Pendaraban kurungan. Pembukaan kurungan: peraturan dan contoh (Gred 7)

Tanda kurung digunakan untuk menunjukkan susunan operasi dilakukan dalam berangka dan ungkapan literal, serta dalam ungkapan dengan pembolehubah. Adalah mudah untuk beralih daripada ungkapan dengan kurungan kepada ungkapan yang sama tanpa kurungan. Teknik ini dipanggil pembukaan kurungan.

Untuk mengembangkan kurungan bermakna menghilangkan ungkapan kurungan ini.

Satu lagi perkara patut diberi perhatian khusus, yang berkenaan dengan keanehan penyelesaian penulisan apabila membuka kurungan. Kita boleh menulis ungkapan awal dengan kurungan dan hasil yang diperoleh selepas membuka kurungan sebagai kesamaan. Sebagai contoh, selepas membuka kurungan, bukannya ungkapan
3−(5−7) kita mendapat ungkapan 3−5+7. Kita boleh menulis kedua-dua ungkapan ini sebagai kesamaan 3−(5−7)=3−5+7.

Dan satu lagi perkara penting. Dalam matematik, untuk mengurangkan entri, adalah kebiasaan untuk tidak menulis tanda tambah jika ia adalah yang pertama dalam ungkapan atau dalam kurungan. Sebagai contoh, jika kita menambah dua nombor positif, sebagai contoh, tujuh dan tiga, maka kita tidak menulis +7 + 3, tetapi hanya 7 + 3, walaupun pada hakikatnya tujuh juga nombor positif. Begitu juga, jika anda melihat, sebagai contoh, ungkapan (5 + x) - ketahui bahawa terdapat tambah di hadapan kurungan, yang tidak ditulis, dan terdapat tambah + (+5 + x) di hadapan lima.

Peraturan pengembangan kurungan untuk penambahan

Apabila membuka kurungan, jika terdapat tambah sebelum kurungan, maka tambah ini ditinggalkan bersama dengan kurungan.

Contoh. Buka kurungan dalam ungkapan 2 + (7 + 3) Sebelum kurungan tambah, maka aksara di hadapan nombor dalam kurungan tidak berubah.

2 + (7 + 3) = 2 + 7 + 3

Peraturan untuk mengembangkan kurungan semasa menolak

Jika terdapat tolak sebelum kurungan, maka tolak ini ditinggalkan bersama kurungan, tetapi istilah yang ada dalam kurungan menukar tandanya kepada sebaliknya. Ketiadaan tanda sebelum sebutan pertama dalam kurungan membayangkan tanda +.

Contoh. Tanda kurung buka dalam ungkapan 2 − (7 + 3)

Terdapat tolak sebelum kurungan, jadi anda perlu menukar tanda sebelum nombor dari kurungan. Tiada tanda dalam kurungan sebelum nombor 7, bermakna tujuh itu positif, ia dianggap tanda + di hadapannya.

2 − (7 + 3) = 2 − (+ 7 + 3)

Apabila membuka kurungan, kami mengeluarkan tolak daripada contoh, yang berada di hadapan kurungan, dan kurungan itu sendiri 2 − (+ 7 + 3), dan menukar tanda yang ada dalam kurungan kepada yang bertentangan.

2 − (+ 7 + 3) = 2 − 7 − 3

Mengembangkan tanda kurung apabila mendarab

Jika terdapat tanda pendaraban di hadapan kurungan, maka setiap nombor di dalam kurungan didarab dengan faktor di hadapan kurungan. Pada masa yang sama, mendarabkan tolak dengan tolak memberikan tambah, dan mendarab tolak dengan tambah, seperti mendarab tambah dengan tolak, memberikan tolak.

Oleh itu, kurungan dalam produk dikembangkan mengikut sifat taburan pendaraban.

Contoh. 2 (9 - 7) = 2 9 - 2 7

Apabila mendarab kurungan dengan kurungan, setiap sebutan kurungan pertama didarabkan dengan setiap sebutan kurungan kedua.

(2 + 3) (4 + 5) = 2 4 + 2 5 + 3 4 + 3 5

Malah, tidak perlu mengingati semua peraturan, cukup untuk mengingati satu sahaja, yang ini: c(a−b)=ca−cb. kenapa? Kerana jika kita menggantikan satu daripada c, kita mendapat peraturan (a−b)=a−b. Dan jika kita menggantikan tolak satu, kita mendapat peraturan −(a−b)=−a+b. Nah, jika anda menggantikan kurungan lain dan bukannya c, anda boleh mendapatkan peraturan terakhir.

Kembangkan kurungan apabila membahagi

Sekiranya terdapat tanda pembahagian selepas kurungan, maka setiap nombor di dalam kurungan boleh dibahagi oleh pembahagi selepas kurungan, dan begitu juga sebaliknya.

Contoh. (9 + 6): 3=9: 3 + 6: 3

Cara mengembangkan kurungan bersarang

Jika ungkapan mengandungi kurungan bersarang, maka ia dikembangkan mengikut tertib, bermula dengan luaran atau dalaman.

Pada masa yang sama, apabila membuka salah satu kurungan, adalah penting untuk tidak menyentuh kurungan lain, hanya menulis semula mereka sebagaimana adanya.

Contoh. 12 - (a + (6 - b) - 3) = 12 - a - (6 - b) + 3 = 12 - a - 6 + b + 3 = 9 - a + b

Di antara pelbagai ungkapan yang dipertimbangkan dalam algebra, jumlah monomial menduduki tempat yang penting. Berikut adalah contoh ungkapan tersebut:
\(5a^4 - 2a^3 + 0.3a^2 - 4.6a + 8 \)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2 \)

Jumlah monomial dipanggil polinomial. Istilah dalam polinomial dipanggil ahli polinomial. Mononomial juga dirujuk sebagai polinomial, menganggap monomial sebagai polinomial yang terdiri daripada satu ahli.

Contohnya, polinomial
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0.25b \cdot (-12)b + 16 \)
boleh dipermudahkan.

Kami mewakili semua istilah dalam bentuk monomials pandangan standard:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0.25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16 \)

Kami memberikan istilah yang sama dalam polinomial yang terhasil:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Hasilnya ialah polinomial, semua ahlinya adalah monomial dalam bentuk piawai, dan di antara mereka tidak ada yang serupa. Polinomial sedemikian dipanggil polinomial bentuk piawai.

belakang darjah polinomial bentuk piawai mengambil kuasa terbesar ahli-ahlinya. Jadi, binomial \(12a^2b - 7b \) mempunyai darjah ketiga, dan trinomial \(2b^2 -7b + 6 \) mempunyai darjah kedua.

Biasanya, istilah polinomial bentuk piawai yang mengandungi satu pembolehubah disusun dalam susunan menurun bagi eksponennya. Sebagai contoh:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1 \)

Jumlah beberapa polinomial boleh ditukar (dipermudahkan) kepada polinomial bentuk piawai.

Kadangkala ahli polinomial perlu dibahagikan kepada kumpulan, melampirkan setiap kumpulan dalam kurungan. Oleh kerana kurungan adalah bertentangan dengan kurungan, ia mudah untuk dirumuskan peraturan pembukaan kurungan:

Jika tanda + diletakkan sebelum kurungan, maka istilah yang disertakan dalam kurungan ditulis dengan tanda yang sama.

Jika tanda "-" diletakkan di hadapan kurungan, maka istilah yang disertakan dalam kurungan ditulis dengan tanda yang bertentangan.

Transformasi (pemudahan) hasil darab monomial dan polinomial

Dengan menggunakan sifat taburan pendaraban, seseorang boleh mengubah (memudahkan) hasil darab monomial dan polinomial kepada polinomial. Sebagai contoh:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)

Hasil darab monomial dan polinomial adalah sama dengan jumlah hasil darab monomial ini dan setiap sebutan polinomial itu.

Keputusan ini biasanya dirumuskan sebagai peraturan.

Untuk mendarab monomial dengan polinomial, seseorang mesti mendarab monomial ini dengan setiap sebutan polinomial.

Kami telah berulang kali menggunakan peraturan ini untuk mendarab dengan jumlah.

Hasil darab polinomial. Penjelmaan (pemudahan) hasil darab dua polinomial

Secara amnya, hasil darab dua polinomial adalah sama dengan jumlah hasil darab setiap sebutan satu polinomial dan setiap sebutan yang lain.

Biasanya gunakan peraturan berikut.

Untuk mendarab polinomial dengan polinomial, anda perlu mendarab setiap sebutan satu polinomial dengan setiap sebutan yang lain dan menambah hasil darab.

Formula pendaraban yang disingkatkan. Kuasa Dua Jumlah, Perbezaan dan Perbezaan

Beberapa ungkapan dalam penjelmaan algebra perlu ditangani lebih kerap daripada yang lain. Mungkin ungkapan yang paling biasa ialah \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) dan \(a^2 - b^2 \), iaitu kuasa dua hasil tambah, kuasa dua selisih, dan selisih kuasa dua. Anda telah perasan bahawa nama-nama ungkapan ini nampaknya tidak lengkap, jadi, sebagai contoh, \((a + b)^2 \) adalah, sudah tentu, bukan hanya kuasa dua jumlah, tetapi kuasa dua jumlah a dan b. Walau bagaimanapun, kuasa dua jumlah a dan b tidak begitu biasa, sebagai peraturan, bukannya huruf a dan b, ia mengandungi pelbagai, kadang-kadang agak kompleks ungkapan.

Ungkapan \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) adalah mudah untuk menukar (mempermudahkan) kepada polinomial bentuk piawai, sebenarnya, anda telah pun menghadapi tugas sedemikian apabila mendarab polinomial :
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)

Identiti yang terhasil berguna untuk diingat dan digunakan tanpa pengiraan perantaraan. Rumusan lisan pendek membantu ini.

\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - kuasa dua hasil tambah adalah sama dengan hasil tambah kuasa dua dan hasil darab.

\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - kuasa dua beza ialah hasil tambah kuasa dua tanpa menggandakan hasil darab.

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - perbezaan segi empat sama adalah sama dengan hasil darab beza dan hasil tambah.

Ketiga-tiga identiti ini membolehkan dalam transformasi untuk menggantikan bahagian kiri mereka dengan yang kanan dan sebaliknya - bahagian kanan dengan yang kiri. Perkara yang paling sukar dalam kes ini adalah untuk melihat ungkapan yang sepadan dan memahami apa pembolehubah a dan b digantikan di dalamnya. Mari kita lihat beberapa contoh menggunakan formula pendaraban yang disingkatkan.

Bahagian persamaan itu ialah ungkapan dalam kurungan. Untuk membuka kurungan, lihat tanda di hadapan kurungan. Jika terdapat tanda tambah, tiada apa yang akan berubah apabila mengembangkan kurungan dalam rekod ungkapan: hanya keluarkan kurungan. Sekiranya terdapat tanda tolak, apabila membuka kurungan, perlu menukar semua tanda yang pada mulanya dalam kurungan kepada yang bertentangan. Contohnya, -(2x-3)=-2x+3.

Mendarab dua kurungan.
Jika persamaan mengandungi hasil darab dua kurungan, kembangkan kurungan mengikut peraturan piawai. Setiap sebutan kurungan pertama didarabkan dengan setiap sebutan kurungan kedua. Nombor yang terhasil disimpulkan. Dalam kes ini, hasil darab dua "tambah" atau dua "tolak" memberikan istilah tanda "tambah", dan jika faktor mempunyai tanda yang berbeza, maka ia mendapat tanda tolak.
Pertimbangkan .
(5x+1)(3x-4)=5x*3x-5x*4+1*3x-1*4=15x^2-20x+3x-4=15x^2-17x-4.

Dengan mengembangkan kurungan, kadangkala menaikkan ungkapan kepada . Formula petak kuasa dua dan kiub mesti diketahui dengan hati dan diingati.
(a+b)^2=a^2+2ab+b^2
(a-b)^2=a^2-2ab+b^2
(a+b)^3=a^3+3a^2*b+3ab^2+b^3
(a-b)^3=a^3-3a^2*b+3ab^2-b^3
Formula untuk menaikkan ungkapan lebih besar daripada tiga boleh dilakukan menggunakan segi tiga Pascal.

Sumber:

• formula pembukaan kurungan

Operasi matematik yang disertakan dalam kurungan boleh mengandungi pembolehubah dan ungkapan yang berbeza darjah kerumitan. Untuk mendarabkan ungkapan tersebut, seseorang itu perlu mencari penyelesaiannya Pandangan umum, mengembangkan kurungan dan memudahkan hasilnya. Jika kurungan mengandungi operasi tanpa pembolehubah, hanya dengan nilai berangka, maka kurungan tidak perlu dibuka, kerana jika komputer tersedia untuk penggunanya, sumber pengkomputeran yang sangat penting tersedia - lebih mudah menggunakannya daripada memudahkan ungkapan.

Arahan

Darab berturut-turut setiap (atau dikurangkan daripada) yang terkandung dalam satu kurungan dengan kandungan semua kurungan lain jika anda ingin mendapatkan hasil umum. Sebagai contoh, biarkan ungkapan asal ditulis seperti ini: (5+x)∗(6-x)∗(x+2). Kemudian pendaraban berturut-turut (iaitu, mengembangkan kurungan) akan memberikan hasil berikut: (5+x)∗(6-x)∗(x+2) = (5∗6-5∗x)∗(5∗x+ 5∗2) + (6∗x-x∗x)∗(x∗x+2∗x) = (5∗6∗5∗x+5∗6∗5∗2) - (5∗x∗5∗x+ 5∗ x∗5∗2) + (6∗x∗x∗x+6∗x∗2∗x) - (x∗x∗x∗x+x∗x∗2∗x) = 5∗6∗5 ∗x + 5∗6∗5∗2 - 5∗x∗5∗x - 5∗x∗5∗2 + 6∗x∗x∗x + 6∗x∗2∗x - x∗x∗x∗x - x ∗x∗2∗x = 150∗x + 300 - 25∗x² - 50∗x + 6∗x³ + 12∗x² - x∗x³ - 2∗x³.

Permudahkan selepas keputusan dengan memendekkan ungkapan. Sebagai contoh, ungkapan yang diperolehi dalam langkah sebelumnya boleh dipermudahkan seperti berikut: 150∗x + 300 - 25∗x² - 50∗x + 6∗x³ + 12∗x² - x∗x³ - 2∗x³ = 100∗x + 300 - 13∗ x² - 8∗x³ - x∗x³.

Gunakan kalkulator jika anda perlu mendarab x sama dengan 4.75, iaitu, (5+4.75)∗(6-4.75)∗(4.75+2). Untuk mengira nilai ini, pergi ke tapak web enjin carian Google atau Nigma dan masukkan ungkapan dalam medan pertanyaan dalam bentuk asalnya (5+4.75)*(6-4.75)*(4.75+2). Google akan menunjukkan 82.265625 serta-merta tanpa menekan butang, manakala Nigma perlu menghantar data ke pelayan dengan menekan butang.

Dalam pelajaran ini, anda akan belajar cara mengubah ungkapan yang mengandungi kurungan kepada ungkapan yang tidak mengandungi kurungan. Anda akan belajar cara membuka kurungan yang didahului dengan tanda tambah dan tanda tolak. Kita akan ingat bagaimana untuk membuka kurungan menggunakan hukum taburan pendaraban. Contoh yang dipertimbangkan akan membolehkan memautkan bahan baharu dan bahan yang telah dipelajari sebelumnya menjadi satu keseluruhan.

Topik: Penyelesaian Persamaan

Pengajaran: Peluasan kurungan

Cara membuka kurungan didahului dengan tanda "+". Penggunaan hukum bersekutu penambahan.

Jika anda perlu menambah jumlah dua nombor kepada nombor, maka anda boleh menambah sebutan pertama pada nombor ini, dan kemudian yang kedua.

Di sebelah kiri tanda sama ialah ungkapan dengan kurungan, dan di sebelah kanan adalah ungkapan tanpa kurungan. Ini bermakna apabila melepasi dari sebelah kiri kesamaan ke sebelah kanan, kurungan dibuka.

Pertimbangkan contoh.

Contoh 1

Mengembangkan kurungan, kami menukar susunan operasi. Mengira telah menjadi lebih mudah.

Contoh 2

Contoh 3

Ambil perhatian bahawa dalam ketiga-tiga contoh, kami hanya mengalih keluar kurungan. Mari kita rumuskan peraturan:

Komen.

Jika istilah pertama dalam kurungan tidak ditandatangani, maka ia mesti ditulis dengan tanda tambah.

Anda boleh mengikuti contoh langkah demi langkah. Pertama, tambah 445 kepada 889. Tindakan mental ini boleh dilakukan, tetapi ia tidak begitu mudah. Mari buka kurungan dan lihat bahawa susunan operasi yang diubah akan memudahkan pengiraan.

Jika anda mengikut susunan tindakan yang dinyatakan, maka anda mesti tolak 345 daripada 512 dahulu, dan kemudian tambah 1345 pada hasilnya. Dengan mengembangkan kurungan, kami akan menukar susunan tindakan dan memudahkan pengiraan.

Contoh ilustrasi dan peraturan.

Pertimbangkan contoh: . Anda boleh mencari nilai ungkapan dengan menambah 2 dan 5, dan kemudian mengambil nombor yang terhasil dengan tanda yang bertentangan. Kami mendapat -7.

Sebaliknya, keputusan yang sama boleh diperolehi dengan menambah nombor yang bertentangan.

Mari kita rumuskan peraturan:

Contoh 1

Contoh 2

Peraturan tidak berubah jika tidak ada dua, tetapi tiga atau lebih istilah dalam kurungan.

Contoh 3

Komen. Tanda-tanda diterbalikkan hanya di hadapan syarat.

Untuk membuka kurungan, kes ini ingat harta pengagihan.

Pertama, darabkan kurungan pertama dengan 2 dan yang kedua dengan 3.

Tanda kurungan pertama didahului dengan tanda “+”, yang bermaksud tanda tersebut mesti dibiarkan tidak berubah. Yang kedua didahului oleh tanda "-", oleh itu, semua tanda mesti diterbalikkan

Bibliografi

1. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematik 6. - M.: Mnemosyne, 2012.
2. Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. Matematik darjah 6. - Gimnasium, 2006.
3. Depman I.Ya., Vilenkin N.Ya. Di sebalik halaman buku teks matematik. - Pencerahan, 1989.
4. Rurukin A.N., Tchaikovsky I.V. Tugasan untuk kursus matematik gred 5-6 - ZSH MEPhI, 2011.
5. Rurukin A.N., Sochilov S.V., Tchaikovsky K.G. Matematik 5-6. Manual untuk pelajar gred 6 sekolah surat menyurat MEPhI. - ZSH MEPhI, 2011.
6. Shevrin L.N., Gein A.G., Koryakov I.O., Volkov M.V. Matematik: Buku teks interlocutor untuk gred 5-6 sekolah Menengah. Perpustakaan guru matematik. - Pencerahan, 1989.

1. Ujian matematik dalam talian ().
2. Anda boleh memuat turun yang dinyatakan dalam klausa 1.2. buku().

Kerja rumah

1. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematik 6. - M .: Mnemosyne, 2012. (lihat pautan 1.2)
2. Kerja rumah: No. 1254, No. 1255, No. 1256 (b, d)
3. Tugasan lain: No. 1258(c), No. 1248

Dalam artikel ini, kami akan mempertimbangkan secara terperinci peraturan asas untuk topik penting dalam kursus matematik sebagai kurungan pembukaan. Anda perlu mengetahui peraturan untuk membuka kurungan untuk menyelesaikan persamaan di mana ia digunakan dengan betul.

Cara membuka kurungan dengan betul semasa menambah

Kembangkan kurungan yang didahului oleh tanda "+".

Ini adalah kes paling mudah, kerana jika terdapat tanda tambahan di hadapan kurungan, apabila kurungan dibuka, tanda di dalamnya tidak berubah. Contoh:

(9 + 3) + (1 - 6 + 9) = 9 + 3 + 1 - 6 + 9 = 16.

Cara membuka kurungan didahului dengan tanda "-".

Dalam kes ini, anda perlu menulis semula semua istilah tanpa kurungan, tetapi pada masa yang sama menukar semua tanda di dalamnya kepada yang bertentangan. Tanda-tanda berubah hanya untuk istilah daripada kurungan yang didahului oleh tanda "-". Contoh:

(9 + 3) - (1 - 6 + 9) = 9 + 3 - 1 + 6 - 9 = 8.

Cara membuka kurungan apabila mendarab

Tanda kurung didahului dengan pengganda

Dalam kes ini, anda perlu mendarab setiap sebutan dengan faktor dan membuka kurungan tanpa mengubah tanda. Jika pengganda mempunyai tanda "-", maka apabila mendarab, tanda-tanda istilah diterbalikkan. Contoh:

3 * (1 - 6 + 9) = 3 * 1 - 3 * 6 + 3 * 9 = 3 - 18 + 27 = 12.

Cara membuka dua kurungan dengan tanda darab di antaranya

Dalam kes ini, anda perlu mendarab setiap sebutan daripada kurungan pertama dengan setiap sebutan daripada kurungan kedua dan kemudian tambahkan hasilnya. Contoh:

(9 + 3) * (1 - 6 + 9) = 9 * 1 + 9 * (- 6) + 9 * 9 + 3 * 1 + 3 * (- 6) + 3 * 9 = 9 - 54 + 81 + 3 - 18 + 27 = 48.

Bagaimana untuk membuka kurungan dalam segi empat sama

Jika jumlah atau perbezaan dua sebutan adalah kuasa dua, kurungan hendaklah dibesarkan mengikut formula berikut:

(x + y)^2 = x^2 + 2*x*y + y^2.

Dalam kes tolak di dalam kurungan, formula tidak berubah. Contoh:

(9 + 3) ^ 2 = 9 ^ 2 + 2 * 9 * 3 + 3 ^ 2 = 144.

Bagaimana untuk membuka kurungan dalam darjah yang berbeza

Jika jumlah atau perbezaan istilah dinaikkan, sebagai contoh, kepada kuasa ke-3 atau ke-4, maka anda hanya perlu memecahkan tahap kurungan menjadi "petak". Kuasa faktor yang sama ditambah, dan apabila membahagi, darjah pembahagi ditolak daripada darjah dividen. Contoh:

(9 + 3) ^ 3 = ((9 + 3) ^ 2) * (9 + 3) = (9 ^ 2 + 2 * 9 * 3 + 3 ^ 2) * 12 = 1728.

Bagaimana untuk membuka 3 kurungan

Terdapat persamaan di mana 3 kurungan didarab sekaligus. Dalam kes ini, anda mesti terlebih dahulu mendarab sebutan dua kurungan pertama di antara mereka sendiri, dan kemudian mendarabkan jumlah pendaraban ini dengan sebutan kurungan ketiga. Contoh:

(1 + 2) * (3 + 4) * (5 - 6) = (3 + 4 + 6 + 8) * (5 - 6) = - 21.

Peraturan pembukaan kurungan ini digunakan sama rata untuk kedua-dua persamaan linear dan trigonometri.