Studiet av funksjonsgrafer. Undersøkelse av en funksjon ved metoder for differensialregning

En av de viktigste oppgavene til differensialregning er utviklingen vanlige eksempler studier av funksjoner.

Hvis funksjonen y \u003d f (x) er kontinuerlig på intervallet, og dens deriverte er positiv eller lik 0 på intervallet (a, b), øker y \u003d f (x) med (f "(x) 0). Hvis funksjonen y \u003d f (x) er kontinuerlig på segmentet, og dens deriverte er negativ eller lik 0 på intervallet (a,b), reduseres y=f(x) med (f"( x)0)

Intervallene der funksjonen ikke avtar eller øker kalles intervaller for monotonisitet av funksjonen. Arten av monotoniteten til en funksjon kan bare endres på de punktene i dens definisjonsdomene, der tegnet til den første deriverte endres. Punktene der den første deriverte av en funksjon forsvinner eller bryter kalles kritiske punkter.

Teorem 1 (1. tilstrekkelig betingelse for eksistensen av et ekstremum).

La funksjonen y=f(x) være definert ved punktet x 0 og la det være et nabolag δ>0 slik at funksjonen er kontinuerlig på segmentet , differensierbar på intervallet (x 0 -δ,x 0)u( x 0 , x 0 +δ) , og dens deriverte beholder et konstant fortegn på hvert av disse intervallene. Så hvis på x 0 -δ, x 0) og (x 0, x 0 + δ) fortegnene til den deriverte er forskjellige, så er x 0 et ekstremumpunkt, og hvis de samsvarer, så er ikke x 0 et ekstremumpunkt . Videre, hvis, når den passerer gjennom punktet x0, den deriverte endrer fortegn fra pluss til minus (til venstre for x 0, utføres f "(x)> 0, så er x 0 maksimumspunktet; hvis den deriverte endrer fortegn fra minus til pluss (til høyre for x 0 utføres av f"(x)<0, то х 0 - точка минимума.

Maksimums- og minimumspunktene kalles funksjonens ytterpunkt, og funksjonens maksimums- og minimumspunkt kalles dens ekstreme verdier.

Teorem 2 (nødvendig kriterium for et lokalt ekstremum).

Hvis funksjonen y=f(x) har et ekstremum ved gjeldende x=x 0, eksisterer ikke enten f'(x 0)=0 eller f'(x 0).
Ved ytterpunktene til en differensierbar funksjon er tangenten til grafen parallell med Ox-aksen.

Algoritme for å studere en funksjon for et ekstremum:

1) Finn den deriverte av funksjonen.
2) Finn kritiske punkter, dvs. punkter hvor funksjonen er kontinuerlig og den deriverte er null eller ikke eksisterer.
3) Vurder nabolaget til hvert av punktene, og undersøk tegnet til den deriverte til venstre og høyre for dette punktet.
4) Bestem koordinatene til ekstrempunktene, for denne verdien av de kritiske punktene, bytt inn i denne funksjonen. Trekk passende konklusjoner ved å bruke tilstrekkelige ekstreme forhold.

Eksempel 18. Undersøk funksjonen y=x 3 -9x 2 +24x

Løsning.
1) y"=3x2 -18x+24=3(x-2)(x-4).
2) Ved å likestille den deriverte med null finner vi x 1 =2, x 2 =4. I denne saken den deriverte er definert overalt; derfor, bortsett fra de to funnet punktene, er det ingen andre kritiske punkter.
3) Tegnet til den deriverte y "=3(x-2)(x-4) endres avhengig av intervallet som vist i figur 1. Når man passerer gjennom punktet x=2, endrer den deriverte fortegn fra pluss til minus, og når du passerer gjennom punktet x=4 - fra minus til pluss.
4) I punktet x=2 har funksjonen maksimalt y max =20, og i punktet x=4 - minimum y min =16.

Teorem 3. (2. tilstrekkelig betingelse for eksistensen av et ekstremum).

La f "(x 0) og f "" (x 0) eksistere ved punktet x 0. Så hvis f "" (x 0)> 0, så er x 0 minimumspunktet, og hvis f "" (x 0) )<0, то х 0 – точка максимума функции y=f(x).

På segmentet kan funksjonen y \u003d f (x) nå den minste (minst) eller største (høyst) verdien enten ved de kritiske punktene til funksjonen som ligger i intervallet (a; b), eller i endene av segmentet.

Algoritmen for å finne de største og minste verdiene av en kontinuerlig funksjon y=f(x) på segmentet:

1) Finn f "(x).
2) Finn punktene der f "(x) = 0 eller f" (x) - ikke eksisterer, og velg fra dem de som ligger innenfor segmentet.
3) Beregn verdien av funksjonen y \u003d f (x) ved punktene oppnådd i avsnitt 2), så vel som ved endene av segmentet og velg den største og minste av dem: de er henholdsvis den største ( for de største) og de minste (for de minste) funksjonsverdiene på intervallet .

Eksempel 19. Finn den største verdien av en kontinuerlig funksjon y=x 3 -3x 2 -45+225 på segmentet .

1) Vi har y "=3x 2 -6x-45 på segmentet
2) Den deriverte y" eksisterer for alle x. La oss finne punktene der y"=0; vi får:
3x2 -6x-45=0
x 2 -2x-15=0
x 1 \u003d -3; x2=5
3) Regn ut verdien av funksjonen i punktene x=0 y=225, x=5 y=50, x=6 y=63
Bare punktet x=5 hører til segmentet. Den største av funnverdiene til funksjonen er 225, og den minste er tallet 50. Så, ved maks = 225, ved maks = 50.

Undersøkelse av en funksjon på konveksitet

Figuren viser grafene til to funksjoner. Den første av dem er snudd med en bule opp, den andre - med en bule ned.

Funksjonen y=f(x) er kontinuerlig på segmentet og differensierbar i intervallet (a;b), kalles konveks opp (ned) på dette segmentet, hvis grafen for axb ikke ligger høyere (ikke lavere) enn tangenten tegnet på et hvilket som helst punkt M 0 (x 0 ;f(x 0)), hvor axb.

Teorem 4. La funksjonen y=f(x) ha en andrederivert i et hvilket som helst indre punkt x i segmentet og være kontinuerlig i enden av dette segmentet. Så hvis ulikheten f""(x)0 er tilfredsstilt på intervallet (a;b), så er funksjonen nedadkonveks på segmentet ; hvis ulikheten f""(x)0 holder på intervallet (a;b), så er funksjonen konveks oppover på .

Teorem 5. Hvis funksjonen y=f(x) har en andrederiverte på intervallet (a;b) og hvis den endrer fortegn når den passerer gjennom punktet x 0 , så er M(x 0 ;f(x 0)) et bøyningspunkt.

Regel for å finne bøyningspunkter:

1) Finn punkter der f""(x) ikke eksisterer eller forsvinner.
2) Undersøk tegnet f""(x) til venstre og til høyre for hvert punkt funnet i det første trinnet.
3) Trekk en konklusjon med utgangspunkt i teorem 4.

Eksempel 20. Finn ekstremumpunkter og infleksjonspunkter for funksjonsgrafen y=3x 4 -8x 3 +6x 2 +12.

Vi har f"(x)=12x 3 -24x 2 +12x=12x(x-1) 2. Det er klart at f"(x)=0 for x 1 =0, x 2 =1. Den deriverte, når den passerer gjennom punktet x=0, endrer fortegn fra minus til pluss, og når den passerer gjennom punktet x=1, endrer den ikke fortegn. Dette betyr at x=0 er minimumspunktet (y min =12), og det er ikke noe ekstremum i punktet x=1. Deretter finner vi . Den andre deriverte forsvinner ved punktene x 1 =1, x 2 =1/3. Tegnene til den andre deriverte endres som følger: På strålen (-∞;) har vi f""(x)>0, på intervallet (;1) har vi f""(x)<0, на луче (1;+∞) имеем f""(x)>0. Derfor er x= bøyningspunktet til funksjonsgrafen (overgang fra konveksitet ned til konveksitet opp) og x=1 er også et bøyningspunkt (overgang fra konveksitet opp til konveksitet ned). Hvis x=, så y= ; hvis, så x=1, y=13.

En algoritme for å finne asymptoten til en graf

I. Hvis y=f(x) som x → a , så er x=a den vertikale asymptoten.
II. Hvis y=f(x) som x → ∞ eller x → -∞ så er y=A den horisontale asymptoten.
III. For å finne den skrå asymptoten bruker vi følgende algoritme:
1) Beregn . Hvis grensen eksisterer og er lik b, så er y=b den horisontale asymptoten; hvis , gå til det andre trinnet.
2) Beregn . Hvis denne grensen ikke eksisterer, er det ingen asymptote; hvis den eksisterer og er lik k, gå til det tredje trinnet.
3) Beregn . Hvis denne grensen ikke eksisterer, er det ingen asymptote; hvis den eksisterer og er lik b, gå til det fjerde trinnet.
4) Skriv ned ligningen til den skrå asymptoten y=kx+b.

Eksempel 21: Finn en asymptote for en funksjon

1)
2)
3)
4) Den skrå asymptote-ligningen har formen

Opplegget for studiet av funksjonen og konstruksjonen av grafen

I. Finn funksjonens domene.
II. Finn skjæringspunktene til grafen til funksjonen med koordinataksene.
III. Finn asymptoter.
IV. Finn punkter med mulig ekstremum.
V. Finn kritiske punkter.
VI. Ved hjelp av hjelpetegningen, undersøk fortegnet til den første og andre deriverte. Bestem områdene for økning og reduksjon av funksjonen, finn retningen til grafens konveksitet, ekstremumpunkter og bøyningspunkter.
VII. Bygg en graf, ta hensyn til studien utført i avsnitt 1-6.

Eksempel 22: Plott en funksjonsgraf i henhold til skjemaet ovenfor

Løsning.
I. Domenet til funksjonen er mengden av alle reelle tall, bortsett fra x=1.
II. Siden ligningen x 2 +1=0 ikke har reelle røtter, så har ikke grafen til funksjonen skjæringspunkter med Ox-aksen, men skjærer Oy-aksen i punktet (0; -1).
III. La oss avklare spørsmålet om eksistensen av asymptoter. Vi undersøker funksjonen til funksjonen nær diskontinuitetspunktet x=1. Siden y → ∞ for x → -∞, y → +∞ for x → 1+, så er linjen x=1 en vertikal asymptote av grafen til funksjonen.
Hvis x → +∞(x → -∞), så y → +∞(y → -∞); derfor har ikke grafen en horisontal asymptote. Videre fra eksistensen av grenser

Løser vi ligningen x 2 -2x-1=0, får vi to poeng av et mulig ekstremum:
x 1 =1-√2 og x 2 =1+√2

V. For å finne de kritiske punktene, beregner vi den andre deriverte:

Siden f""(x) ikke forsvinner, er det ingen kritiske punkter.
VI. Vi undersøker fortegnet til den første og andre deriverte. Mulige ekstremumpunkter som skal vurderes: x 1 =1-√2 og x 2 =1+√2, del opp eksistensområdet til funksjonen i intervaller (-∞;1-√2),(1-√2) ;1+√2) og (1+√2;+∞).

I hvert av disse intervallene beholder den deriverte tegnet sitt: i det første - pluss, i det andre - minus, i det tredje - pluss. Tegnsekvensen til den første deriverte vil bli skrevet som følger: +, -, +.
Vi får at funksjonen på (-∞;1-√2) øker, på (1-√2;1+√2) minker den, og på (1+√2;+∞) øker den igjen. Ekstrempunkter: maksimum ved x=1-√2, dessuten f(1-√2)=2-2√2 minimum ved x=1+√2, dessuten f(1+√2)=2+2√2. På (-∞;1) er grafen konveks oppover, og på (1;+∞) - nedover.
VII La oss lage en tabell over de oppnådde verdiene

VIII Basert på innhentede data bygger vi en skisse av grafen til funksjonen

Studiet av funksjonen gjennomføres etter et klart skjema og krever at studenten har solid kunnskap om grunnleggende matematiske begreper som definisjonsdomene og verdier, funksjonens kontinuitet, asymptoten, ekstremumpunkter, paritet, periodisitet, etc. Eleven må fritt differensiere funksjoner og løse likninger, som noen ganger er svært intrikate.

Det vil si at denne oppgaven tester et betydelig lag med kunnskap, hvor ethvert gap vil bli et hinder for å få den riktige løsningen. Spesielt ofte oppstår det vanskeligheter med konstruksjonen av grafer over funksjoner. Denne feilen fanger umiddelbart lærerens øye og kan i stor grad ødelegge karakteren din, selv om alt annet ble gjort riktig. Her kan du finne oppgaver for studiet av funksjonen på nett: studieeksempler, laste ned løsninger, bestille oppgaver.

Undersøk en funksjon og plott: Eksempler og løsninger online

Vi har forberedt mange ferdige funksjonsstudier for deg, både betalt i løsningsboken og gratis i delen Feature Research Eksempler. På grunnlag av disse løste oppgavene vil du kunne bli i detalj kjent med metodikken for å utføre slike oppgaver, analogt, utføre din egen forskning.

Vi tilbyr ferdige eksempler på en komplett studie og plotting av en funksjonsgraf av de vanligste typene: polynomer, brøkrasjonelle, irrasjonelle, eksponentielle, logaritmiske, trigonometriske funksjoner. Hvert løst problem er ledsaget av en ferdig graf med utvalgte nøkkelpunkter, asymptoter, maksima og minima, løsningen utføres i henhold til algoritmen for å studere funksjonen.

De løste eksemplene vil i alle fall være til god hjelp for deg, da de dekker de mest populære typene funksjoner. Vi tilbyr deg hundrevis av allerede løste problemer, men som du vet er det et uendelig antall matematiske funksjoner i verden, og lærere er gode eksperter på å finne opp stadig mer intrikate oppgaver for fattige elever. Så, kjære studenter, kvalifisert assistanse vil ikke skade deg.

Løse problemer for studiet av en funksjon på bestilling

I dette tilfellet vil våre partnere tilby deg en annen tjeneste - full funksjonsforskning på nettetå bestille. Oppgaven vil bli fullført for deg i samsvar med alle kravene til algoritmen for å løse slike problemer, noe som vil glede læreren din.

Vi vil gjøre en fullstendig studie av funksjonen for deg: vi vil finne definisjonsdomenet og verdiområdet, undersøke for kontinuitet og diskontinuitet, sette pariteten, sjekke funksjonen din for periodisitet, finne skjæringspunktene med koordinataksene . Og selvfølgelig videre ved hjelp av differensialregning: vi skal finne asymptoter, beregne ekstreme, bøyningspunkter og bygge selve grafen.

La oss undersøke funksjonen \(y= \frac(x^3)(1-x) \) og bygge dens graf.

1. Definisjonsdomene.
Definisjonsdomenet til en rasjonell funksjon (brøk) vil være: nevneren er ikke lik null, dvs. \(1 -x \ne 0 => x \ne 1\). Domene $$D_f= (-\infty; 1) \cup (1;+\infty)$$

2. Knekkpunkter for en funksjon og deres klassifisering.
Funksjonen har ett bruddpunkt x = 1
undersøk punktet x= 1. Finn grensen for funksjonen til høyre og venstre for diskontinuitetspunktet, til høyre $$ \lim_(x \to 1+0) (\frac(x^3)(1-x) )) = -\infty $$ og til venstre for punktet $$ \lim_(x \to 1-0)(\frac(x^3)(1-x)) = +\infty $$ ensidige grenser er \(\infty\).

Den rette linjen \(x = 1\) er en vertikal asymptote.

3. Paritet til en funksjon.
Kontrollerer for paritet \(f(-x) = \frac((-x)^3)(1+x) \) funksjonen er verken partall eller oddetall.

4. Nullpunkter for funksjonen (skjæringspunkter med okseaksen). Funksjonskonstansintervaller.
Funksjonsnuller ( skjæringspunkt med okseaksen): sette likhetstegn mellom \(y=0\), får vi \(\frac(x^3)(1-x) = 0 => x=0 \). Kurven har ett skjæringspunkt med Ox-aksen med koordinater \((0;0)\).

Funksjonskonstansintervaller.
På de betraktede intervallene \((-\infty; 1) \cup (1;+\infty)\) har kurven ett skjæringspunkt med aksen Ox , så vi vil vurdere definisjonsdomenet på tre intervaller.

La oss bestemme tegnet til funksjonen på intervallene til definisjonsdomenet:
intervall \((-\infty; 0) \) finn verdien til funksjonen på et hvilket som helst punkt \(f(-4) = \frac(x^3)(1-x)< 0 \), на этом интервале функция отрицательная \(f(x) < 0 \), т.е. находится ниже оси Ox
intervall \((0; 1) \) finn verdien til funksjonen i et hvilket som helst punkt \(f(0.5) = \frac(x^3)(1-x) > 0 \), på dette intervallet er funksjonen positiv \(f(x) > 0 \), dvs. er over x-aksen.
intervall \((1;+\infty) \) finn verdien av funksjonen på et hvilket som helst punkt \(f(4) = \frac(x^3)(1-x)< 0 \), на этом интервале функция отрицательная \(f(x) < 0 \), т.е. находится ниже оси Ox

5. Skjæringspunkter med aksen Oy: sette likhetstegn mellom \(x=0 \), får vi \(f(0) = \frac(x^3)(1-x) = 0\). Koordinater for skjæringspunktet med Oy-aksen \((0; 0)\)

6. Intervaller med monotonitet. Funksjon ekstremer.
La oss finne de kritiske (stasjonære) punktene, for dette finner vi den første deriverte og likestiller den til null $$ y" = (\frac(x^3)(1-x))" = \frac(3x^2(1) -x) + x^3)( (1-x)^2) = \frac(x^2(3-2x))( (1-x)^2) $$ tilsvarer 0 $$ \frac(x) ^2(3 -2x))( (1-x)^2) = 0 => x_1 = 0 \quad x_2= \frac(3)(2)$$ Finn verdien til funksjonen på dette punktet \(f (0) = 0\) og \(f(\frac(3)(2)) = -6,75\). Fikk to kritiske punkter med koordinater \((0;0)\) og \((1.5;-6.75)\)

Intervaller av monotonitet.
Funksjonen har to kritiske punkter (mulige ekstremumpunkter), så vi vil vurdere monotonisitet på fire intervaller:
intervall \((-\infty; 0) \) finn verdien av den første deriverte på et hvilket som helst punkt i intervallet \(f(-4) = \frac(x^2(3-2x))( (1-x) )^2) >
intervall \((0;1)\) finn verdien av den første deriverte på et hvilket som helst punkt i intervallet \(f(0,5) = \frac(x^2(3-2x))( (1-x)^2 ) > 0\), øker funksjonen på dette intervallet.
intervall \((1;1.5)\) finn verdien av den første deriverte på et hvilket som helst punkt i intervallet \(f(1.2) = \frac(x^2(3-2x))( (1-x)^2 ) > 0\), øker funksjonen på dette intervallet.
intervall \((1,5; +\infty)\) finn verdien av den første deriverte på et hvilket som helst punkt i intervallet \(f(4) = \frac(x^2(3-2x))( (1-x) ^2)< 0\), на этом интервале функция убывает.

Funksjon ekstremer.

I studiet av funksjonen ble det oppnådd to kritiske (stasjonære) poeng på intervallet til definisjonsdomenet. La oss finne ut om de er ekstremum. Vurder endringen i tegnet til den deriverte når du går gjennom de kritiske punktene:

punktet \(x = 0\) den deriverte endrer fortegn fra \(\quad +\quad 0 \quad + \quad\) - punktet er ikke et ekstremum.
punkt \(x = 1,5\) derivert endrer fortegn fra \(\quad +\quad 0 \quad - \quad\) - punktet er maksimumspunktet.

7. Intervaller for konveksitet og konkavitet. Bøyningspunkter.

For å finne intervallene for konveksitet og konkavitet, finner vi den andrederiverte av funksjonen og likestiller den til null $$y"" = (\frac(x^2(3-2x))( (1-x)^2) )"= \frac(2x (x^2-3x+3))((1-x)^3) $$Sett $$ lik null \frac(2x(x^2-3x+3))(( 1-x)^3)= 0 => 2x(x^2-3x+3) =0 => x=0$$ Funksjonen har en kritisk punkt av den andre typen med koordinater \((0;0)\).
La oss definere konveksiteten på intervallene til definisjonsdomenet, under hensyntagen til det kritiske punktet til den andre typen (punktet for mulig bøyning).

intervall \((-\infty; 0)\) finn verdien av den andrederiverte på et hvilket som helst punkt \(f""(-4) = \frac(2x(x^2-3x+3))((1- x)^ 3)< 0 \), на этом интервале вторая производная функции отрицательная \(f""(x) < 0 \) - функция выпуклая вверх (вогнутая).
intervall \((0; 1)\) finn verdien av den andre deriverte ved et hvilket som helst punkt \(f""(0.5) = \frac(2x(x^2-3x+3))((1-x)^ 3) > 0 \), på dette intervallet er den andrederiverte av funksjonen positiv \(f""(x) > 0 \) funksjonen er nedadkonveks (konveks).
intervall \((1; \infty)\) finn verdien av den andrederiverte på et hvilket som helst punkt \(f""(4) = \frac(2x(x^2-3x+3))((1-x) ^3)< 0 \), на этом интервале вторая производная функции отрицательная \(f""(x) < 0 \) - функция выпуклая вверх (вогнутая).

Bøyningspunkter.

Tenk på endringen i fortegn til den andre deriverte når du går gjennom et kritisk punkt av den andre typen:
Ved punktet \(x =0\), endrer den andre deriverte fortegn fra \(\quad - \quad 0 \quad + \quad\), grafen til funksjonen endrer konveksitet, dvs. dette er bøyningspunktet med koordinatene \((0;0)\).

8. Asymptoter.

Vertikal asymptote. Grafen til funksjonen har én vertikal asymptote \(x =1\) (se punkt 2).
Skrå asymptote.
For at grafen til funksjonen \(y= \frac(x^3)(1-x) \) for \(x \to \infty\) skal ha en skrå asymptote \(y = kx+b\) , det er nødvendig og tilstrekkelig , slik at det er to grenser $$\lim_(x \to +\infty)=\frac(f(x))(x) =k $$ finn den $$ \lim_(x \ til \infty) (\frac( x^3)(x(1-x))) = \infty => k= \infty $$ og andre grense $$ \lim_(x \to +\infty)(f( x) - kx) = b$ $, fordi \(k = \infty\) - det er ingen skrå asymptote.

Horisontal asymptote: for at den horisontale asymptoten skal eksistere, er det nødvendig at grensen $$\lim_(x \to \infty)f(x) = b$$ eksisterer, finn den $$ \lim_(x \to +\infty) (\frac( x^3)(1-x))= -\infty$$$$ \lim_(x \to -\infty)(\frac(x^3)(1-x))= -\infty $$
Det er ingen horisontal asymptote.

9. Graf over funksjonen.

Referansepunktene i studiet av funksjoner og konstruksjonen av deres grafer er karakteristiske punkter - punkter med diskontinuitet, ekstremum, bøyning, skjæring med koordinataksene. Ved hjelp av differensialregning kan man etablere kjennetegn funksjonsendringer: økning og reduksjon, maksima og minima, retningen til grafens konveksitet og konkavitet, tilstedeværelsen av asymptoter.

En skisse av funksjonsgrafen kan (og bør) skisseres etter å ha funnet asymptotene og ekstremumpunktene, og det er praktisk å fylle ut oppsummeringstabellen for studiet av funksjonen i løpet av studien.

Vanligvis brukes følgende skjema for funksjonsforskning.

1.Finn domene, kontinuitetsintervaller og bruddpunkter for en funksjon.

2.Undersøk funksjonen for partall eller oddetall (aksial eller sentral symmetri av grafen.

3.Finn asymptoter (vertikal, horisontal eller skrå).

4.Finn og utforsk intervallene for økning og reduksjon av funksjonen, dens ekstremumpunkter.

5.Finn intervallene for konveksitet og konkavitet til kurven, dens bøyningspunkter.

6.Finn skjæringspunktene til kurven med koordinataksene, hvis de finnes.

7.Sett sammen en oppsummeringstabell over studien.

8.Bygg en graf, ta hensyn til studiet av funksjonen, utført i henhold til punktene ovenfor.

Eksempel. Utforsk funksjon

og plotte det.

7. La oss lage en oppsummeringstabell over studiet av funksjonen, hvor vi skal legge inn alle de karakteristiske punktene og intervallene mellom dem. Gitt pariteten til funksjonen får vi følgende tabell: