicity dan extrema bagi fungsi tersebut.

Mari cari titik kritikal, i.e. titik di mana terbitan adalah 0 atau tidak wujud:
;
. Kami mempunyai tiga mata
;

. Titik ini membahagikan keseluruhan paksi sebenar kepada empat selang. Mari kita tentukan tanda-tandanya pada setiap daripada mereka.

Pada selang (-∞; -1) dan (-1; 0) fungsi bertambah, pada selang (0; 1) dan (1; +∞) ia berkurang. Apabila melalui sesuatu titik
tanda perubahan terbitan daripada tambah kepada tolak, oleh itu, pada ketika ini, fungsi mempunyai maksimum
.

6. Mari cari selang cembungan, titik infleksi.

Mari cari titik di mana ialah 0, atau tidak wujud.

tidak mempunyai akar sebenar.
,
,

mata
Dan
bahagikan paksi sebenar kepada tiga selang. Mari kita tentukan tanda itu pada setiap selang waktu.

Oleh itu, lengkung pada selang
Dan
cembung ke bawah, pada selang (-1;1) cembung ke atas; tiada titik infleksi, kerana fungsi pada titik
Dan
tidak ditentukan.

7. Cari titik persilangan dengan paksi.

dengan gandar
graf fungsi bersilang pada titik (0; -1), dan dengan paksi
graf tidak bersilang, kerana pengangka bagi fungsi ini tidak mempunyai punca sebenar.

Graf bagi fungsi yang diberikan ditunjukkan dalam Rajah 1.

Rajah 1 ─ Graf fungsi

Aplikasi konsep terbitan dalam ekonomi. Keanjalan fungsi

Untuk mengkaji proses ekonomi dan menyelesaikan masalah gunaan lain, konsep keanjalan fungsi sering digunakan.

Definisi. Keanjalan fungsi
dipanggil had nisbah kenaikan relatif fungsi kepada kenaikan relatif pembolehubah di
, . (VII)

Keanjalan fungsi menunjukkan kira-kira berapa peratus fungsi itu akan berubah
apabila menukar pembolehubah bebas sebanyak 1%.

Keanjalan fungsi digunakan dalam analisis permintaan dan penggunaan. Jika keanjalan permintaan (dalam nilai mutlak)
, maka permintaan dianggap anjal jika
─ neutral jika
─ tidak anjal berkenaan dengan harga (atau pendapatan).

Contoh 10 Kira keanjalan sesuatu fungsi
dan cari nilai indeks keanjalan bagi = 3.

Penyelesaian: mengikut formula (VII) keanjalan fungsi:

Biarkan x=3 kemudian
Ini bermakna jika pembolehubah bebas meningkat sebanyak 1%, maka nilai pembolehubah bersandar akan meningkat sebanyak 1.42%.

Contoh 11 Biarkan permintaan berfungsi mengenai harga mempunyai bentuk
, Di mana ─ pekali malar. Cari nilai indeks keanjalan fungsi permintaan pada harga x = 3 den. unit

Penyelesaian: hitung keanjalan fungsi permintaan menggunakan formula (VII)

Andainya
unit monetari, kita dapat
. Ini bermakna bahawa pada harga
unit kewangan kenaikan harga sebanyak 1% akan menyebabkan penurunan permintaan sebanyak 6%, i.e. permintaan adalah anjal.

Hari ini kami menjemput anda untuk meneroka dan memplot graf fungsi dengan kami. Selepas kajian teliti artikel ini, anda tidak perlu berpeluh untuk masa yang lama untuk menyelesaikan tugasan seperti ini. Bukan mudah untuk meneroka dan membina graf fungsi, kerjanya banyak, memerlukan perhatian maksimum dan ketepatan pengiraan. Untuk memudahkan persepsi bahan, kami akan mengkaji secara beransur-ansur fungsi yang sama, menerangkan semua tindakan dan pengiraan kami. Selamat datang ke dunia matematik yang menakjubkan dan menarik! Pergi!

Domain

Untuk meneroka dan merancang fungsi, anda perlu mengetahui beberapa definisi. Fungsi ialah salah satu konsep asas (asas) dalam matematik. Ia mencerminkan pergantungan antara beberapa pembolehubah (dua, tiga atau lebih) dengan perubahan. Fungsi ini juga menunjukkan pergantungan set.

Bayangkan kita mempunyai dua pembolehubah yang mempunyai julat perubahan tertentu. Jadi, y ialah fungsi bagi x, dengan syarat setiap nilai pembolehubah kedua sepadan dengan satu nilai kedua. Dalam kes ini, pembolehubah y adalah bergantung, dan ia dipanggil fungsi. Adalah lazim untuk mengatakan bahawa pembolehubah x dan y berada dalam Untuk lebih jelas tentang pergantungan ini, graf fungsi dibina. Apakah graf fungsi? Ini ialah satu set titik pada satah koordinat, di mana setiap nilai x sepadan dengan satu nilai y. Graf boleh berbeza - garis lurus, hiperbola, parabola, sinusoid dan sebagainya.

Graf fungsi tidak boleh diplot tanpa penerokaan. Hari ini kita akan belajar cara menjalankan penyelidikan dan memplot graf fungsi. Adalah sangat penting untuk membuat nota semasa kajian. Oleh itu, lebih mudah untuk menangani tugas itu. Rancangan belajar yang paling mudah:

1. Domain.
2. Kesinambungan.
3. Genap atau ganjil.
4. Berkala.
5. Asimtot.
6. Sifar.
7. Keteguhan.
8. Menaik dan menurun.
9. Melampau.
10. Convexity dan concavity.

Mari kita mulakan dengan titik pertama. Mari cari domain definisi, iaitu, pada selang berapa fungsi kita wujud: y \u003d 1/3 (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36). Dalam kes kami, fungsi itu wujud untuk sebarang nilai x, iaitu domain takrifan ialah R. Ini boleh ditulis sebagai xОR.

Kesinambungan

Sekarang kita akan meneroka fungsi ketakselanjaran. Dalam matematik, istilah "kesinambungan" muncul sebagai hasil daripada kajian undang-undang gerakan. Apakah yang tidak terhingga? Ruang, masa, beberapa kebergantungan (contohnya ialah pergantungan pembolehubah S dan t dalam masalah pergerakan), suhu objek yang dipanaskan (air, kuali, termometer, dan sebagainya), garis berterusan (iaitu, satu yang boleh dilukis tanpa mengeluarkannya dari pensel helaian).

Sesuatu graf dianggap selanjar jika ia tidak putus pada satu ketika. Salah satu yang paling contoh yang baik graf sedemikian ialah gelombang sinus, yang boleh anda lihat dalam gambar dalam bahagian ini. Fungsi ini berterusan pada satu titik x0 jika beberapa syarat dipenuhi:

• fungsi ditakrifkan pada titik tertentu;
• had kanan dan kiri pada satu titik adalah sama;
• had adalah sama dengan nilai fungsi pada titik x0.

Jika sekurang-kurangnya satu syarat tidak dipenuhi, fungsi tersebut dikatakan rosak. Dan titik di mana fungsi pecah dipanggil titik putus. Contoh fungsi yang akan "pecah" apabila dipaparkan secara grafik ialah: y=(x+4)/(x-3). Selain itu, y tidak wujud pada titik x = 3 (kerana adalah mustahil untuk dibahagi dengan sifar).

Dalam fungsi yang sedang kita pelajari (y \u003d 1/3 (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36)) semuanya ternyata mudah, kerana graf akan berterusan.

Walaupun ganjil

Sekarang periksa fungsi untuk pariti. Mari kita mulakan dengan sedikit teori. Fungsi genap ialah fungsi yang memenuhi syarat f (-x) = f (x) untuk sebarang nilai pembolehubah x (daripada julat nilai). Contohnya ialah:

• modul x (graf kelihatan seperti gagak, pembahagi dua suku pertama dan kedua graf);
• x kuasa dua (parabola);
• kosinus x (gelombang kosinus).

Ambil perhatian bahawa semua graf ini adalah simetri apabila dilihat berkenaan dengan paksi-y.

Apakah yang dipanggil fungsi ganjil? Ini adalah fungsi yang memenuhi syarat: f (-x) \u003d - f (x) untuk sebarang nilai pembolehubah x. Contoh:

• hiperbola;
• parabola padu;
• sinusoid;
• tangen dan sebagainya.

Sila ambil perhatian bahawa fungsi ini adalah simetri tentang titik (0:0), iaitu, asal. Berdasarkan apa yang dinyatakan dalam bahagian artikel ini, fungsi genap dan ganjil mesti mempunyai sifat: x tergolong dalam set definisi dan -x juga.

Mari kita periksa fungsi untuk pariti. Kita dapat melihat bahawa dia tidak sesuai dengan mana-mana huraian. Oleh itu, fungsi kita tidak genap dan tidak ganjil.

Asimtot

Mari kita mulakan dengan definisi. Asimtot ialah lengkung yang sedekat mungkin dengan graf, iaitu jarak dari beberapa titik cenderung kepada sifar. Terdapat tiga jenis asimtot:

• menegak, iaitu, selari dengan paksi y;
• mendatar, iaitu selari dengan paksi-x;
• serong.

Bagi jenis pertama, baris ini harus dicari di beberapa titik:

• jurang;
• hujung domain.

Dalam kes kami, fungsi adalah berterusan, dan domain definisi ialah R. Oleh itu, tiada asimtot menegak.

Graf fungsi mempunyai asimtot mendatar, yang memenuhi keperluan berikut: jika x cenderung kepada infiniti atau tolak infiniti, dan hadnya adalah sama dengan nombor tertentu (contohnya, a). DALAM kes ini y=a ialah asimtot mengufuk. Tiada asimtot mendatar dalam fungsi yang sedang kita kaji.

Asimtot serong hanya wujud jika dua syarat dipenuhi:

• lim(f(x))/x=k;
• lim f(x)-kx=b.

Kemudian ia boleh didapati dengan formula: y=kx+b. Sekali lagi, dalam kes kami tidak ada asimtot serong.

Fungsi sifar

Langkah seterusnya ialah memeriksa graf fungsi untuk sifar. Ia juga sangat penting untuk diperhatikan bahawa tugas yang berkaitan dengan mencari sifar fungsi berlaku bukan sahaja dalam kajian dan pembinaan graf fungsi, tetapi juga sebagai tugas bebas, dan sebagai cara untuk menyelesaikan ketidaksamaan. Anda mungkin dikehendaki mencari sifar fungsi pada graf atau menggunakan tatatanda matematik.

Mencari nilai ini akan membantu anda merancang fungsi dengan lebih tepat. Jika bercakap bahasa biasa, maka sifar fungsi ialah nilai pembolehubah x, di mana y=0. Jika anda mencari sifar fungsi pada graf, maka anda harus memberi perhatian kepada titik di mana graf bersilang dengan paksi-x.

Untuk mencari sifar fungsi, anda perlu menyelesaikan persamaan berikut: y=1/3(x^3-14x^2+49x-36)=0. Selepas melakukan pengiraan yang diperlukan, kami mendapat jawapan berikut:

tanda keteguhan

Peringkat seterusnya dalam kajian dan pembinaan fungsi (grafik) ialah mencari selang ketekalan tanda. Ini bermakna kita mesti menentukan selang mana fungsi mengambil nilai positif, dan selang mana ia mengambil nilai negatif. Sifar bagi fungsi yang terdapat dalam bahagian sebelumnya akan membantu kami melakukan ini. Jadi, kita perlu membina garis lurus (berasingan daripada graf) dan mengagihkan sifar fungsi di sepanjangnya dalam susunan yang betul dari terkecil kepada terbesar. Sekarang anda perlu menentukan yang mana selang yang terhasil mempunyai tanda "+", dan yang mana satu mempunyai "-".

Dalam kes kami, fungsi mengambil nilai positif pada selang:

• dari 1 hingga 4;
• dari 9 hingga infiniti.

Makna negatif:

• daripada tolak infiniti kepada 1;
• dari 4 hingga 9.

Ini agak mudah untuk ditentukan. Gantikan sebarang nombor dari selang ke dalam fungsi dan lihat tanda jawapannya (tolak atau tambah).

Fungsi Menaik dan Menurun

Untuk meneroka dan membina fungsi, kita perlu tahu di mana graf akan meningkat (naik pada Oy), dan di mana ia akan jatuh (merayap ke bawah sepanjang paksi-y).

Fungsi meningkat hanya jika nilai pembolehubah x yang lebih besar sepadan dengan nilai y yang lebih besar. Iaitu, x2 lebih besar daripada x1, dan f(x2) lebih besar daripada f(x1). Dan kita memerhatikan fenomena yang bertentangan sepenuhnya dalam fungsi menurun (semakin banyak x, semakin kurang y). Untuk menentukan selang kenaikan dan penurunan, anda perlu mencari perkara berikut:

• skop (kami sudah memilikinya);
• derivatif (dalam kes kami: 1/3(3x^2-28x+49);
• selesaikan persamaan 1/3(3x^2-28x+49)=0.

Selepas pengiraan, kami mendapat keputusan:

Kami mendapat: fungsi meningkat pada selang dari tolak infiniti kepada 7/3 dan dari 7 kepada infiniti, dan berkurangan pada selang dari 7/3 kepada 7.

Melampau

Fungsi yang disiasat y=1/3(x^3-14x^2+49x-36) adalah berterusan dan wujud untuk sebarang nilai pembolehubah x. Titik ekstrem menunjukkan maksimum dan minimum fungsi ini. Dalam kes kami, tidak ada, yang sangat memudahkan tugas pembinaan. Jika tidak, ia juga didapati menggunakan fungsi derivatif. Selepas mencari, jangan lupa tandakan mereka pada carta.

Convexity dan concavity

Kami terus mengkaji fungsi y(x). Sekarang kita perlu menyemaknya untuk cembung dan cekung. Takrifan konsep ini agak sukar untuk dilihat, lebih baik menganalisis segala-galanya dengan contoh. Untuk ujian: fungsi adalah cembung jika ia adalah fungsi tidak menurun. Setuju, ini tidak dapat difahami!

Kita perlu mencari terbitan bagi fungsi tertib kedua. Kami dapat: y=1/3(6x-28). Sekarang kita samakan bahagian kanan dengan sifar dan selesaikan persamaan. Jawapan: x=14/3. Kami telah menemui titik infleksi iaitu tempat di mana graf berubah daripada cembung kepada cekung atau sebaliknya. Pada selang dari tolak infiniti hingga 14/3, fungsinya adalah cembung, dan dari 14/3 hingga tambah infiniti, ia adalah cekung. Ia juga sangat penting untuk ambil perhatian bahawa titik infleksi pada carta hendaklah licin dan lembut, tidak sudut tajam tidak sepatutnya hadir.

Definisi mata tambahan

Tugas kami adalah untuk meneroka dan memplot graf fungsi. Kami telah menyelesaikan kajian, tidak sukar untuk merancang fungsi sekarang. Untuk penghasilan semula lengkung atau garis lurus yang lebih tepat dan terperinci pada satah koordinat, anda boleh menemui beberapa titik tambahan. Ia agak mudah untuk mengira mereka. Sebagai contoh, kita ambil x=3, selesaikan persamaan yang terhasil dan cari y=4. Atau x=5 dan y=-5 dan seterusnya. Anda boleh mengambil seberapa banyak mata tambahan yang anda perlukan untuk membina. Sekurang-kurangnya 3-5 daripadanya ditemui.

Memplot

Kami perlu menyiasat fungsi (x^3-14x^2+49x-36)*1/3=y. Semua markah yang diperlukan semasa pengiraan dibuat pada satah koordinat. Apa yang perlu dilakukan ialah membina graf, iaitu menyambung semua titik antara satu sama lain. Menyambung titik adalah lancar dan tepat, ini adalah soal kemahiran - sedikit latihan dan jadual anda akan menjadi sempurna.

Arahan

Cari skop fungsi. Sebagai contoh, fungsi sin(x) ditakrifkan pada keseluruhan selang dari -∞ hingga +∞, dan fungsi 1/x ditakrifkan daripada -∞ hingga +∞, kecuali untuk titik x = 0.

Tentukan kawasan kesinambungan dan titik putus. Biasanya fungsi adalah berterusan dalam domain yang sama di mana ia ditakrifkan. Untuk mengesan ketakselanjaran, anda perlu mengira apabila hujah menghampiri titik terpencil di dalam domain definisi. Sebagai contoh, fungsi 1/x cenderung kepada infiniti apabila x→0+ dan tolak infiniti apabila x→0-. Ini bermakna pada titik x = 0 ia mempunyai ketakselanjaran jenis kedua.
Jika had pada titik ketakselanjaran adalah terhingga tetapi tidak sama, maka ini adalah ketakselanjaran jenis pertama. Jika ia adalah sama, maka fungsi itu dianggap berterusan, walaupun ia tidak ditakrifkan pada titik terpencil.

Cari asimtot menegak, jika ada. Pengiraan dari langkah sebelumnya akan membantu anda di sini, kerana asimtot menegak hampir selalu berada di titik ketakselanjaran jenis kedua. Walau bagaimanapun, kadangkala bukan titik individu yang dikecualikan daripada domain definisi, tetapi keseluruhan selang titik, dan kemudian asimtot menegak boleh terletak di tepi selang ini.

Semak sama ada fungsi mempunyai sifat khas: genap, ganjil dan berkala.
Fungsi ini akan menjadi walaupun untuk mana-mana x dalam domain f(x) = f(-x). Sebagai contoh, cos(x) dan x^2 ialah fungsi genap.

Kekalaan ialah sifat yang mengatakan bahawa terdapat nombor T tertentu yang dipanggil tempoh, yang bagi mana-mana x f(x) = f(x + T). Sebagai contoh, semua major fungsi trigonometri(sinus, kosinus, tangen) - berkala.

Cari mata. Untuk melakukan ini, hitung derivatif fungsi yang diberikan dan cari nilai x tersebut di mana ia hilang. Sebagai contoh, fungsi f(x) = x^3 + 9x^2 -15 mempunyai terbitan g(x) = 3x^2 + 18x yang hilang pada x = 0 dan x = -6.

Untuk menentukan titik ekstrem mana yang maksimum dan yang mana minima, jejaki perubahan dalam tanda terbitan dalam sifar yang ditemui. g(x) menukar tanda daripada tambah pada x = -6 dan kembali daripada tolak kepada tambah pada x = 0. Oleh itu, fungsi f(x) mempunyai minimum pada titik pertama dan minimum pada titik kedua.

Oleh itu, anda juga telah menemui kawasan monotonik: f(x) meningkat secara monoton pada selang -∞;-6, menurun secara monoton pada -6;0 dan meningkat semula pada 0;+∞.

Cari terbitan kedua. Akarnya akan menunjukkan di mana graf fungsi tertentu akan menjadi cembung, dan di mana ia akan menjadi cekung. Sebagai contoh, terbitan kedua bagi fungsi f(x) ialah h(x) = 6x + 18. Ia hilang pada x = -3, menukar tandanya daripada tolak kepada tambah. Oleh itu, graf f (x) sebelum titik ini akan menjadi cembung, selepasnya - cekung, dan titik ini sendiri akan menjadi titik infleksi.

Sesuatu fungsi mungkin mempunyai asimtot lain, kecuali untuk asimtot menegak, tetapi hanya jika domain definisinya termasuk . Untuk mencarinya, hitung had bagi f(x) apabila x→∞ atau x→-∞. Jika ia adalah terhingga, maka anda telah menemui asimtot mendatar.

Asimtot oblik ialah garis lurus dalam bentuk kx + b. Untuk mencari k, hitung had f(x)/x sebagai x→∞. Untuk mencari b - had (f(x) – kx) dengan x→∞ yang sama.

Plot fungsi pada data yang dikira. Labelkan asimtot, jika ada. Tandakan titik ekstrem dan nilai fungsi di dalamnya. Untuk ketepatan graf yang lebih tinggi, hitung nilai fungsi pada beberapa titik perantaraan lagi. Penyelidikan selesai.

Salah satu tugas yang paling penting kalkulus pembezaan adalah pembangunan contoh biasa kajian tentang tingkah laku fungsi.

Jika fungsi y \u003d f (x) berterusan pada selang, dan terbitannya adalah positif atau sama dengan 0 pada selang (a, b), maka y \u003d f (x) meningkat sebanyak (f "(x) 0). Jika fungsi y \u003d f (x) adalah selanjar pada segmen , dan terbitannya negatif atau sama dengan 0 pada selang (a,b), maka y=f(x) berkurang sebanyak (f"( x)0)

Selang di mana fungsi tidak berkurangan atau meningkat dipanggil selang monotonisitas fungsi. Sifat kemonotonan sesuatu fungsi boleh berubah hanya pada titik domain definisinya, di mana tanda derivatif pertama berubah. Titik di mana terbitan pertama fungsi hilang atau pecah dipanggil titik kritikal.

Teorem 1 (syarat pertama yang mencukupi untuk kewujudan ekstrem).

Biarkan fungsi y=f(x) ditakrifkan pada titik x 0 dan biarkan terdapat kejiranan δ>0 supaya fungsi itu berterusan pada segmen , boleh dibezakan pada selang (x 0 -δ,x 0)u( x 0 , x 0 +δ) , dan terbitannya mengekalkan tanda malar pada setiap selang ini. Kemudian jika pada x 0 -δ, x 0) dan (x 0, x 0 + δ) tanda-tanda derivatif adalah berbeza, maka x 0 ialah titik ekstrem, dan jika ia sepadan, maka x 0 bukan titik ekstrem. . Selain itu, jika, apabila melalui titik x0, derivatif bertukar tanda daripada tambah kepada tolak (di sebelah kiri x 0, f "(x)> 0 dilakukan, maka x 0 ialah titik maksimum; jika derivatif berubah tanda dari tolak kepada tambah (di sebelah kanan x 0 dilaksanakan oleh f"(x)<0, то х 0 - точка минимума.

Titik maksimum dan minimum dipanggil titik ekstrem fungsi, dan maksimum dan minima fungsi dipanggil nilai ekstremnya.

Teorem 2 (kriteria yang diperlukan untuk ekstrem tempatan).

Jika fungsi y=f(x) mempunyai ekstrem pada arus x=x 0, maka sama ada f'(x 0)=0 atau f'(x 0) tidak wujud.
Pada titik ekstrem fungsi boleh dibezakan, tangen kepada grafnya adalah selari dengan paksi Lembu.

Algoritma untuk mengkaji fungsi untuk ekstrem:

1) Cari terbitan bagi fungsi itu.
2) Cari titik kritikal, i.e. titik di mana fungsi adalah selanjar dan terbitan adalah sifar atau tidak wujud.
3) Pertimbangkan kejiranan setiap titik, dan periksa tanda terbitan di sebelah kiri dan kanan titik ini.
4) Tentukan koordinat titik ekstrem, untuk nilai titik kritikal ini, gantikan ke dalam fungsi ini. Menggunakan keadaan ekstrem yang mencukupi, buat kesimpulan yang sesuai.

Contoh 18. Siasat fungsi y=x 3 -9x 2 +24x

Penyelesaian.
1) y"=3x 2 -18x+24=3(x-2)(x-4).
2) Menyamakan terbitan kepada sifar, kita dapati x 1 =2, x 2 =4. Dalam kes ini, derivatif ditakrifkan di mana-mana; oleh itu, selain daripada dua titik yang ditemui, tiada titik kritikal yang lain.
3) Tanda terbitan y "=3(x-2)(x-4) berubah bergantung pada selang seperti yang ditunjukkan dalam Rajah 1. Apabila melalui titik x=2, derivatif bertukar tanda daripada tambah kepada tolak, dan apabila melalui titik x=4 - dari tolak hingga tambah.
4) Pada titik x=2, fungsi mempunyai maksimum y max =20, dan pada titik x=4 - minimum y min =16.

Teorem 3. (syarat mencukupi ke-2 untuk kewujudan ekstrem).

Biarkan f "(x 0) dan f "" (x 0) wujud pada titik x 0. Kemudian jika f "" (x 0)> 0, maka x 0 ialah titik minimum, dan jika f "" (x 0 )<0, то х 0 – точка максимума функции y=f(x).

Pada segmen, fungsi y \u003d f (x) boleh mencapai nilai terkecil (sekurang-kurangnya) atau terbesar (paling banyak) sama ada pada titik kritikal fungsi yang terletak dalam selang (a; b), atau di hujung daripada segmen tersebut.

Algoritma untuk mencari nilai terbesar dan terkecil bagi fungsi berterusan y=f(x) pada segmen :

1) Cari f "(x).
2) Cari titik di mana f "(x) = 0 atau f" (x) - tidak wujud, dan pilih daripada mereka yang terletak di dalam segmen.
3) Kira nilai fungsi y \u003d f (x) pada titik yang diperolehi dalam perenggan 2), serta di hujung segmen dan pilih yang terbesar dan terkecil daripada mereka: masing-masing adalah yang terbesar ( untuk nilai fungsi terbesar) dan terkecil (untuk terkecil) pada selang .

Contoh 19. Cari nilai terbesar bagi fungsi selanjar y=x 3 -3x 2 -45+225 pada ruas .

1) Kami mempunyai y "=3x 2 -6x-45 pada segmen
2) Derivatif y" wujud untuk semua x. Mari cari titik di mana y"=0; kita mendapatkan:
3x2 -6x-45=0
x 2 -2x-15=0
x 1 \u003d -3; x2=5
3) Hitung nilai fungsi pada titik x=0 y=225, x=5 y=50, x=6 y=63
Hanya titik x=5 kepunyaan segmen. Nilai terbesar fungsi yang ditemui ialah 225, dan yang terkecil ialah nombor 50. Jadi, pada max = 225, pada max = 50.

Penyiasatan fungsi pada cembungan

Rajah menunjukkan graf bagi dua fungsi. Yang pertama daripada mereka dihidupkan dengan bonjolan ke atas, yang kedua - dengan bonjolan ke bawah.

Fungsi y=f(x) adalah selanjar pada segmen dan boleh dibezakan dalam selang (a;b), dipanggil cembung ke atas (bawah) pada segmen ini, jika untuk axb grafnya terletak tidak lebih tinggi (tidak lebih rendah) daripada tangen dilukis pada sebarang titik M 0 (x 0 ;f(x 0)), dengan axb.

Teorem 4. Biarkan fungsi y=f(x) mempunyai terbitan kedua pada mana-mana titik pedalaman x segmen dan selanjar pada hujung segmen ini. Kemudian jika ketaksamaan f""(x)0 dipenuhi pada selang (a;b), maka fungsinya ialah cembung ke bawah pada segmen ; jika ketaksamaan f""(x)0 dipenuhi pada selang (а;b), maka fungsi itu cembung ke atas pada .

Teorem 5. Jika fungsi y=f(x) mempunyai terbitan kedua pada selang (a;b) dan jika ia berubah tanda apabila melalui titik x 0 , maka M(x 0 ;f(x 0)) ialah satu titik infleksi.

Peraturan untuk mencari titik infleksi:

1) Cari titik di mana f""(x) tidak wujud atau lenyap.
2) Periksa tanda f""(x) di kiri dan kanan setiap titik yang terdapat pada langkah pertama.
3) Berdasarkan Teorem 4, buat satu kesimpulan.

Contoh 20. Cari titik ekstrem dan titik infleksi bagi graf fungsi y=3x 4 -8x 3 +6x 2 +12.

Kami mempunyai f"(x)=12x 3 -24x 2 +12x=12x(x-1) 2. Jelas sekali, f"(x)=0 untuk x 1 =0, x 2 =1. Derivatif, apabila melalui titik x=0, menukar tanda daripada tolak kepada tambah, dan apabila melalui titik x=1, ia tidak menukar tanda. Ini bermakna x=0 ialah titik minimum (y min =12), dan tiada ekstrem pada titik x=1. Seterusnya, kita dapati . Terbitan kedua hilang pada titik x 1 =1, x 2 =1/3. Tanda-tanda derivatif kedua berubah seperti berikut: Pada sinar (-∞;) kita mempunyai f""(x)>0, pada selang (;1) kita mempunyai f""(x)<0, на луче (1;+∞) имеем f""(x)>0. Oleh itu, x= ialah titik infleksi graf fungsi (peralihan dari cembung ke bawah ke cembung ke atas) dan x=1 juga merupakan titik infleksi (peralihan dari cembung ke atas ke cembung ke bawah). Jika x=, maka y= ; jika, maka x=1, y=13.

Algoritma untuk mencari asimtot graf

I. Jika y=f(x) sebagai x → a , maka x=a ialah asimtot menegak.
II. Jika y=f(x) sebagai x → ∞ atau x → -∞ maka y=A ialah asimtot mengufuk.
III. Untuk mencari asimtot serong, kami menggunakan algoritma berikut:
1) Kira . Jika had wujud dan sama dengan b, maka y=b ialah asimtot mendatar; jika , kemudian pergi ke langkah kedua.
2) Kira . Jika had ini tidak wujud, maka tiada asimtot; jika ia wujud dan bersamaan dengan k, maka pergi ke langkah ketiga.
3) Kira . Jika had ini tidak wujud, maka tiada asimtot; jika ia wujud dan sama dengan b, maka pergi ke langkah keempat.
4) Tuliskan persamaan asimtot oblik y=kx+b.

Contoh 21: Cari asymptot untuk fungsi

1)
2)
3)
4) Persamaan asimtot oblik mempunyai bentuk

Skim kajian fungsi dan pembinaan grafnya

I. Cari domain bagi fungsi tersebut.
II. Cari titik persilangan graf fungsi dengan paksi koordinat.
III. Cari asimtot.
IV. Cari titik ekstrem yang mungkin.
V. Cari titik kritikal.
VI. Dengan menggunakan lukisan tambahan, siasat tanda terbitan pertama dan kedua. Tentukan kawasan pertambahan dan penurunan fungsi, cari arah kecembungan graf, titik ekstrem dan titik infleksi.
VII. Bina graf, dengan mengambil kira kajian yang dijalankan dalam perenggan 1-6.

Contoh 22: Plot graf fungsi mengikut skema di atas

Penyelesaian.
I. Domain bagi fungsi ialah set semua nombor nyata, kecuali untuk x=1.
II. Oleh kerana persamaan x 2 +1=0 tidak mempunyai punca sebenar, maka graf fungsi tidak mempunyai titik persilangan dengan paksi Ox, tetapi bersilang dengan paksi Oy pada titik (0; -1).
III. Mari kita jelaskan persoalan kewujudan asimtot. Kami menyiasat kelakuan fungsi berhampiran titik ketakselanjaran x=1. Oleh kerana y → ∞ untuk x → -∞, y → +∞ untuk x → 1+, maka garis x=1 ialah asimtot menegak bagi graf fungsi.
Jika x → +∞(x → -∞), maka y → +∞(y → -∞); oleh itu, graf tidak mempunyai asimtot mendatar. Selanjutnya, dari kewujudan had

Menyelesaikan persamaan x 2 -2x-1=0, kita mendapat dua titik ekstrem yang mungkin:
x 1 =1-√2 dan x 2 =1+√2

V. Untuk mencari titik kritikal, kita mengira terbitan kedua:

Oleh kerana f""(x) tidak hilang, tiada titik kritikal.
VI. Kami menyiasat tanda terbitan pertama dan kedua. Kemungkinan titik ekstrem untuk dipertimbangkan: x 1 =1-√2 dan x 2 =1+√2, bahagikan kawasan kewujudan fungsi kepada selang (-∞;1-√2),(1-√2 ;1+√2) dan (1+√2;+∞).

Dalam setiap selang ini, derivatif mengekalkan tandanya: dalam yang pertama - tambah, dalam kedua - tolak, dalam ketiga - tambah. Urutan tanda terbitan pertama akan ditulis seperti berikut: +, -, +.
Kami mendapat bahawa fungsi pada (-∞;1-√2) meningkat, pada (1-√2;1+√2) ia berkurang, dan pada (1+√2;+∞) ia meningkat semula. Mata melampau: maksimum pada x=1-√2, lebih-lebih lagi f(1-√2)=2-2√2 minimum pada x=1+√2, lebih-lebih lagi f(1+√2)=2+2√2. Pada (-∞;1) graf adalah cembung ke atas, dan pada (1;+∞) - ke bawah.
VII Mari kita buat jadual nilai yang diperolehi

VIII Berdasarkan data yang diperoleh, kita membina lakaran graf fungsi tersebut

Titik rujukan dalam kajian fungsi dan pembinaan grafnya adalah titik ciri - titik ketakselanjaran, ekstrem, infleksi, persilangan dengan paksi koordinat. Dengan bantuan kalkulus pembezaan, adalah mungkin untuk mewujudkan ciri ciri perubahan dalam fungsi: peningkatan dan penurunan, maksima dan minima, arah kecembungan dan lekuk graf, kehadiran asimtot.

Lakaran graf fungsi boleh (dan harus) dilakarkan selepas menemui asimtot dan titik ekstrem, dan adalah mudah untuk mengisi jadual ringkasan kajian fungsi dalam perjalanan kajian.

Biasanya, skema penyelidikan fungsi berikut digunakan.

1.Cari domain, selang kesinambungan dan titik putus fungsi.

2.Periksa fungsi genap atau ganjil (simetri paksi atau pusat graf.

3.Cari asimtot (menegak, mendatar atau serong).

4.Cari dan siasat selang kenaikan dan penurunan fungsi, titik ekstremnya.

5.Cari selang cembung dan cekung lengkung, titik lengkuknya.

6.Cari titik persilangan lengkung dengan paksi koordinat, jika wujud.

7.Menyusun jadual ringkasan kajian.

8.Bina graf, dengan mengambil kira kajian fungsi, dijalankan mengikut perkara di atas.

Contoh. Fungsi Teroka

dan merancangnya.

7. Mari kita buat jadual ringkasan kajian fungsi, di mana kita akan memasukkan semua titik ciri dan selang antara mereka. Memandangkan pariti fungsi, kita mendapat jadual berikut: