Logaritma asli bagi 0 adalah sama dengan. Logaritma

Apakah logaritma?

Perhatian!
Ada tambahan
bahan dalam Seksyen Khas 555.
Bagi mereka yang "tidak terlalu..."
Dan bagi mereka yang "sangat...")

Apakah logaritma? Bagaimana untuk menyelesaikan logaritma? Soalan-soalan ini mengelirukan ramai graduan. Secara tradisinya, topik logaritma dianggap kompleks, tidak dapat difahami dan menakutkan. Terutamanya - persamaan dengan logaritma.

Ini sama sekali tidak benar. Sudah tentu! tak percaya? baik. Sekarang, selama kira-kira 10 - 20 minit anda:

1. Faham apa itu logaritma.

2. Belajar untuk menyelesaikan seluruh kelas persamaan eksponen. Walaupun anda tidak pernah mendengar tentang mereka.

3. Belajar mengira logaritma mudah.

Selain itu, untuk ini anda hanya perlu mengetahui jadual pendaraban, dan bagaimana nombor dinaikkan kepada kuasa ...

Saya rasa anda ragu-ragu ... Nah, jaga masa! Pergi!

Pertama, selesaikan persamaan berikut dalam fikiran anda:

Jika anda suka laman web ini...

By the way, saya ada beberapa lagi tapak yang menarik untuk anda.)

Anda boleh berlatih menyelesaikan contoh dan mengetahui tahap anda. Menguji dengan pengesahan segera. Belajar - dengan minat!)

anda boleh berkenalan dengan fungsi dan derivatif.

Logaritma nombor b ke pangkalan a ialah eksponen yang anda perlukan untuk menaikkan nombor a untuk mendapatkan nombor b.

Jika , maka .

Logaritma adalah sangat kuantiti matematik yang penting, kerana kalkulus logaritma membenarkan bukan sahaja untuk menyelesaikan persamaan eksponen, tetapi juga beroperasi dengan penunjuk, membezakan fungsi eksponen dan logaritma, menyepadukannya dan membawa kepada bentuk yang lebih boleh diterima untuk dikira.

Bersentuhan dengan

Semua sifat logaritma berkaitan secara langsung dengan sifat fungsi eksponen. Sebagai contoh, hakikat bahawa bermakna:

Perlu diingatkan bahawa apabila menyelesaikan masalah tertentu, sifat logaritma mungkin lebih penting dan berguna daripada peraturan untuk bekerja dengan kuasa.

Berikut adalah beberapa identiti:

Berikut ialah ungkapan algebra utama:

;

.

Perhatian! hanya boleh wujud untuk x>0, x≠1, y>0.

Mari kita cuba memahami persoalan tentang apa itu logaritma semula jadi. Minat yang berasingan dalam matematik mewakili dua jenis- yang pertama mempunyai nombor "10" di pangkalan, dan dipanggil " logaritma perpuluhan". Yang kedua dipanggil semula jadi. Asas logaritma asli ialah nombor e. Mengenai dia, kita akan bercakap secara terperinci dalam artikel ini.

Jawatan:

• lg x - perpuluhan;
• ln x - semula jadi.

Dengan menggunakan identiti, kita dapat melihat bahawa ln e = 1, serta lg 10=1 itu.

graf log semula jadi

Kami membina graf logaritma semula jadi dengan cara klasik standard mengikut mata. Jika anda mahu, anda boleh menyemak sama ada kami membina fungsi dengan betul dengan memeriksa fungsi tersebut. Walau bagaimanapun, masuk akal untuk mempelajari cara membinanya "secara manual" untuk mengetahui cara mengira logaritma dengan betul.

Fungsi: y = log x. Mari tulis jadual titik yang akan dilalui oleh graf:

Mari kita terangkan mengapa kita memilih nilai hujah x tersebut. Ini semua tentang identiti: Untuk logaritma semula jadi, identiti ini akan kelihatan seperti ini:

Untuk kemudahan, kita boleh mengambil lima titik rujukan:

;

;

.

;

.

Oleh itu, mengira logaritma semula jadi adalah tugas yang agak mudah, lebih-lebih lagi, ia memudahkan pengiraan operasi dengan kuasa, mengubahnya menjadi pendaraban biasa.

Setelah membina graf mengikut mata, kami mendapat graf anggaran:

Domain logaritma asli (iaitu, semua nilai sah argumen X) adalah semua nombor lebih besar daripada sifar.

Perhatian! Domain takrifan logaritma asli merangkumi sahaja nombor positif! Skop tidak termasuk x=0. Ini adalah mustahil berdasarkan syarat kewujudan logaritma.

Julat nilai (iaitu semua nilai sah fungsi y = ln x) ialah semua nombor dalam selang .

had log semula jadi

Mengkaji graf, persoalan timbul - bagaimana fungsi berfungsi apabila y<0.

Jelas sekali, graf fungsi cenderung melintasi paksi-y, tetapi tidak akan dapat melakukan ini, kerana logaritma asli bagi x<0 не существует.

Had semula jadi log boleh ditulis seperti ini:

Formula untuk menukar asas logaritma

Berurusan dengan logaritma asli adalah lebih mudah daripada berurusan dengan logaritma yang mempunyai asas arbitrari. Itulah sebabnya kita akan cuba belajar bagaimana untuk mengurangkan sebarang logaritma kepada logaritma semula jadi, atau menyatakannya dalam asas arbitrari melalui logaritma semula jadi.

Mari kita mulakan dengan identiti logaritma:

Kemudian sebarang nombor atau pembolehubah y boleh diwakili sebagai:

di mana x ialah sebarang nombor (positif mengikut sifat logaritma).

Ungkapan ini boleh logaritma pada kedua-dua belah pihak. Mari kita lakukan ini dengan asas z yang sewenang-wenangnya:

Mari kita gunakan harta (hanya bukannya "dengan" kita mempunyai ungkapan):

Dari sini kita mendapat formula universal:

.

Khususnya, jika z=e, maka:

.

Kami berjaya mewakili logaritma kepada asas arbitrari melalui nisbah dua logaritma asli.

Kami menyelesaikan masalah

Untuk menavigasi dengan lebih baik dalam logaritma semula jadi, pertimbangkan contoh beberapa masalah.

Tugasan 1. Adalah perlu untuk menyelesaikan persamaan ln x = 3.

Penyelesaian: Menggunakan takrifan logaritma: jika , maka , kita dapat:

Tugasan 2. Selesaikan persamaan (5 + 3 * ln (x - 3)) = 3.

Penyelesaian: Menggunakan takrifan logaritma: jika , maka , kita dapat:

.

Sekali lagi, kami menggunakan definisi logaritma:

.

Oleh itu:

.

Anda boleh mengira jawapan lebih kurang, atau anda boleh meninggalkannya dalam borang ini.

Tugasan 3. Selesaikan persamaan.

Penyelesaian: Mari kita buat penggantian: t = ln x. Kemudian persamaan akan mengambil bentuk berikut:

.

Kami mempunyai persamaan kuadratik. Mari cari diskriminasinya:

Punca pertama persamaan:

.

Punca kedua persamaan:

.

Mengingati bahawa kita membuat penggantian t = ln x, kita dapat:

Dalam statistik dan teori kebarangkalian, kuantiti logaritma adalah sangat biasa. Ini tidak menghairankan, kerana nombor e - sering mencerminkan kadar pertumbuhan nilai eksponen.

Dalam sains komputer, pengaturcaraan dan teori komputer, logaritma adalah perkara biasa, contohnya, untuk menyimpan N bit dalam ingatan.

Dalam teori fraktal dan dimensi, logaritma sentiasa digunakan, kerana dimensi fraktal ditentukan hanya dengan bantuan mereka.

Dalam mekanik dan fizik tiada bahagian di mana logaritma tidak digunakan. Taburan barometrik, semua prinsip termodinamik statistik, persamaan Tsiolkovsky dan sebagainya adalah proses yang hanya boleh diterangkan secara matematik menggunakan logaritma.

Dalam kimia, logaritma digunakan dalam persamaan Nernst, perihalan proses redoks.

Hebatnya, walaupun dalam muzik, untuk mengetahui bilangan bahagian oktaf, logaritma digunakan.

Fungsi logaritma asli y=ln x sifatnya

Bukti sifat utama logaritma asli

sering mengambil nombor e = 2,718281828 . Logaritma dalam pangkalan ini dipanggil semula jadi. Apabila melakukan pengiraan dengan logaritma semula jadi, ia adalah perkara biasa untuk beroperasi dengan tanda ln, tetapi tidak log; manakala nombor 2,718281828 , menentukan asas, tidak menunjukkan.

Dalam erti kata lain, perkataan akan kelihatan seperti: logaritma semula jadi nombor X ialah eksponen yang nombor itu akan dinaikkan e, Untuk mendapatkan x.

Jadi, ln(7,389...)= 2 kerana e 2 =7,389... . Logaritma semula jadi bagi nombor itu sendiri e= 1 kerana e 1 =e, dan logaritma semula jadi bagi perpaduan adalah sama dengan sifar, kerana e 0 = 1.

Nombor itu sendiri e mentakrifkan had jujukan terikat monoton

dikira itu e = 2,7182818284... .

Selalunya, untuk menetapkan nombor dalam ingatan, digit nombor yang diperlukan dikaitkan dengan beberapa tarikh tertunggak. Kepantasan mengingat sembilan digit pertama nombor e selepas titik perpuluhan akan meningkat jika anda perhatikan bahawa 1828 adalah tahun kelahiran Leo Tolstoy!

Sehingga kini, terdapat jadual logaritma semula jadi yang cukup lengkap.

graf log semula jadi(fungsi y=ln x) ialah akibat daripada plot eksponen sebagai imej cermin berkenaan dengan garis lurus y = x dan kelihatan seperti:

Logaritma asli boleh didapati untuk setiap nombor nyata positif a sebagai kawasan di bawah lengkung y = 1/x daripada 1 sebelum ini a.

Sifat asas rumusan ini, yang sesuai dengan banyak formula lain yang melibatkan logaritma asli, adalah sebab pembentukan nama "semula jadi".

Jika kita menganalisis logaritma semula jadi, sebagai fungsi sebenar pembolehubah sebenar, maka ia bertindak fungsi songsang kepada fungsi eksponen, yang mengurangkan kepada identiti:

ln(a)=a (a>0)

ln(e a)=a

Dengan analogi dengan semua logaritma, logaritma asli menukarkan pendaraban kepada penambahan, pembahagian kepada penolakan:

ln(xy) = ln(x) + ln(y)

ln(x/y)= lnx - lny

Logaritma boleh didapati untuk setiap asas positif yang tidak sama dengan satu, bukan hanya untuk e, tetapi logaritma untuk asas lain berbeza daripada logaritma asli hanya dengan faktor malar, dan biasanya ditakrifkan dari segi logaritma asli.

Setelah menganalisis graf log semula jadi, kita mendapat bahawa ia wujud untuk nilai positif pembolehubah x. Ia secara monotoni meningkat pada domain definisinya.

Pada x → 0 had logaritma asli ialah tolak infiniti ( -∞ ).Pada x → +∞ had logaritma asli ialah tambah infiniti ( + ∞ ). Pada umumnya x logaritma bertambah agak perlahan. Mana-mana fungsi kuasa x a dengan eksponen positif a meningkat lebih cepat daripada logaritma. Logaritma semula jadi ialah fungsi yang meningkat secara monoton, jadi ia tidak mempunyai ekstrem.

Penggunaan logaritma semula jadi sangat rasional dalam laluan matematik yang lebih tinggi. Oleh itu, penggunaan logaritma adalah mudah untuk mencari jawapan kepada persamaan di mana yang tidak diketahui muncul sebagai eksponen. Penggunaan logaritma semula jadi dalam pengiraan memungkinkan untuk memudahkan sebilangan besar formula matematik. logaritma asas e hadir dalam menyelesaikan sejumlah besar masalah fizikal dan secara semula jadi termasuk dalam huraian matematik bagi kimia individu, biologi dan proses lain. Oleh itu, logaritma digunakan untuk mengira pemalar pereputan untuk separuh hayat yang diketahui, atau untuk mengira masa pereputan dalam menyelesaikan masalah radioaktiviti. Mereka memainkan peranan utama dalam banyak bahagian matematik dan sains praktikal, mereka terpaksa menggunakan bidang kewangan untuk menyelesaikan sejumlah besar masalah, termasuk dalam pengiraan faedah kompaun.

Pelajaran dan pembentangan tentang topik: "Logaritma asli. Asas logaritma asli. Logaritma nombor asli"

Bahan tambahan
Pengguna yang dihormati, jangan lupa untuk meninggalkan komen, maklum balas, cadangan anda! Semua bahan disemak oleh program antivirus.

Alat bantu mengajar dan simulator di kedai dalam talian "Integral" untuk gred 11
Manual interaktif untuk gred 9-11 "Trigonometri"
Manual interaktif untuk gred 10-11 "Logaritma"

Apakah itu logaritma semula jadi

Kawan-kawan, dalam pelajaran lepas kita belajar nombor baharu yang istimewa - e. Hari ini kita akan terus bekerja dengan nombor ini.
Kami telah mengkaji logaritma dan kami tahu bahawa asas logaritma boleh menjadi satu set nombor yang lebih besar daripada 0. Hari ini kita juga akan mempertimbangkan logaritma, yang berdasarkan nombor e. Logaritma sedemikian biasanya dipanggil logaritma asli . Ia mempunyai tatatanda sendiri: $\ln(n)$ ialah logaritma asli. Notasi ini bersamaan dengan: $\log_e(n)=\ln(n)$.
Fungsi eksponen dan logaritma adalah songsang, maka logaritma asli adalah songsang bagi fungsi: $y=e^x$.
Fungsi songsang adalah simetri berkenaan dengan garis lurus $y=x$.
Mari kita plot logaritma asli dengan memplot fungsi eksponen berkenaan dengan garis lurus $y=x$.

Perlu diingat bahawa kecerunan tangen kepada graf fungsi $y=e^x$ pada titik (0;1) ialah 45°. Maka kecerunan tangen kepada graf logaritma asli pada titik (1; 0) juga akan sama dengan 45°. Kedua-dua tangen ini akan selari dengan garis $y=x$. Mari kita lakarkan tangen:

Sifat fungsi $y=\ln(x)$

1. $D(f)=(0;+∞)$.
2. Tidak genap dan tidak ganjil.
3. Meningkat ke atas keseluruhan domain definisi.
4. Tidak terhad dari atas, tidak terhad dari bawah.
5. Tiada nilai maksimum, tiada nilai minimum.
6. Berterusan.
7. $E(f)=(-∞; +∞)$.
8. Cembung ke atas.
9. Boleh dibezakan di mana-mana.

Dalam perjalanan matematik yang lebih tinggi terbukti bahawa terbitan bagi fungsi songsang ialah salingan bagi terbitan bagi fungsi yang diberi.
Tidak masuk akal untuk menyelidiki bukti, mari kita tulis formula: $y"=(\ln(x))"=\frac(1)(x)$.

Contoh.
Hitung nilai terbitan bagi fungsi: $y=\ln(2x-7)$ pada titik $x=4$.
Penyelesaian.
Secara umum, fungsi kita diwakili oleh fungsi $y=f(kx+m)$, kita boleh mengira derivatif bagi fungsi tersebut.
$y"=(\ln((2x-7)))"=\frac(2)((2x-7))$.
Mari kita hitung nilai terbitan pada titik yang diperlukan: $y"(4)=\frac(2)((2*4-7))=2$.
Jawapan: 2.

Contoh.
Lukiskan tangen pada graf fungsi $y=ln(x)$ pada titik $x=e$.
Penyelesaian.
Persamaan tangen kepada graf fungsi, pada titik $x=a$, kita ingat dengan baik.
$y=f(a)+f"(a)(x-a)$.
Mari kita hitung secara berurutan nilai yang diperlukan.
$a=e$.
$f(a)=f(e)=\ln(e)=1$.
$f"(a)=\frac(1)(a)=\frac(1)(e)$.
$y=1+\frac(1)(e)(x-e)=1+\frac(x)(e)-\frac(e)(e)=\frac(x)(e)$.
Persamaan tangen pada titik $x=e$ ialah fungsi $y=\frac(x)(e)$.
Mari kita lukiskan logaritma asli dan tangen.

Contoh.
Siasat fungsi untuk monotonicity dan extrema: $y=x^6-6*ln(x)$.
Penyelesaian.
Domain bagi fungsi $D(y)=(0;+∞)$.
Cari terbitan bagi fungsi yang diberikan:
$y"=6*x^5-\frac(6)(x)$.
Terbitan wujud untuk semua x daripada domain definisi, maka tiada titik kritikal. Mari cari titik pegun:
$6*x^5-\frac(6)(x)=0$.
$\frac(6*x^6-6)(x)=0$.
$6*x^6-6=0$.
$x^6-1=0$.
$x^6=1$.
$x=±1$.
Titik $х=-1$ tidak tergolong dalam domain definisi. Kemudian kita mempunyai satu titik pegun $х=1$. Cari selang kenaikan dan penurunan:

Titik $x=1$ ialah titik minimum, kemudian $y_min=1-6*\ln(1)=1$.
Jawapan: Fungsi berkurangan pada segmen (0;1], fungsi bertambah pada sinar $)