Perwakilan logaritma bagi suatu nombor. Logaritma

Logaritma b (b > 0) kepada asas a (a > 0, a ≠ 1) ialah eksponen yang anda perlukan untuk menaikkan nombor a untuk mendapatkan b.

Logaritma asas 10 b boleh ditulis sebagai log(b), dan logaritma kepada asas e (logaritma semula jadi) - ln(b).

Selalunya digunakan semasa menyelesaikan masalah dengan logaritma:

Sifat logaritma

Terdapat empat utama sifat logaritma.

Biarkan a > 0, a ≠ 1, x > 0 dan y > 0.

Sifat 1. Logaritma hasil

Logaritma produk adalah sama dengan jumlah logaritma:

log a (x ⋅ y) = log a x + log a y

Harta 2. Logaritma hasil bagi

Logaritma hasil bagi adalah sama dengan perbezaan logaritma:

log a (x / y) = log a x – log a y

Harta 3. Logaritma darjah

logaritma darjah adalah sama dengan hasil darab dan logaritma:

Jika asas logaritma adalah dalam eksponen, maka formula lain digunakan:

Sifat 4. Logaritma punca

Sifat ini boleh didapati daripada sifat logaritma darjah, kerana punca darjah ke-n adalah sama dengan kuasa 1/n:

Formula untuk pergi dari logaritma dalam satu asas kepada logaritma dalam asas lain

Formula ini juga sering digunakan semasa menyelesaikan pelbagai tugas untuk logaritma:

Kes istimewa:

Perbandingan logaritma (ketaksamaan)

Katakan kita mempunyai 2 fungsi f(x) dan g(x) di bawah logaritma dengan asas yang sama dan terdapat tanda ketaksamaan di antara mereka:

Untuk membandingkannya, anda perlu melihat asas logaritma a:

• Jika a > 0, maka f(x) > g(x) > 0
• Jika 0< a < 1, то 0 < f(x) < g(x)

Bagaimana untuk menyelesaikan masalah dengan logaritma: contoh

Tugasan dengan logaritma termasuk dalam USE dalam matematik untuk gred 11 dalam tugasan 5 dan tugasan 7, anda boleh mencari tugasan dengan penyelesaian di laman web kami di bahagian yang sesuai. Juga, tugasan dengan logaritma terdapat dalam bank tugas dalam matematik. Anda boleh mencari semua contoh dengan mencari tapak.

Apakah itu logaritma

Logaritma sentiasa dipertimbangkan topik yang sukar dalam matematik sekolah. Terdapat banyak definisi logaritma yang berbeza, tetapi atas sebab tertentu kebanyakan buku teks menggunakan yang paling kompleks dan malang daripadanya.

Kami akan mentakrifkan logaritma dengan mudah dan jelas. Mari buat jadual untuk ini:

Jadi, kita ada kuasa dua.

Logaritma - sifat, formula, cara menyelesaikan

Jika anda mengambil nombor dari baris bawah, maka anda boleh dengan mudah mencari kuasa yang anda perlu menaikkan dua untuk mendapatkan nombor ini. Sebagai contoh, untuk mendapatkan 16, anda perlu menaikkan dua kepada kuasa keempat. Dan untuk mendapatkan 64, anda perlu menaikkan dua kepada kuasa keenam. Ini boleh dilihat dari jadual.

Dan sekarang - sebenarnya, takrifan logaritma:

asas a hujah x ialah kuasa yang nombor a mesti dinaikkan untuk mendapatkan nombor x.

Notasi: log a x \u003d b, di mana a ialah asas, x ialah hujah, b sebenarnya adalah sama dengan logaritma.

Contohnya, 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (logaritma asas 2 bagi 8 ialah tiga kerana 2 3 = 8). Boleh juga log 2 64 = 6, kerana 2 6 = 64.

Operasi mencari logaritma nombor kepada asas tertentu dipanggil. Jadi mari tambahkan baris baharu pada jadual kami:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
log 2 2 = 1	log 2 4 = 2	log 2 8 = 3	log 2 16 = 4	log 2 32 = 5	log 2 64 = 6

Malangnya, tidak semua logaritma dianggap begitu mudah. Sebagai contoh, cuba cari log 2 5. Nombor 5 tiada dalam jadual, tetapi logik menentukan bahawa logaritma akan terletak di suatu tempat pada segmen. Kerana 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Nombor sedemikian dipanggil tidak rasional: nombor selepas titik perpuluhan boleh ditulis selama-lamanya, dan ia tidak akan berulang. Jika logaritma ternyata tidak rasional, lebih baik biarkan seperti ini: log 2 5, log 3 8, log 5 100.

Adalah penting untuk memahami bahawa logaritma ialah ungkapan dengan dua pembolehubah (asas dan hujah). Pada mulanya, ramai orang keliru di mana asas dan di mana hujah. Untuk mengelakkan salah faham yang menjengkelkan, lihat sahaja gambar:

Di hadapan kita tidak lebih daripada definisi logaritma. Ingat: logaritma ialah kuasa, yang mana anda perlu meningkatkan asas untuk mendapatkan hujah. Ia adalah pangkalan yang dinaikkan kepada kuasa - dalam gambar ia diserlahkan dengan warna merah. Ternyata asasnya sentiasa di bawah! Saya memberitahu peraturan yang menarik ini kepada pelajar saya pada pelajaran pertama - dan tidak ada kekeliruan.

Cara mengira logaritma

Kami mengetahui definisi - ia masih perlu belajar cara mengira logaritma, i.e. buang tanda "log". Sebagai permulaan, kami perhatikan bahawa dua fakta penting mengikuti dari definisi:

1. Hujah dan asas mestilah sentiasa lebih besar daripada sifar. Ini berikutan daripada takrifan darjah oleh eksponen rasional, yang mana takrifan logaritma dikurangkan.
2. Asas mestilah berbeza daripada kesatuan, kerana unit kepada mana-mana kuasa masih satu unit. Oleh sebab itu, persoalan "kepada apa kuasa seseorang mesti dibangkitkan untuk mendapat dua" tidak bermakna. Tidak ada ijazah seperti itu!

Sekatan sedemikian dipanggil julat yang sah(ODZ). Ternyata ODZ logaritma kelihatan seperti ini: log a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.

Ambil perhatian bahawa tiada sekatan pada nombor b (nilai logaritma) tidak dikenakan. Sebagai contoh, logaritma mungkin negatif: log 2 0.5 = −1, kerana 0.5 = 2 −1 .

Walau bagaimanapun, kini kami hanya mempertimbangkan ungkapan berangka, di mana ia tidak diperlukan untuk mengetahui ODZ logaritma. Semua sekatan telah diambil kira oleh penyusun masalah. Tetapi apabila persamaan logaritma dan ketaksamaan mula dimainkan, keperluan DHS akan menjadi wajib. Sesungguhnya, dalam asas dan hujah boleh terdapat pembinaan yang sangat kuat, yang tidak semestinya sepadan dengan sekatan di atas.

Sekarang pertimbangkan skim umum pengiraan logaritma. Ia terdiri daripada tiga langkah:

1. Nyatakan asas a dan hujah x sebagai kuasa dengan asas terkecil mungkin lebih besar daripada satu. Sepanjang perjalanan, adalah lebih baik untuk menyingkirkan pecahan perpuluhan;
2. Selesaikan persamaan bagi pembolehubah b: x = a b ;
3. Nombor b yang terhasil akan menjadi jawapannya.

Itu sahaja! Jika logaritma ternyata tidak rasional, ini akan dilihat pada langkah pertama. Keperluan bahawa asas lebih besar daripada satu adalah sangat relevan: ini mengurangkan kemungkinan ralat dan sangat memudahkan pengiraan. Begitu juga dengan pecahan perpuluhan: jika anda segera menukarnya kepada pecahan biasa, ralat akan berkurangan berkali-kali ganda.

Mari lihat bagaimana skema ini berfungsi dengan contoh khusus:

Tugasan. Kira logaritma: log 5 25

1. Mari kita wakili asas dan hujah sebagai kuasa lima: 5 = 5 1 ; 25 = 52;

Mari kita buat dan selesaikan persamaan:
log 5 25 = b ⇒(5 1) b = 5 2 ⇒5 b = 5 2 ⇒ b = 2;

2. Mendapat jawapan: 2.

Tugasan. Kira logaritma:

Tugasan. Kira logaritma: log 4 64

1. Mari kita wakili asas dan hujah sebagai kuasa dua: 4 = 2 2 ; 64 = 26;
2. Mari kita buat dan selesaikan persamaan:
   log 4 64 = b ⇒(2 2) b = 2 6 ⇒2 2b = 2 6 ⇒2b = 6 ⇒ b = 3;
3. Mendapat jawapan: 3.

Tugasan. Kira logaritma: log 16 1

1. Mari kita wakili asas dan hujah sebagai kuasa dua: 16 = 2 4 ; 1 = 20;
2. Mari kita buat dan selesaikan persamaan:
   log 16 1 = b ⇒(2 4) b = 2 0 ⇒2 4b = 2 0 ⇒4b = 0 ⇒ b = 0;
3. Menerima jawapan: 0.

Tugasan. Kira logaritma: log 7 14

1. Mari kita wakili asas dan hujah sebagai kuasa tujuh: 7 = 7 1 ; 14 tidak diwakili sebagai kuasa tujuh, kerana 7 1< 14 < 7 2 ;
2. Ia berikutan daripada perenggan sebelumnya bahawa logaritma tidak dipertimbangkan;
3. Jawapannya tiada perubahan: log 7 14.

Nota kecil kepada contoh terakhir. Bagaimana untuk memastikan bahawa nombor bukan kuasa tepat nombor lain? Sangat mudah - hanya menguraikannya menjadi faktor utama. Jika terdapat sekurang-kurangnya dua faktor berbeza dalam pengembangan, bilangannya bukanlah kuasa yang tepat.

Tugasan. Ketahui sama ada kuasa sebenar nombor itu ialah: 8; 48; 81; 35; 14.

8 \u003d 2 2 2 \u003d 2 3 - darjah yang tepat, kerana hanya ada satu pengganda;
48 = 6 8 = 3 2 2 2 2 = 3 2 4 bukan kuasa yang tepat kerana terdapat dua faktor: 3 dan 2;
81 \u003d 9 9 \u003d 3 3 3 3 \u003d 3 4 - darjah tepat;
35 = 7 5 - sekali lagi bukan darjah yang tepat;
14 \u003d 7 2 - sekali lagi bukan tahap yang tepat;

Perhatikan juga bahawa nombor perdana itu sendiri sentiasa kuasa tepat bagi diri mereka sendiri.

Logaritma perpuluhan

Sesetengah logaritma adalah sangat biasa sehingga mereka mempunyai nama dan sebutan khas.

daripada hujah x ialah logaritma asas 10, i.e. kuasa yang 10 mesti dinaikkan untuk mendapatkan x. Jawatan: lgx.

Sebagai contoh, log 10 = 1; log 100 = 2; lg 1000 = 3 - dsb.

Mulai sekarang, apabila frasa seperti "Cari lg 0.01" muncul dalam buku teks, ketahui bahawa ini bukan kesilapan menaip. Ini ialah logaritma perpuluhan. Walau bagaimanapun, jika anda tidak biasa dengan sebutan sedemikian, anda sentiasa boleh menulis semula:
log x = log 10 x

Semua yang benar untuk logaritma biasa adalah benar untuk perpuluhan.

logaritma semula jadi

Terdapat satu lagi logaritma yang mempunyai tatatanda tersendiri. Dari satu segi, ia lebih penting daripada perpuluhan. Ia mengenai tentang logaritma semula jadi.

daripada hujah x ialah logaritma kepada asas e, i.e. kuasa yang nombor e mesti dinaikkan untuk mendapatkan nombor x. Jawatan: lnx.

Ramai yang akan bertanya: apakah nombor e? Ini adalah nombor tidak rasional nilai sebenar mustahil untuk mencari dan merekodkan. Berikut adalah nombor pertama:
e = 2.718281828459…

Kami tidak akan menyelidiki apakah nombor ini dan mengapa ia diperlukan. Ingatlah bahawa e adalah asas logaritma semula jadi:
ln x = log e x

Oleh itu ln e = 1; log e 2 = 2; ln e 16 = 16 - dsb. Sebaliknya, ln 2 ialah nombor tak rasional. Secara amnya, logaritma asli mana-mana nombor rasional adalah tidak rasional. Kecuali, sudah tentu, perpaduan: ln 1 = 0.

Untuk logaritma asli, semua peraturan yang benar untuk logaritma biasa adalah sah.

Lihat juga:

Logaritma. Sifat logaritma (kuasa logaritma).

Bagaimana untuk mewakili nombor sebagai logaritma?

Kami menggunakan definisi logaritma.

Logaritma ialah penunjuk kuasa yang mana tapak mesti dinaikkan untuk mendapatkan nombor di bawah tanda logaritma.

Oleh itu, untuk mewakili nombor c tertentu sebagai logaritma kepada asas a, anda perlu meletakkan darjah dengan asas yang sama dengan asas logaritma di bawah tanda logaritma, dan tulis nombor c ini ke dalam eksponen:

Dalam bentuk logaritma, anda boleh mewakili sebarang nombor - positif, negatif, integer, pecahan, rasional, tidak rasional:

Untuk tidak mengelirukan a dan c dalam keadaan tekanan ujian atau peperiksaan, anda boleh menggunakan peraturan berikut untuk mengingati:

yang di bawah turun, yang di atas naik.

Sebagai contoh, anda ingin mewakili nombor 2 sebagai logaritma kepada asas 3.

Kami mempunyai dua nombor - 2 dan 3. Nombor ini adalah asas dan eksponen, yang akan kami tulis di bawah tanda logaritma. Ia kekal untuk menentukan yang mana antara nombor ini harus ditulis, dalam asas darjah, dan yang - atas, dalam eksponen.

Asas 3 dalam rekod logaritma berada di bahagian bawah, yang bermaksud apabila kita mewakili deuce sebagai logaritma kepada asas 3, kita juga akan menulis 3 ke pangkalan.

2 lebih tinggi daripada 3. Dan dalam notasi darjah, kami menulis dua di atas tiga, iaitu, dalam eksponen:

Logaritma. Tahap pertama.

Logaritma

logaritma nombor positif b dengan alasan a, Di mana a > 0, a ≠ 1, ialah eksponen yang nombor itu mesti dinaikkan. a, Untuk mendapatkan b.

Definisi logaritma boleh ditulis secara ringkas seperti ini:

Persamaan ini sah untuk b > 0, a > 0, a ≠ 1. Dia biasa dipanggil identiti logaritma.
Tindakan mencari logaritma nombor dipanggil logaritma.

Sifat logaritma:

Logaritma produk:

Logaritma hasil bagi daripada pembahagian:

Menggantikan asas logaritma:

logaritma darjah:

logaritma akar:

Logaritma dengan asas kuasa:

Logaritma perpuluhan dan semula jadi.

Logaritma perpuluhan nombor panggil logaritma asas 10 nombor itu dan tulis   lg b
logaritma semula jadi nombor memanggil logaritma nombor ini ke pangkalan e, Di mana e ialah nombor tak rasional, lebih kurang sama dengan 2.7. Pada masa yang sama, mereka menulis ln b.

Nota Lain tentang Algebra dan Geometri

Sifat asas logaritma

Sifat asas logaritma

Logaritma, seperti mana-mana nombor, boleh ditambah, ditolak dan ditukar dalam setiap cara yang mungkin. Tetapi kerana logaritma bukan nombor biasa, terdapat peraturan di sini, yang dipanggil sifat asas.

Peraturan ini mesti diketahui - tiada masalah logaritma yang serius boleh diselesaikan tanpanya. Di samping itu, terdapat sangat sedikit daripada mereka - semuanya boleh dipelajari dalam satu hari. Jadi mari kita mulakan.

Penambahan dan penolakan logaritma

Pertimbangkan dua logaritma dengan asas yang sama: log a x dan log a y. Kemudian mereka boleh ditambah dan ditolak, dan:

1. log a x + log a y = log a (x y);
2. log a x - log a y = log a (x: y).

Jadi, jumlah logaritma adalah sama dengan logaritma hasil darab, dan perbezaannya ialah logaritma hasil bagi. Sila ambil perhatian: perkara utama di sini ialah - alasan yang sama. Jika pangkalannya berbeza, peraturan ini tidak berfungsi!

Formula ini akan membantu anda mengira ungkapan logaritma walaupun bahagian individunya tidak dipertimbangkan (lihat pelajaran "Apakah itu logaritma"). Lihat contoh dan lihat:

log 6 4 + log 6 9.

Oleh kerana asas logaritma adalah sama, kami menggunakan formula jumlah:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Tugasan. Cari nilai ungkapan: log 2 48 − log 2 3.

Asasnya adalah sama, kami menggunakan formula perbezaan:
log 2 48 - log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Tugasan. Cari nilai ungkapan: log 3 135 − log 3 5.

Sekali lagi, asasnya adalah sama, jadi kami mempunyai:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Seperti yang anda lihat, ungkapan asal terdiri daripada logaritma "buruk", yang tidak dianggap secara berasingan. Tetapi selepas transformasi nombor yang agak normal ternyata. Berdasarkan fakta ini, ramai kertas ujian. Ya, kawalan - ungkapan yang serupa dalam semua kesungguhan (kadangkala - hampir tiada perubahan) ditawarkan semasa peperiksaan.

Mengeluarkan eksponen daripada logaritma

Sekarang mari kita merumitkan sedikit tugas. Bagaimana jika terdapat ijazah dalam asas atau hujah logaritma? Kemudian eksponen darjah ini boleh dikeluarkan dari tanda logaritma mengikut peraturan berikut:

Ia adalah mudah untuk melihatnya peraturan terakhir mengikuti dua yang pertama. Tetapi lebih baik untuk mengingatinya - dalam beberapa kes ia akan mengurangkan jumlah pengiraan dengan ketara.

Sudah tentu, semua peraturan ini masuk akal jika logaritma ODZ diperhatikan: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Dan satu lagi perkara: belajar menggunakan semua formula bukan sahaja dari kiri ke kanan, tetapi juga sebaliknya, i.e. anda boleh memasukkan nombor sebelum tanda logaritma ke dalam logaritma itu sendiri.

Bagaimana untuk menyelesaikan logaritma

Inilah yang paling kerap diperlukan.

Tugasan. Cari nilai ungkapan: log 7 49 6 .

Mari kita buang darjah dalam hujah mengikut formula pertama:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

Tugasan. Cari nilai ungkapan:

Perhatikan bahawa penyebutnya ialah logaritma yang asas dan hujahnya adalah kuasa tepat: 16 = 2 4 ; 49 = 72. Kami ada:

Saya rasa contoh terakhir memerlukan penjelasan. Ke mana perginya logaritma? Sehingga saat terakhir, kami hanya bekerja dengan penyebut. Mereka membentangkan asas dan hujah logaritma yang berdiri di sana dalam bentuk darjah dan mengeluarkan penunjuk - mereka mendapat pecahan "tiga tingkat".

Sekarang mari kita lihat pecahan utama. Pengangka dan penyebut mempunyai nombor yang sama: log 2 7. Oleh kerana log 2 7 ≠ 0, kita boleh mengurangkan pecahan - 2/4 akan kekal dalam penyebut. Menurut peraturan aritmetik, empat boleh dipindahkan ke pengangka, yang telah dilakukan. Hasilnya ialah jawapan: 2.

Peralihan kepada asas baharu

Bercakap tentang peraturan untuk menambah dan menolak logaritma, saya secara khusus menekankan bahawa ia hanya berfungsi dengan asas yang sama. Bagaimana jika asasnya berbeza? Bagaimana jika mereka bukan kuasa tepat nombor yang sama?

Formula untuk peralihan ke pangkalan baharu datang untuk menyelamatkan. Kami merumuskannya dalam bentuk teorem:

Biarkan logaritma log a x diberikan. Kemudian untuk sebarang nombor c supaya c > 0 dan c ≠ 1, kesamaan adalah benar:

Khususnya, jika kita meletakkan c = x, kita mendapat:

Ia mengikuti dari formula kedua bahawa adalah mungkin untuk menukar asas dan hujah logaritma, tetapi dalam kes ini keseluruhan ungkapan "terbalik", i.e. logaritma adalah dalam penyebut.

Formula ini jarang ditemui dalam ungkapan berangka biasa. Adalah mungkin untuk menilai betapa mudahnya mereka hanya apabila menyelesaikan persamaan logaritma dan ketaksamaan.

Walau bagaimanapun, terdapat tugas yang tidak dapat diselesaikan sama sekali kecuali dengan berpindah ke asas baru. Mari kita pertimbangkan beberapa perkara ini:

Tugasan. Cari nilai ungkapan: log 5 16 log 2 25.

Ambil perhatian bahawa hujah kedua-dua logaritma adalah eksponen tepat. Mari kita keluarkan penunjuk: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;

Sekarang mari kita balikkan logaritma kedua:

Oleh kerana produk tidak berubah daripada pilih atur faktor, kami dengan tenang mendarab empat dan dua, dan kemudian memikirkan logaritma.

Tugasan. Cari nilai ungkapan: log 9 100 lg 3.

Asas dan hujah logaritma pertama adalah kuasa yang tepat. Mari kita tuliskannya dan singkirkan penunjuk:

Sekarang mari kita buang logaritma perpuluhan dengan berpindah ke pangkalan baharu:

Identiti logaritma asas

Selalunya dalam proses penyelesaian ia diperlukan untuk mewakili nombor sebagai logaritma kepada asas tertentu.

Dalam kes ini, formula akan membantu kami:

Dalam kes pertama, nombor n menjadi eksponen dalam hujah. Nombor n boleh menjadi apa-apa sahaja, kerana ia hanyalah nilai logaritma.

Formula kedua sebenarnya adalah definisi yang diparafrasa. Ia dipanggil seperti ini:

Sesungguhnya, apakah yang akan berlaku jika nombor b dinaikkan ke tahap sedemikian sehingga nombor b dalam darjah ini memberikan nombor a? Betul: ini adalah nombor yang sama a. Baca perenggan ini dengan teliti sekali lagi - ramai orang "menggantung" di atasnya.

Seperti formula untuk berpindah ke pangkalan baru, yang utama identiti logaritma kadang-kadang ia adalah satu-satunya penyelesaian yang mungkin.

Tugasan. Cari nilai ungkapan:

Perhatikan bahawa log 25 64 = log 5 8 - baru sahaja mengeluarkan petak dari pangkalan dan hujah logaritma. Memandangkan peraturan untuk mendarab kuasa dengan asas yang sama, kita mendapat:

Jika seseorang tidak tahu, ini adalah tugas sebenar dari Peperiksaan Negeri Bersepadu 🙂

Unit logaritma dan sifar logaritma

Sebagai kesimpulan, saya akan memberikan dua identiti yang sukar untuk dipanggil sifat - sebaliknya, ini adalah akibat daripada definisi logaritma. Mereka sentiasa ditemui dalam masalah dan, yang mengejutkan, mencipta masalah walaupun untuk pelajar "maju".

1. log a a = 1 ialah. Ingat sekali dan untuk semua: logaritma kepada mana-mana asas a daripada asas itu sendiri adalah sama dengan satu.
2. log a 1 = 0 ialah. Asas a boleh menjadi apa sahaja, tetapi jika hujahnya adalah satu, logaritmanya adalah sifar! Kerana 0 = 1 adalah akibat langsung dari definisi.

Itu semua sifatnya. Pastikan anda berlatih mempraktikkannya! Muat turun helaian panduan pada permulaan pelajaran, cetak dan selesaikan masalah.

Ungkapan logaritma, penyelesaian contoh. Dalam artikel ini, kita akan mempertimbangkan masalah yang berkaitan dengan penyelesaian logaritma. Tugasan menimbulkan persoalan mencari nilai ungkapan. Perlu diingatkan bahawa konsep logaritma digunakan dalam banyak tugas dan amat penting untuk memahami maksudnya. Bagi PENGGUNAAN, logaritma digunakan dalam menyelesaikan persamaan, dalam masalah gunaan, dan juga dalam tugas yang berkaitan dengan kajian fungsi.

Berikut adalah contoh untuk memahami maksud logaritma:

Identiti logaritma asas:

Sifat logaritma yang anda mesti sentiasa ingat:

*Logaritma hasil darab adalah sama dengan jumlah logaritma faktor.

* * *

* Logaritma hasil bagi (pecahan) adalah sama dengan perbezaan logaritma faktor.

* * *

* Logaritma darjah adalah sama dengan hasil darab eksponen dan logaritma asasnya.

* * *

*Peralihan ke pangkalan baharu

* * *

Lebih banyak hartanah:

* * *

Pengiraan logaritma berkait rapat dengan menggunakan sifat eksponen.

Kami menyenaraikan beberapa daripada mereka:

Intipati sifat ini ialah apabila memindahkan pengangka ke penyebut dan sebaliknya, tanda eksponen berubah kepada sebaliknya. Sebagai contoh:

Akibat harta ini:

* * *

Apabila menaikkan kuasa kepada kuasa, asas kekal sama, tetapi eksponen didarabkan.

* * *

Seperti yang anda lihat, konsep logaritma adalah mudah. Perkara utama ialah amalan yang baik diperlukan, yang memberikan kemahiran tertentu. Sememangnya ilmu formula adalah wajib. Jika kemahiran dalam menukar logaritma asas tidak terbentuk, maka apabila menyelesaikan tugasan mudah, seseorang boleh dengan mudah membuat kesilapan.

Berlatih, selesaikan contoh paling mudah dari kursus matematik dahulu, kemudian beralih kepada yang lebih kompleks. Pada masa akan datang, saya pasti akan menunjukkan bagaimana logaritma "hodoh" diselesaikan, tidak akan ada yang seperti itu pada peperiksaan, tetapi mereka menarik, jangan ketinggalan!

Itu sahaja! Semoga berjaya!

Yang ikhlas, Alexander Krutitskikh

P.S: Saya akan berterima kasih jika anda memberitahu tentang laman web dalam rangkaian sosial.

Kami terus mengkaji logaritma. Dalam artikel ini kita akan bercakap tentang pengiraan logaritma, proses ini dipanggil logaritma. Pertama, kita akan berurusan dengan pengiraan logaritma mengikut definisi. Seterusnya, pertimbangkan bagaimana nilai logaritma ditemui menggunakan sifatnya. Selepas itu, kita akan memikirkan pengiraan logaritma melalui nilai awal yang diberikan bagi logaritma lain. Akhir sekali, mari belajar cara menggunakan jadual logaritma. Keseluruhan teori disediakan dengan contoh dengan penyelesaian terperinci.

Navigasi halaman.

Mengira logaritma mengikut takrifan

Dalam kes yang paling mudah, ia boleh dilakukan dengan cepat dan mudah mencari logaritma mengikut definisi. Mari kita lihat dengan lebih dekat bagaimana proses ini berlaku.

Intipatinya adalah untuk mewakili nombor b dalam bentuk a c , di mana, mengikut takrifan logaritma, nombor c ialah nilai logaritma. Iaitu, mengikut takrifan, mencari logaritma sepadan dengan rantaian kesamaan berikut: log a b=log a a c =c .

Jadi, pengiraan logaritma, mengikut takrifan, datang untuk mencari nombor c sedemikian rupa sehingga a c \u003d b, dan nombor c itu sendiri ialah nilai logaritma yang dikehendaki.

Memandangkan maklumat perenggan sebelumnya, apabila nombor di bawah tanda logaritma diberikan oleh beberapa darjah asas logaritma, maka anda boleh segera menunjukkan logaritma itu sama dengan - ia sama dengan eksponen. Mari tunjukkan contoh.

Contoh.

Cari log 2 2 −3 , dan juga hitung logaritma asli bagi e 5.3 .

Penyelesaian.

Takrifan logaritma membolehkan kita mengatakan dengan segera bahawa log 2 2 −3 = −3 . Sesungguhnya, nombor di bawah tanda logaritma adalah sama dengan asas 2 kepada kuasa −3.

Begitu juga, kita dapati logaritma kedua: lne 5.3 =5.3.

Jawapan:

log 2 2 −3 = −3 dan lne 5.3 =5.3 .

Jika nombor b di bawah tanda logaritma tidak diberikan sebagai kuasa asas logaritma, maka anda perlu mempertimbangkan dengan teliti sama ada mungkin untuk menghasilkan perwakilan nombor b dalam bentuk a c . Selalunya perwakilan ini agak jelas, terutamanya apabila nombor di bawah tanda logaritma adalah sama dengan asas kepada kuasa 1, atau 2, atau 3, ...

Contoh.

Hitung logaritma log 5 25 , dan .

Penyelesaian.

Adalah mudah untuk melihat bahawa 25=5 2 , ini membolehkan anda mengira logaritma pertama: log 5 25=log 5 5 2 =2 .

Kami meneruskan pengiraan logaritma kedua. Nombor boleh diwakili sebagai kuasa 7: (lihat jika perlu). Oleh itu, .

Mari kita tulis semula logaritma ketiga dalam bentuk berikut. Sekarang anda boleh melihatnya , dari mana kita membuat kesimpulan bahawa . Oleh itu, mengikut takrifan logaritma .

Secara ringkas, penyelesaiannya boleh ditulis seperti berikut:

Jawapan:

log 5 25=2 , Dan .

Apabila nombor asli yang cukup besar berada di bawah tanda logaritma, maka tidak ada salahnya untuk menguraikannya menjadi faktor perdana. Ia sering membantu untuk mewakili nombor sedemikian sebagai beberapa kuasa asas logaritma, dan oleh itu, untuk mengira logaritma ini mengikut takrifan.

Contoh.

Cari nilai logaritma itu.

Penyelesaian.

Sesetengah sifat logaritma membolehkan anda menentukan nilai logaritma dengan segera. Sifat ini termasuk sifat logaritma satu dan sifat logaritma nombor yang sama dengan asas: log 1 1=log a a 0 =0 dan log a a=log a a 1 =1 . Iaitu, apabila nombor 1 atau nombor a berada di bawah tanda logaritma, sama dengan asas logaritma, maka dalam kes ini logaritma adalah 0 dan 1, masing-masing.

Contoh.

Apakah logaritma dan lg10 ?

Penyelesaian.

Oleh kerana , ia mengikuti daripada takrifan logaritma .

Dalam contoh kedua, nombor 10 di bawah tanda logaritma bertepatan dengan asasnya, jadi logaritma perpuluhan sepuluh adalah sama dengan satu, iaitu, lg10=lg10 1 =1 .

Jawapan:

DAN lg10=1 .

Ambil perhatian bahawa pengiraan logaritma mengikut takrifan (yang kita bincangkan dalam perenggan sebelumnya) membayangkan penggunaan log kesamaan a a p =p , yang merupakan salah satu sifat logaritma.

Dalam amalan, apabila nombor di bawah tanda logaritma dan asas logaritma mudah diwakili sebagai kuasa beberapa nombor, adalah sangat mudah untuk menggunakan formula , yang sepadan dengan salah satu sifat logaritma. Pertimbangkan contoh mencari logaritma, menggambarkan penggunaan formula ini.

Contoh.

Hitung logaritma bagi .

Penyelesaian.

Jawapan:

.

Sifat logaritma yang tidak disebutkan di atas juga digunakan dalam pengiraan, tetapi kita akan membincangkannya dalam perenggan berikut.

Mencari logaritma dari segi logaritma lain yang diketahui

Maklumat dalam perenggan ini meneruskan topik penggunaan sifat logaritma dalam pengiraannya. Tetapi di sini perbezaan utama ialah sifat logaritma digunakan untuk menyatakan logaritma asal dari segi logaritma lain, yang nilainya diketahui. Mari kita ambil contoh untuk penjelasan. Katakan kita tahu bahawa log 2 3≈1.584963 , maka kita boleh mencari, sebagai contoh, log 2 6 dengan melakukan sedikit transformasi menggunakan sifat-sifat logaritma: log 2 6=log 2 (2 3)=log 2 2+log 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .

Dalam contoh di atas, sudah cukup untuk kita menggunakan sifat logaritma hasil darab. Walau bagaimanapun, lebih kerap anda perlu menggunakan senjata sifat logaritma yang lebih luas untuk mengira logaritma asal dari segi logaritma yang diberikan.

Contoh.

Hitung logaritma 27 hingga asas 60 jika diketahui log 60 2=a dan log 60 5=b .

Penyelesaian.

Jadi kita perlu mencari log 60 27 . Adalah mudah untuk melihat bahawa 27=3 3 , dan logaritma asal, disebabkan oleh sifat logaritma darjah, boleh ditulis semula sebagai 3·log 60 3 .

Sekarang mari kita lihat bagaimana log 60 3 boleh dinyatakan dalam sebutan logaritma yang diketahui. Sifat logaritma nombor yang sama dengan asas membolehkan anda menulis log kesamaan 60 60=1 . Sebaliknya, log 60 60=log60(2 2 3 5)= log 60 2 2 +log 60 3+log 60 5= 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5 . Oleh itu, 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5=1. Oleh itu, log 60 3=1−2 log 60 2−log 60 5=1−2 a−b.

Akhir sekali, kita mengira logaritma asal: log 60 27=3 log 60 3= 3 (1−2 a−b)=3−6 a−3 b.

Jawapan:

log 60 27=3 (1−2 a−b)=3−6 a−3 b.

Secara berasingan, adalah bernilai menyebut maksud formula untuk peralihan kepada asas baru logaritma bentuk . Ia membolehkan anda beralih daripada logaritma dengan mana-mana asas kepada logaritma dengan asas tertentu, yang nilainya diketahui atau mungkin untuk mencarinya. Biasanya, dari logaritma asal, mengikut formula peralihan, mereka beralih kepada logaritma dalam salah satu asas 2, e atau 10, kerana untuk pangkalan ini terdapat jadual logaritma yang membolehkan mereka dikira dengan tahap ketepatan tertentu. Dalam bahagian seterusnya, kami akan menunjukkan bagaimana ini dilakukan.

Jadual logaritma, penggunaannya

Untuk pengiraan anggaran nilai logaritma, seseorang boleh menggunakan jadual logaritma. Yang paling biasa digunakan ialah jadual logaritma asas 2, jadual logaritma asli, dan jadual logaritma perpuluhan. Apabila bekerja dalam sistem nombor perpuluhan, adalah mudah untuk menggunakan jadual logaritma kepada asas sepuluh. Dengan bantuannya, kita akan belajar mencari nilai logaritma.

Jadual yang dibentangkan membolehkan, dengan ketepatan satu persepuluh ribu, untuk mencari nilai logaritma perpuluhan nombor daripada 1.000 hingga 9.999 (dengan tiga tempat perpuluhan). Prinsip mencari nilai logaritma menggunakan jadual logaritma perpuluhan akan dianalisis dalam contoh khusus- lebih jelas. Jom cari lg1,256 .

Dalam lajur kiri jadual logaritma perpuluhan kita dapati dua digit pertama nombor 1.256, iaitu, kita dapati 1.2 (nombor ini dibulatkan dengan warna biru untuk kejelasan). Digit ketiga nombor 1.256 (nombor 5) ditemui pada baris pertama atau terakhir di sebelah kiri garisan berkembar (nombor ini dibulatkan dengan warna merah). Digit keempat nombor asal 1.256 (nombor 6) ditemui pada baris pertama atau terakhir di sebelah kanan garis berkembar (nombor ini dibulatkan dengan warna hijau). Sekarang kita dapati nombor dalam sel jadual logaritma di persimpangan baris bertanda dan lajur bertanda (nombor ini diserlahkan oren). Jumlah nombor yang ditanda memberikan nilai logaritma perpuluhan yang dikehendaki sehingga tempat perpuluhan keempat, iaitu, log1.236≈0.0969+0.0021=0.0990.

Adakah mungkin, menggunakan jadual di atas, untuk mencari nilai logaritma perpuluhan nombor yang mempunyai lebih daripada tiga digit selepas titik perpuluhan, dan juga melampaui had dari 1 hingga 9.999? Ya awak boleh. Mari tunjukkan bagaimana ini dilakukan dengan contoh.

Jom kira lg102.76332 . Mula-mula anda perlu menulis nombor dalam bentuk piawai : 102.76332=1.0276332 10 2 . Selepas itu, mantissa harus dibundarkan ke tempat perpuluhan ketiga, kita ada 1.0276332 10 2 ≈1.028 10 2, manakala logaritma perpuluhan asal adalah lebih kurang sama dengan logaritma nombor yang terhasil, iaitu, kita ambil lg102.76332≈lg1.028·10 2 . Sekarang gunakan sifat logaritma: lg1.028 10 2 =lg1.028+lg10 2 =lg1.028+2. Akhir sekali, kita dapati nilai logaritma lg1.028 mengikut jadual logaritma perpuluhan lg1.028≈0.0086+0.0034=0.012. Akibatnya, keseluruhan proses pengiraan logaritma kelihatan seperti ini: lg102.76332=lg1.0276332 10 2 ≈lg1.028 10 2 = lg1.028+lg10 2 =lg1.028+2≈0.012+2=2.012.

Sebagai kesimpulan, perlu diperhatikan bahawa menggunakan jadual logaritma perpuluhan, anda boleh mengira nilai anggaran mana-mana logaritma. Untuk melakukan ini, cukup menggunakan formula peralihan untuk pergi ke logaritma perpuluhan, cari nilainya dalam jadual, dan lakukan pengiraan yang tinggal.

Sebagai contoh, mari kita hitung log 2 3 . Menurut formula untuk peralihan kepada asas baru logaritma, kita mempunyai . Daripada jadual logaritma perpuluhan kita dapati lg3≈0.4771 dan lg2≈0.3010. Oleh itu, .

Bibliografi.

• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. dan lain-lain.Algebra dan Permulaan Analisis: Buku Teks untuk Gred 10-11 Institusi Pendidikan Am.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematik (manual untuk pemohon ke sekolah teknik).

Hari ini kita akan bercakap tentang formula logaritma dan memberi demonstrasi contoh penyelesaian.

Dengan sendirinya, mereka membayangkan corak penyelesaian mengikut sifat asas logaritma. Sebelum menggunakan formula logaritma kepada penyelesaian, kami ingat untuk anda, pertama semua sifat:

Sekarang, berdasarkan formula (sifat) ini, kami tunjukkan contoh penyelesaian logaritma.

Contoh penyelesaian logaritma berdasarkan formula.

Logaritma nombor positif b dalam asas a (ditandakan log a b) ialah eksponen yang a mesti dinaikkan untuk mendapatkan b, dengan b > 0, a > 0, dan 1.

Mengikut takrifan log a b = x, yang bersamaan dengan a x = b, jadi log a a x = x.

Logaritma, contoh:

log 2 8 = 3, kerana 2 3 = 8

log 7 49 = 2 kerana 7 2 = 49

log 5 1/5 = -1, kerana 5 -1 = 1/5

Logaritma perpuluhan ialah logaritma biasa, asasnya ialah 10. Ditandakan sebagai lg.

log 10 100 = 2 kerana 10 2 = 100

logaritma semula jadi- juga logaritma logaritma biasa, tetapi dengan asas e (e \u003d 2.71828 ... - nombor tidak rasional). Dirujuk sebagai ln.

Adalah wajar untuk mengingati formula atau sifat logaritma, kerana kita akan memerlukannya kemudian apabila menyelesaikan logaritma, persamaan logaritma dan ketaksamaan. Mari kita teliti setiap formula sekali lagi dengan contoh.

• Identiti logaritma asas
  a log a b = b

  8 2log 8 3 = (8 2log 8 3) 2 = 3 2 = 9

• Logaritma hasil darab adalah sama dengan hasil tambah logaritma
  log a (bc) = log a b + log a c

  log 3 8.1 + log 3 10 = log 3 (8.1*10) = log 3 81 = 4

• Logaritma hasil bagi adalah sama dengan perbezaan logaritma
  log a (b/c) = log a b - log a c

  9 log 5 50 /9 log 5 2 = 9 log 5 50- log 5 2 = 9 log 5 25 = 9 2 = 81

• Sifat darjah bagi nombor boleh logaritma dan asas logaritma

  Eksponen bagi nombor logaritma log a b m = mlog a b

  Eksponen asas log logaritma a n b =1/n*log a b

  log a n b m = m/n*log a b,

  jika m = n, kita mendapat log a n b n = log a b

  log 4 9 = log 2 2 3 2 = log 2 3

• Peralihan kepada asas baharu
  log a b = log c b / log c a,

  jika c = b, kita mendapat log b b = 1

  kemudian log a b = 1/log b a

  log 0.8 3*log 3 1.25 = log 0.8 3*log 0.8 1.25/log 0.8 3 = log 0.8 1.25 = log 4/5 5/4 = -1

Seperti yang anda boleh lihat, formula logaritma tidaklah rumit seperti yang kelihatan. Sekarang, setelah mempertimbangkan contoh penyelesaian logaritma, kita boleh beralih kepada persamaan logaritma. Kami akan mempertimbangkan contoh penyelesaian persamaan logaritma dengan lebih terperinci dalam artikel: "". Jangan lepaskan!

Jika anda masih mempunyai soalan tentang penyelesaian, tuliskannya dalam ulasan artikel.

Nota: memutuskan untuk mendapatkan pendidikan pengajian kelas lain di luar negara sebagai pilihan.

Fokus artikel ini ialah logaritma. Di sini kita akan memberikan definisi logaritma, menunjukkan tatatanda yang diterima, memberi contoh logaritma, dan bercakap tentang logaritma asli dan perpuluhan. Selepas itu, pertimbangkan identiti logaritma asas.

Navigasi halaman.

Definisi logaritma

Konsep logaritma timbul apabila menyelesaikan masalah dalam dalam erti kata tertentu songsang, apabila anda perlu mencari eksponen daripada nilai darjah yang diketahui dan asas yang diketahui.

Tetapi cukup mukadimah, sudah tiba masanya untuk menjawab soalan "apa itu logaritma"? Mari kita berikan definisi yang sesuai.

Definisi.

Logaritma b kepada asas a, di mana a>0 , a≠1 dan b>0 ialah eksponen yang anda perlukan untuk menaikkan nombor a untuk mendapatkan b sebagai hasilnya.

Pada peringkat ini, kami perhatikan bahawa perkataan "logaritma" yang dituturkan harus segera menimbulkan dua soalan berikutnya: "nombor apa" dan "atas asas apa." Dalam erti kata lain, tidak ada logaritma, tetapi hanya ada logaritma nombor dalam beberapa asas.

Kami akan segera memperkenalkan tatatanda logaritma: logaritma nombor b kepada asas a biasanya dilambangkan sebagai log a b . Logaritma nombor b ke pangkalan e dan logaritma kepada asas 10 masing-masing mempunyai sebutan khas mereka sendiri lnb dan lgb, iaitu, mereka menulis bukan log e b , tetapi lnb , dan bukan log 10 b , tetapi lgb .

Kini anda boleh bawa: .
Dan rekod tidak masuk akal, kerana pada yang pertama terdapat nombor negatif di bawah tanda logaritma, di kedua - nombor negatif dalam pangkalan, dan pada yang ketiga - kedua-dua nombor negatif di bawah tanda logaritma dan satu unit dalam pangkalan.

Sekarang mari kita bercakap tentang peraturan untuk membaca logaritma. Log masuk a b dibaca sebagai "logaritma b ke asas a". Sebagai contoh, log 2 3 ialah logaritma tiga kepada asas 2, dan ialah logaritma dua titik dua pertiga kepada asas Punca kuasa dua daripada lima. Logaritma kepada asas e dipanggil logaritma semula jadi, dan tatatanda lnb dibaca sebagai "logaritma asli bagi b". Sebagai contoh, ln7 ialah logaritma asli bagi tujuh, dan kita akan membacanya sebagai logaritma asli bagi pi. Logaritma kepada asas 10 juga mempunyai nama khas - logaritma perpuluhan, dan notasi lgb dibaca sebagai "logaritma perpuluhan b". Sebagai contoh, lg1 ialah logaritma perpuluhan bagi satu, dan lg2.75 ialah logaritma perpuluhan bagi dua koma tujuh puluh lima perseratus.

Perlu diingat secara berasingan pada syarat a>0, a≠1 dan b>0, di mana takrif logaritma diberikan. Mari kita jelaskan dari mana datangnya sekatan ini. Untuk melakukan ini, kita akan dibantu oleh kesamaan bentuk, dipanggil , yang secara langsung mengikut takrifan logaritma yang diberikan di atas.

Mari kita mulakan dengan a≠1 . Oleh kerana satu adalah sama dengan satu kepada mana-mana kuasa, maka kesamaan hanya boleh benar untuk b=1, tetapi log 1 1 boleh menjadi sebarang nombor nyata. Untuk mengelakkan kekaburan ini, a≠1 diterima.

Mari kita buktikan kesesuaian syarat a>0 . Dengan a=0, mengikut takrifan logaritma, kita akan mempunyai kesamaan , yang mungkin hanya dengan b=0 . Tetapi kemudian log 0 0 boleh menjadi sebarang nombor nyata bukan sifar, kerana sifar kepada mana-mana kuasa bukan sifar ialah sifar. Kekaburan ini boleh dielakkan dengan keadaan a≠0 . Dan untuk a<0 нам бы пришлось отказаться от рассмотрения рациональных и иррациональных значений логарифма, так как степень с рациональным и иррациональным показателем определена лишь для неотрицательных оснований. Поэтому и принимается условие a>0 .

Akhir sekali, keadaan b>0 mengikuti daripada ketaksamaan a>0 , sejak , dan nilai darjah dengan asas positif a sentiasa positif.

Sebagai kesimpulan perenggan ini, kami mengatakan bahawa takrifan logaritma yang disuarakan membolehkan anda segera menunjukkan nilai logaritma apabila nombor di bawah tanda logaritma adalah tahap asas tertentu. Sesungguhnya, takrifan logaritma membolehkan kita menegaskan bahawa jika b=a p , maka logaritma nombor b kepada asas a adalah sama dengan p . Iaitu, log kesamaan a a p =p adalah benar. Sebagai contoh, kita tahu bahawa 2 3 =8 , kemudian log 2 8=3 . Kami akan bercakap lebih lanjut mengenai perkara ini dalam artikel.