Ytterpunktet for funksjonen f x. Hva er ekstrema for en funksjon: kritiske punkter for maksimum og minimum

Passerer inn disse ulikhetene til det ytterste som Δ x→ 0 og tar i betraktning at den deriverte f "(x 0) eksisterer, og derfor avhenger ikke grensen til venstre av hvordan Δ x→ 0, får vi: for Δ x → 0 – 0 f" (x 0) ≥ 0 og ved Δ x → 0 + 0 f" (x 0) ≤ 0. Siden f" (x 0) definerer et tall, så er disse to ulikhetene kompatible bare hvis f" (x 0) = 0.

Det beviste teoremet sier at maksimums- og minimumspoengene bare kan være blant verdiene av argumentet som den deriverte forsvinner for.

Vi har vurdert tilfellet når en funksjon har en derivert på alle punkter i et bestemt segment. Hva skjer når den deriverte ikke eksisterer? Tenk på eksempler.

y =|x |.

Funksjonen har ikke en derivert i et punkt x=0 (på dette tidspunktet har ikke grafen til funksjonen en bestemt tangent), men på dette punktet har funksjonen et minimum, siden y(0)=0, og for alle x ≠ 0y > 0.

Således, fra de gitte eksemplene og det formulerte teoremet er det klart at funksjonen kan ha et ekstremum bare i to tilfeller: 1) på punktene der den deriverte eksisterer og er lik null; 2) på det punktet der derivatet ikke eksisterer.

Men hvis på et tidspunkt x 0 det vet vi f"(x 0 ) =0, så kan det ikke konkluderes ut fra dette at på punktet x 0 funksjonen har et ekstremum.

For eksempel.

Men poeng x=0 er ikke et ekstremum, siden til venstre for dette punktet er funksjonsverdiene plassert under aksen Okse, og over til høyre.

Verdier av et argument fra domenet til en funksjon, der den deriverte av funksjonen forsvinner eller ikke eksisterer, kalles kritiske punkter .

Det følger av det foregående at ekstremumpunktene til en funksjon er blant de kritiske punktene, og imidlertid er ikke hvert kritisk punkt et ekstremumpunkt. Derfor, for å finne funksjonens ytterpunkt, må du finne alle de kritiske punktene til funksjonen, og deretter undersøke hvert av disse punktene separat for maksimum og minimum. For dette tjener følgende teorem.

Teorem 2. (En tilstrekkelig betingelse for eksistensen av et ekstremum.) La funksjonen være kontinuerlig på et eller annet intervall som inneholder det kritiske punktet x 0 , og er differensierbar på alle punkter i dette intervallet (unntatt kanskje selve punktet x 0). Hvis den deriverte, når den passerer fra venstre til høyre gjennom dette punktet, endrer fortegn fra pluss til minus, så ved punktet x = x 0 funksjonen har et maksimum. Hvis, når du passerer gjennom x 0 fra venstre til høyre, den deriverte endrer fortegn fra minus til pluss, så har funksjonen et minimum på dette punktet.

Således, hvis

f"(x)>0 kl x <x 0 og f"(x)< 0 kl x > x 0, da x 0 - maksimum poeng;

Bevis. La oss først anta at når vi passerer gjennom x 0, skifter den deriverte fortegn fra pluss til minus, dvs. for alle x nærme poenget x 0 f "(x)> 0 for x< x 0 , f"(x)< 0 for x > x 0 . La oss bruke Lagrange-teoremet på forskjellen f(x) - f(x 0 ) = f "(c)(x-x 0), hvor c ligger mellom x Og x 0 .

La x< x 0 . Deretter c< x 0 og f "(c)> 0. Derfor f "(c)(x-x 0)< 0 og derfor

f(x) - f(x 0 )< 0, dvs. f(x)< f(x 0 ).

La x > x 0 . Deretter c>x 0 og f"(c)< 0. Midler f "(c)(x-x 0)< 0. Derfor f(x) - f(x 0 ) <0,т.е.f(x) < f(x 0 ) .

Altså for alle verdier x nær nok til x 0 f(x) < f(x 0 ) . Og dette betyr at på punktet x 0 funksjonen har et maksimum.

Den andre delen av minimumsteoremet er bevist på samme måte.

La oss illustrere betydningen av denne teoremet i figuren. La f"(x 1 ) =0 og for alle x, nær nok til x 1, ulikhetene

f"(x)< 0 kl x< x 1 , f "(x)> 0 kl x > x 1 .

Så til venstre for punktet x 1 funksjonen øker, og avtar til høyre, derfor når x = x 1 funksjon går fra økende til synkende, det vil si at den har et maksimum.

På samme måte kan man vurdere poengene x 2 og x 3 .

Skjematisk kan alt det ovennevnte avbildes på bildet:

Regelen for å studere funksjonen y=f(x) for et ekstremum

Finn omfanget av en funksjon f(x).

Finn den første deriverte av en funksjon f"(x) .

Bestem kritiske punkter for dette:

finne de virkelige røttene til ligningen f"(x) =0;

finne alle verdier x hvorunder derivatet f"(x) eksisterer ikke.

Bestem tegnet til den deriverte til venstre og høyre for det kritiske punktet. Siden tegnet til den deriverte forblir konstant mellom to kritiske punkter, er det tilstrekkelig å bestemme tegnet til den deriverte på et hvilket som helst punkt til venstre og på ett punkt til høyre for det kritiske punktet.

Regn ut verdien av funksjonen ved ytterpunktene.

Før du lærer hvordan du finner ytterpunktene til en funksjon, er det nødvendig å forstå hva et ekstremum er. Den mest generelle definisjonen av et ekstremum er at det er den minste eller største verdien av en funksjon som brukes i matematikk på et bestemt sett av en talllinje eller graf. På stedet der minimum er, vises ytterpunktet av minimum, og hvor maksimum er, vises ekstremum av maksimum. Også i en slik disiplin som matematisk analyse skilles lokale ekstrema av en funksjon. La oss nå se på hvordan du finner ekstremum.

Ekstrem i matematikk er blant de viktigste egenskapene til en funksjon, de viser dens største og minste verdi. Ekstreme finnes hovedsakelig på de kritiske punktene til funnfunksjonene. Det er verdt å merke seg at det er på ytterpunktet at funksjonen radikalt endrer retning. Hvis vi beregner den deriverte av ekstremumpunktet, må det ifølge definisjonen være lik null, ellers vil det være helt fraværende. For å lære hvordan du finner ekstremumet til en funksjon, må du derfor utføre to sekvensielle oppgaver:

• finn den deriverte for funksjonen som må bestemmes av oppgaven;
• finne røttene til ligningen.

Sekvensen for å finne ekstremumet

1. Skriv ned funksjonen f(x) som er gitt. Finn dens førsteordens deriverte f "(x). Lik det resulterende uttrykket med null.
2. Nå må du løse ligningen som ble. De resulterende løsningene vil være røttene til ligningen, så vel som de kritiske punktene til funksjonen som defineres.
3. Nå bestemmer vi hvilke kritiske punkter (maksimum eller minimum) som er de funnet røttene. Det neste trinnet, etter at vi har lært å finne ekstremumpunktene til en funksjon, er å finne den andre deriverte av den ønskede funksjonen f "(x). Det vil være nødvendig å erstatte verdiene​ til de funnet kritiske punktene inn i en spesifikk ulikhet og så regn ut hva som skjer Hvis dette skjer, at den andrederiverte viser seg å være større enn null på det kritiske punktet, så vil det være minimumspunktet, og ellers vil det være maksimumspunktet.
4. Det gjenstår å beregne verdien av den første funksjonen ved de nødvendige maksimums- og minimumspunktene for funksjonen. For å gjøre dette, erstatter vi de oppnådde verdiene i funksjonen og beregner. Det skal imidlertid bemerkes at hvis det kritiske punktet viste seg å være et maksimum, vil ekstremumet være maksimum, og hvis det er et minimum, vil det være minimum analogt.

Algoritme for å finne et ekstremum

For å oppsummere kunnskapen vi har fått, la oss lage en kort algoritme for hvordan du finner ekstremumpunkter.

1. Vi finner domenet til den gitte funksjonen og dens intervaller, som bestemmer nøyaktig på hvilke intervaller funksjonen er kontinuerlig.
2. Vi finner den deriverte av funksjonen f "(x).
3. Vi beregner de kritiske punktene til ligningen y = f (x).
4. Vi analyserer endringene i retningen til funksjonen f (x), så vel som tegnet til den deriverte f "(x) der de kritiske punktene skiller definisjonsdomenet til denne funksjonen.
5. Nå bestemmer vi om hvert punkt på grafen er et maksimum eller et minimum.
6. Vi finner verdiene til funksjonen på de punktene som er ekstremum.
7. Vi fikser resultatet av denne studien - ekstrema og intervaller for monotonisitet. Det er alt. Nå har vi vurdert hvordan vi finner et ekstremum på et hvilket som helst intervall. Hvis du trenger å finne et ekstremum på et visst intervall av en funksjon, gjøres dette på lignende måte, bare grensene for studien som utføres, tas nødvendigvis i betraktning.

Så vi har vurdert hvordan vi finner ekstremumpunktene til en funksjon. Ved hjelp av enkle beregninger, samt kunnskap om å finne derivater, kan du finne et hvilket som helst ekstremum og beregne det, samt grafisk betegne det. Å finne ytterpunkter er en av de viktigste delene av matematikk, både på skolen og ved en høyere utdanningsinstitusjon, derfor, hvis du lærer hvordan du bestemmer dem riktig, vil læringen bli mye enklere og mer interessant.

Fra denne artikkelen vil leseren lære om hva et ekstremum av funksjonell verdi er, samt om funksjonene ved bruken i praksis. Studiet av et slikt konsept er ekstremt viktig for å forstå grunnlaget for høyere matematikk. Dette emnet er grunnleggende for en dypere studie av kurset.

I kontakt med

Hva er en ekstrem?

I skolekurset er det gitt mange definisjoner av begrepet «ekstremt». Denne artikkelen er ment å gi den dypeste og klareste forståelsen av begrepet for de som er uvitende om problemet. Så begrepet forstås i hvilken grad det funksjonelle intervallet får en minimums- eller maksimumsverdi på et bestemt sett.

Extremum er både minimumsverdien til funksjonen og maksimumet på samme tid. Det er et minimumspunkt og et maksimumspunkt, det vil si ekstremverdiene til argumentet på grafen. De viktigste vitenskapene som dette konseptet brukes i:

• statistikk;
• maskin kontroll;
• økonometri.

Ekstreme punkter spiller en viktig rolle i å bestemme rekkefølgen til en gitt funksjon. Koordinatsystemet på grafen viser på sitt beste endringen i ekstremposisjon avhengig av endringen i funksjonalitet.

Ekstrema av den deriverte funksjonen

Det er også noe som heter et "derivat". Det er nødvendig å bestemme ekstremumpunktet. Det er viktig å ikke forveksle minimums- eller maksimumspoengene med de største og minste verdiene. Dette er forskjellige konsepter, selv om de kan virke like.

Verdien av funksjonen er hovedfaktoren for å bestemme hvordan man finner maksimumspunktet. Den deriverte er ikke dannet av verdiene, men utelukkende fra dens ekstreme posisjon i en eller annen rekkefølge.

Selve deriverten bestemmes basert på dataene til ekstrempunktene, og ikke den største eller minste verdien. I russiske skoler er linjen mellom disse to konseptene ikke tydelig trukket, noe som påvirker forståelsen av dette emnet generelt.

La oss nå vurdere noe slikt som et "skarpt ekstremum". Til dags dato er det en akutt minimumsverdi og en akutt maksimumsverdi. Definisjonen er gitt i samsvar med den russiske klassifiseringen av kritiske punkter for en funksjon. Konseptet med et ekstremumpunkt er grunnlaget for å finne kritiske punkter på et diagram.

For å definere et slikt begrep brukes Fermats teorem. Det er det viktigste i studiet av ekstreme punkter og gir en klar ide om deres eksistens i en eller annen form. For å sikre ekstremitet er det viktig å skape visse betingelser for å redusere eller øke på diagrammet.

For å svare nøyaktig på spørsmålet "hvordan finne maksimalt poeng", må du følge disse bestemmelsene:

1. Finne det nøyaktige definisjonsområdet på diagrammet.
2. Søk etter den deriverte av en funksjon og et ekstremumpunkt.
3. Løs standardulikheter for domenet til argumentet.
4. Kunne bevise i hvilke funksjoner et punkt på en graf er definert og kontinuerlig.

Merk følgende! Søket etter et kritisk punkt for en funksjon er bare mulig hvis det er en derivert av minst andre orden, som er sikret av en høy andel av tilstedeværelsen av et ekstremumpunkt.

Nødvendig betingelse for funksjonens ekstremum

For at et ekstremum skal eksistere, er det viktig at det er både minimumspoeng og maksimumspoeng. Hvis denne regelen bare overholdes delvis, brytes betingelsen for eksistensen av et ekstremum.

Hver funksjon i enhver posisjon må differensieres for å identifisere dens nye betydninger. Det er viktig å forstå at tilfellet når et punkt forsvinner ikke er hovedprinsippet for å finne et differensierbart punkt.

Et skarpt ekstremum, samt et funksjonsminimum, er et ekstremt viktig aspekt ved å løse et matematisk problem ved å bruke ekstreme verdier. For bedre å forstå denne komponenten, er det viktig å referere til tabellverdiene for tildeling av funksjonen.

Ytterstepunktet til en funksjon er punktet i funksjonens domene hvor verdien av funksjonen får en minimums- eller maksimumsverdi. Funksjonsverdiene på disse punktene kalles ekstrema (minimum og maksimum) av funksjonen.

Definisjon. Punktum x1 funksjonsomfang f(x) er kalt maksimumspunktet for funksjonen , hvis verdien av funksjonen på dette punktet er større enn verdiene til funksjonen ved punkter nær nok til den, plassert til høyre og venstre for den (det vil si ulikheten f(x0 ) > f(x 0 + Δ x) x1 maksimum.

Definisjon. Punktum x2 funksjonsomfang f(x) er kalt minimumspunktet for funksjonen, hvis verdien av funksjonen på dette punktet er mindre enn verdiene til funksjonen ved punkter nær nok til den, plassert til høyre og venstre for den (det vil si ulikheten f(x0 ) < f(x 0 + Δ x) ). I dette tilfellet sies funksjonen å ha på punktet x2 minimum.

La oss si poenget x1 - maksimalt punkt for funksjonen f(x). Deretter i intervallet frem til x1 funksjonen øker, så den deriverte av funksjonen er større enn null ( f "(x) > 0 ), og i intervallet etter x1 funksjonen er avtagende, så funksjonsderiverte mindre enn null ( f "(x) < 0 ). Тогда в точке x1

La oss også anta at poenget x2 - minimumspunktet for funksjonen f(x). Deretter i intervallet frem til x2 funksjonen er avtagende og den deriverte av funksjonen er mindre enn null ( f "(x) < 0 ), а в интервале после x2 funksjonen øker og den deriverte av funksjonen er større enn null ( f "(x) > 0 ). I dette tilfellet også på punktet x2 den deriverte av funksjonen er null eller eksisterer ikke.

Fermats teorem (et nødvendig kriterium for eksistensen av et ekstremum av en funksjon). Hvis punkt x0 - ekstremumpunktet for funksjonen f(x), så på dette tidspunktet er den deriverte av funksjonen lik null ( f "(x) = 0 ) eller eksisterer ikke.

Definisjon. Punktene der den deriverte av en funksjon er lik null eller ikke eksisterer kalles kritiske punkter .

Eksempel 1 La oss vurdere en funksjon.

På punktet x= 0 den deriverte av funksjonen er lik null, derfor er punktet x= 0 er det kritiske punktet. Men som man kan se på grafen til funksjonen, øker den i hele definisjonsdomenet, så poenget x= 0 er ikke et ekstremumpunkt for denne funksjonen.

Dermed er betingelsene om at den deriverte av en funksjon i et punkt er lik null eller ikke eksisterer nødvendige betingelser for et ekstremum, men ikke tilstrekkelige, siden andre eksempler på funksjoner kan gis som disse betingelsene er oppfylt for, men funksjonen har ikke et ekstremum på det tilsvarende punktet. Derfor må ha tilstrekkelige indikasjoner, som gjør det mulig å bedømme om det er et ekstremum på et bestemt kritisk punkt og hvilket - et maksimum eller et minimum.

Teorem (det første tilstrekkelige kriteriet for eksistensen av et ekstremum av en funksjon). Kritisk punkt x0 f(x), hvis den deriverte av funksjonen endrer fortegn når den passerer gjennom dette punktet, og hvis fortegnet endres fra "pluss" til "minus", så maksimumspunktet, og hvis fra "minus" til "pluss", så minimumspunktet .

Hvis nærme punktet x0 , til venstre og til høyre for den, beholder den deriverte tegnet sitt, dette betyr at funksjonen enten bare reduseres eller bare øker i et eller annet område av punktet x0 . I dette tilfellet, på punktet x0 det er ikke noe ekstremum.

Så, for å bestemme ekstremumpunktene til funksjonen, må du gjøre følgende :

1. Finn den deriverte av en funksjon.
2. Lik den deriverte til null og bestem de kritiske punktene.
3. Mentalt eller på papir, merk de kritiske punktene på den numeriske aksen og bestem tegnene til den deriverte av funksjonen i de resulterende intervallene. Hvis tegnet på den deriverte endres fra "pluss" til "minus", så er det kritiske punktet maksimumspunktet, og hvis fra "minus" til "pluss", så er det kritiske punktet minimumspunktet.
4. Regn ut verdien av funksjonen ved ytterpunktene.

Eksempel 2 Finn ekstrema av en funksjon .

Løsning. La oss finne den deriverte av funksjonen:

Lik den deriverte til null for å finne de kritiske punktene:

.

Siden for alle verdier av "x" er nevneren ikke lik null, så likestiller vi telleren til null:

Har ett kritisk poeng x= 3. Vi bestemmer tegnet til den deriverte i intervallene avgrenset av dette punktet:

i området fra minus uendelig til 3 - minustegn, det vil si at funksjonen reduseres,

i området fra 3 til pluss uendelig - et plusstegn, det vil si at funksjonen øker.

Det vil si poeng x= 3 er minimumspunktet.

Finn verdien av funksjonen ved minimumspunktet:

Dermed finnes funksjonens ekstremumpunkt: (3; 0), og det er minimumspunktet.

Teorem (det andre tilstrekkelige kriteriet for eksistensen av et ekstremum av en funksjon). Kritisk punkt x0 er funksjonens ytterpunkt f(x), hvis den andre deriverte av funksjonen på dette tidspunktet ikke er lik null ( f ""(x) ≠ 0 ), dessuten, hvis den andre deriverte er større enn null ( f ""(x) > 0 ), så maksimumspunktet, og hvis den andre deriverte er mindre enn null ( f ""(x) < 0 ), то точкой минимума.

Merknad 1. Hvis på et tidspunkt x0 både den første og andre deriverte forsvinner, så på dette tidspunktet er det umulig å bedømme tilstedeværelsen av et ekstremum på grunnlag av det andre tilstrekkelige tegnet. I dette tilfellet må du bruke det første tilstrekkelige kriteriet for funksjonens ytterpunkt.

Merknad 2. Det andre tilstrekkelige kriteriet for ekstremumet til en funksjon er også ubrukelig når den første deriverte ikke eksisterer på det stasjonære punktet (da eksisterer heller ikke den andre deriverte). I dette tilfellet er det også nødvendig å bruke det første tilstrekkelige kriteriet for funksjonens ekstremum.

Den lokale karakteren til funksjonens ytterpunkt

Av definisjonene ovenfor følger det at ytterpunktet til en funksjon er av lokal karakter - dette er den største og minste verdien av funksjonen sammenlignet med de nærmeste verdiene.

Anta at du vurderer inntektene dine i løpet av ett år. Hvis du i mai tjente 45 000 rubler, og i april 42 000 rubler og i juni 39 000 rubler, er mai-inntektene maksimum for inntektsfunksjonen sammenlignet med de nærmeste verdiene. Men i oktober tjente du 71 000 rubler, i september 75 000 rubler og i november 74 000 rubler, så oktoberinntektene er minimum av inntektsfunksjonen sammenlignet med nærliggende verdier. Og du kan enkelt se at maksimum blant verdiene april-mai-juni er mindre enn minimum september-oktober-november.

Generelt sett kan en funksjon ha flere ytterpunkter på et intervall, og det kan vise seg at et hvilket som helst minimum av funksjonen er større enn et maksimum. Så for funksjonen vist i figuren ovenfor, .

Det vil si at man ikke skal tro at maksimum og minimum av funksjonen er henholdsvis dens maksimale og minimumsverdier for hele segmentet som vurderes. Ved maksimumspunktet har funksjonen den største verdien bare sammenlignet med de verdiene den har på alle punkter tilstrekkelig nær maksimumspunktet, og ved minimumspunktet den minste verdien bare sammenlignet med disse verdiene at den på alle punkter har tilstrekkelig nær minimumspunktet.

Derfor kan vi avgrense konseptet med ekstremumpunkter for en funksjon gitt ovenfor og kalle minimumspunktene lokale minimumspunkter, og maksimumspoengene - lokale maksimumspoeng.

Vi ser sammen etter funksjonens ytterpunkt

Eksempel 3

Løsning Funksjonen er definert og kontinuerlig på hele tallinjen. Dens derivat finnes også på hele tallinjen. Derfor, i denne saken bare de der , dvs. , hvorfra og . Kritiske punkter og del opp hele funksjonens domene i tre intervaller for monotonisitet: . Vi velger ett kontrollpunkt i hver av dem og finner tegnet til den deriverte på dette punktet.

For intervallet kan referansepunktet være: vi finner . Tar vi et poeng i intervallet får vi , og tar et poeng i intervallet har vi . Så, i intervallene og , og i intervallet . I følge det første tilstrekkelige tegnet på et ekstremum er det ikke noe ekstremum i punktet (siden den deriverte beholder fortegnet i intervallet ), og funksjonen har et minimum i punktet (siden den deriverte skifter fortegn fra minus til pluss ved passering gjennom dette punktet). Finn de tilsvarende verdiene for funksjonen: , og . I intervallet avtar funksjonen, siden i dette intervallet , og i intervallet øker den, siden i dette intervallet.

For å tydeliggjøre konstruksjonen av grafen finner vi skjæringspunktene til den med koordinataksene. Når vi får en ligning hvis røtter og , dvs. to punkter (0; 0) og (4; 0) av grafen til funksjonen blir funnet. Ved å bruke all informasjonen vi mottar, bygger vi en graf (se i begynnelsen av eksemplet).

Eksempel 4 Finn ytterpunktene til funksjonen og bygg dens graf.

Domenet til funksjonen er hele tallinjen, bortsett fra punktet, dvs. .

For å forkorte studiet kan vi bruke det faktum at denne funksjonen er jevn, siden . Derfor er grafen symmetrisk om aksen Oy og studien kan bare utføres i intervallet .

Å finne den deriverte og kritiske punkter ved funksjonen:

1) ;

2) ,

men funksjonen lider av et brudd på dette punktet, så det kan ikke være et ekstremumpunkt.

Dermed har den gitte funksjonen to kritiske punkter: og . Når vi tar hensyn til funksjonens paritet, kontrollerer vi bare punktet ved det andre tilstrekkelige tegnet på ekstremumet. For å gjøre dette finner vi den andre deriverte og bestemme dets fortegn ved : vi får . Siden og , da er minimumspunktet for funksjonen, mens .

For å få et mer fullstendig bilde av grafen til funksjonen, la oss finne ut dens oppførsel på grensene til definisjonsdomenet:

(her indikerer symbolet ønsket x til null til høyre, og x forblir positiv; betyr på samme måte aspirasjon x til null til venstre, og x forblir negativ). Så hvis , så . Deretter finner vi

,

de. hvis da .

Grafen til funksjonen har ingen skjæringspunkter med aksene. Bildet er i begynnelsen av eksemplet.

Vi fortsetter å søke etter ytterpunkter av funksjonen sammen

Eksempel 8 Finn ytterpunktene til funksjonen.

Løsning. Finn domenet til funksjonen. Siden ulikheten må holde, får vi fra .

La oss finne den første deriverte av funksjonen:

La oss finne de kritiske punktene til funksjonen.